ช่วงเวลาของการเพิ่มและการลดฟังก์ชั่นออนไลน์ ฟังก์ชั่นการวิจัย

ฟังก์ชั่นสุดยอด

คำจำกัดความ 2

จุด $ x_0 $ ถูกเรียกว่าจุดสูงสุดของฟังก์ชั่น $ f (x) $ หากมีละแวกใกล้เคียงของจุดนี้เช่นนั้นสำหรับ $ x $ ทั้งหมดจากละแวกนี้ความไม่เท่าเทียมกัน $ f (x) \\ le f (x_0) $ ถือ

คำจำกัดความ 3

จุด $ x_0 $ ถูกเรียกว่าจุดสูงสุดของฟังก์ชั่น $ f (x) $ หากมีละแวกใกล้เคียงของจุดนี้เช่นนั้นสำหรับ $ x $ ทั้งหมดจากละแวกนี้ความไม่เท่าเทียมกัน $ f (x) \\ ge f (x_0) $ ถือ

แนวคิดของหน่วยสุดยอดของฟังก์ชั่นที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับแนวคิดของจุดวิกฤติของฟังก์ชั่น เราแนะนำความหมายของมัน

คำจำกัดความ 4

$ x_0 $ ถูกเรียกว่าจุดวิกฤติของฟังก์ชั่น $ f (x) $ ถ้า:

1) $ x_0 $ เป็นจุดภายในของโดเมนคำจำกัดความ

2) $ f "\\ left (x_0 \\ right) \u003d 0 $ หรือไม่มีอยู่

สำหรับแนวคิดของ extremum เราสามารถกำหนดทฤษฎีบทเกี่ยวกับเงื่อนไขที่เพียงพอและจำเป็นสำหรับการดำรงอยู่ของมัน

ทฤษฎีบท 2

สภาพที่เพียงพอสำหรับอาการปวดหัว

ปล่อยให้จุด $ x_0 $ มีความสำคัญสำหรับฟังก์ชัน $ y \u003d f (x) $ และอยู่ในช่วง $ (a, b) $ สมมติว่าในแต่ละช่วง $ \\ left (a, x_0 \\ right) \\ และ \\ (x_0, b) $ the อนุพันธ์ $ f "(x) $ มีอยู่และคงเครื่องหมายคงที่จากนั้น:

1) ถ้าในช่วง $ (a, x_0) $ อนุพันธ์คือ $ f "\\ left (x \\ right)\u003e 0 $ และในช่วง $ (x_0, b) $ อนุพันธ์คือ $ f" \\ left (x \\ right)

2) ถ้าในช่วง $ (a, x_0) $ อนุพันธ์คือ $ f "\\ left (x \\ right) 0 $ ดังนั้นจุด $ x_0 $ คือจุดต่ำสุดของฟังก์ชั่นนี้

3) ถ้าทั้งช่วง $ (a, x_0) $ และช่วง $ (x_0, b) $ อนุพันธ์ $ f "\\ left (x \\ right)\u003e 0 $ หรืออนุพันธ์ $ f" \\ left (x \\ right)

ทฤษฎีบทนี้มีภาพประกอบในรูปที่ 1

รูปที่ 1 เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการดำรงอยู่ของ extrema

ตัวอย่างของสุดขั้ว (รูปที่ 2)

รูปที่ 2 ตัวอย่างของคะแนนมาก

  กฎของการวิจัยฟังก์ชั่นเกี่ยวกับ Extremum

2) ค้นหาอนุพันธ์ $ f "(x) $;

7) วาดข้อสรุปเกี่ยวกับการปรากฏตัวของ maxima และ minima ในแต่ละช่วงเวลาโดยใช้ทฤษฎีบท 2

  ฟังก์ชั่นการเพิ่มและลด

เราแนะนำสำหรับคำว่า starters คำจำกัดความของการเพิ่มและลดฟังก์ชั่น

นิยาม 5

ฟังก์ชัน $ y \u003d f (x) $ ที่กำหนดไว้ในช่วงเวลา $ X $ เรียกว่าเพิ่มขึ้นหากคะแนนใด ๆ $ x_1, x_2 \\ in X $ สำหรับ $ x_1

นิยาม 6

ฟังก์ชัน $ y \u003d f (x) $ ที่กำหนดไว้ในช่วงเวลา $ X $ เรียกว่าลดลงหากมีคะแนน $ x_1, x_2 \\ in X $ สำหรับ $ x_1f (x_2) $

  การตรวจสอบการทำงานของการเพิ่มและลด

คุณสามารถสำรวจฟังก์ชั่นของการเพิ่มและลดลงโดยใช้อนุพันธ์

ในการตรวจสอบฟังก์ชั่นสำหรับช่วงการเพิ่มและลดจำเป็นต้องทำสิ่งต่อไปนี้:

1) ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน $ f (x) $;

2) ค้นหาอนุพันธ์ $ f "(x) $;

3) ค้นหาคะแนนที่เท่าเทียมกัน $ f "\\ left (x \\ right) \u003d 0 $ ถือ;

4) ค้นหาจุดที่ $ f "(x) $ ไม่มีอยู่;

5) ทำเครื่องหมายบนเส้นพิกัดทุกจุดที่พบและโดเมนของฟังก์ชันนี้

6) กำหนดสัญลักษณ์ของอนุพันธ์ $ f "(x) $ ในแต่ละช่วงเวลา

7) เพื่อสรุป: ในช่วงเวลาที่ $ f "\\ left (x \\ right) 0 $ ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้น

  ตัวอย่างของงานเพื่อศึกษาหน้าที่ของการเพิ่มการลดและการปรากฏตัวของจุดที่รุนแรง

ตัวอย่างที่ 1

ตรวจสอบฟังก์ชันการเพิ่มและลดและการมีอยู่ของคะแนนสูงสุดและต่ำสุด: $ f (x) \u003d (2x) ^ 3-15x ^ 2 + 36x + 1 $

ตั้งแต่ 6 คะแนนแรกเหมือนกันเริ่มด้วยกันเลย

1) ขอบเขต - จำนวนจริงทั้งหมด

2) $ f "\\ left (x \\ right) \u003d 6x ^ 2-30x + 36 $;

3) $ f "\\ left (x \\ right) \u003d 0 $;

\ \ \

4) $ f "(x) $ มีอยู่ทุกจุดในโดเมนของการกำหนด;

5) ประสานงานสาย:

รูปที่ 3

6) กำหนดสัญลักษณ์ของอนุพันธ์ $ f "(x) $ ในแต่ละช่วงเวลา:

  \\ \\ ถ้าคู่ใดมีคะแนน x  และ x ", และ≤ x ความไม่เท่าเทียมกัน ฉ(x) ≤ ฉ (x ") และเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด - หากความไม่เท่าเทียมกัน ฉ (x) f(x ") การลดและลดการเข้มงวดของฟังก์ชั่นจะถูกกำหนดในลักษณะที่คล้ายกัน ตัวอย่างเช่นฟังก์ชั่น ที่ = x 2 (มะเดื่อ a) เพิ่มเซ็กเมนต์อย่างเข้มงวดและ

(มะเดื่อ , b) ลดเซ็กเมนต์นี้อย่างเคร่งครัด ฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้นจะแสดงโดย ฉ (x) และลดลง ฉ (x) ↓ เพื่อให้ฟังก์ชั่น differentiable ฉ (x) เพิ่มขึ้นในส่วน [ และ, ข] มันเป็นสิ่งที่จำเป็นและเพียงพอที่อนุพันธ์ ฉ"(x) ไม่ใช่ค่าลบใน [ และ, ข].

