โคไซน์ของมุมเท่ากับอัตราส่วน ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ของมุมแหลม
แนวคิดเรื่องไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์เป็นหมวดหมู่หลักของตรีโกณมิติ ซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ และมีการเชื่อมโยงอย่างแยกไม่ออกกับคำจำกัดความของมุม การเรียนรู้วิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์นี้ต้องอาศัยการท่องจำและความเข้าใจในสูตรและทฤษฎีบท ตลอดจนการพัฒนาการคิดเชิงพื้นที่ นี่คือสาเหตุที่การคำนวณตรีโกณมิติมักสร้างปัญหาให้กับเด็กนักเรียนและนักเรียน เพื่อเอาชนะสิ่งเหล่านี้ คุณควรทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและสูตรตรีโกณมิติให้มากขึ้น
แนวคิดในวิชาตรีโกณมิติ
เพื่อทำความเข้าใจแนวคิดพื้นฐานของตรีโกณมิติ คุณต้องตัดสินใจว่ามันคืออะไรก่อน สามเหลี่ยมมุมฉากและมุมในวงกลม และเหตุใดการคำนวณตรีโกณมิติพื้นฐานทั้งหมดจึงสัมพันธ์กับการคำนวณเหล่านั้น สามเหลี่ยมที่มีมุมใดมุมหนึ่งมีขนาด 90 องศา จะเป็นสี่เหลี่ยมมุมฉาก ในอดีต ผู้คนมักใช้ตัวเลขนี้ในสถาปัตยกรรม การเดินเรือ ศิลปะ และดาราศาสตร์ ดังนั้นโดยการศึกษาและวิเคราะห์คุณสมบัติของตัวเลขนี้ ผู้คนจึงมาคำนวณอัตราส่วนที่สอดคล้องกันของพารามิเตอร์
หมวดหมู่หลักที่เกี่ยวข้องกับสามเหลี่ยมมุมฉากคือด้านตรงข้ามมุมฉากและขา ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านของสามเหลี่ยมที่อยู่ตรงข้ามมุมฉาก ขาตามลำดับคือส่วนที่เหลืออีกสองข้าง ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมใดๆ จะเป็น 180 องศาเสมอ
ตรีโกณมิติทรงกลมเป็นส่วนหนึ่งของวิชาตรีโกณมิติที่ไม่ได้เรียนในโรงเรียน แต่นักวิทยาศาสตร์ใช้ตรีโกณมิติในวิทยาศาสตร์ประยุกต์ เช่น ดาราศาสตร์และธรณีวิทยา ลักษณะเฉพาะของสามเหลี่ยมในตรีโกณมิติทรงกลมคือ สามเหลี่ยมจะมีผลรวมของมุมที่มากกว่า 180 องศาเสมอ
มุมของรูปสามเหลี่ยม
ในสามเหลี่ยมมุมฉาก ไซน์ของมุมคืออัตราส่วนของขาที่อยู่ตรงข้ามมุมที่ต้องการต่อด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยม ดังนั้น โคไซน์คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันและด้านตรงข้ามมุมฉาก ค่าทั้งสองนี้จะมีขนาดเสมอ น้อยกว่าหนึ่งเนื่องจากด้านตรงข้ามมุมฉากจะยาวกว่าขาเสมอ
แทนเจนต์ของมุมคือค่าเท่ากับอัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านประชิดของมุมที่ต้องการ หรือไซน์ต่อโคไซน์ ในทางกลับกัน โคแทนเจนต์คืออัตราส่วนของด้านประชิดของมุมที่ต้องการต่อด้านตรงข้าม โคแทนเจนต์ของมุมสามารถหาได้โดยการหารค่าหนึ่งด้วยค่าแทนเจนต์
วงกลมหน่วย
วงกลมหนึ่งหน่วยในเรขาคณิตคือวงกลมที่มีรัศมีเท่ากับหนึ่ง วงกลมดังกล่าวสร้างขึ้นในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน โดยมีจุดศูนย์กลางของวงกลมตรงกับจุดกำเนิด และตำแหน่งเริ่มต้นของเวกเตอร์รัศมีถูกกำหนดไปตามทิศทางบวกของแกน X (แกนแอบซิสซา) แต่ละจุดบนวงกลมมีพิกัดสองจุด: XX และ YY นั่นคือพิกัดของแอบซิสซาและพิกัด โดยการเลือกจุดใด ๆ บนวงกลมในระนาบ XX และวางตั้งฉากจากนั้นไปที่แกน abscissa เราจะได้รูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่เกิดจากรัศมีไปยังจุดที่เลือก (แสดงด้วยตัวอักษร C) ซึ่งตั้งฉากกับแกน X (จุดตัดแสดงด้วยตัวอักษร G) และส่วนที่แกน abscissa อยู่ระหว่างจุดกำเนิดของพิกัด (จุดถูกกำหนดด้วยตัวอักษร A) และจุดตัด G. สามเหลี่ยมผลลัพธ์ ACG เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่จารึกไว้ใน วงกลม โดยที่ AG คือด้านตรงข้ามมุมฉาก และ AC และ GC คือขา มุมระหว่างรัศมีของวงกลม AC และส่วนของแกน abscissa ที่มีการกำหนด AG ถูกกำหนดให้เป็น α (อัลฟา) ดังนั้น cos α = AG/AC เมื่อพิจารณาว่า AC คือรัศมีของวงกลมหนึ่งหน่วย และมันเท่ากับ 1 ปรากฎว่า cos α=AG ในทำนองเดียวกัน sin α=CG
นอกจากนี้ เมื่อรู้ข้อมูลนี้แล้ว คุณสามารถกำหนดพิกัดของจุด C บนวงกลมได้ เนื่องจาก cos α=AG และ sin α=CG ซึ่งหมายความว่าจุด C มีพิกัดที่กำหนด (cos α;sin α) เมื่อรู้ว่าแทนเจนต์เท่ากับอัตราส่วนของไซน์ต่อโคไซน์ เราสามารถระบุได้ว่า tan α = y/x และ cot α = x/y เมื่อพิจารณามุมในระบบพิกัดลบ คุณสามารถคำนวณได้ว่าค่าไซน์และโคไซน์ของบางมุมอาจเป็นค่าลบได้
การคำนวณและสูตรพื้นฐาน
ค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ
เมื่อพิจารณาถึงแก่นแท้ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผ่านวงกลมหน่วยแล้ว เราสามารถหาค่าของฟังก์ชันเหล่านี้สำหรับบางมุมได้ ค่าต่างๆ แสดงอยู่ในตารางด้านล่าง
อัตลักษณ์ตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด
สมการที่มีค่าไม่ทราบค่าภายใต้เครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติเรียกว่าตรีโกณมิติ ข้อมูลประจำตัวที่มีค่า sin x = α, k - จำนวนเต็มใด ๆ:
- บาป x = 0, x = πk
- 2. บาป x = 1, x = π/2 + 2πk
- บาป x = -1, x = -π/2 + 2πk
- บาป x = ก, |ก| > 1 ไม่มีวิธีแก้ปัญหา
- บาป x = ก, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * อาร์คซิน α + πk
ข้อมูลประจำตัวที่มีค่า cos x = a โดยที่ k คือจำนวนเต็มใดๆ:
- cos x = 0, x = π/2 + πk
- cos x = 1, x = 2πk
- cos x = -1, x = π + 2πk
- cos x = ก, |a| > 1 ไม่มีวิธีแก้ปัญหา
- cos x = ก, |a| ≦ 1, x = ±อาร์คคอส α + 2πk
ข้อมูลประจำตัวที่มีค่า tg x = a โดยที่ k คือจำนวนเต็มใดๆ:
- สีแทน x = 0, x = π/2 + πk
- tan x = a, x = อาร์คแทน α + πk
ข้อมูลประจำตัวที่มีค่า ctg x = a โดยที่ k คือจำนวนเต็มใดๆ:
- เปล x = 0, x = π/2 + πk
- CTG x = A, x = ส่วนโค้ง α + πk
สูตรลด
สูตรคงที่ประเภทนี้หมายถึงวิธีการที่คุณสามารถย้ายจากฟังก์ชันตรีโกณมิติของรูปแบบไปยังฟังก์ชันของการโต้แย้งนั่นคือลดไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมของค่าใด ๆ ให้เป็นตัวบ่งชี้ที่สอดคล้องกันของมุมของ ช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศาเพื่อให้คำนวณได้ง่ายขึ้น
สูตรสำหรับการลดฟังก์ชันสำหรับไซน์ของมุมมีลักษณะดังนี้:
- บาป(900 - α) = α;
- บาป(900 + α) = cos α;
- บาป(1800 - α) = บาป α;
- บาป(1800 + α) = -sin α;
- บาป(2700 - α) = -cos α;
- บาป(2700 + α) = -cos α;
- บาป(3600 - α) = -บาป α;
- บาป(3600 + α) = บาป α
สำหรับโคไซน์ของมุม:
- cos(900 - α) = บาป α;
- cos(900 + α) = -sin α;
- cos(1800 - α) = -cos α;
- cos(1800 + α) = -cos α;
- cos(2700 - α) = -sin α;
- cos(2700 + α) = บาป α;
- cos(3600 - α) = cos α;
- cos(3600 + α) = cos α
การใช้สูตรข้างต้นสามารถทำได้ภายใต้กฎสองข้อ ขั้นแรก ถ้ามุมสามารถแสดงเป็นค่า (π/2 ± a) หรือ (3π/2 ± a) ค่าของฟังก์ชันจะเปลี่ยนไป:
- จากบาปถึงคอส;
- จากคอสถึงบาป
- จาก tg ถึง ctg;
- จาก ctg ถึง tg
ค่าของฟังก์ชันยังคงไม่เปลี่ยนแปลงหากมุมสามารถแสดงเป็น (π ± a) หรือ (2π ± a)
ประการที่สอง สัญญาณของฟังก์ชันที่ลดลงจะไม่เปลี่ยนแปลง: หากเป็นบวกในตอนแรก ก็ยังคงเป็นเช่นนั้น เช่นเดียวกับฟังก์ชันลบ
สูตรบวก
สูตรเหล่านี้แสดงค่าของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของผลรวมและผลต่างของมุมการหมุนสองมุมผ่านฟังก์ชันตรีโกณมิติ โดยทั่วไปมุมจะแสดงเป็น α และ β
สูตรมีลักษณะดังนี้:
- บาป(α ± β) = บาป α * cos β ± cos α * บาป
- cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin
- สีแทน(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β)
- ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β)
สูตรเหล่านี้ใช้ได้กับมุม α และ β ทุกมุม
สูตรมุมคู่และสามมุม
สูตรตรีโกณมิติมุมคู่และสามมุมเป็นสูตรที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันของมุม 2α และ 3α ตามลำดับ กับฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม α มาจากสูตรการบวก:
- sin2α = 2sinα*cosα
- cos2α = 1 - 2sin^2 α
- tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α)
- sin3α = 3sinα - 4sin^3 α
- cos3α = 4cos^3 α - 3cosα
- tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α)
การเปลี่ยนจากผลรวมเป็นผลิตภัณฑ์
เมื่อพิจารณาว่า 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y) ทำให้สูตรนี้ง่ายขึ้น เราจะได้เอกลักษณ์ sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2 ในทำนองเดียวกัน sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tanα + tanβ = บาป(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = บาป(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α)
การเปลี่ยนจากผลิตภัณฑ์ไปสู่ผลรวม
สูตรเหล่านี้ตามมาจากเอกลักษณ์ของการเปลี่ยนผลรวมเป็นผลิตภัณฑ์:
- บาปα * บาปβ = 1/2*;
- cosα * cosβ = 1/2*;
- sinα * cosβ = 1/2*
สูตรลดระดับ
ในอัตลักษณ์เหล่านี้ กำลังสองและลูกบาศก์ของไซน์และโคไซน์สามารถแสดงในรูปของไซน์และโคไซน์ของกำลังแรกของหลายมุมได้:
- บาป^2 α = (1 - cos2α)/2;
- cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
- บาป^3 α = (3 * บาปα - sin3α)/4;
- cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
- บาป^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
- cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8
การทดแทนสากล
สูตรสำหรับการทดแทนตรีโกณมิติสากลจะแสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติในรูปของแทนเจนต์ของครึ่งมุม
- บาป x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2) โดยที่ x = π + 2πn;
- cos x = (1 - ตาล^2 x/2) / (1 + ตาล^2 x/2) โดยที่ x = π + 2πn;
- tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2) โดยที่ x = π + 2πn;
- เปล x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2) โดยที่ x = π + 2πn
กรณีพิเศษ
กรณีพิเศษของโปรโตซัว สมการตรีโกณมิติให้ไว้ด้านล่าง (k คือจำนวนเต็มใดๆ)
ผลหารของไซน์:
| ค่าซิน x | ค่า x |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π/2 + 2πk |
| -1 | -π/2 + 2πk |
| 1/2 | π/6 + 2πk หรือ 5π/6 + 2πk |
| -1/2 | -π/6 + 2πk หรือ -5π/6 + 2πk |
| √2/2 | π/4 + 2πk หรือ 3π/4 + 2πk |
| -√2/2 | -π/4 + 2πk หรือ -3π/4 + 2πk |
| √3/2 | π/3 + 2πk หรือ 2π/3 + 2πk |
| -√3/2 | -π/3 + 2πk หรือ -2π/3 + 2πk |
ผลหารของโคไซน์:
| ค่าคอส x | ค่า x |
|---|---|
| 0 | π/2 + 2πk |
| 1 | 2πk |
| -1 | 2 + 2πk |
| 1/2 | ±π/3 + 2πk |
| -1/2 | ±2π/3 + 2πk |
| √2/2 | ±π/4 + 2πk |
| -√2/2 | ±3π/4 + 2πk |
| √3/2 | ±π/6 + 2πk |
| -√3/2 | ±5π/6 + 2πk |
ผลหารสำหรับแทนเจนต์:
| ค่า tg x | ค่า x |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3/3 | π/6 + πk |
| -√3/3 | -π/6 + πk |
| √3 | π/3 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
ผลหารสำหรับโคแทนเจนต์:
| ค่า CTG x | ค่า x |
|---|---|
| 0 | π/2 + πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3 | π/6 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
| √3/3 | π/3 + πk |
| -√3/3 | -π/3 + πk |
ทฤษฎีบท
ทฤษฎีบทของไซน์
ทฤษฎีบทมีสองเวอร์ชัน - แบบง่ายและแบบขยาย ทฤษฎีบทง่ายๆไซน์: a/sin α = b/sin β = c/sin γ ในกรณีนี้ a, b, c คือด้านของสามเหลี่ยม และ α, β, γ เป็นมุมที่ตรงกันข้าม ตามลำดับ
ทฤษฎีบทไซน์แบบขยายสำหรับสามเหลี่ยมใดๆ ก็ตาม: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R ในอัตลักษณ์นี้ R หมายถึงรัศมีของวงกลมที่สามเหลี่ยมที่กำหนดถูกจารึกไว้
ทฤษฎีบทโคไซน์
ข้อมูลระบุตัวตนจะแสดงดังนี้: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α ในสูตร a, b, c คือด้านของสามเหลี่ยม และ α คือมุมที่อยู่ตรงข้ามกับด้าน a
ทฤษฎีบทแทนเจนต์
สูตรนี้เป็นการแสดงออกถึงความสัมพันธ์ระหว่างแทนเจนต์ของมุมสองมุมกับความยาวของด้านที่อยู่ตรงข้ามกัน ด้านข้างมีป้ายกำกับว่า a, b, c และมุมตรงข้ามที่ตรงกันคือ α, β, γ สูตรของทฤษฎีบทแทนเจนต์: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2)
ทฤษฎีบทโคแทนเจนต์
เชื่อมต่อรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมกับความยาวของด้าน ถ้า a, b, c เป็นด้านของรูปสามเหลี่ยม และ A, B, C ตามลำดับ เป็นมุมที่อยู่ตรงข้ามกัน r คือรัศมีของวงกลมที่เขียนไว้ และ p คือกึ่งเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม ดังนี้ ข้อมูลประจำตัวถูกต้อง:
- เปล A/2 = (p-a)/r;
- เปล B/2 = (p-b)/r;
- เปล C/2 = (p-c)/r
แอปพลิเคชัน
ตรีโกณมิติไม่ได้เป็นเพียงวิทยาศาสตร์เชิงทฤษฎีที่เกี่ยวข้องกับสูตรทางคณิตศาสตร์เท่านั้น คุณสมบัติ ทฤษฎีบท และกฎเกณฑ์ต่างๆ ถูกนำมาใช้ในทางปฏิบัติในอุตสาหกรรมต่างๆ กิจกรรมของมนุษย์— ดาราศาสตร์ การนำทางทางอากาศและทางทะเล ทฤษฎีดนตรี ธรณีวิทยา เคมี เสียง ทัศนศาสตร์ อิเล็กทรอนิกส์ สถาปัตยกรรม เศรษฐศาสตร์ วิศวกรรมเครื่องกล งานวัด คอมพิวเตอร์กราฟิก การทำแผนที่ สมุทรศาสตร์ และอื่นๆ อีกมากมาย
ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์เป็นแนวคิดพื้นฐานของตรีโกณมิติ ซึ่งเราสามารถแสดงความสัมพันธ์ระหว่างมุมและความยาวของด้านในรูปสามเหลี่ยมในทางคณิตศาสตร์ และค้นหาปริมาณที่ต้องการผ่านอัตลักษณ์ ทฤษฎีบท และกฎต่างๆ
ตรีโกณมิติเป็นสาขาหนึ่งของวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ที่ศึกษาฟังก์ชันตรีโกณมิติและการใช้ในเรขาคณิต การพัฒนาตรีโกณมิติเริ่มขึ้นในสมัยกรีกโบราณ ในช่วงยุคกลาง นักวิทยาศาสตร์จากตะวันออกกลางและอินเดียมีส่วนสำคัญในการพัฒนาวิทยาศาสตร์นี้
บทความนี้มีไว้เพื่อ แนวคิดพื้นฐานและคำจำกัดความของตรีโกณมิติ โดยจะกล่าวถึงคำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน ได้แก่ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ ความหมายของพวกเขาได้รับการอธิบายและแสดงไว้ในบริบทของเรขาคณิต
ในตอนแรก คำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่มีการโต้แย้งเป็นมุมจะแสดงเป็นอัตราส่วนของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก
คำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ไซน์ของมุม (sin α) คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ตรงข้ามมุมนี้ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก
โคไซน์ของมุม (cos α) - อัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก
แทนเจนต์มุม (t g α) - อัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านที่อยู่ติดกัน
โคแทนเจนต์มุม (c t g α) - อัตราส่วนของด้านที่อยู่ติดกันกับด้านตรงข้าม
คำจำกัดความเหล่านี้มีไว้เพื่อ มุมแหลมสามเหลี่ยมมุมฉาก!
