ให้แนวคิดเรื่องมุมระหว่างเส้นตรง มุมระหว่างเส้นตรง

ปล่อยให้เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวและให้ไว้บนระนาบหรือในปริภูมิสามมิติ ขอเลื่อนจากจุดพล โอเวกเตอร์ และ . ดังนั้นคำจำกัดความต่อไปนี้จึงถูกต้อง

คำนิยาม.

มุมระหว่างเวกเตอร์และมุมระหว่างรังสีเรียกว่า โอเอและ โอ.บี..

มุมระหว่างเวกเตอร์ และ จะแสดงเป็น .

มุมระหว่างเวกเตอร์สามารถรับค่าจาก 0 ถึงหรือซึ่งเป็นสิ่งเดียวกันจากถึง

เมื่อเวกเตอร์มีทิศทางร่วมทั้งคู่ เมื่อเวกเตอร์มีทิศทางตรงกันข้าม

คำนิยาม.

เวกเตอร์เรียกว่า ตั้งฉากถ้ามุมระหว่างพวกมันเท่ากับ (เรเดียน)

ถ้าเวกเตอร์อย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นศูนย์ แสดงว่ามุมนั้นไม่ได้ถูกกำหนดไว้

การหามุมระหว่างเวกเตอร์ ตัวอย่าง และคำตอบ

โคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ และ และด้วยเหตุนี้ตัวมันเอง ในกรณีทั่วไปสามารถพบได้โดยใช้ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ หรือใช้ทฤษฎีบทโคไซน์สำหรับสามเหลี่ยมที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์ และ

ลองดูกรณีเหล่านี้

ตามคำนิยาม ผลิตภัณฑ์ดอทมีเวกเตอร์อยู่ หากเวกเตอร์ และ ไม่ใช่ศูนย์ เราสามารถหารทั้งสองข้างของความเสมอภาคสุดท้ายด้วยผลคูณของความยาวของเวกเตอร์ และ และเราจะได้ สูตรการหาโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์- สามารถใช้สูตรนี้ได้หากทราบความยาวของเวกเตอร์และผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์

ตัวอย่าง.

คำนวณโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ และ และค้นหามุมด้วยหากความยาวของเวกเตอร์ และ เท่ากัน 3 และ 6 ตามลำดับ และผลคูณสเกลาร์ก็เท่ากับ -9 .

สารละลาย.

คำชี้แจงปัญหาประกอบด้วยปริมาณทั้งหมดที่จำเป็นในการใช้สูตร เราคำนวณโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์และ: .

ตอนนี้เราพบมุมระหว่างเวกเตอร์: .

คำตอบ:

มีปัญหาในการระบุเวกเตอร์ด้วยพิกัดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนระนาบหรือในอวกาศ ในกรณีเหล่านี้ หากต้องการหาโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ คุณสามารถใช้สูตรเดียวกัน แต่อยู่ในรูปแบบพิกัด มารับมันกันเถอะ

ความยาวของเวกเตอร์คือรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของพิกัดของมัน ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์จะเท่ากับผลรวมของผลคูณของพิกัดที่สอดคล้องกัน เพราะฉะนั้น, สูตรคำนวณโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์บนเครื่องบินมีรูปแบบ และสำหรับเวกเตอร์ในอวกาศสามมิติ - .

ตัวอย่าง.

ค้นหามุมระหว่างเวกเตอร์ที่กำหนดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม

สารละลาย.

คุณสามารถใช้สูตรได้ทันที:

หรือคุณสามารถใช้สูตรเพื่อหาโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ได้โดยก่อนหน้านี้ได้คำนวณความยาวของเวกเตอร์และผลิตภัณฑ์สเกลาร์เหนือพิกัดแล้ว:

คำตอบ:

ปัญหาจะลดลงไปเป็นกรณีก่อนหน้าเมื่อให้พิกัดของจุดสามจุด (เช่น ก, ในและ กับ) ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม และคุณจำเป็นต้องค้นหามุม (เช่น )


อันที่จริงมุมนั้นเท่ากับมุมระหว่างเวกเตอร์กับ พิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้คำนวณดังนี้ ความแตกต่างระหว่างพิกัดที่สอดคล้องกันของจุดสิ้นสุดและจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์.

ตัวอย่าง.

บนเครื่องบิน พิกัดของจุดสามจุดถูกกำหนดไว้ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ค้นหาโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ และ

สารละลาย.

เรามากำหนดพิกัดของเวกเตอร์และพิกัดของจุดที่กำหนด:

ตอนนี้ ลองใช้สูตรเพื่อหาโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์บนระนาบในพิกัด:

คำตอบ:

มุมระหว่างเวกเตอร์และยังสามารถคำนวณได้โดย ทฤษฎีบทโคไซน์- หากเราเลื่อนไปจากจุดนั้น โอเวกเตอร์ และ แล้วตามด้วยทฤษฎีบทโคไซน์ในรูปสามเหลี่ยม โอเอวีเราสามารถเขียนได้ ซึ่งเทียบเท่ากับความเท่าเทียมกัน โดยที่เราหาโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ได้ ในการใช้สูตรผลลัพธ์ เราต้องการเพียงความยาวของเวกเตอร์ และ ซึ่งสามารถหาได้ง่ายจากพิกัดของเวกเตอร์ และ อย่างไรก็ตาม วิธีนี้ใช้ไม่ได้จริง เนื่องจากหาโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ได้ง่ายกว่าโดยใช้สูตร

การคำนวณการฉายภาพมุมฉาก (การฉายภาพของตัวเอง):

การฉายภาพของเวกเตอร์บนแกน l เท่ากับผลคูณของโมดูลัสเวกเตอร์และโคไซน์ของมุม φ ระหว่างเวกเตอร์กับแกนเช่น ราคา cosφ

หมอ: ถ้า φ=< , то пр l =+ = *cos φ.

ถ้า φ> (φ≤ ) ดังนั้น pr l =- =- * cos( -φ) = cosφ (ดูรูปที่ 10)

ถ้า φ= แล้ว pr l = 0 = cos φ

ผลที่ตามมา: เส้นโครงของเวกเตอร์บนแกนจะเป็นค่าบวก (ลบ) หากเวกเตอร์สร้างมุมแหลม (ป้าน) กับแกน และจะเท่ากับศูนย์หากมุมนี้ถูกต้อง

ผลที่ตามมา: เส้นโครงของเวกเตอร์ที่เท่ากันบนแกนเดียวกันจะเท่ากัน

การคำนวณการฉายภาพมุมฉากของผลรวมของเวกเตอร์ (คุณสมบัติการฉายภาพ):

เส้นโครงของผลรวมของเวกเตอร์หลายตัวบนแกนเดียวกันจะเท่ากับผลรวมของเส้นโครงของเวกเตอร์หลายตัวบนแกนนี้

Doc: สมมุติว่า = + + เรามี pr l =+ =+ + - เช่น pr l ( + + ) = pr l + pr l + pr l (ดูรูปที่ 11)

ข้าว. 11

การคำนวณผลคูณของเวกเตอร์และตัวเลข:

เมื่อเวกเตอร์ถูกคูณด้วยตัวเลข แล การฉายภาพบนแกนก็จะถูกคูณด้วยตัวเลขนี้เช่นกัน เช่น ราคา ล. (แลมป์* )= แลมเปอร์ ล.

พิสูจน์: สำหรับ แล > 0 เรามี pr l (แล* )= *cos φ = แล* φ = แล*pr l

เมื่อ แลม (แลมแล* )= *cos( -φ)=- * (-cosφ) = * cosφ= แล *pr l

ทรัพย์สินยังใช้ได้เมื่อ

ดังนั้น การดำเนินการเชิงเส้นบนเวกเตอร์จึงนำไปสู่การดำเนินการเชิงเส้นที่สอดคล้องกันบนเส้นโครงของเวกเตอร์เหล่านี้

ประกอบด้วยรังสีสองชนิดที่เล็ดลอดออกมาจากจุดเดียวกัน รังสีเรียกว่า ด้านข้างของ U. และจุดเริ่มต้นร่วมกันคือด้านบนของ U. ให้ [ เวอร์จิเนีย),[ดวงอาทิตย์) - ด้านข้างของมุม ใน -จุดยอดของมันคือระนาบที่กำหนดโดยด้าน U รูปจะแบ่งระนาบออกเป็นสองรูป i==l, 2 หรือที่เรียกว่า U. หรือมุมแบน เรียกว่า. บริเวณด้านในของแฟลต U
ทั้งสองมุมเรียกว่า เท่ากัน (หรือเท่ากันทุกประการ) หากสามารถจัดแนวให้ด้านและจุดยอดตรงกันได้ จากรังสีใดๆ บนระนาบ ในทิศทางที่กำหนด สามารถพล็อตแกนเดียวที่เท่ากับแกนที่กำหนดได้ การเปรียบเทียบแกนจะดำเนินการในสองวิธี หากลำแสงถือเป็นคู่ของรังสีที่มีต้นกำเนิดร่วมกันเพื่อชี้แจงคำถามว่าคานใดในสองลำนั้นใหญ่กว่านั้นจำเป็นต้องรวมจุดยอดของลำแสงและด้านข้างหนึ่งคู่ไว้ในระนาบเดียว (ดู รูปที่ 1) หากด้านที่สองของ U. หนึ่งปรากฏอยู่ใน U. อีกแห่งหนึ่ง พวกเขาบอกว่า U. แรกมีขนาดเล็กกว่าวินาที วิธีที่สองในการเปรียบเทียบ U. คือการเปรียบเทียบ U. แต่ละตัวกับจำนวนที่กำหนด U ที่เท่ากันจะตรงกับองศาเดียวกันหรือ (ดูด้านล่าง) U ที่มากกว่า - จำนวนที่มากขึ้นให้น้อยลง - น้อยลง

สองยูโทรมา ที่อยู่ติดกันหากมีจุดยอดร่วมกันและมีด้านหนึ่ง และอีกสองด้านเป็นเส้นตรง (ดูรูปที่ 2) โดยทั่วไปแล้ว U. ที่มียอดร่วมและด้านร่วมหนึ่งข้างเรียกว่า ที่อยู่ติดกัน คุณโทรมา แนวตั้งถ้าด้านใดด้านหนึ่งยื่นออกมาเกินด้านบนของอีกด้านหนึ่งในแนวตั้ง U. จะเท่ากัน ส.ซึ่งมีด้านเป็นเส้นตรงเรียกว่า. ขยาย ครึ่งหนึ่งของการขยายตัวของยูเรียกว่า U. โดยตรง Direct U. สามารถกำหนดได้อย่างเท่าเทียมกัน: U. เท่ากับอันที่อยู่ติดกันเรียกว่า โดยตรง. ภายในของระนาบแบนซึ่งไม่เกินส่วนที่กางออกนั้นเป็นบริเวณนูนบนระนาบ หน่วยวัดของ U. ถือเป็นเศษส่วนที่ 90 ของ U. โดยตรง เรียกว่า ระดับ.

นอกจากนี้ยังใช้การวัดที่เรียกว่า U ค่าตัวเลขของการวัดเรเดียน U เท่ากับความยาวของส่วนโค้งที่ตัดโดยด้านข้างของ U จากวงกลมหน่วย หนึ่งเรเดียนถูกกำหนดให้กับ U ที่สอดคล้องกับส่วนโค้งซึ่งเท่ากับรัศมีของมัน U. ที่ขยายจะเท่ากับเรเดียน
เมื่อเส้นตรงสองเส้นที่อยู่ในระนาบเดียวกันตัดกับเส้นตรงที่สาม เส้นต่อไปนี้จะถูกสร้างขึ้น (ดูรูปที่ 3): 1 และ 5, 2 และ 6, 4 และ 8, 3 และ 7 - สิ่งที่เรียกว่า เหมาะสม; 2 และ 5, 3 และ 8 - ด้านเดียวภายใน 1 และ 6, 4 และ 7 - ภายนอกด้านเดียว 3 และ 5, 2 และ 8 - นอนขวางภายใน 1 และ 7, 4 และ 6 - นอนขวางด้านนอก

ในทางปฏิบัติ ในปัญหาขอแนะนำให้พิจารณาการหมุนเป็นการวัดการหมุนของลำแสงคงที่รอบจุดกำเนิดไปยังตำแหน่งที่กำหนด ขึ้นอยู่กับทิศทางการหมุนของสัญญาณในกรณีนี้สามารถพิจารณาทั้งสัญญาณบวกและลบได้ ดังนั้น U. ในแง่นี้สามารถมีค่าอะไรก็ได้ การหมุนของรังสีถือเป็นทฤษฎีตรีโกณมิติ ฟังก์ชั่น: สำหรับค่าใด ๆ ของอาร์กิวเมนต์ (U. ) คุณสามารถกำหนดค่าตรีโกณมิติได้ ฟังก์ชั่น แนวคิดเรื่องเรขาคณิตในเรขาคณิต ระบบซึ่งมีพื้นฐานอยู่บนสัจพจน์ของเวกเตอร์จุดนั้นมีความแตกต่างโดยพื้นฐานจากคำจำกัดความของ U. ในฐานะตัวเลข - ในสัจพจน์นี้ U. ถูกเข้าใจว่าเป็นตัวชี้วัดที่แน่นอน ปริมาณที่เกี่ยวข้องกับเวกเตอร์สองตัวโดยใช้การดำเนินการคูณเวกเตอร์สเกลาร์ กล่าวคือ เวกเตอร์ a และ b แต่ละคู่จะกำหนดมุมที่แน่นอน ซึ่งเป็นตัวเลขที่เกี่ยวข้องกับเวกเตอร์ตามสูตร

ที่ไหน ( ก, ข) - ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์
แนวคิดของ U. เป็นรูปแบนและเป็นค่าตัวเลขที่แน่นอนใช้ในเรขาคณิตต่างๆ ปัญหาที่ยูถูกกำหนดไว้เป็นพิเศษ ดังนั้น รูปร่างระหว่างเส้นโค้งที่ตัดกันซึ่งมีแทนเจนต์ที่แน่นอนที่จุดตัดกัน เราหมายถึงรูปร่างที่เกิดจากแทนเจนต์เหล่านี้
มุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบถือเป็นมุมที่เกิดจากเส้นตรงและเส้นโครงรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าบนระนาบ วัดได้ในช่วงตั้งแต่ 0

สารานุกรมทางคณิตศาสตร์. - ม.: สารานุกรมโซเวียต- ไอ. เอ็ม. วิโนกราดอฟ

พ.ศ. 2520-2528.:

คำพ้องความหมาย

วัสดุนี้มีไว้สำหรับแนวคิดเช่นมุมระหว่างเส้นตัดกันสองเส้น ในย่อหน้าแรกเราจะอธิบายว่ามันคืออะไรและแสดงไว้ในภาพประกอบ จากนั้นเราจะดูวิธีที่คุณสามารถค้นหาไซน์, โคไซน์ของมุมนี้และมุมนั้นเอง (เราจะพิจารณากรณีที่มีระนาบและพื้นที่สามมิติแยกกัน) เราจะให้สูตรที่จำเป็นและแสดงพร้อมตัวอย่างทุกประการ วิธีการใช้ในทางปฏิบัติ

เพื่อที่จะเข้าใจว่ามุมที่เกิดขึ้นเมื่อเส้นตรงสองเส้นตัดกันคืออะไร เราต้องจำคำจำกัดความของมุม ความตั้งฉาก และจุดตัดกัน

คำจำกัดความ 1

เราเรียกเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกันหากมีจุดร่วมจุดเดียว จุดนี้เรียกว่าจุดตัดกันของเส้นสองเส้น

เส้นตรงแต่ละเส้นจะถูกหารด้วยจุดตัดกันเป็นรังสี เส้นตรงทั้งสองประกอบกันเป็น 4 มุม โดย 2 มุมเป็นแนวตั้ง และ 2 มุมอยู่ติดกัน ถ้าเรารู้ขนาดของอันใดอันหนึ่ง เราก็จะสามารถกำหนดอันที่เหลือได้

สมมุติว่าเรารู้ว่ามุมใดมุมหนึ่งเท่ากับ α ในกรณีนี้ มุมที่อยู่ในแนวตั้งเทียบกับมุมนั้นจะเท่ากับ α เช่นกัน หากต้องการหามุมที่เหลือ เราต้องคำนวณความแตกต่าง 180 ° - α ถ้า α เท่ากับ 90 องศา มุมทั้งหมดจะเป็นมุมฉาก เส้นที่ตัดกันที่มุมฉากเรียกว่าเส้นตั้งฉาก (บทความแยกต่างหากเกี่ยวกับแนวคิดเรื่องตั้งฉาก)

ลองดูที่ภาพ:

มาดูการกำหนดคำจำกัดความหลักกันดีกว่า

คำจำกัดความ 2

มุมที่เกิดจากเส้นตัดกันสองเส้นคือการวัดมุมที่เล็กกว่าของมุมทั้งสี่ที่ประกอบเป็นเส้นทั้งสองนี้

จะต้องได้ข้อสรุปที่สำคัญจากคำจำกัดความ: ขนาดของมุมในกรณีนี้จะแสดงด้วยค่าใดก็ได้ จำนวนจริงในช่วงเวลา (0, 90] หากเส้นตั้งฉากมุมระหว่างเส้นเหล่านี้จะเท่ากับ 90 องศาไม่ว่าในกรณีใด

ความสามารถในการค้นหาการวัดมุมระหว่างเส้นตัดกันสองเส้นมีประโยชน์ในการแก้ปัญหาในทางปฏิบัติหลายอย่าง สามารถเลือกวิธีการแก้ปัญหาได้จากหลายตัวเลือก

อันดับแรก เราสามารถใช้วิธีการทางเรขาคณิตได้ ถ้าเรารู้บางอย่างเกี่ยวกับมุมเสริม เราก็สามารถเชื่อมโยงพวกมันกับมุมที่เราต้องการได้โดยใช้คุณสมบัติของตัวเลขที่เท่ากันหรือคล้ายกัน ตัวอย่างเช่น ถ้าเรารู้ด้านของสามเหลี่ยมและจำเป็นต้องคำนวณมุมระหว่างเส้นตรงที่ด้านเหล่านี้ตั้งอยู่ ทฤษฎีบทโคไซน์ก็เหมาะสมสำหรับการแก้โจทย์ หากเรามีภาวะ สามเหลี่ยมมุมฉากจากนั้นในการคำนวณ เราจะต้องมีความรู้เกี่ยวกับไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ของมุมด้วย

วิธีการประสานงานยังสะดวกมากสำหรับการแก้ปัญหาประเภทนี้ ให้เราอธิบายวิธีการใช้อย่างถูกต้อง

เรามีระบบพิกัดสี่เหลี่ยม (คาร์ทีเซียน) O x y โดยให้เส้นตรงสองเส้น เรามาแสดงด้วยตัวอักษร a และ b เส้นตรงสามารถอธิบายได้โดยใช้สมการบางประการ เส้นเดิมมีจุดตัด M จะกำหนดมุมที่ต้องการได้อย่างไร (แสดงว่าเป็น α) ระหว่างเส้นตรงเหล่านี้

เริ่มต้นด้วยการกำหนดหลักการพื้นฐานของการหามุมภายใต้เงื่อนไขที่กำหนด

เรารู้ว่าแนวคิดของเส้นตรงมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับแนวคิดเช่นเวกเตอร์ทิศทางและเวกเตอร์ปกติ หากเรามีสมการของเส้นตรงเส้นหนึ่ง เราก็สามารถหาพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้จากเส้นนั้นได้ เราสามารถทำได้สำหรับเส้นที่ตัดกันสองเส้นพร้อมกัน

มุมที่ต่อด้วยเส้นตัดกันสองเส้นสามารถพบได้โดยใช้:

  • มุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทาง
  • มุมระหว่างเวกเตอร์ปกติ
  • มุมระหว่างเวกเตอร์ปกติของเส้นหนึ่งกับเวกเตอร์ทิศทางของอีกเส้นหนึ่ง

ตอนนี้เรามาดูแต่ละวิธีแยกกัน

1. สมมติว่าเรามีเส้นตรง a ที่มีเวกเตอร์ทิศทาง a → = (a x, a y) และเส้นตรง b ที่มีเวกเตอร์ทิศทาง b → (b x, b y) ทีนี้ลองพลอตเวกเตอร์สองตัว a → และ b → จากจุดตัดกัน หลังจากนี้เราจะเห็นว่าแต่ละคนจะอยู่เป็นเส้นตรงของตัวเอง จากนั้นเรามีสี่ทางเลือกสำหรับพวกเขา ตำแหน่งสัมพัทธ์- ดูภาพประกอบ:

ถ้ามุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวไม่เป็นมุมป้าน มันจะเท่ากับมุมที่เราต้องการระหว่างเส้นตัดกัน a และ b หากเป็นมุมป้าน มุมที่ต้องการจะเท่ากับมุมที่อยู่ติดกับมุม a →, b → ^ ดังนั้น α = a → , b → ^ ถ้า a → , b → ^ ≤ 90 ° และ α = 180 ° - a → , b → ^ ถ้า a → , b → ^ > 90 ° .

จากข้อเท็จจริงที่ว่าโคไซน์ของมุมเท่ากันเท่ากัน เราสามารถเขียนความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นใหม่ได้ดังนี้: cos α = cos a →, b → ^, ถ้า a →, b → ^ ≤ 90 °; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, ถ้า a →, b → ^ > 90 °

ในกรณีที่สอง ใช้สูตรลดขนาด ดังนั้น,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

มาเขียนสูตรสุดท้ายด้วยคำพูด:

คำจำกัดความ 3

โคไซน์ของมุมที่เกิดจากเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกันจะเท่ากับโมดูลัสของโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทาง

รูปแบบทั่วไปของสูตรสำหรับโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว a → = (a x , a y) และ b → = (b x , by) มีลักษณะดังนี้:

เพราะ → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + by a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

จากนั้นเราสามารถหาสูตรสำหรับโคไซน์ของมุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นที่กำหนดได้:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

จากนั้นสามารถหามุมได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

α = a rc cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

โดยที่ a → = (a x , a y) และ b → = (b x , b y) คือเวกเตอร์ทิศทางของเส้นที่กำหนด

ลองยกตัวอย่างการแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 1

ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนเครื่องบิน จะมีเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกัน a และ b มาให้ อธิบายได้ด้วยสมการพาราเมตริก x = 1 + 4 · แลมซี = 2 + แลมแลม ∈ R และ x 5 = y - 6 - 3 คำนวณมุมระหว่างเส้นเหล่านี้

สารละลาย

เรามีสมการพาราเมตริกในเงื่อนไขของเรา ซึ่งหมายความว่าสำหรับเส้นนี้เราสามารถเขียนพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางได้ทันที ในการทำเช่นนี้เราจำเป็นต้องรับค่าสัมประสิทธิ์ของพารามิเตอร์เช่น เส้นตรง x = 1 + 4 · แลม y = 2 + แลมแล ∈ R จะมีเวกเตอร์ทิศทาง a → = (4, 1)

เส้นตรงที่สองอธิบายโดยใช้ สมการบัญญัติ x 5 = ย - 6 - 3 . ตรงนี้เราสามารถหาพิกัดจากตัวส่วนได้ ดังนั้น เส้นตรงนี้จึงมีเวกเตอร์ทิศทาง b → = (5 , - 3)

ต่อไป เราจะมุ่งตรงไปที่การหามุม เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เพียงแทนที่พิกัดที่มีอยู่ของเวกเตอร์สองตัวลงในสูตรข้างต้น α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 เราได้รับสิ่งต่อไปนี้:

α = a rc cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a rc cos 17 17 34 = a rc cos 1 2 = 45 °

คำตอบ: เส้นตรงเหล่านี้ทำมุม 45 องศา

เราสามารถแก้ปัญหาที่คล้ายกันได้โดยการหามุมระหว่างเวกเตอร์ปกติ หากเรามีเส้นตรง a ที่มีเวกเตอร์ปกติ n a → = (n a x , n a y) และเส้น b ที่มีเวกเตอร์ปกติ n b → = (n b x , n b y) แล้วมุมระหว่างพวกมันจะเท่ากับมุมระหว่าง n a → และ n b → หรือมุมที่จะอยู่ติดกับ n a →, n b → ^ วิธีการนี้แสดงไว้ในภาพ:

สูตรคำนวณโคไซน์ของมุมระหว่างเส้นตัดกับมุมนี้เองโดยใช้พิกัดของเวกเตอร์ปกติมีลักษณะดังนี้:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n by n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + n by n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

โดยที่ n a → และ n b → แสดงถึงเวกเตอร์ปกติของเส้นตรงที่กำหนดสองเส้น

ตัวอย่างที่ 2

ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม เส้นตรงสองเส้นถูกกำหนดโดยใช้สมการ 3 x + 5 y - 30 = 0 และ x + 4 y - 17 = 0 ค้นหาไซน์และโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมันกับขนาดของมุมนี้เอง

สารละลาย

บรรทัดเดิมมีการระบุโดยใช้ สมการปกติเส้นตรงของรูปแบบ A x + B y + C = 0 เราแทนเวกเตอร์ปกติเป็น n → = (A, B) ลองหาพิกัดของเวกเตอร์ปกติตัวแรกสำหรับหนึ่งบรรทัดแล้วเขียนมัน: n a → = (3, 5) . สำหรับเส้นที่สอง x + 4 y - 17 = 0 เวกเตอร์ปกติจะมีพิกัด n b → = (1, 4) ตอนนี้ให้เพิ่มค่าที่ได้รับลงในสูตรแล้วคำนวณผลรวม:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

ถ้าเรารู้โคไซน์ของมุม เราก็สามารถคำนวณไซน์ของมันได้โดยใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน เนื่องจากมุม α ที่เกิดจากเส้นตรงไม่ป้าน ดังนั้น sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34

ในกรณีนี้ α = a rc cos 23 2 34 = a rc sin 7 2 34

คำตอบ: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a rc cos 23 2 34 = a rc sin 7 2 34

มาวิเคราะห์กรณีสุดท้ายกัน - ค้นหามุมระหว่างเส้นตรงถ้าเรารู้พิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงเส้นหนึ่งกับเวกเตอร์ปกติของอีกเส้นหนึ่ง

สมมติว่าเส้นตรง a มีเวกเตอร์ทิศทาง a → = (a x , a y) และเส้นตรง b มีเวกเตอร์ปกติ n b → = (n b x , n b y) เราจำเป็นต้องแยกเวกเตอร์เหล่านี้ออกจากจุดตัดกัน และพิจารณาตัวเลือกทั้งหมดสำหรับตำแหน่งสัมพันธ์กัน ดูในภาพ:

หากมุมระหว่างเวกเตอร์ที่กำหนดไม่เกิน 90 องศา ปรากฎว่ามุมระหว่าง a และ b จะมาเสริมกับมุมฉาก

ก → , n ข → ^ = 90 ° - α ถ้า → , n ข → ^ ≤ 90 ° .

หากน้อยกว่า 90 องศา เราจะได้สิ่งต่อไปนี้:

ก → , n ข → ^ > 90 ° จากนั้น → , n ข → ^ = 90 ° + α

ใช้กฎความเท่าเทียมกันของโคไซน์ของมุมเท่ากัน เราเขียนว่า:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α สำหรับ a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α สำหรับ → , n b → ^ > 90 ° .

ดังนั้น,

บาป α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , ก → , n ข → ^ > 0 - เพราะ → , n ข → ^ , → , n ข → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

ให้เรากำหนดข้อสรุป

คำจำกัดความที่ 4

ในการค้นหาไซน์ของมุมระหว่างเส้นสองเส้นที่ตัดกันบนระนาบ คุณต้องคำนวณโมดูลัสของโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทางของเส้นแรกกับเวกเตอร์ปกติของเส้นที่สอง

มาเขียนสูตรที่จำเป็นกัน การหาไซน์ของมุม:

บาป α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

การค้นหามุมนั้นเอง:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

โดยที่ a → คือเวกเตอร์ทิศทางของเส้นแรก และ n b → คือเวกเตอร์ปกติของเส้นที่สอง

ตัวอย่างที่ 3

เส้นตัดกันสองเส้นกำหนดโดยสมการ x - 5 = y - 6 3 และ x + 4 y - 17 = 0 ค้นหามุมของจุดตัด

สารละลาย

เราใช้พิกัดของไกด์และเวกเตอร์ปกติจากสมการที่กำหนด ปรากฎว่า a → = (- 5, 3) และ n → b = (1, 4) เราใช้สูตร α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 และคำนวณ:

α = a rc sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a rc sin 7 2 34

โปรดทราบว่าเราได้นำสมการจากปัญหาครั้งก่อนและได้ผลลัพธ์เดียวกันทุกประการ แต่ใช้วิธีที่แตกต่างออกไป

คำตอบ:α = a rc บาป 7 2 34

ให้เรานำเสนออีกวิธีหนึ่งในการค้นหามุมที่ต้องการโดยใช้สัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรงที่กำหนด

เรามีเส้น a ซึ่งกำหนดไว้ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมโดยใช้สมการ y = k 1 x + b 1 และเส้น b กำหนดเป็น y = k 2 x + b 2 นี่คือสมการของเส้นตรงที่มีความชัน เพื่อหามุมตัดกัน เราใช้สูตร:

α = a rc cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1 โดยที่ k 1 และ k 2 อยู่ ค่าสัมประสิทธิ์มุมให้เส้นตรง เพื่อให้ได้บันทึกนี้ มีการใช้สูตรในการกำหนดมุมผ่านพิกัดของเวกเตอร์ปกติ

ตัวอย่างที่ 4

เส้นตรงสองเส้นตัดกันในระนาบ โดยสมการ y = - 3 5 x + 6 และ y = - 1 4 x + 17 4 คำนวณค่าของมุมตัดกัน

สารละลาย

ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรงของเราเท่ากับ k 1 = - 3 5 และ k 2 = - 1 4 ลองเพิ่มพวกมันลงในสูตร α = a rc cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1 แล้วคำนวณ:

α = a rc cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a rc cos 23 20 34 24 · 17 16 = a rc cos 23 2 34

คำตอบ:α = a rc cos 23 2 34

ในบทสรุปของย่อหน้านี้ ควรสังเกตว่าสูตรที่ให้ไว้ที่นี่เพื่อค้นหามุมไม่จำเป็นต้องเรียนรู้ด้วยหัวใจ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะทราบพิกัดของเส้นบอกแนวและ/หรือเวกเตอร์ปกติของเส้นที่กำหนดและสามารถกำหนดได้โดย ประเภทต่างๆสมการ แต่ควรจำหรือเขียนสูตรคำนวณโคไซน์ของมุมจะดีกว่า

วิธีการคำนวณมุมระหว่างเส้นที่ตัดกันในอวกาศ

การคำนวณมุมดังกล่าวสามารถลดลงเป็นการคำนวณพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางและกำหนดขนาดของมุมที่เกิดจากเวกเตอร์เหล่านี้ สำหรับตัวอย่างดังกล่าว จะใช้เหตุผลเดียวกันกับที่เราให้ไว้ก่อนหน้านี้

สมมติว่าเรามีระบบพิกัดสี่เหลี่ยมที่อยู่ในอวกาศสามมิติ ประกอบด้วยเส้นตรงสองเส้น a และ b โดยมีจุดตัด M ในการคำนวณพิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง เราจำเป็นต้องรู้สมการของเส้นเหล่านี้ ให้เราแสดงเวกเตอร์ทิศทาง a → = (a x , a y , a z) และ b → = (b x , b y , b z) . ในการคำนวณโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน เราใช้สูตร:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

เพื่อหามุม เราต้องการสูตรนี้:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

ตัวอย่างที่ 5

เรามีเส้นตรงที่กำหนดในปริภูมิสามมิติโดยใช้สมการ x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 เป็นที่รู้กันว่ามันตัดกับแกน O z คำนวณมุมตัดแกนและโคไซน์ของมุมนั้น

สารละลาย

ให้เราแสดงมุมที่ต้องคำนวณด้วยตัวอักษร α ลองเขียนพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางสำหรับเส้นตรงเส้นแรก – a → = (1, - 3, - 2) . สำหรับการสมัครแกนเราสามารถทำได้ พิกัดเวกเตอร์ k → = (0, 0, 1) เพื่อเป็นแนวทาง เราได้รับข้อมูลที่จำเป็นแล้วและสามารถเพิ่มลงในสูตรที่ต้องการได้:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

เป็นผลให้เราพบว่ามุมที่เราต้องการจะเท่ากับ a rc cos 1 2 = 45 °

คำตอบ: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

คำนิยาม

รูปทรงเรขาคณิตที่ประกอบด้วยจุดทั้งหมดของระนาบที่อยู่ระหว่างรังสีสองอันที่เล็ดลอดออกมาจากจุดหนึ่งเรียกว่า มุมแบน.

คำนิยาม

มุมระหว่างสองตัดกัน ตรงคือค่าของมุมระนาบที่เล็กที่สุดที่จุดตัดของเส้นเหล่านี้ ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกัน มุมระหว่างเส้นทั้งสองจะเป็นศูนย์

มุมระหว่างเส้นตัดกันสองเส้น (หากวัดมุมระนาบเป็นเรเดียน) สามารถใช้ค่าตั้งแต่ศูนย์ถึง $\dfrac(\pi)(2)$

คำนิยาม

มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกันเรียกว่าปริมาณ เท่ากับมุมระหว่างเส้นตัดกันสองเส้นขนานกับเส้นที่ตัดกัน มุมระหว่างเส้น $a$ และ $b$ เขียนแทนด้วย $\angle (a, b)$

ความถูกต้องของคำจำกัดความที่แนะนำเป็นไปตามทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบทเรื่องมุมระนาบที่มีด้านขนานกัน

ขนาดของมุมระนาบนูนสองมุมที่มีด้านขนานกันและด้านที่มีทิศตรงเท่ากันตามลำดับจะเท่ากัน

การพิสูจน์

ถ้ามุมเป็นเส้นตรง มุมทั้งสองจะเท่ากับ $\pi$ หากไม่ได้กางออก เราจะพล็อตส่วนที่เท่ากัน $ON=O_1ON_1$ และ $OM=O_1M_1$ บนด้านที่สอดคล้องกันของมุม $\angle AOB$ และ $\angle A_1O_1B_1$

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน $O_1N_1NO$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เนื่องจาก ฝั่งตรงข้าม$ON$ และ $O_1N_1$ เท่ากันและขนานกัน ในทำนองเดียวกัน รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน $O_1M_1MO$ ​​​​เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ดังนั้น $NN_1 = OO_1 = MM_1$ และ $NN_1 \parallel OO_1 \parallel MM_1$ ดังนั้น $NN_1=MM_1$ และ $NN_1 \parallel MM_1$ โดยการเปลี่ยนผ่าน รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน $N_1M_1MN$ เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน เนื่องจากด้านตรงข้ามเท่ากันและขนานกัน ซึ่งหมายความว่าเซ็กเมนต์ $NM$ และ $N_1M_1$ เท่ากัน สามเหลี่ยม $ONM$ และ $O_1N_1M_1$ เท่ากันตามเกณฑ์ที่สามสำหรับความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม ซึ่งหมายความว่ามุมที่สอดคล้องกัน $\angle NOM$ และ $\angle N_1O_1M_1$ เท่ากัน

บทความที่เกี่ยวข้อง
พูดคุย:
รายชื่อผู้ติดต่อ เกี่ยวกับโครงการและบรรณาธิการ การโฆษณาบนเว็บไซต์ แผนที่เว็บไซต์

2024 liveps.ru การบ้านและปัญหาสำเร็จรูปในวิชาเคมีและชีววิทยา