การก่อสร้างแบบ Hodograph ของ Nyquist ลักษณะแอมพลิจูดเฟส (Nyquist hodograph)

Hodograph ด้านซ้ายเป็น Hodograph ของระบบที่มีความเสถียรอย่างเห็นได้ชัด ไม่ครอบคลุมจุด ซึ่งจำเป็นตามเกณฑ์ Nyquist สำหรับความเสถียรของระบบวงปิด Hodograph ขวา – Hodograph สามขั้วเห็นได้ชัดว่าระบบไม่เสถียรจะข้ามจุดนั้นไป สามครั้งทวนเข็มนาฬิกาซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นตามเกณฑ์ Nyquist เพื่อความเสถียรของระบบวงปิด

ความคิดเห็น

คุณลักษณะเฟสแอมพลิจูดของระบบที่มีพารามิเตอร์จริง (และพบได้ในทางปฏิบัติเท่านั้น) มีความสมมาตรเกี่ยวกับแกนจริง ดังนั้น จึงมักจะพิจารณาเพียงครึ่งหนึ่งของคุณลักษณะเฟสแอมพลิจูดที่สอดคล้องกับความถี่บวก ในกรณีนี้จะพิจารณาการเดินทางครึ่งหนึ่งของจุด จุดตัดของเซ็กเมนต์ () เมื่อความถี่เพิ่มขึ้นจากบนลงล่าง (เฟสเพิ่มขึ้น) ถือเป็นจุดตัด และจากล่างขึ้นบนถือเป็นจุดตัด หากคุณลักษณะเฟสแอมพลิจูดของระบบลูปเปิดเริ่มต้นที่เซ็กเมนต์ () สิ่งนี้จะสอดคล้องกับจุดตัดอย่างใดอย่างหนึ่ง ขึ้นอยู่กับว่าคุณลักษณะนั้นลดลงหรือเพิ่มขึ้นเมื่อความถี่เพิ่มขึ้น

จำนวนจุดตัดของส่วน () สามารถคำนวณได้โดยใช้คุณลักษณะความถี่ลอการิทึม ให้เราชี้แจงว่าสิ่งเหล่านี้คือทางแยกที่สอดคล้องกับระยะที่ขนาดของลักษณะแอมพลิจูดมากกว่าหนึ่ง

การกำหนดเสถียรภาพโดยใช้คุณลักษณะความถี่ลอการิทึม

หากต้องการใช้เกณฑ์ Mikhailov คุณต้องสร้าง Hodograph นี่คือพหุนามลักษณะเฉพาะของระบบปิด

ในกรณีของเกณฑ์ Nyquist ก็เพียงพอที่จะทราบฟังก์ชันการถ่ายโอนของระบบ open-loop ในกรณีนี้ ไม่จำเป็นต้องสร้างเครื่อง Hodograph ในการพิจารณาความเสถียรของ Nyquist ก็เพียงพอที่จะสร้างลักษณะแอมพลิจูดลอการิทึมและความถี่เฟสของระบบลูปเปิด

โครงสร้างที่ง่ายที่สุดได้มาเมื่อสามารถแสดงฟังก์ชันการถ่ายโอนของระบบ open-loop ในรูปแบบได้

แล้วก็ ฮ่าๆ ,

ภาพด้านล่างสอดคล้องกัน ฟังก์ชั่นการถ่ายโอน

.

ที่นี่และ สร้างเป็นฟังก์ชัน

ลักษณะความถี่ลอการิทึมที่แสดงด้านล่างสอดคล้องกับระบบที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้พร้อมฟังก์ชันถ่ายโอน (open-loop)

.

ทางด้านซ้ายคือลักษณะแอมพลิจูดและความถี่เฟสสำหรับฟังก์ชันการถ่ายโอน ทางด้านขวา - สำหรับฟังก์ชันการถ่ายโอนที่อยู่ตรงกลาง - สำหรับฟังก์ชันการถ่ายโอนดั้งเดิม (ตามที่คำนวณโดยโปรแกรม Les วิธี "บูรณาการ")

ขั้วทั้งสามของฟังก์ชันจะเลื่อนไปทางซ้าย (ระบบเสถียร) ลักษณะเฟสจึงมีการข้ามระดับ 0 ขั้วทั้งสามของฟังก์ชันถูกเลื่อนไปทางขวา (ระบบไม่เสถียร) ลักษณะเฟสจึงมีจุดตัดครึ่งระดับสามจุดในพื้นที่ที่โมดูลัสของฟังก์ชันถ่ายโอนมากกว่าเอกภาพ

ยังไงระบบปิดก็เสถียร

รูปภาพกลาง - การคำนวณในกรณีที่ไม่มีการเคลื่อนไหวของรูทเป็นขีด จำกัด สำหรับรูปภาพด้านขวา ระยะของเฟสในภาพด้านซ้ายจะแตกต่างอย่างสิ้นเชิง ความจริงอยู่ที่ไหน?

ตัวอย่างจาก.

ให้ฟังก์ชันการถ่ายโอนของระบบ open-loop มีรูปแบบดังนี้

.

ระบบ open-loop มีความเสถียรสำหรับผลบวกใดๆ เคและ ต- ระบบปิดก็มีความเสถียรเช่นกัน ดังที่เห็นได้จากโฮโดกราฟทางด้านซ้ายในรูป

เมื่อเป็นลบ ตระบบ open-loop ไม่เสถียร - มีข้อดีอยู่ที่ครึ่งระนาบด้านขวา ระบบปิดมีความเสถียรที่ ดังที่เห็นได้จากโฮโดกราฟที่อยู่ตรงกลาง และไม่เสถียรที่ (ภาพโฮโดกราฟทางด้านขวา)

ให้ฟังก์ชันการถ่ายโอนของระบบ open-loop มีรูปแบบ ():

.