พร้อมกับการเพิ่มและลดลงของฟังก์ชั่นในส่วนที่เพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชั่นที่จุดได้รับการพิจารณา ฟังก์ชัน ที่ = ฉ (x) เรียกว่าการเพิ่มที่จุด x  0 ถ้ามีช่วงเวลาดังกล่าว (α, β) ที่มีจุด x  0 สำหรับทุกจุด x  จาก (α, β) x\u003e x  0 ความไม่เท่าเทียม ฉ (x 0) ≤ ฉ (x) และสำหรับจุดใด ๆ x  จาก (α, β) x 0, ความไม่เท่าเทียมกัน ฉ (x) ≤ f (x  0) ในทำนองเดียวกันการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชั่นที่จุด x  0 ถ้า ฉ"(x 0) >   0 จากนั้นฟังก์ชั่น ฉ(x) เพิ่มขึ้นที่จุดอย่างเคร่งครัด x  0 ถ้า ฉ (x) เพิ่มขึ้นในแต่ละช่วงเวลา ( , ข) จากนั้นจะเพิ่มขึ้นในช่วงเวลานี้

  S. B. Stechkin

สารานุกรมแห่งสหภาพโซเวียตผู้ยิ่งใหญ่ - ม.: สารานุกรมโซเวียต. 1969-1978 .

ดูสิ่งที่ "เพิ่มและลดฟังก์ชั่น" ในพจนานุกรมอื่น ๆ :

แนวคิดของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชัน f (x) เรียกว่าอัตราส่วนของจำนวนกลุ่มอายุที่แตกต่างกันของประชากรที่เพิ่มขึ้นในโครงสร้างอายุประชากรส่วน ขึ้นอยู่กับความอุดมสมบูรณ์และระดับการตายอายุขัยของผู้คน ... พจนานุกรมสารานุกรมขนาดใหญ่

แนวคิดของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชั่น f (x) เรียกว่าเพิ่มขึ้นในส่วนถ้าคู่ใด ๆ ของจุด x1 และ x2, a≤x1 ... พจนานุกรมสารานุกรม

แนวคิดของคณิตศาสตร์ การวิเคราะห์ ฟังก์ชั่น f (x) เรียกว่า เพิ่มขึ้นในส่วน [a, b] ถ้าสำหรับคู่ของคะแนน x1 และ x2 ใด ๆ และ<или=х1 <х<или=b, выполняется неравенство f(x1)ประวัติศาสตร์ธรรมชาติ พจนานุกรมสารานุกรม

สาขาคณิตศาสตร์ที่ศึกษาอนุพันธ์และอนุพันธ์ของฟังก์ชันและการประยุกต์เพื่อการศึกษาหน้าที่ ออกแบบ D. และ เป็นวินัยทางคณิตศาสตร์อิสระที่เกี่ยวข้องกับชื่อของ I. นิวตันและ G. Leibniz (ครึ่งหลังของ 17 ... สารานุกรมแห่งสหภาพโซเวียตผู้ยิ่งใหญ่

ส่วนของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาเกี่ยวกับแนวคิดของอนุพันธ์และอนุพันธ์และวิธีการประยุกต์ใช้ในการศึกษาหน้าที่ D. การพัฒนาและ เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการพัฒนาแคลคูลัสหนึ่ง อย่างแยกไม่ออกและเนื้อหาของพวกเขา พวกเขาช่วยกันสร้างพื้นฐาน ... ... สารานุกรมคณิตศาสตร์

คำนี้มีความหมายอื่นดูฟังก์ชัน คำขอ "แสดงผล" ถูกเปลี่ยนเส้นทางที่นี่ ดูความหมายอื่นด้วย ... Wikipedia

อริสโตเติลและ peripatetics  - คำถามของอริสโตเติลชีวิตของอริสโตเติลอริสโตเติลเกิดในปี พ.ศ. 384/383 ก่อนคริสต์ศักราช อี ใน Stagira บนชายแดนกับมาซิโดเนีย พ่อของเขาคือนิโคโมนัสเป็นแพทย์ในการรับใช้ของมาซิโดเนียกษัตริย์อามินโตสพ่อของฟิลิป หนุ่มสาวอริสโตเติลกับครอบครัว ... ปรัชญาตะวันตกตั้งแต่กำเนิดจนถึงปัจจุบัน

  - (QCD), ทฤษฎีสนามควอนตัมของการกระทำที่แข็งแกร่งของควาร์กและกลูออนที่สร้างขึ้นในภาพของควอนตัม ไฟฟ้ากระแส (QED) ขึ้นอยู่กับ "สี" วัดความสมมาตร ซึ่งแตกต่างจาก QED, fermions ใน QCD มีส่วนประกอบ ระดับของควอนตัมอิสระ หมายเลข ... ... สารานุกรมทางกายภาพ

I Heart หัวใจ (lat. Cor, กรีก cardia) เป็นอวัยวะ fibro- กล้ามเนื้อกลวงซึ่งทำหน้าที่เป็นเครื่องสูบน้ำให้การเคลื่อนไหวของเลือดในระบบไหลเวียนเลือด กายวิภาคศาสตร์หัวใจอยู่ในเมดิแอสตินัมล่วงหน้า (Mediastinum) ในเยื่อหุ้มหัวใจระหว่าง ... สารานุกรมทางการแพทย์

ชีวิตของพืชเช่นเดียวกับสิ่งมีชีวิตอื่น ๆ คือกระบวนการที่เชื่อมโยงกันอย่างซับซ้อน ที่สำคัญที่สุดของพวกเขาเป็นที่รู้จักกันว่าจะเผาผลาญกับสิ่งแวดล้อม สภาพแวดล้อมเป็นแหล่งที่มาจากที่ ... ... สารานุกรมชีวภาพ

ฟังก์ชั่นสุดยอด

คำจำกัดความ 2

จุด $ x_0 $ ถูกเรียกว่าจุดสูงสุดของฟังก์ชั่น $ f (x) $ หากมีละแวกใกล้เคียงของจุดนี้เช่นนั้นสำหรับ $ x $ ทั้งหมดจากละแวกนี้ความไม่เท่าเทียมกัน $ f (x) \\ le f (x_0) $ ถือ

คำจำกัดความ 3

จุด $ x_0 $ ถูกเรียกว่าจุดสูงสุดของฟังก์ชั่น $ f (x) $ หากมีละแวกใกล้เคียงของจุดนี้เช่นนั้นสำหรับ $ x $ ทั้งหมดจากละแวกนี้ความไม่เท่าเทียมกัน $ f (x) \\ ge f (x_0) $ ถือ

แนวคิดของหน่วยสุดยอดของฟังก์ชั่นที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับแนวคิดของจุดวิกฤติของฟังก์ชั่น เราแนะนำความหมายของมัน

คำจำกัดความ 4

$ x_0 $ ถูกเรียกว่าจุดวิกฤติของฟังก์ชั่น $ f (x) $ ถ้า:

1) $ x_0 $ เป็นจุดภายในของโดเมนคำจำกัดความ

2) $ f "\\ left (x_0 \\ right) \u003d 0 $ หรือไม่มีอยู่

สำหรับแนวคิดของ extremum เราสามารถกำหนดทฤษฎีบทเกี่ยวกับเงื่อนไขที่เพียงพอและจำเป็นสำหรับการดำรงอยู่ของมัน

ทฤษฎีบท 2

สภาพที่เพียงพอสำหรับอาการปวดหัว

ปล่อยให้จุด $ x_0 $ มีความสำคัญสำหรับฟังก์ชัน $ y \u003d f (x) $ และอยู่ในช่วง $ (a, b) $ สมมติว่าในแต่ละช่วง $ \\ left (a, x_0 \\ right) \\ และ \\ (x_0, b) $ the อนุพันธ์ $ f "(x) $ มีอยู่และคงเครื่องหมายคงที่จากนั้น:

1) ถ้าในช่วง $ (a, x_0) $ อนุพันธ์คือ $ f "\\ left (x \\ right)\u003e 0 $ และในช่วง $ (x_0, b) $ อนุพันธ์คือ $ f" \\ left (x \\ right)

2) ถ้าในช่วง $ (a, x_0) $ อนุพันธ์คือ $ f "\\ left (x \\ right) 0 $ ดังนั้นจุด $ x_0 $ คือจุดต่ำสุดของฟังก์ชั่นนี้

3) ถ้าทั้งช่วง $ (a, x_0) $ และช่วง $ (x_0, b) $ อนุพันธ์ $ f "\\ left (x \\ right)\u003e 0 $ หรืออนุพันธ์ $ f" \\ left (x \\ right)

ทฤษฎีบทนี้มีภาพประกอบในรูปที่ 1

รูปที่ 1 เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการดำรงอยู่ของ extrema

ตัวอย่างของสุดขั้ว (รูปที่ 2)

รูปที่ 2 ตัวอย่างของคะแนนมาก

  กฎของการวิจัยฟังก์ชั่นเกี่ยวกับ Extremum

2) ค้นหาอนุพันธ์ $ f "(x) $;

7) วาดข้อสรุปเกี่ยวกับการปรากฏตัวของ maxima และ minima ในแต่ละช่วงเวลาโดยใช้ทฤษฎีบท 2

  ฟังก์ชั่นการเพิ่มและลด

เราแนะนำสำหรับคำว่า starters คำจำกัดความของการเพิ่มและลดฟังก์ชั่น

นิยาม 5

ฟังก์ชัน $ y \u003d f (x) $ ที่กำหนดไว้ในช่วงเวลา $ X $ เรียกว่าเพิ่มขึ้นหากคะแนนใด ๆ $ x_1, x_2 \\ in X $ สำหรับ $ x_1

นิยาม 6

ฟังก์ชัน $ y \u003d f (x) $ ที่กำหนดไว้ในช่วงเวลา $ X $ เรียกว่าลดลงหากมีคะแนน $ x_1, x_2 \\ in X $ สำหรับ $ x_1f (x_2) $

  การตรวจสอบการทำงานของการเพิ่มและลด

คุณสามารถสำรวจฟังก์ชั่นของการเพิ่มและลดลงโดยใช้อนุพันธ์

ในการตรวจสอบฟังก์ชั่นสำหรับช่วงการเพิ่มและลดจำเป็นต้องทำสิ่งต่อไปนี้:

1) ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน $ f (x) $;

2) ค้นหาอนุพันธ์ $ f "(x) $;

3) ค้นหาคะแนนที่เท่าเทียมกัน $ f "\\ left (x \\ right) \u003d 0 $ ถือ;

4) ค้นหาจุดที่ $ f "(x) $ ไม่มีอยู่;

5) ทำเครื่องหมายบนเส้นพิกัดทุกจุดที่พบและโดเมนของฟังก์ชันนี้

6) กำหนดสัญลักษณ์ของอนุพันธ์ $ f "(x) $ ในแต่ละช่วงเวลา

7) เพื่อสรุป: ในช่วงเวลาที่ $ f "\\ left (x \\ right) 0 $ ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้น

  ตัวอย่างของงานเพื่อศึกษาหน้าที่ของการเพิ่มการลดและการปรากฏตัวของจุดที่รุนแรง

ตัวอย่างที่ 1

ตรวจสอบฟังก์ชันการเพิ่มและลดและการมีอยู่ของคะแนนสูงสุดและต่ำสุด: $ f (x) \u003d (2x) ^ 3-15x ^ 2 + 36x + 1 $

ตั้งแต่ 6 คะแนนแรกเหมือนกันเริ่มด้วยกันเลย

1) ขอบเขต - จำนวนจริงทั้งหมด

2) $ f "\\ left (x \\ right) \u003d 6x ^ 2-30x + 36 $;

3) $ f "\\ left (x \\ right) \u003d 0 $;

\ \ \

4) $ f "(x) $ มีอยู่ทุกจุดในโดเมนของการกำหนด;

5) ประสานงานสาย:

รูปที่ 3

6) กำหนดสัญลักษณ์ของอนุพันธ์ $ f "(x) $ ในแต่ละช่วงเวลา:

\ \.

ช่วงของค่าฟังก์ชั่นคือ ช่วงเวลา [1; 3]

1. สำหรับ x \u003d -3, x \u003d - 1, x \u003d 1.5, x \u003d 4.5, ค่าของฟังก์ชันเป็นศูนย์

ค่าของอาร์กิวเมนต์ที่ค่าของฟังก์ชันเป็นศูนย์เรียกว่าศูนย์ของฟังก์ชัน

// เช่น สำหรับฟังก์ชั่นนี้ตัวเลข -3; -1; 1.5; 4,5 เป็นศูนย์

2. ช่วงเวลา [4,5; 3) และ (1; 1,5) และ (4,5; 5,5] กราฟของฟังก์ชัน f ตั้งอยู่เหนือแกน abscissa และในช่วงเวลา (-3; -1) และ (1,5; 4,5) ด้านล่างแกน abscissa สามารถอธิบายได้ดังนี้: ในช่วงเวลา [4,5; 3) และ (1; 1,5) และ (4,5; 5,5]) ฟังก์ชันรับค่าบวกและช่วง (-3; -1) และ ( 1,5; 4,5) ค่าลบ