เรามายกตัวอย่างกัน
ในรูปสามเหลี่ยม ABC ที่มีมุมฉาก C ไซน์ของมุม A เท่ากับอัตราส่วนของขา BC ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก AB
คำจำกัดความของไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ช่วยให้คุณสามารถคำนวณค่าของฟังก์ชันเหล่านี้จากความยาวที่ทราบของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม
สิ่งสำคัญที่ต้องจำ!
ช่วงของค่าของไซน์และโคไซน์คือตั้งแต่ -1 ถึง 1 กล่าวอีกนัยหนึ่งไซน์และโคไซน์รับค่าตั้งแต่ -1 ถึง 1 ช่วงของค่าของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์คือเส้นจำนวนทั้งหมด นั่นคือฟังก์ชันเหล่านี้สามารถรับค่าใดๆ ก็ได้
คำจำกัดความที่ให้ไว้ข้างต้นใช้กับมุมแหลม ในวิชาตรีโกณมิติ มีการใช้แนวคิดเรื่องมุมการหมุน ซึ่งต่างจากมุมเฉียบพลัน ซึ่งไม่จำกัดอยู่ที่ 0 ถึง 90 องศา มุมการหมุนในหน่วยองศาหรือเรเดียนจะแสดงด้วยจำนวนจริงตั้งแต่ - ∞ ถึง + ∞ .
ในบริบทนี้ เราสามารถนิยามไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมขนาดใดก็ได้ ลองจินตนาการถึงวงกลมหนึ่งหน่วยที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดของระบบพิกัดคาร์ทีเซียน
จุดเริ่มต้น A ที่มีพิกัด (1, 0) หมุนรอบจุดศูนย์กลางของวงกลมหน่วยผ่านมุมที่กำหนด α และไปที่จุด A 1 คำจำกัดความได้รับในแง่ของพิกัดของจุด A 1 (x, y)
ไซน์ (บาป) ของมุมการหมุน
ไซน์ของมุมการหมุน α คือพิกัดของจุด A 1 (x, y) บาป α = y
โคไซน์ (cos) ของมุมการหมุน
โคไซน์ของมุมการหมุน α คือค่าแอบซิสซาของจุด A 1 (x, y) คอส α = x
แทนเจนต์ (tg) ของมุมการหมุน
แทนเจนต์ของมุมการหมุน α คืออัตราส่วนของพิกัดของจุด A 1 (x, y) ต่อการตัดทอนของมัน เสื้อ ก α = y x
โคแทนเจนต์ (ctg) ของมุมการหมุน
โคแทนเจนต์ของมุมการหมุน α คืออัตราส่วนของ abscissa ของจุด A 1 (x, y) ต่อพิกัด c t g α = x y
ไซน์และโคไซน์ถูกกำหนดไว้สำหรับมุมการหมุนใดๆ นี่เป็นตรรกะ เนื่องจากสามารถกำหนดจุดหักมุมและพิกัดของจุดหลังการหมุนได้ทุกมุม สถานการณ์แตกต่างกับแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ แทนเจนต์ไม่ได้ถูกกำหนดไว้เมื่อจุดหลังการหมุนไปยังจุดที่มีจุดหักมุมเป็นศูนย์ (0, 1) และ (0, - 1) ในกรณีเช่นนี้ นิพจน์สำหรับแทนเจนต์ t g α = y x นั้นไม่สมเหตุสมผล เนื่องจากประกอบด้วยการหารด้วยศูนย์ สถานการณ์คล้ายกับโคแทนเจนต์ ข้อแตกต่างก็คือโคแทนเจนต์ไม่ได้ถูกกำหนดไว้ในกรณีที่พิกัดของจุดไปที่ศูนย์
สิ่งสำคัญที่ต้องจำ!
ไซน์และโคไซน์ถูกกำหนดไว้สำหรับมุมใดๆ α
แทนเจนต์ถูกกำหนดไว้สำหรับทุกมุม ยกเว้น α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)
โคแทนเจนต์ถูกกำหนดไว้สำหรับทุกมุม ยกเว้น α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)
เมื่อตัดสินใจ ตัวอย่างการปฏิบัติอย่าพูดว่า "ไซน์ของมุมการหมุน α" คำว่า "มุมการหมุน" ถูกตัดออกไป หมายความว่าสิ่งที่กำลังพูดคุยกันนั้นชัดเจนอยู่แล้วจากบริบท
ตัวเลข
แล้วคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของตัวเลข ไม่ใช่มุมการหมุนล่ะ?
ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ของจำนวน
ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของจำนวน ทีคือจำนวนที่เท่ากับไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ตามลำดับ ทีเรเดียน.
ตัวอย่างเช่น ไซน์ของเลข 10 π เท่ากับไซน์ของมุมการหมุนของ 10 π rad
มีอีกวิธีหนึ่งในการกำหนดไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของตัวเลข เรามาดูกันดีกว่า
ใครก็ได้ จำนวนจริง ทีจุดบนวงกลมหน่วยสัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิดของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ถูกกำหนดผ่านพิกัดของจุดนี้
จุดเริ่มต้นบนวงกลมคือจุด A ที่มีพิกัด (1, 0)
จำนวนบวก ที
จำนวนลบ ทีสอดคล้องกับจุดที่จุดเริ่มต้นจะไปถ้ามันเคลื่อนที่รอบวงกลมทวนเข็มนาฬิกาและผ่านเส้นทาง t
ตอนนี้ความสัมพันธ์ระหว่างตัวเลขกับจุดบนวงกลมได้ถูกสร้างขึ้นแล้ว เราจะมาดูคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์
ไซน์ (บาป) ของ t
ไซน์ของจำนวน ที- พิกัดของจุดบนวงกลมหน่วยที่สอดคล้องกับตัวเลข ที บาป t = y
โคไซน์ (cos) ของ t
โคไซน์ของจำนวน ที- การแยกจุดของวงกลมหน่วยที่สอดคล้องกับตัวเลข ที เพราะ เสื้อ = x
แทนเจนต์ (tg) ของ t
แทนเจนต์ของตัวเลข ที- อัตราส่วนของพิกัดต่อจุดขาดของจุดบนวงกลมหน่วยที่สอดคล้องกับตัวเลข ที t g t = y x = sin t เพราะ t
คำจำกัดความล่าสุดเป็นไปตามและไม่ขัดแย้งกับคำจำกัดความที่ให้ไว้ตอนต้นของย่อหน้านี้ ชี้ไปที่วงกลมที่ตรงกับตัวเลข ทีเกิดขึ้นพร้อมกับจุดที่จุดเริ่มต้นไปหลังจากเลี้ยวเป็นมุม ทีเรเดียน.
ฟังก์ชันตรีโกณมิติของอาร์กิวเมนต์เชิงมุมและตัวเลข
แต่ละค่าของมุม α สอดคล้องกับค่าหนึ่งของไซน์และโคไซน์ของมุมนี้ เช่นเดียวกับทุกมุม α นอกเหนือจาก α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) สอดคล้องกับค่าแทนเจนต์ที่แน่นอน โคแทนเจนต์ตามที่ระบุไว้ข้างต้น ถูกกำหนดให้กับ α ทั้งหมด ยกเว้น α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)
เราสามารถพูดได้ว่า sin α, cos α, t g α, c t g α เป็นฟังก์ชันของมุมอัลฟา หรือฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์เชิงมุม
ในทำนองเดียวกัน เราสามารถพูดถึงไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ที่เป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์เชิงตัวเลขได้ ทุกจำนวนจริง ทีสอดคล้องกับค่าหนึ่งของไซน์หรือโคไซน์ของตัวเลข ที- จำนวนทั้งหมดที่ไม่ใช่ π 2 + π · k, k ∈ Z สอดคล้องกับค่าแทนเจนต์ โคแทนเจนต์ในทำนองเดียวกันถูกกำหนดไว้สำหรับตัวเลขทั้งหมด ยกเว้น π · k, k ∈ Z
ฟังก์ชันพื้นฐานของตรีโกณมิติ
ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน
โดยปกติแล้วจะชัดเจนจากบริบทว่าเรากำลังเผชิญกับอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติใด (อาร์กิวเมนต์เชิงมุมหรืออาร์กิวเมนต์ตัวเลข)
กลับไปที่คำจำกัดความที่ให้ไว้ที่จุดเริ่มต้นและมุมอัลฟ่าซึ่งอยู่ในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศา คำจำกัดความตรีโกณมิติไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์มีความสอดคล้องอย่างสมบูรณ์กับคำจำกัดความทางเรขาคณิตที่กำหนดโดยใช้อัตราส่วนของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มาแสดงกันเถอะ
ลองใช้วงกลมหน่วยที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม ลองหมุนจุดเริ่มต้น A (1, 0) เป็นมุมสูงถึง 90 องศาแล้ววาดตั้งฉากกับแกน abscissa จากจุดผลลัพธ์ A 1 (x, y) ในสามเหลี่ยมมุมฉากที่เกิดขึ้น มุม A 1 O H เท่ากับมุมการหมุน α ความยาวของขา O H เท่ากับ abscissa ของจุด A 1 (x, y) ความยาวของขาที่อยู่ตรงข้ามมุมจะเท่ากับพิกัดของจุด A 1 (x, y) และความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับ 1 เนื่องจากเป็นรัศมีของวงกลมหนึ่งหน่วย
ตามคำนิยามจากเรขาคณิต ไซน์ของมุม α เท่ากับอัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก
บาป α = A 1 H O A 1 = y 1 = y
ซึ่งหมายความว่าการหาไซน์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากผ่านอัตราส่วนกว้างยาวจะเทียบเท่ากับการหาไซน์ของมุมการหมุน α โดยที่อัลฟาอยู่ในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศา
ในทำนองเดียวกัน ความสอดคล้องของคำจำกัดความสามารถแสดงสำหรับโคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ได้
หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter
ฉันคิดว่าคุณสมควรได้รับมากกว่านี้ นี่คือกุญแจสำคัญของฉันในวิชาตรีโกณมิติ:
- วาดโดม ผนัง และเพดาน
- ฟังก์ชันตรีโกณมิติไม่มีอะไรมากไปกว่าเปอร์เซ็นต์ของทั้งสามรูปแบบนี้
คำอุปมาของไซน์และโคไซน์: โดม
แทนที่จะมองแค่รูปสามเหลี่ยม ลองจินตนาการถึงรูปสามเหลี่ยมโดยการค้นหาตัวอย่างในชีวิตจริงที่เฉพาะเจาะจง
ลองนึกภาพคุณอยู่กลางโดมและต้องการแขวนจอโปรเจ็กเตอร์ภาพยนตร์ คุณชี้นิ้วของคุณไปที่โดมในมุมหนึ่ง “x” และหน้าจอควรถูกระงับจากจุดนี้
มุมที่คุณชี้จะกำหนด:
- sine(x) = sin(x) = ความสูงของหน้าจอ (จากพื้นถึงจุดยึดโดม)
- cosine(x) = cos(x) = ระยะทางจากคุณถึงหน้าจอ (ตามชั้น)
- ด้านตรงข้ามมุมฉาก ระยะห่างจากคุณถึงด้านบนของหน้าจอ จะเท่ากันเสมอ เท่ากับรัศมีของโดม
คุณต้องการให้หน้าจอมีขนาดใหญ่ที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้หรือไม่? แขวนไว้เหนือคุณโดยตรง
คุณต้องการให้หน้าจอแขวนกว้างที่สุดหรือไม่? ระยะทางไกลจากคุณ? แขวนให้ตรงตั้งฉาก หน้าจอจะมีความสูงเป็นศูนย์ในตำแหน่งนี้และจะแขวนให้ไกลที่สุดตามที่คุณถาม
ความสูงและระยะห่างจากหน้าจอจะแปรผกผัน: ยิ่งหน้าจอแขวนไว้มากเท่าไร ความสูงก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น
ไซน์และโคไซน์เป็นเปอร์เซ็นต์
อนิจจาไม่มีใครอธิบายให้ฉันฟังในช่วงปีที่ฉันศึกษาว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติไซน์และโคไซน์ไม่มีอะไรมากไปกว่าเปอร์เซ็นต์ ค่าของมันอยู่ในช่วงตั้งแต่ +100% ถึง 0 ถึง -100% หรือจากค่าสูงสุดที่เป็นบวกไปจนถึงศูนย์ถึงค่าสูงสุดที่เป็นค่าลบ
สมมติว่าฉันจ่ายภาษี 14 รูเบิล คุณไม่รู้ว่ามันมากแค่ไหน แต่ถ้าคุณบอกว่าฉันจ่ายภาษี 95% คุณจะเข้าใจว่าฉันแค่ถูกไล่ออก
ความสูงสัมบูรณ์ไม่ได้มีความหมายอะไรเลย แต่ถ้าค่าไซน์คือ 0.95 ฉันเข้าใจว่าทีวีแขวนเกือบอยู่บนโดมของคุณ ในไม่ช้า มันจะถึงความสูงสูงสุดที่กึ่งกลางโดม และจากนั้นก็เริ่มลดลงอีกครั้ง
เราจะคำนวณเปอร์เซ็นต์นี้ได้อย่างไร? ง่ายมาก: หารความสูงของหน้าจอปัจจุบันด้วยค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ (รัศมีของโดมหรือที่เรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก)
นั่นเป็นเหตุผลเราได้รับแจ้งว่า "โคไซน์ = ด้านตรงข้าม / ด้านตรงข้ามมุมฉาก" มันคือทั้งหมดที่เกี่ยวกับการได้รับความสนใจ! วิธีที่ดีที่สุดคือให้นิยามไซน์เป็น "เปอร์เซ็นต์ของความสูงปัจจุบันจากค่าสูงสุดที่เป็นไปได้" (ไซน์จะกลายเป็นลบหากมุมของคุณชี้ไปที่ "ใต้ดิน" โคไซน์จะกลายเป็นลบหากมุมชี้ไปที่จุดโดมด้านหลังคุณ)
มาทำให้การคำนวณง่ายขึ้นโดยสมมติว่าเราอยู่ที่ศูนย์กลางของวงกลมหนึ่งหน่วย (รัศมี = 1) เราข้ามการหารแล้วหาไซน์เท่ากับความสูงได้
วงกลมแต่ละวงโดยพื้นฐานแล้วจะเป็นวงกลมเดี่ยว ปรับขนาดขึ้นหรือลงตามขนาดที่ต้องการ ดังนั้นให้กำหนดการเชื่อมต่อวงกลมหนึ่งหน่วยแล้วนำผลลัพธ์ไปใช้กับขนาดวงกลมเฉพาะของคุณ
การทดลอง: ใช้มุมใดก็ได้แล้วดูว่าแสดงความสูงถึงความกว้างกี่เปอร์เซ็นต์:
กราฟการเติบโตของค่าไซน์ไม่ใช่แค่เส้นตรง 45 องศาแรกครอบคลุม 70% ของความสูง แต่ 10 องศาสุดท้าย (จาก 80° ถึง 90°) ครอบคลุมเพียง 2%
สิ่งนี้จะทำให้คุณเข้าใจได้ชัดเจนยิ่งขึ้น: หากคุณเดินเป็นวงกลม ที่ 0° คุณจะสูงขึ้นเกือบเป็นแนวตั้ง แต่เมื่อคุณเข้าใกล้ยอดโดม ความสูงจะเปลี่ยนไปน้อยลงเรื่อยๆ
แทนเจนต์และซีแคนต์ กำแพง
วันหนึ่งเพื่อนบ้านคนหนึ่งสร้างกำแพง อยู่ติดกันไปที่โดมของคุณ ร้องไห้วิวจากหน้าต่างและราคาดีสำหรับขายต่อ!
แต่เป็นไปได้ไหมที่จะชนะในสถานการณ์นี้?