มีขั้วหนึ่งอยู่บนแกนจินตภาพ ดังนั้น เพื่อความเสถียรของระบบวงปิด จึงจำเป็นที่จำนวนจุดตัดของส่วน () ของแกนจริงโดยลักษณะแอมพลิจูดเฟสของระบบวงเปิดจะเท่ากัน (ถ้าเราพิจารณา Hodograph เท่านั้น สำหรับความถี่บวก)

ทฤษฎีบทที่สำคัญจากทฤษฎีฟังก์ชันของสถานะตัวแปรที่ซับซ้อน: ปล่อยให้ฟังก์ชันมีเอกลักษณ์เฉพาะภายในเส้นชั้นความสูง C ที่เชื่อมต่ออย่างง่ายๆ และยิ่งไปกว่านั้น จะต้องไม่ซ้ำกันและวิเคราะห์บนเส้นชั้นความสูงนี้ ถ้า ไม่เท่ากับศูนย์บน C และถ้าภายในเส้นขอบ C สามารถมีจุดเอกพจน์ (ขั้ว) ได้เพียงจำนวนจำกัด แล้ว

โดยที่ คือจำนวนศูนย์ และคือจำนวนขั้วภายใน C ซึ่งแต่ละขั้วจะถูกนำมาพิจารณาตามจำนวนทวีคูณ

ทฤษฎีบทนี้เป็นไปตามทฤษฎีบทเรซิดิวของคอชีโดยตรง ซึ่งกล่าวไว้เช่นนั้น

ให้เราแทนที่ด้วยและสังเกตว่าเอกพจน์นั้นยังคงอยู่ที่ทั้งศูนย์และขั้ว จากนั้นสิ่งตกค้างที่พบที่จุดเอกพจน์เหล่านี้จะเท่ากับผลคูณของจุดเอกพจน์โดยมีเครื่องหมายบวกที่ศูนย์และเครื่องหมายลบที่จุด ทฤษฎีบทที่ร่างไว้ข้างต้นชัดเจนแล้ว

ความสัมพันธ์ (11.2-1) สามารถเขียนเป็นแบบฟอร์มได้

เนื่องจากโดยทั่วไปรูปร่าง C จะมีทั้งส่วนจริงและส่วนจินตภาพ ลอการิทึมจึงเขียนอยู่ในรูป

โดยมีเงื่อนไขว่า C จะไม่หายไปที่ใดก็ได้บนขอบเขต การบูรณาการใน (II.2-3) ให้โดยตรง

โดยที่แสดงถึงจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของโครงร่างปิด C โดยพลการ ดังนั้น

เมื่อรวมผลลัพธ์ (II.2-1) และ (II.2-7) เราพบว่าผลคูณของการเปลี่ยนแปลงมุมทั้งหมด (การปฏิวัติรอบจุดกำเนิดโดยสมบูรณ์) เมื่อเส้นชั้นความสูง C วิ่งไปรอบๆ เท่ากับความแตกต่างระหว่าง ศูนย์และขั้วภายในเส้นชั้นความสูง C

ถ้า คือจำนวนรอบการปฏิวัติทั้งหมดรอบจุดกำเนิดขณะที่ C วิ่งไปรอบๆ เราก็จะเขียนได้

ยิ่งไปกว่านั้น รูปร่าง C ยังหมุนไปในทิศทางที่สอดคล้องกับการเพิ่มขึ้นของมุมบวก และการหมุนรอบจะเรียกว่าเป็นบวก ถ้ามันเกิดขึ้นในทิศทางที่สอดคล้องกับการเพิ่มขึ้นของมุมบวกด้วย

ข้าว. II.2-1. รูปทรงปิดที่ล้อมรอบส่วนที่จำกัดของครึ่งระนาบด้านขวา

ตอนนี้ผลลัพธ์เหล่านี้สามารถนำไปใช้กับปัญหาการกำหนดเสถียรภาพได้โดยตรง เราต้องการทราบว่าตัวส่วนของฟังก์ชันถ่ายโอนมีศูนย์ในครึ่งระนาบด้านขวาหรือไม่

ด้วยเหตุนี้ จึงเลือกเส้นขอบ C เพื่อปิดระนาบครึ่งระนาบด้านขวาโดยสมบูรณ์ วงจรนี้จะแสดงในรูป. โดยที่ครึ่งวงกลมใหญ่ที่ล้อมรอบครึ่งระนาบด้านขวาถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์

ในขณะที่มุ่งไปสู่อนันต์ในขอบเขต

สมมุติว่าเขียนว่า.

โดยที่ฟังก์ชันทั้งหมดของและไม่มีตัวประกอบร่วมกัน ให้เราสร้างไดอะแกรมเพิ่มเติมในระนาบเชิงซ้อนโดยเปลี่ยนค่าตามแนว C แผนภาพนี้จะให้รูปร่างแบบปิดแก่เรา ในกรณีทั่วไป มันจะเป็นฟังก์ชันทั้งหมดในรูปแบบพหุนาม ซึ่งเห็นได้ชัดว่าไม่มีขั้วอยู่ในส่วนจำกัดของระนาบ ถ้าเป็นค่าเหนือธรรมชาติ จะต้องกำหนดจำนวน P ของขั้วในส่วนจำกัดของครึ่งระนาบด้านขวา เมื่อรู้ P และพิจารณาจากแผนภาพเมื่อ C วิ่งผ่าน ตอนนี้เราสามารถกำหนดจำนวนศูนย์ในครึ่งระนาบด้านขวาตามสมการ (II.2-8) ได้

