อินทิกรัลของฟังก์ชัน cos x เท่ากับ อินทิกรัลเชิงซ้อน

อินทิกรัลเชิงซ้อน

บทความนี้จะสรุปหัวข้ออินทิกรัลไม่จำกัด และรวมอินทิกรัลที่ฉันพบว่าค่อนข้างซับซ้อน บทเรียนนี้สร้างขึ้นตามคำร้องขอของผู้เยี่ยมชมซ้ำแล้วซ้ำอีกซึ่งแสดงความปรารถนาที่จะวิเคราะห์ตัวอย่างที่ยากยิ่งขึ้นบนเว็บไซต์

สันนิษฐานว่าผู้อ่านข้อความนี้มีความพร้อมและรู้วิธีใช้เทคนิคบูรณาการขั้นพื้นฐาน คนโง่และผู้ที่ไม่มั่นใจในเรื่องอินทิกรัลควรดูบทเรียนแรกสุด - อินทิกรัลไม่ จำกัด ตัวอย่างการแก้ปัญหาซึ่งคุณสามารถเชี่ยวชาญหัวข้อได้ตั้งแต่เริ่มต้น นักเรียนที่มีประสบการณ์มากขึ้นจะคุ้นเคยกับเทคนิคและวิธีการบูรณาการที่ยังไม่เคยพบเห็นในบทความของฉัน

อินทิกรัลใดที่จะได้รับการพิจารณา?

ขั้นแรก เราจะพิจารณาอินทิกรัลที่มีราก สำหรับคำตอบที่เราใช้อย่างต่อเนื่อง การแทนที่ตัวแปรและ บูรณาการโดยส่วนต่างๆ- นั่นคือในตัวอย่างหนึ่ง ทั้งสองเทคนิคถูกรวมเข้าด้วยกันในคราวเดียว และมากยิ่งขึ้น

จากนั้นเราจะมาทำความคุ้นเคยกับสิ่งที่น่าสนใจและเป็นต้นฉบับ วิธีการลดอินทิกรัลให้กับตัวมันเอง- อินทิกรัลบางส่วนได้รับการแก้ไขด้วยวิธีนี้

ประเด็นที่สามของโปรแกรมจะเป็นอินทิกรัลจากเศษส่วนเชิงซ้อนซึ่งผ่านโต๊ะเงินสดในบทความก่อนหน้านี้

ประการที่สี่ จะมีการวิเคราะห์อินทิกรัลเพิ่มเติมจากฟังก์ชันตรีโกณมิติ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มีวิธีการหลีกเลี่ยงการทดแทนตรีโกณมิติสากลที่ใช้เวลานาน

(2) ในฟังก์ชันจำนวนเต็ม เราหารตัวเศษด้วยเทอมของส่วนตามเทอม

(3) เราใช้คุณสมบัติเชิงเส้นของอินทิกรัลไม่ จำกัด ในอินทิกรัลสุดท้ายทันที วางฟังก์ชันไว้ใต้เครื่องหมายดิฟเฟอเรนเชียล.

(4) เราหาอินทิกรัลที่เหลือ โปรดทราบว่าในลอการิทึม คุณสามารถใช้วงเล็บแทนโมดูลัสได้ เนื่องจาก

(5) เราดำเนินการเปลี่ยนแบบย้อนกลับ โดยแสดง "te" จากการแทนที่โดยตรง:

นักเรียนมาโซคิสต์สามารถแยกแยะคำตอบและรับปริพันธ์ดั้งเดิมได้เหมือนที่ฉันเคยทำ ไม่ ไม่ ฉันตรวจสอบถูกแล้ว =)

อย่างที่คุณเห็น ในระหว่างการแก้ปัญหา เราต้องใช้วิธีแก้ไขปัญหามากกว่าสองวิธี ดังนั้นเพื่อจัดการกับอินทิกรัลดังกล่าว คุณต้องมีทักษะการบูรณาการที่มั่นใจและประสบการณ์ไม่น้อย

แน่นอนว่าในทางปฏิบัติ รากที่สองเป็นเรื่องธรรมดามากกว่า ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างสามตัวอย่าง การตัดสินใจที่เป็นอิสระ:

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

ตัวอย่างเหล่านี้เป็นประเภทเดียวกัน ดังนั้นคำตอบทั้งหมดที่อยู่ท้ายบทความจึงมีไว้สำหรับตัวอย่างที่ 2 เท่านั้น ตัวอย่างที่ 3-4 มีคำตอบเหมือนกัน ฉันคิดว่าสิ่งทดแทนที่จะใช้ตอนเริ่มต้นการตัดสินใจนั้นชัดเจน เหตุใดฉันจึงเลือกตัวอย่างประเภทเดียวกัน มักพบในบทบาทของตน บ่อยขึ้นบางทีอาจเป็นเพียงบางอย่างเช่น .

แต่ไม่เสมอไป เมื่ออยู่ภายใต้อาร์กแทนเจนต์ ไซน์ โคไซน์ เลขชี้กำลัง และฟังก์ชันอื่นๆ จะมีรากของ ฟังก์ชันเชิงเส้นคุณต้องใช้หลายวิธีพร้อมกัน ในหลายกรณี มีความเป็นไปได้ที่จะ "ถอดออกง่าย" นั่นคือทันทีหลังจากการเปลี่ยน จะได้รับอินทิกรัลอย่างง่ายซึ่งสามารถนำไปได้อย่างง่ายดาย งานที่ง่ายที่สุดที่เสนอข้างต้นคือตัวอย่างที่ 4 ซึ่งหลังจากเปลี่ยนแล้ว จะได้อินทิกรัลที่ค่อนข้างง่าย

โดยการลดอินทิกรัลให้กับตัวมันเอง

วิธีการอันชาญฉลาดและสวยงาม มาดูคลาสสิกของประเภท:

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

ใต้รากจะมีทวินามกำลังสอง และการพยายามรวมตัวอย่างนี้อาจทำให้กาน้ำชาปวดหัวเป็นเวลาหลายชั่วโมง อินทิกรัลดังกล่าวถูกแยกส่วนและลดลงเหลือตัวมันเอง โดยหลักการแล้วมันไม่ใช่เรื่องยาก ถ้าคุณรู้วิธี

ให้เราแสดงอินทิกรัลที่กำลังพิจารณาด้วยตัวอักษรละตินและเริ่มวิธีแก้ปัญหา:

มาบูรณาการกันทีละส่วน:

(1) เตรียมฟังก์ชันปริพันธ์สำหรับการหารแบบเทอมต่อเทอม

(2) เราหารเทอมฟังก์ชันปริพันธ์ตามเทอม อาจไม่ชัดเจนสำหรับทุกคน แต่ฉันจะอธิบายโดยละเอียดเพิ่มเติม:

(3) เราใช้คุณสมบัติเชิงเส้นของอินทิกรัลไม่ จำกัด

(4) หาลอการิทึมอินทิกรัลตัวสุดท้าย ("ยาว")

ตอนนี้เรามาดูที่จุดเริ่มต้นของการแก้ปัญหา:

และในตอนท้าย:

เกิดอะไรขึ้น อันเป็นผลมาจากการยักย้ายของเรา อินทิกรัลจึงลดลงเหลือเพียงตัวมันเอง!

มาเปรียบเทียบจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด:

ย้ายไปทางด้านซ้ายพร้อมป้ายเปลี่ยน:

และเราย้ายทั้งสองไปทางด้านขวา เป็นผลให้:

ควรเพิ่มค่าคงที่และพูดอย่างเคร่งครัดไว้ก่อนหน้านี้ แต่ฉันเพิ่มไว้ตอนท้าย ฉันขอแนะนำให้อ่านความเข้มงวดที่นี่:

บันทึก: ขั้นตอนสุดท้ายของการแก้ปัญหาจะมีลักษณะดังนี้:

ดังนั้น:

ค่าคงที่สามารถกำหนดใหม่ได้โดย เหตุใดจึงสามารถกำหนดใหม่ได้ เพราะเขายังยอมรับมันอยู่ ใดๆค่าและในแง่นี้ไม่มีความแตกต่างระหว่างค่าคงที่และ
เป็นผลให้:

เคล็ดลับที่คล้ายกันที่มีการอธิบายซ้ำอย่างต่อเนื่องนั้นใช้กันอย่างแพร่หลาย สมการเชิงอนุพันธ์- และที่นั่นฉันจะเข้มงวด และที่นี่ฉันอนุญาตให้มีอิสระเช่นนี้เท่านั้นเพื่อไม่ให้คุณสับสนกับสิ่งที่ไม่จำเป็นและมุ่งความสนใจไปที่วิธีการบูรณาการอย่างแม่นยำ

ตัวอย่างที่ 6

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

อินทิกรัลทั่วไปอีกอันสำหรับโซลูชันอิสระ เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน จะมีความแตกต่างกับคำตอบในตัวอย่างก่อนหน้า!

ถ้าต่ำกว่า รากที่สองคือตรีโกณมิติกำลังสอง ดังนั้นผลเฉลยไม่ว่าในกรณีใดๆ จะลดเหลือตัวอย่างที่วิเคราะห์แล้ว 2 ตัวอย่าง

ตัวอย่างเช่น พิจารณาอินทิกรัล - สิ่งที่คุณต้องทำคือก่อน เลือกสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์:
.
ถัดไปจะดำเนินการแทนที่เชิงเส้นซึ่ง "ไม่มีผลกระทบใด ๆ ":
ส่งผลให้อินทิกรัล บางสิ่งคุ้นเคยใช่ไหม?

หรือตัวอย่างนี้ มีทวินามกำลังสอง:
เลือกช่องสี่เหลี่ยมที่สมบูรณ์:
และหลังจากการแทนที่เชิงเส้น เราจะได้อินทิกรัลซึ่งแก้ไขได้โดยใช้อัลกอริทึมที่กล่าวถึงไปแล้ว

ลองดูอีกสอง ตัวอย่างทั่วไปเพื่อลดอินทิกรัลให้กับตัวมันเอง:
– อินทิกรัลของการเอ็กซ์โปเนนเชียลคูณด้วยไซน์
– อินทิกรัลของเลขชี้กำลังคูณด้วยโคไซน์

ในอินทิกรัลที่แสดงตามส่วนต่างๆ คุณจะต้องรวมสองครั้ง:

ตัวอย่างที่ 7

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

จำนวนเต็มคือค่าเอ็กซ์โปเนนเชียลคูณด้วยไซน์

เรารวมทีละส่วนสองครั้งและลดอินทิกรัลลงในตัวมันเอง:

ผลจากการอินทิกรัลสองเท่าทีละส่วน อินทิกรัลจึงลดลงเหลือตัวมันเอง เราเทียบจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของการแก้ปัญหา:

เราย้ายไปทางด้านซ้ายโดยเปลี่ยนเครื่องหมายและแสดงอินทิกรัลของเรา:

พร้อม. ในเวลาเดียวกันขอแนะนำให้หวีด้านขวาเช่น นำเลขชี้กำลังออกจากวงเล็บ แล้ววางไซน์และโคไซน์ในวงเล็บตามลำดับที่ "สวยงาม"

ตอนนี้เรากลับมาที่จุดเริ่มต้นของตัวอย่างหรือถ้าให้เจาะจงกว่านี้ คือการบูรณาการตามส่วนต่างๆ:

เรากำหนดเลขชี้กำลังเป็น คำถามเกิดขึ้น: เป็นเลขชี้กำลังที่ควรเขียนแทนด้วย เสมอหรือไม่? ไม่จำเป็น. ในความเป็นจริงในอินทิกรัลที่พิจารณาแล้ว โดยพื้นฐานแล้ว ไม่สำคัญ, เราหมายถึงอะไร, เราอาจไปทางอื่น:

ทำไมสิ่งนี้ถึงเป็นไปได้? เนื่องจากเลขชี้กำลังกลายเป็นตัวมันเอง (ทั้งในระหว่างการสร้างความแตกต่างและการรวมเข้าด้วยกัน) ไซน์และโคไซน์จึงกลายเป็นกันและกัน (อีกครั้ง ทั้งในระหว่างการสร้างความแตกต่างและการรวมเข้าด้วยกัน)

นั่นคือเราสามารถแสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติได้ด้วย แต่ในตัวอย่างที่พิจารณา นี่เป็นเหตุผลน้อยกว่า เนื่องจากเศษส่วนจะปรากฏขึ้น หากคุณต้องการ คุณสามารถลองแก้ตัวอย่างนี้โดยใช้วิธีที่สอง คำตอบจะต้องตรงกัน

ตัวอย่างที่ 8

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง ก่อนที่คุณจะตัดสินใจ ลองคิดว่าอะไรจะทำกำไรได้มากกว่าในกรณีนี้เพื่อแสดงด้วย ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง หรือฟังก์ชันตรีโกณมิติ? เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน

และแน่นอนว่าอย่าลืมคำตอบส่วนใหญ่ด้วย บทเรียนนี้ง่ายพอที่จะตรวจสอบด้วยการสร้างความแตกต่าง!

ตัวอย่างที่พิจารณาไม่ซับซ้อนที่สุด ในทางปฏิบัติ อินทิกรัลจะพบได้บ่อยกว่าโดยที่ค่าคงที่มีทั้งในเลขชี้กำลังและในอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ เช่น หลายๆ คนจะสับสนกับอินทิกรัลเช่นนั้น และฉันก็มักจะสับสนตัวเองด้วย ความจริงก็คือมีความเป็นไปได้สูงที่เศษส่วนจะปรากฎในสารละลาย และเป็นเรื่องง่ายมากที่จะสูญเสียบางสิ่งไปด้วยความประมาท นอกจากนี้ มีความเป็นไปได้สูงที่จะเกิดข้อผิดพลาดในเครื่องหมาย โปรดทราบว่าเลขชี้กำลังมีเครื่องหมายลบ และสิ่งนี้ทำให้เกิดความยากเพิ่มเติม

ในขั้นตอนสุดท้าย ผลลัพธ์มักจะเป็นดังนี้:

แม้แต่ในตอนท้ายของวิธีแก้ปัญหา คุณก็ควรระมัดระวังอย่างยิ่งและเข้าใจเศษส่วนให้ถูกต้อง:

การบูรณาการเศษส่วนเชิงซ้อน

เรากำลังเข้าใกล้เส้นศูนย์สูตรของบทเรียนอย่างช้าๆ และเริ่มพิจารณาอินทิกรัลของเศษส่วน ขอย้ำอีกครั้ง ไม่ใช่ว่าทั้งหมดจะซับซ้อนมากนัก เพียงด้วยเหตุผลใดก็ตามตัวอย่างจึง "นอกประเด็น" เล็กน้อยในบทความอื่น ๆ

สานต่อธีมของราก

ตัวอย่างที่ 9

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

ในตัวส่วนใต้รากจะมีตรีนามกำลังสองบวกด้วย "ส่วนต่อ" ในรูปของ "X" ด้านนอกราก อินทิกรัลประเภทนี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้การทดแทนมาตรฐาน

เราตัดสินใจ:

การเปลี่ยนที่นี่ทำได้ง่าย:

มาดูชีวิตหลังการเปลี่ยน:

(1) หลังจากการแทนที่ เราจะลดพจน์ที่อยู่ใต้รากให้เหลือตัวส่วนร่วม
(2) เราเอามันออกมาจากใต้ราก
(3) ตัวเศษและส่วนลดลงด้วย ในเวลาเดียวกัน ฉันจัดเรียงเงื่อนไขใหม่ตามลำดับที่สะดวกโดยพื้นฐาน ด้วยประสบการณ์บางอย่าง คุณสามารถข้ามขั้นตอน (1), (2) ได้โดยดำเนินการแสดงความคิดเห็นด้วยวาจา
(4) อินทิกรัลผลลัพธ์ตามที่คุณจำได้จากบทเรียน การบูรณาการเศษส่วนบางส่วน, กำลังถูกตัดสินใจ วิธีการสกัดกำลังสองแบบสมบูรณ์- เลือกสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์
(5) โดยการอินทิเกรต เราได้ลอการิทึม "ยาว" ธรรมดา
(6) เราดำเนินการเปลี่ยนแบบย้อนกลับ หากเริ่มแรก ให้ย้อนกลับ: .
(7) การดำเนินการขั้นสุดท้ายมีจุดมุ่งหมายเพื่อทำให้ผลลัพธ์ตรง: ภายใต้รากเราจะนำเงื่อนไขมาสู่ตัวส่วนร่วมอีกครั้งและนำพวกมันออกจากใต้ราก

ตัวอย่างที่ 10

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง ที่นี่มีการเพิ่มค่าคงที่ให้กับ "X" เดี่ยวและการแทนที่เกือบจะเหมือนกัน:

สิ่งเดียวที่คุณต้องทำเพิ่มเติมคือแสดง "x" จากการเปลี่ยนที่กำลังดำเนินการ:

เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน

บางครั้งในอินทิกรัลเช่นนั้นอาจมีทวินามกำลังสองอยู่ใต้รูท ซึ่งไม่ได้เปลี่ยนวิธีการแก้ปัญหา แต่จะง่ายกว่าด้วยซ้ำ รู้สึกถึงความแตกต่าง:

ตัวอย่างที่ 11

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

ตัวอย่างที่ 12

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

คำตอบและคำตอบสั้น ๆ ในตอนท้ายของบทเรียน ควรสังเกตว่าตัวอย่างที่ 11 นั้นถูกต้องทุกประการ อินทิกรัลทวินามวิธีการแก้ปัญหาที่ได้อภิปรายกันในชั้นเรียน อินทิกรัลของฟังก์ชันอตรรกยะ.

อินทิกรัลของพหุนามที่แยกไม่ออกของดีกรีที่ 2 ยกกำลัง

(พหุนามในตัวส่วน)

หายากมากขึ้น แต่ก็ยังพบใน ตัวอย่างการปฏิบัติประเภทของอินทิกรัล

ตัวอย่างที่ 13

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

แต่ขอกลับมาดูตัวอย่างเลขเด็ด 13 กัน (บอกตรงๆ ทายไม่ถูกนะ) อินทิกรัลนี้ยังเป็นหนึ่งในสิ่งที่อาจทำให้หงุดหงิดหากคุณไม่ทราบวิธีแก้ปัญหา

การแก้ปัญหาเริ่มต้นด้วยการเปลี่ยนแปลงแบบประดิษฐ์:

ฉันคิดว่าทุกคนคงเข้าใจวิธีหารตัวเศษด้วยตัวส่วนแล้ว

อินทิกรัลผลลัพธ์จะถูกนำมาเป็นส่วนต่างๆ:

สำหรับอินทิกรัลของแบบฟอร์ม ( – จำนวนธรรมชาติ) ถอนออก กำเริบสูตรลด:
, ที่ไหน – อินทิกรัลของระดับที่ต่ำกว่า

ให้เราตรวจสอบความถูกต้องของสูตรนี้สำหรับอินทิกรัลที่แก้แล้ว
ในกรณีนี้: , เราใช้สูตร:

อย่างที่คุณเห็นคำตอบก็เหมือนกัน

ตัวอย่างที่ 14

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง สารละลายตัวอย่างใช้สูตรข้างต้นสองครั้งติดต่อกัน

หากอยู่ในระดับปริญญาตรี แบ่งแยกไม่ได้ตรีโกณมิติกำลังสอง จากนั้นผลเฉลยจะลดลงเหลือทวินามโดยการแยกกำลังสองสมบูรณ์ออก เช่น

จะเกิดอะไรขึ้นถ้ามีพหุนามเพิ่มเติมในตัวเศษ? ในกรณีนี้ จะใช้วิธีการหาค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน และฟังก์ชันจำนวนเต็มจะขยายเป็นผลรวมของเศษส่วน แต่ในทางปฏิบัติของฉันมีตัวอย่างเช่นนี้ ไม่เคยเจอดังนั้นฉันจึงพลาดกรณีนี้ในบทความ อินทิกรัลของฟังก์ชันเศษส่วน-ตรรกยะฉันจะข้ามมันตอนนี้ หากคุณยังพบอินทิกรัลอยู่ให้ดูที่ตำราเรียน - ทุกอย่างเรียบง่ายที่นั่น ฉันไม่คิดว่ามันแนะนำให้รวมเนื้อหา (แม้แต่ของธรรมดา ๆ ) ความน่าจะเป็นของการเผชิญหน้าซึ่งมีแนวโน้มเป็นศูนย์

การบูรณาการฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ซับซ้อน

คำคุณศัพท์ "complex" สำหรับตัวอย่างส่วนใหญ่ถือเป็นเงื่อนไขส่วนใหญ่อีกครั้ง เริ่มจากแทนเจนต์และโคแทนเจนต์กันก่อน ระดับสูง- จากมุมมองของวิธีการแก้ที่ใช้ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์แทบจะเป็นสิ่งเดียวกัน ดังนั้นฉันจะพูดถึงแทนเจนต์ให้มากขึ้น ซึ่งหมายความว่าวิธีที่สาธิตในการแก้อินทิกรัลนั้นใช้ได้กับโคแทนเจนต์ด้วย

ในบทเรียนข้างต้นเราดู การทดแทนตรีโกณมิติสากลเพื่อแก้อินทิกรัลบางประเภทจาก ฟังก์ชันตรีโกณมิติ- ข้อเสียของการทดแทนตรีโกณมิติสากลคือการใช้มักจะส่งผลให้เกิดอินทิกรัลยุ่งยากและการคำนวณยาก และในบางกรณี สามารถหลีกเลี่ยงการแทนที่ตรีโกณมิติสากลได้!

ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่งตามรูปแบบบัญญัติ อินทิกรัลของค่าหนึ่งหารด้วยไซน์:

ตัวอย่างที่ 17

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

ที่นี่คุณสามารถใช้การทดแทนตรีโกณมิติสากลและรับคำตอบได้ แต่ก็มีวิธีที่มีเหตุผลมากกว่า ฉันจะให้วิธีแก้ปัญหาแบบสมบูรณ์พร้อมความคิดเห็นสำหรับแต่ละขั้นตอน:

(1) เราใช้สูตรตรีโกณมิติสำหรับไซน์ของมุมคู่
(2) เราทำการแปลงแบบประดิษฐ์: หารด้วยตัวส่วนแล้วคูณด้วย .
(3) การใช้สูตรที่รู้จักกันดีในตัวส่วน เราจะแปลงเศษส่วนให้เป็นแทนเจนต์
(4) เรานำฟังก์ชันมาไว้ใต้เครื่องหมายดิฟเฟอเรนเชียล
(5) หาอินทิกรัล

คู่ ตัวอย่างง่ายๆสำหรับโซลูชันอิสระ:

ตัวอย่างที่ 18

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

หมายเหตุ: ขั้นตอนแรกควรใช้สูตรการลดขนาด และดำเนินการอย่างระมัดระวังคล้ายกับตัวอย่างก่อนหน้า

ตัวอย่างที่ 19

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

นี่เป็นตัวอย่างง่ายๆ

ตอบคำถามและคำตอบให้ครบถ้วนในตอนท้ายของบทเรียน

ฉันคิดว่าตอนนี้จะไม่มีใครมีปัญหากับอินทิกรัล:
ฯลฯ

แนวคิดของวิธีการคืออะไร? แนวคิดก็คือการใช้การแปลงและสูตรตรีโกณมิติเพื่อจัดระเบียบเฉพาะแทนเจนต์และอนุพันธ์แทนเจนต์ให้เป็นปริพันธ์ นั่นคือเรากำลังพูดถึงการแทนที่: - ในตัวอย่างที่ 17-19 จริงๆ แล้วเราใช้การแทนที่นี้ แต่อินทิกรัลนั้นง่ายมากจนเราได้การกระทำที่เทียบเท่ากัน โดยรวมฟังก์ชันไว้ใต้เครื่องหมายดิฟเฟอเรนเชียล

การให้เหตุผลที่คล้ายกันดังที่ฉันได้กล่าวไปแล้วสามารถดำเนินการกับโคแทนเจนต์ได้

นอกจากนี้ยังมีข้อกำหนดเบื้องต้นอย่างเป็นทางการสำหรับการใช้การทดแทนข้างต้น:

ผลรวมของกำลังของโคไซน์และไซน์เป็นจำนวนเต็มลบ เลขคู่ , ตัวอย่างเช่น:

สำหรับอินทิกรัล – เลขคู่จำนวนเต็มลบ

- บันทึก : หากปริพันธ์มีเฉพาะไซน์หรือโคไซน์เท่านั้น อินทิกรัลก็จะถือเป็นระดับคี่ติดลบด้วย (กรณีที่ง่ายที่สุดอยู่ในตัวอย่างที่ 17, 18)

ลองดูงานที่มีความหมายอีกสองสามงานตามกฎนี้:

ตัวอย่างที่ 20

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

ผลรวมของกำลังของไซน์และโคไซน์: 2 – 6 = –4 เป็นเลขจำนวนเต็มลบที่เป็นเลขคู่ ซึ่งหมายความว่าอินทิกรัลสามารถลดลงเป็นแทนเจนต์และอนุพันธ์ของมันได้:

(1) ลองแปลงตัวส่วนกัน.
(2) เราได้มาจากสูตรที่รู้จักกันดี
(3) ลองแปลงตัวส่วนกัน.
(4) เราใช้สูตร .
(5) เรานำฟังก์ชันมาไว้ใต้เครื่องหมายดิฟเฟอเรนเชียล
(6) เราดำเนินการทดแทน นักเรียนที่มีประสบการณ์มากกว่าอาจไม่ดำเนินการแทน แต่ก็ยังดีกว่าถ้าแทนที่แทนเจนต์ด้วยตัวอักษรตัวเดียว - มีความเสี่ยงน้อยกว่าที่จะสับสน

ตัวอย่างที่ 21

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง

รอก่อน รอบชิงแชมป์กำลังจะเริ่มแล้ว =)

บ่อยครั้งที่ปริพันธ์มีคำว่า "ผสม":

ตัวอย่างที่ 22

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

อินทิกรัลนี้เริ่มแรกประกอบด้วยแทนเจนต์ ซึ่งนำไปสู่ความคิดที่คุ้นเคยอยู่แล้วในทันที:

ฉันจะทิ้งการเปลี่ยนแปลงแบบประดิษฐ์ไว้ที่จุดเริ่มต้นและขั้นตอนที่เหลือโดยไม่มีความคิดเห็นเนื่องจากทุกอย่างได้ถูกกล่าวถึงข้างต้นแล้ว

ตัวอย่างเชิงสร้างสรรค์สำหรับโซลูชันของคุณเอง:

ตัวอย่างที่ 23

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

ตัวอย่างที่ 24

ค้นหาอินทิกรัลไม่ จำกัด

ใช่ ในนั้น คุณสามารถลดกำลังของไซน์และโคไซน์ลงได้ และใช้การทดแทนตรีโกณมิติสากลได้ แต่วิธีแก้ปัญหาจะมีประสิทธิภาพมากกว่าและสั้นกว่ามากหากดำเนินการผ่านแทนเจนต์ เฉลยและเฉลยครบถ้วนท้ายบทเรียน

ในการบูรณาการฟังก์ชันตรรกยะของรูปแบบ R(sin x, cos x) จะใช้การทดแทนซึ่งเรียกว่าการทดแทนตรีโกณมิติสากล แล้ว . การทดแทนตรีโกณมิติสากลมักส่งผลให้มีการคำนวณจำนวนมาก ดังนั้นเมื่อใดก็ตามที่เป็นไปได้ ให้ใช้การทดแทนต่อไปนี้

การรวมฟังก์ชันอย่างมีเหตุผลขึ้นอยู่กับฟังก์ชันตรีโกณมิติ

1. อินทิกรัลของรูปแบบ ∫ sin n xdx , ∫ cos n xdx , n>0
ก) ถ้า n เป็นเลขคี่ ดังนั้น จะต้องป้อนกำลังหนึ่งของ sinx (หรือ cosx) ไว้ข้างใต้เครื่องหมายดิฟเฟอเรนเชียล และจากกำลังคู่ที่เหลือควรส่งผ่านไปยังฟังก์ชันตรงกันข้าม
b) ถ้า n เป็นเลขคู่ แสดงว่าเราใช้สูตรในการลดระดับ
2. ปริพันธ์ของรูปแบบ ∫ tg n xdx , ∫ ctg n xdx โดยที่ n คือจำนวนเต็ม
ต้องใช้สูตร

3. อินทิกรัลของรูปแบบ ∫ sin n x cos m x dx
ก) ให้ m และ n มีความเท่าเทียมกัน เราใช้การทดแทน t=sin x ถ้า n เป็นเลขคี่ หรือ t=cos x ถ้า m เป็นเลขคี่
b) ถ้า m และ n เป็นเลขคู่ เราจะใช้สูตรในการลดระดับ
2ซิน 2 x=1-cos2x , 2cos 2 x=1+cos2x .
4. ปริพันธ์ของแบบฟอร์ม
หากตัวเลข m และ n มีความเท่าเทียมกัน เราจะใช้การแทนที่ t=tg x การใช้เทคนิคหน่วยตรีโกณมิติมักจะสะดวก
5. ∫ บาป(nx) cos(mx)dx , ∫ cos(mx) cos(nx)dx , ∫ บาป(mx) บาป(nx)dx

ลองใช้สูตรในการแปลงผลคูณของฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นผลรวม:

• บาป α cos β = ½(บาป(α+β)+บาป(α-β))
• cos α cos β = ½(cos(α+β)+cos(α-β))
• บาป α บาป β = ½(cos(α-β)-cos(α+β))

ตัวอย่าง
1. คำนวณอินทิกรัล ∫ cos 4 x·sin 3 xdx
เราทำการแทนที่ cos(x)=t จากนั้น ∫ cos 4 x sin 3 xdx =
2. คำนวณอินทิกรัล
ทำการแทนที่ sin x=t เราได้รับ

3. ค้นหาอินทิกรัล
เราทำการทดแทน tg(x)=t . ทดแทนเราได้

การรวมนิพจน์ของแบบฟอร์ม R(sinx, cosx)

ตัวอย่างหมายเลข 1 คำนวณอินทิกรัล:

สารละลาย.
a) การอินทิเกรตของนิพจน์ในรูปแบบ R(sinx, cosx) โดยที่ R คือฟังก์ชันตรรกยะของ sin x และ cos x จะถูกแปลงเป็นปริพันธ์ของฟังก์ชันตรรกยะโดยใช้การแทนที่ตรีโกณมิติสากล tg(x/2) = t
แล้วเราก็มี

การทดแทนตรีโกณมิติสากลทำให้สามารถเปลี่ยนจากอินทิกรัลของรูปแบบ ∫ R(sinx, cosx) dx ไปเป็นอินทิกรัลของฟังก์ชันตรรกยะเศษส่วนได้ แต่บ่อยครั้งที่การแทนที่ดังกล่าวทำให้เกิดการแสดงออกที่ยุ่งยาก ภายใต้เงื่อนไขบางประการ การทดแทนที่ง่ายกว่าจะมีผล:

• หากความเท่าเทียมกัน R(-sin x, cos x) = -R(sin x, cos x)dx เป็นไปตามนั้น ระบบจะใช้การทดแทน cos x = t
• หากความเท่าเทียมกัน R(sin x, -cos x) = -R(sin x, cos x)dx ยังคงอยู่ ดังนั้นการแทนที่ sin x = t
• หากความเท่าเทียมกัน R(-sin x, -cos x) = R(sin x, cos x)dx ยังคงอยู่ ดังนั้นการแทนที่ tgx = t หรือ ctg x = t

ในกรณีนี้ เพื่อหาอินทิกรัล
ขอให้เราใช้การทดแทนตรีโกณมิติสากล tg(x/2) = t
แล้วตอบ:

ตารางแอนติเดริเวทีฟ ("ปริพันธ์") ตารางปริพันธ์ อินทิกรัลไม่จำกัดตาราง (ปริพันธ์และปริพันธ์ที่ง่ายที่สุดพร้อมพารามิเตอร์) สูตรสำหรับการอินทิเกรตตามส่วนต่างๆ สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ

ตารางแอนติเดริเวทีฟ ("ปริพันธ์")
อินทิกรัลไม่จำกัดตาราง	อินทิกรัลไม่จำกัดตาราง
(ปริพันธ์และปริพันธ์ที่ง่ายที่สุดพร้อมพารามิเตอร์)
	อินทิกรัลของฟังก์ชันกำลัง
อินทิกรัลที่ลดจนเหลืออินทิกรัลของฟังก์ชันยกกำลัง หาก x ขับเคลื่อนใต้เครื่องหมายดิฟเฟอเรนเชียล	อินทิกรัลของเอ็กซ์โพเนนเชียล โดยที่ a เป็นจำนวนคงที่
อินทิกรัลของฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อน	อินทิกรัลของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
	อินทิกรัลของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
อินทิกรัลเท่ากับลอการิทึมธรรมชาติ	ปริพันธ์: "ลอการิทึมแบบยาว"
อินทิกรัลเท่ากับลอการิทึมธรรมชาติ
ปริพันธ์: "ลอการิทึมสูง"	อินทิกรัลโดยที่ x ในตัวเศษอยู่ใต้เครื่องหมายดิฟเฟอเรนเชียล (ค่าคงที่ใต้เครื่องหมายสามารถบวกหรือลบได้) ท้ายที่สุดจะคล้ายกับอินทิกรัลเท่ากับลอการิทึมธรรมชาติ
อินทิกรัลโคไซน์	อินทิกรัลไซน์
อินทิกรัลเท่ากับแทนเจนต์
อินทิกรัลเท่ากับโคแทนเจนต์	อินทิกรัลเท่ากับทั้งอาร์คไซน์และอาร์คโคไซน์
อินทิกรัลเท่ากับทั้งอาร์คไซน์และอาร์คโคไซน์	อินทิกรัลเท่ากับทั้งอาร์กแทนเจนต์และอาร์กโคแทนเจนต์
อินทิกรัลเท่ากับโคซีแคนต์	อินทิกรัลเท่ากับเซแคนต์
อินทิกรัลเท่ากับโคซีแคนต์	อินทิกรัลเท่ากับโคซีแคนต์
อินทิกรัลเท่ากับอาร์คเซแคนต์	อินทิกรัลเท่ากับอาร์คโคซีแคนต์
อินทิกรัลเท่ากับไฮเปอร์โบลิกไซน์	อินทิกรัลเท่ากับโคไซน์ไฮเปอร์โบลิก
อินทิกรัลเท่ากับไฮเปอร์โบลิกไซน์ โดยที่ sinhx คือไฮเปอร์โบลิกไซน์ในเวอร์ชันภาษาอังกฤษ	อินทิกรัลเท่ากับไฮเปอร์โบลิกโคไซน์ โดยที่ sinhx คือไฮเปอร์โบลิกไซน์ในเวอร์ชันภาษาอังกฤษ
อินทิกรัลเท่ากับไฮเปอร์โบลิกแทนเจนต์	อินทิกรัลเท่ากับโคแทนเจนต์ไฮเปอร์โบลิก

อินทิกรัลเท่ากับซีแคนต์ไฮเปอร์โบลิก

สูตรสำหรับการอินทิเกรตตามส่วนต่างๆ สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ
การรวมผลิตภัณฑ์ (ฟังก์ชัน) ด้วยค่าคงที่:
การรวมผลรวมของฟังก์ชัน:
อินทิกรัลไม่ จำกัด :
สูตรบูรณาการตามส่วนต่างๆ อินทิกรัลที่แน่นอน:
สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ อินทิกรัลที่แน่นอน:	โดยที่ F(a),F(b) คือค่าของแอนติเดริเวทีฟที่จุด b และ a ตามลำดับ

ตารางอนุพันธ์ อนุพันธ์แบบตาราง อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ อนุพันธ์ของผลหาร อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

ถ้า x เป็นตัวแปรอิสระ ดังนั้น:

ตารางอนุพันธ์ อนุพันธ์แบบตาราง "อนุพันธ์ของตาราง" - ​​ใช่ แต่น่าเสียดายที่นี่คือวิธีการค้นหาบนอินเทอร์เน็ต
	อนุพันธ์ของฟังก์ชันยกกำลัง
	อนุพันธ์ของเลขชี้กำลัง
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อน	อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม	อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติ
	อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติของฟังก์ชัน
อนุพันธ์ของไซน์	อนุพันธ์ของโคไซน์
อนุพันธ์ของโคซีแคนต์	อนุพันธ์ของซีแคนต์
อนุพันธ์ของอาร์คไซน์	อนุพันธ์ของอาร์คโคไซน์
อนุพันธ์ของอาร์คไซน์	อนุพันธ์ของอาร์คโคไซน์
อนุพันธ์แทนเจนต์	อนุพันธ์ของโคแทนเจนต์
อนุพันธ์ของอาร์กแทนเจนต์	อนุพันธ์ของอาร์คโคแทนเจนต์
อนุพันธ์ของอาร์กแทนเจนต์	อนุพันธ์ของอาร์คโคแทนเจนต์
อนุพันธ์ของอาร์คเซแคนต์	อนุพันธ์ของอาร์คโคซีแคนต์
อนุพันธ์ของอาร์คเซแคนต์	อนุพันธ์ของอาร์คโคซีแคนต์
อนุพันธ์ของไฮเปอร์โบลิกไซน์ อนุพันธ์ของไฮเปอร์โบลิกไซน์ในฉบับภาษาอังกฤษ	อนุพันธ์ของโคไซน์ไฮเปอร์โบลิก อนุพันธ์ของไฮเปอร์โบลิกโคไซน์ในฉบับภาษาอังกฤษ
อนุพันธ์ของไฮเปอร์โบลิกแทนเจนต์	อนุพันธ์ของไฮเปอร์โบลิกโคแทนเจนต์
อนุพันธ์ของซีแคนต์ไฮเปอร์โบลิก	อนุพันธ์ของไฮเปอร์โบลิกโคซีแคนต์

กฎของความแตกต่าง อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ อนุพันธ์ของผลหาร
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน
อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ (ฟังก์ชัน) โดยค่าคงที่:
อนุพันธ์ของผลรวม (ฟังก์ชัน):
อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ (ฟังก์ชัน):
อนุพันธ์ของผลหาร (ของฟังก์ชัน):

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:

คุณสมบัติของลอการิทึม สูตรพื้นฐานสำหรับลอการิทึม ทศนิยม (lg) และลอการิทึมธรรมชาติ (ln)
เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน
ลองแสดงว่าฟังก์ชันใดๆ ของรูปแบบ a b สามารถสร้างเลขชี้กำลังได้อย่างไร เนื่องจากฟังก์ชันที่อยู่ในรูปแบบ e x เรียกว่าเลขชี้กำลัง

ฟังก์ชันใดๆ ที่อยู่ในรูป a b สามารถแสดงเป็นกำลังของสิบได้

ลอการิทึมธรรมชาติ ln (ลอการิทึมถึงฐาน e = 2.718281828459045...) ln(e)=1; ln(1)=0

เทย์เลอร์ซีรีส์. การขยายฟังก์ชันชุดเทย์เลอร์ ปรากฎว่าส่วนใหญ่ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์สามารถแสดงด้วยความแม่นยำใดๆ ในบริเวณใกล้เคียงจุดใดจุดหนึ่งในรูปแบบของอนุกรมกำลังที่ประกอบด้วยกำลังของตัวแปรในลำดับที่เพิ่มขึ้น ตัวอย่างเช่น ใกล้กับจุด x=1:

เมื่อใช้ซีรีย์ที่เรียกว่า แถวของเทย์เลอร์ฟังก์ชันผสมที่มีฟังก์ชันพีชคณิต ตรีโกณมิติ และเลขชี้กำลัง สามารถแสดงเป็นฟังก์ชันพีชคณิตล้วนๆ ได้ เมื่อใช้ซีรีส์ คุณจะสามารถสร้างความแตกต่างและบูรณาการได้อย่างรวดเร็ว

ซีรีส์ Taylor ในบริเวณใกล้จุด a มีรูปแบบดังนี้:

1) โดยที่ f(x) คือฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ของลำดับทั้งหมดที่ x = a R n - เทอมที่เหลือในชุด Taylor ถูกกำหนดโดยนิพจน์

2)

ค่าสัมประสิทธิ์ k-th (ที่ x k) ของอนุกรมถูกกำหนดโดยสูตร

3) กรณีพิเศษของซีรีส์ Taylor คือซีรีส์ Maclaurin (=McLaren) (การขยายตัวเกิดขึ้นรอบจุด a=0)

ที่ = 0

สมาชิกของซีรีส์ถูกกำหนดโดยสูตร

เงื่อนไขการใช้ซีรีย์ Taylor

1. เพื่อให้ฟังก์ชัน f(x) ถูกขยายเป็นอนุกรม Taylor ในช่วงเวลา (-R;R) จำเป็นอย่างยิ่งและเพียงพอที่เทอมที่เหลือในสูตร Taylor (Maclaurin (=McLaren)) สำหรับสิ่งนี้ ฟังก์ชั่นมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์เมื่อ k →∞ในช่วงเวลาที่ระบุ (-R;R)

2. จำเป็นต้องมีอนุพันธ์สำหรับฟังก์ชันที่กำหนด ณ จุดที่เรากำลังจะสร้างอนุกรม Taylor

คุณสมบัติของซีรีย์เทย์เลอร์

ถ้า f เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ อนุกรมเทย์เลอร์ของมัน ณ จุดใดๆ ในโดเมนของนิยามของ f จะบรรจบกับ f ในย่านใกล้เคียงของ a

มีฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ไม่สิ้นสุดซึ่งอนุกรมเทย์เลอร์มาบรรจบกัน แต่ในขณะเดียวกันก็แตกต่างจากฟังก์ชันในย่านใกล้เคียงใดๆ ของ a ตัวอย่างเช่น:

ซีรีย์ Taylor ใช้ในการประมาณ (ประมาณ - วิธีการทางวิทยาศาสตร์ซึ่งประกอบด้วยการแทนที่วัตถุบางอย่างด้วยวัตถุอื่น ในความหมายหนึ่งหรืออีกนัยหนึ่งที่ใกล้เคียงกับวัตถุดั้งเดิม แต่ง่ายกว่า) ฟังก์ชันด้วยพหุนาม โดยเฉพาะอย่างยิ่งการทำให้เป็นเส้นตรง ((จาก linearis - เชิงเส้น) หนึ่งในวิธีการแสดงโดยประมาณของระบบไม่เชิงเส้นแบบปิดซึ่งการศึกษาระบบไม่เชิงเส้นจะถูกแทนที่ด้วยการวิเคราะห์ระบบเชิงเส้นในบางแง่ที่เทียบเท่ากับแบบเดิม .) สมการเกิดขึ้นโดยขยายเป็นอนุกรมเทย์เลอร์และตัดพจน์ทั้งหมดที่อยู่เหนือลำดับแรกออก

ดังนั้น ฟังก์ชันเกือบทุกฟังก์ชันจึงสามารถแสดงเป็นพหุนามได้ด้วยความแม่นยำที่กำหนด

ตัวอย่างการสลายตัวทั่วไปบางส่วน ฟังก์ชั่นพลังงานในชุด Maclaurin (=McLaren, Taylor ใกล้จุดที่ 0) และ Taylor ใกล้จุดที่ 1 เทอมแรกของการขยายฟังก์ชันหลักในชุด Taylor และ McLaren

ตัวอย่างการขยายฟังก์ชันกำลังทั่วไปบางส่วนในชุด Maclaurin (=McLaren, Taylor ในบริเวณใกล้กับจุด 0)

ตัวอย่างการขยายซีรีส์ Taylor ทั่วไปบางส่วนในบริเวณใกล้เคียงจุดที่ 1

ตัวอย่างของการแก้ปริพันธ์ตามส่วนต่างๆ จะถูกพิจารณาโดยละเอียด โดยปริพันธ์นั้นเป็นผลคูณของพหุนามด้วยเลขชี้กำลัง (e กำลัง x) หรือด้วยไซน์ (sin x) หรือโคไซน์ (cos x)

เนื้อหา

ดูเพิ่มเติมที่: วิธีการบูรณาการโดยส่วนต่างๆ
ตารางปริพันธ์ไม่แน่นอน
วิธีการคำนวณอินทิกรัลไม่ จำกัด
ฟังก์ชันพื้นฐานเบื้องต้นและคุณสมบัติต่างๆ

สูตรบูรณาการตามส่วนต่างๆ

เมื่อแก้ไขตัวอย่างในส่วนนี้ จะใช้สูตรการรวมตามส่วนต่างๆ:
;
.

ตัวอย่างของปริพันธ์ที่มีผลคูณของพหุนามและ sin x, cos x หรือ e x

นี่คือตัวอย่างของอินทิกรัลดังกล่าว:
, , .

ในการอินทิกรัลอินทิกรัลนั้น พหุนามเขียนแทนด้วย u และส่วนที่เหลือเขียนแทนด้วย v dx

จากนั้น ใช้สูตรการอินทิเกรตตามส่วนต่างๆ ด้านล่างได้รับวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียด

ตัวอย่างเหล่านี้

ตัวอย่างของการแก้อินทิกรัล

ตัวอย่างที่มีเลขชี้กำลัง e กำลังของ x
.

กำหนดอินทิกรัล:
ให้เราแนะนำเลขชี้กำลังใต้เครื่องหมายดิฟเฟอเรนเชียล:.

อี - x dx = - อี - x ง(-x) = - ง(อี - x)

มาบูรณาการกันทีละส่วน
.
ที่นี่
.
.
.
นอกจากนี้เรายังรวมอินทิกรัลที่เหลือทีละส่วนด้วย
.

ในที่สุดเราก็มี:

ตัวอย่างการกำหนดอินทิกรัลด้วยไซน์
.

คำนวณอินทิกรัล:

อี - x dx = - อี - x ง(-x) = - ง(อี - x)

ขอแนะนำไซน์ใต้เครื่องหมายดิฟเฟอเรนเชียล: ที่นี่ u = x 2 , v =คอส(2x+3) ( , ดู่ = )′ x2

ดีเอ็กซ์


นอกจากนี้เรายังรวมอินทิกรัลที่เหลือทีละส่วนด้วย เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แนะนำโคไซน์ใต้เครื่องหมายดิฟเฟอเรนเชียล ที่นี่คุณ = x, v =บาป(2x+3)

นอกจากนี้เรายังรวมอินทิกรัลที่เหลือทีละส่วนด้วย

, ดู่ = dx

ตัวอย่างการกำหนดอินทิกรัลด้วยไซน์
.

ตัวอย่างผลคูณของพหุนามและโคไซน์

อี - x dx = - อี - x ง(-x) = - ง(อี - x)

เรามาแนะนำโคไซน์ใต้เครื่องหมายดิฟเฟอเรนเชียลกันดีกว่า: ที่นี่คุณ = x 2 + 3 x + 5 , วี =คอส(2x+3) ( บาป 2 x )′ x2

x 2 + 3 x + 5 หลักสูตรตรีโกณมิติ

และการทดแทนขั้นพื้นฐาน มีการอธิบายวิธีการอินทิเกรตฟังก์ชันตรีโกณมิติไว้แล้ว - การอินทิเกรตฟังก์ชันตรรกยะ ผลคูณของฟังก์ชันกำลังของ sin x และ cos x ผลคูณของพหุนาม เอ็กซ์โปเนนเชียล และไซน์หรือโคไซน์ การอินทิเกรตของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน วิธีการที่ไม่ได้มาตรฐานได้รับผลกระทบ

เนื้อหา

วิธีการมาตรฐานสำหรับการอินทิเกรตฟังก์ชันตรีโกณมิติ

แนวทางทั่วไป

ขั้นแรก หากจำเป็น ต้องแปลงอินทิแกรนด์เพื่อให้ฟังก์ชันตรีโกณมิติขึ้นอยู่กับอาร์กิวเมนต์เดียว ซึ่งเหมือนกับตัวแปรอินทิเกรต ตัวอย่างเช่น ถ้าปริพันธ์ขึ้นอยู่กับและ บาป(x+ก)คอส(x+b)
จากนั้นคุณควรทำการแปลง: cos (x+b) = cos (x+a - (a-b)) = บาป ( x+a ) บาป (b-a).
จากนั้นทำการแทนที่ z = x+a

ด้วยเหตุนี้ ฟังก์ชันตรีโกณมิติจะขึ้นอยู่กับตัวแปรอินทิเกรต z เท่านั้น เมื่อฟังก์ชันตรีโกณมิติขึ้นอยู่กับอาร์กิวเมนต์หนึ่งที่ตรงกับตัวแปรอินทิเกรต (สมมติว่าเป็น z) กล่าวคือ อินทิแกรนด์ประกอบด้วยฟังก์ชันอย่างเช่น, บาปซี, เพราะซี, ทีจีซีซีทีจี ซี
.
จากนั้นคุณจะต้องทำการทดแทน การทดแทนดังกล่าวนำไปสู่การรวมฟังก์ชันเชิงตรรกยะหรืออตรรกยะ (หากมีราก) และช่วยให้สามารถคำนวณอินทิกรัลได้หากรวมเข้ากับ.

