มุมรูปทรงเรขาคณิต นิยามของมุม การวัดมุม สัญลักษณ์ และตัวอย่าง มุมตรง มุมป้าน มุมแหลม และมุมพัฒนา มุมไหนเรียกว่ามุมพัฒนา?

มุมคืออะไร?

มุมคือรูปร่างที่เกิดจากรังสีสองเส้นที่เล็ดลอดออกมาจากจุดหนึ่ง (รูปที่ 160)
รังสีก่อตัว มุมเรียกว่าด้านของมุม และจุดที่โผล่ออกมาคือจุดยอดของมุม
ในรูปที่ 160 ด้านข้างของมุมคือรังสี OA และ OB และจุดยอดคือจุด O มุมนี้ถูกกำหนดไว้ดังนี้: AOB

เมื่อเขียนมุม ให้เขียนตัวอักษรไว้ตรงกลางเพื่อระบุจุดยอด มุมยังสามารถแสดงด้วยตัวอักษรตัวเดียว - ชื่อของจุดยอดของมัน

ตัวอย่างเช่น แทนที่จะเขียนว่า "angle AOB" จะเขียนให้สั้นกว่า: "angle O"

แทนที่จะเขียนว่า "มุม" ป้ายจะเขียนไว้

ตัวอย่างเช่น AOB, O.

ในรูปที่ 161 จุด C และ D อยู่ภายในมุม AOB จุด X และ Y อยู่นอกมุมนี้ และ คะแนน M และ N - ที่ด้านข้างของมุม

เช่นเดียวกับรูปทรงเรขาคณิตอื่นๆ มุมจะถูกเปรียบเทียบโดยใช้การทับซ้อนกัน

หากมุมหนึ่งสามารถซ้อนทับกับอีกมุมหนึ่งเพื่อให้ตรงกัน มุมเหล่านี้จะเท่ากัน

ตัวอย่างเช่น ในรูปที่ 162 ABC = MNK

จากจุดยอดของมุม SOK (รูปที่ 163) จะมีการดึงรังสี OR เขาแบ่งมุม SOK ออกเป็นสองมุม - SOP และ ROK แต่ละมุมเหล่านี้น้อยกว่ามุม SOC

เขียน: ตำรวจ< COK и POK < COK.

มุมตรงและมุมตรง

สองสิ่งเสริมซึ่งกันและกัน คานสร้างมุมตรง ด้านข้างของมุมนี้รวมกันเป็นเส้นตรงซึ่งมีจุดยอดของมุมที่กางออก (รูปที่ 164)

เข็มชั่วโมงและเข็มนาทีของนาฬิกาทำมุมกลับกันที่ตำแหน่ง 6 นาฬิกา (รูปที่ 165)

พับกระดาษครึ่งแผ่นสองครั้งแล้วคลี่ออก (รูปที่ 166)

เส้นพับเป็นรูป 4 มุมเท่ากัน- แต่ละมุมเหล่านี้มีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของมุมกลับ มุมดังกล่าวเรียกว่ามุมฉาก

มุมขวาคือครึ่งมุมเลี้ยว

วาดรูปสามเหลี่ยม

เพื่อสร้าง มุมขวาใช้การวาดภาพ สามเหลี่ยม(รูปที่ 167) ในการสร้างมุมฉาก ซึ่งด้านใดด้านหนึ่งเป็นรังสี OL คุณต้อง:

ก) วางตำแหน่งรูปสามเหลี่ยมที่วาดเพื่อให้จุดยอดของมุมขวาตรงกับจุด O และด้านใดด้านหนึ่งตามรังสี OA

b) วาดรังสี OB ไปตามด้านที่สองของรูปสามเหลี่ยม

เป็นผลให้เราได้ AOB มุมฉาก

คำถามในหัวข้อ

1. มุมคืออะไร?
2. มุมใดเรียกว่าหัน?
3.มุมใดเรียกว่าเท่ากัน
4. มุมใดเรียกว่ามุมฉาก?
5. คุณจะสร้างมุมฉากโดยใช้รูปสามเหลี่ยมรูปวาดได้อย่างไร?

คุณและฉันรู้อยู่แล้วว่ามุมใดๆ ก็แบ่งระนาบออกเป็นสองส่วน แต่ถ้ามุมหนึ่งมีด้านทั้งสองวางอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน มุมดังกล่าวจะเรียกว่ากางออก นั่นคือในมุมที่หมุนแล้ว ด้านหนึ่งของมันคือความต่อเนื่องของอีกด้านหนึ่งของมุม

ตอนนี้เรามาดูรูปนี้ ซึ่งแสดงให้เห็นมุมที่กางออก O อย่างแน่นอน

หากเราดึงรังสีจากจุดยอดของมุมที่กางออก มันจะแบ่งมุมที่กางออกนี้ออกเป็นอีกสองมุม ซึ่งจะมีด้านหนึ่งที่เหมือนกัน และอีกสองมุมจะทำให้เกิดเส้นตรง นั่นคือจากมุมหนึ่งที่กางออกเรามีสองมุมที่อยู่ติดกัน

หากเราใช้มุมตรงแล้ววาดเส้นแบ่งครึ่ง เส้นครึ่งนี้จะแบ่งมุมตรงออกเป็นสองมุมฉาก

และถ้าเราวาดรังสีตามใจชอบจากจุดยอดของมุมที่กางออก ซึ่งไม่ใช่เส้นแบ่งครึ่ง รังสีดังกล่าวจะแบ่งมุมที่กางออกออกเป็นสองมุม มุมหนึ่งจะเป็นมุมแหลมและอีกมุมหนึ่งจะเป็นมุมป้าน

คุณสมบัติของมุมที่หมุน

มุมตรงมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

ประการแรก ด้านของมุมตรงจะขนานกันและเกิดเป็นเส้นตรง
ประการที่สอง มุมที่หมุนคือ 180°;
ประการที่สาม สอง มุมที่อยู่ติดกันสร้างมุมเลี้ยว;
ประการที่สี่ มุมที่กางออกคือครึ่งหนึ่งของมุมเต็ม
ประการที่ห้า มุมเต็มจะเท่ากับผลรวมของมุมสองมุมที่กางออก
ประการที่หก ครึ่งหนึ่งของมุมเลี้ยวเป็นมุมฉาก

การวัดมุม

ในการวัดมุมใด ๆ ไม้โปรแทรกเตอร์มักใช้เพื่อวัตถุประสงค์เหล่านี้ซึ่งมีหน่วยวัดเท่ากับหนึ่งองศา เมื่อทำการวัดมุม คุณควรจำไว้ว่ามุมใดๆ ก็มีหน่วยวัดระดับเฉพาะของตัวเอง และโดยธรรมชาติแล้วหน่วยวัดนี้จะมากกว่าศูนย์ และมุมที่กางออก อย่างที่เรารู้อยู่แล้ว เท่ากับ 180 องศา

นั่นคือ ถ้าคุณและฉันเอาระนาบของวงกลมมาหารด้วยรัศมีด้วย 360 ส่วนที่เท่ากันจากนั้น 1/360 ของวงกลมที่กำหนดจะเป็นระดับเชิงมุม ดังที่คุณทราบอยู่แล้ว ไอคอนหนึ่งจะระบุระดับปริญญาซึ่งมีลักษณะดังนี้: "°"

ตอนนี้เรารู้แล้วว่าหนึ่งองศา 1° = 1/360 ของวงกลม หากมุมเท่ากับระนาบของวงกลมและมี 360 องศา แสดงว่ามุมดังกล่าวเสร็จสมบูรณ์

ตอนนี้เราจะหาและแบ่งระนาบของวงกลมโดยใช้รัศมีสองอันที่วางอยู่บนเส้นตรงเดียวกันออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน ในกรณีนี้ ระนาบของครึ่งวงกลมจะเป็นครึ่งหนึ่งของมุมเต็ม นั่นคือ 360: 2 = 180° เราได้มุมที่เท่ากับครึ่งระนาบของวงกลมและมี 180° นี่คือมุมเลี้ยว

งานภาคปฏิบัติ

1613 ตั้งชื่อมุมที่แสดงในรูปที่ 168 เขียนชื่อมุมเหล่านั้น

1614 วาดสี่รังสี: OA, OB, OS และ OD เขียนชื่อของมุมทั้งหกที่มีด้านเป็นรังสีเหล่านี้ รังสีเหล่านี้แบ่งออกเป็นกี่ส่วน? เครื่องบิน?

1615 ระบุว่าจุดใดในรูปที่ 169 อยู่ภายในมุม COM จุดไหนอยู่ฝั่ง OK และจุดไหนอยู่ฝั่ง OM

1616 วาดมุม MOD และวาดรังสี OT ไว้ข้างใน ตั้งชื่อและติดป้ายกำกับมุมที่รังสีนี้ใช้แบ่งมุม MOD

1617 เข็มนาทีหมุนไปที่มุม AOB ในอีก 10 นาที ไปที่มุม BOC ในอีก 10 นาทีข้างหน้า และไปที่มุม COD ในอีก 15 นาที เปรียบเทียบมุม AOB และ BOS, BOS และ COD, AOS และ AOB, AOS และ COD (รูปที่ 170)

1618. ใช้รูปสามเหลี่ยมวาดมุมฉาก 4 มุมในตำแหน่งที่แตกต่างกัน

1619 ใช้รูปสามเหลี่ยม หามุมฉากในรูปที่ 171 เขียนชื่อของพวกเขา

1620 ระบุมุมขวาในห้องเรียน

ก) 0.09 200; ข) 208 0.4; ค) 130 0.1 + 80 0.1

1629 จำนวน 200 คือเปอร์เซ็นต์ของ 400 100; 4; 40; 80; 400; 600?

1630. ค้นหาหมายเลขที่หายไป:

ก) 2 5 3 ข) 2 3 5
13 6 12 1
2 3? 42?

1631 วาดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาวเท่ากับ 10 เซลล์ในสมุดบันทึก ให้สี่เหลี่ยมนี้เป็นตัวแทนของเขตข้อมูล ข้าวไรย์ครอบครองพื้นที่ 12% ข้าวโอ๊ต 8% ข้าวสาลี 64% และส่วนที่เหลือของทุ่งมีบัควีต แสดงในรูปของส่วนของทุ่งที่พืชแต่ละชนิดครอบครอง บัควีทมีกี่เปอร์เซ็นต์ของสนาม?

1632. สำหรับ ปีการศึกษา Petya ใช้สมุดบันทึกที่ซื้อมาเมื่อต้นปีไปแล้ว 40% และเหลือสมุดบันทึกอีก 30 เครื่อง Petya ซื้อสมุดบันทึกกี่เล่มเมื่อต้นปีการศึกษา

พ.ศ. 1633 บรอนซ์เป็นโลหะผสมของดีบุกและทองแดง ทองแดงในทองแดงที่ประกอบด้วยดีบุก 6 กิโลกรัม และทองแดง 34 กิโลกรัม มีโลหะผสมกี่เปอร์เซ็นต์

พ.ศ. 2177 ประภาคารอเล็กซานเดรียสร้างขึ้นในสมัยโบราณซึ่งถูกเรียกว่าเป็นหนึ่งในเจ็ดสิ่งมหัศจรรย์ของโลก สูงกว่าหอคอยของมอสโกเครมลิน 1.7 เท่า แต่ต่ำกว่าอาคารของมหาวิทยาลัยมอสโก 119 เมตร ค้นหาความสูงของ แต่ละโครงสร้างเหล่านี้หากหอคอยของมอสโกเครมลินอยู่ต่ำกว่าประภาคารอเล็กซานเดรีย 49 ม.

1635. ใช้เครื่องคิดเลขขนาดเล็กเพื่อค้นหา:

ก) 4.5% ของ 168; ค) 28.3% ของ 569.8;
ข) 147.6% ของ 2500; ง) 0.09% ของ 456,800

1636. แก้ไขปัญหา:

1) พื้นที่สวน 6.4 ก. ในวันแรก 30% ของสวนถูกขุดขึ้น และในวันที่สอง 35% ของสวนถูกขุดขึ้นมา เหลืออีกกี่ Ares ให้ขุด?

2) เซเรชามีเวลาว่าง 4.8 ชั่วโมง เขาใช้เวลา 35% อ่านหนังสือ และดูรายการทีวี 40% เขายังเหลือเวลาอีกเท่าไร?

1637. ทำตามขั้นตอนเหล่านี้:

1) ((23,79: 7,8 - 6,8: 17) 3,04 - 2,04) 0,85;
2) (3,42: 0,57 9,5 - 6,6) : ((4,8 - 1,6) (3,1 + 0,05)).

1638 วาด BAC ที่มุม และทำเครื่องหมายจุดละจุดในมุม ด้านนอกมุม และด้านข้างของมุม

1639 จุดใดจาก 172 จุดที่อยู่ในรูปอยู่ภายในมุม AMK จุดใดอยู่ภายในมุม AMB> แต่อยู่นอกมุม AMK

1640 ใช้รูปสามเหลี่ยมหามุมฉากในรูปที่ 173

2184. สร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้าน 43 มม. คำนวณปริมณฑลและพื้นที่

1642. ค้นหาความหมายของสำนวน:

ก) 14.791: a + 160.961: b ถ้า a = 100, b = 10;
b) 361.62c + 1848: d ถ้า c = 100 d =100

1643 คนงานต้องผลิตชิ้นส่วน 450 ชิ้น เขาสร้างชิ้นส่วน 60% ในวันแรก และส่วนที่เหลือในวันที่สอง คุณทำกี่ส่วน? คนงานในวันที่สอง?