แน่นอนใช่ จะเป็นอย่างไรถ้าเราแขวนจอภาพยนตร์ไว้บนผนังเพื่อนบ้าน? คุณกำหนดเป้าหมายมุม (x) และรับ:
- tan(x) = tan(x) = ความสูงของหน้าจอบนผนัง
- ระยะห่างจากคุณถึงผนัง: 1 (นี่คือรัศมีของโดมของคุณ กำแพงไม่ขยับไปไหนจากคุณใช่ไหม?)
- secant(x) = sec(x) = “ความยาวของบันได” จากคุณยืนอยู่ตรงกลางโดมจนถึงด้านบนของฉากกั้นที่แขวนอยู่
มาอธิบายประเด็นสองสามข้อเกี่ยวกับแทนเจนต์หรือความสูงของหน้าจอกันดีกว่า
- มันเริ่มต้นที่ 0 และสามารถไปสูงอย่างไม่สิ้นสุด คุณสามารถยืดหน้าจอบนผนังให้สูงขึ้นเรื่อยๆ เพื่อสร้างผืนผ้าใบที่ไม่มีที่สิ้นสุดสำหรับการชมภาพยนตร์เรื่องโปรดของคุณ! (แน่นอนว่าคุณจะต้องใช้เงินเป็นจำนวนมากสำหรับสิ่งที่ยิ่งใหญ่เช่นนี้)
- แทนเจนต์เป็นเพียงเวอร์ชันที่ใหญ่กว่าของไซน์! และในขณะที่ไซน์ที่เพิ่มขึ้นช้าลงเมื่อคุณเคลื่อนที่ขึ้นไปบนโดม แทนเจนต์ก็ยังคงเติบโตต่อไป!
Sekansu ยังมีบางสิ่งที่จะคุยโวเกี่ยวกับ:
- เซสชั่นเริ่มต้นจาก 1 (บันไดอยู่บนพื้น จากคุณถึงผนัง) และเริ่มไต่ขึ้นจากที่นั่น
- เส้นตัดจะยาวกว่าเส้นสัมผัสกันเสมอ บันไดเอียงที่คุณใช้แขวนหน้าจอควรจะยาวกว่าตัวหน้าจอใช่ไหม? (ด้วยขนาดที่ไม่สมจริง เมื่อหน้าจอยาวมากและต้องวางบันไดเกือบในแนวตั้ง ขนาดของบันไดก็จะเกือบจะเท่ากัน แต่ถึงอย่างนั้น secant ก็จะยาวกว่าเล็กน้อย)
จำไว้ว่าค่านิยมคือ เปอร์เซ็นต์- หากคุณตัดสินใจแขวนหน้าจอเป็นมุม 50 องศา สีแทน (50)=1.19 หน้าจอของคุณใหญ่กว่าระยะห่างจากผนังถึง 19% (รัศมีโดม)
(ป้อน x=0 และตรวจสอบสัญชาตญาณของคุณ - tan(0) = 0 และวินาที(0) = 1.)
โคแทนเจนต์และโคซีแคนต์ เพดาน
น่าเหลือเชื่อที่เพื่อนบ้านของคุณตัดสินใจสร้างหลังคาเหนือโดมของคุณแล้ว (เขาเป็นอะไรไป? เห็นได้ชัดว่าเขาไม่อยากให้คุณสอดแนมเขาในขณะที่เขาเปลือยกายเดินเล่นในสวน...)
ถึงเวลาสร้างทางออกสู่หลังคาแล้วคุยกับเพื่อนบ้านของคุณ คุณเลือกมุมเอียงและเริ่มการก่อสร้าง:
- ระยะห่างแนวตั้งระหว่างทางออกหลังคาถึงพื้นคือ 1 เสมอ (รัศมีของโดม)
- cotangent(x) = cot(x) = ระยะห่างระหว่างยอดโดมถึงจุดทางออก
- cosecant(x) = csc(x) = ความยาวของเส้นทางสู่หลังคา
Tangent และ secant อธิบายผนัง และ COtangent และ COsecant อธิบายเพดาน
ข้อสรุปตามสัญชาตญาณของเราในครั้งนี้คล้ายกับข้อสรุปก่อนหน้านี้:
- หากคุณทำมุมเท่ากับ 0° การออกไปสู่หลังคาจะคงอยู่ตลอดไป เนื่องจากไม่มีทางไปถึงเพดาน ปัญหา.
- คุณจะได้ "บันได" ที่สั้นที่สุดถึงหลังคาหากคุณสร้างมันที่มุม 90 องศากับพื้น โคแทนเจนต์จะเท่ากับ 0 (เราไม่ได้เคลื่อนที่ไปตามหลังคาเลย เราออกในแนวตั้งฉากอย่างเคร่งครัด) และโคซีแคนต์จะเท่ากับ 1 (“ความยาวของบันได” จะน้อยที่สุด)
เห็นภาพการเชื่อมต่อ
หากทั้งสามกรณีถูกวาดในลักษณะรวมโดม-ผนัง-เพดาน ผลลัพธ์ที่ได้จะตามมาดังนี้:
ก็ยังเป็นรูปสามเหลี่ยมเหมือนเดิม เพิ่มขนาดให้ถึงผนังและเพดาน เรามีด้านแนวตั้ง (ไซน์, แทนเจนต์), ด้านแนวนอน (โคไซน์, โคแทนเจนต์) และ "ด้านตรงข้ามมุมฉาก" (ซีแคนต์, โคซีแคนต์) (ตามลูกศร คุณจะเห็นว่าแต่ละองค์ประกอบไปถึงจุดใด โคซีแคนต์คือระยะทางรวมจากคุณถึงหลังคา)
เวทมนตร์เล็กน้อย สามเหลี่ยมทั้งหมดมีความเท่าเทียมกันเท่ากัน:
จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส (a 2 + b 2 = c 2) เราจะเห็นว่าด้านของสามเหลี่ยมแต่ละรูปเชื่อมโยงกันอย่างไร นอกจากนี้ อัตราส่วน "ความสูงต่อความกว้าง" ควรเหมือนกันสำหรับสามเหลี่ยมทั้งหมดด้วย (เพียงย้ายจากสามเหลี่ยมที่ใหญ่ที่สุดไปยังสามเหลี่ยมที่เล็กกว่า ใช่ขนาดเปลี่ยนไป แต่สัดส่วนของด้านข้างจะยังคงเท่าเดิม)
เมื่อรู้ว่าด้านใดในแต่ละสามเหลี่ยมเท่ากับ 1 (รัศมีของโดม) เราก็สามารถคำนวณได้อย่างง่ายดายว่า “sin/cos = tan/1”
ฉันพยายามจดจำข้อเท็จจริงเหล่านี้มาโดยตลอดผ่านการแสดงภาพข้อมูลแบบง่ายๆ ในภาพคุณเห็นการพึ่งพาเหล่านี้อย่างชัดเจนและเข้าใจว่ามันมาจากไหน เทคนิคนี้ดีกว่าการจำสูตรแห้งมาก
อย่าลืมเกี่ยวกับมุมอื่นๆ
โปรดอย่าติดอยู่บนกราฟเดียว โดยคิดว่าแทนเจนต์จะน้อยกว่า 1 เสมอ หากคุณเพิ่มมุม คุณสามารถไปถึงเพดานได้โดยไม่ต้องถึงผนัง:
การเชื่อมต่อแบบพีทาโกรัสใช้ได้ผลเสมอ แต่ขนาดสัมพัทธ์อาจแตกต่างกันไป
(คุณอาจสังเกตเห็นว่าอัตราส่วนไซน์และโคไซน์จะเล็กที่สุดเสมอเนื่องจากอยู่ภายในโดม)
สรุป: เราต้องจำอะไร?
สำหรับพวกเราส่วนใหญ่ ฉันว่าแค่นี้ก็เพียงพอแล้ว:
- ตรีโกณมิติอธิบายกายวิภาคของวัตถุทางคณิตศาสตร์ เช่น วงกลมและช่วงการทำซ้ำ
- การเปรียบเทียบโดม/ผนัง/หลังคาแสดงความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติต่างๆ
- ฟังก์ชันตรีโกณมิติให้ผลลัพธ์เป็นเปอร์เซ็นต์ ซึ่งเราใช้กับสคริปต์ของเรา
คุณไม่จำเป็นต้องจำสูตรเช่น 1 2 + cot 2 = csc 2 เหมาะสำหรับการทดสอบโง่ๆ ที่ถ่ายทอดความรู้เกี่ยวกับข้อเท็จจริงว่าเป็นความเข้าใจเท่านั้น ใช้เวลาสักครู่เพื่อวาดครึ่งวงกลมในรูปแบบของโดม ผนัง และหลังคา ตั้งชื่อองค์ประกอบต่างๆ แล้วสูตรทั้งหมดจะมาหาคุณบนกระดาษ
การประยุกต์ใช้: ฟังก์ชันผกผัน
ฟังก์ชันตรีโกณมิติใดๆ จะใช้มุมเป็นพารามิเตอร์อินพุตและส่งกลับผลลัพธ์เป็นเปอร์เซ็นต์ บาป(30) = 0.5 ซึ่งหมายความว่ามุม 30 องศาจะกินพื้นที่ 50% ของความสูงสูงสุด
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันเขียนเป็น sin -1 หรือ arcsin มันมักจะเขียนว่า asin ใน ภาษาต่างๆการเขียนโปรแกรม
ถ้าความสูงของเราเท่ากับ 25% ของความสูงของโดม มุมของเราจะเป็นเท่าใด
ในตารางสัดส่วนของเรา คุณจะพบอัตราส่วนโดยที่เส้นตัดถูกหารด้วย 1 ตัวอย่างเช่น เส้นตัดขวางด้วย 1 (ด้านตรงข้ามมุมฉากกับแนวนอน) จะเท่ากับ 1 หารด้วยโคไซน์:
สมมติว่าซีแคนต์ของเราคือ 3.5 นั่นคือ 350% ของรัศมีของวงกลมหนึ่งหน่วย ค่านี้สอดคล้องกับมุมเอียงกับผนังเท่าใด
ภาคผนวก: ตัวอย่างบางส่วน
ตัวอย่าง: ค้นหาไซน์ของมุม x
งานที่น่าเบื่อ มาทำให้ความซับซ้อนซ้ำซาก "ค้นหาไซน์" เป็น "ความสูงเป็นเปอร์เซ็นต์ของค่าสูงสุด (ด้านตรงข้ามมุมฉาก) คืออะไร"
ขั้นแรก ให้สังเกตว่าสามเหลี่ยมนั้นหมุนอยู่ ไม่มีอะไรผิดปกติกับที่ สามเหลี่ยมก็มีความสูงเช่นกัน โดยจะแสดงเป็นสีเขียวในรูป
ด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับอะไร? ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส เรารู้ว่า:
3 2 + 4 2 = ด้านตรงข้ามมุมฉาก 2 25 = ด้านตรงข้ามมุมฉาก 2 5 = ด้านตรงข้ามมุมฉาก
ดี! ไซน์คือเปอร์เซ็นต์ของความสูงจากด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยมหรือด้านตรงข้ามมุมฉาก ในตัวอย่างของเรา ไซน์คือ 3/5 หรือ 0.60
แน่นอนว่าเราสามารถไปได้หลายวิธี ตอนนี้เรารู้แล้วว่าไซน์คือ 0.60 เราก็หาอาร์คไซน์ได้:
เอซิน(0.6)=36.9
นี่เป็นอีกแนวทางหนึ่ง โปรดทราบว่ารูปสามเหลี่ยมนั้น "หันหน้าไปทางผนัง" ดังนั้นเราจึงสามารถใช้แทนเจนต์แทนไซน์ได้ ความสูงคือ 3 ระยะห่างจากผนังคือ 4 ดังนั้นแทนเจนต์คือ 3/4 หรือ 75% เราสามารถใช้อาร์กแทนเจนต์เพื่อเปลี่ยนจากค่าเปอร์เซ็นต์กลับไปเป็นมุมได้:
ตัน = 3/4 = 0.75 ตัน(0.75) = 36.9 ตัวอย่าง: คุณจะว่ายเข้าฝั่งไหม?
คุณอยู่ในเรือและมีเชื้อเพลิงเพียงพอสำหรับการเดินทาง 2 กม. ขณะนี้คุณอยู่ห่างจากชายฝั่ง 0.25 กม. คุณสามารถว่ายไปในมุมสูงสุดจากชายฝั่งได้เท่าใดเพื่อให้มีเชื้อเพลิงเพียงพอ? นอกเหนือจากคำชี้แจงปัญหา: เรามีเพียงตารางค่าอาร์คโคไซน์เท่านั้น
เรามีอะไร? แนวชายฝั่งอาจแสดงเป็น "กำแพง" ในรูปสามเหลี่ยมอันโด่งดังของเรา และ "ความยาวของบันได" ที่ติดกับผนังคือระยะทางสูงสุดที่เรือจะแล่นถึงฝั่งได้ (2 กม.) ซีแคนต์ปรากฏขึ้น
ก่อนอื่นคุณต้องไปที่เปอร์เซ็นต์ เรามี 2 / 0.25 = 8 คือว่ายได้ระยะทาง 8 เท่าของระยะตรงถึงฝั่ง (หรือถึงกำแพง)
คำถามเกิดขึ้น: “ซีแคนต์ของ 8 คืออะไร” แต่เราไม่สามารถตอบได้ เนื่องจากเรามีเพียงส่วนโค้งโคไซน์เท่านั้น
เราใช้การพึ่งพาที่ได้รับมาก่อนหน้านี้เพื่อเชื่อมโยงซีแคนต์กับโคไซน์: “sec/1 = 1/cos”
เส้นตัดของ 8 เท่ากับโคไซน์ของ ⅛ มุมที่มีโคไซน์เป็น ⅛ เท่ากับ acos(1/8) = 82.8 และนี่คือมุมที่ใหญ่ที่สุดที่เราสามารถจ่ายได้บนเรือตามปริมาณเชื้อเพลิงที่ระบุ
ไม่เลวใช่มั้ย? หากไม่มีการเปรียบเทียบระหว่างโดมกับผนังและเพดาน ฉันคงหลงไปกับสูตรและการคำนวณมากมาย การแสดงภาพปัญหาทำให้การค้นหาวิธีแก้ปัญหาง่ายขึ้นมาก และยังน่าสนใจที่จะดูว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติใดจะช่วยได้ในที่สุด
สำหรับแต่ละปัญหา ให้คิดดังนี้: ฉันสนใจโดม (sin/cos) ผนัง (tan/วินาที) หรือเพดาน (เปล/csc) หรือไม่?
และตรีโกณมิติจะสนุกขึ้นมาก การคำนวณที่ง่ายสำหรับคุณ!
ตรีโกณมิติเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาฟังก์ชันตรีโกณมิติและการนำไปใช้จริง ฟังก์ชั่นดังกล่าวได้แก่ ไซนัส, โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์
ไซน์เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติอัตราส่วนของขนาดของขาตรงข้ามกับขนาดของด้านตรงข้ามมุมฉาก
ไซน์ในตรีโกณมิติ
ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น ไซน์เกี่ยวข้องโดยตรงกับฟังก์ชันตรีโกณมิติและตรีโกณมิติ ฟังก์ชั่นของมันถูกกำหนดโดย
- ช่วยคำนวณมุมโดยทราบขนาดของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม
- ช่วยคำนวณด้านของสามเหลี่ยม โดยรู้มุมนั้น
ต้องจำไว้ว่าค่าของไซน์จะเท่ากันเสมอสำหรับสามเหลี่ยมทุกขนาด เนื่องจากไซน์ไม่ใช่หน่วยวัด แต่เป็นอัตราส่วน
ดังนั้น เพื่อไม่ให้คำนวณค่าคงที่นี้สำหรับแต่ละวิธีแก้ปัญหาของปัญหาใดปัญหาหนึ่ง จึงได้สร้างตารางตรีโกณมิติพิเศษขึ้นมา ในนั้นค่าของไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ได้รับการคำนวณและแก้ไขแล้ว โดยปกติแล้วตารางเหล่านี้จะระบุไว้ในหนังสือเรียนเกี่ยวกับพีชคณิตและเรขาคณิต พวกเขายังสามารถพบได้บนอินเทอร์เน็ต
ไซน์ในเรขาคณิต
เรขาคณิตต้องการความชัดเจน ดังนั้น จึงจะเข้าใจในทางปฏิบัติ ไซน์ของมุมคืออะไรคุณต้องวาดรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมฉาก
ให้เราสมมติว่าด้านที่สร้างมุมฉากนั้นถูกตั้งชื่อ ก, ค,มุมตรงข้ามกับพวกเขา - เอ็กซ์.
โดยปกติแล้วงานจะระบุความยาวของด้าน เอาเป็นว่า ก=3, ข=4- ในกรณีนี้ อัตราส่วนภาพจะมีลักษณะเป็น 3/4 ยิ่งไปกว่านั้น หากคุณขยายด้านข้างของสามเหลี่ยมที่อยู่ติดกับมุมแหลมให้ยาวขึ้น เอ็กซ์แล้วด้านข้างก็จะเพิ่มขึ้น กและ วีและด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านที่สามของสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งไม่ได้ทำมุมฉากกับฐาน ตอนนี้สามารถเรียกด้านข้างของสามเหลี่ยมได้แตกต่างกันเช่น: ม, เอ็น, เค
ด้วยการปรับเปลี่ยนนี้ กฎตรีโกณมิติได้ผล: ความยาวของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมเปลี่ยนไป แต่อัตราส่วนกลับไม่เป็นเช่นนั้น
นักวิทยาศาสตร์โบราณตั้งข้อสังเกตว่าเมื่อความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมเปลี่ยนแปลงไปกี่ครั้งก็ได้และในขณะที่รักษาค่าของมุม x ไว้ อัตราส่วนระหว่างด้านของรูปสามเหลี่ยมจะยังคงไม่เปลี่ยนแปลง ในกรณีของเรา ความยาวของด้านสามารถเปลี่ยนแปลงได้ดังนี้: มี/ข = ¾เมื่อขยายด้านข้างให้ยาวขึ้น กสูงถึง 6 ซม. และ วี– สูงถึง 8 ซม. เราได้รับ: ม/น = 6/8 = 3/4.
อัตราส่วนกว้างยาวในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากจึงเรียกว่า:
- ไซน์ของมุม x คืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก: sinx = a/c;
- โคไซน์ของมุม x คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก: cosx = b/c;
- แทนเจนต์ของมุม x คืออัตราส่วนของขาตรงข้ามกับขาที่อยู่ติดกัน: tgx = a/b;
- โคแทนเจนต์ของมุม x คืออัตราส่วนของด้านประชิดต่อด้านตรงข้าม: ctgx = b/a
ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ของมุมคืออะไร จะช่วยให้คุณเข้าใจรูปสามเหลี่ยมมุมฉากได้
ด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากเรียกว่าอะไร? ถูกต้อง ด้านตรงข้ามมุมฉากและขา: ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉาก (ในตัวอย่างของเรา นี่คือด้าน \(AC\)); ขาคือสองด้านที่เหลือ \(AB\) และ \(BC\) (ที่อยู่ติดกัน มุมขวา) และถ้าเราพิจารณาขาที่สัมพันธ์กับมุม \(BC\) แล้วขา \(AB\) คือขาที่อยู่ติดกัน และขา \(BC\) จะอยู่ตรงกันข้าม ตอนนี้เรามาตอบคำถาม: ไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมคืออะไร?
ไซน์ของมุม– นี่คืออัตราส่วนของขาตรงข้าม (ระยะไกล) ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก
ในสามเหลี่ยมของเรา:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
โคไซน์ของมุม– นี่คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกัน (ปิด) ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก
ในสามเหลี่ยมของเรา:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
แทนเจนต์ของมุม– นี่คืออัตราส่วนของด้านตรงข้าม (ระยะไกล) ต่อด้านที่อยู่ติดกัน (ปิด)
ในสามเหลี่ยมของเรา:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
โคแทนเจนต์ของมุม– นี่คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกัน (ปิด) ต่อขาตรงข้าม (ไกล)
ในสามเหลี่ยมของเรา:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
คำจำกัดความเหล่านี้มีความจำเป็น จดจำ- เพื่อให้จำได้ง่ายขึ้นว่าขาไหนจะแบ่งเป็นขาไหนต้องเข้าใจให้ชัดเจนว่าขาไหน แทนเจนต์และ โคแทนเจนต์มีเพียงขาเท่านั้นที่อยู่ และด้านตรงข้ามมุมฉากจะปรากฏเฉพาะด้านในเท่านั้น ไซนัสและ โคไซน์- จากนั้นคุณก็จะสามารถสร้างสมาคมขึ้นมาได้ ตัวอย่างเช่นอันนี้:
โคไซน์→สัมผัส→สัมผัส→ที่อยู่ติดกัน
โคแทนเจนต์ → สัมผัส → สัมผัส → ที่อยู่ติดกัน
ก่อนอื่น คุณต้องจำไว้ว่าไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ เนื่องจากอัตราส่วนของด้านของรูปสามเหลี่ยมไม่ได้ขึ้นอยู่กับความยาวของด้านเหล่านี้ (ที่มุมเดียวกัน) ไม่เชื่อฉันเหรอ? จากนั้นตรวจสอบให้แน่ใจโดยดูภาพ:
ตัวอย่างเช่น พิจารณาโคไซน์ของมุม \(\beta \) ตามคำนิยาม จากรูปสามเหลี่ยม \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \)แต่เราสามารถคำนวณโคไซน์ของมุม \(\beta \) จากสามเหลี่ยม \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \)- คุณคงเห็นว่าความยาวของด้านต่างกัน แต่ค่าโคไซน์ของมุมหนึ่งจะเท่ากัน ดังนั้นค่าของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์จึงขึ้นอยู่กับขนาดของมุมเท่านั้น
หากคุณเข้าใจคำจำกัดความแล้ว ก็ไปรวบรวมมันได้เลย!
สำหรับสามเหลี่ยม \(ABC \) ที่แสดงในภาพด้านล่าง เราจะพบ \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(อาร์เรย์) \)
คุณได้รับมันหรือไม่? จากนั้นลองด้วยตัวเอง: คำนวณแบบเดียวกันสำหรับมุม \(\beta \)
คำตอบ: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
วงกลมหน่วย (ตรีโกณมิติ)
เมื่อเข้าใจแนวคิดเรื่ององศาและเรเดียน เราจึงพิจารณาวงกลมที่มีรัศมีเท่ากับ \(1\) วงกลมดังกล่าวเรียกว่า เดี่ยว- มันจะมีประโยชน์มากเมื่อเรียนตรีโกณมิติ ดังนั้นเรามาดูรายละเอียดเพิ่มเติมอีกเล็กน้อย
อย่างที่คุณเห็น วงกลมนี้สร้างขึ้นในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน รัศมีของวงกลมเท่ากับ 1 ในขณะที่ศูนย์กลางของวงกลมอยู่ที่จุดกำเนิดของพิกัด ตำแหน่งเริ่มต้นของเวกเตอร์รัศมีจะคงที่ตามทิศทางบวกของแกน \(x\) (ในตัวอย่างของเรา นี่ คือรัศมี \(AB\))
แต่ละจุดบนวงกลมสอดคล้องกับตัวเลขสองตัว: พิกัดตามแกน \(x\) และพิกัดตามแกน \(y\) หมายเลขพิกัดเหล่านี้คืออะไร? โดยทั่วไปแล้วพวกเขาต้องทำอะไรกับหัวข้อที่กำลังดำเนินอยู่? เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราต้องจำเกี่ยวกับสามเหลี่ยมมุมฉากที่พิจารณาไว้ ในรูปด้านบน คุณสามารถเห็นสามเหลี่ยมมุมฉากสองอัน พิจารณารูปสามเหลี่ยม \(ACG\) เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เนื่องจาก \(CG\) ตั้งฉากกับแกน \(x\)
\(\cos \ \alpha \) จากสามเหลี่ยม \(ACG \) คืออะไร? ถูกต้องแล้ว \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \)- นอกจากนี้ เรารู้ว่า \(AC\) คือรัศมีของวงกลมหนึ่งหน่วย ซึ่งหมายถึง \(AC=1\) ลองแทนค่านี้เป็นสูตรโคไซน์ของเรา นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้น:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
\(\sin \ \alpha \) จากสามเหลี่ยม \(ACG \) เท่ากับเท่าใด แน่นอน \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)- แทนค่ารัศมี \(AC\) ลงในสูตรนี้แล้วได้:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
แล้วคุณบอกได้ไหมว่าจุด \(C\) ของวงกลมมีพิกัดอะไร? ไม่มีทางเหรอ? จะเป็นอย่างไรถ้าคุณรู้ว่า \(\cos \ \alpha \) และ \(\sin \alpha \) เป็นเพียงตัวเลขล่ะ? \(\cos \alpha \) สอดคล้องกับพิกัดใด แน่นอนพิกัด \(x\)! และพิกัดใดที่ \(\sin \alpha \) สอดคล้องกับ? ใช่แล้ว ประสานงาน \(y\)! ดังนั้นประเด็น \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
แล้ว \(tg \alpha \) และ \(ctg \alpha \) เท่ากับอะไร? ถูกต้อง ลองใช้คำจำกัดความที่สอดคล้องกันของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์แล้วได้สิ่งนั้น \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), ก \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
เกิดอะไรขึ้นถ้ามุมมีขนาดใหญ่ขึ้น? ตัวอย่างเช่นในภาพนี้:
ในตัวอย่างนี้มีการเปลี่ยนแปลงอะไรบ้าง? ลองคิดดูสิ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้หมุนอีกครั้งเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : มุม (ซึ่งอยู่ติดกับมุม \(\beta \) ) ค่าของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมเป็นเท่าใด \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\เบต้า \ \)- ถูกต้อง เราปฏิบัติตามคำจำกัดความที่สอดคล้องกันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ:
\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(อาร์เรย์) \)
อย่างที่คุณเห็น ค่าของไซน์ของมุมยังคงสอดคล้องกับพิกัด \(y\) ; ค่าโคไซน์ของมุม - พิกัด \(x\) ; และค่าแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ตามอัตราส่วนที่สอดคล้องกัน ดังนั้น ความสัมพันธ์เหล่านี้จึงใช้ได้กับการหมุนของเวกเตอร์รัศมี
มีการกล่าวไปแล้วว่าตำแหน่งเริ่มต้นของเวกเตอร์รัศมีนั้นอยู่ในทิศทางบวกของแกน \(x\) จนถึงตอนนี้ เราได้หมุนเวกเตอร์นี้ทวนเข็มนาฬิกา แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราหมุนมันตามเข็มนาฬิกา? ไม่มีอะไรพิเศษ คุณจะได้มุมของค่าที่แน่นอนด้วย แต่มันจะเป็นเพียงลบเท่านั้น ดังนั้นเมื่อหมุนเวกเตอร์รัศมีทวนเข็มนาฬิกาเราจะได้ มุมบวกและเมื่อหมุนตามเข็มนาฬิกา – เชิงลบ.
เรารู้ว่าการหมุนรอบเวกเตอร์รัศมีรอบวงกลมทั้งหมดคือ \(360()^\circ \) หรือ \(2\pi \) เป็นไปได้ไหมที่จะหมุนเวกเตอร์รัศมีด้วย \(390()^\circ \) หรือโดย \(-1140()^\circ \) แน่นอนคุณทำได้! ในกรณีแรก \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \)ดังนั้น เวกเตอร์รัศมีจะทำการปฏิวัติเต็มหนึ่งครั้งและหยุดที่ตำแหน่ง \(30()^\circ \) หรือ \(\dfrac(\pi )(6) \)
ในกรณีที่สอง \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \)นั่นคือ เวกเตอร์รัศมีจะเลี้ยวครบสามรอบและหยุดที่ตำแหน่ง \(-60()^\circ \) หรือ \(-\dfrac(\pi )(3) \)
ดังนั้น จากตัวอย่างข้างต้น เราสามารถสรุปได้ว่ามุมที่แตกต่างกันโดย \(360()^\circ \cdot m \) หรือ \(2\pi \cdot m \) (โดยที่ \(m \) เป็นจำนวนเต็มใดๆ ) ตรงกับตำแหน่งเดียวกันของเวกเตอร์รัศมี
รูปด้านล่างแสดงมุม \(\beta =-60()^\circ \) ภาพเดียวกันตรงกับมุม \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)ฯลฯ รายการนี้สามารถดำเนินต่อไปได้อย่างไม่มีกำหนด มุมทั้งหมดนี้สามารถเขียนได้ด้วยสูตรทั่วไป \(\beta +360()^\circ \cdot m\)หรือ \(\beta +2\pi \cdot m \) (โดยที่ \(m \) เป็นจำนวนเต็มใดๆ)
\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(อาร์เรย์) \)
ตอนนี้เมื่อทราบคำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานและการใช้วงกลมหนึ่งหน่วยแล้ว ให้ลองตอบว่าค่าคืออะไร:
\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(อาร์เรย์) \)
ต่อไปนี้เป็นวงกลมหนึ่งหน่วยที่จะช่วยคุณ:
มีปัญหาใช่ไหม? ถ้าอย่างนั้นเราลองมาคิดกันดู ดังนั้นเราจึงรู้ว่า:
\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(อาร์เรย์)\)
จากที่นี่ เราจะกำหนดพิกัดของจุดที่สอดคล้องกับการวัดมุมที่แน่นอน มาเริ่มกันตามลำดับ: มุมเข้า \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)สอดคล้องกับจุดที่มีพิกัด \(\left(0;1 \right) \) ดังนั้น:
\(\บาป 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\ลูกศรขวา \text(tg)\ 90()^\circ \)- ไม่มีอยู่จริง;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
นอกจากนี้ การปฏิบัติตามตรรกะเดียวกัน เราพบว่ามุมเข้า \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )สอดคล้องกับจุดที่มีพิกัด \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \ขวา) \)ตามลำดับ เมื่อรู้สิ่งนี้แล้ว ง่ายต่อการกำหนดค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่จุดที่เกี่ยวข้อง ลองด้วยตัวเองก่อนแล้วตรวจสอบคำตอบ
คำตอบ:
\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0\)
\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\ลูกศรขวา \text(ctg)\ \pi \)- ไม่มีอยู่จริง
\(\sin \270()^\circ =-1\)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\ลูกศรขวา \text(tg)\ 270()^\circ \)- ไม่มีอยู่จริง
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \ 360()^\circ =0 \)
\(\cos \360()^\circ =1\)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\ลูกศรขวา \text(ctg)\ 2\pi \)- ไม่มีอยู่จริง
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\ลูกศรขวา \text(tg)\ 450()^\circ \)- ไม่มีอยู่จริง
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
ดังนั้นเราจึงสามารถสร้างตารางได้ดังนี้:
ไม่จำเป็นต้องจำค่าเหล่านี้ทั้งหมด ก็เพียงพอที่จะจำความสอดคล้องระหว่างพิกัดของจุดบนวงกลมหน่วยและค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ:
\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(คุณต้องจำไว้หรือจะเอาท์พุตออกมาได้!! \) !}
แต่ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมในและ \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\)ตามตารางด้านล่าง คุณต้องจำไว้ว่า:
อย่ากลัวไป ตอนนี้เราจะแสดงตัวอย่างหนึ่งของการจำค่าที่สอดคล้องกันอย่างง่ายๆ:
หากต้องการใช้วิธีนี้ จำเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องจำค่าไซน์สำหรับการวัดมุมทั้งสาม ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)) เช่นเดียวกับค่าแทนเจนต์ของมุมใน \(30()^\circ \) เมื่อทราบค่า \(4\) เหล่านี้แล้ว การเรียกคืนทั้งตารางจึงค่อนข้างง่าย - ค่าโคไซน์จะถูกถ่ายโอนตามลูกศร นั่นคือ:
\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(อาร์เรย์) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \)เมื่อทราบสิ่งนี้แล้ว คุณก็สามารถคืนค่าให้กับ \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \)- ตัวเศษ "\(1 \)" จะสอดคล้องกับ \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) และตัวส่วน "\(\sqrt(\text(3)) \)" จะสอดคล้องกับ \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . ค่าโคแทนเจนต์จะถูกถ่ายโอนตามลูกศรที่ระบุในรูป หากคุณเข้าใจสิ่งนี้และจำไดอะแกรมที่มีลูกศรได้ก็เพียงพอที่จะจำเฉพาะค่า \(4\) จากตารางเท่านั้น
พิกัดของจุดบนวงกลม
เป็นไปได้หรือไม่ที่จะหาจุด (พิกัดของมัน) บนวงกลม โดยรู้พิกัดของศูนย์กลางของวงกลม รัศมี และมุมการหมุนของมัน? แน่นอนคุณทำได้! เอาล่ะออกไปกันเถอะ สูตรทั่วไปเพื่อค้นหาพิกัดของจุด ตัวอย่างเช่น นี่คือวงกลมที่อยู่ข้างหน้าเรา:
เราได้รับจุดนั้นแล้ว \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- ศูนย์กลางของวงกลม รัศมีของวงกลมคือ \(1.5\) จำเป็นต้องค้นหาพิกัดของจุด \(P\) ที่ได้จากการหมุนจุด \(O\) ไปเป็น \(\delta \) องศา
ดังที่เห็นได้จากรูป พิกัด \(x\) ของจุด \(P\) สอดคล้องกับความยาวของเซ็กเมนต์ \(TP=UQ=UK+KQ\) ความยาวของส่วน \(UK\) สอดคล้องกับพิกัด \(x\) ของจุดศูนย์กลางของวงกลม ซึ่งก็คือ มันเท่ากับ \(3\) ความยาวของเซ็กเมนต์ \(KQ\) สามารถแสดงได้โดยใช้คำจำกัดความของโคไซน์:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\ลูกศรขวา KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
จากนั้นเราก็ได้สิ่งนั้นสำหรับจุด \(P\) พิกัด \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).
เมื่อใช้ตรรกะเดียวกัน เราจะค้นหาค่าของพิกัด y สำหรับจุด \(P\) ดังนั้น,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).
ดังนั้นใน มุมมองทั่วไปพิกัดของจุดถูกกำหนดโดยสูตร:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \เดลต้า \end(อาร์เรย์) \), ที่ไหน
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - พิกัดของจุดศูนย์กลางของวงกลม
\(r\) - รัศมีของวงกลม
\(\delta \) - มุมการหมุนของรัศมีเวกเตอร์
อย่างที่คุณเห็น สำหรับวงกลมหน่วยที่เรากำลังพิจารณา สูตรเหล่านี้ลดลงอย่างมาก เนื่องจากพิกัดของจุดศูนย์กลางเท่ากับศูนย์และรัศมีเท่ากับ 1:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)
Javascript ถูกปิดใช้งานในเบราว์เซอร์ของคุณหากต้องการคำนวณ คุณต้องเปิดใช้งานตัวควบคุม ActiveX!
