วิธีการหามุมของสี่เหลี่ยมคางหมูที่รู้จักด้านต่างๆ วิธีหามุมในสี่เหลี่ยมคางหมู

มุมของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว สวัสดี! บทความนี้จะมุ่งเน้นไปที่การแก้ปัญหาเกี่ยวกับสี่เหลี่ยมคางหมู งานกลุ่มนี้เป็นส่วนหนึ่งของข้อสอบ งานง่ายๆ เราจะคำนวณมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู ฐาน และความสูง วิธีแก้ปัญหาจำนวนหนึ่งมาจากการแก้ปัญหา ดังที่พวกเขากล่าวว่า: เราอยู่ที่ไหนหากไม่มีทฤษฎีบทพีทาโกรัส?

เราจะทำงานกับสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว มีด้านและมุมเท่ากันที่ฐาน มีบทความบล็อกเกี่ยวกับสี่เหลี่ยมคางหมู

เราสังเกตเห็นความแตกต่างเล็กน้อยและสำคัญซึ่งเราจะไม่อธิบายรายละเอียดในกระบวนการแก้ไขงานเอง ดูสิ ถ้าเรามีสองฐาน ฐานที่ใหญ่กว่าจะถูกแบ่งออกเป็นสามส่วนโดยความสูงที่ลดลง - ฐานหนึ่งเท่ากับฐานที่เล็กกว่า (ซึ่งเป็นด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมผืนผ้า) อีกสองฐานจะเท่ากัน ( นี่คือขาของสามเหลี่ยมมุมฉากที่เท่ากัน):

ตัวอย่างง่ายๆ: กำหนดสองฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว 25 และ 65 ฐานที่ใหญ่กว่าแบ่งออกเป็นส่วนๆ ดังนี้

*และต่อไป! ไม่มีการป้อนการกำหนดตัวอักษรในงาน สิ่งนี้ทำโดยเจตนาเพื่อไม่ให้วิธีแก้ปัญหามากเกินไปด้วยพีชคณิต ฉันยอมรับว่าสิ่งนี้ไม่มีความรู้ทางคณิตศาสตร์ แต่เป้าหมายคือการถ่ายทอดสาระสำคัญ และคุณสามารถกำหนดจุดยอดและองค์ประกอบอื่น ๆ ด้วยตนเองและเขียนคำตอบที่ถูกต้องทางคณิตศาสตร์ได้

พิจารณางาน:

27439 ฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วคือ 51 และ 65 ด้านคือ 25 จงหาไซน์ของมุมแหลมของสี่เหลี่ยมคางหมู

ในการหามุม คุณต้องวางแผนความสูง ในแบบร่าง เราแสดงข้อมูลในเงื่อนไขขนาด ฐานล่างคือ 65 แบ่งตามความสูงออกเป็นส่วนที่ 7, 51 และ 7:

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เรารู้ด้านตรงข้ามมุมฉากและขา เราสามารถหาขาที่สอง (ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู) แล้วคำนวณไซน์ของมุม

ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ขาที่ระบุมีค่าเท่ากับ:

ดังนั้น:

คำตอบ: 0.96

27440 ฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วคือ 43 และ 73 โคไซน์ของมุมแหลมของสี่เหลี่ยมคางหมูคือ 5/7 ค้นหาด้านข้าง

มาสร้างความสูงและทำเครื่องหมายข้อมูลในเงื่อนไขขนาด ฐานล่างแบ่งออกเป็นส่วน 15, 43 และ 15:

27441 ฐานที่ใหญ่กว่าของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วคือ 34 ด้านด้านข้างคือ 14 ค่าไซน์ของมุมแหลมคือ (2√10)/7 ค้นหาฐานที่เล็กลง

มาสร้างความสูงกันเถอะ ในการหาฐานที่เล็กลง เราต้องหาว่าส่วนที่เป็นขาในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (ระบุด้วยสีน้ำเงิน) มีค่าเท่ากับเท่าใด:

เราสามารถคำนวณความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูแล้วหาขาได้:

ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราคำนวณขา:

ดังนั้นฐานที่เล็กกว่าคือ:

27442 ฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วคือ 7 และ 51 แทนเจนต์ของมุมแหลมคือ 5/11 หาความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู.

ลองพล็อตความสูงและทำเครื่องหมายข้อมูลในเงื่อนไขขนาด ฐานด้านล่างแบ่งออกเป็นส่วน ๆ :

จะทำอย่างไร? เราแสดงแทนเจนต์ของมุมที่เรารู้ที่ฐานในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก:

27443 ฐานสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วที่เล็กกว่าคือ 23 ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูคือ 39 เส้นสัมผัสของมุมแหลมคือ 13/8 ค้นหาฐานที่ใหญ่กว่า

เราสร้างความสูงและคำนวณว่าขาเท่ากับเท่าใด:

ดังนั้นฐานที่ใหญ่กว่าจะเป็น:

27444 ฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วคือ 17 และ 87 ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูคือ 14 จงหาเส้นสัมผัสของมุมแหลม

เราสร้างความสูงและทำเครื่องหมายค่าที่ทราบบนร่าง ฐานล่างแบ่งออกเป็นส่วน 35, 17, 35:

ตามคำจำกัดความของแทนเจนต์:

77152 ฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วคือ 6 และ 12 ไซน์ของมุมแหลมของสี่เหลี่ยมคางหมูคือ 0.8 ค้นหาด้านข้าง

มาสร้างภาพร่าง สร้างความสูง และจดบันทึกค่าที่ทราบ ฐานที่ใหญ่ขึ้นจะแบ่งออกเป็นส่วนที่ 3, 6 และ 3:

เราแสดงด้านตรงข้ามมุมฉากซึ่งแสดงเป็น x ผ่านโคไซน์:

จากเอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน เราพบว่าcosα

ดังนั้น:

27818. มุมที่ใหญ่ที่สุดของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วคืออะไรถ้าทราบว่าผลต่างระหว่างมุมตรงข้ามคือ 50 0 ? ให้คำตอบของคุณเป็นองศา

จากวิชาเรขาคณิต เรารู้ว่าถ้าเรามีเส้นขนานสองเส้นและเส้นตัดหนึ่งเส้น ผลรวมของมุมด้านเดียวภายในจะเท่ากับ 180 0 . ในกรณีของเรานี้

เงื่อนไขบอกว่าผลต่างของมุมตรงข้ามคือ 50 0 นั่นคือ

ปัญหาห้อยโหนดูเหมือนจะไม่ใช่เรื่องยากในหลายๆ ตัวเลข ที่ได้ศึกษามาก่อนหน้านี้ สี่เหลี่ยมคางหมูถือเป็นกรณีพิเศษ และเมื่อค้นหาพื้นที่ บางครั้งก็สะดวกกว่าที่จะแบ่งพื้นที่ออกเป็นสองส่วนที่คุ้นเคยอยู่แล้ว: สี่เหลี่ยมผืนผ้าและสามเหลี่ยม คุณเพียงแค่ต้องคิดสักนิดและจะมีวิธีแก้ปัญหาอย่างแน่นอน

ความหมายของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูและคุณสมบัติของมัน

สำหรับรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโดยพลการ ฐานจะขนานกัน และด้านข้างสามารถมีมุมตามอำเภอใจได้ หากพิจารณารูปสี่เหลี่ยมคางหมูด้านใดด้านหนึ่งจะตั้งฉากกับฐานเสมอ นั่นคือมุมสองมุมในนั้นจะเท่ากับ 90 องศา ยิ่งกว่านั้น พวกมันมักจะอยู่ในจุดยอดที่อยู่ติดกันหรืออีกนัยหนึ่ง คือ ด้านข้างด้านหนึ่ง

มุมอื่นๆ ในสี่เหลี่ยมคางหมูมักจะแหลมและป้านเสมอ นอกจากนี้ ผลรวมของพวกมันจะเท่ากับ 180 องศาเสมอ

เส้นทแยงมุมแต่ละเส้นสร้างเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากโดยมีด้านที่เล็กกว่า และความสูงซึ่งดึงมาจากจุดยอดด้วยมุมป้าน แบ่งตัวเลขออกเป็นสองส่วน หนึ่งคือสี่เหลี่ยมผืนผ้าและอีกอันหนึ่งคือ สามเหลี่ยมมุมฉาก. อย่างไรก็ตาม ด้านนี้จะเท่ากับความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูเสมอ

เครื่องหมายใดที่ใช้ในสูตรที่นำเสนอ

ปริมาณทั้งหมดที่ใช้ในนิพจน์ต่างๆ ที่อธิบายรูปสี่เหลี่ยมคางหมูสามารถระบุและแสดงในตารางได้ทันที:

สูตรที่อธิบายองค์ประกอบของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู

วิธีที่ง่ายที่สุดในการเชื่อมโยงความสูงและด้านที่เล็กกว่า:

สูตรเพิ่มเติมสำหรับด้านนี้ของสี่เหลี่ยมคางหมู:

ค = d*sinα;

c = (a - b) * แทน α;

c \u003d √ (d 2 - (a - b) 2).

อันแรกต่อจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และเขาบอกว่าขาของด้านตรงข้ามมุมฉากให้ไซน์ของมุมตรงข้าม

ในรูปสามเหลี่ยมเดียวกัน ขาที่สองจะเท่ากับผลต่างของฐานทั้งสอง ดังนั้นข้อความนี้จึงเป็นจริงซึ่งเท่ากับแทนเจนต์ของมุมกับอัตราส่วนของขา

จากรูปสามเหลี่ยมเดียวกัน คุณสามารถหาสูตรตามความรู้ของทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้ นี่คือการแสดงออกที่สามที่บันทึกไว้

คุณสามารถเขียนสูตรสำหรับด้านอื่นๆ นอกจากนี้ยังมีสามคน:

d = (a - b) /cosα;

d = c / ซินα;

d \u003d √ (c 2 + (a - b) 2).

สองอันแรกได้มาจากอัตราส่วนกว้างยาวในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเดียวกัน และอันที่สองได้มาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส

สูตรคำนวณพื้นที่ใช้สูตรอะไรได้บ้าง?

หนึ่งที่กำหนดสำหรับสี่เหลี่ยมคางหมูโดยพลการ เพียงจำไว้ว่าความสูงคือด้านที่ตั้งฉากกับฐาน

S = (a + b) * ชั่วโมง / 2.

ค่าเหล่านี้ไม่ได้กำหนดไว้อย่างชัดเจนเสมอไป ดังนั้นในการคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูคุณจะต้องทำการคำนวณทางคณิตศาสตร์

ถ้าคุณต้องการคำนวณเส้นทแยงมุมล่ะ

ในกรณีนี้ คุณต้องดูว่าพวกมันก่อตัวเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูป ดังนั้น คุณสามารถใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้เสมอ เส้นทแยงมุมแรกจะแสดงดังนี้:

d1 = √ (ค 2 + ข 2)

หรืออีกวิธีหนึ่ง แทนที่ "c" ด้วย "h":

d1 = √ (h 2 + b 2).

ในทำนองเดียวกันจะได้รับสูตรสำหรับเส้นทแยงมุมที่สอง:

d2 = √ (ค 2 + ข 2)หรือ ง 2 \u003d √ (h 2 + a 2)

งาน #1

เงื่อนไข. พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูเป็นที่รู้จักและเท่ากับ 120 dm 2 . ความสูงมีความยาว 8 dm จำเป็นต้องคำนวณทุกด้านของสี่เหลี่ยมคางหมู เงื่อนไขเพิ่มเติมคือฐานหนึ่งน้อยกว่าฐานอื่น 6 dm

สารละลาย.เนื่องจากมีการกำหนดสี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งทราบความสูงเราจึงสามารถพูดได้ทันทีว่าด้านใดด้านหนึ่งคือ 8 dm นั่นคือยิ่งเล็ก ด้านข้าง.

ตอนนี้คุณสามารถนับได้อีก: d \u003d √ (c 2 + (a - b) 2) และที่นี่ให้ทั้งด้าน c และผลต่างของฐานทันที หลังมีค่าเท่ากับ 6 dm ซึ่งทราบได้จากเงื่อนไข จากนั้น d จะเท่ากับสแควร์รูทของ (64 + 36) ซึ่งก็คือ 100 ดังนั้น จึงพบอีกด้านหนึ่งเท่ากับ 10 dm

ผลบวกของฐานหาได้จากสูตรพื้นที่ มันจะเท่ากับสองเท่าของพื้นที่หารด้วยความสูง หากคุณนับจะกลายเป็น 240/8 ดังนั้นผลรวมของฐานคือ 30 dm ในทางกลับกัน ความแตกต่างคือ 6 dm เมื่อรวมสมการเหล่านี้เข้าด้วยกัน คุณสามารถคำนวณฐานทั้งสองได้:

a + b = 30 และ a - b = 6.

