วิธีแก้สมการลอการิทึมอย่างรวดเร็ว สมการลอการิทึม: คำตอบพร้อมตัวอย่าง

สมการลอการิทึม จากง่ายไปซับซ้อน

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
วัสดุมาตราพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่ค่อย..." มากนัก
และสำหรับผู้ที่ “มากๆ…”)

สมการลอการิทึมคืออะไร?

นี่คือสมการที่มีลอการิทึม ฉันแปลกใจใช่ไหม?) แล้วฉันจะชี้แจง นี่คือสมการที่พบสิ่งที่ไม่ทราบ (x) และสำนวนที่เกี่ยวข้อง ภายในลอการิทึมและที่นั่นเท่านั้น! นี่เป็นสิ่งสำคัญ

นี่คือตัวอย่างบางส่วน สมการลอการิทึม:

บันทึก 3 x = บันทึก 3 9

บันทึก 3 (x 2 -3) = บันทึก 3 (2x)

บันทึก x+1 (x 2 +3x-7) = 2

แอลจี 2 (x+1)+10 = 11แอลจี(x+1)

คุณก็เข้าใจ... )

ใส่ใจ! นิพจน์ที่หลากหลายที่สุดที่มีเครื่องหมาย X อยู่ ภายในลอการิทึมเท่านั้นหากจู่ๆ มีเครื่องหมาย X ปรากฏที่ไหนสักแห่งในสมการ ข้างนอก, ตัวอย่างเช่น:

บันทึก 2 x = 3+x,

นี่จะเป็นสมการแบบผสมอยู่แล้ว สมการดังกล่าวไม่มีกฎเกณฑ์ที่ชัดเจนในการแก้สมการ เราจะไม่พิจารณาพวกเขาในตอนนี้ อย่างไรก็ตาม มีสมการที่อยู่ภายในลอการิทึม ตัวเลขเท่านั้น- ตัวอย่างเช่น:

ฉันจะพูดอะไรได้บ้าง? คุณโชคดีถ้าคุณเจอสิ่งนี้! ลอการิทึมที่มีตัวเลขคือ หมายเลขบางอย่างนั่นคือทั้งหมดที่ การรู้คุณสมบัติของลอการิทึมก็เพียงพอที่จะแก้สมการดังกล่าวได้ ความรู้กฎพิเศษ เทคนิคที่ดัดแปลงมาเพื่อการแก้ปัญหาโดยเฉพาะ สมการลอการิทึมไม่จำเป็นที่นี่

ดังนั้น, สมการลอการิทึมคืออะไร- เราคิดออกแล้ว

จะแก้สมการลอการิทึมได้อย่างไร?

สารละลาย สมการลอการิทึม- จริงๆ แล้วสิ่งนี้ไม่ง่ายเลย ดังนั้นหมวดของเราคือสี่... คุณต้องมีความรู้พอสมควรในทุกเรื่อง หัวข้อที่เกี่ยวข้อง- นอกจากนี้ยังมีคุณสมบัติพิเศษในสมการเหล่านี้ด้วย และคุณลักษณะนี้มีความสำคัญมากจนเรียกได้ว่าเป็นปัญหาหลักในการแก้สมการลอการิทึมได้อย่างปลอดภัย เราจะจัดการกับปัญหานี้โดยละเอียดในบทเรียนถัดไป

สำหรับตอนนี้ ไม่ต้องกังวล เราจะไปถูกทาง จากง่ายไปซับซ้อนบน ตัวอย่างเฉพาะ- สิ่งสำคัญคือการเจาะลึกสิ่งง่าย ๆ และอย่าขี้เกียจที่จะตามลิงก์ ฉันใส่มันไว้ที่นั่นด้วยเหตุผล... และทุกอย่างจะออกมาดีสำหรับคุณ จำเป็น.

เริ่มจากสมการพื้นฐานและง่ายที่สุดกันก่อน เพื่อแก้ปัญหาเหล่านี้ขอแนะนำให้มีแนวคิดเกี่ยวกับลอการิทึม แต่ไม่มีอะไรเพิ่มเติม แค่ไม่มีความคิด ลอการิทึม,ตัดสินใจ ลอการิทึมสมการ - แม้จะน่าอึดอัดใจก็ตาม... ฉันจะบอกว่ากล้ามาก)

สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด

นี่คือสมการของแบบฟอร์ม:

1. บันทึก 3 x = บันทึก 3 9

2. บันทึก 7 (2x-3) = บันทึก 7 x

3. ล็อก 7 (50x-1) = 2

กระบวนการแก้ปัญหา สมการลอการิทึมใดๆประกอบด้วยการเปลี่ยนจากสมการที่มีลอการิทึมเป็นสมการที่ไม่มีพวกมัน ในสมการที่ง่ายที่สุด การเปลี่ยนแปลงนี้ดำเนินการในขั้นตอนเดียว นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมพวกเขาถึงง่ายที่สุด)

และสมการลอการิทึมนั้นแก้ได้ง่ายอย่างน่าประหลาดใจ ดูด้วยตัวคุณเอง

มาแก้ตัวอย่างแรกกัน:

บันทึก 3 x = บันทึก 3 9

เพื่อแก้ตัวอย่างนี้ คุณไม่จำเป็นต้องรู้เกือบทุกอย่าง ใช่แล้ว... สัญชาตญาณล้วนๆ!) เราต้องการอะไร โดยเฉพาะไม่ชอบตัวอย่างนี้เหรอ? อะไรนะ... ฉันไม่ชอบลอการิทึม! ขวา. เรามากำจัดพวกมันกันเถอะ เราดูตัวอย่างอย่างใกล้ชิด และความปรารถนาตามธรรมชาติก็เกิดขึ้นในตัวเรา... ไม่อาจต้านทานได้เลย! นำและโยนลอการิทึมออกไปพร้อมกัน และสิ่งที่ดีก็คือ สามารถทำ! คณิตศาสตร์อนุญาต ลอการิทึมหายไปคำตอบคือ:

เยี่ยมมากใช่มั้ย? สิ่งนี้สามารถ (และควร) ทำได้เสมอ การกำจัดลอการิทึมในลักษณะนี้เป็นหนึ่งในวิธีหลักในการแก้สมการลอการิทึมและอสมการ ในทางคณิตศาสตร์ การดำเนินการนี้เรียกว่า ศักยภาพแน่นอนว่ามีกฎเกณฑ์สำหรับการชำระบัญชีดังกล่าว แต่ก็มีน้อย จดจำ:

คุณสามารถกำจัดลอการิทึมได้โดยไม่ต้องกลัวหากมี:

ก) ฐานตัวเลขเดียวกัน

c) ลอการิทึมจากซ้ายไปขวานั้นบริสุทธิ์ (ไม่มีสัมประสิทธิ์) และแยกออกจากกันอย่างสวยงาม

ผมขอชี้แจงประเด็นสุดท้าย ในสมการ สมมุติว่า

ล็อก 3 x = 2ล็อก 3 (3x-1)

ลอการิทึมไม่สามารถลบออกได้ สองคนทางขวาไม่อนุญาต ค่าสัมประสิทธิ์ คุณรู้ไหม... ในตัวอย่าง

บันทึก 3 x+บันทึก 3 (x+1) = บันทึก 3 (3+x)

นอกจากนี้ยังเป็นไปไม่ได้ที่จะเสริมกำลังสมการ ไม่มีลอการิทึมตัวเดียวทางด้านซ้าย มีสองคน

กล่าวโดยสรุป คุณสามารถลบลอการิทึมได้หากสมการมีลักษณะเช่นนี้และมีลักษณะดังนี้:

เข้าสู่ระบบ (.....) = เข้าสู่ระบบ (.....)

ในวงเล็บที่มีจุดไข่ปลาก็อาจมี การแสดงออกใด ๆเรียบง่าย ซับซ้อนสุดๆ ทุกประเภท อะไรก็ตาม. สิ่งสำคัญคือหลังจากกำจัดลอการิทึมแล้วเราจะเหลือ สมการที่ง่ายกว่าแน่นอนว่าจะถือว่าคุณรู้วิธีแก้สมการเชิงเส้น สมการกำลังสอง เศษส่วน เลขชี้กำลัง และสมการอื่นๆ ที่ไม่มีลอการิทึมอยู่แล้ว)

ตอนนี้คุณสามารถแก้ตัวอย่างที่สองได้อย่างง่ายดาย:

บันทึก 7 (2x-3) = บันทึก 7 x

จริงๆแล้วมันถูกกำหนดไว้ในใจ เราเสริมศักยภาพ เราได้รับ:

มันยากมากเหรอ?) อย่างที่คุณเห็น ลอการิทึมส่วนหนึ่งของการแก้สมการก็คือ ในการขจัดลอการิทึมเท่านั้น...แล้วคำตอบของสมการที่เหลือโดยไม่มีพวกมันก็มาถึง เป็นเรื่องเล็กน้อย

ลองแก้ตัวอย่างที่สาม:

ล็อก 7 (50x-1) = 2

เราจะเห็นว่ามีลอการิทึมทางด้านซ้าย:

ให้เราจำไว้ว่าลอการิทึมนี้เป็นตัวเลขที่ต้องยกฐานขึ้น (เช่น เจ็ด) เพื่อให้ได้นิพจน์ซับลอการิทึม เช่น (50x-1)

แต่เลขนี้คือสอง! ตามสมการ ดังนั้น:

นั่นคือทั้งหมดโดยพื้นฐาน ลอการิทึม หายไป,สิ่งที่เหลืออยู่คือสมการที่ไม่เป็นอันตราย:

เราแก้สมการลอการิทึมนี้ตามความหมายของลอการิทึมเท่านั้น ยังง่ายกว่าไหมที่จะกำจัดลอการิทึม?) ฉันเห็นด้วย อย่างไรก็ตาม ถ้าคุณสร้างลอการิทึมจากสอง คุณสามารถแก้ตัวอย่างนี้ได้โดยการตัดออก จำนวนใดๆ ก็สามารถแปลงเป็นลอการิทึมได้ ยิ่งไปกว่านั้น ในแบบที่เราต้องการ เทคนิคที่มีประโยชน์มากในการแก้สมการลอการิทึมและอสมการ (โดยเฉพาะ!)

ไม่รู้จะสร้างลอการิทึมจากตัวเลขได้อย่างไร!? ไม่เป็นไร. มาตรา 555 อธิบายเทคนิคนี้โดยละเอียด คุณสามารถเชี่ยวชาญและใช้มันได้อย่างเต็มที่! ช่วยลดจำนวนข้อผิดพลาดได้อย่างมาก

สมการที่สี่ได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกันโดยสิ้นเชิง (ตามคำจำกัดความ):

แค่นั้นแหละ.

มาสรุปบทเรียนนี้กัน เราดูคำตอบของสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุดโดยใช้ตัวอย่าง นี่เป็นสิ่งสำคัญมาก และไม่ใช่เพียงเพราะสมการดังกล่าวปรากฏในแบบทดสอบและแบบทดสอบเท่านั้น ความจริงก็คือแม้แต่สมการที่ชั่วร้ายและซับซ้อนที่สุดก็ยังจำเป็นต้องลดให้เหลือสมการที่ง่ายที่สุด!

จริงๆ แล้ว สมการที่ง่ายที่สุดคือส่วนสุดท้ายของการแก้โจทย์ ใดๆสมการ และส่วนสุดท้ายนี้ต้องเข้าใจอย่างเคร่งครัด! และอีกอย่างหนึ่ง อย่าลืมอ่านหน้านี้ให้จบ มีเซอร์ไพรส์อยู่ที่นั่น...)

ตอนนี้เราตัดสินใจด้วยตัวเอง เรามาพูดกันดีกว่า...)

ค้นหาราก (หรือผลรวมของราก หากมีหลายรายการ) ของสมการ:

ln(7x+2) = ln(5x+20)

บันทึก 2 (x 2 +32) = บันทึก 2 (12x)

บันทึก 16 (0.5x-1.5) = 0.25

บันทึก 0.2 (3x-1) = -3

ln(อี 2 +2x-3) = 2

บันทึก 2 (14x) = บันทึก 2 7 + 2

คำตอบ (ในความระส่ำระสายแน่นอน): 42; 12; 9; 25; 7; 1.5; 2; 16.

อะไรนะ ทุกอย่างไม่ได้ผลใช่ไหม? เกิดขึ้น ไม่ต้องกังวล! มาตรา 555 อธิบายวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างทั้งหมดนี้อย่างชัดเจนและละเอียด คุณจะเข้าใจมันอย่างแน่นอน นอกจากนี้คุณยังจะได้เรียนรู้เทคนิคการปฏิบัติที่เป็นประโยชน์อีกด้วย

ทุกอย่างได้ผล!? ตัวอย่างทั้งหมดของ “เหลืออันเดียว”?) ยินดีด้วย!

ถึงเวลาเปิดเผยความจริงอันขมขื่นให้กับคุณแล้ว การแก้ตัวอย่างเหล่านี้ได้สำเร็จไม่ได้รับประกันความสำเร็จในการแก้สมการลอการิทึมอื่นๆ ทั้งหมด แม้แต่สิ่งที่ง่ายที่สุดเช่นนี้ อนิจจา.

ความจริงก็คือคำตอบของสมการลอการิทึมใดๆ (แม้แต่ระดับพื้นฐานที่สุด!) ประกอบด้วย สองส่วนที่เท่ากันการแก้สมการและการทำงานกับ ODZ เราได้เข้าใจส่วนหนึ่งแล้ว - การแก้สมการนั้นเอง มันไม่ยากขนาดนั้นขวา?

สำหรับบทเรียนนี้ ฉันเลือกตัวอย่างเป็นพิเศษซึ่ง DL ไม่ส่งผลต่อคำตอบแต่อย่างใด แต่ไม่ใช่ทุกคนจะใจดีเหมือนฉันใช่ไหม...)

ดังนั้นจึงจำเป็นต้องเชี่ยวชาญส่วนอื่น ๆ โอดีซ. นี่เป็นปัญหาหลักในการแก้สมการลอการิทึม และไม่ใช่เพราะมันยาก - ส่วนนี้ง่ายกว่าภาคแรกด้วยซ้ำ แต่เนื่องจากผู้คนมักลืม ODZ หรือพวกเขาไม่รู้ หรือทั้งสองอย่าง) และพวกเขาก็หลุดจากฟ้า...

ในบทเรียนถัดไป เราจะจัดการกับปัญหานี้ แล้วคุณจะตัดสินใจได้อย่างมั่นใจ ใดๆสมการลอการิทึมอย่างง่ายและเข้าใกล้งานที่ค่อนข้างมั่นคง

หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...

ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้

ก่อนที่จะแก้สมการลอการิทึม ให้เราทำซ้ำคำจำกัดความของลอการิทึมและสูตรพื้นฐานอีกครั้ง

ลอการิทึม จำนวนบวก ขขึ้นอยู่กับ ก- นี่เป็นตัวบ่งชี้ถึงพลังที่จะต้องยกระดับ กที่จะได้รับ ข.

ในกรณีนี้ class="tex" alt="b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1">.!}

ให้เราใส่ใจกับช่วงของค่าลอการิทึมที่อนุญาต:

ชั้น = "เท็กซ์" alt = "(! LANG: b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1">. !}

ข้อมูลประจำตัวลอการิทึมพื้นฐาน:

สูตรพื้นฐานสำหรับลอการิทึม:

(ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลรวมของลอการิทึม)

(ลอการิทึมของผลหารเท่ากับผลต่างของลอการิทึม)
(สูตรลอการิทึมกำลัง)

สูตรการย้ายฐานใหม่:

เรารู้ว่ากราฟของฟังก์ชันลอการิทึมมีลักษณะอย่างไร ฟังก์ชันนี้เป็นแบบโมโนโทนิก ถ้าฐานของลอการิทึมมากกว่าหนึ่ง ฟังก์ชันลอการิทึมจะเพิ่มขึ้นแบบโมโนโทนิก หากฐานมีค่ามากกว่าศูนย์และ น้อยกว่าหนึ่งฟังก์ชันลอการิทึมจะลดลงแบบซ้ำซาก และไม่ว่าในกรณีใด จะใช้แต่ละค่าเพียงครั้งเดียวเท่านั้น ซึ่งหมายความว่าถ้าลอการิทึมของตัวเลขสองตัวเท่ากับฐานใดๆ ตัวเลขนั้นก็จะเท่ากัน

ทั้งหมดนี้จะเป็นประโยชน์สำหรับเราในการแก้สมการลอการิทึม

สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด

1. แก้สมการ:

ฐานของลอการิทึมเท่ากัน ลอการิทึมเองก็เท่ากันเช่นกัน ซึ่งหมายความว่าตัวเลขที่ใช้ก็เท่ากันเช่นกัน
โดยปกติแล้ว นักเรียนจะจำกฎนี้เป็นศัพท์เฉพาะสั้นๆ: “ทิ้งลอการิทึมกันเถอะ!” แน่นอนว่าเรา "ละทิ้ง" พวกมันไม่ใช่แค่เช่นนั้น แต่ใช้คุณสมบัติของความซ้ำซ้อนของฟังก์ชันลอการิทึม

เราได้รับ:

เมื่อแก้สมการลอการิทึมอย่าลืม ช่วงของค่าที่ยอมรับได้ลอการิทึม โปรดจำไว้ว่านิพจน์ถูกกำหนดด้วย class="tex" alt="b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1">.!}

จะดีมากหากเมื่อพบรากของสมการแล้ว คุณเพียงแค่แทนมันลงในสมการ หากหลังจากการแทนที่ด้านซ้ายหรือด้านขวาของสมการแล้วไม่สมเหตุสมผล แสดงว่าตัวเลขที่พบไม่ใช่รากของสมการและไม่สามารถเป็นคำตอบของปัญหาได้ นี้ วิธีที่ดีการทดสอบสำหรับการสอบ Unified State

2. แก้สมการ:

ทางด้านซ้ายของสมการคือลอการิทึม ทางด้านขวาคือเลข 7 เมื่อใช้เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน เราจะแทนเลข 7 ในรูปแบบ จากนั้นทุกอย่างก็เรียบง่าย

คำตอบ: -124

3. แก้สมการ:

เห็นเลข 2 หน้าลอการิทึมทางด้านขวาของสมการไหม? ตอนนี้จะป้องกันไม่ให้คุณ "ปล่อยลอการิทึม" ฉันควรทำอย่างไรเพื่อให้ด้านซ้ายและด้านขวาเป็นเพียงลอการิทึมตามฐาน 5 แน่นอนว่าสูตรลอการิทึมของดีกรีจะช่วยได้

4. แก้สมการ:

ช่วงของค่าที่ยอมรับได้: class="tex" alt="4-x> 0."> Значит, class="tex" alt="x> -4.">!}

ลองแทน 2 ทางด้านขวาของสมการเป็น - เพื่อให้ด้านซ้ายและด้านขวาของสมการเป็นลอการิทึมของฐาน 5

ฟังก์ชันนี้จะเพิ่มขึ้นแบบซ้ำซากจำเจและรับค่าแต่ละค่าเพียงครั้งเดียว ลอการิทึมเท่ากัน ฐานเท่ากัน มา "ทิ้ง" ลอการิทึมกันเถอะ! แน่นอน ในกรณีนี้ class="tex" alt="x> -4">.!}

5. แก้สมการ:

ลองเขียนคำตอบเป็นลูกโซ่ของทรานซิชันที่เท่ากัน เราเขียน ODZ และ "ลบ" ลอการิทึม:

Class="tex" alt="\log _(8)\left (x^(2)+x \right)=\log _(8)\left (x^(2)-4 \right )\ลูกศรซ้าย \left\(\begin(เมทริกซ์) x^(2)+x> 0\\ x^(2)-4> 0\\ x^(2)+x=x^(2)-4 \ สิ้นสุด(เมทริกซ์)\right.\ลูกศรซ้าย \left\(\begin(เมทริกซ์) x^(2)+x> 0\\ x^(2)-4> 0\\ x=-4 \end(เมทริกซ์)\ ขวา.\ลูกศรขวา x=-4">!}
คำตอบ: –4.

โปรดทราบว่าคำตอบของสมการลอการิทึมนั้นเขียนได้ดีที่สุดในรูปแบบของห่วงโซ่การเปลี่ยนผ่านที่เท่ากัน สิ่งนี้จะช่วยให้เราไม่ลืมช่วงของค่าที่ยอมรับได้

6.แก้สมการ: .

ลองย้ายจากลอการิทึมฐาน 4 (ในเลขชี้กำลัง) ไปยังลอการิทึมฐาน 2 เราทำสิ่งนี้โดยใช้สูตรสำหรับการย้ายไปยังฐานอื่น:

ลองเขียนคำตอบเป็นลูกโซ่ของทรานซิชันที่เท่ากัน

Class="tex" alt="2^(\log _(4)\left (4x+5 \right))=9\Leftrightarrow \left\(\begin(เมทริกซ์) 2^\frac(( \log _(2)\left (4x+5 \right)))(2)=9\\ 4x+5> 0 \end(เมทริกซ์)\right.\Leftrightarrow \left\(\begin(matrix) \left (2^(\log _(2)\left (4x+5 \right)) \right)^(\frac(1)(2))=9\\ x> -1\frac(1)(4) \end(เมทริกซ์)\right.\ลูกศรซ้าย \left\(\begin(เมทริกซ์) \left (4x+5 \right)^(\frac(1)(2))=9\\ x> -1\frac( 1)(4) \end(เมทริกซ์)\right.\ลูกศรซ้าย \left\(\begin(เมทริกซ์) \sqrt(4x+5)=9\\ x> -1\frac(1)(4) \end( เมทริกซ์)\right.\Leftrightarrow \left\(\begin(เมทริกซ์) 4x+5=81\\ x> -1\frac(1)(4) \end(เมทริกซ์)\right.\Leftrightarrow \left\(\ เริ่มต้น(เมทริกซ์) x=19\\ x> -1\frac(1)(4) \end(เมทริกซ์)\right">!}

7.แก้สมการ: .

โปรดทราบ: ตัวแปร เอ็กซ์ทั้งใต้ลอการิทึมและที่ฐานของลอการิทึม เราจำได้ว่าฐานของลอการิทึมต้องเป็นค่าบวกและไม่เท่ากับ 1

ODZ:
class="tex" alt="\left\(\begin(เมทริกซ์) 12-x> 0\\ x> 0\\ x\neq 1 \end(เมทริกซ์)\right.">!}

ตอนนี้คุณสามารถ "ลบ" ลอการิทึมได้แล้ว

รากที่ไม่เกี่ยวข้องเนื่องจากต้องเป็นไปตามเงื่อนไข class="tex" alt="x> 0)">.!}

8. แก้สมการ

สมการ ODZ: class="tex" alt="x> 0">!}

มาทำการเปลี่ยนกันเถอะ เช่นเดียวกับสมการพีชคณิต เราทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปรทุกครั้งที่เป็นไปได้

ลองกลับมาที่ตัวแปรกัน เอ็กซ์:

9. แก้สมการ:

นิพจน์ใต้ลอการิทึมจะเป็นค่าบวกเสมอ เนื่องจากเราบวก 25 เข้ากับค่าที่ไม่เป็นลบ นิพจน์ใต้รากทางด้านขวาก็เป็นค่าบวกเช่นกัน วิธี, เอ็กซ์อาจเป็นจำนวนจริงใดๆ ก็ได้

ลองจินตนาการถึงผลรวมของลอการิทึมทางด้านซ้ายเป็นลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ ทางด้านขวา มาดูลอการิทึมฐาน 3 กัน แล้วใช้สูตรสำหรับลอการิทึมของกำลัง

ลอการิทึม "ทิ้ง"

สมการดังกล่าวเรียกว่าสมการกำลังสอง ประกอบด้วยสำนวนและ. มาทำการเปลี่ยนกันเถอะ

ลองกลับมาที่ตัวแปรกัน เอ็กซ์- เราได้รับ:

เราได้พบรากทั้งหมดของสมการดั้งเดิมแล้ว

คุณอาจพบสมการลอการิทึมในงานหมายเลข 5 การตรวจสอบโปรไฟล์ Unified Stateในวิชาคณิตศาสตร์และในงานหมายเลข 13 และถ้าในงานที่ 5 คุณต้องแก้สมการที่ง่ายที่สุด ดังนั้นในงานที่ 13 คำตอบจะประกอบด้วยสองจุด จุดที่สองคือการเลือกรากบนส่วนหรือช่วงเวลาที่กำหนด

การเตรียมตัวสำหรับการทดสอบครั้งสุดท้ายทางคณิตศาสตร์มีส่วนสำคัญ - "ลอการิทึม" งานจากหัวข้อนี้จำเป็นต้องมีอยู่ในการตรวจสอบ Unified State ประสบการณ์จากหลายปีที่ผ่านมาแสดงให้เห็นว่าสมการลอการิทึมทำให้เด็กนักเรียนหลายคนลำบาก ดังนั้นนักเรียนที่มีระดับการฝึกอบรมต่างกันจึงต้องเข้าใจวิธีการหาคำตอบที่ถูกต้องและรับมือกับพวกเขาได้อย่างรวดเร็ว

ผ่านการทดสอบการรับรองสำเร็จโดยใช้พอร์ทัลการศึกษา Shkolkovo!

เพื่อเตรียมความพร้อมสู่ความเป็นหนึ่งเดียว การสอบของรัฐผู้สำเร็จการศึกษาระดับมัธยมศึกษาตอนปลายต้องการแหล่งข้อมูลที่เชื่อถือได้ซึ่งให้ข้อมูลครบถ้วนที่สุดและ ข้อมูลที่ถูกต้องเพื่อการแก้ปัญหาที่ประสบความสำเร็จ ปัญหาการทดสอบ- อย่างไรก็ตาม หนังสือเรียนไม่ได้อยู่ในมือเสมอไป และการค้นหากฎและสูตรที่จำเป็นบนอินเทอร์เน็ตมักต้องใช้เวลา

พอร์ทัลการศึกษา Shkolkovo ช่วยให้คุณเตรียมความพร้อมสำหรับการสอบ Unified State ได้ทุกที่ทุกเวลา เว็บไซต์ของเราเสนอแนวทางที่สะดวกที่สุดในการทำซ้ำและดูดซับข้อมูลจำนวนมากเกี่ยวกับลอการิทึม เช่นเดียวกับข้อมูลที่ไม่ทราบหนึ่งหรือหลายรายการ เริ่มต้นด้วยสมการง่ายๆ หากคุณรับมือกับพวกมันได้โดยไม่ยาก ให้ไปยังสิ่งที่ซับซ้อนกว่านี้ หากคุณประสบปัญหาในการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน คุณสามารถเพิ่มลงในรายการโปรดเพื่อกลับมาดูในภายหลังได้

คุณสามารถค้นหาสูตรที่จำเป็นในการทำงานให้เสร็จสิ้น ทำซ้ำกรณีพิเศษและวิธีการคำนวณรากของสมการลอการิทึมมาตรฐานโดยดูที่ส่วน "ความช่วยเหลือทางทฤษฎี" ครู Shkolkovo รวบรวมจัดระบบและสรุปทุกสิ่งที่จำเป็นสำหรับ สำเร็จลุล่วงวัสดุในรูปแบบที่ง่ายและเข้าใจได้มากที่สุด

เพื่อให้สามารถรับมือกับงานที่ซับซ้อนได้อย่างง่ายดาย บนพอร์ทัลของเรา คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับคำตอบของสมการลอการิทึมมาตรฐานบางรายการได้ โดยไปที่ส่วน "แคตตาล็อก" เรามีตัวอย่างจำนวนมาก รวมถึงตัวอย่างที่มีสมการโปรไฟล์ด้วย ระดับการสอบ Unified Stateในวิชาคณิตศาสตร์

นักเรียนจากโรงเรียนทั่วรัสเซียสามารถใช้พอร์ทัลของเราได้ หากต้องการเริ่มชั้นเรียน เพียงลงทะเบียนในระบบและเริ่มแก้สมการ เพื่อรวบรวมผลลัพธ์ เราขอแนะนำให้คุณกลับไปที่เว็บไซต์ Shkolkovo ทุกวัน

คณิตศาสตร์เป็นมากกว่าวิทยาศาสตร์นี่คือภาษาของวิทยาศาสตร์

นักฟิสิกส์ชาวเดนมาร์กและบุคคลสาธารณะ Niels Bohr

สมการลอการิทึม

ในบรรดางานทั่วไป, เสนอในการทดสอบเข้า (แข่งขัน), เป็นงาน, เกี่ยวข้องกับการแก้สมการลอการิทึม เพื่อแก้ไขปัญหาดังกล่าวได้สำเร็จ คุณต้องมีความรู้ที่ดีเกี่ยวกับคุณสมบัติของลอการิทึมและมีทักษะในการใช้งาน

บทความนี้จะแนะนำแนวคิดพื้นฐานและคุณสมบัติของลอการิทึมเป็นอันดับแรก, จากนั้นจึงพิจารณาตัวอย่างการแก้สมการลอการิทึม

แนวคิดและคุณสมบัติพื้นฐาน

ขั้นแรก เราจะนำเสนอคุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม, การใช้ซึ่งช่วยให้สามารถแก้สมการลอการิทึมที่ค่อนข้างซับซ้อนได้สำเร็จ

ข้อมูลประจำตัวลอการิทึมหลักเขียนเป็น

, (1)

คุณสมบัติลอการิทึมที่รู้จักกันดีที่สุดคือความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

1. ถ้า , , และ แล้ว , ,

2. ถ้า , , , และ แล้ว .

3. ถ้า , , และ แล้ว .

4. ถ้า , , และ จำนวนธรรมชาติ, ที่

5. ถ้า , , และ จำนวนธรรมชาติ, ที่

6. ถ้า , , และ จากนั้น .

7. ถ้า , , และ แล้ว .

คุณสมบัติลอการิทึมที่ซับซ้อนมากขึ้นถูกกำหนดโดยใช้คำสั่งต่อไปนี้:

8. ถ้า , , , และ จากนั้น

9. ถ้า , , และ จากนั้น

10. ถ้า , , , และ แล้ว

การพิสูจน์คุณสมบัติสองประการสุดท้ายของลอการิทึมมีอยู่ในหนังสือเรียนของผู้เขียนเรื่อง "คณิตศาสตร์สำหรับนักเรียนมัธยมปลาย: ส่วนเพิ่มเติมของคณิตศาสตร์ในโรงเรียน" (ม.: Lenand / URSS, 2014).

น่าสังเกตเช่นกันฟังก์ชั่นคืออะไร กำลังเพิ่มขึ้น, ถ้า , และ ลดลง , ถ้า .

ลองดูตัวอย่างปัญหาในการแก้สมการลอการิทึม, เรียงตามลำดับความยากที่เพิ่มขึ้น

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 1- แก้สมการ

. (2)

สารละลาย.จากสมการ (2) เราได้ ลองแปลงสมการดังต่อไปนี้: , หรือ .

เพราะ , แล้วรากของสมการ (2) ก็คือ.

คำตอบ: .

ตัวอย่างที่ 2- แก้สมการ

สารละลาย. สมการ (3) เทียบเท่ากับสมการ

หรือ .

จากที่นี่เราได้รับ

คำตอบ: .

ตัวอย่างที่ 3. แก้สมการ

สารละลาย. จากสมการ (4) เป็นไปตามนี้, อะไร . การใช้เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน (1)เราก็เขียนได้

หรือ .

ถ้าใส่ จากนั้นเราจะได้สมการกำลังสอง, ซึ่งมีรากอยู่สองอันและ . อย่างไรก็ตาม ดังนั้น และรากที่เหมาะสมของสมการเป็นเพียง ตั้งแต่ แล้ว หรือ .

คำตอบ: .

ตัวอย่างที่ 4. แก้สมการ

สารละลาย.ช่วงค่าที่อนุญาตของตัวแปรในสมการ (5) คือ.

ช่างมัน - ตั้งแต่ฟังก์ชั่นในขอบเขตของคำจำกัดความกำลังลดลงและฟังก์ชัน เพิ่มขึ้นตลอดเส้นจำนวนแล้วสมการ ไม่สามารถมีได้มากกว่าหนึ่งราก

โดยการเลือกเราจะพบเพียงรากเท่านั้น.

คำตอบ: .

ตัวอย่างที่ 5. แก้สมการ.

สารละลาย.ถ้าทั้งสองข้างของสมการถูกนำมาลอการิทึมเป็นฐาน 10 แล้ว

หรือ .

การแก้สมการกำลังสองสำหรับ , เราได้รับ และ . ดังนั้นเราจึงมี และ .

คำตอบ: , .

ตัวอย่างที่ 6. แก้สมการ

. (6)

สารละลาย.ให้เราใช้เอกลักษณ์ (1) และแปลงสมการ (6) ดังนี้

หรือ .

คำตอบ: , .

ตัวอย่างที่ 7. แก้สมการ

. (7)

สารละลาย.เมื่อคำนึงถึงทรัพย์สิน 9 เรามี ในเรื่องนี้สมการ (7) จะอยู่ในรูปแบบ

จากที่นี่เราได้รับ หรือ .

คำตอบ: .

ตัวอย่างที่ 8. แก้สมการ

. (8)

สารละลาย.ให้เราใช้คุณสมบัติ 9 และเขียนสมการ (8) ใหม่ในรูปแบบที่เทียบเท่ากัน.

ถ้าเรากำหนดแล้ว, แล้วเราจะได้สมการกำลังสอง, ที่ไหน - เนื่องจากสมการมีรากที่เป็นบวกเพียงอันเดียวแล้วหรือ มันตามมาจากที่นี่

คำตอบ: .

ตัวอย่างที่ 9. แก้สมการ

. (9)

สารละลาย. เนื่องจากจากสมการ (9) เป็นไปตามนั้นแล้วที่นี่ ตามคุณสมบัติ 10,สามารถเขียนลงไปได้

ในการนี้สมการ (9) จะเทียบเท่ากับสมการ

หรือ .

จากตรงนี้เราจะได้รากของสมการ (9)

ตัวอย่างที่ 10. แก้สมการ

. (10)

สารละลาย.ช่วงของค่าที่อนุญาตของตัวแปรในสมการ (10) คือ ตามคุณสมบัติที่ 4 ตรงนี้เรามี

. (11)

เนื่องจาก สมการ (11) จึงอยู่ในรูปแบบ สมการกำลังสอง, ที่ไหน . รากของสมการกำลังสองคือ และ

ตั้งแต่ แล้ว และ . จากที่นี่เราได้รับ และ .

คำตอบ: , .

ตัวอย่างที่ 11. แก้สมการ

. (12)

สารละลาย.ให้เราแสดงว่าแล้ว และสมการ (12) อยู่ในรูปแบบ

หรือ

. (13)

จะเห็นได้ง่ายว่ารากของสมการ (13) คือ มาแสดงกันเถอะ สมการที่กำหนดไม่มีรากอื่น เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้หารทั้งสองข้างด้วยแล้วได้สมการที่เท่ากัน

. (14)

เนื่องจากฟังก์ชันกำลังลดลง และฟังก์ชันเพิ่มขึ้นบนแกนตัวเลขทั้งหมด สมการ (14) จึงไม่สามารถมีรากได้มากกว่าหนึ่งราก เนื่องจากสมการ (13) และ (14) เท่ากัน สมการ (13) จึงมีรากเดียว

ตั้งแต่ แล้ว และ .

คำตอบ: .

ตัวอย่างที่ 12. แก้สมการ

. (15)

สารละลาย.เรามาแสดงว่า และ . เนื่องจากฟังก์ชันลดลงในโดเมนของคำจำกัดความ และฟังก์ชันเพิ่มขึ้นสำหรับค่าใดๆ สมการจึงไม่สามารถมีรากที่เหมือนกันได้ โดยการเลือกโดยตรง เราพบว่ารากของสมการ (15) ที่ต้องการคือ

คำตอบ: .

ตัวอย่างที่ 13. แก้สมการ

. (16)

สารละลาย.เราได้โดยใช้คุณสมบัติของลอการิทึม

ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา และเรามีความไม่เท่าเทียมกัน

ความไม่เท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นจะเกิดขึ้นพร้อมกับสมการ (16) เฉพาะในกรณีที่ หรือ .

โดยการทดแทนค่าในสมการ (16) เรามั่นใจเช่นนั้น, อะไร คือรากของมัน

คำตอบ: .

ตัวอย่างที่ 14. แก้สมการ

. (17)

สารละลาย.เนื่องจากที่นี่ สมการ (17) จึงมีรูปแบบ

ถ้าเราใส่ เราก็จะได้สมการ

, (18)

ที่ไหน . จากสมการ (18) จะได้ดังนี้: หรือ . เนื่องจากสมการนี้มีรากที่เหมาะสมเพียงรากเดียว อย่างไรก็ตามนั่นคือเหตุผล

ตัวอย่างที่ 15. แก้สมการ

. (19)

สารละลาย.ให้เราแสดงว่า แล้วสมการ (19) จะอยู่ในรูปแบบ . ถ้าเรานำสมการนี้ไปที่ฐาน 3 เราจะได้

หรือ

เป็นไปตามนั้นและ. ตั้งแต่ แล้ว และ . ในการนี้และ.

คำตอบ: , .

ตัวอย่างที่ 16. แก้สมการ

. (20)

สารละลาย. มาป้อนพารามิเตอร์กันและเขียนสมการ (20) ใหม่ในรูปของสมการกำลังสองเทียบกับพารามิเตอร์, เช่น.

. (21)

รากของสมการ (21) คือ

หรือ , . เนื่องจาก เรามีสมการ และ จากที่นี่เราได้รับ และ .

คำตอบ: , .

ตัวอย่างที่ 17. แก้สมการ

. (22)

สารละลาย.ในการสร้างขอบเขตของคำจำกัดความของตัวแปรในสมการ (22) จำเป็นต้องพิจารณาชุดของอสมการสามประการ: , และ .

การใช้ทรัพย์สิน 2, จากสมการ (22) ที่เราได้รับ

หรือ

. (23)

ถ้าอยู่ในสมการ (23) เราใส่, แล้วเราจะได้สมการ

. (24)

สมการ (24) จะถูกแก้ดังนี้:

หรือ

มันเป็นไปตามนั้น และ กล่าวคือ สมการ (24) มีสองราก: และ .

ตั้งแต่ แล้ว หรือ , .

คำตอบ: , .

ตัวอย่างที่ 18. แก้สมการ

. (25)

สารละลาย.การใช้คุณสมบัติของลอการิทึม เราแปลงสมการ (25) ได้ดังนี้:

, , .

จากที่นี่เราได้รับ

ตัวอย่างที่ 19. แก้สมการ

. (26)

สารละลาย.ตั้งแต่นั้นมา.

ต่อไปเรามี. เพราะฉะนั้น , ความเท่าเทียมกัน (26) จะพึงพอใจก็ต่อเมื่อ, เมื่อทั้งสองข้างของสมการมีค่าเท่ากับ 2 ในเวลาเดียวกัน

ดังนั้น , สมการ (26) เทียบเท่ากับระบบสมการ

จากสมการที่สองของระบบที่เราได้รับ

หรือ .

ง่ายต่อการมองเห็นความหมายคืออะไร ยังเป็นไปตามสมการแรกของระบบด้วย

คำตอบ: .

หากต้องการศึกษาวิธีการแก้สมการลอการิทึมในเชิงลึกยิ่งขึ้น โปรดดูที่ หนังสือเรียนจากรายการวรรณกรรมแนะนำ

1. กุชนีร์ เอ.ไอ. ผลงานชิ้นเอกของคณิตศาสตร์โรงเรียน (ปัญหาและแนวทางแก้ไขในหนังสือสองเล่ม) – เคียฟ: แอสตาร์เตเล่ม 1 พ.ศ. 2538 – 576 หน้า

2. รวบรวมปัญหาทางคณิตศาสตร์สำหรับผู้สมัครเข้าวิทยาลัย / อ. มิ.ย. สแกนวิ – อ.: สันติภาพและการศึกษา, 2013. – 608 น.

3. สุพรรณ วี.พี. คณิตศาสตร์สำหรับนักเรียนมัธยมปลาย: ส่วนเพิ่มเติม หลักสูตรของโรงเรียน- – ม.: เลนันด์ / URSS, 2014. – 216 น.

4. สุพรรณ วี.พี. คณิตศาสตร์สำหรับนักเรียนมัธยมปลาย: ปัญหา เพิ่มความซับซ้อน- – อ.: ซีดี “Librocom” / URSS, 2017. – 200 น.

5. สุพรรณ วี.พี. คณิตศาสตร์สำหรับนักเรียนมัธยมปลาย: วิธีการแก้ปัญหาที่ไม่ได้มาตรฐาน – อ.: ซีดี “Librocom” / URSS, 2017. – 296 น.

ยังมีคำถามอยู่ใช่ไหม?

หากต้องการความช่วยเหลือจากครูสอนพิเศษ ให้ลงทะเบียน

เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

สมการลอการิทึมคือสมการที่ไม่ทราบค่า (x) และนิพจน์ที่อยู่ภายใต้เครื่องหมายของฟังก์ชันลอการิทึม การแก้สมการลอการิทึมจะถือว่าคุณคุ้นเคยกับ และ
จะแก้สมการลอการิทึมได้อย่างไร?

สมการที่ง่ายที่สุดคือ บันทึก a x = bโดยที่ a และ b เป็นตัวเลขจำนวนหนึ่ง ส่วน x ไม่ทราบค่า
การแก้สมการลอการิทึมคือ x = a b โดยมีให้: a > 0, a 1

ควรสังเกตว่าถ้า x อยู่ที่ไหนสักแห่งนอกลอการิทึมเช่น log 2 x = x-2 สมการดังกล่าวจะเรียกว่าผสมแล้วและจำเป็นต้องใช้วิธีพิเศษในการแก้ไข

กรณีในอุดมคติคือเมื่อคุณเจอสมการที่มีเฉพาะตัวเลขเท่านั้นที่อยู่ใต้เครื่องหมายลอการิทึม เช่น x+2 = log 2 2 นี่ก็เพียงพอที่จะทราบคุณสมบัติของลอการิทึมเพื่อแก้โจทย์ แต่โชคเช่นนี้ไม่ได้เกิดขึ้นบ่อยนัก ดังนั้นเตรียมตัวให้พร้อมสำหรับสิ่งที่ยากขึ้น

แต่ก่อนอื่นเรามาเริ่มกันที่ สมการง่ายๆ- เพื่อแก้ปัญหาเหล่านี้เป็นที่พึงปรารถนาที่จะมีมากที่สุด ความคิดทั่วไปเกี่ยวกับลอการิทึม

การแก้สมการลอการิทึมอย่างง่าย

ซึ่งรวมถึงสมการประเภท log 2 x = log 2 16 ด้วยตาเปล่าจะเห็นว่าถ้าเราละเครื่องหมายของลอการิทึม เราก็จะได้ x = 16

ในการแก้สมการลอการิทึมที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น มักจะลดลงเป็นการแก้สมการตามปกติ สมการพีชคณิตหรือคำตอบของสมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด บันทึก a x = b ในสมการที่ง่ายที่สุด สิ่งนี้เกิดขึ้นในการเคลื่อนไหวครั้งเดียว ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมจึงเรียกว่าง่ายที่สุด

วิธีการทิ้งลอการิทึมข้างต้นเป็นหนึ่งในวิธีหลักในการแก้สมการลอการิทึมและอสมการ ในทางคณิตศาสตร์ การดำเนินการนี้เรียกว่าศักยภาพ มีกฎหรือข้อจำกัดบางประการสำหรับการดำเนินการประเภทนี้:

• ลอการิทึมมีฐานตัวเลขเท่ากัน
• ลอการิทึมในทั้งสองข้างของสมการนั้นว่าง กล่าวคือ โดยไม่มีสัมประสิทธิ์หรือสำนวนอื่นใด

สมมติว่าในสมการ บันทึก 2 x = 2log 2 (1 - x) ไม่สามารถใช้ศักยภาพได้ - สัมประสิทธิ์ 2 ทางด้านขวาไม่อนุญาต ในตัวอย่างต่อไปนี้ บันทึก 2 x+log 2 (1 - x) = บันทึก 2 (1+x) ก็ไม่เป็นไปตามข้อจำกัดข้อใดข้อหนึ่งเช่นกัน - มีลอการิทึมสองตัวทางด้านซ้าย หากมีเพียงหนึ่งเดียวก็จะเป็นเรื่องที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง!

โดยทั่วไป คุณสามารถลบลอการิทึมได้ก็ต่อเมื่อสมการอยู่ในรูปแบบ:

เข้าสู่ระบบ (...) = เข้าสู่ระบบ (...)

สามารถใส่นิพจน์ใดๆ ไว้ในวงเล็บได้อย่างแน่นอน ซึ่งไม่มีผลใดๆ ต่อการดำเนินการเสริมศักยภาพเลย และหลังจากกำจัดลอการิทึมแล้ว สมการที่ง่ายกว่าจะยังคงอยู่ - เชิงเส้น กำลังสอง เลขชี้กำลัง ฯลฯ ซึ่งฉันหวังว่าคุณจะรู้วิธีแก้อยู่แล้ว

ลองมาอีกตัวอย่างหนึ่ง:

บันทึก 3 (2x-5) = บันทึก 3 x

เราใช้ศักยภาพ เราได้รับ:

ล็อก 3 (2x-1) = 2

ตามคำจำกัดความของลอการิทึม กล่าวคือ ลอการิทึมคือตัวเลขที่ต้องยกฐานขึ้นเพื่อให้ได้นิพจน์ที่อยู่ใต้เครื่องหมายลอการิทึม กล่าวคือ (4x-1) เราได้:

เราได้รับคำตอบที่สวยงามอีกครั้ง ที่นี่เราทำโดยไม่กำจัดลอการิทึม แต่ศักยภาพก็ใช้ได้ที่นี่เช่นกัน เนื่องจากลอการิทึมสามารถสร้างจากจำนวนใดก็ได้ และเป็นลอการิทึมที่เราต้องการจริงๆ วิธีนี้มีประโยชน์มากในการแก้สมการลอการิทึมและโดยเฉพาะอสมการ

ลองแก้สมการลอการิทึมของเราด้วยล็อก 3 (2x-1) = 2 โดยใช้ศักยภาพ:

ลองจินตนาการว่าเลข 2 เป็นลอการิทึม เช่น บันทึกนี้ 3 9 เพราะ 3 2 =9

จากนั้นลอก 3 (2x-1) = บันทึก 3 9 และอีกครั้งเราจะได้สมการเดียวกัน 2x-1 = 9 ฉันหวังว่าทุกอย่างชัดเจน

เราจึงดูวิธีแก้สมการลอการิทึมที่ง่ายที่สุด ซึ่งจริงๆ แล้วสำคัญมาก เพราะว่า การแก้สมการลอการิทึมแม้แต่สิ่งที่เลวร้ายและบิดเบี้ยวที่สุด ท้ายที่สุดแล้วก็ต้องแก้สมการที่ง่ายที่สุดเสมอ

ในทุกสิ่งที่เราทำข้างต้น เราพลาดไปอย่างหนึ่งอย่างมาก จุดสำคัญซึ่งจะเข้ามามีบทบาทชี้ขาดในอนาคต ความจริงก็คือคำตอบของสมการลอการิทึมใดๆ แม้แต่สมการเบื้องต้นที่สุดก็ประกอบด้วยสองส่วนที่เท่ากัน อย่างแรกคือการแก้สมการ ส่วนอย่างที่สองทำงานกับช่วงของค่าที่อนุญาต (APV) นี่เป็นส่วนแรกที่เราเชี่ยวชาญ ในตัวอย่างข้างต้น ODZ ไม่มีผลกับคำตอบแต่อย่างใด ดังนั้นเราจึงไม่ได้พิจารณาเรื่องนี้

ลองมาอีกตัวอย่างหนึ่ง:

บันทึก 3 (x 2 -3) = บันทึก 3 (2x)

ภายนอกสมการนี้ไม่แตกต่างจากสมการเบื้องต้นซึ่งสามารถแก้ไขได้สำเร็จมาก แต่นี่ไม่เป็นความจริงทั้งหมด ไม่ แน่นอนว่าเราจะแก้ปัญหานี้ แต่น่าจะไม่ถูกต้องเนื่องจากมีการซุ่มโจมตีเล็กน้อยซึ่งทั้งนักเรียนเกรด C และนักเรียนที่เก่งก็ตกอยู่ในนั้นทันที มาดูกันดีกว่า

สมมติว่าคุณจำเป็นต้องค้นหารากของสมการหรือผลรวมของราก หากมีหลายราก:

บันทึก 3 (x 2 -3) = บันทึก 3 (2x)

เราใช้ศักยภาพก็เป็นที่ยอมรับที่นี่ เป็นผลให้เราได้สมการกำลังสองธรรมดา

ค้นหารากของสมการ:

มันกลับกลายเป็นสองราก

คำตอบ: 3 และ -1

เมื่อมองแวบแรกทุกอย่างถูกต้อง แต่ลองตรวจสอบผลลัพธ์แล้วแทนที่มันลงในสมการดั้งเดิม

เริ่มต้นด้วย x 1 = 3:

บันทึก 3 6 = บันทึก 3 6

การตรวจสอบสำเร็จ ขณะนี้คิวคือ x 2 = -1:

บันทึก 3 (-2) = บันทึก 3 (-2)

โอเค หยุด! ภายนอกทุกอย่างสมบูรณ์แบบ สิ่งหนึ่งที่ไม่มีลอการิทึมจากจำนวนลบ! ซึ่งหมายความว่าราก x = -1 ไม่เหมาะสำหรับการแก้สมการของเรา ดังนั้นคำตอบที่ถูกต้องจะเป็น 3 ไม่ใช่ 2 ตามที่เราเขียนไว้

นี่คือจุดที่ ODZ มีบทบาทร้ายแรงซึ่งเราลืมไปแล้ว

ฉันขอเตือนคุณว่าช่วงของค่าที่ยอมรับได้รวมถึงค่า x ที่อนุญาตหรือสมเหตุสมผลสำหรับตัวอย่างดั้งเดิม

หากไม่มี ODZ วิธีแก้ไขใดๆ แม้แต่วิธีที่ถูกต้องที่สุด ของสมการใดๆ ก็จะกลายเป็นลอตเตอรี - 50/50

เราจะถูกจับได้ว่ากำลังแก้ไขตัวอย่างที่ดูเหมือนเบื้องต้นได้อย่างไร แต่ในช่วงเวลาแห่งพลังอย่างแม่นยำ ลอการิทึมหายไป และด้วยข้อจำกัดทั้งหมด

จะทำอย่างไรในกรณีนี้? ปฏิเสธที่จะกำจัดลอการิทึม? และปฏิเสธที่จะแก้สมการนี้โดยสิ้นเชิง?

ไม่ เราแค่ใช้ทางอ้อมเช่นเดียวกับฮีโร่ตัวจริงจากเพลงดังเพลงหนึ่ง!

ก่อนที่เราจะเริ่มแก้สมการลอการิทึมใดๆ เราจะเขียน ODZ ก่อน แต่หลังจากนั้นคุณสามารถทำอะไรก็ได้ตามใจปรารถนาด้วยสมการของเรา เมื่อได้รับคำตอบแล้ว เราก็เพียงโยนรากที่ไม่รวมอยู่ใน ODZ ของเราออกแล้วจดเวอร์ชันสุดท้ายลงไป

ตอนนี้เรามาตัดสินใจว่าจะบันทึก ODZ อย่างไร ในการทำเช่นนี้ เราจะตรวจสอบสมการดั้งเดิมอย่างรอบคอบ และมองหาตำแหน่งที่น่าสงสัยในสมการนั้น เช่น การหารด้วย x หรือรากคู่ เป็นต้น จนกว่าเราจะแก้สมการได้เราไม่รู้ว่า x เท่ากับอะไร แต่เรารู้แน่ว่ามี x ซึ่งเมื่อแทนค่าแล้วจะหารด้วย 0 หรือแยกออกมา รากที่สองจากจำนวนลบไม่เหมาะเป็นคำตอบอย่างเห็นได้ชัด ดังนั้นค่า x ดังกล่าวจึงไม่สามารถยอมรับได้ ในขณะที่ส่วนที่เหลือจะประกอบเป็น ODZ

ลองใช้สมการเดียวกันอีกครั้ง:

บันทึก 3 (x 2 -3) = บันทึก 3 (2x)

บันทึก 3 (x 2 -3) = บันทึก 3 (2x)

อย่างที่คุณเห็น ไม่มีการหารด้วย 0 รากที่สองไม่ใช่เช่นกัน แต่มีนิพจน์ที่มี x อยู่ในเนื้อหาของลอการิทึม ขอให้เราจำไว้ทันทีว่านิพจน์ภายในลอการิทึมจะต้องเป็น >0 เสมอ เราเขียนเงื่อนไขนี้ในรูปแบบของ ODZ:

เหล่านั้น. เรายังไม่ได้ตัดสินใจอะไร แต่เราได้เขียนมันลงไปแล้ว ข้อกำหนดเบื้องต้นสำหรับนิพจน์ย่อยลอการิทึมทั้งหมด วงเล็บปีกกาหมายความว่าเงื่อนไขเหล่านี้จะต้องเป็นจริงพร้อมกัน

ODZ ถูกเขียนไว้แล้ว แต่ยังจำเป็นต้องแก้ไขระบบความไม่เท่าเทียมกันซึ่งเป็นสิ่งที่เราจะทำ เราได้คำตอบ x > v3 ตอนนี้เรารู้แล้วว่า x ตัวไหนไม่เหมาะกับเรา แล้วเราก็เริ่มแก้สมการลอการิทึมเอง ซึ่งเป็นสิ่งที่เราทำข้างต้น

เมื่อได้รับคำตอบ x 1 = 3 และ x 2 = -1 แล้ว จะเห็นว่ามีเพียง x1 = 3 เท่านั้นที่เหมาะกับเรา และเราจะจดไว้เป็นคำตอบสุดท้าย

สำหรับอนาคต สิ่งสำคัญมากที่ต้องจดจำสิ่งต่อไปนี้: เราแก้สมการลอการิทึมใน 2 ขั้นตอน อย่างแรกคือการแก้สมการเอง อย่างที่สองคือการแก้เงื่อนไข ODZ ทั้งสองขั้นตอนดำเนินการอย่างเป็นอิสระจากกันและเปรียบเทียบเฉพาะเมื่อเขียนคำตอบเท่านั้นเช่น ทิ้งทุกสิ่งที่ไม่จำเป็นและจดคำตอบที่ถูกต้อง

เพื่อเสริมความแข็งแกร่งของวัสดุ เราขอแนะนำอย่างยิ่งให้ดูวิดีโอ:

วิดีโอนี้แสดงตัวอย่างอื่นๆ ของการแก้ปัญหาบันทึก สมการและการหาวิธีช่วงในทางปฏิบัติ

สำหรับคำถามนี้ วิธีแก้สมการลอการิทึมนั่นคือทั้งหมดสำหรับตอนนี้ หากบางสิ่งบางอย่างถูกตัดสินใจโดยบันทึก สมการยังไม่ชัดเจนหรือไม่สามารถเข้าใจได้ เขียนคำถามของคุณในความคิดเห็น

หมายเหตุ: Academy of Social Education (ASE) พร้อมเปิดรับนักศึกษาใหม่แล้ว