จากเวกเตอร์ 3 ตัว จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม ผลิตภัณฑ์ข้าม - คำจำกัดความ คุณสมบัติ สูตร ตัวอย่าง และวิธีแก้ปัญหา

การทดสอบครั้งที่ 1

เวกเตอร์ องค์ประกอบของพีชคณิตชั้นสูง

1-20. ความยาวของเวกเตอร์ และ และ เป็นที่รู้จัก

– มุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้

คำนวณ: 1) และ, 2).3) ค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่สร้างบนเวกเตอร์และ

วาดรูป. สารละลาย.

การใช้คำจำกัดความของผลคูณดอทของเวกเตอร์: ,

และคุณสมบัติของผลคูณสเกลาร์:

1) ค้นหากำลังสองของเวกเตอร์:

นั่นคือแล้ว

1) ค้นหากำลังสองของเวกเตอร์:

ทะเลาะกันเหมือนกัน เราก็เข้าใจ

ตามคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์: ,

โดยคำนึงถึงสิ่งนั้น

21-40. พื้นที่ของสามเหลี่ยมที่สร้างจากเวกเตอร์และเท่ากับ พิกัดที่ทราบของจุดยอดสามจุดก, บี, ดี สี่เหลี่ยมด้านขนานเอบีซีดี

- เมื่อใช้พีชคณิตเวกเตอร์ คุณจะต้อง:(3;0;-7), ก(2;4;6), บี(-7;-5;1)

วาดรูป.

ดี เป็นที่ทราบกันดีว่าเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นถูกแบ่งครึ่ง ณ จุดตัดกัน ดังนั้นพิกัดของจุดนั้นอี - จุดตัดของเส้นทแยงมุม - ค้นหาเป็นพิกัดของจุดกึ่งกลางของส่วนบีดี - แสดงถึงพวกเขาโดย เป็นที่ทราบกันดีว่าเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นถูกแบ่งครึ่ง ณ จุดตัดกัน ดังนั้นพิกัดของจุดนั้น ,x เป็นที่ทราบกันดีว่าเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นถูกแบ่งครึ่ง ณ จุดตัดกัน ดังนั้นพิกัดของจุดนั้น , ย เป็นที่ทราบกันดีว่าเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นถูกแบ่งครึ่ง ณ จุดตัดกัน ดังนั้นพิกัดของจุดนั้น z

เราเข้าใจแล้ว

เราได้รับ. เป็นที่ทราบกันดีว่าเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นถูกแบ่งครึ่ง ณ จุดตัดกัน ดังนั้นพิกัดของจุดนั้นการรู้พิกัดของจุด - จุดตัดของเส้นทแยงมุม - ค้นหาเป็นพิกัดของจุดกึ่งกลางของส่วน- จุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุม - เมื่อใช้พีชคณิตเวกเตอร์ คุณจะต้อง:(3;0;-7), และพิกัดของปลายด้านหนึ่ง การใช้สูตรกำหนดพิกัดที่ต้องการของจุดยอดกับ

สี่เหลี่ยมด้านขนาน:

ดังนั้นด้านบน

2) ในการค้นหาเส้นโครงของเวกเตอร์บนเวกเตอร์ เราจะค้นหาพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้: ,

ในทำนองเดียวกัน การฉายภาพเวกเตอร์บนเวกเตอร์พบได้โดยใช้สูตร:

3) มุมระหว่างเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะพบว่าเป็นมุมระหว่างเวกเตอร์

และโดยคุณสมบัติของผลคูณสเกลาร์:

แล้ว

4) ค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นโมดูลัสของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:

5) ปริมาตรของปิรามิดถูกพบว่าเป็นหนึ่งในหกของโมดูลัสของผลิตภัณฑ์ผสมของเวกเตอร์ โดยที่ O(0;0;0) แล้ว

41-60. จากนั้นปริมาตรที่ต้องการ (ลูกบาศก์หน่วย)

เมทริกซ์ที่กำหนด:

วี ซี -1 +3A ที

การกำหนด:

อันดับแรก เราจะหาเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ C

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราพบปัจจัยกำหนด:

ดีเทอร์มิแนนต์แตกต่างจากศูนย์ ดังนั้นเมทริกซ์จึงไม่ใช่เอกพจน์และสำหรับมัน คุณสามารถหาเมทริกซ์ผกผัน C -1

เรามาค้นหาการเสริมพีชคณิตโดยใช้สูตร โดยที่ส่วนรองขององค์ประกอบคือ:

61–80. แล้ว , .

แก้ระบบสมการเชิงเส้น:

วาดรูป.

วิธีการของแครมเมอร์ 2. วิธีเมทริกซ์

ก) วิธีการของแครมเมอร์

ลองหาดีเทอร์มิแนนต์ของระบบกัน

เนื่องจาก ระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัว

ให้เราค้นหาดีเทอร์มิแนนต์และแทนที่คอลัมน์แรก ที่สอง และสามในเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ด้วยคอลัมน์ที่มีเงื่อนไขอิสระ ตามลำดับ

ตามสูตรของแครเมอร์:ข)

เราเขียนระบบนี้ในรูปแบบเมทริกซ์และแก้มันโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน

อนุญาต ก– เมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์สำหรับไม่ทราบ เอ็กซ์– เมทริกซ์คอลัมน์ของสิ่งที่ไม่รู้ - แสดงถึงพวกเขาโดย, x, ยและ เอ็น– คอลัมน์เมทริกซ์ของสมาชิกอิสระ:

ด้านซ้ายของระบบ (1) สามารถเขียนเป็นผลคูณของเมทริกซ์ และด้านขวาเป็นเมทริกซ์ เอ็น- ดังนั้นเราจึงได้สมการเมทริกซ์

เนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ กแตกต่างจากศูนย์ (จุด “a”) แล้วก็เมทริกซ์ กมีเมทริกซ์ผกผัน ลองคูณทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกัน (2) ทางซ้ายด้วยเมทริกซ์ เราได้

ตั้งแต่ไหน. อีคือเมทริกซ์เอกลักษณ์ แล้ว , แล้ว

ขอให้เรามีเมทริกซ์ที่ไม่เอกพจน์ A:

จากนั้นเราจะพบเมทริกซ์ผกผันโดยใช้สูตร:

ที่ไหน - เมื่อใช้พีชคณิตเวกเตอร์ คุณจะต้อง: ฉัน- ส่วนเสริมพีชคณิตขององค์ประกอบ ก ฉันในดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ กซึ่งเป็นผลคูณของ (-1) i+j และตัวรอง (ดีเทอร์มิแนนต์) n-1คำสั่งที่ได้รับโดยการลบ ฉันเส้นและ จคอลัมน์ในดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A:

จากตรงนี้เราจะได้เมทริกซ์ผกผัน:

คอลัมน์ X: X=A -1 H

81–100. แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์

สารละลาย. ลองเขียนระบบในรูปแบบของเมทริกซ์ขยาย:

เราทำการแปลงเบื้องต้นด้วยสตริง

จากบรรทัดที่ 2 เราลบบรรทัดแรกคูณด้วย 2 จากบรรทัดที่ 3 เราลบบรรทัดแรกคูณด้วย 4 จากบรรทัดที่ 4 เราลบบรรทัดแรก เราจะได้เมทริกซ์:

ต่อไป เราได้ศูนย์ในคอลัมน์แรกของแถวถัดไป โดยลบแถวที่สามออกจากแถวที่สอง จากแถวที่สามลบแถวที่สองคูณด้วย 2 จากแถวที่สี่ลบแถวที่สองคูณด้วย 3 เป็นผลให้เราได้เมทริกซ์ของแบบฟอร์ม:

จากบรรทัดที่สี่เราลบบรรทัดที่สาม

มาสลับบรรทัดสุดท้ายและบรรทัดสุดท้ายกัน:

เมทริกซ์สุดท้ายเทียบเท่ากับระบบสมการ:

จากสมการสุดท้ายของระบบที่เราพบ .

เมื่อแทนลงในสมการสุดท้ายเราจะได้ .

จากสมการที่สองของระบบจะได้ดังนี้

จากสมการแรกเราพบ x:

คำตอบ:

การทดสอบหมายเลข 2

เรขาคณิตวิเคราะห์

1-20. เมื่อพิจารณาพิกัดของจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม เอบีซีหา:

1) ความยาวด้าน - เมื่อใช้พีชคณิตเวกเตอร์ คุณจะต้อง:ใน;

2) สมการของด้านข้าง เอบีและ ดวงอาทิตย์และสัมประสิทธิ์เชิงมุม

3) มุม ในเป็นเรเดียนแม่นยำถึงสองหลัก

4) สมการความสูง ซีดีและความยาวของมัน

5) สมการค่ามัธยฐาน เออี

ความสูง ซีดี;

ถึงขนานไปกับด้านข้าง เอบี,

7) วาดรูป

เอ(3;6), บี(15;-3), ค(13;11)

วาดรูป.

ใช้ (1) เราจะหาความยาวของด้าน เอบี:

2) สมการของด้านข้าง เอบีและ ดวงอาทิตย์และสัมประสิทธิ์เชิงมุม:

สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดและมีรูปแบบ

การแทนพิกัดของจุดต่างๆ เป็น (2) กและ ในเราได้สมการของด้าน เอบี:

(เอบี).

(บี.ซี.).

3) มุม ในเป็นเรเดียนด้วยความแม่นยำสองหลัก

เป็นที่ทราบกันดีว่าค่าแทนเจนต์ของมุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นซึ่งค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมจะเท่ากันตามลำดับและคำนวณโดยสูตร

มุมที่ต้องการ ในเกิดจากเส้นตรง เอบีและ ดวงอาทิตย์, ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมที่พบ: ;

- การใช้ (3) เราได้รับ

4) สมการความสูง ซีดี- , หรือ

และความยาวของมัน

5) สมการค่ามัธยฐาน เออีระยะทางจากจุด C ถึงเส้นตรง AB:

ความสูง ซีดี.

และพิกัดของจุด K ของจุดตัดของค่ามัธยฐานนี้ด้วย

กลางด้านดวงอาทิตย์:

จากนั้นสมการ AE:

เราแก้ระบบสมการ: ถึงขนานไปกับด้านข้าง เอบี:

6) สมการของเส้นที่ผ่านจุด เอบีเนื่องจากเส้นที่ต้องการขนานกับด้านข้าง เอบีจากนั้นค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมจะเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรง ถึง- การแทนพิกัดของจุดที่พบลงใน (4)

; (และความชัน เราได้).

เคเอฟ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ 12 ตารางเมตร ม. หน่วย จุดยอดสองจุดคือจุดเอ(-1;3) และบี(-2;4).

หาจุดยอดอีกสองจุดของสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้หากรู้ว่าจุดตัดของเส้นทแยงมุมนั้นอยู่บนแกน x

วาดรูป.

สารละลาย. ให้จุดตัดของเส้นทแยงมุมมีพิกัด .

แล้วมันก็ชัดเจนว่า

ดังนั้นพิกัดของเวกเตอร์คือ .

เราหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยใช้สูตร จากนั้นพิกัดของจุดยอดอีกสองจุดคือในปัญหาที่ 51-60 จะมีการให้พิกัดของจุดต่างๆ

เอ และ บี - ที่จำเป็น:เขียนสมการมาตรฐานสำหรับไฮเปอร์โบลาที่ผ่านจุดเหล่านี้

ก และ ข

ถ้าจุดโฟกัสของไฮเปอร์โบลาอยู่บนแกน x

ค้นหาครึ่งแกน จุดโฟกัส ความเยื้องศูนย์ และสมการของเส้นกำกับของไฮเปอร์โบลานี้

หาจุดตัดทั้งหมดของไฮเปอร์โบลาที่มีวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด หากวงกลมนี้ผ่านจุดโฟกัสของไฮเปอร์โบลา

สร้างไฮเปอร์โบลา เส้นกำกับและวงกลมของมัน

ที่ไหน กเอ(6;-2), บี(-8;12) สารละลาย. เขียนสมการของไฮเปอร์โบลาที่ต้องการในรูปแบบมาตรฐาน- ครึ่งแกนจริงของไฮเปอร์โบลา กและ ในข-

กึ่งแกนจินตภาพ การทดแทนพิกัดของจุดต่างๆ

ในสมการนี้ เราพบครึ่งแกนเหล่านี้:

– สมการไฮเปอร์โบลา: .

ครึ่งแกน a=4,

ทางยาวโฟกัส โฟกัส (-8.0) และ (8.0)

ความเยื้องศูนย์

เส้นกำกับ:

หากวงกลมผ่านจุดกำเนิด สมการของมันจะเป็นดังนี้

แทนที่จุดโฟกัสจุดใดจุดหนึ่ง เราจะพบสมการของวงกลม

ค้นหาจุดตัดของไฮเปอร์โบลาและวงกลม: /8 (0   เราสร้างภาพวาด:

วาดรูป.ในโจทย์ข้อ 61-80 ให้สร้างกราฟของฟังก์ชันในระบบพิกัดเชิงขั้วทีละจุด โดยให้ค่า  ตลอดช่วง 

2). ค้นหาสมการของเส้นตรงในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม (แกนบวกของเส้นแอบซิสซาเกิดขึ้นพร้อมกับแกนขั้วโลก และขั้วกับจุดกำเนิด)	φ ,	มาสร้างบรรทัดทีละจุดโดยกรอกตารางค่าและ φ ก่อนหน้านี้			2). ค้นหาสมการของเส้นตรงในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม (แกนบวกของเส้นแอบซิสซาเกิดขึ้นพร้อมกับแกนขั้วโลก และขั้วกับจุดกำเนิด)	φ , ตัวเลข	φ, องศา
								3∙(x 2 +2∙1x + 1) -3∙1 = 3(x+1) 2 - 3 เราสรุปได้ว่าสมการนี้กำหนดวงรี: มีการให้คะแนน เอ,ใน , ซีดี . จำเป็นต้องค้นหา: 1. สมการระนาบ (ถาม), ผ่านจุดต่างๆ ก, บี, ซี บีในเครื่องบิน (ถาม); 2. สมการเส้น (ฉัน),ผ่านจุดต่างๆ ในและ ง; 3. มุมระหว่างระนาบ (ถาม)และตรง (ฉัน); 4. สมการระนาบ (ป)ผ่านจุดหนึ่ง กตั้งฉากกับเส้นตรง (ฉัน); 5. มุมระหว่างระนาบ (ป)และ (ถาม) ; 6. สมการของเส้น (ท)ผ่านจุดหนึ่ง กในทิศทางของเวกเตอร์รัศมี 7. มุมระหว่างเส้นตรง (ฉัน)และ (ท). เอ(9;-8;1), บี(-9;4;5), ค(9;-5;5),บี(6;4;0) 1. สมการระนาบ (ถาม), ผ่านจุดต่างๆ ก, บี, ซีและตรวจสอบว่าประเด็นอยู่หรือไม่ บีในระนาบถูกกำหนดโดยสูตร ค้นหา: 1) . 2) สี่เหลี่ยมสี่เหลี่ยมด้านขนาน, สร้าง บนและ. 3) ปริมาตรของขนาน สร้าง บน เวกเตอร์, และ. ควบคุม งานในหัวข้อ " องค์ประกอบทฤษฎีปริภูมิเชิงเส้น... คำแนะนำระเบียบวิธีในการทำแบบทดสอบระดับปริญญาตรีนอกเวลาในวุฒิการศึกษา 080100 62 ในทิศทาง คำแนะนำที่เป็นระบบ ขนานและปริมาตรของปิรามิด สร้าง บน เวกเตอร์, และ. วิธีแก้ไข: 2-=2(1;1;1)-(2;1;4)= (2;2;2)-(2;1;4)=(0;1;-2)... . - - - 4. งานเพื่อ ควบคุม ได้ผลส่วนที่ 1 เชิงเส้น พีชคณิต- 1 – 10. ให้ไว้...

ในบทนี้ เราจะดูการดำเนินการกับเวกเตอร์อีกสองรายการ: ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์และ ผลคูณของเวกเตอร์ (ลิงค์ทันทีสำหรับผู้ที่ต้องการมัน)- ไม่เป็นไร บางครั้งมันก็เกิดขึ้นเพื่อความสุขที่สมบูรณ์นอกเหนือจากนั้น ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์จำเป็นต้องมีมากขึ้นเรื่อยๆ นี่คือการเสพติดเวกเตอร์ อาจดูเหมือนว่าเรากำลังเข้าสู่ป่าแห่งเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ นี่เป็นสิ่งที่ผิด ในคณิตศาสตร์ชั้นสูงส่วนนี้ โดยทั่วไปแล้วจะมีไม้เพียงเล็กน้อย ยกเว้นบางทีอาจจะเพียงพอสำหรับพินอคคิโอ ในความเป็นจริงวัสดุนี้เป็นเรื่องธรรมดาและเรียบง่าย - แทบจะไม่ซับซ้อนไปกว่านี้อีกแล้ว ผลิตภัณฑ์ดอทจะมีงานทั่วไปน้อยลงด้วยซ้ำ สิ่งสำคัญในเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ อย่างที่หลายคนเชื่อหรือเชื่ออยู่แล้ว ไม่ใช่การทำผิดพลาดในการคำนวณ ทำซ้ำเหมือนมนต์สะกดแล้วคุณจะมีความสุข =)

หากเวกเตอร์ส่องแสงอยู่ที่ไหนสักแห่งที่อยู่ห่างไกล เช่น ฟ้าแลบบนขอบฟ้า ก็ไม่สำคัญ ให้เริ่มด้วยบทเรียน เวกเตอร์สำหรับหุ่นจำลองเพื่อฟื้นฟูหรือรับความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับเวกเตอร์ ผู้อ่านที่เตรียมพร้อมมากขึ้นสามารถทำความคุ้นเคยกับข้อมูลแบบคัดเลือกได้ ฉันพยายามรวบรวมตัวอย่างที่สมบูรณ์ที่สุดที่มักพบในงานภาคปฏิบัติ

อะไรจะทำให้คุณมีความสุขทันที? เมื่อตอนที่ฉันยังเด็ก ฉันสามารถเล่นปาหี่ลูกบอลสองหรือสามลูกได้ มันได้ผลดี ตอนนี้คุณไม่จำเป็นต้องเล่นปาหี่เลยเพราะเราจะพิจารณา เวกเตอร์เชิงพื้นที่เท่านั้นและเวกเตอร์แฟลตที่มีพิกัดสองพิกัดจะถูกละไว้ ทำไม นี่คือที่มาของการกระทำเหล่านี้ - เวกเตอร์และผลคูณผสมของเวกเตอร์ถูกกำหนดและทำงานในพื้นที่สามมิติ ง่ายกว่านี้แล้ว!

การดำเนินการนี้เหมือนกับผลคูณสเกลาร์ที่เกี่ยวข้อง เวกเตอร์สองตัว- ปล่อยให้สิ่งเหล่านี้เป็นตัวอักษรที่ไม่เน่าเปื่อย

การกระทำนั้นเอง แสดงโดยดังนี้: . มีตัวเลือกอื่นๆ แต่ฉันคุ้นเคยกับการแทนผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ด้วยวิธีนี้ในวงเล็บเหลี่ยมที่มีเครื่องหมายกากบาท

และทันที คำถาม: ถ้าเข้า. ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เวกเตอร์สองตัวเกี่ยวข้องกัน และตรงนี้เวกเตอร์สองตัวก็คูณด้วย อะไรคือความแตกต่าง- ความแตกต่างที่ชัดเจนประการแรกคือในผลลัพธ์:

ผลลัพธ์ของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์คือ NUMBER:

ผลลัพธ์ของผลคูณไขว้ของเวกเตอร์คือ VECTOR: นั่นคือเราคูณเวกเตอร์แล้วได้เวกเตอร์อีกครั้ง สโมสรปิด. ที่จริงแล้วนี่คือที่มาของชื่อของการดำเนินการ ในวรรณกรรมด้านการศึกษาต่างๆ การกำหนดอาจแตกต่างกันไป ฉันจะใช้ตัวอักษร

คำจำกัดความของผลิตภัณฑ์ข้าม

อันดับแรกจะมีคำจำกัดความพร้อมรูปภาพแล้วแสดงความคิดเห็น

คำนิยาม: สินค้าเวกเตอร์ ไม่ใช่คอลลิเนียร์เวกเตอร์, ดำเนินการตามลำดับนี้เรียกว่าเวกเตอร์ ความยาวซึ่งเป็นตัวเลข เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานสร้างขึ้นจากเวกเตอร์เหล่านี้ เวกเตอร์ ตั้งฉากกับเวกเตอร์และได้รับการกำกับเพื่อให้พื้นฐานมีทิศทางที่ถูกต้อง:

เรามาแจกแจงคำจำกัดความกันดีกว่า มีสิ่งที่น่าสนใจมากมายที่นี่!

ดังนั้นจึงสามารถเน้นประเด็นสำคัญต่อไปนี้ได้:

1) เวกเตอร์ดั้งเดิม ระบุด้วยลูกศรสีแดง ตามคำจำกัดความ ไม่ใช่แนวตรง- จะเหมาะสมที่จะพิจารณากรณีของเวกเตอร์คอลลิเนียร์ในภายหลังเล็กน้อย

2) ถ่ายเวกเตอร์ ตามลำดับที่กำหนดไว้อย่างเคร่งครัด: – "a" คูณด้วย "เป็น"และไม่ใช่ "เป็น" กับ "a" ผลลัพธ์ของการคูณเวกเตอร์คือ VECTOR ซึ่งระบุด้วยสีน้ำเงิน หากคูณเวกเตอร์ในลำดับย้อนกลับ เราจะได้เวกเตอร์ที่มีความยาวเท่ากันและมีทิศทางตรงกันข้าม (สีราสเบอร์รี่) นั่นคือความเท่าเทียมกันเป็นจริง .

3) ตอนนี้เรามาทำความคุ้นเคยกับความหมายทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์กันดีกว่า นี่เป็นจุดสำคัญมาก! ความยาวของเวกเตอร์สีน้ำเงิน (และด้วยเหตุนี้จึงเป็นเวกเตอร์สีแดงเข้ม) จึงเป็นตัวเลขเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์ ในรูป สี่เหลี่ยมด้านขนานนี้เป็นสีเทาดำ

บันทึก : การวาดภาพเป็นแผนผังและโดยธรรมชาติแล้วความยาวเล็กน้อยของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ไม่เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ให้เรานึกถึงสูตรเรขาคณิตสูตรหนึ่ง: พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับผลคูณของด้านที่อยู่ติดกันและไซน์ของมุมระหว่างด้านเหล่านั้น- ดังนั้น จากสูตรข้างต้น สูตรคำนวณ LENGTH ของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จึงใช้ได้:

ฉันขอย้ำว่าสูตรนี้เกี่ยวกับ LENGTH ของเวกเตอร์ และไม่เกี่ยวกับเวกเตอร์นั้นเอง ความหมายเชิงปฏิบัติคืออะไร? และความหมายก็คือในปัญหาของเรขาคณิตวิเคราะห์ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานมักพบผ่านแนวคิดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:

ขอให้เราได้สูตรสำคัญที่สอง เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน (เส้นประสีแดง) แบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปเท่าๆ กัน ดังนั้นจึงสามารถหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่สร้างบนเวกเตอร์ (การแรเงาสีแดง) ได้โดยใช้สูตร:

4) ข้อเท็จจริงที่สำคัญไม่แพ้กันก็คือ เวกเตอร์นั้นตั้งฉากกับเวกเตอร์ นั่นก็คือ - แน่นอนว่า เวกเตอร์ที่มีทิศทางตรงกันข้าม (ลูกศรราสเบอร์รี่) ก็มีตั้งฉากกับเวกเตอร์ดั้งเดิมเช่นกัน

5) เวกเตอร์ถูกกำหนดทิศทางเช่นนั้น พื้นฐานมี ขวาปฐมนิเทศ. ในบทเรียนเกี่ยวกับ การเปลี่ยนไปสู่พื้นฐานใหม่ฉันพูดรายละเอียดเพียงพอเกี่ยวกับ การวางแนวเครื่องบินและตอนนี้เราจะหาว่าการวางแนวของอวกาศคืออะไร ฉันจะอธิบายบนนิ้วของคุณ มือขวา- ประสานจิต นิ้วชี้ด้วยเวกเตอร์และ นิ้วกลางด้วยเวกเตอร์ นิ้วนางและนิ้วก้อยกดมันลงบนฝ่ามือของคุณ ส่งผลให้ นิ้วหัวแม่มือ– ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จะค้นหาขึ้น นี่เป็นพื้นฐานที่ถูกต้อง (นี่คืออันนี้ในรูป) ตอนนี้เปลี่ยนเวกเตอร์ ( นิ้วชี้และนิ้วกลาง) ในบางสถานที่ ผลก็คือ นิ้วหัวแม่มือจะหมุน และผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จะมองลงมาแล้ว นี่เป็นพื้นฐานที่ถูกต้องเช่นกัน คุณอาจมีคำถาม: พื้นฐานใดที่ออกจากการปฐมนิเทศ? “กำหนด” ให้เป็นนิ้วเดียวกัน มือซ้ายเวกเตอร์ และรับพื้นฐานด้านซ้ายและการวางแนวด้านซ้ายของปริภูมิ (ในกรณีนี้นิ้วหัวแม่มือจะอยู่ในทิศทางของเวกเตอร์ด้านล่าง)- หากพูดเป็นรูปเป็นร่าง ฐานเหล่านี้จะ "บิด" หรือปรับทิศทางพื้นที่ไปในทิศทางที่ต่างกัน และแนวคิดนี้ไม่ควรถือเป็นสิ่งที่ลึกซึ้งหรือเป็นนามธรรม - ตัวอย่างเช่น การวางแนวของอวกาศถูกเปลี่ยนโดยกระจกธรรมดาที่สุด และหากคุณ "ดึงวัตถุที่สะท้อนออกจากกระจกมอง" ในกรณีทั่วไป จะไม่สามารถรวมเข้ากับ "ต้นฉบับ" ได้ ยังไงก็ตาม ชูสามนิ้วขึ้นไปที่กระจกแล้ววิเคราะห์การสะท้อน ;-)

...ตอนนี้คุณรู้ดีแค่ไหนแล้ว ไปทางขวาและซ้ายฐานเพราะคำพูดของอาจารย์บางคนเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงการวางแนวนั้นน่ากลัว =)

ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์คอลลิเนียร์

มีการพูดคุยถึงคำจำกัดความโดยละเอียดแล้ว ยังคงต้องค้นหาว่าจะเกิดอะไรขึ้นเมื่อเวกเตอร์อยู่ในแนวเดียวกัน หากเวกเตอร์อยู่ในแนวเดียวกัน ก็สามารถวางพวกมันบนเส้นตรงเส้นเดียวได้ และสี่เหลี่ยมด้านขนานของเราก็จะ "พับ" ให้เป็นเส้นตรงเส้นเดียวด้วย ดังที่นักคณิตศาสตร์กล่าวว่า เสื่อมโทรมสี่เหลี่ยมด้านขนานมีค่าเท่ากับศูนย์ ตามสูตรเดียวกัน - ไซน์ของศูนย์หรือ 180 องศาเท่ากับศูนย์ ซึ่งหมายความว่าพื้นที่เป็นศูนย์

ดังนั้น ถ้า แล้ว และ - โปรดทราบว่าผลคูณไขว้นั้นเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์ แต่ในทางปฏิบัติมักถูกละเลยและเขียนไว้ว่ามันเท่ากับศูนย์ด้วย

กรณีพิเศษคือผลคูณไขว้ของเวกเตอร์กับตัวมันเอง:

เมื่อใช้ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ คุณสามารถตรวจสอบความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์สามมิติได้ และเราจะวิเคราะห์ปัญหานี้และอื่นๆ ด้วย

เพื่อแก้ตัวอย่างเชิงปฏิบัติที่คุณอาจต้องการ ตารางตรีโกณมิติเพื่อหาค่าของไซน์จากมัน

มาจุดไฟกันเถอะ:

ตัวอย่างที่ 1

ก) จงหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ ถ้า

b) ค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์ ถ้า

สารละลาย: ไม่ นี่ไม่ใช่การพิมพ์ผิด ฉันจงใจทำให้ข้อมูลเริ่มต้นในส่วนคำสั่งเหมือนกัน เพราะการออกแบบโซลูชั่นจะแตกต่างออกไป!

ก) ตามเงื่อนไขคุณต้องค้นหา ความยาวเวกเตอร์ (ผลคูณข้าม) ตามสูตรที่เกี่ยวข้อง:

คำตอบ:

เนื่องจากคำถามเกี่ยวกับความยาว เราจึงระบุมิติในหน่วยคำตอบ

b) ตามเงื่อนไขคุณต้องค้นหา สี่เหลี่ยมสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างจากเวกเตอร์ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้เป็นตัวเลขเท่ากับความยาวของผลคูณเวกเตอร์:

คำตอบ:

โปรดทราบว่าคำตอบไม่ได้พูดถึงผลิตภัณฑ์เวกเตอร์เลย พื้นที่ของรูปดังนั้น มิติข้อมูลจึงเป็นหน่วยสี่เหลี่ยม

เรามักจะมองหาสิ่งที่เราต้องค้นหาตามเงื่อนไข และจากสิ่งนี้ เราจึงกำหนดสูตรขึ้นมา ชัดเจนคำตอบ. อาจดูเหมือนเป็นวรรณกรรมตามตัวอักษร แต่มีครูที่เป็นวรรณกรรมจำนวนมาก และงานที่ได้รับมอบหมายก็มีโอกาสดีที่จะถูกส่งกลับเพื่อแก้ไข แม้ว่านี่จะไม่ใช่การพูดเล่นที่ลึกซึ้งนัก แต่หากคำตอบไม่ถูกต้อง เราก็จะรู้สึกว่าบุคคลนั้นไม่เข้าใจสิ่งง่ายๆ และ/หรือไม่เข้าใจแก่นแท้ของงาน ประเด็นนี้จะต้องถูกควบคุมเสมอเมื่อแก้ไขปัญหาใดๆ ในคณิตศาสตร์ขั้นสูงและในวิชาอื่นๆ ด้วย

ตัวอักษรตัวใหญ่ “en” หายไปไหน? โดยหลักการแล้ว มันอาจจะแนบมากับโซลูชันเพิ่มเติมได้ แต่เพื่อที่จะย่อรายการให้สั้นลง ฉันไม่ได้ทำเช่นนี้ ฉันหวังว่าทุกคนจะเข้าใจสิ่งนั้นและเป็นการกำหนดสิ่งเดียวกัน

ตัวอย่างยอดนิยมสำหรับโซลูชัน DIY:

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่สร้างจากเวกเตอร์ถ้า

สูตรการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมผ่านผลคูณเวกเตอร์มีระบุไว้ในความคิดเห็นต่อคำจำกัดความ คำตอบและคำตอบอยู่ท้ายบทเรียน

ในทางปฏิบัติ งานนี้เป็นเรื่องธรรมดามาก โดยทั่วไปแล้ว รูปสามเหลี่ยมสามารถทรมานคุณได้

เพื่อแก้ไขปัญหาอื่น ๆ เราจะต้อง:

คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์

เราได้พิจารณาคุณสมบัติบางอย่างของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์แล้ว แต่ฉันจะรวมคุณสมบัติเหล่านี้ไว้ในรายการนี้

สำหรับเวกเตอร์ที่กำหนดเองและตัวเลขที่กำหนดเอง คุณสมบัติต่อไปนี้เป็นจริง:

1) ในแหล่งข้อมูลอื่นๆ รายการนี้มักจะไม่ได้เน้นในคุณสมบัติ แต่มีความสำคัญมากในแง่การปฏิบัติ ดังนั้นปล่อยให้มันเป็นไป

2) – ทรัพย์สินดังกล่าวยังกล่าวถึงข้างต้นบางครั้งเรียกว่า การต่อต้านคอมมิวทิตี- กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลำดับของเวกเตอร์มีความสำคัญ

3) – เชื่อมโยงหรือ เชื่อมโยงกฎหมายผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ค่าคงที่สามารถเคลื่อนย้ายออกไปนอกผลคูณเวกเตอร์ได้อย่างง่ายดาย จริงๆ แล้วพวกเขาควรทำอะไรที่นั่น?

4) – การจำหน่ายหรือ การกระจายกฎหมายผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ไม่มีปัญหาในการเปิดวงเล็บเช่นกัน

เพื่อสาธิต ลองดูตัวอย่างสั้นๆ:

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาว่า

สารละลาย:เงื่อนไขนี้จำเป็นต้องค้นหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์อีกครั้ง มาวาดภาพจิ๋วของเรากันเถอะ:

(1) ตามกฎการเชื่อมโยง เราใช้ค่าคงที่อยู่นอกขอบเขตของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

(2) เราใช้ค่าคงที่ภายนอกโมดูล และโมดูล "กิน" เครื่องหมายลบ ความยาวต้องไม่เป็นลบ

(3) ส่วนที่เหลือชัดเจน

คำตอบ:

ถึงเวลาเพิ่มฟืนลงในกองไฟแล้ว:

ตัวอย่างที่ 4

คำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่สร้างจากเวกเตอร์ถ้า

สารละลาย: หาพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยใช้สูตร - สิ่งที่จับได้ก็คือเวกเตอร์ "tse" และ "de" นั้นถูกนำเสนอเป็นผลรวมของเวกเตอร์ อัลกอริทึมที่นี่เป็นมาตรฐานและค่อนข้างชวนให้นึกถึงตัวอย่างหมายเลข 3 และ 4 ของบทเรียน ผลคูณดอทของเวกเตอร์- เพื่อความชัดเจน เราจะแบ่งวิธีแก้ปัญหาออกเป็นสามขั้นตอน:

1) ในขั้นตอนแรก เราแสดงผลคูณเวกเตอร์ผ่านผลคูณเวกเตอร์ อันที่จริง ลองเขียนเวกเตอร์ในรูปของเวกเตอร์กัน- ยังไม่มีคำว่ายาว!

(1) แทนนิพจน์ของเวกเตอร์

(2) ใช้กฎการกระจาย เราจะเปิดวงเล็บตามกฎการคูณพหุนาม

(3) การใช้กฎเชื่อมโยง เราย้ายค่าคงที่ทั้งหมดไปไกลกว่าผลคูณเวกเตอร์ ด้วยประสบการณ์เพียงเล็กน้อยก็สามารถดำเนินการขั้นตอนที่ 2 และ 3 พร้อมกันได้

(4) เทอมแรกและเทอมสุดท้ายมีค่าเท่ากับศูนย์ (เวกเตอร์ศูนย์) เนื่องจากคุณสมบัติที่ดี ในระยะที่สอง เราใช้คุณสมบัติของการต่อต้านการเปลี่ยนแปลงของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:

(5) เรานำเสนอข้อกำหนดที่คล้ายกัน

เป็นผลให้เวกเตอร์กลายเป็นเวกเตอร์ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นจะต้องทำให้สำเร็จ:

2) ในขั้นตอนที่สอง เราจะหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ที่เราต้องการ การดำเนินการนี้คล้ายกับตัวอย่างที่ 3:

3) ค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่ต้องการ:

ขั้นที่ 2-3 ของการแก้ปัญหาสามารถเขียนเป็นบรรทัดเดียวได้

คำตอบ:

ปัญหาที่พิจารณานั้นค่อนข้างบ่อยในการทดสอบ นี่คือตัวอย่างสำหรับการแก้ไขด้วยตัวเอง:

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาว่า

คำตอบสั้น ๆ และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน มาดูกันว่าคุณใส่ใจแค่ไหนเมื่อศึกษาตัวอย่างก่อนหน้านี้ ;-)

ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์ในพิกัด

ระบุไว้ตามหลักออร์โธนอร์มอล แสดงโดยสูตร:

สูตรนั้นง่ายมาก: ในบรรทัดบนสุดของดีเทอร์มิแนนต์เราเขียนเวกเตอร์พิกัดในบรรทัดที่สองและสามเรา "ใส่" พิกัดของเวกเตอร์แล้วใส่ ตามลำดับที่เข้มงวด– ขั้นแรกพิกัดของเวกเตอร์ “ve” ตามด้วยพิกัดของเวกเตอร์ “double-ve” หากจำเป็นต้องคูณเวกเตอร์ในลำดับอื่น ควรสลับแถว:

ตัวอย่างที่ 10

ตรวจสอบว่าเวกเตอร์อวกาศต่อไปนี้เป็นเส้นตรงหรือไม่:
ก)
ข)

สารละลาย: การตรวจสอบจะขึ้นอยู่กับข้อความใดข้อความหนึ่งในบทเรียนนี้: ถ้าเวกเตอร์อยู่ในแนวเดียวกัน ผลคูณของเวกเตอร์จะเท่ากับศูนย์ (เวกเตอร์ศูนย์): .

ก) ค้นหาผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:

ดังนั้นเวกเตอร์จึงไม่อยู่ในแนวเดียวกัน

b) ค้นหาผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:

คำตอบ: ก) ไม่ใช่เส้นตรง b)

นี่อาจเป็นข้อมูลพื้นฐานทั้งหมดเกี่ยวกับผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์

ส่วนนี้จะไม่ใหญ่มาก เนื่องจากมีปัญหาเล็กน้อยในการใช้ผลคูณของเวกเตอร์ผสม ในความเป็นจริงทุกอย่างจะขึ้นอยู่กับคำจำกัดความ ความหมายทางเรขาคณิต และสูตรการทำงานสองสามสูตร

ผลคูณของเวกเตอร์คือผลคูณของเวกเตอร์สามตัว:

ดังนั้นพวกเขาจึงเข้าแถวเหมือนรถไฟและแทบรอไม่ไหวที่จะถูกระบุตัวตน

ประการแรก อีกครั้ง คำจำกัดความและรูปภาพ:

คำนิยาม: งานผสม ไม่ใช่ระนาบเวกเตอร์, ดำเนินการตามลำดับนี้, เรียกว่า ปริมาตรที่ขนานกันสร้างขึ้นบนเวกเตอร์เหล่านี้ โดยมีเครื่องหมาย “+” หากฐานถูกต้อง และเครื่องหมาย “–” หากเหลือฐาน

มาวาดรูปกันเถอะ เส้นที่เรามองไม่เห็นนั้นถูกวาดด้วยเส้นประ:

มาดำดิ่งสู่คำจำกัดความ:

2) ถ่ายเวกเตอร์ ในลำดับที่แน่นอนนั่นคือการจัดเรียงเวกเตอร์ในผลิตภัณฑ์ใหม่ตามที่คุณอาจเดาได้จะไม่เกิดขึ้นโดยไม่มีผลกระทบ

3) ก่อนที่จะแสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับความหมายทางเรขาคณิต ฉันจะทราบข้อเท็จจริงที่ชัดเจน: ผลคูณผสมของเวกเตอร์คือ NUMBER- ในวรรณกรรมด้านการศึกษาการออกแบบอาจแตกต่างกันเล็กน้อย ฉันคุ้นเคยกับการแสดงถึงผลิตภัณฑ์แบบผสม และผลลัพธ์ของการคำนวณด้วยตัวอักษร "pe"

ตามคำนิยาม ผลคูณที่ผสมคือปริมาตรของเส้นขนานสร้างขึ้นจากเวกเตอร์ (รูปวาดด้วยเวกเตอร์สีแดงและเส้นสีดำ) นั่นคือจำนวนเท่ากับปริมาตรของเส้นขนานที่กำหนด

บันทึก : ภาพวาดเป็นแผนผัง

4) ไม่ต้องกังวลเกี่ยวกับแนวคิดเรื่องการวางแนวของพื้นฐานและพื้นที่อีกต่อไป ความหมายของส่วนสุดท้ายคือสามารถเพิ่มเครื่องหมายลบลงในโวลุ่มได้ พูดง่ายๆ ก็คือ ผลิตภัณฑ์แบบผสมอาจเป็นค่าลบ:

โดยตรงจากคำจำกัดความตามสูตรในการคำนวณปริมาตรของเส้นขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์

ในบทความนี้ เราจะกล่าวถึงรายละเอียดเกี่ยวกับแนวคิดเรื่องผลคูณไขว้ของเวกเตอร์สองตัว เราจะให้คำจำกัดความที่จำเป็น เขียนสูตรสำหรับค้นหาพิกัดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ แสดงรายการและปรับคุณสมบัติของมัน หลังจากนี้ เราจะเน้นไปที่ความหมายทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัว และพิจารณาวิธีแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่างทั่วไปต่างๆ

การนำทางหน้า

คำจำกัดความของผลิตภัณฑ์ข้าม

ก่อนที่จะกำหนดผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ มาทำความเข้าใจการวางแนวของเวกเตอร์สามลำดับในปริภูมิสามมิติก่อน

ลองพลอตเวกเตอร์จากจุดหนึ่งกัน ทั้งสามสามารถไปทางขวาหรือซ้ายก็ได้ ขึ้นอยู่กับทิศทางของเวกเตอร์ ลองดูจากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ว่าการเปลี่ยนจากเวกเตอร์ไปเป็นช่วงที่สั้นที่สุดเป็นอย่างไร หากการหมุนที่สั้นที่สุดเกิดขึ้นทวนเข็มนาฬิกา จะเรียกเวกเตอร์สามเท่า ขวา, มิฉะนั้น - ซ้าย.

ทีนี้ลองหาเวกเตอร์ที่ไม่ใช่คอลลิเนียร์สองตัวและ ให้เราพล็อตเวกเตอร์และจากจุด A ลองสร้างเวกเตอร์ตั้งฉากกับทั้ง และ และ แน่นอนว่า เมื่อสร้างเวกเตอร์ เราสามารถทำได้สองสิ่ง โดยกำหนดให้เป็นทิศทางเดียวหรือตรงกันข้าม (ดูภาพประกอบ)

ขึ้นอยู่กับทิศทางของเวกเตอร์ ทริปเปิลลำดับของเวกเตอร์สามารถเป็นแบบทางขวาหรือทางซ้ายก็ได้

นี่ทำให้เราเข้าใกล้คำจำกัดความของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์มากขึ้น มันถูกกำหนดไว้สำหรับเวกเตอร์สองตัวที่ให้มา ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมพื้นที่สามมิติ

คำนิยาม.

ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์สองตัวและ ที่ระบุในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมของปริภูมิสามมิติ เรียกว่าเวกเตอร์เช่นนั้น

ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์ และแสดงเป็น

พิกัดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

ตอนนี้เราจะให้คำจำกัดความที่สองของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ซึ่งช่วยให้คุณสามารถค้นหาพิกัดของมันจากพิกัดของเวกเตอร์ที่กำหนดและ

คำนิยาม.

ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมของปริภูมิสามมิติ ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัว และ คือเวกเตอร์ โดยที่เวกเตอร์พิกัดอยู่ที่ไหน

คำจำกัดความนี้ให้ผลคูณไขว้ในรูปแบบพิกัด

เป็นการสะดวกที่จะแสดงผลคูณเวกเตอร์เป็นตัวดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จตุรัสอันดับสาม แถวแรกคือเวกเตอร์ แถวที่สองประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์ และแถวที่สามประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์ในตำแหน่งที่กำหนด ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม:

หากเราขยายดีเทอร์มิแนนต์นี้เป็นองค์ประกอบของแถวแรก เราจะได้ค่าความเท่าเทียมกันจากคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ในพิกัด (หากจำเป็น โปรดดูบทความ):

ควรสังเกตว่ารูปแบบพิกัดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์นั้นสอดคล้องกับคำจำกัดความที่ให้ไว้ในย่อหน้าแรกของบทความนี้อย่างสมบูรณ์ นอกจากนี้ คำจำกัดความทั้งสองนี้ของผลิตภัณฑ์ข้ามก็เทียบเท่ากัน คุณสามารถดูข้อพิสูจน์ข้อเท็จจริงนี้ได้ในหนังสือที่แสดงอยู่ท้ายบทความ

คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

เนื่องจากผลคูณเวกเตอร์ในพิกัดสามารถแสดงเป็นดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ได้ จึงสามารถให้เหตุผลต่อไปนี้บนพื้นฐานได้อย่างง่ายดาย คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ครอส:

ตัวอย่างเช่น ขอให้เราพิสูจน์คุณสมบัติต้านการเปลี่ยนแปลงของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

ตามคำนิยาม และ - เรารู้ว่าค่าของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จะกลับกันหากมีการสลับสองแถว ดังนั้น ซึ่งพิสูจน์คุณสมบัติต้านการเปลี่ยนแปลงของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ - ตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหา

ปัญหาส่วนใหญ่มีสามประเภท

ในโจทย์ประเภทแรก จะต้องระบุความยาวของเวกเตอร์สองตัวและมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านั้น และคุณจำเป็นต้องค้นหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ ในกรณีนี้จะใช้สูตร .

ตัวอย่าง.

ค้นหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ และ หากทราบ .

วาดรูป.

เรารู้จากคำจำกัดความว่าความยาวของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ และ เท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์และด้วยไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน ดังนั้น .

คำตอบ:

.

ปัญหาประเภทที่สองเกี่ยวข้องกับพิกัดของเวกเตอร์ โดยค้นหาผลคูณของเวกเตอร์ ความยาวหรือสิ่งอื่นใดผ่านพิกัดของเวกเตอร์ที่กำหนด และ .

มีตัวเลือกต่างๆ มากมายที่เป็นไปได้ที่นี่ ตัวอย่างเช่น ไม่ใช่พิกัดของเวกเตอร์และสามารถระบุได้ แต่สามารถขยายเป็นเวกเตอร์พิกัดของแบบฟอร์มได้ และ หรือเวกเตอร์ และสามารถระบุได้ด้วยพิกัดของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด

ลองดูตัวอย่างทั่วไป

ตัวอย่าง.

เวกเตอร์สองตัวจะได้รับในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม - ค้นหาผลิตภัณฑ์ข้ามของพวกเขา

วาดรูป.

ตามคำจำกัดความที่สอง ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัวในพิกัดจะถูกเขียนเป็น:

เราคงจะได้ผลลัพธ์เดียวกันนี้ถ้าผลคูณเวกเตอร์ถูกเขียนในรูปของดีเทอร์มิแนนต์

คำตอบ:

.

ตัวอย่าง.

ค้นหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ และ โดยที่ เวกเตอร์หน่วยของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าอยู่ที่ไหน

วาดรูป.

อันดับแรก เราจะหาพิกัดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมที่กำหนด

เนื่องจากเวกเตอร์และมีพิกัดและตามลำดับ (หากจำเป็นดูบทความ พิกัดเวกเตอร์ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม) จากนั้นตามคำจำกัดความที่สองของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ที่เรามี

นั่นคือผลคูณเวกเตอร์ มีพิกัดในระบบพิกัดที่กำหนด

เราค้นหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์เป็นรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของพิกัด (เราได้รับสูตรนี้สำหรับความยาวของเวกเตอร์ในส่วนนี้ การหาความยาวของเวกเตอร์):

คำตอบ:

.

ตัวอย่าง.

ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม พิกัดสามจุดจะถูกให้มา ค้นหาเวกเตอร์ที่ตั้งฉากและในเวลาเดียวกัน

วาดรูป.

เวกเตอร์และมีพิกัดและตามลำดับ (ดูบทความ การหาพิกัดเวกเตอร์ผ่านพิกัดจุด- หากเราพบผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ และ ตามนิยามแล้ว มันคือเวกเตอร์ตั้งฉากกับทั้ง ถึง และ ถึง นั่นคือ มันเป็นวิธีแก้ปัญหาของเรา มาหาเขากันเถอะ

คำตอบ:

- หนึ่งในเวกเตอร์ตั้งฉาก

ในปัญหาประเภทที่สามจะมีการทดสอบทักษะในการใช้คุณสมบัติของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ หลังจากใช้คุณสมบัติแล้ว จะใช้สูตรที่เกี่ยวข้องกัน

ตัวอย่าง.

เวกเตอร์ และ ตั้งฉากกัน และมีความยาวเท่ากับ 3 และ 4 ตามลำดับ หาความยาวของผลคูณกากบาท .

วาดรูป.

ด้วยคุณสมบัติการกระจายของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ เราสามารถเขียนได้

เนื่องจากคุณสมบัติเชิงผสม เราจึงนำค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขออกจากเครื่องหมายของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ในนิพจน์สุดท้าย:

ผลคูณเวกเตอร์และมีค่าเท่ากับศูนย์เนื่องจาก และ , แล้ว .

เนื่องจากผลคูณเวกเตอร์เป็นแบบต้านการสับเปลี่ยน ดังนั้น

ดังนั้น เมื่อใช้คุณสมบัติของผลคูณเวกเตอร์ เราจึงได้ความเท่าเทียมกัน .

ตามเงื่อนไข เวกเตอร์ และ ตั้งฉาก นั่นคือ มุมระหว่างพวกมันเท่ากับ . นั่นคือเรามีข้อมูลทั้งหมดเพื่อค้นหาความยาวที่ต้องการ

คำตอบ:

.

ความหมายทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

ตามคำนิยาม ความยาวของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์คือ - และจากหลักสูตรเรขาคณิตระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย เรารู้ว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวของด้านทั้งสองของรูปสามเหลี่ยมและไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน ดังนั้นความยาวของผลคูณเวกเตอร์จึงเท่ากับสองเท่าของพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีด้านเป็นเวกเตอร์ และ หากพวกมันถูกพล็อตจากจุดหนึ่ง กล่าวอีกนัยหนึ่งความยาวของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ และ เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านข้าง และ และมุมระหว่างพวกมันเท่ากับ . นี่คือความหมายทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์