แต่ละช่วงเวลาที่ระบุ (โดยที่ฟังก์ชั่นใช้ค่าของเครื่องหมายเดียวกัน) เรียกว่าช่วงสัญญาณคงที่ของฟังก์ชัน f.//t.e ตัวอย่างเช่นถ้าเราใช้ช่วงเวลา (0; 3) แล้วมันไม่ได้เป็นช่วงเวลาของสัญญาณคงที่ของฟังก์ชั่นนี้

ในวิชาคณิตศาสตร์เมื่อค้นหาช่วงเวลาของเครื่องหมายคงที่ของฟังก์ชันมันเป็นธรรมเนียมที่จะระบุช่วงเวลาของความยาวสูงสุด // เช่น ช่องว่าง (2; 3) คือ เครื่องหมายคงที่  ฟังก์ชัน f แต่คำตอบควรมีช่วงเวลา [4,5; 3) มีช่องว่าง (2; 3)

3. ถ้าคุณย้ายไปตาม abscissa จาก 4.5 เป็น 2 คุณจะสังเกตเห็นว่ากราฟของฟังก์ชันลดลงนั่นคือค่าของฟังก์ชันจะลดลง // ในวิชาคณิตศาสตร์มันเป็นเรื่องธรรมดาที่จะบอกว่าในช่วงเวลา [4,5; 2] ฟังก์ชั่นลดลง

เมื่อ x เพิ่มขึ้นจาก 2 เป็น 0 กราฟของฟังก์ชันจะสูงขึ้นเช่น ค่าฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้น // ในวิชาคณิตศาสตร์มันเป็นเรื่องธรรมดาที่จะบอกว่าในช่วง [2; 0] ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้น

ฟังก์ชัน f ถูกเรียกใช้หากมีค่าสองค่าใด ๆ ของอาร์กิวเมนต์ x1 และ x2 จากช่วงเวลานี้เช่นที่ x2\u003e x1, ความไม่เท่าเทียมกัน f (x2)\u003e f (x1) ถือ // หรือฟังก์ชั่นที่เรียกว่า เพิ่มขึ้นในบางช่วงเวลาถ้าสำหรับค่าอาร์กิวเมนต์ใด ๆ จากช่วงเวลานี้ค่าที่มากขึ้นของฟังก์ชันจะสอดคล้องกับค่าที่มากกว่าของอาร์กิวเมนต์ // i.e. ยิ่ง x ยิ่ง y ยิ่งมาก

ฟังก์ชั่น f เรียกว่า ลดลงในบางช่วงเวลาหากสำหรับสองค่าใด ๆ ของอาร์กิวเมนต์ x1 และ x2 จากช่วงเวลานี้เช่นนั้น x2\u003e x1 ความไม่เท่าเทียมกัน f (x2) จะลดลงในบางช่วงเวลาหากค่าใด ๆ ของการโต้แย้งจากช่วงเวลานี้ค่าที่มากขึ้นของการโต้แย้งจะสอดคล้องกับ // เช่น ยิ่ง x ยิ่งน้อย

หากฟังก์ชันเพิ่มขึ้นทั่วทั้งโดเมนของคำจำกัดความฟังก์ชันจะถูกเรียกใช้ ที่เพิ่มขึ้น.

หากฟังก์ชั่นลดลงทั่วทั้งโดเมนก็จะถูกเรียกว่า ลดลง.

ตัวอย่างที่ 1  กราฟของฟังก์ชันเพิ่มและลดตามลำดับ

ตัวอย่างที่ 2

ตรวจสอบ yavl ฟังก์ชันเชิงเส้น f (x) \u003d 3x + 5 เพิ่มขึ้นหรือลดลงหรือไม่?

พิสูจน์ เราใช้คำจำกัดความ ให้ x1 และ x2 เป็นค่าโดยพลการของการโต้แย้งด้วย x1< x2., например х1=1, х2=7

ขึ้นอยู่กับสัญญาณเพียงพอมีช่วงเวลาของการเพิ่มและลดฟังก์ชั่น

นี่คือถ้อยคำของสัญญาณ:

• ถ้าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y \u003d f (x)  คิดบวก x  จากช่วงเวลา Xจากนั้นฟังก์ชั่นจะเพิ่มขึ้นตาม X;
• ถ้าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y \u003d f (x)  ลบสำหรับใด ๆ x  จากช่วงเวลา Xจากนั้นฟังก์ชั่นจะลดลง X.

ดังนั้นเพื่อกำหนดช่วงเวลาของการเพิ่มและลดของฟังก์ชั่นจึงมีความจำเป็น:

• ค้นหาขอบเขตของฟังก์ชัน

• หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

• ในช่วงเวลาที่ได้รับเพิ่มคะแนนขอบเขตที่ฟังก์ชันถูกกำหนดและต่อเนื่อง

พิจารณาตัวอย่างเพื่ออธิบายอัลกอริทึม

ตัวอย่าง

ค้นหาช่วงเวลาของการเพิ่มและลดฟังก์ชั่น

การตัดสิน

ขั้นตอนแรกคือค้นหานิยามการเติบโตของฟังก์ชัน ในตัวอย่างของเราการแสดงออกในตัวส่วนไม่ควรหายไปดังนั้น .

เราส่งผ่านไปยังฟังก์ชันอนุพันธ์:

ในการกำหนดช่วงเวลาของการเพิ่มและการลดฟังก์ชันด้วยเกณฑ์ที่เพียงพอเราจะแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน   และ   บนฟิลด์ของคำจำกัดความ เราใช้การวางนัยของวิธีการช่วงเวลา รากตัวเศษที่ถูกต้องเท่านั้นคือ x \u003d 2และส่วนที่หายไป x \u003d 0. จุดเหล่านี้แบ่งโดเมนออกเป็นช่วง ๆ ซึ่งอนุพันธ์ของฟังก์ชันยังคงมีเครื่องหมาย เราทำเครื่องหมายจุดเหล่านี้ในบรรทัดหมายเลข ข้อดีและข้อเสียจะแสดงช่วงเวลาโดยพลการซึ่งอนุพันธ์นั้นมีค่าเป็นบวกหรือลบ ลูกศรด้านล่างแสดงแผนผังแสดงการเพิ่มหรือลดของฟังก์ชันในช่วงเวลาที่สอดคล้องกัน

ด้วยวิธีนี้   และ .

ตรงประเด็น x \u003d 2  มีการกำหนดฟังก์ชันและต่อเนื่องดังนั้นควรเพิ่มทั้งการเพิ่มและการลดลง ตรงประเด็น x \u003d 0  ไม่ได้กำหนดฟังก์ชันดังนั้นจุดนี้จึงไม่รวมอยู่ในช่วงเวลาที่ต้องการ

เราให้กราฟของฟังก์ชันเพื่อเปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ได้กับมัน

คำตอบคือ:  ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้นด้วย   ลดลงในช่วงเวลา (0; 2] .

- คะแนน Extremum ของฟังก์ชันหนึ่งตัวแปร เงื่อนไขอาการ Extremum ที่เพียงพอ

สมมติว่าฟังก์ชั่น f (x) ที่กำหนดและต่อเนื่องในช่วงเวลานั้นไม่ได้เป็นแบบโมโนโทนิก จะมีส่วนดังกล่าว [,] ของช่วงเวลาซึ่งฟังก์ชั่นที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดที่จุดภายในคือ ระหว่างและ

มันบอกว่าฟังก์ชั่น f (x) มีจุดสูงสุด (หรือต่ำสุด) ที่จุดถ้าจุดนี้สามารถล้อมรอบด้วยย่าน (x 0 -, x 0 +) ที่มีอยู่ในช่วงเวลาที่ฟังก์ชั่นได้รับความไม่เท่าเทียมกันสำหรับทุกจุด

f (x)< f(x 0)(или f(x)>f (x 0))

กล่าวอีกนัยหนึ่งจุด x 0 มอบสูงสุด (ขั้นต่ำ) ให้กับฟังก์ชั่น f (x) หากค่า f (x 0) กลายเป็นค่าที่ใหญ่ที่สุด (เล็กที่สุด) ของค่าที่ยอมรับโดยฟังก์ชันในย่านใกล้เคียง (อย่างน้อยที่สุด) ของจุดนี้ โปรดทราบว่าคำจำกัดความสูงสุดของสูงสุด (ขั้นต่ำ) ถือว่าฟังก์ชันนั้นได้รับจากทั้งสองด้านของจุด x 0

หากมีย่านที่อยู่ภายใน (สำหรับ x \u003d x 0) ความไม่เท่าเทียมที่เข้มงวด

f (x) f (x 0)

พวกเขาบอกว่าฟังก์ชั่นที่จุด x 0 มีค่าสูงสุด (ต่ำสุด) ของตัวเองมิฉะนั้นจะไม่เหมาะสม

หากฟังก์ชั่นมี maxima ที่จุด x 0 และ x 1 จากนั้นให้ใช้ทฤษฎีบท Weierstrass ที่สองกับช่วงเวลาเราจะเห็นว่าฟังก์ชันนั้นมีค่าน้อยที่สุดในช่วงนี้ที่บางจุด x 2 ระหว่าง x 0 และ x 1 และมีค่าน้อยที่สุด ในทำนองเดียวกันระหว่างสอง minima จะมีค่าสูงสุดอย่างแน่นอน ในกรณีที่ง่ายที่สุด (และในทางปฏิบัติกรณีที่สำคัญที่สุด) เมื่อฟังก์ชั่นโดยทั่วไปมีเพียงจำนวนสูงสุดของ maxima และ minima พวกมันเพียงสลับกัน

โปรดทราบว่าในการแสดงถึงค่าสูงสุดหรือต่ำสุดมีคำที่รวมเข้าด้วยกัน - extremum

แนวคิดของค่าสูงสุด (สูงสุด f (x)) และขั้นต่ำ (ขั้นต่ำ f (x)) คือคุณสมบัติท้องถิ่นของฟังก์ชันและเกิดขึ้นที่จุดหนึ่ง x 0 แนวคิดของค่าที่ใหญ่ที่สุด (sup f (x)) และค่าที่น้อยที่สุด (inf f (x)) หมายถึงช่วงเวลา จำกัด และเป็นคุณสมบัติส่วนกลางของฟังก์ชันในช่วงเวลา

รูปที่ 1 แสดงให้เห็นว่าที่จุด x 1 และ x 3 มีจุดสูงสุดในท้องถิ่นและที่จุด x 2 และ x 4 มีจุดต่ำสุดในพื้นที่ อย่างไรก็ตามฟังก์ชั่นถึงค่าที่น้อยที่สุดที่ x \u003d a และที่ใหญ่ที่สุดที่ x \u003d b

เราก่อปัญหาในการหาค่าทั้งหมดของการโต้แย้งที่นำเสนอฟังก์ชั่นที่ยอดเยี่ยม ในการแก้ปัญหาอนุพันธ์จะมีบทบาทหลัก

สมมติก่อนว่าสำหรับฟังก์ชัน f (x) ในช่วงเวลา (a, b) มีอนุพันธ์ จำกัด ถ้า ณ จุดหนึ่ง x 0 ฟังก์ชันมีค่า extremum แล้วนำไปใช้กับช่วงเวลา (x 0 -, x 0 +) ซึ่งถูกกล่าวถึงข้างต้นทฤษฎีบทของแฟร์มาต์เราสรุปได้ว่า f (x) \u003d 0 นี่เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับ extremum ควรหาสุดขีดเฉพาะที่จุดเหล่านั้นซึ่งอนุพันธ์เท่ากับศูนย์

อย่างไรก็ตามไม่ควรที่จะคิดว่าทุก ๆ จุดที่อนุพันธ์เท่ากับศูนย์ให้ฟังก์ชัน extremum: เงื่อนไขที่เพิ่งระบุไม่เพียงพอ