สูตรคูณแบบย่อ สูตรคูณแบบย่อ – ไฮเปอร์มาร์เก็ตความรู้

หัวข้อแรกที่เรียนในหลักสูตรพีชคณิตคือสูตรการคูณแบบย่อ ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 จะใช้ในสถานการณ์ที่ง่ายที่สุดซึ่งคุณต้องจดจำสูตรใดสูตรหนึ่งในนิพจน์และแยกตัวประกอบพหุนามหรือในทางกลับกัน ยกกำลังสองหรือยกกำลังสามอย่างรวดเร็วด้วยผลรวมหรือผลต่าง ในอนาคต FSU จะใช้ในการแก้อสมการและสมการอย่างรวดเร็ว และแม้แต่การคำนวณนิพจน์ตัวเลขบางส่วนโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข

รายการสูตรมีลักษณะอย่างไร

มีสูตรพื้นฐาน 7 สูตรที่ให้คุณคูณพหุนามในวงเล็บได้อย่างรวดเร็ว

บางครั้งรายการนี้ยังรวมถึงส่วนขยายสำหรับระดับที่ 4 ซึ่งตามมาจากตัวตนที่นำเสนอและมีรูปแบบ:

a⁴ — b⁴ = (a - b)(a + b)(a² + b²)

ความเท่าเทียมกันทั้งหมดมีคู่ (ผลรวม - ผลต่าง) ยกเว้นผลต่างของกำลังสอง ไม่ได้ให้สูตรสำหรับผลรวมของกำลังสอง.

ความเท่าเทียมกันที่เหลือนั้นง่ายต่อการจดจำ:

ควรจำไว้ว่า FSU ทำงานในทุกกรณีและทุกค่า กและ ข: สิ่งเหล่านี้อาจเป็นตัวเลขที่กำหนดเองหรือนิพจน์จำนวนเต็มก็ได้

ในสถานการณ์ที่จู่ๆ คุณก็จำไม่ได้ว่าเครื่องหมายใดอยู่หน้าคำใดคำหนึ่งในสูตร คุณสามารถเปิดวงเล็บและรับผลลัพธ์เหมือนกับหลังจากใช้สูตรแล้ว ตัวอย่างเช่น หากเกิดปัญหาเมื่อใช้คิวบ์ FSU ที่ต่างกัน คุณจะต้องเขียนนิพจน์ดั้งเดิมและ ทำการคูณทีละหนึ่ง:

(a - b)³ = (a - b)(a - b)(a - b) = (a² - ab - ab + b²)(a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

เป็นผลให้หลังจากนำคำศัพท์ที่คล้ายกันทั้งหมดมาก็ได้พหุนามเดียวกันกับในตาราง การปรับเปลี่ยนแบบเดียวกันนี้สามารถดำเนินการกับ FSU อื่น ๆ ทั้งหมดได้

การประยุกต์ใช้ FSU เพื่อแก้สมการ

ตัวอย่างเช่น คุณต้องแก้สมการที่มี พหุนามของดีกรี 3:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0

ใน หลักสูตรของโรงเรียนไม่พิจารณาเทคนิคสากลสำหรับการแก้สมการกำลังสามและงานดังกล่าวมักได้รับการแก้ไขมากกว่านั้น วิธีการง่ายๆ(เช่น โดยการแยกตัวประกอบ) หากเราสังเกตว่าด้านซ้ายของอัตลักษณ์คล้ายกับกำลังสามของผลรวม สมการก็สามารถเขียนได้ในรูปแบบที่ง่ายกว่า:

(x + 1)³ = 0

รากของสมการดังกล่าวคำนวณด้วยวาจา: x = -1.

ความไม่เท่าเทียมกันได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกัน ตัวอย่างเช่น คุณสามารถแก้สมการได้ x³ – 6x² + 9x > 0.

ก่อนอื่น คุณต้องแยกตัวประกอบนิพจน์ก่อน ก่อนอื่นคุณต้องวงเล็บปีกกา x- หลังจากนี้ โปรดทราบว่านิพจน์ในวงเล็บสามารถแปลงเป็นกำลังสองของผลต่างได้

จากนั้นคุณจะต้องค้นหาจุดที่นิพจน์รับค่าเป็นศูนย์และทำเครื่องหมายไว้บนเส้นจำนวน ในบางกรณี ค่าเหล่านี้จะเป็น 0 และ 3 จากนั้นใช้วิธีช่วง เพื่อกำหนดว่าช่วงใดที่ x จะสอดคล้องกับเงื่อนไขอสมการ

FSU อาจมีประโยชน์เมื่อดำเนินการ การคำนวณบางอย่างโดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข:

703² - 203² = (703 + 203)(703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000.

นอกจากนี้ การแยกตัวประกอบนิพจน์ทำให้คุณสามารถลดเศษส่วนและลดความซับซ้อนของนิพจน์พีชคณิตต่างๆ ได้อย่างง่ายดาย

ตัวอย่างปัญหาสำหรับเกรด 7-8

โดยสรุป เราจะวิเคราะห์และแก้งานสองงานเกี่ยวกับการใช้สูตรคูณแบบย่อในพีชคณิต

ภารกิจที่ 1. ลดความซับซ้อนของนิพจน์:

(ม. + 3)² + (3ม. + 1)(3ม. - 1) - 2ม. (5ม. + 3)

สารละลาย. เงื่อนไขของงานจำเป็นต้องทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น เช่น การเปิดวงเล็บ การดำเนินการคูณและการยกกำลัง และนำเงื่อนไขที่คล้ายกันทั้งหมดมาด้วย ให้เราแบ่งนิพจน์ออกเป็นสามส่วนตามเงื่อนไข (ตามจำนวนคำศัพท์) และเปิดวงเล็บทีละรายการโดยใช้ FSU หากเป็นไปได้

• (ม. + 3) ² = ตรม. + 6 ม. + 9(ผลรวมกำลังสอง);
• (3 ม. + 1)(3 ม. - 1) = 9 ตร.ม. – 1(ความแตกต่างของกำลังสอง);
• ในเทอมสุดท้ายคุณต้องคูณ: 2 ม. (5 ม. + 3) = 10 ตร.ม. + 6 ม.

ลองแทนที่ผลลัพธ์ที่ได้รับเป็นนิพจน์ดั้งเดิม:

(ตร.ม. + 6 ม. + 9) + (9 ตร.ม. – 1) - (10 ตร.ม. + 6 ม.).

เมื่อคำนึงถึงสัญญาณเราจะเปิดวงเล็บและนำเสนอเงื่อนไขที่คล้ายกัน:

ตร.ม. + 6 ม. + 9 + 9 ตร.ม. 1 - 10 ตร.ม. – 6 ม. = 8

ปัญหาที่ 2. แก้สมการที่มี k ไม่ทราบกำลัง 5:

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ – 4k² – 4k = k³

สารละลาย. ในกรณีนี้จำเป็นต้องใช้ FSU และวิธีการจัดกลุ่ม จำเป็นต้องย้ายเงื่อนไขสุดท้ายและเงื่อนไขสุดท้ายไปทางด้านขวาของข้อมูลระบุตัวตน

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k

ปัจจัยร่วมมาจากด้านขวาและด้านซ้าย (k² + 4k +4):

k³(k² + 4k + 4) = k (k² + 4k + 4).

ทุกอย่างจะถูกถ่ายโอนไปยังด้านซ้ายของสมการ เพื่อให้ 0 ยังคงอยู่ทางด้านขวา:

k³(k² + 4k + 4) - k (k² + 4k + 4) = 0.

จำเป็นต้องลบปัจจัยทั่วไปออกอีกครั้ง:

(k³ - k)(k² + 4k + 4) = 0

จากปัจจัยแรกที่ได้รับเราสามารถหามาได้ เค- ตามสูตรคูณแบบสั้น ตัวประกอบที่สองจะเท่ากัน (k+2)²:

เค (k² - 1)(k + 2)² = 0

ใช้สูตรผลต่างของกำลังสอง:

k (k - 1)(k + 1)(k + 2)² = 0

เนื่องจากผลคูณจะเท่ากับ 0 ถ้าปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นศูนย์ การค้นหารากทั้งหมดของสมการจึงไม่ใช่เรื่องยาก:

1. เค = 0;
2. เค - 1 = 0; เค = 1;
3. เค + 1 = 0; เค = -1;
4. (k + 2)² = 0; เค = -2.

จากตัวอย่างที่แสดงให้เห็น คุณสามารถเข้าใจวิธีจำสูตร ความแตกต่าง และแก้ปัญหาในทางปฏิบัติหลายประการโดยใช้ FSU ได้ งานนั้นเรียบง่ายและไม่ควรมีปัญหาในการทำให้สำเร็จ

สูตรการคูณแบบย่อ (FMF) ใช้เพื่อยกกำลังและคูณตัวเลขและนิพจน์ บ่อยครั้งที่สูตรเหล่านี้ช่วยให้คุณสามารถคำนวณได้กระชับและรวดเร็วยิ่งขึ้น

ในบทความนี้ เราจะแสดงรายการสูตรพื้นฐานสำหรับการคูณแบบย่อ จัดกลุ่มไว้ในตาราง พิจารณาตัวอย่างการใช้สูตรเหล่านี้ และยังกล่าวถึงหลักการพิสูจน์สูตรสำหรับการคูณแบบย่อด้วย

เป็นครั้งแรกที่หัวข้อ FSU ได้รับการพิจารณาภายในกรอบของหลักสูตรพีชคณิตสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ด้านล่างมี 7 สูตรพื้นฐาน

สูตรคูณแบบย่อ

1. สูตรกำลังสองของผลรวม: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. สูตรผลต่างกำลังสอง: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
3. สูตรผลรวมลูกบาศก์: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. สูตรลูกบาศก์ส่วนต่าง: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. สูตรผลต่างกำลังสอง: a 2 - b 2 = a - b a + b
6. สูตรสำหรับผลรวมของลูกบาศก์: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
7. สูตรหาผลต่างของลูกบาศก์: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

ตัวอักษร a, b, c ในนิพจน์เหล่านี้อาจเป็นตัวเลข ตัวแปร หรือนิพจน์ใดก็ได้ เพื่อความสะดวกในการใช้งาน ควรเรียนรู้สูตรพื้นฐานทั้ง 7 สูตรด้วยใจจริง มาวางไว้ในตารางแล้วนำเสนอด้านล่างโดยใช้กรอบล้อมรอบ

สูตรสี่สูตรแรกช่วยให้คุณสามารถคำนวณกำลังสองหรือกำลังสามของผลรวมหรือผลต่างของสองนิพจน์ตามลำดับ

สูตรที่ห้าคำนวณความแตกต่างระหว่างกำลังสองของนิพจน์โดยการคูณผลรวมและผลต่าง

สูตรที่หกและเจ็ดตามลำดับคือการคูณผลรวมและผลต่างของนิพจน์ด้วยกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลต่างและกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลรวม

สูตรการคูณแบบย่อบางครั้งเรียกว่าอัตลักษณ์การคูณแบบย่อ ซึ่งไม่น่าแปลกใจเลย เนื่องจากความเสมอภาคทุกอย่างมีเอกลักษณ์เฉพาะตัว

เมื่อตัดสินใจ ตัวอย่างการปฏิบัติมักใช้สูตรคูณแบบย่อโดยสลับด้านซ้ายและขวา วิธีนี้จะสะดวกเป็นพิเศษเมื่อแยกตัวประกอบพหุนาม

สูตรคูณแบบย่อเพิ่มเติม

อย่าจำกัดตัวเองอยู่เพียงหลักสูตรพีชคณิตเกรด 7 และเพิ่มสูตรอีกสองสามสูตรลงในตาราง FSU ของเรา

ก่อนอื่น เรามาดูสูตรทวินามของนิวตันกันก่อน

a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n - 1 · b + C n 2 · a n - 2 · b 2 + - + C n n - 1 · a · bn - 1 + C n n · bn

โดยที่ C n k คือสัมประสิทธิ์ทวินามที่ปรากฏอยู่ในหมายเลขบรรทัด n ในรูปสามเหลี่ยมของปาสคาล ค่าสัมประสิทธิ์ทวินามคำนวณโดยใช้สูตร:

C n k = n ! เค! · (น - เค) ! = n (n - 1) (n - 2) . - (น - (เค - 1)) เเค !

ดังที่เราเห็น FSF สำหรับกำลังสองและกำลังสามของผลต่างและผลรวมเป็นกรณีพิเศษของสูตรทวินามของนิวตันสำหรับ n=2 และ n=3 ตามลำดับ

แต่จะเกิดอะไรขึ้นหากมีผลรวมมากกว่าสองพจน์ที่ต้องยกกำลัง? สูตรกำลังสองของผลรวมของคำศัพท์สาม, สี่คำขึ้นไปจะมีประโยชน์

ก 1 + ก 2 + . - + n 2 = 1 2 + 2 2 + . - + n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . - + 2 ก 1 ก n + 2 ก 2 ก 3 + 2 ก 2 ก 4 + . - + 2 ก 2 ก n + 2 ก n - 1 ก

อีกสูตรหนึ่งที่อาจมีประโยชน์คือสูตรสำหรับผลต่างระหว่างกำลังที่ n ของสองเทอม

n - b n = a - b n - 1 + n - 2 b + n - 3 b 2 + . - + ก 2 bn - 2 + bn - 1

โดยทั่วไปสูตรนี้แบ่งออกเป็นสองสูตร - สำหรับเลขยกกำลังคู่และเลขคี่ ตามลำดับ

สำหรับตัวชี้วัด 2 ล้านตัว:

ก 2 ม. - ข 2 ม. = ก 2 - ข 2 ก 2 ม. - 2 + ก 2 ม. - 4 ข 2 + ก 2 ม. - 6 ข 4 + . - + ข 2 ม. - 2

สำหรับเลขชี้กำลังคี่ 2m+1:

ก 2 ม. + 1 - ข 2 ม. + 1 = ก 2 - ข 2 ก 2 ม. + ก 2 ม. - 1 ข + ก 2 ม. - 2 ข 2 + . - +ข 2 ม

อย่างที่คุณเดา ความแตกต่างของกำลังสองและความแตกต่างของสูตรลูกบาศก์เป็นกรณีพิเศษของสูตรนี้สำหรับ n = 2 และ n = 3 ตามลำดับ สำหรับผลต่างของลูกบาศก์ b จะถูกแทนที่ด้วย - b

จะอ่านสูตรคูณแบบย่อได้อย่างไร?

เราจะให้สูตรที่เหมาะสมสำหรับแต่ละสูตร แต่ก่อนอื่น เราจะเข้าใจหลักการอ่านสูตรก่อน วิธีที่สะดวกที่สุดในการทำเช่นนี้คือการยกตัวอย่าง ลองใช้สูตรแรกสำหรับกำลังสองของผลรวมของตัวเลขสองตัวกัน

ก + ข 2 = ก 2 + 2 ก ข + ข 2 .

พวกเขากล่าวว่า กำลังสองของผลรวมของสองนิพจน์ a และ b เท่ากับผลรวมของกำลังสองของนิพจน์แรก ซึ่งเป็นสองเท่าของผลคูณของนิพจน์และกำลังสองของนิพจน์ที่สอง

สูตรอื่นๆ ทั้งหมดจะอ่านในลักษณะเดียวกัน สำหรับกำลังสองของผลต่าง a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 เราเขียนว่า:

กำลังสองของผลต่างระหว่างสองนิพจน์ a และ b เท่ากับผลรวมของกำลังสองของนิพจน์เหล่านี้ ลบด้วยสองเท่าของผลคูณของนิพจน์ที่หนึ่งและที่สอง

ลองอ่านสูตร a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 ลูกบาศก์ของผลรวมของสองนิพจน์ a และ b เท่ากับผลรวมของลูกบาศก์ของนิพจน์เหล่านี้ นำผลคูณของกำลังสองของนิพจน์แรกเป็นสามเท่าในวินาที และเพิ่มเป็นสามเท่าของผลคูณของกำลังสองของนิพจน์ที่สองด้วย การแสดงออกครั้งแรก

เรามาอ่านสูตรหาผลต่างของลูกบาศก์ a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3 กัน กำลังสามของความแตกต่างระหว่างสองนิพจน์ a และ b เท่ากับกำลังสามของนิพจน์แรกลบด้วยผลคูณสามของกำลังสองของนิพจน์แรกและนิพจน์ที่สอง บวกด้วยผลคูณสามของกำลังสองของนิพจน์ที่สองและนิพจน์แรก ลบลูกบาศก์ของนิพจน์ที่สอง

สูตรที่ห้า a 2 - b 2 = a - b a + b (ผลต่างของกำลังสอง) อ่านได้ดังนี้: ผลต่างของกำลังสองของสองนิพจน์เท่ากับผลคูณของความแตกต่างและผลรวมของทั้งสองนิพจน์

เพื่อความสะดวก จะมีการเรียกนิพจน์เช่น 2 + a b + b 2 และ a 2 - a b + b 2 ตามลำดับ กำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลรวมและกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลต่าง

เมื่อคำนึงถึงสิ่งนี้ คุณสามารถอ่านสูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของลูกบาศก์ได้ดังนี้:

ผลรวมของลูกบาศก์ของสองนิพจน์เท่ากับผลคูณของผลรวมของนิพจน์เหล่านี้กับกำลังสองบางส่วนของผลต่าง

ความแตกต่างระหว่างกำลังสองของนิพจน์ทั้งสองเท่ากับผลคูณของความแตกต่างระหว่างนิพจน์เหล่านี้กับกำลังสองบางส่วนของผลรวม

หลักฐานของ FSU

การพิสูจน์ FSU นั้นค่อนข้างง่าย จากคุณสมบัติของการคูณ เราจะคูณส่วนของสูตรในวงเล็บ

เช่น ลองพิจารณาสูตรสำหรับผลต่างกำลังสอง

ก - ข 2 = ก 2 - 2 ก ข + ข 2 .

หากต้องการยกนิพจน์ยกกำลัง 2 คุณต้องคูณนิพจน์นี้ด้วยตัวมันเอง

ก - ข 2 = ก - ข ก - ข .

มาขยายวงเล็บ:

a - b a - b = a 2 - a b - b a + b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

สูตรได้รับการพิสูจน์แล้ว FSU ที่เหลือได้รับการพิสูจน์ในทำนองเดียวกัน

ตัวอย่างการสมัคร FSU

จุดประสงค์ของการใช้สูตรคูณแบบย่อคือการคูณและเพิ่มนิพจน์ยกกำลังอย่างรวดเร็วและกระชับ อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ใช่ขอบเขตทั้งหมดของการใช้ FSU มีการใช้กันอย่างแพร่หลายในการย่อนิพจน์ ลดเศษส่วน และแยกตัวประกอบพหุนาม ลองยกตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1 สสส

มาลดความซับซ้อนของนิพจน์ 9 y - (1 + 3 y) 2.

ลองใช้สูตรผลรวมของกำลังสองแล้วได้:

9 ปี - (1 + 3 ปี) 2 = 9 ปี - (1 + 6 ปี + 9 ปี 2) = 9 ปี - 1 - 6 ปี - 9 ปี 2 = 3 ปี - 1 - 9 ปี 2

ตัวอย่างที่ 2 สสส

ลองลดเศษส่วน 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 กัน.

เราสังเกตว่านิพจน์ในตัวเศษคือผลต่างของลูกบาศก์ และในตัวส่วนคือผลต่างของกำลังสอง

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z .

เราลดและรับ:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSU ยังช่วยคำนวณค่าของนิพจน์อีกด้วย สิ่งสำคัญคือต้องสามารถสังเกตได้ว่าจะใช้สูตรที่ไหน ลองแสดงสิ่งนี้ด้วยตัวอย่าง

ลองยกกำลังสองหมายเลข 79 กัน แทนที่จะคำนวณยุ่งยาก มาเขียนกันดีกว่า:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

ดูเหมือนว่าการคำนวณที่ซับซ้อนจะดำเนินการได้อย่างรวดเร็วเพียงใช้สูตรคูณแบบย่อและตารางสูตรคูณ

อื่น จุดสำคัญ- การระบุกำลังสองของทวินาม นิพจน์ 4 x 2 + 4 x - 3 สามารถแปลงเป็น 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวใช้กันอย่างแพร่หลายในการบูรณาการ

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

เมื่อคำนวณพหุนามพีชคณิต ให้ใช้เพื่อทำให้การคำนวณง่ายขึ้น สูตรคูณแบบย่อ- มีทั้งหมดเจ็ดสูตรดังกล่าว คุณต้องรู้จักพวกเขาทั้งหมดด้วยใจ

ควรจำไว้ว่าแทนที่จะเป็น "a" และ "b" ในสูตรสามารถเป็นตัวเลขหรือพหุนามพีชคณิตอื่น ๆ ได้

ความแตกต่างของกำลังสอง

จดจำ!

ความแตกต่างของกำลังสองตัวเลขสองตัวมีค่าเท่ากับผลคูณของผลต่างของตัวเลขเหล่านี้และผลรวม

a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)

• 15 2 − 2 2 = (15 − 2)(15 + 2) = 13 17 = 221
• 9a 2 − 4b 2 โดยมี 2 = (3a − 2bc)(3a + 2bc)

กำลังสองของผลรวม

จดจำ!

ผลรวมของเลขสองตัวกำลังสองจะเท่ากับกำลังสองของเลขตัวแรกบวกสองเท่าผลคูณของเลขตัวแรก และตัวที่สองบวกเลขยกกำลังสองของเลขตัวที่สอง

(ก + ข) 2 = ก 2 + 2ab + ข 2

โปรดทราบว่าด้วยสูตรคูณแบบย่อนี้ มันจึงเป็นเรื่องง่าย ค้นหาสี่เหลี่ยม จำนวนมาก โดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลขหรือการคูณยาวๆ เรามาอธิบายด้วยตัวอย่าง:

ค้นหา 112 2

• ลองแยก 112 เป็นผลรวมของตัวเลขที่เราจำกำลังสองได้ดี
  112 = 100 + 1
• ลองเขียนผลรวมของตัวเลขในวงเล็บและวางสี่เหลี่ยมไว้เหนือวงเล็บ
  112 2 = (100 + 12) 2
• ลองใช้สูตรกำลังสองของผลรวม:
  112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 100 12 + 12 2 = 10,000 + 2,400 + 144 = 12,544

โปรดจำไว้ว่าสูตรผลรวมกำลังสองใช้ได้กับพหุนามพีชคณิตใดๆ ก็ได้

• (8a + ค) 2 = 64a 2 + 16ac + ค 2

คำเตือน!

(a + b) 2 ไม่เท่ากับ (a 2 + b 2)

ผลต่างกำลังสอง

จดจำ!

กำลังสองของผลต่างของตัวเลขสองตัวจะเท่ากับกำลังสองของจำนวนแรกลบด้วยสองเท่าของผลคูณของจำนวนแรกและตัวที่สองบวกกับกำลังสองของจำนวนที่สอง

(ก − b) 2 = ก 2 − 2ab + b 2

นอกจากนี้ยังควรค่าแก่การจดจำการเปลี่ยนแปลงที่มีประโยชน์มาก:

(ก − ข) 2 = (ข − ก) 2

สูตรข้างต้นสามารถพิสูจน์ได้โดยเพียงแค่เปิดวงเล็บ:

(a − b) 2 = a 2 −2ab + b 2 = b 2 − 2ab + a 2 = (b − a) 2

ลูกบาศก์ของผลรวม

จดจำ!

กำลังสามของผลรวมของตัวเลขสองตัว เท่ากับกำลังสามของจำนวนแรกบวกสามผลคูณของกำลังสองของจำนวนแรก และตัวที่สองบวกสามเท่าผลคูณของตัวแรกคูณกำลังสองของวินาทีบวกลูกบาศก์ของวินาที .

(ก + ข) 3 = ก 3 + 3a 2 ข + 3ab 2 + ข 3

วิธีจำกำลังสามของผลรวม

มันค่อนข้างง่ายที่จะจำสูตรที่ดู "น่ากลัว" นี้

• เรียนรู้ว่า “a 3” มาจากจุดเริ่มต้น
• พหุนามสองตัวที่อยู่ตรงกลางมีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากับ 3
• จำไว้ว่าจำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์คือ 1
  (ก 0 = 1, ข 0 = 1) . สังเกตได้ง่ายว่าในสูตรมีระดับ "a" ลดลงและระดับ "b" เพิ่มขึ้น คุณสามารถตรวจสอบสิ่งนี้ได้:

คำเตือน!

(ก + ข) 3 = ก 3 ข 0 + 3a 2 ข 1 + 3a 1 ข 2 + ข 3 0 = 3 + 3a 2 ข + 3ab 2 + ข 3

(a + b) 3 ไม่เท่ากับ a 3 + b 3

จดจำ!

ลูกบาศก์ความแตกต่างลูกบาศก์ความแตกต่าง

ตัวเลขสองตัวจะเท่ากับกำลังสามของจำนวนแรก ลบสามคูณด้วยผลคูณของกำลังสองของจำนวนแรก และตัวที่สองบวกสามคูณด้วยผลคูณของจำนวนแรก และกำลังสองของจำนวนที่สองลบด้วยกำลังสามของจำนวนที่สอง

(a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

สูตรนี้จำได้เหมือนกับสูตรก่อนหน้า แต่คำนึงถึงการสลับเครื่องหมาย "+" และ "-" เท่านั้น เทอมแรก "a 3" นำหน้าด้วย "+" (ตามกฎของคณิตศาสตร์ เราไม่ได้เขียนไว้)

ซึ่งหมายความว่าเทอมถัดไปจะนำหน้าด้วย "−" จากนั้นอีกครั้งด้วย "+" เป็นต้น

(ก - ข) 3 =

จดจำ!

+ a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3ผลรวมของลูกบาศก์

อย่าสับสนกับผลรวมลูกบาศก์!

ผลรวมของลูกบาศก์

• เท่ากับผลคูณของผลรวมของตัวเลขสองตัวและกำลังสองบางส่วนของผลต่าง
• a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2)
  ผลรวมของลูกบาศก์เป็นผลคูณของสองวงเล็บ
  วงเล็บแรกคือผลรวมของตัวเลขสองตัว

วงเล็บที่สองคือกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลต่างระหว่างตัวเลข กำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของความแตกต่างคือนิพจน์:

(ก 2 - ab + ข 2)

จดจำ!

กำลังสองนี้ไม่สมบูรณ์ เนื่องจากตรงกลางแทนที่จะเป็นผลคูณสองเท่า กลับมีผลคูณของตัวเลขตามปกติความแตกต่างของลูกบาศก์

ไม่ต้องสับสนกับลูกบาศก์ที่แตกต่าง!

ความแตกต่างของลูกบาศก์

เท่ากับผลคูณของผลต่างของตัวเลขสองตัวกับกำลังสองบางส่วนของผลรวม

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)

ระมัดระวังในการเขียนป้าย

• การใช้สูตรคูณแบบย่อ
• ควรจำไว้ว่าสูตรทั้งหมดที่ระบุข้างต้นใช้จากขวาไปซ้ายด้วย

ตัวอย่างหลายๆ ตัวอย่างในตำราเรียนออกแบบมาเพื่อให้คุณนำพหุนามกลับมารวมกันโดยใช้สูตร

2 + 2a + 1 = (a + 1) 2

! (ac − 4b)(ac + 4b) = a 2 c 2 − 16b 2 คุณสามารถดาวน์โหลดตารางพร้อมสูตรการคูณแบบย่อทั้งหมดได้ในหัวข้อ “การคูณพหุนามด้วยพหุนาม

ถึง คูณพหุนามด้วยพหุนาม

คุณต้องคูณแต่ละพจน์ของพหุนามหนึ่งด้วยแต่ละพจน์ของพหุนามอีกตัวหนึ่ง แล้วบวกผลลัพธ์ที่ได้ระวัง!

แต่ละเทอมมีสัญลักษณ์ของตัวเองสูตรคูณแบบย่อ

โดยทั่วไปพหุนามจะเป็นกรณีทั่วไป 7 (เจ็ด) กรณีของการคูณพหุนาม

คำจำกัดความและ

1. สูตรคูณแบบย่อ โต๊ะ

ตารางที่ 2. คำจำกัดความของสูตรคูณแบบย่อ (คลิกเพื่อดูภาพขยาย)สองนิพจน์จะเท่ากับกำลังสองของนิพจน์แรกบวกสองเท่าด้วยผลคูณของนิพจน์แรกและนิพจน์ที่สองบวกกำลังสองของนิพจน์ที่สอง

เพื่อให้เข้าใจสูตรได้ดีขึ้น ขั้นแรกเรามาทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น (ขยายสูตรสำหรับกำลังสองของผลรวม)

ทีนี้มาแยกตัวประกอบ (ยุบสูตร)

ลำดับของการดำเนินการเมื่อแยกตัวประกอบ:

1. กำหนด monomials ใดที่ถูกยกกำลังสอง ( 5 และ 3ม);
2. ตรวจสอบว่าผลคูณคู่อยู่ตรงกลางสูตรหรือไม่ (2 5 3m = 30ม);
3. เขียนคำตอบ (5 + 3ม.) 2.

2. สูตรผลต่างกำลังสอง

ผลต่างกำลังสองสองนิพจน์จะเท่ากับกำลังสองของนิพจน์แรกลบด้วยสองเท่าของผลคูณของนิพจน์แรกและนิพจน์ที่สองบวกกำลังสองของนิพจน์ที่สอง

ขั้นแรก มาทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น (ขยายสูตร):

และในทางกลับกัน ลองแยกตัวประกอบมัน (ยุบสูตร):

3. สูตรผลต่างกำลังสอง

ผลคูณของผลรวมของสองนิพจน์และผลต่างเท่ากับผลต่างของกำลังสองของนิพจน์เหล่านี้

มายุบสูตรกัน (ทำการคูณ)

ตอนนี้เรามาขยายสูตร (แยกตัวประกอบ)

สูตรคูณแบบย่อสี่สูตรสำหรับลูกบาศก์

4. สูตรกำลังสามของผลรวมของตัวเลขสองตัว

ลูกบาศก์ของผลรวมของสองนิพจน์จะเท่ากับกำลังสามของนิพจน์แรกบวกสามเท่าของผลคูณของกำลังสองของนิพจน์แรก และนิพจน์ที่สองบวกสามเท่าของผลคูณของนิพจน์แรก และกำลังสองของนิพจน์ที่สองบวกลูกบาศก์ของ การแสดงออกที่สอง

ลำดับของการกระทำเมื่อ "ยุบ" สูตร:

1. หา monomials ที่ถูกยกกำลังสาม (ที่นี่ 4xและ 1 );
2. ตรวจสอบเงื่อนไขเฉลี่ยเพื่อให้เป็นไปตามสูตร
3. เขียนคำตอบ

5. สูตรกำลังสามของผลต่างของตัวเลขสองตัว

ลูกบาศก์ของผลต่างของสองนิพจน์จะเท่ากับกำลังสามของนิพจน์แรก ลบด้วยผลคูณของกำลังสองของนิพจน์แรก และนิพจน์ที่สองบวกสามเท่าของนิพจน์แรก และกำลังสองของนิพจน์แรกลบด้วยกำลังสามของ การแสดงออกที่สอง

6. สูตรสำหรับผลรวมของลูกบาศก์

ผลรวมของลูกบาศก์ของสองนิพจน์จะเท่ากับผลคูณของผลรวมของนิพจน์ที่หนึ่งและที่สองกับกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของผลต่างของนิพจน์เหล่านี้

และกลับ:

7. ความแตกต่างของสูตรลูกบาศก์

ความแตกต่างระหว่างลูกบาศก์ของสองนิพจน์จะเท่ากับผลคูณของความแตกต่างระหว่างนิพจน์ที่หนึ่งและที่สองกับกำลังสองบางส่วนของผลรวมของนิพจน์เหล่านี้

การใช้สูตรคูณแบบย่อ โต๊ะ

ตัวอย่างการใช้สูตรในทางปฏิบัติ (การคำนวณปากเปล่า)

งาน:จงหาพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน a = 71 ซม.

สารละลาย:ส = ก 2 . เรามีสูตรผลรวมกำลังสอง

71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2*70*1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041 ซม. 2

คำตอบ: 5041 ซม. 2

การแสดงออก ( ก + ข) 2 คือ กำลังสองของผลรวมตัวเลข กและ ข- ตามคำจำกัดความของระดับ นิพจน์ ( ก + ขก + ข)(ก + ข- ดังนั้นจากกำลังสองของผลรวมจึงสรุปได้ว่า

(ก + ข) 2 = (ก + ข)(ก + ข) = ก 2 + เกี่ยวกับ + เกี่ยวกับ + ข 2 = ก 2 + 2เกี่ยวกับ + ข 2 ,

นั่นคือ กำลังสองของผลรวมของตัวเลขสองตัวจะเท่ากับกำลังสองของจำนวนแรก บวกสองเท่าของผลคูณของจำนวนแรกและตัวที่สอง บวกด้วยกำลังสองของจำนวนที่สอง

สูตรผลรวมกำลังสอง

(ก + ข) 2 = ก 2 + 2เกี่ยวกับ + ข 2

พหุนาม ก 2 + 2เกี่ยวกับ + ข 2 เรียกว่าการขยายตัวของผลบวกกำลังสอง

เพราะ กและ ขแทนตัวเลขหรือนิพจน์ใดๆ ก็ตาม กฎจะให้โอกาสเราในทางลัดในการยกกำลังสองนิพจน์ใดๆ ที่ถือเป็นผลรวมของสองเทอมได้

ตัวอย่าง.นิพจน์สแควร์ 3 x 2 + 2เอ็กซ์ซี.

สารละลาย:เพื่อไม่ให้เกิดการแปลงเพิ่มเติม เราจะใช้สูตรกำลังสองของผลรวม เราควรจะได้ผลรวมของกำลังสองของจำนวนแรก, สองเท่าของผลคูณของจำนวนแรกและตัวที่สองกับกำลังสองของจำนวนที่สอง:

(3x 2 + 2เอ็กซ์ซี) 2 = (3x 2) 2 + 2(3x 2 2 เอ็กซ์ซี) + (2เอ็กซ์ซี) 2

ตอนนี้โดยใช้กฎการคูณและการยกกำลังของ monomials เราทำให้นิพจน์ผลลัพธ์ง่ายขึ้น:

(3x 2) 2 + 2(3x 2 2 เอ็กซ์ซี) + (2เอ็กซ์ซี) 2 = 9x 4 + 12x 3 ย + 4x 2 ย 2

ผลต่างกำลังสอง

การแสดงออก ( ก - ข) 2 คือ ผลต่างกำลังสองตัวเลข กและ ข- การแสดงออก ( ก - ข) 2 เป็นผลคูณของพหุนามสองตัว ( ก - ข)(ก - ข- ดังนั้นจากกำลังสองของความแตกต่างเราก็สรุปได้ว่า

(ก - ข) 2 = (ก - ข)(ก - ข) = ก 2 - เกี่ยวกับ - เกี่ยวกับ + ข 2 = ก 2 - 2เกี่ยวกับ + ข 2 ,

นั่นคือ กำลังสองของผลต่างของตัวเลขสองตัวจะเท่ากับกำลังสองของจำนวนแรก ลบด้วยสองเท่าของผลคูณของจำนวนแรกและจำนวนที่สอง บวกด้วยกำลังสองของจำนวนที่สอง

เป็นไปตามกฎที่ว่าผลรวม สูตรผลต่างกำลังสองหากไม่มีการแปลงระหว่างกลาง จะมีลักษณะดังนี้:

(ก - ข) 2 = ก 2 - 2เกี่ยวกับ + ข 2

พหุนาม ก 2 - 2เกี่ยวกับ + ข 2 เรียกว่าส่วนขยายผลต่างกำลังสอง

กฎนี้ใช้กับนิพจน์ยกกำลังสองแบบย่อซึ่งสามารถแสดงเป็นผลต่างของตัวเลขสองตัวได้

ตัวอย่าง.แทนกำลังสองของผลต่างเป็นรูปตรีโกณมิติ:

(2ก 2 - 5เกี่ยวกับ 2) 2

สารละลาย:เมื่อใช้สูตรผลต่างกำลังสอง เราจะพบว่า:

(2ก 2 - 5เกี่ยวกับ 2) 2 = (2ก 2) 2 - 2(2ก 2 5 เกี่ยวกับ 2) + (5เกี่ยวกับ 2) 2

ตอนนี้เรามาแปลงนิพจน์ให้เป็นพหุนามมาตรฐาน:

(2ก 2) 2 - 2(2ก 2 5 เกี่ยวกับ 2) + (5เกี่ยวกับ 2) 2 = 4ก 4 - 20ก 3 ข 2 + 25ก 2 ข 4

ความแตกต่างของกำลังสอง

การแสดงออก ก 2 - ข 2 คือ ความแตกต่างของกำลังสองตัวเลข กและ ข- การแสดงออก ก 2 - ข 2 เป็นวิธีชวเลขในการคูณผลรวมของตัวเลขสองตัวด้วยผลต่าง:

(ก + ข)(ก - ข) = ก 2 + เกี่ยวกับ - เกี่ยวกับ - ข 2 = ก 2 - ข 2 ,

นั่นคือผลคูณของผลรวมของตัวเลขสองตัวและผลต่างเท่ากับผลต่างของกำลังสองของตัวเลขเหล่านี้

เป็นไปตามกฎที่ว่าผลรวม สูตรผลต่างกำลังสองดูเหมือนว่านี้:

ก 2 - ข 2 = (ก + ข)(ก - ข)

กฎนี้ใช้กับการคูณนิพจน์แบบย่อที่สามารถแสดงได้ โดยรายการหนึ่งเป็นผลรวมของตัวเลขสองตัว และอีกรายการเป็นผลต่างของตัวเลขเดียวกัน

ตัวอย่าง.แปลงผลคูณเป็นทวินาม:

(5ก 2 + 3)(5ก 2 - 3)

สารละลาย:

(5ก 2 + 3)(5ก 2 - 3) = (5ก 2) 2 - 3 2 = 25ก 4 - 9

ในตัวอย่าง เราใช้สูตรสำหรับผลต่างของกำลังสองจากขวาไปซ้าย กล่าวคือ เราได้รับทางด้านขวาของสูตร และแปลงไปทางซ้าย:

(ก + ข)(ก - ข) = ก 2 - ข 2

ในทางปฏิบัติ สูตรทั้งสามที่กล่าวถึงจะใช้ทั้งจากซ้ายไปขวาและจากขวาไปซ้าย ขึ้นอยู่กับสถานการณ์