พ.ศ. 2187 ห้องสมุดมีหนังสือ 8,000 เล่ม หนึ่งปีต่อมาจำนวนหนังสือเพิ่มขึ้น 2,000 เล่ม จำนวนหนังสือในห้องสมุดเพิ่มขึ้นกี่เปอร์เซ็นต์?

1645 รถบรรทุกครอบคลุม 24% ของเส้นทางที่ตั้งใจไว้ในวันแรก 46% ของเส้นทางในวันที่สอง และ 450 กม. ที่เหลือในวันที่สาม รถบรรทุกเหล่านี้วิ่งได้ระยะทางกี่กิโลเมตร?

1646 ค้นหาว่ามีกี่รายการ:

ก) 1% ของตัน; c) 5% ของ 7 ตัน
b) 1% ของลิตร d) 6% ของ 80 กม.

1647 มวลของลูกวอลรัสนั้นน้อยกว่ามวลของวอลรัสที่โตเต็มวัยถึง 9 เท่า มวลของวอลรัสที่โตเต็มวัยจะเป็นเท่าใดหากเมื่อรวมกับน่องแล้วมวลของพวกมันคือ 0.9 ตัน?

พ.ศ. 1648 ในระหว่างการซ้อมรบ ผู้บังคับบัญชาได้ทิ้งทหารทั้งหมด 0.3 นายไว้คอยเฝ้าทางแยก และแบ่งส่วนที่เหลือออกเป็น 2 กองเพื่อป้องกันความสูงสองระดับ กองทหารชุดแรกมีทหารมากกว่าหน่วยที่สองถึง 6 เท่า กองทหารชุดแรกมีทหารกี่คนถ้ามีทหารทั้งหมด 200 นาย?

N.Ya. VILENKIN, V. I. ZHOKHOV, A. S. CHESNOKOV, S. I. SHVARTSBURD, คณิตศาสตร์เกรด 5, หนังสือเรียนสำหรับสถาบันการศึกษาทั่วไป

เริ่มต้นด้วยการกำหนดว่ามุมคืออะไร ประการแรก มันคือ ประการที่สอง มันเกิดขึ้นจากรังสีสองดวง ซึ่งเรียกว่าด้านของมุม ประการที่สาม จุดหลังโผล่ออกมาจากจุดหนึ่งซึ่งเรียกว่าจุดยอดของมุม จากคุณลักษณะเหล่านี้ เราสามารถสร้างคำจำกัดความได้: มุม - รูปทรงเรขาคณิตซึ่งประกอบด้วยรังสีสองเส้น (ด้าน) ที่โผล่ออกมาจากจุดหนึ่ง (จุดยอด)

โดยจำแนกตามค่าระดับ ตามตำแหน่งที่สัมพันธ์กัน และสัมพันธ์กับวงกลม เริ่มจากประเภทของมุมตามขนาดกันก่อน

มีหลายพันธุ์ มาดูแต่ละประเภทกันดีกว่า

มุมหลักมีเพียงสี่ประเภทเท่านั้น ได้แก่ มุมตรง มุมป้าน มุมแหลม และมุมตรง

โดยตรง

ดูเหมือนว่านี้:

องศาของมันคือ 90 o เสมอ หรืออีกนัยหนึ่ง มุมฉากก็คือมุม 90 องศา มีเพียงรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่านั้นที่มี

ทื่อ

ดูเหมือนว่านี้:

องศาที่วัดได้จะมากกว่า 90° แต่น้อยกว่า 180° เสมอ สามารถพบได้ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน เช่น รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน สี่เหลี่ยมด้านขนานตามอำเภอใจ และในรูปหลายเหลี่ยม

เผ็ด

ดูเหมือนว่านี้:

องศาของมุมแหลมจะน้อยกว่า 90° เสมอ พบได้ในทุกรูปสี่เหลี่ยม ยกเว้นสี่เหลี่ยมจัตุรัสและสี่เหลี่ยมด้านขนานใดๆ

ขยายแล้ว

มุมที่กางออกมีลักษณะดังนี้:

มันไม่ได้เกิดขึ้นในรูปหลายเหลี่ยม แต่มีความสำคัญไม่น้อยไปกว่ารูปหลายเหลี่ยมอื่นๆ ทั้งหมด มุมตรงคือรูปทรงเรขาคณิตที่มีหน่วยวัดองศาอยู่ที่ 180 องศาเสมอ คุณสามารถสร้างมันขึ้นมาได้โดยวาดรังสีหนึ่งเส้นขึ้นไปจากด้านบนไปในทิศทางใดก็ได้

มีมุมเล็กๆ อีกหลายประเภท พวกเขาไม่ได้รับการศึกษาในโรงเรียน แต่อย่างน้อยก็จำเป็นต้องรู้เกี่ยวกับการดำรงอยู่ของพวกเขา มุมรองมีเพียงห้าประเภทเท่านั้น:

1. ศูนย์

ดูเหมือนว่านี้:

ชื่อของมุมนั้นบ่งบอกถึงขนาดของมันแล้ว พื้นที่ภายในคือ 0° และด้านข้างวางซ้อนกันดังแสดงในรูป

2. เฉียง

มุมเฉียงอาจเป็นมุมตรง มุมป้าน มุมแหลม หรือมุมตรง เงื่อนไขหลักคือไม่ควรเท่ากับ 0 o, 90 o, 180 o, 270 o

3. นูน

มุมนูน ได้แก่ มุมศูนย์ มุมตรง มุมป้าน มุมแหลม และมุมตรง ดังที่คุณเข้าใจแล้ว องศาของมุมนูนคือตั้งแต่ 0° ถึง 180°

4. ไม่นูน

มุมที่มีขนาดตั้งแต่ 181° ถึง 359° รวมมุมไม่นูน

5. เต็ม

มุมที่สมบูรณ์คือ 360 องศา

เหล่านี้คือมุมทุกประเภทตามขนาดของมัน ตอนนี้เรามาดูประเภทของพวกเขาตามตำแหน่งบนเครื่องบินที่สัมพันธ์กัน

1. เพิ่มเติม

มุมแหลมสองมุมเหล่านี้ประกอบเป็นเส้นตรงเส้นเดียว กล่าวคือ ผลรวมของพวกเขาคือ 90 o

2. ที่อยู่ติดกัน

มุมที่อยู่ติดกันจะเกิดขึ้นหากรังสีถูกส่งผ่านมุมที่กางออก หรือผ่านจุดยอดของมันไปในทิศทางใดก็ได้ ผลรวมของพวกเขาคือ 180 o

3. แนวตั้ง

มุมแนวตั้งเกิดขึ้นเมื่อเส้นตรงสองเส้นตัดกัน การวัดระดับปริญญาของพวกเขาเท่ากัน

ทีนี้มาดูประเภทของมุมที่สัมพันธ์กับวงกลมกันดีกว่า มีเพียงสองอันเท่านั้น: ตรงกลางและจารึกไว้

1.ภาคกลาง

มุมที่ศูนย์กลางคือมุมที่มีจุดยอดอยู่ตรงกลางวงกลม การวัดระดับจะเท่ากับการวัดระดับของส่วนโค้งเล็กๆ ที่ยื่นออกไปด้านข้าง

2. จารึกไว้

มุมที่จารึกไว้คือมุมที่มีจุดยอดอยู่บนวงกลมและมีด้านตัดกัน การวัดระดับจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของส่วนโค้งที่มันวางอยู่

แค่นั้นแหละสำหรับมุม ตอนนี้คุณรู้แล้วว่านอกเหนือจากสิ่งที่มีชื่อเสียงที่สุด - เฉียบพลัน, ป้าน, ตรงและปรับใช้ - ยังมีประเภทอื่น ๆ อีกมากมายในเรขาคณิต

การวัดเชิงมุม

มุม b วัดเป็นองศา (องศา นาที วินาที) ในการปฏิวัติ - อัตราส่วนของความยาวส่วนโค้ง s ต่อเส้นรอบวง L เป็นเรเดียน - อัตราส่วนของความยาวส่วนโค้ง s ต่อรัศมี r; ในอดีต การวัดมุมแบบไล่ระดับก็ถูกนำมาใช้เช่นกัน ทุกวันนี้ แทบไม่เคยใช้เลย

1 รอบ = 2π เรเดียน = 360° = 400 องศา

ในศัพท์เฉพาะทางทะเล มุมต่างๆ ถูกกำหนดด้วยรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

ประเภทของมุม

มุมที่อยู่ติดกัน - แหลม (a) และมุมป้าน (b) มุมตรง (ค)

นอกจากนี้ยังพิจารณามุมระหว่างเส้นโค้งเรียบที่จุดแทนเจนต์ด้วย: ตามคำจำกัดความค่าของมันจะเท่ากับมุมระหว่างแทนเจนต์กับเส้นโค้ง

มูลนิธิวิกิมีเดีย

2010.

ดูว่า "มุมเต็ม" ในพจนานุกรมอื่น ๆ คืออะไร: มุมเท่ากับมุมฉากสองมุม *การพัฒนาพื้นผิวเป็นตัวเลขที่ได้รับในระนาบโดยการรวมจุดของพื้นผิวที่กำหนดเข้ากับระนาบนี้ในลักษณะที่ความยาวของเส้นยังคงไม่เปลี่ยนแปลง การพัฒนาเส้นโค้ง ดูที่ Involute...

มุมพจนานุกรมสารานุกรมขนาดใหญ่

- ▲ มุมทิศทางที่แตกต่าง (ในอวกาศ), ความยาวของการหมุนจากทิศทางหนึ่งไปอีกทิศทางหนึ่ง ความแตกต่างของทิศทาง ส่วนหนึ่งของการเลี้ยวเต็ม (# เอียงแบบฟอร์ม #) เอียง โน้มเอียง ส่วนเบี่ยงเบน หลบเลี่ยง (ถนนเบี่ยงไปทางขวา).... ...มุม - มุม: 1มุมมองทั่วไป - 2 ติดกัน; 3 ติดกัน; 4 แนวตั้ง; 5 ขยาย; 6 ตรง คมและป้าน 7 ระหว่างเส้นโค้ง; 8 ระหว่างเส้นตรงกับระนาบ 9 ระหว่างเส้นตัดกัน (ไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน) เส้น มุม เรขาคณิต......

พจนานุกรมสารานุกรมภาพประกอบ รูปทรงเรขาคณิตที่ประกอบด้วยรังสีสองเส้นที่เล็ดลอดออกมาจากจุดหนึ่ง รังสีเรียกว่า ข้าง U. และจุดเริ่มต้นร่วมคือจุดยอด U ให้ [ BA),[ BC) ด้านข้างของมุม B จุดยอดของมัน ระนาบที่กำหนดโดยด้าน U รูปจะแบ่งระนาบ... ...

สารานุกรมคณิตศาสตร์ มุมเท่ากับมุมฉากสองมุม * * * DEVELOPED ANGLE DEVELOPED ANGLE มุมเท่ากับสองมุมฉาก...

พจนานุกรมสารานุกรม สาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาคุณสมบัติของตัวเลขต่างๆ (จุด เส้นตรง มุม วัตถุสองมิติและสามมิติ) ขนาดและตำแหน่งสัมพัทธ์ - เพื่อความสะดวกในการสอน เรขาคณิตจะแบ่งออกเป็น planimetry และ Stereometry ใน… …

สารานุกรมถ่านหิน รูปทรงเรขาคณิตที่ประกอบด้วยรังสีสองเส้นที่เล็ดลอดออกมาจากจุดหนึ่ง รังสีเรียกว่า ข้าง U. และจุดเริ่มต้นร่วมคือจุดยอด U ให้ [ BA),[ BC) ด้านข้างของมุม B จุดยอดของมัน ระนาบที่กำหนดโดยด้าน U รูปจะแบ่งระนาบ... ...

1) เส้นขาดปิด กล่าวคือ หากจุดที่แตกต่างกันไม่มีสามจุดติดต่อกัน อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน เซตของเซ็กเมนต์จะถูกเรียก รูปหลายเหลี่ยม (ดูรูปที่ 1) ม. จะเป็นเชิงพื้นที่หรือแบนก็ได้ (ด้านล่าง... ...- ▲ ที่มุมสูงสุด มุมเฉียงตามขวาง ข้ามไปเป็นมุมฉาก - มุมฉากของการเบี่ยงเบนสูงสุด มุมเท่ากับมุมที่อยู่ติดกัน เทิร์นควอเตอร์ ตั้งฉาก ตั้งฉากที่มุมฉาก ตั้งฉาก...... พจนานุกรมเชิงอุดมคติภาษารัสเซีย

ระดับ- a, m. 1) หน่วยวัดมุมระนาบ เท่ากับ 1/90 ของมุมฉาก หรือ 1/360 ของวงกลม ตามลำดับ มุม 90 องศา เรียกว่า มุมฉาก มุมที่หมุนคือ 180 องศา 2) หน่วยวัดช่วงอุณหภูมิที่มี... ... พจนานุกรมยอดนิยมของภาษารัสเซีย

ทฤษฎีบทชวาร์ซ-คริสตอฟเฟลเป็นทฤษฎีบทที่สำคัญในทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน ซึ่งตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน คาร์ล ชวาร์ตษ์ และอัลวิน คริสตอฟเฟล ที่สำคัญมากจากมุมมองเชิงปฏิบัติคือปัญหาของความสอดคล้อง... ... Wikipedia

บทความนี้จะพูดถึงรูปทรงเรขาคณิตพื้นฐานอย่างหนึ่ง นั่นก็คือมุม หลังจาก การแนะนำทั่วไปในแนวคิดนี้เราจะเน้นไปที่ตัวเลขประเภทอื่นที่แยกจากกัน มุมตรงเป็นแนวคิดที่สำคัญในเรขาคณิต ซึ่งจะเป็นหัวข้อหลักของบทความนี้

ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับมุมเรขาคณิต

ในเรขาคณิต มีวัตถุจำนวนหนึ่งที่เป็นพื้นฐานของวิทยาศาสตร์ทั้งหมด มุมนั้นอ้างอิงถึงพวกมันและถูกกำหนดโดยใช้แนวคิดเรื่องรังสี ดังนั้นเรามาเริ่มกันก่อน

นอกจากนี้ ก่อนที่คุณจะเริ่มกำหนดมุม คุณต้องจำวัตถุที่สำคัญเท่าเทียมกันหลายๆ ชิ้นในเรขาคณิต นั่นคือจุด เส้นตรงบนระนาบ และตัวเครื่องบินเอง เส้นตรงคือรูปทรงเรขาคณิตที่ง่ายที่สุดที่ไม่มีจุดเริ่มต้นหรือจุดสิ้นสุด ระนาบเป็นพื้นผิวที่มีสองมิติ รังสี (หรือครึ่งเส้น) ในเรขาคณิตเป็นส่วนหนึ่งของเส้นที่มีจุดเริ่มต้น แต่ไม่มีจุดสิ้นสุด

การใช้แนวคิดเหล่านี้ทำให้เราสามารถกล่าวได้ว่ามุมหนึ่งเป็นรูปทรงเรขาคณิตซึ่งอยู่ในระนาบใดระนาบหนึ่งและประกอบด้วยรังสีที่แตกต่างกันสองรังสีซึ่งมีจุดกำเนิดร่วมกัน รังสีดังกล่าวเรียกว่าด้านของมุม และจุดเริ่มต้นร่วมของด้านคือจุดยอด

ประเภทของมุมและเรขาคณิต

เรารู้ว่ามุมอาจแตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง ดังนั้นด้านล่างเล็กน้อยจะเป็นการจำแนกประเภทเล็ก ๆ ที่จะช่วยให้คุณเข้าใจประเภทของมุมและคุณสมบัติหลักได้ดีขึ้น ดังนั้น เรขาคณิตจึงมีมุมหลายประเภท:

1. มุมขวา. มีลักษณะเป็นค่า 90 องศา ซึ่งหมายความว่าด้านข้างจะตั้งฉากกันเสมอ
2. มุมแหลม. มุมเหล่านี้ประกอบด้วยตัวแทนทั้งหมดที่มีขนาดน้อยกว่า 90 องศา
3. มุมป้าน. มุมนี้สามารถมีได้ตั้งแต่ 90 ถึง 180 องศา
4. มุมที่กางออก มีขนาด 180 องศาอย่างเคร่งครัด และด้านข้างเป็นเส้นตรงเส้นเดียว

แนวคิดเรื่องมุมตรง

ทีนี้มาดูมุมที่หมุนโดยละเอียดมากขึ้น เป็นกรณีที่ทั้งสองฝ่ายนอนอยู่บนเส้นตรงเดียวกันซึ่งจะเห็นได้ชัดเจนในรูปด้านล่างเล็กน้อย ซึ่งหมายความว่าเราสามารถพูดได้อย่างมั่นใจว่าในมุมกลับด้าน ด้านหนึ่งของมันเป็นด้านต่อเนื่องของอีกมุมหนึ่ง

เป็นเรื่องที่ควรค่าแก่การจดจำความจริงที่ว่ามุมดังกล่าวสามารถแบ่งได้เสมอโดยใช้รังสีที่โผล่ออกมาจากยอดของมัน เป็นผลให้เราได้มุมสองมุม ซึ่งในเรขาคณิตเรียกว่ามุมติดกัน

นอกจากนี้มุมที่กางออกยังมีคุณสมบัติหลายประการ ในการที่จะพูดถึงเรื่องแรก คุณต้องจำแนวคิดของ "เส้นแบ่งครึ่งมุม" ก่อน จำไว้ว่านี่คือรังสีที่แบ่งมุมใดๆ ออกเป็นสองส่วนพอดี สำหรับมุมที่กางออก เส้นแบ่งครึ่งจะแบ่งมุมออกเป็นมุมฉาก 90 องศา 2 มุม การคำนวณทางคณิตศาสตร์นั้นง่ายมาก: 180˚ (ระดับของมุมที่หมุน): 2 = 90˚

หากเราแบ่งมุมที่หมุนด้วยรังสีใดๆ ก็ตาม ผลที่ได้คือมุมสองมุมเสมอ โดยมุมหนึ่งจะเป็นมุมแหลมและอีกมุมเป็นมุมป้าน

คุณสมบัติของมุมที่หมุน

การพิจารณามุมนี้จะสะดวกโดยรวบรวมคุณสมบัติหลักทั้งหมดซึ่งเป็นสิ่งที่เราทำในรายการนี้:

1. ด้านข้างของมุมที่กลับด้านนั้นขนานกันและเป็นเส้นตรง
2. มุมที่หมุนจะเป็น 180 องศาเสมอ
3. มุมสองมุมที่อยู่ติดกันรวมกันเป็นมุมตรงเสมอ
4. มุมเต็มซึ่งมีขนาด 360 องศา ประกอบด้วยมุมที่กางออกสองมุมและมีค่าเท่ากับผลรวมของมุมทั้งสอง
5. ครึ่งหนึ่งของมุมตรงเป็นมุมฉาก

ดังนั้น เมื่อทราบคุณลักษณะทั้งหมดของมุมประเภทนี้แล้ว เราจึงสามารถใช้มุมเหล่านี้ในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตจำนวนหนึ่งได้

ปัญหาเกี่ยวกับมุมที่หมุน

หากต้องการดูว่าคุณเข้าใจแนวคิดเรื่องมุมตรงหรือไม่ ให้ลองตอบคำถามสองสามข้อต่อไปนี้

1. มุมตรงถ้าด้านข้างเป็นเส้นแนวตั้งจะมีขนาดเท่าใด
2. มุมทั้งสองจะประชิดกันหรือไม่ถ้ามุมแรกเป็น 72° และอีกมุมเป็น 118°?
3. ถ้ามุมสมบูรณ์ประกอบด้วยมุมกลับสองมุม แล้วมุมฉากจะมีกี่มุม?
4. มุมตรงถูกแบ่งด้วยรังสีออกเป็นสองมุม โดยค่าองศาของมุมนั้นจะอยู่ในอัตราส่วน 1:4 คำนวณมุมผลลัพธ์

แนวทางแก้ไขและคำตอบ:

1. ไม่ว่ามุมที่หมุนจะอยู่ที่ใด ตามนิยามแล้ว มันก็จะเท่ากับ 180˚ เสมอ
2. มุมที่อยู่ติดกันมีด้านเดียวเหมือนกัน ดังนั้น ในการคำนวณขนาดของมุมที่พวกมันทำร่วมกัน คุณเพียงแค่ต้องบวกค่าของมันเข้าด้วยกัน มาตรการระดับ- ซึ่งหมายความว่า 72 +118 = 190 แต่ตามคำจำกัดความ มุมที่กลับกันคือ 180˚ ซึ่งหมายความว่ามุมที่กำหนดสองมุมไม่สามารถประชิดกันได้
3. มุมตรงประกอบด้วยมุมฉากสองมุม และเนื่องจากอันที่สมบูรณ์มีสองอันที่กางออก หมายความว่าจะมีเส้นตรง 4 เส้น
4. หากเราเรียกมุมที่ต้องการว่า a และ b แล้วให้ x เป็นสัมประสิทธิ์ของสัดส่วนสำหรับมุมเหล่านั้น ซึ่งหมายความว่า a=x และ b=4x ตามนั้น มุมที่หมุนเป็นองศาคือ 180° และตามคุณสมบัติของมันที่ว่า การวัดระดับของมุมจะเท่ากับผลรวมของการวัดระดับของมุมเหล่านั้นเสมอ ซึ่งมันถูกหารด้วยรังสีใดๆ ที่ผ่านระหว่างด้านของมัน เราสามารถสรุปได้ว่า x + 4x = 180˚ ซึ่งหมายถึง 5x = 180˚ . จากที่นี่เราจะพบว่า: x = a = 36˚ และ b = 4x = 144˚ คำตอบ: 36˚ และ 144˚

หากคุณสามารถตอบคำถามเหล่านี้ได้โดยไม่ต้องแจ้งให้ทราบและไม่ได้ดูคำตอบ คุณก็พร้อมที่จะไปยังบทเรียนเรขาคณิตถัดไปแล้ว