ข้าว. II.2-2. ระบบควบคุมวงจรเดียวอย่างง่าย

เพื่อให้ระบบมีเสถียรภาพจะต้องเท่ากับศูนย์ ดังนั้น การประยุกต์ใช้เกณฑ์นี้จึงประกอบด้วยสองขั้นตอน ขั้นตอนแรกคือการกำหนดเสาในครึ่งระนาบด้านขวา และขั้นตอนที่สองคือการสร้างแผนภาพเมื่อ C วิ่งผ่าน โดยปกติแล้วขั้นตอนแรกจะดำเนินการอย่างง่ายดาย อันที่สองสามารถเป็นตัวแทนได้ ปัญหาสำคัญโดยเฉพาะอย่างยิ่งหากอยู่ในลำดับที่สามหรือสูงกว่า และหากมีเงื่อนไขทิพย์

สำหรับระบบควบคุมด้วย ข้อเสนอแนะแสดงใน มุมมองทั่วไปในรูป ความซับซ้อนของการสร้างไดอะแกรมสามารถลดลงได้อย่างมากโดยใช้ฟังก์ชันถ่ายโอนแบบลูปเปิด ฟังก์ชันถ่ายโอนของระบบลูปปิดสัมพันธ์กับฟังก์ชันถ่ายโอนของระบบลูปเปิดโดยความสัมพันธ์

โดยที่สามารถมีทั้งขั้วและศูนย์ ในปัญหาความมั่นคง เป็นที่พึงปรารถนาที่จะทราบว่ามีขั้วอยู่ในระนาบครึ่งด้านขวาหรือไม่ ซึ่งเทียบเท่ากับการอยู่ในครึ่งระนาบด้านขวาของศูนย์ของฟังก์ชัน หรืออยู่ในครึ่งระนาบด้านขวา เลื่อนด้วย -1 ซึ่งเป็นศูนย์ของฟังก์ชัน เพื่อชี้แจงผลกระทบที่เกิดขึ้นเนื่องจากการเปลี่ยนแปลงใน open-loop gain และในขณะเดียวกันก็ลดงานในการสร้างแผนภาพ Nyquist ให้เหลือน้อยที่สุด เราก็เขียนนิพจน์ตัวส่วน (II.2-12) ใหม่ในรูปแบบโดยที่ K คือกำไรของระบบ open-loop ตอนนี้ขั้วก็เหมือนกันกับศูนย์ด้วยความเคารพ

หากต้องการใช้เกณฑ์ Nyquist อันดับแรกเราจะวาดโครงร่าง C ซึ่งครอบคลุม

ระนาบครึ่งขวาทั้งหมด หลังจากนั้น เราจะคำนวณจำนวนรอบทั้งหมดสำหรับการเคลื่อนที่รอบจุดเดียวกัน การเปลี่ยนเกน K จะเปลี่ยนเฉพาะตำแหน่งของจุดเท่านั้น และไม่ส่งผลต่อตำแหน่ง [-กำหนดจำนวนขั้ว P ของฟังก์ชันใน PPP โดยตรงจากฟังก์ชันนั้นเอง ถ้ามันมีรูปแบบเป็นผลคูณของตัวประกอบอย่างง่าย หรือโดยยากกว่าในการคำนวณว่ามันมีรูปแบบพหุนามหรือรูปแบบทิพย์ ความเสถียรของระบบจะถูกกำหนดโดยการประยุกต์ใช้สมการโดยตรง (II.2-8) ซึ่งกำหนดไว้

ดังนั้น ระบบจะเสถียรก็ต่อเมื่อมีค่าเท่ากับศูนย์ ซึ่งขณะนี้จำนวนศูนย์ของตัวส่วน (II.2-12) ใน

ข้าว. II.2-3. การปรับเปลี่ยนวงจรที่เป็นไปได้สองแบบโดยบายพาสขั้วบนแกนจินตภาพ

เมื่อใช้เกณฑ์ในแบบฟอร์มนี้ ควรให้ความสนใจกับการเลือกโครงร่าง C ซึ่งครอบคลุมครึ่งระนาบด้านขวา ความสัมพันธ์ (11.2-1) และด้วยเหตุนี้ (11.2-13) จึงต้องไม่มีเอกภาวะของฟังก์ชันที่แสดงบนเส้นขอบ C มีหลายกรณีเมื่อมีขั้วที่จุดกำเนิด หรือแม้แต่ขั้วคอนจูเกตที่ซับซ้อนหลายคู่บน แกนจินตภาพ เพื่อจัดการกับกรณีพิเศษเหล่านี้ kongur C ได้รับการแก้ไขโดยการเคลื่อนที่ผ่านเอกฐานแต่ละอันในครึ่งวงกลมขนาดเล็กมาก ดังแสดงในรูป II.2-3. ถ้าคุณลักษณะเป็นเสา โครงร่าง C ที่แก้ไขแล้วสามารถผ่านไปทางขวาหรือทางซ้ายได้ ดังแสดงในรูปที่ 1 II.2-3,a และ II.2-3,b ตามลำดับ ถ้าภาวะเอกฐานไม่ใช่ขั้ว เส้นขอบจะต้องเคลื่อนไปทางขวาเสมอ เนื่องจากความสัมพันธ์ (II.2-1) ยอมให้มีเฉพาะภาวะเอกฐานภายในเส้นขอบ C เท่านั้น เสาเหล่านั้นบนแกนจินตภาพที่บายพาสจากด้านซ้ายอยู่ภายในเส้นชั้นความสูง C ดังนั้นจึงต้องคำนึงถึงใน P ในกรณีนี้ โดยทั่วไปจะเลือกเส้นชั้นความสูง C ในบริเวณใกล้เคียงกับจุดเอกพจน์ในรูปแบบ

โดยที่มุมแปรผันจากถึงในขีดจำกัดมีแนวโน้มเป็นศูนย์

โฮโดกราฟขณะที่มันเคลื่อนผ่านเส้นขอบ C ประกอบด้วยส่วนหลักๆ สี่ส่วน โฮโดกราฟที่

หากไม่รวมบริเวณใกล้เคียงของภาวะเอกฐานบนแกนจินตภาพ เป็นเพียงการตอบสนองความถี่ของระบบลูปเปิด ดังนั้น การหาโฮโดกราฟที่ สามารถหาได้โดยการวางแผนที่สัมพันธ์กับแกนจริง เมื่อระบบหนึ่งวิ่งผ่านครึ่งวงกลมที่ไม่มีที่สิ้นสุด ค่าสำหรับระบบที่เป็นไปได้ทางกายภาพทั้งหมดจะเป็นศูนย์หรืออย่างมากที่สุดคือค่าคงที่จำกัด ในที่สุด โฮโดกราฟเมื่อวิ่งผ่านครึ่งวงกลมเล็กๆ ใกล้ขั้วบนแกนจินตภาพจะถูกกำหนดโดยการแทนที่นิพจน์ (II.2-14) โดยตรงในฟังก์ชันนี้ ดังนั้นการแมปของเส้นขอบ C บนระนาบฟังก์ชันจึงเสร็จสมบูรณ์

เมื่อใช้เกณฑ์ในแบบฟอร์มนี้ ลักษณะของข้อ จำกัด ที่กำหนดไว้จะชัดเจน ประการแรก มันสามารถมีจำนวนเอกพจน์แบบขั้วในครึ่งระนาบด้านขวาได้เพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น ประการที่สอง มันสามารถมีจำนวนเอกพจน์ (ขั้วหรือจุดกิ่งก้าน) บนแกนจินตภาพได้จำนวนจำกัดเท่านั้น คลาสของฟังก์ชันสามารถขยายเพื่อรวมฟังก์ชันที่มีจุดแบรนช์ได้ ตราบใดที่จุดแบรนช์อยู่ในครึ่งระนาบด้านซ้าย และใช้ค่าหลักของฟังก์ชัน ประการที่สาม อนุญาตให้ใช้คุณลักษณะที่สำคัญของแบบฟอร์มในตัวเศษได้ เนื่องจากค่าสัมบูรณ์ของฟังก์ชันนี้เมื่อเปลี่ยนภายในครึ่งระนาบด้านขวาจะอยู่ระหว่างถึง 0

ขอแนะนำให้สาธิตการประยุกต์ใช้เกณฑ์ Nyquist พร้อมตัวอย่าง ปล่อยให้ระบบควบคุมที่มีการป้อนกลับถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์

ฟังก์ชั่นถ่ายโอนขององค์ประกอบที่กำหนดสอดคล้องกับมอเตอร์เหนี่ยวนำสองเฟสที่ทำงานที่ความถี่จากเครื่องขยายสัญญาณแม่เหล็กครึ่งคลื่น การมีความหน่วงเป็นลบสัมพันธ์กับความต้านทานของโรเตอร์ต่ำ คำถามแรกเกิดขึ้น: เป็นไปได้หรือไม่ที่จะรักษาเสถียรภาพขององค์ประกอบที่กำหนดเนื่องจากปัจจัยที่ได้รับเท่านั้น ให้เราใส่

ฟังก์ชันถ่ายโอนของระบบ open-loop จะอยู่ในรูปแบบ

ประการแรก เราจะเห็นได้ว่ามีขั้วเดียวในระนาบครึ่งด้านขวา และขั้วนี้อยู่ที่จุดนั้น แผนภาพโดยประมาณเมื่อวิ่งผ่านเส้นขอบ C ที่แสดงในรูปที่ 1 II.2-4, a, แสดงไว้ในรูปที่. II.2-4, b และแสดงให้เห็นว่าเมื่อได้รับเลือก จะมีการปฏิวัติเชิงบวกหนึ่งครั้งรอบจุดนั้น

ข้าว. II.2-4. ตัวอย่างของไดอะแกรม Nyquist

ดังนั้นเมื่อใช้เกณฑ์ Nyquist ที่แสดงโดยสมการ (II.2-13) เราจึงได้ผลลัพธ์

การเพิ่ม K ทำให้เกิดความเป็นไปได้ มากกว่าการหมุนที่เป็นบวกเนื่องจากลักษณะเกลียวของส่วนของแผนภาพเนื่องจากตัวคูณ ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าระบบไม่เสถียรสำหรับค่าบวกทั้งหมดของ K

สำหรับค่าลบของ K เราสามารถหมุนไดอะแกรมของเราสัมพันธ์กับจุดกำเนิดและพิจารณาการหมุนรอบจุด หรือใช้แผนภาพที่มีอยู่แล้วพิจารณาการหมุนรอบจุด วิธีหลังนั้นง่ายกว่า มันแสดงให้เห็นโดยตรงว่า อย่างน้อยที่สุด ก็ไม่มีการพัฒนาเชิงบวกใดๆ เกิดขึ้น สิ่งนี้จะให้ค่าศูนย์อย่างน้อยหนึ่งตัวในครึ่งระนาบด้านขวาสำหรับค่าลบของ K ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าระบบไม่เสถียรสำหรับค่า K ทั้งหมดทั้งบวกและลบ ดังนั้นจึงต้องมีการแก้ไขบางอย่างเพื่อให้ ระบบมีเสถียรภาพ

เกณฑ์ Nyquist ยังสามารถนำมาใช้เมื่อการตอบสนองความถี่ของระบบ open-loop ถูกสร้างขึ้นจากข้อมูลการทดลอง ฟังก์ชันการถ่ายโอนของระบบวงเปิดในกรณีนี้จะต้องมีเสถียรภาพ ดังนั้นจึงไม่สามารถมีขั้วในครึ่งระนาบด้านขวาได้ เช่น หากต้องการสร้าง Nyquist hodograph อย่างถูกต้อง คุณควรดูแล คำจำกัดความที่แม่นยำพฤติกรรมของระบบที่ความถี่ต่ำมาก