ฟังก์ชั่นเบื้องต้น

อย่างไรก็ตาม คุณมักจะพบวิธีการอื่นๆ ที่ช่วยให้คุณประเมินอินทิกรัลได้ในวิธีที่สั้นกว่า โดยพิจารณาจากลักษณะเฉพาะของอินทิกรัล ด้านล่างนี้เป็นบทสรุปของวิธีการหลักดังกล่าว

วิธีการอินทิเกรตฟังก์ชันตรรกยะของ sin x และ cos x ฟังก์ชันตรรกยะจากและ บาป xเพราะ x ฟังก์ชันตรรกยะจาก, บาป xเป็นฟังก์ชันที่เกิดจาก และค่าคงที่ใดๆ โดยใช้การดำเนินการบวก ลบ คูณ หาร และยกกำลังเป็นจำนวนเต็ม มีการกำหนดดังนี้: R(บาป x, cos x)
- ซึ่งอาจรวมถึงแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ด้วย เนื่องจากพวกมันถูกสร้างขึ้นโดยการหารไซน์ด้วยโคไซน์ และในทางกลับกัน
.

ปริพันธ์ของฟังก์ชันตรรกยะมีรูปแบบ:
วิธีการอินทิเกรตฟังก์ชันตรีโกณมิติเชิงตรรกยะมีดังต่อไปนี้
1) การทดแทนจะนำไปสู่อินทิกรัลของเศษส่วนตรรกยะเสมอ อย่างไรก็ตาม ในบางกรณี มีการทดแทน (ซึ่งแสดงไว้ด้านล่างนี้) ซึ่งทำให้การคำนวณสั้นลง และค่าคงที่ใดๆ โดยใช้การดำเนินการบวก ลบ คูณ หาร และยกกำลังเป็นจำนวนเต็ม มีการกำหนดดังนี้: R 2) ถ้าร ฟังก์ชันตรรกยะจาก.
คอส x → - คอส x และค่าคงที่ใดๆ โดยใช้การดำเนินการบวก ลบ คูณ หาร และยกกำลังเป็นจำนวนเต็ม มีการกำหนดดังนี้: R 3) ถ้าร คูณด้วย -1 เมื่อแทนที่บาป x → - บาป x บาป x.
แล้วการทดแทน t = และค่าคงที่ใดๆ โดยใช้การดำเนินการบวก ลบ คูณ หาร และยกกำลังเป็นจำนวนเต็ม มีการกำหนดดังนี้: R 4) ถ้าร 2) ถ้ารไม่เปลี่ยนแปลงเหมือนกับการเปลี่ยนพร้อมกัน คูณด้วย -1 เมื่อแทนที่, และ แล้วการทดแทน t =ทีจีเอ็กซ์ หรือ ที =.

ซีทีจี x
, , .

ตัวอย่าง:

ผลคูณของฟังก์ชันกำลังของ cos x และ sin x

ปริพันธ์ของแบบฟอร์ม

เป็นปริพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติเชิงตรรกยะ ดังนั้นจึงสามารถนำไปใช้กับวิธีการที่ระบุไว้ในส่วนก่อนหน้าได้ วิธีการตามลักษณะเฉพาะของอินทิกรัลดังกล่าวมีดังต่อไปนี้ ถ้า ม และ n -จำนวนตรรกยะ ฟังก์ชันตรรกยะจากทีจีเอ็กซ์ บาป xแล้วหนึ่งในการเปลี่ยนตัว t =

อินทิกรัลจะลดลงเหลืออินทิกรัลของดิฟเฟอเรนเชียลทวินาม

;
;
;
.

หาก m และ n เป็นจำนวนเต็ม การอินทิเกรตจะดำเนินการโดยใช้สูตรการลด:
.

ตัวอย่าง:

อินทิกรัลผลคูณของพหุนามและไซน์หรือโคไซน์
, ,
ปริพันธ์ของแบบฟอร์ม:

;
.

ซีทีจี x
, .

โดยที่ P(x) เป็นพหุนามใน x ถูกอินทิเกรตด้วยส่วนต่างๆ สิ่งนี้จะสร้างสูตรต่อไปนี้:

อินทิกรัลผลคูณของพหุนามและไซน์หรือโคไซน์
, ,
โดยที่ P(x) เป็นพหุนามใน x ซึ่งปริพันธ์โดยใช้สูตรของออยเลอร์
อีไอเอเอ็กซ์ = ขวานคอส + ขวานไอซิน(โดยที่ฉัน 2 = - 1 ).
เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คำนวณอินทิกรัลโดยใช้วิธีการที่อธิบายไว้ในย่อหน้าก่อนหน้า
.
โดยการแยกส่วนจริงและส่วนจินตภาพออกจากผลลัพธ์ จะได้อินทิกรัลดั้งเดิม

หาก m และ n เป็นจำนวนเต็ม การอินทิเกรตจะดำเนินการโดยใช้สูตรการลด:
.

วิธีการรวมฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ไม่ได้มาตรฐาน

ด้านล่างนี้คือวิธีการที่ไม่ได้มาตรฐานจำนวนหนึ่งที่ช่วยให้คุณสามารถดำเนินการหรือทำให้การรวมฟังก์ชันตรีโกณมิติง่ายขึ้นได้

การพึ่งพา (บาป x + b cos x)

ถ้าปริพันธ์ขึ้นอยู่กับ a เท่านั้น บาป x + b cos xจากนั้นจึงเป็นประโยชน์ในการใช้สูตร:
,
ที่ไหน .

ตัวอย่างเช่น

การหาเศษส่วนจากไซน์และโคไซน์ให้เป็นเศษส่วนอย่างง่าย

พิจารณาอินทิกรัล
.
วิธีการอินทิเกรตที่ง่ายที่สุดคือการแบ่งเศษส่วนออกเป็นเศษส่วนที่ง่ายกว่าโดยใช้การแปลง:
บาป(a - b) = บาป(x + a - (x + b)) = บาป(x+a) cos(x+b) - cos(x+a) บาป(x+b)

การอินทิเกรตเศษส่วนของดีกรี 1

ที่ การคำนวณแบบอินทิกรัล
,
สะดวกในการแยกส่วนจำนวนเต็มของเศษส่วนและอนุพันธ์ของตัวส่วน
ก 1 บาป x + b 1 cos x =ก (บาป x + b cos x) +บี (บาป x + b cos x)′ .
ค่าคงที่ A และ B หาได้จากการเปรียบเทียบด้านซ้ายและขวา

วรรณกรรมที่ใช้:
น.เอ็ม. กันเตอร์, อาร์.โอ. Kuzmin, ชุดของปัญหาทางคณิตศาสตร์ขั้นสูง, “ลาน”, 2546.

ดูเพิ่มเติมที่: