การแสดงเรขาคณิตของจำนวนจริง การแสดงเรขาคณิตและรูปตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน การแสดงเรขาคณิตของเซตของจำนวนจริง
มีแบบฟอร์มดังต่อไปนี้ จำนวนเชิงซ้อน:
พีชคณิต(x+iy), ตรีโกณมิติ(r(cos+isin 
)),
บ่งชี้(อีกครั้งฉัน 
).
จำนวนเชิงซ้อนใดๆ z=x+iy สามารถแสดงบนระนาบ XOU เป็นจุด A(x,y)
ระนาบที่แสดงจำนวนเชิงซ้อนเรียกว่าระนาบของตัวแปรเชิงซ้อน z (เราใส่สัญลักษณ์ z ไว้บนระนาบ)
แกน OX คือแกนจริง เช่น มันมีตัวเลขจริง OU เป็นแกนจินตภาพที่มีจำนวนจินตภาพ
x+iy- รูปแบบพีชคณิตในการเขียนจำนวนเชิงซ้อน
ขอให้เราได้รูปแบบตรีโกณมิติในการเขียนจำนวนเชิงซ้อน
เราแทนที่ค่าที่ได้รับเป็นรูปแบบเริ่มต้น: เช่น
r(คอส
+ไอซิน
)
- รูปแบบตรีโกณมิติในการเขียนจำนวนเชิงซ้อน
รูปแบบเลขยกกำลังของการเขียนจำนวนเชิงซ้อนตามสูตรของออยเลอร์: 
,แล้ว 
ซ= อีกครั้ง ฉัน 
- รูปแบบการเขียนเลขชี้กำลังของจำนวนเชิงซ้อน
การดำเนินการกับจำนวนเชิงซ้อน
1. ส่วนที่เพิ่มเข้าไป. z 1 +z 2 =(x1+iy1)+ (x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2);
2 - การลบ z 1 -z 2 =(x1+iy1)- (x2+iy2)=(x1-x2)+i(y1-y2);
3. การคูณ z 1 z 2 =(x1+iy1)*(x2+iy2)=x1x2+i(x1y2+x2y1+iy1y2)=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1);
4
- แผนก. z 1 /z 2 =(x1+iy1)/(x2+iy2)=[(x1+iy1)*(x2-iy2)]/[ (x2+iy2)*(x2-iy2)]= 
จำนวนเชิงซ้อนสองตัวที่แตกต่างกันเฉพาะสัญลักษณ์ของหน่วยจินตภาพเท่านั้น กล่าวคือ z=x+iy (z=x-iy) เรียกว่า คอนจูเกต
งาน.
z1=r(คอส 
+ไอซิน 
- z2=r(คอส 
+ไอซิน 
).
พบผลิตภัณฑ์นั้น z1*z2 ของจำนวนเชิงซ้อน: เช่น โมดูลัสของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลคูณของโมดูลัส และอาร์กิวเมนต์ของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลรวมของอาร์กิวเมนต์ของปัจจัย
;
;
ส่วนตัว.
ถ้าให้จำนวนเชิงซ้อนอยู่ในรูปตรีโกณมิติ
ถ้าให้จำนวนเชิงซ้อนอยู่ในรูปเลขชี้กำลัง
การยกกำลัง
1. จำนวนเชิงซ้อนที่ระบุใน พีชคณิต รูปร่าง.
z=x+iy แล้ว z n จะพบได้โดย สูตรทวินามของนิวตัน:
- จำนวนการรวมกันขององค์ประกอบ n ของ m (จำนวนวิธีที่สามารถรับองค์ประกอบ n รายการจาก m)
- น!=1*2*…*n; 0!=1; 
.
สมัครจำนวนเชิงซ้อน
ในนิพจน์ผลลัพธ์ คุณต้องแทนที่กำลัง i ด้วยค่าของมัน:
i 0 =1 จากที่นี่ ในกรณีทั่วไปเราจะได้: i 4k =1
ฉัน 1 = ฉัน ฉัน 4k+1 = ฉัน
ฉัน 2 =-1 ฉัน 4k+2 =-1
ฉัน 3 =-ฉัน ฉัน 4k+3 =-ฉัน
ตัวอย่าง.
ฉัน 31 = ฉัน 28 ฉัน 3 =-ฉัน
ฉัน 1,063 = ฉัน 1,062 ฉัน=ฉัน
2. ตรีโกณมิติ รูปร่าง.
z=r(คอส 
+ไอซิน 
), ที่
- สูตรมูฟวร์.
ในที่นี้ n สามารถเป็นได้ทั้ง “+” หรือ “-” (จำนวนเต็ม)
3. ถ้าใส่จำนวนเชิงซ้อนเข้าไป บ่งชี้ รูปร่าง:
การสกัดราก
พิจารณาสมการ: 
.
คำตอบของมันคือรากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน z: 
.
รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน z มีคำตอบ (ค่า) n รายการพอดี รากที่ n ของจำนวนจริงมีเพียงคำตอบเดียวเท่านั้น ในสิ่งที่ซับซ้อนไม่มีวิธีแก้ปัญหา
ถ้าใส่จำนวนเชิงซ้อนเข้าไป ตรีโกณมิติ รูปร่าง:
z=r(คอส 
+ไอซิน 
) จากนั้นสูตรจะพบรากที่ n ของ z:
โดยที่ k=0.1…n-1
แถว. ชุดตัวเลข
ให้ตัวแปร a รับค่า a 1, 2, 3,…, n ตามลำดับ ชุดตัวเลขที่เรียงลำดับใหม่เช่นนี้เรียกว่าลำดับ มันไม่มีที่สิ้นสุด
ชุดตัวเลขคือนิพจน์ a 1 + a 2 + a 3 +…+a n +…= 
- ตัวเลข a 1, a 2, a 3,..., และ n เป็นสมาชิกของชุดนี้
ตัวอย่างเช่น.
และ 1 เป็นเทอมแรกของอนุกรม
และ n เป็นคำที่ n หรือคำสามัญของอนุกรมนี้
ซีรีส์จะถือว่าได้รับหากทราบลำดับที่ n (คำทั่วไปของซีรีส์)
อนุกรมจำนวนมีจำนวนพจน์ไม่สิ้นสุด
ตัวนับ – ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (1,3,5,7…).
พจน์ที่ n พบได้จากสูตร a n =a 1 +d(n-1); d=a n -a n-1 .
ตัวส่วน – ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต- ข n =ข 1 q n-1 ; 
.
พิจารณาผลรวมของเทอม n แรกของอนุกรมแล้วเขียนว่า Sn
Sn=a1+a2+…+น.
Sn คือผลรวมส่วนที่ n ของอนุกรม
พิจารณาขีดจำกัด: 
S คือผลรวมของอนุกรม
แถว มาบรรจบกัน ถ้าขีดจำกัดนี้มีจำกัด (มีขีดจำกัดจำกัด S อยู่แล้ว)
แถว แตกต่าง ถ้าขีดจำกัดนี้เป็นอนันต์
ในอนาคตหน้าที่ของเราคือกำหนดว่าแถวไหน
ชุดข้อมูลที่เรียบง่ายที่สุดแต่พบได้บ่อยที่สุดชุดหนึ่งคือความก้าวหน้าทางเรขาคณิต
, C=คอนสตรัค.
ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือมาบรรจบกัน
ใกล้, ถ้า 
และลู่ออกถ้า 
.
ยังพบ ซีรีย์ฮาร์มอนิก(แถว 
- แถวนี้ แตกต่าง
.
จำนวนจริงเชิงเรขาคณิตเช่นกัน จำนวนตรรกยะจะแสดงด้วยจุดบนเส้นตรง
อนุญาต ล เป็นเส้นตรงโดยพลการและ O คือจุดบางจุด (รูปที่ 58) ทุกจำนวนจริงบวก α ให้เราเชื่อมโยงจุด A ซึ่งอยู่ทางขวาของ O ที่ระยะห่าง α หน่วยความยาว
ตัวอย่างเช่น หาก α = 2.1356...แล้ว
2 < α
< 3
2,1 < α
< 2,2
2,13 < α
< 2,14
เป็นต้น แน่นอนว่าจุด A ในกรณีนี้จะต้องอยู่บนเส้นตรง ล ทางด้านขวาของจุดที่ตรงกับตัวเลข
2; 2,1; 2,13; ... ,
แต่ทางด้านซ้ายของจุดที่ตรงกับตัวเลข
3; 2,2; 2,14; ... .
แสดงให้เห็นว่าเงื่อนไขเหล่านี้กำหนดบนเส้นตรง ล จุด A เพียงจุดเดียวซึ่งเราถือว่าเป็นภาพเรขาคณิตของจำนวนจริง α = 2,1356... .
ในทำนองเดียวกัน สำหรับจำนวนจริงลบทุกจำนวน β ให้เราเชื่อมโยงจุด B ที่อยู่ทางด้านซ้ายของ O ที่ระยะห่าง | β | หน่วยความยาว ในที่สุด เราก็เชื่อมโยงตัวเลข “ศูนย์” กับจุด O
ดังนั้นเลข 1 จะแสดงเป็นเส้นตรง ล จุด A ตั้งอยู่ทางด้านขวาของ O ที่ระยะหนึ่งหน่วยความยาว (รูปที่ 59) ตัวเลข - √2 - โดยจุด B ซึ่งอยู่ทางด้านซ้ายของ O ที่ระยะ √2 หน่วยความยาว ฯลฯ .
มาแสดงวิธีการเป็นเส้นตรงกัน ล เมื่อใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด คุณจะพบจุดที่สอดคล้องกับจำนวนจริง √2, √3, √4, √5 ฯลฯ ในการทำสิ่งนี้ ก่อนอื่น เราจะแสดงให้คุณเห็นว่าคุณสามารถสร้างส่วนที่แสดงความยาวได้อย่างไร โดยตัวเลขเหล่านี้ ให้ AB เป็นส่วนที่เป็นหน่วยความยาว (รูปที่ 60)
ที่จุด A เราสร้างเส้นตั้งฉากกับส่วนนี้และพล็อตส่วน AC เท่ากับส่วน AB จากนั้น เมื่อใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกับสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC เราจะได้ ก่อนคริสต์ศักราช = √AB 2 + เอซี 2 = √1+1 = √2
ดังนั้น ส่วน BC จึงมีความยาว √2 ทีนี้ เรามาสร้างฉากตั้งฉากกับส่วน BC ที่จุด C และเลือกจุด D บนจุดนั้น เพื่อให้ CD ส่วนนั้นเท่ากับความยาว AB หนึ่งหน่วย แล้วจาก สามเหลี่ยมมุมฉากมาหา BCD กัน:
ВD = √ВC 2 + СD 2 = √2+1 = √3
ดังนั้น ส่วน BD จึงมีความยาว √3 ดำเนินกระบวนการที่อธิบายต่อไปต่อไป เราสามารถรับเซกเมนต์ BE, BF, ... ซึ่งความยาวแสดงด้วยตัวเลข √4, √5 เป็นต้น
ตอนนี้อยู่บนเส้นตรง ล มันง่ายที่จะหาจุดเหล่านั้นที่ใช้เป็นตัวแทนทางเรขาคณิตของตัวเลข √2, √3, √4, √5 ฯลฯ
ตัวอย่างเช่น โดยการวางแผนส่วน BC ทางด้านขวาของจุด O (รูปที่ 61) เราจะได้จุด C ซึ่งทำหน้าที่เป็นภาพเรขาคณิตของตัวเลข √2 ในทำนองเดียวกัน เมื่อวางส่วน BD ทางด้านขวาของจุด O เราจะได้จุด D" ซึ่งเป็นภาพเรขาคณิตของตัวเลข √3 เป็นต้น
อย่างไรก็ตามเราไม่ควรคิดว่าการใช้เข็มทิศและไม้บรรทัดบนเส้นจำนวน ล เราสามารถหาจุดที่ตรงกับจำนวนจริงใดๆ ที่กำหนดได้ ได้รับการพิสูจน์แล้วว่า มีเพียงเข็มทิศและไม้บรรทัดเท่านั้น เป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างส่วนที่มีความยาวแสดงเป็นตัวเลข π = 3.14... . ดังนั้นบนเส้นจำนวน ล ด้วยความช่วยเหลือของการก่อสร้างดังกล่าวจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะระบุจุดที่สอดคล้องกับตัวเลขนี้ อย่างไรก็ตาม จุดดังกล่าวก็มีอยู่
ดังนั้นสำหรับทุกจำนวนจริง α เป็นไปได้ที่จะเชื่อมโยงจุดที่กำหนดไว้อย่างดีกับเส้นตรง ล - จุดนี้จะอยู่ที่ระยะ | α - หน่วยของความยาว และอยู่ทางขวาของ O if α > 0 และทางด้านซ้ายของ O ถ้า α < 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две различные точки прямой ล - ที่จริงแล้วให้หมายเลข α จุด A สอดคล้องและจำนวน β - จุด B แล้วถ้า α > β จากนั้น A จะอยู่ทางด้านขวาของ B (รูปที่ 62, a) ถ้า α < β จากนั้น A จะนอนทางด้านซ้ายของ B (รูปที่ 62, b)
เมื่อพูดถึงมาตรา 37 เกี่ยวกับภาพเรขาคณิตของจำนวนตรรกยะ เราตั้งคำถามว่า จุดใดๆ บนเส้นสามารถถือเป็นภาพเรขาคณิตของบางจุดได้หรือไม่ มีเหตุผลตัวเลข? ตอนนั้นเราไม่สามารถตอบคำถามนี้ได้ ตอนนี้เราสามารถตอบได้ค่อนข้างแน่นอน มีจุดบนเส้นตรงที่ใช้แทนเรขาคณิตของจำนวนอตรรกยะ (เช่น √2) ดังนั้น ไม่ใช่ทุกจุดบนเส้นที่จะแทนจำนวนตรรกยะได้ แต่ในกรณีนี้ มีคำถามอีกข้อเกิดขึ้น: จุดใดๆ บนเส้นจำนวนสามารถถือเป็นภาพเรขาคณิตของบางจุดได้หรือไม่ ถูกต้องตัวเลข? ปัญหานี้ได้รับการแก้ไขแล้วในเชิงบวก
ที่จริงแล้ว ให้ A เป็นจุดใดก็ได้บนเส้นตรง ล นอนอยู่ทางขวาของ O (รูปที่ 63)
ความยาวของเซ็กเมนต์ OA แสดงด้วยจำนวนจริงบวก α (ดูมาตรา 41) ดังนั้น จุด A จึงเป็นภาพเรขาคณิตของตัวเลข α - มีการกำหนดไว้เช่นเดียวกันว่าแต่ละจุด B ที่อยู่ทางด้านซ้ายของ O ถือได้ว่าเป็นภาพเรขาคณิตของจำนวนจริงลบ - β , ที่ไหน β - ความยาวของส่วน VO สุดท้าย จุด O ทำหน้าที่เป็นตัวแทนทางเรขาคณิตของเลขศูนย์ เห็นได้ชัดว่ามีจุดสองจุดที่แตกต่างกันในบรรทัด ล ไม่สามารถเป็นภาพเรขาคณิตที่มีจำนวนจริงเดียวกันได้
ด้วยเหตุผลที่ระบุไว้ข้างต้น จึงเรียกเส้นตรงที่มีจุด O จุดหนึ่งเป็นจุด "เริ่มต้น" (สำหรับหน่วยความยาวที่กำหนด) เส้นจำนวน.
บทสรุป. มากมายทุกคน ตัวเลขจริงและเซตของจุดทั้งหมดบนเส้นจำนวนจะติดต่อกันแบบตัวต่อตัว
ซึ่งหมายความว่าจำนวนจริงแต่ละตัวตรงกับจุดหนึ่งจุดที่กำหนดไว้อย่างดีบนเส้นจำนวน และในทางกลับกัน จุดแต่ละจุดบนเส้นจำนวนสัมพันธ์กัน จุดดังกล่าวจะมีจำนวนจริงที่กำหนดไว้อย่างดีหนึ่งจุดตรงกัน
จำนวนเชิงซ้อน
แนวคิดพื้นฐาน
ข้อมูลเริ่มต้นเกี่ยวกับจำนวนนี้มีอายุย้อนกลับไปถึงยุคหิน - ยุคหินเก่า เหล่านี้คือ "หนึ่ง" "น้อย" และ "มากมาย" พวกเขาถูกบันทึกในรูปแบบของรอยบาก ปม ฯลฯ การพัฒนากระบวนการแรงงานและการเกิดขึ้นของทรัพย์สินบังคับให้มนุษย์ประดิษฐ์ตัวเลขและชื่อของพวกเขา จำนวนธรรมชาติปรากฏก่อน เอ็นได้มาจากการนับวัตถุ จากนั้น นอกจากความจำเป็นในการนับแล้ว ผู้คนยังจำเป็นต้องวัดความยาว พื้นที่ ปริมาตร เวลา และปริมาณอื่นๆ โดยต้องคำนึงถึงส่วนของการวัดที่ใช้ด้วย เศษส่วนจึงเกิดขึ้นมาเช่นนี้ การให้เหตุผลอย่างเป็นทางการสำหรับแนวคิดเรื่องจำนวนเศษส่วนและจำนวนลบเกิดขึ้นในศตวรรษที่ 19 เซตของจำนวนเต็ม ซี– คือ จำนวนธรรมชาติ จำนวนธรรมชาติที่มีเครื่องหมายลบและศูนย์ จำนวนเต็มและเศษส่วนประกอบกันเป็นชุดของจำนวนตรรกยะ ถามแต่ยังไม่เพียงพอต่อการศึกษาตัวแปรที่เปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่อง ปฐมกาลแสดงให้เห็นอีกครั้งถึงความไม่สมบูรณ์ของคณิตศาสตร์: ความเป็นไปไม่ได้ที่จะแก้สมการของรูปแบบ เอ็กซ์ 2 = 3 ซึ่งเป็นสาเหตุที่ทำให้จำนวนอตรรกยะปรากฏขึ้น ฉัน.ยูเนี่ยนของเซตของจำนวนตรรกยะ ถามและจำนวนอตรรกยะ ฉัน– เซตของจำนวนจริง (หรือจำนวนจริง) ร- เป็นผลให้เส้นจำนวนเต็ม: จำนวนจริงแต่ละจำนวนสอดคล้องกับจุดบนเส้นจำนวน แต่กับหลาย ๆ คน รไม่มีทางแก้สมการของรูปได้ เอ็กซ์ 2 = – ก 2. ด้วยเหตุนี้ จึงมีความจำเป็นเกิดขึ้นอีกครั้งเพื่อขยายแนวคิดเรื่องตัวเลข นี่คือจำนวนเชิงซ้อนที่ปรากฏในปี 1545 ผู้สร้าง J. Cardano เรียกพวกเขาว่า "เชิงลบล้วนๆ" ชื่อ "จินตนาการ" ถูกนำมาใช้ในปี 1637 โดยชาวฝรั่งเศส R. Descartes ในปี 1777 ออยเลอร์เสนอโดยใช้อักษรตัวแรกของตัวเลขภาษาฝรั่งเศส ฉันเพื่อแสดงถึงหน่วยจินตภาพ สัญลักษณ์นี้ถูกนำมาใช้ทั่วไปโดย K. Gauss
ในช่วงศตวรรษที่ 17 และ 18 การอภิปรายเกี่ยวกับธรรมชาติทางคณิตศาสตร์ของจินตภาพและการตีความทางเรขาคณิตยังคงดำเนินต่อไป ชาวเดน จี. เวสเซล, เจ. อาร์แกน ชาวฝรั่งเศส และเค เกาส์ ชาวเยอรมัน เสนออย่างเป็นอิสระให้แสดงจำนวนเชิงซ้อนเป็นจุดบน ประสานงานเครื่องบิน- ต่อมาปรากฎว่าสะดวกกว่าในการแสดงตัวเลขไม่ใช่จากจุดนั้นเอง แต่เป็นเวกเตอร์ที่ไปยังจุดนี้จากจุดกำเนิด
เฉพาะในช่วงปลายศตวรรษที่ 18 และต้นศตวรรษที่ 19 เท่านั้นที่จำนวนเชิงซ้อนจะเข้ามาแทนที่จำนวนที่ถูกต้องในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ การใช้งานครั้งแรกในทางทฤษฎี สมการเชิงอนุพันธ์และในทฤษฎีอุทกพลศาสตร์
คำจำกัดความ 1.จำนวนเชิงซ้อนเรียกว่าการแสดงออกของแบบฟอร์มโดยที่ xและ ยเป็นจำนวนจริง และ ฉัน– หน่วยจินตภาพ, .
จำนวนเชิงซ้อนสองตัวและ เท่ากันถ้าและหาก , .
ถ้า แสดงว่าหมายเลขนั้นถูกเรียก จินตนาการล้วนๆ- ถ้า แล้วตัวเลขนั้นเป็นจำนวนจริงแสดงว่าเซตนั้น ร กับ, ที่ไหน กับ– เซตของจำนวนเชิงซ้อน
ผันเป็นจำนวนเชิงซ้อนเรียกว่าจำนวนเชิงซ้อน
การแสดงเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อน
จำนวนเชิงซ้อนใดๆ สามารถแสดงด้วยจุดได้ ม(x, ย) เครื่องบิน อ็อกซี่.จำนวนจริงคู่หนึ่งยังแสดงถึงพิกัดของเวกเตอร์รัศมีด้วย 
, เช่น. ระหว่างเซตของเวกเตอร์บนระนาบและเซตของจำนวนเชิงซ้อน เราสามารถสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งได้:
คำจำกัดความ 2ส่วนจริง เอ็กซ์.
การกำหนด: x=เรื่อง z(จากภาษาละติน Realis)
คำจำกัดความ 3ส่วนจินตภาพจำนวนเชิงซ้อนเป็นจำนวนจริง ย.
การกำหนด: ย= ฉัน z(จากภาษาละติน Imaginarius)
อีกครั้ง zวางอยู่บนแกน ( โอ้), ฉัน zวางอยู่บนแกน ( โอ้) จากนั้นเวกเตอร์ที่สอดคล้องกับจำนวนเชิงซ้อนคือเวกเตอร์รัศมีของจุด ม(x, ย), (หรือ ม(อีกครั้ง z, ฉัน z)) (รูปที่ 1)
คำจำกัดความที่ 4ระนาบที่มีจุดสัมพันธ์กับชุดของจำนวนเชิงซ้อนเรียกว่า เครื่องบินที่ซับซ้อน- เรียกว่าแกนแอบซิสซา แกนจริงเพราะมันมีจำนวนจริง แกนพิกัดเรียกว่า แกนจินตภาพประกอบด้วยจำนวนเชิงซ้อนจินตภาพล้วนๆ เซตของจำนวนเชิงซ้อนจะแสดงแทน กับ.
คำจำกัดความที่ 5โมดูลจำนวนเชิงซ้อน z = (x, ย) เรียกว่าความยาวของเวกเตอร์: เช่น 
.
คำนิยาม 6การโต้แย้งจำนวนเชิงซ้อนคือมุมระหว่างทิศทางบวกของแกน ( โอ้) และเวกเตอร์: 
.
แนวคิดเรื่อง "เซต" "องค์ประกอบ" "การเป็นสมาชิกของเซต" เป็นแนวคิดหลักของคณิตศาสตร์ มากมาย- คอลเลกชันใด ๆ (ชุด) ของวัตถุใด ๆ .
A เป็นสับเซตของเซต Bถ้าทุกองค์ประกอบของเซต A เป็นองค์ประกอบของเซต B กล่าวคือ ออบ Û (โฮบ Û).
สองชุดเท่ากันหากประกอบด้วยองค์ประกอบเดียวกัน เรากำลังพูดถึงความเท่าเทียมกันทางทฤษฎีเซต (อย่าสับสนกับความเท่าเทียมกันระหว่างตัวเลข): A=B Û AÌB Ù VA.
ยูเนี่ยนของสองชุดประกอบด้วยองค์ประกอบที่เป็นของอย่างน้อยหนึ่งชุด ได้แก่ โคอาฟ อู โคอาอู โคฟ.
จุดตัดประกอบด้วยองค์ประกอบทั้งหมดที่เป็นของทั้งเซต A และเซต B พร้อมกัน: хОАхВ Û хОА Ù хОВ.
ความแตกต่างประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดของ A ที่ไม่อยู่ใน B คือ xО A\B Û xОА ÙхПВ.
สินค้าคาร์ทีเซียน C=A´B ของเซต A และ B คือเซตของคู่ที่เป็นไปได้ทั้งหมด ( เอ็กซ์, ย) โดยที่องค์ประกอบแรก เอ็กซ์แต่ละคู่ประกอบด้วย A และองค์ประกอบที่สอง ที่เป็นของวี
สับเซต F ของผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียน A'B เรียกว่า การแมปเซต A กับเซต B หากตรงตามเงื่อนไข: (" เอ็กซ์ OA)($! คู่ ( เอ็กซ์วาย)ถ้า). ในเวลาเดียวกันพวกเขาเขียน: A V.
คำว่า "จอแสดงผล" และ "ฟังก์ชัน" เป็นคำพ้องความหมาย ถ้า ("хОА)($! уУВ): ( เอ็กซ์, ย)ОF จากนั้นองค์ประกอบ ที่Î ในเรียกว่า ทาง เอ็กซ์เมื่อแสดง F แล้วเขียนดังนี้: ที่=ฉ( เอ็กซ์- องค์ประกอบ เอ็กซ์ในเวลาเดียวกันคือ ต้นแบบ (หนึ่งในที่เป็นไปได้) องค์ประกอบ y
ลองพิจารณาดู เซตของจำนวนตรรกยะ Q - เซตของจำนวนเต็มทั้งหมดและเซตของเศษส่วนทั้งหมด (บวกและลบ) จำนวนตรรกยะแต่ละตัวสามารถแสดงเป็นผลหารได้ เช่น 1 =4/3=8/6=12/9=… มีการนำเสนอเช่นนี้มากมาย แต่มีเพียงหนึ่งในนั้นเท่านั้นที่ไม่สามารถลดทอนได้ .
ใน จำนวนตรรกยะใดๆ สามารถแสดงเป็นเศษส่วน p/q ได้โดยไม่ซ้ำกัน โดยที่ pÎZ, qÎN, จำนวน p, q เป็นจำนวนเฉพาะ
คุณสมบัติของเซต Q:
1. การปิดตัวภายใต้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ผลลัพธ์ของการบวก ลบ คูณ ยกกำลังธรรมชาติ การหาร (ยกเว้นหารด้วย 0) ของจำนวนตรรกยะเป็นจำนวนตรรกยะ: ; - 
.
2. ความเป็นระเบียบเรียบร้อย: (" เอ็กซ์, ยÎQ, x¹y)®( x
ยิ่งไปกว่านั้น: 1) ก>ข, b>ค Þ ก>ค; 2)ก -ข.
3. ความหนาแน่น- ระหว่างจำนวนตรรกยะสองตัวใดๆ เอ็กซ์, ยมีจำนวนตรรกยะตัวที่สาม (เช่น ค= ):
("เอ็กซ์, ยÎQ, x<ย)($cÎQ) :( เอ็กซ์
บนเซต Q คุณสามารถดำเนินการเลขคณิตได้ 4 แบบ แก้ระบบสมการเชิงเส้น แต่แก้สมการกำลังสองในรูปแบบ x 2 =a, aÎ N ไม่สามารถแก้ได้เสมอไปในเซต Q
ทฤษฎีบท.ไม่มีหมายเลข xÎQซึ่งมีกำลังสองเท่ากับ 2
g ให้มีเศษส่วนเช่นนี้ เอ็กซ์=p/q โดยที่ตัวเลข p และ q เป็นจำนวนเฉพาะและ เอ็กซ์ 2 = 2 จากนั้น (p/q) 2 =2 เพราะฉะนั้น,
ด้านขวาของ (1) หารด้วย 2 ลงตัว ซึ่งหมายความว่า p 2 เป็นจำนวนคู่ ดังนั้น p=2n (n-จำนวนเต็ม) แล้ว q ต้องเป็นเลขคี่
กลับไปที่ (1) เราได้ 4n 2 =2q 2 ดังนั้น ค 2 = 2n 2 ในทำนองเดียวกัน เราต้องแน่ใจว่า q หารด้วย 2 ลงตัว นั่นคือ q เป็นจำนวนคู่ ทฤษฎีบทนี้ได้รับการพิสูจน์โดย contradiction.n
การแสดงเรขาคณิตของจำนวนตรรกยะโดยการใส่ส่วนของหน่วยจากจุดกำเนิดของพิกัด 1, 2, 3... คูณไปทางขวา เราจะได้จุดบนเส้นพิกัดที่สอดคล้องกับจำนวนธรรมชาติ เมื่อเลื่อนไปทางซ้ายในทำนองเดียวกัน เราจะได้คะแนนที่สอดคล้องกับจำนวนเต็มลบ เอาล่ะ 1/คิว(คิว= 2,3,4 … ) เป็นส่วนหนึ่งของส่วนของหน่วย และเราจะวางไว้ทั้งสองด้านของจุดเริ่มต้น รครั้งหนึ่ง. เราได้รับคะแนนของเส้นที่สอดคล้องกับตัวเลขของแบบฟอร์ม ±p/q (pОZ, qОN)ถ้า p, q วิ่งผ่านคู่ของจำนวนเฉพาะที่ค่อนข้างมาก แล้วบนเส้นตรง เราจะมีจุดทั้งหมดที่สอดคล้องกับจำนวนเศษส่วน ดังนั้น, ตามวิธีการที่ยอมรับ จำนวนตรรกยะแต่ละจำนวนจะสอดคล้องกับจุดเดียวบนเส้นพิกัด
เป็นไปได้ไหมที่จะระบุจำนวนตรรกยะตัวเดียวสำหรับทุกจุด? บรรทัดนี้เต็มไปด้วยจำนวนตรรกยะทั้งหมดหรือไม่?
ปรากฎว่ามีจุดบนเส้นพิกัดที่ไม่ตรงกับจำนวนตรรกยะใดๆ เราสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วบนส่วนของหน่วย จุด N ไม่ตรงกับจำนวนตรรกยะ เพราะถ้า บน=x- อย่างมีเหตุผลแล้ว x 2 = 2 ซึ่งไม่สามารถเป็นได้
มีจุดที่คล้ายกับจุด N มากมายนับไม่ถ้วนบนเส้นตรง ให้เราพิจารณาส่วนที่มีเหตุผลของกลุ่มนี้ x=เปิดเหล่านั้น. เอ็กซ์- หากเราเลื่อนไปทางขวา จำนวนตรรกยะจะไม่ตรงกับปลายแต่ละด้านของส่วนใดๆ เหล่านี้ สมมติว่าความยาวของส่วนแสดงเป็นจำนวนตรรกยะ x=เราเข้าใจแล้ว x=- มีเหตุผล สิ่งนี้ขัดแย้งกับสิ่งที่ได้รับการพิสูจน์ข้างต้น
จำนวนตรรกยะไม่เพียงพอที่จะเชื่อมโยงจำนวนตรรกยะกับแต่ละจุดบนเส้นพิกัด
มาสร้างกันเถอะ เซตของจำนวนจริง R ผ่าน ทศนิยมไม่มีที่สิ้นสุด
ตามอัลกอริทึมการหารแบบ "มุม" จำนวนตรรกยะใดๆ สามารถแสดงเป็นเศษส่วนทศนิยมแบบจำกัดหรืออนันต์ได้ เมื่อตัวส่วนของเศษส่วน p/q ไม่มีตัวประกอบเฉพาะนอกจาก 2 และ 5 กล่าวคือ q=2 m ×5 k แล้วผลลัพธ์จะเป็นเศษส่วนทศนิยมสุดท้าย p/q=a 0,a 1 a 2 …a n เศษส่วนอื่นๆ สามารถขยายทศนิยมได้ไม่จำกัดเท่านั้น
เมื่อรู้เศษส่วนทศนิยมเป็นคาบไม่สิ้นสุด คุณจะพบจำนวนตรรกยะที่ใช้แทนได้ แต่เศษส่วนทศนิยมจำกัดใดๆ สามารถแสดงเป็นเศษส่วนทศนิยมอนันต์ได้ด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งต่อไปนี้:
a 0 ,a 1 a 2 …a n = a 0 ,a 1 a 2 …a n 000…=a 0 ,a 1 a 2 …(n -1)999… (2)
ตัวอย่างเช่น สำหรับเศษส่วนทศนิยมอนันต์ เอ็กซ์=0,(9) เรามี 10 เอ็กซ์=9,(9) ถ้าเราลบเลขเดิมออกจาก 10x เราจะได้ 9 เอ็กซ์=9 หรือ 1=1,(0)=0,(9)
การติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งถูกสร้างขึ้นระหว่างชุดของจำนวนตรรกยะทั้งหมดและชุดของเศษส่วนทศนิยมคาบไม่สิ้นสุดทั้งหมด ถ้าเราระบุเศษส่วนทศนิยมอนันต์ด้วยหมายเลข 9 ในช่วงเวลาที่มีเศษส่วนทศนิยมอนันต์ที่สอดคล้องกันด้วยหมายเลข 0 ใน ระยะเวลาตามกฎ (2)
ให้เราตกลงที่จะใช้เศษส่วนคาบไม่สิ้นสุดดังกล่าวซึ่งไม่มีเลข 9 ในงวดนั้น หากเศษส่วนทศนิยมคาบอนันต์ที่มีเลข 9 ในช่วงเวลานั้นเกิดขึ้นในกระบวนการให้เหตุผลเราจะแทนที่มันด้วยเศษส่วนทศนิยมอนันต์ด้วยศูนย์ในช่วงเวลานั้นเช่น แทน 1,999...เราจะเอา 2,000...
คำจำกัดความของจำนวนอตรรกยะนอกจากเศษส่วนที่เป็นคาบของทศนิยมอนันต์แล้ว ยังมีเศษส่วนทศนิยมที่ไม่ใช่คาบอีกด้วย เช่น 0.1010010001... หรือ 27.1234567891011... (ตัวเลขธรรมชาติปรากฏต่อเนื่องกันหลังจุดทศนิยม)
พิจารณาเศษส่วนทศนิยมอนันต์ในรูปแบบ ±a 0, a 1 a 2 …a n … (3)
เศษส่วนนี้ถูกกำหนดโดยการระบุเครื่องหมาย “+” หรือ “–” จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ a 0 และลำดับทศนิยม a 1 , a 2 ,…, a n ,… (เซตทศนิยมประกอบด้วยตัวเลขสิบตัว : 0, 1, 2,…, 9)
ให้เราเรียกเศษส่วนใดๆ ของแบบฟอร์ม (3) จำนวนจริง (จริง)หากมีเครื่องหมาย “+” หน้าเศษส่วน (3) มักจะละไว้และเขียนเป็น 0 , a 1 a 2 …a n … (4)
เราจะเรียกตัวเลขตามแบบฟอร์ม (4) จำนวนจริงที่ไม่เป็นลบและในกรณีที่มีตัวเลขอย่างน้อยหนึ่งตัว a 0 , a 1 , a 2 , …, a n แตกต่างจากศูนย์ – จำนวนจริงบวก- หากใช้เครื่องหมาย "-" ในนิพจน์ (3) แสดงว่าเป็นจำนวนลบ
การรวมกันของเซตของจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะทำให้เกิดเซตของจำนวนจริง (QÈJ=R) ถ้าเศษส่วนทศนิยมอนันต์ (3) เป็นเศษส่วนเป็นคาบ แสดงว่าเศษส่วนนั้นเป็นจำนวนตรรกยะ เมื่อเศษส่วนไม่ใช่เป็นคาบ แสดงว่าเศษส่วนไม่ลงตัว
จำนวนจริงสองตัวที่ไม่เป็นลบ a=a 0 ,a 1 a 2 …a n …, b=b 0 ,b 1 b 2 …b n ….เรียกว่า เท่ากัน(พวกเขาเขียน ก=ข), ถ้า n = ข nที่ n=0,1,2… เลข a น้อยกว่าเลข b(พวกเขาเขียน ก<ข), ถ้าอย่างใดอย่างหนึ่ง 0 หรือ ก 0 =ข 0และมีจำนวนดังกล่าว ม.อะไร a k =b k (k=0,1,2,…m-1)ก เช้า , เช่น. ก Û (ก 0 Ú ($mÎN: a k =b k (k= ), a ม - แนวคิด “ ก>ข».
เพื่อเปรียบเทียบจำนวนจริงตามอำเภอใจ เราขอแนะนำแนวคิด “ โมดูลัสของจำนวน a» . โมดูลัสของจำนวนจริง ก=±ก 0 ก 1 ก 2 …น …เรียกจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบดังกล่าวซึ่งแสดงด้วยเศษส่วนทศนิยมอนันต์เดียวกัน แต่ใช้เครื่องหมาย "+" เช่น ½ ก½= ก 0 , 1 2 …น …และ½ กครึ่งลูกบาศก์0. ถ้า เอ -ไม่เป็นลบ ขเป็นจำนวนลบแล้วพิจารณา ก>ข- ถ้าทั้งสองจำนวนเป็นลบ ( ก<0, b<0 ) จากนั้นเราจะถือว่า: 1) ก=ข, ถ้า ½ ก½ = ½ ข½; 2) ก , ถ้า ½ ก½ > ½ ข½.
คุณสมบัติของเซต R:
ฉัน. คุณสมบัติของการสั่งซื้อ:
1. สำหรับจำนวนจริงแต่ละคู่ กและ ขมีความสัมพันธ์หนึ่งเดียวเท่านั้น: ก=ข,ก
2. ถ้า ก
3. ถ้า ก แล้วจะมีเลข c แบบนั้น ก< с .
ครั้งที่สอง คุณสมบัติของการดำเนินการบวกและการลบ:
4. ก+ข=ข+ก(การสับเปลี่ยน).
5. (ก+ข)+ค=ก+(ข+ค) (การเชื่อมโยง).
6. ก+0=ก.
7. ก+(-ก)= 0.
8.จาก ก Þ เอ+ซี
III. คุณสมบัติของการดำเนินการคูณและการหาร:
9. ก×ข=ข×ก .
10. (ก×ข)×ค=ก×(ข×ค).
11. ก×1=ก
12. а×(1/а)=1 (а¹0).
13. (a+b)×c = เอซี + บีซี(การกระจาย).
14. ถ้า ก และ c>0 แล้ว ใช่แล้ว
IV. ทรัพย์สินของอาร์คิมีดีน("cÎR)($nÎN) : (n>c).
ไม่ว่า cÎR จะเป็นจำนวนใดก็ตาม ก็จะมี nÎN เช่นนั้น n>c
วี. คุณสมบัติต่อเนื่องของจำนวนจริงให้เซตที่ไม่ว่างสองเซต AÌR และ BÌR เป็นองค์ประกอบใดๆ ก็ตาม กโอเอจะไม่มีอีกต่อไป ( ก£ ข) ขององค์ประกอบใดๆ bОB แล้ว หลักการความต่อเนื่องของ Dedekindยืนยันการมีอยู่ของตัวเลขคเช่นนั้นเพื่อทุกคน กОАและbОBมีเงื่อนไขต่อไปนี้: ก£ค£ ข:
("ออ, บูร์):(" กÎA, bÎB ® ก£b)($cÎR): (" กเอ, บีบี® กปอนด์ค£ข)
เราจะระบุเซต R ด้วยเซตของจุดบนเส้นจำนวน แล้วเรียกจุดจำนวนจริง
บทที่ 1 ตัวแปรและฟังก์ชัน§1.1 ตัวเลขจริง
ความใกล้ชิดกับจำนวนจริงครั้งแรกเกิดขึ้นใน หลักสูตรของโรงเรียนคณิตศาสตร์. จำนวนจริงทุกจำนวนจะแสดงด้วยเศษส่วนทศนิยมที่มีขอบเขตจำกัดหรืออนันต์
จำนวนจริงแบ่งออกเป็นสองประเภท: ประเภทของจำนวนตรรกยะ และประเภทของจำนวนอตรรกยะ มีเหตุผลเป็นตัวเลขที่มีรูปแบบ โดยที่ มและ nเป็นจำนวนเต็มโคไพรม์ แต่ 
- (เซตของจำนวนตรรกยะเขียนแทนด้วยตัวอักษร ถาม- เรียกจำนวนจริงที่เหลือ ไม่มีเหตุผล- จำนวนตรรกยะแสดงด้วยเศษส่วนคาบจำกัดหรืออนันต์ (เช่นเดียวกับ เศษส่วนทั่วไป) จากนั้นจำนวนจริงเหล่านั้นและเฉพาะจำนวนจริงที่สามารถแทนด้วยเศษส่วนที่ไม่ใช่คาบไม่สิ้นสุดจะไม่มีเหตุผล
เช่น ตัวเลข 
- มีเหตุผลและ 
, 
, 
ฯลฯ – ตัวเลขอตรรกยะ
จำนวนจริงสามารถแบ่งออกเป็นพีชคณิต - รากของพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์ตรรกยะ (ซึ่งรวมถึงโดยเฉพาะจำนวนตรรกยะทั้งหมด - รากของสมการ 
) – และสำหรับผู้อยู่เหนือธรรมชาติ – ส่วนที่เหลือทั้งหมด (เช่น ตัวเลข 
และอื่น ๆ)
เซตของจำนวนธรรมชาติ จำนวนเต็ม และจำนวนจริงทั้งหมด จะแสดงดังนี้ เอ็นซี, ร
(อักษรตัวแรกของคำว่า Naturel, Zahl, Reel)
§1.2 ภาพจำนวนจริงบนเส้นจำนวน ช่วงเวลา
ในเชิงเรขาคณิต (เพื่อความชัดเจน) จำนวนจริงจะแสดงด้วยจุดบนเส้นตรงที่เรียกว่าอนันต์ (ทั้งสองทิศทาง) ตัวเลข
แกน- เพื่อจุดประสงค์นี้ จะมีการนำจุดบนเส้นที่กำลังพิจารณา (จุดเริ่มต้นคือจุดที่ 0) ทิศทางที่เป็นบวกจะถูกระบุโดยลูกศร (โดยปกติจะอยู่ทางขวา) และเลือกหน่วยมาตราส่วนซึ่งถูกตั้งค่าไว้อย่างไม่มีกำหนด ทั้งสองด้านของจุด 0 นี่คือวิธีการแสดงจำนวนเต็ม หากต้องการแสดงตัวเลขที่มีทศนิยมหนึ่งตำแหน่ง คุณต้องแบ่งแต่ละส่วนออกเป็นสิบส่วน เป็นต้น ดังนั้น จำนวนจริงแต่ละจำนวนจะแสดงด้วยจุดบนเส้นจำนวน กลับมาที่แต่ละจุด 
สอดคล้องกับจำนวนจริงเท่ากับความยาวของส่วน 
และมีเครื่องหมาย “+” หรือ “–” ขึ้นอยู่กับว่าจุดนั้นอยู่ทางขวาหรือทางซ้ายของจุดกำเนิด ด้วยวิธีนี้ ความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งจะถูกสร้างขึ้นระหว่างเซตของจำนวนจริงทั้งหมดกับเซตของจุดทั้งหมดบนแกนตัวเลข มีการใช้คำว่า "จำนวนจริง" และ "จุดแกนของจำนวน" คำพ้องความหมาย
เครื่องหมาย 
เราจะแสดงทั้งจำนวนจริงและจุดที่สอดคล้องกับจำนวนนั้น ตัวเลขบวกตั้งอยู่ทางด้านขวาของจุด 0 ส่วนค่าลบจะอยู่ทางด้านซ้าย ถ้า 
แล้วบนแกนตัวเลขเป็นจุด 
อยู่ทางด้านซ้ายของจุด 
- ปล่อยให้ประเด็น 
ตรงกับตัวเลขแล้วเรียกตัวเลขว่าพิกัดของจุดเขียน 
- บ่อยครั้งที่จุดนั้นจะแสดงด้วยตัวอักษรเดียวกันกับตัวเลข จุดที่ 0 คือที่มาของพิกัด แกนยังถูกกำหนดด้วยตัวอักษร 
(รูปที่ 1.1)
ข้าว. 1.1. แกนจำนวน
เซตของตัวเลขโกหกทั้งหมด ระหว่างกำหนดตัวเลขและเรียกว่าช่วงเวลาหรือช่องว่าง เบื้องปลายอาจเป็นของเขาหรือไม่ใช่ก็ได้ มาชี้แจงเรื่องนี้กัน อนุญาต 
- ชุดตัวเลขที่ตรงตามเงื่อนไข 
เรียกว่าช่วงเวลา (ในความหมายแคบ) หรือช่วงเปิดที่แสดงด้วยสัญลักษณ์ 
(รูปที่ 1.2)
ข้าว. 1.2. ช่วงเวลา
ชุดตัวเลขดังกล่าว 
เรียกว่าช่วงปิด (เซ็กเมนต์, เซ็กเมนต์) และเขียนแทนด้วย 
- บนแกนตัวเลขจะมีเครื่องหมายดังนี้:
ข้าว. 1.3. ช่วงปิด
มันแตกต่างจากช่องว่างเปิดเพียงสองจุด (สิ้นสุด) และ . แต่ความแตกต่างนี้เป็นพื้นฐานที่สำคัญดังที่เราจะได้เห็นในภายหลังเช่นเมื่อศึกษาคุณสมบัติของฟังก์ชัน
ละเว้นคำว่า “เซตของตัวเลขทั้งหมด (คะแนน) xเช่นนั้น” เป็นต้น เราพึงทราบต่อไปว่า
และ 
, แสดงว่า 
และ 
ช่วงเวลาครึ่งเปิดหรือครึ่งปิด (บางครั้ง: ครึ่งช่วง)
หรือ 
วิธี: 
หรือ 
และถูกกำหนดไว้ 
หรือ 
;
หรือ 
วิธี 
หรือ 
และถูกกำหนดไว้ 
หรือ 
;
, แสดงว่า 
เซตของจำนวนจริงทั้งหมด ป้าย 
สัญลักษณ์ "อินฟินิตี้"; เรียกว่าตัวเลขที่ไม่เหมาะสมหรือในอุดมคติ 
§1.3 ค่าสัมบูรณ์ (หรือโมดูลัส) ของจำนวนจริง
คำนิยาม. ค่าสัมบูรณ์ (หรือโมดูล)หมายเลข เรียกว่าหมายเลขนั้นเองถ้า 
หรือ 
ถ้า 
- ค่าสัมบูรณ์จะแสดงด้วยสัญลักษณ์ 
- ดังนั้น, 
ตัวอย่างเช่น, 
, 
, 
.
ทางเรขาคณิตหมายถึงระยะทางจุด กถึงจุดกำเนิด หากเรามีจุดสองจุด และ ระยะห่างระหว่างจุดเหล่านั้นก็สามารถแสดงเป็นได้ 
(หรือ 
- ตัวอย่างเช่น, 
แล้วระยะทาง 
.
คุณสมบัติของปริมาณสัมบูรณ์
1. จากคำจำกัดความเป็นไปตามนั้น 
, 
นั่นคือ 
.
2. ค่าสัมบูรณ์ของผลรวมและส่วนต่างไม่เกินผลรวมของค่าสัมบูรณ์: 
.
1) ถ้า 
, ที่ 
- 2) ถ้า 
, ที่ .
3. 
.
จากนั้นตามคุณสมบัติ 2: 
, เช่น. 
- ในทำนองเดียวกันหากคุณจินตนาการ 
แล้วเราก็มาถึงความไม่เท่าเทียมกัน 
▲
4. 
– ตามมาจากคำจำกัดความ: พิจารณากรณีต่างๆ 
และ 
.
5. 
โดยมีเงื่อนไขว่า 
สิ่งเดียวกันนี้ตามมาจากคำจำกัดความ
6. ความไม่เท่าเทียมกัน 
,
, วิธี 
- ความไม่เท่าเทียมกันนี้เป็นไปตามจุดที่อยู่ระหว่างนั้น 
และ 
.
7. ความไม่เท่าเทียมกัน 
เท่ากับความไม่เท่าเทียมกัน 
, เช่น. - นี่คือช่วงที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุดความยาว 
- มันเรียกว่า 
พื้นที่ใกล้เคียงของจุด (จำนวน) ถ้า 
จากนั้นบริเวณใกล้เคียงเรียกว่าเจาะ: นี่คือหรือ 
- (รูปที่.1.4)
8. 
เหตุใดจึงเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน 
(
) เทียบเท่ากับอสมการ 
หรือ 
- และความไม่เท่าเทียมกัน 
กำหนดชุดของจุดซึ่ง 
, เช่น. นี่คือจุดที่อยู่นอกส่วน 
, อย่างแน่นอน: 
และ 
.
§1.4 แนวคิดและสัญลักษณ์บางอย่าง
เราจะนำเสนอแนวคิดและสัญลักษณ์ที่ใช้กันอย่างแพร่หลายจากทฤษฎีเซต ตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ และสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์สมัยใหม่
1 - แนวคิด ชุดเป็นหนึ่งในพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ อักษรย่อ สากล - และดังนั้นจึงไม่สามารถนิยามได้ สามารถอธิบายได้เท่านั้น (แทนที่ด้วยคำพ้องความหมาย): มันคือคอลเลกชั่น, คอลเลกชั่นของวัตถุบางอย่าง, สิ่งของ, รวมเป็นหนึ่งเดียวด้วยลักษณะบางอย่าง วัตถุเหล่านี้เรียกว่า องค์ประกอบฝูงชน ตัวอย่าง: เม็ดทรายจำนวนมากบนชายฝั่ง ดวงดาวในจักรวาล นักเรียนในห้องเรียน รากของสมการ จุดของเซ็กเมนต์ ชุดที่มีองค์ประกอบเป็นตัวเลขเรียกว่า ชุดตัวเลข- สำหรับชุดมาตรฐานบางชุด จะมีการใช้สัญลักษณ์พิเศษ เช่น เอ็น,ซี,ร-ดูมาตรา 1.1
อนุญาต ก– มากมายและ xเป็นองค์ประกอบแล้วพวกเขาก็เขียนว่า: 
- อ่าน " xเป็นของ ก» ( 
เครื่องหมายรวมสำหรับองค์ประกอบ) หากวัตถุ xไม่รวมอยู่ใน กจากนั้นพวกเขาก็เขียน 
- อ่านว่า: " xไม่ได้เป็นของ ก- ตัวอย่างเช่น, 
เอ็น; 8,51
เอ็น- แต่ 8.51 
ร.
ถ้า xเป็นการกำหนดทั่วไปสำหรับองค์ประกอบของเซต กจากนั้นพวกเขาก็เขียน 
- หากเป็นไปได้ที่จะเขียนการกำหนดองค์ประกอบทั้งหมดให้เขียน 
, 
เป็นต้น เซตที่ไม่มีสมาชิกเพียงตัวเดียวเรียกว่าเซตว่างและเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ; เช่น เซตราก (จำนวนจริง) ของสมการ 
ที่นั่นว่างเปล่า
ชุดนี้มีชื่อว่า สุดท้ายถ้ามันประกอบด้วยองค์ประกอบจำนวนจำกัด หากไม่ว่าจะใช้เลขธรรมชาติ N เท่าใดในเซตนั้น กมีองค์ประกอบมากกว่า N ดังนั้น กเรียกว่า ไม่มีที่สิ้นสุดชุด: มีองค์ประกอบมากมายในนั้นอย่างไม่สิ้นสุด
ถ้าทุกองค์ประกอบของชุด ^กเป็นของหลาย ๆ คน บี, ที่ 
เรียกว่าส่วนหรือสับเซตของเซต บีและเขียน 
- อ่าน " กบรรจุอยู่ใน บี» ( 
มีป้ายรวมชุด) ตัวอย่างเช่น, เอ็นซีร.ถ้าและ 
แล้วพวกเขาก็บอกว่าชุด กและ บีมีความเท่าเทียมกันและเขียน 
- มิฉะนั้นพวกเขาจะเขียน 
- ตัวอย่างเช่น ถ้า 
, ก 
เซตรากของสมการ 
, ที่ .
เซตองค์ประกอบของทั้งสองเซต กและ บีเรียกว่า การรวมกันชุดและแสดงแทน 
(บางครั้ง 
- ชุดขององค์ประกอบที่เป็นของและ กและ บี, เรียกว่า จุดตัดชุดและแสดงแทน 
- เซตขององค์ประกอบทั้งหมดของเซต ^กซึ่งไม่มีอยู่ใน บี, เรียกว่า ความแตกต่างชุดและแสดงแทน 
- การดำเนินการเหล่านี้สามารถแสดงเป็นแผนผังได้ดังนี้:
หากสามารถสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างองค์ประกอบของเซตได้พวกเขาจะบอกว่าเซตเหล่านี้เทียบเท่ากันและเขียน 
- ชุดไหนก็ได้ กเทียบเท่ากับชุด ตัวเลขธรรมชาติ เอ็น= เรียกว่า นับได้หรือ นับได้กล่าวอีกนัยหนึ่ง เซตจะเรียกว่านับได้หากองค์ประกอบของเซตสามารถกำหนดหมายเลขและจัดเรียงได้อย่างไม่มีที่สิ้นสุด ลำดับต่อมา 
สมาชิกทั้งหมดมีความแตกต่างกัน: 
ที่ 
และสามารถเขียนได้ในรูป เซตอนันต์อื่นๆ เรียกว่า นับไม่ถ้วน- นับได้ ยกเว้นตัวเซตเอง ยังไม่มีข้อความก็จะมีชุดต่างๆ เช่น 
, ซี.ปรากฎว่าเซตของจำนวนตรรกยะและพีชคณิตทั้งหมดสามารถนับได้ และเซตที่เทียบเท่าของจำนวนตรรกยะ เหนือธรรมชาติ และจำนวนจริง และจุดของช่วงเวลาใดๆ ที่เท่ากันทั้งหมดนั้นนับไม่ได้ พวกเขากล่าวว่าอย่างหลังมีอำนาจของความต่อเนื่อง (อำนาจคือการสรุปแนวคิดเรื่องจำนวน (จำนวน) ขององค์ประกอบสำหรับ จำนวนอนันต์).
2
- ให้มีข้อความสองข้อความ สองข้อเท็จจริง: และ 
- เครื่องหมาย 
หมายความว่า “ถ้าเป็นจริงก็จริง และ” หรือ “ตามมา” “แสดงว่ารากของสมการมีคุณสมบัติมาจากภาษาอังกฤษ มีอยู่- มีอยู่.
รายการ: 
, หรือ 
, หมายถึง: มี (อย่างน้อยหนึ่ง) วัตถุที่มีคุณสมบัติ 
- และการบันทึก 
, หรือ 
หมายความว่า ทุกคนมีทรัพย์สิน โดยเฉพาะเราสามารถเขียนได้: 
และ .