คุณสามารถแสดง a เป็น (b + 6) โดยแทนค่าลงในสมการแรก จากนั้นปรากฎว่า 2b จะเท่ากับ 24 ดังนั้น b จะเป็น 12 dm

แล้วด้านสุดท้าย a คือ 18 dm

คำตอบ.ด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู: a = 18 dm, b = 12 dm, c = 8 dm, d = 10 dm

งาน #2

เงื่อนไข.กำหนดรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ด้านยาวเท่ากับผลบวกของฐาน ความสูงมีความยาว 12 ซม. มีการสร้างสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งด้านข้างเท่ากับฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู คุณต้องคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้

สารละลาย.คุณต้องเริ่มต้นด้วยสิ่งที่คุณกำลังมองหา พื้นที่ที่ต้องการถูกกำหนดเป็นผลคูณของ a และ b ไม่ทราบปริมาณทั้งสองนี้

คุณจะต้องใช้ความเท่าเทียมกันเพิ่มเติม หนึ่งในนั้นขึ้นอยู่กับคำสั่งจากเงื่อนไข: d = a + b จำเป็นต้องใช้สูตรที่สามสำหรับด้านนี้ซึ่งระบุไว้ข้างต้น ปรากฎว่า: d 2 \u003d c 2 + (a - b) 2 หรือ (a + b) 2 \u003d c 2 + (a - b) 2

จำเป็นต้องทำการแปลงโดยการแทนที่ด้วยค่าของมันจากเงื่อนไข - 12 หลังจากเปิดวงเล็บและนำเงื่อนไขที่คล้ายกันออกมา ปรากฎว่า 144 = 4 ab

ในตอนต้นของการแก้ปัญหา มีการกล่าวว่า a * b ให้พื้นที่ที่ต้องการ ดังนั้นในนิพจน์สุดท้าย คุณสามารถแทนที่ผลิตภัณฑ์นี้ด้วย S การคำนวณอย่างง่ายจะให้ค่าพื้นที่ S \u003d 36 ซม. 2

คำตอบ.พื้นที่ที่ต้องการคือ 36 ซม. 2

งาน #3

เงื่อนไข.พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูคือ 150√3 cm² มุมแหลมเท่ากับ 60 องศา มุมระหว่างฐานเล็กกับเส้นทแยงมุมเล็กมีความหมายเหมือนกัน คุณต้องคำนวณเส้นทแยงมุมที่เล็กกว่า

สารละลาย.จากคุณสมบัติของมุมของสี่เหลี่ยมคางหมู ปรากฎว่ามุมป้านของมันคือ120º จากนั้นแบ่งเส้นทแยงมุมออกเป็นส่วนเท่า ๆ กันเพราะส่วนหนึ่งมี 60 องศาอยู่แล้ว จากนั้นมุมระหว่างเส้นทแยงมุมนี้กับฐานที่สองคือ 60 องศาเช่นกัน นั่นคือ รูปสามเหลี่ยมที่เกิดจากฐานใหญ่ ด้านลาด และเส้นทแยงมุมเล็กเป็นรูปด้านเท่า ดังนั้นเส้นทแยงมุมที่ต้องการจะเท่ากับ a เช่นเดียวกับด้านข้าง d = a

ตอนนี้เราต้องพิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก มุมที่สามคือ 30 องศา ดังนั้นขาที่อยู่ตรงข้ามมันจึงเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก นั่นคือฐานที่เล็กกว่าของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับครึ่งหนึ่งของเส้นทแยงมุมที่ต้องการ: b \u003d a / 2 จากนั้นคุณต้องหาความสูงเท่ากับด้านข้างซึ่งตั้งฉากกับฐาน ข้างกับขานี่. จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ค = (ก/2) * √3.

ตอนนี้เหลือเพียงการแทนที่ปริมาณทั้งหมดในสูตรพื้นที่:

150√3 = (ก + ก/2) * (ก/2 * √3) / 2.

การแก้สมการนี้จะได้รูท 20

คำตอบ.เส้นทแยงมุมที่เล็กกว่านั้นยาว 20 ซม.

สี่เหลี่ยมคางหมูเป็นสี่แบน สี่เหลี่ยมซึ่งด้านตรงข้ามทั้งสองขนานกัน พวกเขาเรียกว่าฐาน ราวสำหรับออกกำลังกายและอีกสองด้าน - ด้านข้าง ราวสำหรับออกกำลังกาย.

คำแนะนำ

ปัญหาการหามุมโดยพลการใน ราวสำหรับออกกำลังกายต้องการข้อมูลเพิ่มเติมในจำนวนที่เพียงพอ พิจารณาตัวอย่างที่ทราบมุมฐานสองมุม ราวสำหรับออกกำลังกาย. ให้รู้จักมุม &ang-BAD และ &ang-CDA หามุม &ang-ABC และ &ang-BCD สี่เหลี่ยมคางหมูมีคุณสมบัติที่ผลรวมของมุมในแต่ละด้านเท่ากับ 180°- จากนั้น &ang-ABC = 180°--&ang-BAD และ &ang-BCD = 180°--&ang-CDA

สี่เหลี่ยมคางหมู" class="lightbx" data-lightbox="article-image">

ในปัญหาอื่นสามารถระบุความเท่าเทียมกันของด้านได้ ราวสำหรับออกกำลังกายและบางมุมเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่น ดังในรูป เป็นที่ทราบกันว่าด้าน AB, BC และ CD เท่ากัน และเส้นทแยงมุมทำมุม &ang-CAD = α- กับฐานด้านล่าง สี่เหลี่ยม ABC เป็นหน้าจั่ว เนื่องจาก AB = BC จากนั้น &ang-BAC = &ang-BCA เรียกสั้นๆ ว่า x และ &ang-ABC - y ผลบวกของมุมของสามเหลี่ยมใดๆ สี่เหลี่ยมและเท่ากับ 180°- จะได้ว่า 2x + y = 180°- จากนั้น y = 180°- - 2x ในขณะเดียวกันจากคุณสมบัติ ราวสำหรับออกกำลังกาย: y + x + α- = 180°- ดังนั้น 180°- - 2x + x + α- = 180°- ดังนั้น x = α- เราพบสองมุม ราวสำหรับออกกำลังกาย: &ang-BAC = 2x = 2α- และ &ang-ABC = y = 180°- - 2α- เนื่องจาก AB = CD ตามเงื่อนไข สี่เหลี่ยมคางหมูจึงเป็นหน้าจั่วหรือหน้าจั่ว วิธี,

สี่เหลี่ยมคางหมูเป็นสี่แบน สี่เหลี่ยมซึ่งด้านตรงข้ามทั้งสองขนานกัน พวกเขาเรียกว่าฐาน ราวสำหรับออกกำลังกายและอีกสองด้าน - ด้านข้าง ราวสำหรับออกกำลังกาย .

คำแนะนำ

1. ปัญหาการหามุมโดยพลการใน ราวสำหรับออกกำลังกายต้องใช้ข้อมูลเพิ่มเติมพอสมควร พิจารณาตัวอย่างที่รู้จักสองมุมที่ฐาน ราวสำหรับออกกำลังกาย. ให้รู้จักมุม ∠BAD และ ∠CDA เราจะหามุม ∠ABC และ ∠BCD สี่เหลี่ยมคางหมูมีคุณสมบัติที่ผลรวมของมุมด้านใดด้านหนึ่งเท่ากับ 180° จากนั้น ∠ABC = 180°-∠BAD และ ∠BCD = 180°-∠CDA

2. ในปัญหาอื่นสามารถระบุความเท่าเทียมกันของด้านได้ ราวสำหรับออกกำลังกายและมุมเพิ่มเติม สมมติว่า จากรูป เราสามารถทราบได้ว่าด้าน AB, BC และ CD เท่ากัน และเส้นทแยงมุมทำมุม ∠CAD = α กับฐานล่าง สี่เหลี่ยม ABC เป็นหน้าจั่วเพราะ AB = BC จากนั้น ∠BAC = ∠BCA แทน x แทนความสั้น และ ∠ABC - y ผลบวกของมุมของสามเหลี่ยมใดๆ สี่เหลี่ยม a คือ 180° จะได้ว่า 2x + y = 180° แล้ว y = 180° – 2x ในขณะเดียวกันจากคุณสมบัติ ราวสำหรับออกกำลังกาย: y + x + α = 180° ดังนั้น 180° – 2x + x + α = 180° ดังนั้น x = α เราพบสองมุม ราวสำหรับออกกำลังกาย: ∠BAC = 2x = 2α และ ∠ABC = y = 180° – 2α เส้นทแยงมุมจึงเท่ากันและมุมที่ฐานเท่ากัน ดังนั้น ∠CDA = 2α และ ∠BCD = 180° – 2α

เส้นทแยงมุม สี่เหลี่ยม- ส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดสองจุดที่ไม่อยู่ติดกันของตัวเลข (เช่น จุดยอดที่ไม่ติดกันหรือไม่อยู่ด้านเดียวกันหลายๆ จุด สี่เหลี่ยม). ในสี่เหลี่ยมด้านขนาน เมื่อทราบความยาวของเส้นทแยงมุมและความยาวของด้านแล้ว จะสามารถคำนวณมุมระหว่าง เส้นทแยงมุม .

คำแนะนำ

1. เพื่อความสะดวกสบายในการรับรู้ข้อมูล ให้วาด ABCD สี่เหลี่ยมด้านขนานตามอำเภอใจบนกระดาษ (สี่เหลี่ยมด้านขนานคือสี่เหลี่ยม ฝั่งตรงข้ามที่เป็นคู่เท่ากันและขนานกัน) รวมจุดยอดตรงข้ามเข้ากับส่วนของเส้นตรง AC และ BD ที่ได้จะเป็นเส้นทแยงมุม ทำเครื่องหมายจุดตัดของเส้นทแยงมุมด้วยตัวอักษร O คุณต้องหามุม BOC (AOD) และ COD (AOB)

2. สี่เหลี่ยมด้านขนานมีคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์หลายประการ: - เส้นทแยงมุมของจุดตัดแบ่งครึ่ง เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานแบ่งมันออกเป็นสองสามเหลี่ยมเท่าๆ กัน สี่เหลี่ยม;- ผลรวมของมุมทั้งหมดในสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับ 360 องศา;- ผลรวมของมุมที่อยู่ติดกับด้านหนึ่งของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับ 180 องศา;- ผลรวมของกำลังสองของเส้นทแยงมุมเท่ากับผลรวมคู่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ของด้านที่อยู่ติดกัน

3. เพื่อหามุมระหว่าง เส้นทแยงมุมให้ใช้ทฤษฎีบทโคไซน์จากทฤษฎีเรขาคณิตมูลฐาน (ยุคลิด) ตามกฎของโคไซน์ คือกำลังสองของด้านสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม(A) หาได้โดยการเพิ่มกำลังสองของด้านอีก 2 ด้าน (B และ C) และลบผลรวมของผลคูณสองเท่าของด้านเหล่านี้ (B และ C) ด้วยโคไซน์ของมุมระหว่างทั้งสองด้าน

4. สำหรับสามเหลี่ยม BOC ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD ทฤษฎีบทโคไซน์จะมีลักษณะดังนี้: สี่เหลี่ยม BC \u003d สี่เหลี่ยม BO + สี่เหลี่ยม OS - 2 * BO * OS * มุม cos BOC จากที่นี่ มุม cos BOC \u003d (สี่เหลี่ยม BC - สี่เหลี่ยม BO - สี่เหลี่ยม OS) / (2 * BO *OS)

5. เมื่อพบค่าของมุม BOC (AOD) แล้ว จึงง่ายต่อการคำนวณค่าของมุมอื่นที่ล้อมรอบระหว่าง เส้นทแยงมุม- ซีโอดี (AOB) ในการทำเช่นนี้ ให้ลบค่าของมุม BOC (AOD) จาก 180 องศา - เพราะ ผลรวม มุมที่อยู่ติดกันเท่ากับ 180 องศา และมุม BOC และ COD และมุม AOD และ AOB อยู่ติดกัน

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

ในการแก้ปัญหานี้โดยใช้วิธีพีชคณิตเวกเตอร์ คุณจำเป็นต้องทราบการแทนต่อไปนี้: ผลรวมเวกเตอร์ทางเรขาคณิตและผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ และคุณควรจำคุณภาพของผลรวมของมุมภายในของรูปสี่เหลี่ยมด้วย

คุณจะต้องการ

• - กระดาษ;
• - ปากกา;
• - ไม้บรรทัด.

คำแนะนำ

1. เวกเตอร์เป็นส่วนที่มีทิศทาง กล่าวคือ ค่าที่ถือว่าได้รับทั้งหมดหากกำหนดความยาวและทิศทาง (มุม) ไปยังแกนที่กำหนด ตำแหน่งของเวกเตอร์ที่ใหญ่กว่าไม่ได้ถูกจำกัดด้วยสิ่งใด เวกเตอร์สองตัวถือว่าเท่ากันหากมีความยาวเท่ากันและมีทิศทางเดียวกัน ดังนั้น เมื่อใช้พิกัด เวกเตอร์จะถูกแทนด้วยเวกเตอร์รัศมีของจุดสิ้นสุด (คำนำหน้าอยู่ที่จุดกำเนิด)

2. ตามคำนิยาม: เวกเตอร์ผลลัพธ์ของผลรวมทางเรขาคณิตของเวกเตอร์คือเวกเตอร์ที่มาจากจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์แรกและมีจุดสิ้นสุดที่ส่วนท้ายของเวกเตอร์ที่สอง โดยมีเงื่อนไขว่าจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์แรกต้องตรงกับจุดเริ่มต้นของวินาที สิ่งนี้สามารถดำเนินการต่อไปได้โดยสร้างห่วงโซ่ของเวกเตอร์ที่อยู่ใกล้เคียงกัน วาดสี่เหลี่ยม ABCD ที่กำหนดด้วยเวกเตอร์ a, b, c และ d ตามรูปที่ 1. เห็นได้ชัดว่า ด้วยการจัดเรียงนี้ เวกเตอร์ที่ได้คือ d=a+ b+c

3. ในกรณีนี้ จะสะดวกกว่าสำหรับทุกคนในการกำหนดผลิตภัณฑ์สเกลาร์ตามเวกเตอร์ a และ d ผลิตภัณฑ์ดอท แสดงโดย (a, d)= |a||d|cosφ1 โดยที่ f1 คือมุมระหว่างเวกเตอร์ a และ d ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่กำหนดโดยพิกัดถูกกำหนดโดยนิพจน์ต่อไปนี้: (a(ax, ay), d(dx, dy))=axdx+aydy, |a|^2= ax^2+ ay^2, | d|^2 = dx^2+ dy^2 แล้ว cos Ф1=(axdx+aydy)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(dx^2+ dy^2)).

4. การแทนค่าพื้นฐานของพีชคณิตเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องกับปัญหาที่เกิดขึ้นนั้นนำไปสู่ความจริงที่ว่าสำหรับข้อความที่ชัดเจนของปัญหานี้ ก็เพียงพอแล้วที่จะระบุเวกเตอร์ 3 ตัวที่อยู่บน AB, BC และ CD นั่นคือ a, b , ค. อนุญาตให้ตั้งค่าพิกัดของจุด A, B, C, D ได้ในที่สุด แต่วิธีนี้ซ้ำซ้อน (4 พารามิเตอร์แทนที่จะเป็น 3)

5. ตัวอย่าง. รูปสี่เหลี่ยม ABCD กำหนดโดยเวกเตอร์ของด้าน AB, BC, CD a(1,0), b(1,1), c(-1,2) หามุมระหว่างด้าน. สารละลาย. ในการเชื่อมโยงกับข้างต้น เวกเตอร์ตัวที่ 4 (สำหรับ AD) d(dx,dy)=a+ b+c=(ax+bx +cx, ay+by+cy)=(1,3) ทำตามวิธีการคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์ acosφ1=(axdx+aydy)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(dx^2+ dy^2))=1/sqrt(10), f1=arcos (1/ sqrt(10)).-cosφ2=(axbx+ayby)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(bx^2+ by^2))=1/sqrt2, φ2=arcos(- 1/sqrt2 ), f2=3p/4.-cosf3=(bxcx+bycy)/(sqrt(bx^2+ by^2)sqrt(cx^2+ cy^2))=1/(sqrt2sqrt5), f3 =arcos( -1/sqrt(10))=p-f1. ตามหมายเหตุ 2 - f4=2p- f1 - f2- f3=p/4

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

บันทึก!
หมายเหตุ 1: ในคำจำกัดความ ผลิตภัณฑ์จุดใช้มุมระหว่างเวกเตอร์ สมมุติว่า f2 คือมุมระหว่าง AB กับ BC และระหว่าง a กับ b มุมที่กำหนด p-f2. cos(p- f2)=- cosf2. คล้ายกับ φ3 หมายเหตุ 2 เป็นที่ทราบกันดีว่าผลรวมของมุมของรูปสี่เหลี่ยมเท่ากับ 2n ดังนั้น f4=2p- f1 - f2- f3