เมื่อใช้เกณฑ์ Nyquist กับระบบหลายวง การสร้างจะเริ่มต้นด้วยวงในสุดและต่อไปยังวงนอก โดยนับจำนวนขั้วใน PPP จากแต่ละวงอย่างระมัดระวัง งานที่ใส่ลงในวิธีนี้มักจะสามารถลดลงได้โดยการกำจัดวงจรบางส่วนออกโดยการแปลงผังงาน การเลือกลำดับสำหรับการสร้างโฮโดกราฟสำหรับระบบหลายวงจะขึ้นอยู่กับแผนภาพโครงสร้าง รวมถึงตำแหน่งขององค์ประกอบที่ระบุและองค์ประกอบแก้ไขในรูปทรง

นี่คือตำแหน่งของจุดที่จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ของฟังก์ชันการถ่ายโอนความถี่อธิบายเมื่อความถี่เปลี่ยนจาก -∞ เป็น +∞ ขนาดของเซกเมนต์จากจุดเริ่มต้นไปยังแต่ละจุดของโฮโดกราฟจะแสดงจำนวนครั้งที่ความถี่ที่กำหนดที่สัญญาณเอาท์พุตมีค่ามากกว่าสัญญาณอินพุต และการเปลี่ยนเฟสระหว่างสัญญาณจะถูกกำหนดโดยมุมของเซ็กเมนต์ดังกล่าว

การขึ้นต่อกันของความถี่อื่นๆ ทั้งหมดสร้างขึ้นจาก AFC:

• คุณ(w) - คู่ (สำหรับระบบควบคุมอัตโนมัติแบบปิด ป(ญ));
• วี(ญ) - คี่;
• ก(w) - คู่ (การตอบสนองความถี่);
• j(w) - คี่ (การตอบสนองของเฟส);
• LACHH & LFCH - ใช้บ่อยที่สุด

ลักษณะความถี่ลอการิทึม

คุณลักษณะความถี่ลอการิทึม (LFC) ประกอบด้วยคุณลักษณะแอมพลิจูดลอการิทึม (LAFC) และคุณลักษณะเฟสลอการิทึม (LPFC) ที่สร้างแยกกันบนระนาบเดียว การก่อสร้าง LFC & LFCH ดำเนินการโดยใช้สำนวนต่อไปนี้:

ล(ญ) = 20 แอล | ว(เจว)| = 20 ลิตร ก(ญ), [เดซิเบล];

เจ(w) = หาเรื่อง( ว(เจว)), [ราด]

ขนาด ล(w) แสดงเป็น เดซิเบล . เบลเป็นหน่วยลอการิทึมซึ่งสัมพันธ์กับกำลังที่เพิ่มขึ้นสิบเท่า หนึ่งเบลสอดคล้องกับพลังที่เพิ่มขึ้น 10 เท่า, 2 เบล - 100 เท่า, 3 เบล - 1,000 เท่าเป็นต้น เดซิเบลเท่ากับหนึ่งในสิบของเบล

ตัวอย่างของ AFC, AFC, PFC, LFC และ LPFC สำหรับลิงก์ไดนามิกทั่วไปแสดงไว้ในตารางที่ 2

ตารางที่ 2.ลักษณะความถี่ของลิงก์ไดนามิกทั่วไป

หลักการกำกับดูแลอัตโนมัติ

ตามหลักการควบคุม ปืนอัตตาจรสามารถแบ่งออกเป็นสามกลุ่ม:

1. ด้วยการควบคุมที่อิงตามอิทธิพลภายนอก - หลักการ Poncelet (ใช้ในปืนอัตตาจรแบบวงเปิด)
2. ด้วยการควบคุมโดยการเบี่ยงเบน - หลักการ Polzunov-Watt (ใช้ในปืนอัตตาจรแบบปิด)
3. ด้วยกฎระเบียบแบบผสมผสาน ในกรณีนี้ ACS จะมีลูปควบคุมแบบปิดและแบบเปิด

หลักการควบคุมตามการรบกวนภายนอก

โครงสร้างต้องใช้เซ็นเซอร์รบกวน ระบบอธิบายโดยฟังก์ชันการถ่ายโอนแบบ open-loop: x(ที) = ก(ที) - ฉ(ที).

ข้อดี:

• มีความเป็นไปได้ที่จะบรรลุถึงความคงที่อย่างสมบูรณ์ต่อการก่อกวนบางอย่าง
• ปัญหาความเสถียรของระบบจะไม่เกิดขึ้นเพราะว่า ไม่มีระบบปฏิบัติการ

ข้อบกพร่อง:

• การรบกวนจำนวนมากต้องใช้ช่องทางการชดเชยจำนวนที่สอดคล้องกัน
• การเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์ของวัตถุที่ถูกควบคุมทำให้เกิดข้อผิดพลาดในการควบคุม
• สามารถใช้ได้กับวัตถุที่ทราบลักษณะชัดเจนเท่านั้น

หลักการควบคุมความเบี่ยงเบน

ระบบอธิบายโดยฟังก์ชันการถ่ายโอนแบบ open-loop และสมการการปิด: x(ที) = ก(ที) - ย(ที) วโอซี( ที- อัลกอริธึมของระบบขึ้นอยู่กับความปรารถนาที่จะลดข้อผิดพลาด x(ที) ถึงศูนย์

ข้อดี:

• OOS นำไปสู่การลดข้อผิดพลาดโดยไม่คำนึงถึงปัจจัยที่ทำให้เกิดข้อผิดพลาด (การเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์ของวัตถุควบคุมหรือเงื่อนไขภายนอก)

ข้อบกพร่อง:

• ในระบบ OS มีปัญหาความเสถียร
• โดยพื้นฐานแล้วมันเป็นไปไม่ได้เลยที่จะบรรลุถึงความคงที่ของการรบกวนในระบบโดยสิ้นเชิง ความปรารถนาที่จะบรรลุการเปลี่ยนแปลงบางส่วน (ไม่ใช่กับระบบปฏิบัติการแรก) นำไปสู่ความซับซ้อนของระบบและความเสถียรที่ลดลง

การควบคุมแบบผสมผสาน

การควบคุมแบบรวมประกอบด้วยหลักการควบคุมสองประการที่ขึ้นอยู่กับความเบี่ยงเบนและการรบกวนจากภายนอก เหล่านั้น. สัญญาณควบคุมไปยังวัตถุถูกสร้างขึ้นโดยสองช่องสัญญาณ ช่องแรกมีความไวต่อการเบี่ยงเบนของตัวแปรควบคุมจากเป้าหมาย ส่วนที่สองจะสร้างการดำเนินการควบคุมโดยตรงจากสัญญาณหลักหรือสัญญาณรบกวน

x(ที) = ก(ที) - ฉ(ที) - ย(ที)วอค(ที)

ข้อดี:

• การมีอยู่ของ OOS ทำให้ระบบมีความไวต่อการเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์ของวัตถุที่ถูกควบคุมน้อยลง
• การเพิ่มช่องสัญญาณที่ไวต่อการอ้างอิงหรือไวต่อสัญญาณรบกวนจะไม่ส่งผลต่อความเสถียรของลูปป้อนกลับ

ข้อบกพร่อง:

• ช่องสัญญาณที่มีความอ่อนไหวต่องานหรือสิ่งรบกวนมักจะมีลิงก์ที่แตกต่างกัน การนำไปปฏิบัติจริงเป็นเรื่องยาก
• วัตถุบางชนิดไม่อนุญาตให้มีการบังคับ

การวิเคราะห์ความเสถียรของ ATS

แนวคิดเรื่องเสถียรภาพของระบบการกำกับดูแลนั้นเกี่ยวข้องกับความสามารถในการกลับคืนสู่สภาวะสมดุลหลังจากการหายไปของกองกำลังภายนอกที่ดึงมันออกจากสถานะนี้ ความเสถียรเป็นหนึ่งในข้อกำหนดหลักสำหรับระบบอัตโนมัติ

แนวคิดเรื่องความมั่นคงสามารถขยายไปถึงกรณีของการเคลื่อนไหวของ ATS ได้:

• การเคลื่อนไหวที่ไม่ถูกรบกวน
• การเคลื่อนไหวที่ขุ่นเคือง

อธิบายการเคลื่อนไหวของระบบควบคุมใด ๆ โดยใช้ สมการเชิงอนุพันธ์ซึ่งโดยทั่วไปจะอธิบายการทำงานของระบบไว้ 2 รูปแบบ คือ

โหมดสถานะคงที่

โหมดการขับขี่

ในเวลาเดียวกัน วิธีแก้ปัญหาทั่วไปในระบบใด ๆ สามารถเขียนได้ดังนี้:

บังคับส่วนประกอบถูกกำหนดโดยอิทธิพลของอินพุตที่มีต่ออินพุตของระบบควบคุม ระบบจะเข้าสู่สถานะนี้เมื่อสิ้นสุดกระบวนการชั่วคราว

หัวต่อหัวเลี้ยวองค์ประกอบถูกกำหนดโดยการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์ของแบบฟอร์ม:

ค่าสัมประสิทธิ์ a 0 ,a 1 ,…a n รวมถึงพารามิเตอร์ระบบ => การเปลี่ยนแปลงสัมประสิทธิ์ใดๆ ของสมการเชิงอนุพันธ์นำไปสู่การเปลี่ยนแปลงในพารามิเตอร์ระบบจำนวนหนึ่ง

คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์

โดยที่ค่าคงที่อินทิเกรตคือรากของสมการลักษณะเฉพาะในรูปแบบต่อไปนี้

สมการคุณลักษณะแสดงถึงตัวส่วนของฟังก์ชันถ่ายโอนเท่ากับศูนย์

รากของสมการลักษณะเฉพาะอาจเป็นค่าจริง คอนจูเกตที่ซับซ้อน และซับซ้อน ซึ่งถูกกำหนดโดยพารามิเตอร์ของระบบ

เพื่อประเมินความเสถียรของระบบจำนวนหนึ่ง เกณฑ์ความยั่งยืน

เกณฑ์ความยั่งยืนทั้งหมดแบ่งออกเป็น 3 กลุ่ม:

ราก

- พีชคณิต

สภาพงาน.

การใช้เกณฑ์ความเสถียรของ Mikhailov และ Nyquist กำหนดความเสถียรของระบบควบคุมแบบวงเดียวที่มีฟังก์ชั่นการถ่ายโอนของแบบฟอร์มในสถานะเปิด

ป้อนค่า K, a, b และ c ลงในสูตรตามตัวเลือก

W(s) = , (1)

สร้างภาพ Hodograph ของ Mikhailov และ Nyquist

กำหนดความถี่คัตออฟของระบบ

กำหนดค่าวิกฤตของอัตราขยายของระบบ

สารละลาย. ปัญหาการวิเคราะห์และการสังเคราะห์ระบบควบคุมได้รับการแก้ไขโดยใช้ระบบที่ทรงพลังเช่นนี้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์

, แคลคูลัสเชิงปฏิบัติการ (การแปลง) ของลาปลาซคืออะไร ปัญหาการวิเคราะห์และการสังเคราะห์ระบบควบคุมได้รับการแก้ไขโดยใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ทรงพลังเช่นแคลคูลัสเชิงปฏิบัติการ (การแปลงลาปลาซ) คำตอบทั่วไปของสมการตัวดำเนินการคือผลรวมของเงื่อนไขที่กำหนดโดยค่ารากของพหุนามลักษณะเฉพาะ (พหุนาม):ดี (ส) =  ดีส n ดีส ) .

ง

การสร้าง Hodograph ของ Mikhailov

, แคลคูลัสเชิงปฏิบัติการ (การแปลง) ของลาปลาซคืออะไร ปัญหาการวิเคราะห์และการสังเคราะห์ระบบควบคุมได้รับการแก้ไขโดยใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ทรงพลังเช่นแคลคูลัสเชิงปฏิบัติการ (การแปลงลาปลาซ) คำตอบทั่วไปของสมการตัวดำเนินการคือผลรวมของเงื่อนไขที่กำหนดโดยค่ารากของพหุนามลักษณะเฉพาะ (พหุนาม): A) เราเขียนพหุนามคุณลักษณะสำหรับระบบปิดที่อธิบายโดยสมการ (1)

(วินาที) = 50 + (25s+1)(0.1s+1)(0.01s+1) = 50+(625+50s+1)(0.001+0.11s+1) =0.625+68.85 +630.501+50.11s +51. , แคลคูลัสเชิงปฏิบัติการ (การแปลง) ของลาปลาซคืออะไร ปัญหาการวิเคราะห์และการสังเคราะห์ระบบควบคุมได้รับการแก้ไขโดยใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ทรงพลังเช่นแคลคูลัสเชิงปฏิบัติการ (การแปลงลาปลาซ) คำตอบทั่วไปของสมการตัวดำเนินการคือผลรวมของเงื่อนไขที่กำหนดโดยค่ารากของพหุนามลักษณะเฉพาะ (พหุนาม):รากของพหุนาม

(s) อาจเป็น: null; จริง (ลบ, บวก); จินตภาพ (จับคู่เสมอ คอนจูเกต) และคอนจูเกตเชิงซ้อน

, แคลคูลัสเชิงปฏิบัติการ (การแปลง) ของลาปลาซคืออะไร ปัญหาการวิเคราะห์และการสังเคราะห์ระบบควบคุมได้รับการแก้ไขโดยใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ทรงพลังเช่นแคลคูลัสเชิงปฏิบัติการ (การแปลงลาปลาซ) คำตอบทั่วไปของสมการตัวดำเนินการคือผลรวมของเงื่อนไขที่กำหนดโดยค่ารากของพหุนามลักษณะเฉพาะ (พหุนาม): B) แปลงเป็นรูปแบบ s→ ωj

()=0.625+68.85+630.501+50.11+51=0.625ω-68.85jω- 630.501ω+50.11jω+51

ω – ความถี่ของสัญญาณ, j = (1) 1/2 – หน่วยจินตภาพ เจ 4 =(-1) 4/2 =1, เจ 3 =(-1) 3/2 =-(1) 1/2 = - เจ เจ 2 =(-1) 2/2 =-1, เจ =(-1) 1/2 = เจ

, แคลคูลัสเชิงปฏิบัติการ (การแปลง) ของลาปลาซคืออะไร ปัญหาการวิเคราะห์และการสังเคราะห์ระบบควบคุมได้รับการแก้ไขโดยใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ทรงพลังเช่นแคลคูลัสเชิงปฏิบัติการ (การแปลงลาปลาซ) คำตอบทั่วไปของสมการตัวดำเนินการคือผลรวมของเงื่อนไขที่กำหนดโดยค่ารากของพหุนามลักษณะเฉพาะ (พหุนาม): C) ให้เราเลือกส่วนจริงและส่วนจินตภาพ

= U()+jV() โดยที่ U() เป็นส่วนจริง และ V() เป็นส่วนจินตภาพ

ยู(ω) =0.625ω-630.501ω+51

วี(ω) =ω(50.11-68.85ω)

มาสร้าง Hodograph ของมิคาอิลอฟให้ใกล้และห่างจากศูนย์ สำหรับสิ่งนี้ เรามาสร้าง D(jw) เมื่อ w เปลี่ยนจาก 0 เป็น +∞ ลองหาจุดตัดกัน คุณ(ญ) และ วี(w) พร้อมเพลา มาแก้ไขปัญหาโดยใช้ Microsoft Excel

เราตั้งค่าของ w ในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 0.0001 ถึง 0.1 และคำนวณค่าเหล่านั้นในตาราง ค่า Excel คุณ(ω) และ วี(ω), ง(ω); หาจุดตัดกัน คุณ(ญ) และ วี(w) มีเพลา

เราตั้งค่าของ w ในช่วงตั้งแต่ 0.1 ถึง 20 และคำนวณในตาราง ค่า Excel คุณ(ญ) และ วี(ญ) ง; หาจุดตัดกัน คุณ(ญ) และ วี(w) พร้อมเพลา

ตารางที่ 2.1 – คำจำกัดความของส่วนจริงและส่วนจินตภาพและพหุนามนั้นเอง , แคลคูลัสเชิงปฏิบัติการ (การแปลง) ของลาปลาซคืออะไร ปัญหาการวิเคราะห์และการสังเคราะห์ระบบควบคุมได้รับการแก้ไขโดยใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ทรงพลังเช่นแคลคูลัสเชิงปฏิบัติการ (การแปลงลาปลาซ) คำตอบทั่วไปของสมการตัวดำเนินการคือผลรวมของเงื่อนไขที่กำหนดโดยค่ารากของพหุนามลักษณะเฉพาะ (พหุนาม):()โดยใช้ไมโครซอฟต์เอ็กเซล

ข้าว. A, B, ..... การพึ่งพา คุณ(ω) และ วี(ω), D(ω) จาก ω

ตามรูป A, B, .....หาจุดตัดกัน คุณ(ญ) และ วี(w) มีเพลา:

ที่ ω = 0 คุณ(ω)= …. และ วี(ω)= ……

รูปที่ 1. Hodograph ของ Mikhailov ที่ ω = 0:000.1:0.1

รูปที่ 2. Hodograph ของ Mikhailov ที่ ω = 0.1:20

D) ข้อสรุปเกี่ยวกับความเสถียรของระบบโดยพิจารณาจาก Hodograph

ความเสถียร (ตามแนวคิด) ของระบบไดนามิกใด ๆ จะถูกกำหนดโดยพฤติกรรมของระบบหลังจากลบอิทธิพลภายนอกออกไป เช่น การเคลื่อนไหวอย่างอิสระภายใต้อิทธิพลของเงื่อนไขเริ่มต้น ระบบจะมีเสถียรภาพหากกลับสู่สภาวะสมดุลเดิมหลังจากสัญญาณ (การก่อกวน) ที่นำออกจากสถานะนี้หยุดดำเนินการกับระบบ ระบบที่ไม่เสถียรจะไม่กลับไปสู่สถานะเดิม แต่จะเคลื่อนตัวออกไปจากระบบอย่างต่อเนื่องเมื่อเวลาผ่านไป ในการประเมินเสถียรภาพของระบบ จำเป็นต้องศึกษาองค์ประกอบอิสระของคำตอบของสมการไดนามิก นั่นคือ คำตอบของสมการ:

, แคลคูลัสเชิงปฏิบัติการ (การแปลง) ของลาปลาซคืออะไร ปัญหาการวิเคราะห์และการสังเคราะห์ระบบควบคุมได้รับการแก้ไขโดยใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ทรงพลังเช่นแคลคูลัสเชิงปฏิบัติการ (การแปลงลาปลาซ) คำตอบทั่วไปของสมการตัวดำเนินการคือผลรวมของเงื่อนไขที่กำหนดโดยค่ารากของพหุนามลักษณะเฉพาะ (พหุนาม):(ส) =  (ส) =  ดีส n ดีส )= 0.

ตรวจสอบความเสถียรของระบบโดยใช้เกณฑ์มิคาอิลอฟ :

เกณฑ์ของมิคาอิลอฟ: สำหรับ ASR ที่เสถียร จำเป็นและเพียงพอที่ Hodograph ของ Mikhailov (ดูรูปที่ 1 และรูปที่ 2) โดยเริ่มต้นที่ w = 0 บนครึ่งแกนจริงที่เป็นบวก หมุนวนอย่างต่อเนื่องในทิศทางบวก (ทวนเข็มนาฬิกา) โดยที่ w เพิ่มขึ้นจาก 0 ถึง ∞ n ควอแดรนท์ โดยที่ n คือระดับของพหุนามคุณลักษณะ

จากวิธีแก้ปัญหา (ดูรูปที่ 1 และรูปที่ 2) เห็นได้ชัดเจนว่าโฮโดกราฟเป็นไปตามเงื่อนไขเกณฑ์ต่อไปนี้: เริ่มต้นบนกึ่งแกนจริงบวกที่ w = 0 โฮโดกราฟไม่เป็นไปตามเงื่อนไขเกณฑ์ต่อไปนี้: ไม่ได้ไปรอบ ๆ ทั้ง 4 ควอแดรนท์ในทิศทางบวก (ระดับพหุนาม n=4) ที่ ω

เราสรุปได้ว่าระบบ open-loop นี้ไม่เสถียร .

การก่อสร้างเครื่อง Hodograph ของ Nyquist

A) มาแทนที่ในสูตร (1) s→ ωj

W(s) = =,

B) เปิดวงเล็บแล้วไฮไลท์ส่วนจริงและจินตภาพในตัวส่วน

C) คูณด้วยคอนจูเกตแล้วเลือกส่วนจริงและส่วนจินตภาพ

,

โดยที่ U() คือส่วนจริง และ V() คือส่วนจินตภาพ

D) มาสร้าง Hodograph ของ Nyquist กันดีกว่า: - การพึ่งพา W() บน .

รูปที่ 3 Nyquist โฮโดกราฟ

E) มาตรวจสอบความเสถียรของระบบโดยใช้เกณฑ์ Nyquist:

เกณฑ์ Nyquist: เพื่อให้ระบบที่เสถียรในสถานะเปิดมีเสถียรภาพในสถานะปิด จำเป็นที่เครื่อง Hodograph ของ Nyquist เมื่อความถี่เปลี่ยนจากศูนย์เป็นอนันต์ ไม่ครอบคลุมจุดด้วยพิกัด (-1; j0) .

จากวิธีแก้ปัญหา (ดูรูปที่ 3) เป็นที่ชัดเจนว่าเครื่องโฮโดกราฟเป็นไปตามเงื่อนไขทั้งหมดของเกณฑ์:

Hodograph เปลี่ยนทิศทางตามเข็มนาฬิกา

Hodograph ไม่ครอบคลุมจุด (-1; j0)

เราสรุปได้ว่าระบบ open-loop นี้มีเสถียรภาพ .

การหาค่าวิกฤตของระบบที่ได้รับ

A) ในวรรค 2 ส่วนจริงและส่วนจินตภาพได้ถูกแยกความแตกต่างออกไปแล้ว

B) เพื่อที่จะค้นหาค่าวิกฤตของระบบที่ได้รับ จำเป็นต้องถือว่าส่วนจินตภาพเป็นศูนย์และส่วนจริงเท่ากับ -1

C) ให้เราค้นหาจากสมการที่สอง (2)

ตัวเศษต้องเป็น 0

เรายอมรับตามนั้น

C) แทนลงในสมการแรก (1) แล้วหา

ค่าวิกฤตของระบบที่ได้รับ

วรรณกรรม:

1.วิธีการควบคุมอัตโนมัติแบบคลาสสิกและสมัยใหม่ เล่มที่ 1.

การวิเคราะห์และพลวัตทางสถิติของระบบควบคุมอัตโนมัติ ม: เอ็ด. MSTU ตั้งชื่อตามบาวแมน 2000

2. โวโรนอฟ เอ.เอ. ทฤษฎีการควบคุมอัตโนมัติ ต. 1-3, M., Nauka, 1992