ทฤษฎีและตัวอย่างจำนวนเชิงซ้อน จำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อน

จินตภาพ และ จำนวนเชิงซ้อน อับซิสซาและอุปสมบท

จำนวนเชิงซ้อน. ผสานจำนวนเชิงซ้อน

การดำเนินการที่มีจำนวนเชิงซ้อน เรขาคณิต

การเป็นตัวแทนของจำนวนเชิงซ้อน เครื่องบินที่ซับซ้อน

โมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน ตรีโกณมิติ

แบบฟอร์มจำนวนเชิงซ้อน การดำเนินงานที่มีความซับซ้อน

ตัวเลขในรูปแบบตรีโกณมิติ สูตรมูฟวร์

ข้อมูลเบื้องต้นเกี่ยวกับ จินตภาพ และ จำนวนเชิงซ้อน แสดงไว้ในหัวข้อ “จำนวนจินตภาพและจำนวนเชิงซ้อน” ความจำเป็นในการใช้ตัวเลขประเภทใหม่เหล่านี้เกิดขึ้นเมื่อแก้สมการกำลังสองสำหรับเคสนี้ดี< 0 (здесь ดี– เลือกปฏิบัติ สมการกำลังสอง- ไม่พบตัวเลขเหล่านี้มานานแล้ว การประยุกต์ใช้ทางกายภาพด้วยเหตุนี้จึงถูกเรียกว่าตัวเลข "จินตภาพ" อย่างไรก็ตาม ปัจจุบันมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในสาขาฟิสิกส์ต่างๆ

และเทคโนโลยี: วิศวกรรมไฟฟ้า พลังน้ำและอากาศพลศาสตร์ ทฤษฎีความยืดหยุ่น ฯลฯ

จำนวนเชิงซ้อน ถูกเขียนในรูปแบบ:เอ+บี- ที่นี่ กและ ข – ตัวเลขจริง , ก ฉัน – หน่วยจินตภาพเช่นจ. ฉัน 2 = –1. ตัวเลข กเรียกว่า แอบซิสซา, ก ข – กำหนดจำนวนเชิงซ้อนก + ไบจำนวนเชิงซ้อนสองตัวเอ+บีและ ก–บี ถูกเรียกว่า ผันจำนวนเชิงซ้อน

ข้อตกลงหลัก:

1. จำนวนจริงกสามารถเขียนเป็นแบบฟอร์มก็ได้จำนวนเชิงซ้อน:เอ+ 0 ฉันหรือ ก – 0 ฉัน. เช่น บันทึก 5 + 0ฉันและ 5 – 0 ฉันหมายถึงเลขเดียวกัน 5 .

2. จำนวนเชิงซ้อน 0 + สองเรียกว่า จินตนาการล้วนๆ ตัวเลข. บันทึกสองมีความหมายเหมือนกับ 0 + สอง.

3. จำนวนเชิงซ้อนสองตัวเอ+บี และค + ดิถือว่าเท่ากันถ้าก = คและ ข = ง- มิฉะนั้น จำนวนเชิงซ้อนไม่เท่ากัน

ส่วนที่เพิ่มเข้าไป. ผลรวมของจำนวนเชิงซ้อนเอ+บีและ ค + ดิเรียกว่าจำนวนเชิงซ้อน (เอ+ซี ) + (ข+ดี ) ฉัน.ดังนั้น, เมื่อเพิ่ม จำนวนเชิงซ้อน สมการและพิกัดจะถูกบวกแยกกัน

คำจำกัดความนี้สอดคล้องกับกฎสำหรับการดำเนินการกับพหุนามสามัญ

การลบ ผลต่างของจำนวนเชิงซ้อนสองตัวเอ+บี(ลดลง) และ ค + ดิ(subtrahend) เรียกว่า จำนวนเชิงซ้อน (เอ-ซี ) + (ข-d ) ฉัน.

ดังนั้น, เมื่อลบจำนวนเชิงซ้อนสองตัว ค่า Abscissas และเลขลำดับจะถูกลบแยกกัน

การคูณ ผลคูณของจำนวนเชิงซ้อนเอ+บีและ ค + ดิ เรียกว่าจำนวนเชิงซ้อน:

(ac–bd ) + (โฆษณา+BC ) ฉัน.คำจำกัดความนี้เป็นไปตามข้อกำหนดสองประการ:

1) ตัวเลข เอ+บีและ ค + ดิจะต้องคูณเหมือนพีชคณิตทวินาม,

2) หมายเลข ฉันมีทรัพย์สินหลัก:ฉัน 2 = – 1.

ตัวอย่าง - เอ+ ไบ )(ก–บี) =ก 2 +ข 2 . เพราะฉะนั้น, งาน

จำนวนเชิงซ้อนคอนจูเกตสองตัวมีค่าเท่ากับจำนวนจริง

จำนวนบวก

แผนก. หารจำนวนเชิงซ้อนเอ+บี (หาร) ด้วยสิ่งอื่นค + ดิ(ตัวแบ่ง) - หมายถึงการหาเลขตัวที่สามอี + ฉ ฉัน(แชท) ซึ่งเมื่อคูณด้วยตัวหารแล้วค + ดิส่งผลให้มีการจ่ายเงินปันผลก + ไบ

ถ้าตัวหารไม่เป็นศูนย์ การหารจะเป็นไปได้เสมอ

ตัวอย่าง ค้นหา (8 +ฉัน ) : (2 – 3 ฉัน) .

วิธีแก้ปัญหา ลองเขียนอัตราส่วนนี้ใหม่เป็นเศษส่วน:

การคูณทั้งเศษและส่วนด้วย 2 + 3ฉัน

และ เมื่อทำการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดแล้ว เราได้รับ:

การแสดงเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อน จำนวนจริงแสดงด้วยจุดบนเส้นจำนวน:

นี่คือประเด็น กหมายถึงตัวเลข –3, จุดบี– หมายเลข 2 และ โอ- ศูนย์ ในทางตรงกันข้าม จำนวนเชิงซ้อนจะแสดงด้วยจุดบน ประสานงานเครื่องบิน- เพื่อจุดประสงค์นี้ เราเลือกพิกัดสี่เหลี่ยม (คาร์ทีเซียน) ที่มีสเกลเดียวกันบนทั้งสองแกน แล้วจำนวนเชิงซ้อนเอ+บี จะแสดงด้วยจุด P กับแอบซิสซา a และกำหนด b (ดูภาพ) ระบบพิกัดนี้เรียกว่า เครื่องบินที่ซับซ้อน .

โมดูล จำนวนเชิงซ้อนคือความยาวของเวกเตอร์อพแทนจำนวนเชิงซ้อนบนพิกัด ( ครอบคลุม) เครื่องบิน. โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อนเอ+บีแสดงว่า | เอ+บี- หรือจดหมาย ร

แผนการสอน

1. ช่วงเวลาขององค์กร

2. การนำเสนอเนื้อหา

3. การบ้าน.

4. สรุปบทเรียน

ความคืบหน้าของบทเรียน

I. ช่วงเวลาขององค์กร.

ครั้งที่สอง การนำเสนอวัสดุ.

แรงจูงใจ.

การขยายเซตของจำนวนจริงประกอบด้วยการบวกจำนวนใหม่ (จินตภาพ) เข้ากับจำนวนจริง การแนะนำตัวเลขเหล่านี้เกิดจากการเป็นไปไม่ได้ในชุด ตัวเลขจริงการรากของจำนวนลบ

ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับแนวคิดของจำนวนเชิงซ้อน

จำนวนจินตภาพที่เราเสริมจำนวนจริงนั้นเขียนอยู่ในรูปแบบ สอง, ที่ไหน ฉันเป็นหน่วยจินตภาพ และ ฉัน 2 = - 1.

จากข้อมูลนี้ เราได้คำจำกัดความของจำนวนเชิงซ้อนดังต่อไปนี้

คำนิยาม- จำนวนเชิงซ้อนคือการแสดงออกของแบบฟอร์ม เอ+บี, ที่ไหน กและ ข- ตัวเลขจริง ในกรณีนี้เป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

ก) จำนวนเชิงซ้อนสองตัว ก 1 + ข 1 ผมและ ก 2 + ข 2 ผมเท่ากับถ้าและถ้าเท่านั้น ก 1 = ก 2, ข 1 = ข 2.

b) การบวกจำนวนเชิงซ้อนถูกกำหนดโดยกฎ:

(ก 1 + ข 1 ผม) + (ก 2 + ข 2 ผม) = (ก 1 + ก 2) + (ข 1 + ข 2) ผม.

c) การคูณจำนวนเชิงซ้อนถูกกำหนดโดยกฎ:

(ก 1 + ข 1 ผม) (ก 2 + ข 2 ผม) = (ก 1 ก 2 - ข 1 ข 2) + (ก 1 ข 2 - ก 2 ข 1) ผม.

รูปแบบพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน

การเขียนจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบ เอ+บีเรียกว่ารูปพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน โดยที่ ก– ส่วนจริง สองเป็นส่วนจินตภาพและ ข– จำนวนจริง

จำนวนเชิงซ้อน เอ+บีถือว่าเท่ากับศูนย์หากส่วนจริงและจินตภาพมีค่าเท่ากับศูนย์: ก = ข = 0

จำนวนเชิงซ้อน เอ+บีที่ ข = 0ถือว่าเท่ากับจำนวนจริง ก: ก + 0i = ก.

จำนวนเชิงซ้อน เอ+บีที่ ก = 0เรียกว่าจินตภาพล้วนๆ และแสดงแทน สอง: 0 + บี = บี.

จำนวนเชิงซ้อนสองตัว z = ก + ไบและ = ก – บิต่างกันเฉพาะสัญลักษณ์ของส่วนจินตภาพเท่านั้น เรียกว่าคอนจูเกต

การดำเนินการเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบพีชคณิต

คุณสามารถดำเนินการต่อไปนี้กับจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบพีชคณิต

1) นอกจากนี้

คำนิยาม- ผลรวมของจำนวนเชิงซ้อน z 1 = ก 1 + ข 1 ผมและ z 2 = ก 2 + ข 2 ผมเรียกว่าจำนวนเชิงซ้อน zส่วนจริงจะเท่ากับผลรวมของส่วนจริง ซี 1และ ซี 2และส่วนจินตภาพคือผลรวมของส่วนจินตภาพของตัวเลข ซี 1และ ซี 2นั่นคือ z = (ก 1 + ก 2) + (ข 1 + ข 2)ผม.

ตัวเลข ซี 1และ ซี 2เรียกว่าเงื่อนไข

การบวกจำนวนเชิงซ้อนมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

1°. การสับเปลี่ยน: ซี 1 + ซี 2 = ซี 2 + ซี 1.

2°. การเชื่อมโยง: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3)

3°. จำนวนเชิงซ้อน –ก –บีเรียกว่าตรงกันข้ามกับจำนวนเชิงซ้อน z = ก + ไบ- จำนวนเชิงซ้อน ตรงข้ามกับจำนวนเชิงซ้อน z, แสดงว่า -z- ผลรวมของจำนวนเชิงซ้อน zและ -zเท่ากับศูนย์: ซ + (-z) = 0

ตัวอย่างที่ 1: ดำเนินการบวก (3 – ผม) + (-1 + 2i).

(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) การลบ

คำนิยาม.ลบออกจากจำนวนเชิงซ้อน ซี 1จำนวนเชิงซ้อน ซี 2 z,อะไร z + z 2 = z 1.

ทฤษฎีบท- ความแตกต่างระหว่างจำนวนเชิงซ้อนมีอยู่และไม่ซ้ำกัน

ตัวอย่างที่ 2: ดำเนินการลบ (4 – 2i) - (-3 + 2i).

(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) ผม = 7 – 4i.

3) การคูณ

คำนิยาม- ผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน z 1 =ก 1 +ข 1 ผมและ z 2 =ก 2 +ข 2 ผมเรียกว่าจำนวนเชิงซ้อน zกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน: z = (ก 1 ก 2 – ข 1 ข 2) + (ก 1 ข 2 + ก 2 ข 1)ผม.

ตัวเลข ซี 1และ ซี 2เรียกว่าปัจจัย

การคูณจำนวนเชิงซ้อนมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

1°. การสับเปลี่ยน: ซี 1 ซี 2 = ซี 2 ซี 1.

2°. การเชื่อมโยง: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3°. การกระจายตัวของการคูณสัมพันธ์กับการบวก:

(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.

4องศา z = (a + bi)(a – bi) = a 2 + b 2- จำนวนจริง

ในทางปฏิบัติ การคูณจำนวนเชิงซ้อนจะดำเนินการตามกฎของการคูณผลรวมด้วยผลรวมและการแยกส่วนจริงและส่วนจินตภาพ

ในตัวอย่างต่อไปนี้ เราจะพิจารณาการคูณจำนวนเชิงซ้อนได้สองวิธี: ตามกฎและโดยการคูณผลรวมด้วยผลรวม

ตัวอย่างที่ 3: ทำการคูณ (2 + 3i) (5 – 7i).

1 วิธี. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 ) ผม = 31 + ผม.

วิธีที่ 2 (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) กอง.

คำนิยาม- หารจำนวนเชิงซ้อน ซี 1เป็นจำนวนเชิงซ้อน ซี 2, หมายถึงการหาจำนวนเชิงซ้อนเช่นนั้น z, อะไร ซี · ซ 2 = ซี 1.

ทฤษฎีบท.ผลหารของจำนวนเชิงซ้อนมีอยู่และไม่ซ้ำกันหาก ซี 2 ≠ 0 + 0i.

ในทางปฏิบัติ ผลหารของจำนวนเชิงซ้อนหาได้โดยการคูณตัวเศษและส่วนด้วยสังยุคของตัวส่วน

อนุญาต z 1 = ก 1 + ข 1 ผม, z 2 = ก 2 + ข 2 ผม, แล้ว

.

ในตัวอย่างต่อไปนี้ เราจะทำการหารโดยใช้สูตรและกฎการคูณด้วยจำนวนที่ผันกับตัวส่วน

ตัวอย่างที่ 4 ค้นหาผลหาร .

5) การยกระดับไปสู่พลังบวกทั้งหมด

ก) พลังของหน่วยจินตภาพ

ใช้ประโยชน์จากความเท่าเทียมกัน ฉัน 2 = -1เป็นเรื่องง่ายที่จะกำหนดกำลังจำนวนเต็มบวกของหน่วยจินตภาพ เรามี:

ฉัน 3 = ฉัน 2 ฉัน = -i,

ฉัน 4 = ฉัน 2 ฉัน 2 = 1,

ฉัน 5 = ฉัน 4 ฉัน = ฉัน

ฉัน 6 = ฉัน 4 ฉัน 2 = -1,

ฉัน 7 = ฉัน 5 ฉัน 2 = -i,

ฉัน 8 = ฉัน 6 ฉัน 2 = 1ฯลฯ

นี่แสดงให้เห็นว่าค่าระดับ ใน, ที่ไหน n- ทั้งหมด จำนวนบวก, ทำซ้ำเป็นระยะๆ เมื่อตัวบ่งชี้เพิ่มขึ้น 4 .

ดังนั้นเพื่อเพิ่มจำนวน ฉันให้เป็นกำลังบวกทั้งหมด เราต้องหารเลขชี้กำลังด้วย 4 และสร้าง ฉันยกกำลังซึ่งมีเลขชี้กำลังเท่ากับเศษที่เหลือของการหาร

ตัวอย่างที่ 5: คำนวณ: (ผม 36 + ผม 17) ผม 23.

ฉัน 36 = (ฉัน 4) 9 = 1 9 = 1,

ผม 17 = ผม 4 × 4+1 = (ผม 4) 4 × ผม = 1 · ผม = ผม.

ผม 23 = ผม 4 × 5+3 = (ผม 4) 5 × ผม 3 = 1 · ผม 3 = - ผม.

(ผม 36 + ผม 17) · ผม 23 = (1 + ผม) (- ผม) = - ผม + 1= 1 – ผม.

b) การเพิ่มจำนวนเชิงซ้อนให้เป็นจำนวนเต็มบวกนั้นดำเนินการตามกฎสำหรับการเพิ่มทวินามให้เป็นกำลังที่สอดคล้องกัน เนื่องจากเป็นกรณีพิเศษของการคูณตัวประกอบเชิงซ้อนที่เหมือนกัน

ตัวอย่างที่ 6: คำนวณ: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i

จำนวนเชิงซ้อนคือส่วนขยายขั้นต่ำของเซตของจำนวนจริงที่เราคุ้นเคย ความแตกต่างพื้นฐานคือองค์ประกอบปรากฏที่ให้ -1 เมื่อยกกำลังสอง เช่น ฉัน หรือ .

จำนวนเชิงซ้อนใดๆ ประกอบด้วยสองส่วน: จริงและจินตนาการ:

ดังนั้นจึงชัดเจนว่าเซตของจำนวนจริงเกิดขึ้นพร้อมกับเซตของจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจินตภาพเป็นศูนย์

โมเดลที่นิยมมากที่สุดสำหรับเซตจำนวนเชิงซ้อนคือระนาบธรรมดา พิกัดแรกของแต่ละจุดจะเป็นส่วนจริงของมัน และพิกัดที่สองจะเป็นส่วนจินตภาพของมัน จากนั้นบทบาทของจำนวนเชิงซ้อนนั้นจะเป็นเวกเตอร์โดยมีจุดเริ่มต้นที่จุด (0,0)

การดำเนินการกับจำนวนเชิงซ้อน

ที่จริงแล้ว หากเราคำนึงถึงแบบจำลองของเซตของจำนวนเชิงซ้อน จะเห็นได้ชัดว่าการบวก (การลบ) และการคูณของจำนวนเชิงซ้อนสองตัวนั้นดำเนินการในลักษณะเดียวกับการดำเนินการที่สอดคล้องกันกับเวกเตอร์ และนี่หมายถึง ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์เวกเตอร์ เพราะผลลัพธ์ของการดำเนินการนี้จะเป็นเวกเตอร์อีกครั้ง

1.1 การเพิ่ม

(อย่างที่คุณเห็น การดำเนินการนี้สอดคล้องทุกประการ)

1.2 การลบในทำนองเดียวกัน ผลิตขึ้นตามกฎต่อไปนี้:

2. การคูณ

3. กอง.

นิยามง่ายๆ ว่าเป็นการดำเนินการผกผันของการคูณ

แบบฟอร์มตรีโกณมิติ

โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน z คือปริมาณต่อไปนี้:

,

แน่นอนว่า นี่เป็นเพียงโมดูลัส (ความยาว) ของเวกเตอร์ (a,b) อีกครั้ง

ส่วนใหญ่แล้วโมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อนจะแสดงเป็น ρ.

ปรากฎว่า

z = ρ(คอสφ+ไอซินφ).

ต่อไปนี้โดยตรงจากรูปแบบตรีโกณมิติในการเขียนจำนวนเชิงซ้อน: สูตร :

สูตรสุดท้ายเรียกว่า สูตรมูฟวร์. สูตรที่ได้มาจากมันโดยตรง รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน:

จึงมีรากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน z