ความไม่เท่าเทียมกันแบบไม่มีเหตุผล ทฤษฎีและตัวอย่าง

ใน บทเรียนนี้เราจะดูที่การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันและยกตัวอย่างต่างๆ

หัวข้อ: สมการและอสมการ. ระบบสมการและอสมการ

บทเรียน:ความไม่เท่าเทียมกันแบบไม่มีเหตุผล

เมื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันแบบไม่มีเหตุผล บ่อยครั้งจำเป็นต้องเพิ่มความไม่เท่าเทียมกันทั้งสองด้านขึ้นในระดับหนึ่ง นี่เป็นการดำเนินการที่ค่อนข้างมีความรับผิดชอบ ให้เราจำคุณสมบัติต่างๆ

อสมการทั้งสองข้างสามารถยกกำลังสองได้ถ้าทั้งคู่ไม่เป็นลบ จากนั้นเราจะได้อสมการจริงจากอสมการจริง

อสมการทั้งสองข้างสามารถยกกำลังสามได้ไม่ว่าในกรณีใดๆ หากอสมการเดิมเป็นจริง เมื่อยกกำลังสามแล้วเราจะได้อสมการที่ถูกต้อง

พิจารณาความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม:

การแสดงออกที่รุนแรงจะต้องไม่เป็นลบ ฟังก์ชันสามารถรับค่าใดๆ ก็ได้ โดยต้องพิจารณา 2 กรณี

ในกรณีแรก อสมการทั้งสองด้านไม่เป็นลบ เรามีสิทธิ์ยกกำลังสองได้ ในกรณีที่สอง ทางด้านขวามือเป็นลบ และเราไม่มีสิทธิ์ยกกำลังสอง ในกรณีนี้จำเป็นต้องดูความหมายของความไม่เท่าเทียมกัน: นี่คือนิพจน์เชิงบวก ( รากที่สอง) มากกว่านิพจน์เชิงลบ ซึ่งหมายความว่าความไม่เท่าเทียมกันจะเป็นที่น่าพอใจเสมอ

ดังนั้นเราจึงมีรูปแบบการแก้ปัญหาดังต่อไปนี้:

ในระบบแรก เราไม่ได้แยกการป้องกันการแสดงออกทางราก เนื่องจากเมื่อเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกันที่สองของระบบ การแสดงออกทางรากต้องเป็นค่าบวกโดยอัตโนมัติ

ตัวอย่างที่ 1 - แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

ตามแผนภาพ เราไปยังชุดของระบบอสมการสองระบบที่เทียบเท่ากัน:

มาอธิบายกัน:

ข้าว. 1 - ภาพประกอบของวิธีแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่างที่ 1

ดังที่เราเห็น เมื่อเรากำจัดความไร้เหตุผลออกไป เช่น เมื่อกำลังสอง เราจะได้ชุดของระบบ บางครั้งการออกแบบที่ซับซ้อนนี้ก็สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้ ในชุดผลลัพธ์ เรามีสิทธิ์ที่จะทำให้ระบบแรกง่ายขึ้นและได้รับชุดที่เทียบเท่ากัน:

เนื่องจากเป็นแบบฝึกหัดอิสระ จึงจำเป็นต้องพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของเซตเหล่านี้

พิจารณาความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม:

เช่นเดียวกับความไม่เท่าเทียมกันก่อนหน้านี้ เราจะพิจารณาสองกรณี:

ในกรณีแรก อสมการทั้งสองด้านไม่เป็นลบ เรามีสิทธิ์ยกกำลังสองได้ ในกรณีที่สอง ทางด้านขวามือเป็นลบ และเราไม่มีสิทธิ์ยกกำลังสอง ในกรณีนี้ จำเป็นต้องดูความหมายของความไม่เท่าเทียมกัน โดยในที่นี้นิพจน์เชิงบวก (รากที่สอง) น้อยกว่านิพจน์เชิงลบ ซึ่งหมายความว่าความไม่เท่าเทียมกันนั้นขัดแย้งกัน ไม่จำเป็นต้องพิจารณาระบบที่สอง

เรามีระบบที่เทียบเท่า:

บางครั้งความไม่เท่าเทียมกันแบบไม่มีเหตุผลสามารถแก้ไขได้แบบกราฟิก วิธีการนี้ใช้ได้เมื่อสามารถสร้างกราฟที่สอดคล้องกันได้ค่อนข้างง่ายและสามารถหาจุดตัดกันได้

ตัวอย่างที่ 2 - แก้อสมการแบบกราฟิก:

ก)

ข)

เราได้แก้ไขความไม่เท่าเทียมกันประการแรกและรู้คำตอบแล้ว

เพื่อแก้อสมการในรูปแบบกราฟิก คุณต้องสร้างกราฟของฟังก์ชันทางด้านซ้ายและกราฟของฟังก์ชันทางด้านขวา

ข้าว. 2. กราฟของฟังก์ชันและ

ในการสร้างกราฟฟังก์ชัน จำเป็นต้องแปลงพาราโบลาให้เป็นพาราโบลา (สะท้อนให้สัมพันธ์กับแกน y) และเลื่อนเส้นโค้งผลลัพธ์ 7 หน่วยไปทางขวา กราฟยืนยันได้ว่า ฟังก์ชั่นนี้ลดลงอย่างน่าเบื่อหน่ายในขอบเขตของคำจำกัดความ

กราฟของฟังก์ชันเป็นเส้นตรงและสร้างได้ง่าย จุดตัดกับแกน y คือ (0;-1)

ฟังก์ชั่นแรกลดลงแบบโมโนโทน ฟังก์ชั่นที่สองเพิ่มขึ้นแบบโมโนโทน หากสมการนี้มีราก แสดงว่าเป็นเพียงสมการเดียวเท่านั้นที่เดาได้ง่ายจากกราฟ:

เมื่อค่าของอาร์กิวเมนต์น้อยกว่าค่าราก พาราโบลาจะอยู่เหนือเส้นตรง เมื่อค่าของอาร์กิวเมนต์อยู่ระหว่าง 3 ถึง 7 เส้นตรงจะผ่านเหนือพาราโบลา

เรามีคำตอบ:

วิธีการที่มีประสิทธิภาพวิธีการระบุช่วงเวลาใช้ในการแก้อสมการที่ไม่ลงตัว

ตัวอย่างที่ 3 - แก้อสมการโดยใช้วิธีช่วงเวลา:

ก)

ข)

ตามวิธีช่วงเวลาจำเป็นต้องถอยห่างจากความไม่เท่าเทียมกันชั่วคราว เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ ให้ย้ายทุกสิ่งที่อยู่ในความไม่เท่าเทียมกันที่กำหนดไปทางซ้าย (รับศูนย์ทางด้านขวา) และแนะนำฟังก์ชันที่เท่ากับด้านซ้าย:

ตอนนี้เราต้องศึกษาฟังก์ชันผลลัพธ์

ODZ:

เราได้แก้สมการนี้แบบกราฟิกแล้ว ดังนั้นเราจึงไม่ได้สนใจแค่การหาราก

ตอนนี้จำเป็นต้องเลือกช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่และกำหนดเครื่องหมายของฟังก์ชันในแต่ละช่วงเวลา:

ข้าว. 3. ช่วงความสม่ำเสมอของสัญญาณ เช่น 3

ให้เราระลึกไว้ว่าในการกำหนดสัญญาณในช่วงเวลานั้น จำเป็นต้องใช้จุดทดลองและแทนที่ลงในฟังก์ชันนั้น ฟังก์ชันจะเก็บสัญญาณผลลัพธ์ไว้ตลอดช่วงเวลาทั้งหมด

ลองตรวจสอบค่าที่จุดขอบเขต:

คำตอบนั้นชัดเจน:

พิจารณาความไม่เท่าเทียมกันประเภทต่อไปนี้:

ก่อนอื่น เรามาเขียน ODZ กันก่อน:

รากนั้นมีอยู่แล้ว ไม่เป็นลบ เราสามารถยกกำลังสองทั้งสองข้างได้ เราได้รับ:

เรามีระบบที่เทียบเท่า:

ระบบผลลัพธ์สามารถทำให้ง่ายขึ้น เมื่ออสมการที่สองและสามเป็นที่พอใจ อันแรกจะเป็นจริงโดยอัตโนมัติ เรามี::

ตัวอย่างที่ 4 - แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

เราดำเนินการตามโครงการ - เราได้รับระบบที่เทียบเท่า

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

• เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมลของคุณ ฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• รวบรวมโดยเรา ข้อมูลส่วนบุคคลช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณและแจ้งให้คุณทราบเกี่ยวกับข้อเสนอพิเศษ โปรโมชั่นและกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
• เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็น - ตามกฎหมาย กระบวนการยุติธรรม การดำเนินคดี และ/หรือ ตามคำขอสาธารณะ หรือการร้องขอจาก หน่วยงานภาครัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงการบริหารจัดการ ทางเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

อสมการใดๆ ที่มีฟังก์ชันอยู่ใต้รูทจะถูกเรียกว่า ไม่มีเหตุผล- ความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าวมีสองประเภท:

ในกรณีแรกรูทจะน้อยกว่าฟังก์ชัน g(x) ส่วนอันที่สองจะมากกว่า ถ้า ก(x) - คงที่ความไม่เท่าเทียมกันนั้นง่ายขึ้นมาก โปรดทราบ: ความไม่เท่าเทียมกันภายนอกเหล่านี้มีความคล้ายคลึงกันมาก แต่แผนการแก้ปัญหาต่างกันโดยพื้นฐาน

วันนี้เราจะได้เรียนรู้วิธีแก้ความไม่เท่าเทียมกันแบบไม่มีเหตุผลประเภทแรกซึ่งเป็นวิธีที่ง่ายและเข้าใจได้มากที่สุด เครื่องหมายอสมการอาจเป็นแบบเข้มงวดหรือไม่เข้มงวดก็ได้ ข้อความต่อไปนี้เป็นจริงสำหรับพวกเขา:

ทฤษฎีบท. ความไม่เท่าเทียมกันอย่างไม่มีเหตุผลของแบบฟอร์ม

เทียบเท่ากับระบบอสมการ:

ไม่อ่อนแอเหรอ? มาดูกันว่าระบบนี้มาจากไหน:

1. f (x) ≤ g 2 (x) - ทุกอย่างชัดเจนที่นี่ นี่คืออสมการดั้งเดิมกำลังสอง
2. f (x) ≥ 0 คือ ODZ ของรูท ฉันขอเตือนคุณ: รากที่สองทางคณิตศาสตร์มีอยู่เฉพาะจากเท่านั้น ไม่เป็นลบตัวเลข;
3. g(x) ≥ 0 คือพิสัยของรูท ด้วยการยกกำลังสองของความไม่เท่าเทียมกัน เราจะกำจัดสิ่งที่เป็นลบออกไป เป็นผลให้อาจมีรากเพิ่มเติมปรากฏขึ้น อสมการ g(x) ≥ 0 จะตัดมันออกไป

นักเรียนหลายคน "จมอยู่กับ" กับความไม่เท่าเทียมกันแรกของระบบ: f (x) ≤ g 2 (x) - และลืมอีกสองคนไปจนหมด ผลลัพธ์ที่คาดเดาได้: ตัดสินใจผิด, เสียคะแนน

เนื่องจากความไม่เท่าเทียมกันแบบไม่มีเหตุผลเป็นหัวข้อที่ค่อนข้างซับซ้อน เรามาดู 4 ตัวอย่างพร้อมกันกัน ตั้งแต่พื้นฐานไปจนถึงซับซ้อนจริงๆ ปัญหาทั้งหมดนำมาจากการสอบเข้าของ Moscow State University เอ็ม.วี. โลโมโนซอฟ

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

ก่อนที่เราจะเป็นคลาสสิก ความไม่เท่าเทียมกันอย่างไม่มีเหตุผล: ฉ(x) = 2x + 3; g(x) = 2 เป็นค่าคงที่ เรามี:

จากความไม่เท่าเทียมกันทั้งสามประการ มีเพียงสองประการเท่านั้นที่ยังคงอยู่ที่จุดสิ้นสุดของการแก้ปัญหา เพราะอสมการ 2 ≥ 0 ยังคงอยู่เสมอ ข้ามความไม่เท่าเทียมกันที่เหลือ:

ดังนั้น x ∈ [−1.5; 0.5]. ทุกจุดแรเงาเพราะว่า ความไม่เท่าเทียมกันไม่เข้มงวด.

งาน. แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

เราใช้ทฤษฎีบท:

ลองแก้อสมการแรกกัน. ในการทำเช่นนี้ เราจะเปิดเผยกำลังสองของความแตกต่าง เรามี:

2x 2 - 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x 2 - 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
x 2 − 10x< 0;
x (x - 10)< 0;
x ∈ (0; 10)

ทีนี้ลองแก้อสมการที่สองกัน ที่นั่นด้วย ตรีโกณมิติกำลังสอง:

2x 2 - 18x + 16 ≥ 0;
x 2 - 9x + 8 ≥ 0;
(x − 8)(x − 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪)