สิ่งที่อยู่ตรงฐานของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน สี่เหลี่ยมขนาน – ไฮเปอร์มาร์เก็ตแห่งความรู้

ในบทนี้ เราจะนิยามรูปขนาน อภิปรายเกี่ยวกับโครงสร้างและองค์ประกอบของมัน (เส้นทแยงมุมของรูปขนาน ด้านของรูปขนาน และคุณสมบัติของมัน) เราจะพิจารณาคุณสมบัติของใบหน้าและเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานด้วย ต่อไปเราจะตัดสินใจ งานทั่วไปเพื่อสร้างส่วนในลักษณะขนาน

หัวข้อ: ความขนานของเส้นและระนาบ

บทเรียน: ขนานกัน คุณสมบัติของใบหน้าและเส้นทแยงมุมของรูปหน้าขนาน

ในบทนี้ เราจะนิยามรูปขนาน อภิปรายเกี่ยวกับโครงสร้าง คุณสมบัติ และองค์ประกอบของมัน (ด้าน, เส้นทแยงมุม)

รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเกิดขึ้นจากรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานสองอันที่เท่ากัน ABCD และ A 1 B 1 C 1 D 1 ซึ่งอยู่ใน ระนาบขนาน- การกำหนด: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 หรือ AD 1 (รูปที่ 1)

2. เทศกาลแนวคิดการสอน "เปิดบทเรียน" ()

1. เรขาคณิต เกรด 10-11: หนังสือเรียนสำหรับนักเรียน สถาบันการศึกษา(พื้นฐานและ ระดับโปรไฟล์) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov - ฉบับที่ 5 แก้ไขและขยาย - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 หน้า: ป่วย

ภารกิจ 10, 11, 12 หน้า 50

2. สร้างส่วนของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCDA1B1C1D1เครื่องบินที่ผ่านจุดต่างๆ:

ก) ก, ค, บี1

ข) B1, D1และตรงกลางซี่โครง AA1.

3. ขอบของลูกบาศก์เท่ากับ a สร้างส่วนของลูกบาศก์โดยมีระนาบผ่านจุดกึ่งกลางของขอบทั้งสามที่โผล่ออกมาจากจุดยอดหนึ่ง แล้วคำนวณเส้นรอบวงและพื้นที่

4. รูปร่างใดที่สามารถได้รับจากการจุดตัดของเส้นขนานกับระนาบ?

ปริซึมรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานคือปริซึมสี่เหลี่ยมที่มีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ความสูงของเส้นขนานคือระยะห่างระหว่างระนาบของฐาน ในรูป ความสูงจะแสดงตามส่วน - Parallepiped มีสองประเภท: แบบตรงและแบบเอียง ตามกฎแล้ว ครูสอนคณิตศาสตร์จะต้องให้คำจำกัดความที่เหมาะสมสำหรับปริซึมก่อน แล้วจึงโอนไปยังปริซึมรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เราก็จะทำเช่นเดียวกัน

ฉันขอเตือนคุณว่าปริซึมจะเรียกว่าตรงถ้าขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐาน ถ้าไม่มีการตั้งฉาก ปริซึมจะเรียกว่าเอียง คำศัพท์นี้ยังสืบทอดมาจากคำว่า Parallelepiped อีกด้วย รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ถูกต้องนั้นไม่มีอะไรมากไปกว่าปริซึมตรงประเภทหนึ่ง ซึ่งขอบด้านข้างตรงกับความสูง คำจำกัดความของแนวคิดเช่นใบหน้า ขอบ และจุดยอด ซึ่งเป็นเรื่องปกติของตระกูลโพลีเฮดราทั้งหมดจะยังคงอยู่ แนวคิดเรื่องใบหน้าที่ตรงกันข้ามปรากฏขึ้น รูปขนานมีด้านตรงข้ามกัน 3 คู่ จุดยอด 8 จุด และขอบ 12 ด้าน

เส้นทแยงมุมของรูปทรงหลายเหลี่ยม (เส้นทแยงมุมของปริซึม) คือส่วนที่เชื่อมระหว่างจุดยอดสองจุดของรูปทรงหลายเหลี่ยมและไม่ได้วางอยู่บนใบหน้าใดๆ

ส่วนในแนวทแยง - ส่วนของเส้นขนานที่ผ่านเส้นทแยงมุมและเส้นทแยงมุมของฐาน

คุณสมบัติของเส้นขนานที่มีความโน้มเอียง:
1) ใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน และด้านตรงข้ามเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากัน
2)เส้นทแยงมุมของเส้นขนานที่ตัดกันที่จุดหนึ่งและแบ่งครึ่ง ณ จุดนี้
3)แต่ละอันที่ขนานกันประกอบด้วยปิรามิดสามเหลี่ยมหกอันที่มีปริมาตรเท่ากัน เพื่อแสดงให้นักเรียนดู ครูสอนคณิตศาสตร์จะต้องตัดครึ่งหนึ่งของส่วนที่ขนานกับเส้นทแยงมุมออกแล้วแบ่งออกเป็นปิรามิด 3 อันแยกกัน รากฐานของพวกเขาจะต้องอยู่ ใบหน้าที่แตกต่างกันขนานเดิม ครูสอนคณิตศาสตร์จะค้นหาการใช้คุณสมบัตินี้ใน เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์- ใช้หาปริมาตรของปิรามิดจากผลคูณของเวกเตอร์

สูตรปริมาตรของทรงขนาน:
1) โดยที่คือพื้นที่ฐาน h คือความสูง
2) ปริมาตรของเส้นขนานเท่ากับผลคูณของพื้นที่หน้าตัดและขอบด้านข้าง
ครูสอนคณิตศาสตร์: ดังที่คุณทราบ สูตรนี้ใช้กันทั่วไปในปริซึมทุกอัน และหากผู้สอนได้พิสูจน์แล้ว ก็ไม่มีประโยชน์ที่จะทำซ้ำสิ่งเดียวกันสำหรับปริซึมที่ขนานกัน อย่างไรก็ตาม เมื่อทำงานกับนักเรียนระดับกลาง (สูตรนี้ไม่มีประโยชน์สำหรับนักเรียนที่อ่อนแอ) ขอแนะนำให้ครูทำตรงกันข้าม ปล่อยปริซึมไว้ตามลำพังและทำการพิสูจน์ปริซึมอย่างระมัดระวัง
3) โดยที่ปริมาตรของหนึ่งในหกนั้นอยู่ที่ไหน ปิรามิดสามเหลี่ยมซึ่งรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานประกอบด้วย
4) ถ้า แล้ว

พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานคือผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าทั้งหมด:
พื้นผิวทั้งหมดของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานคือผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าทั้งหมด นั่นคือ พื้นที่ + พื้นที่สองแห่งของฐาน:

เกี่ยวกับงานของครูสอนพิเศษที่มีความโน้มเอียงขนานกัน:
ครูสอนคณิตศาสตร์มักไม่ค่อยแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการเอียงขนานกัน โอกาสที่จะปรากฏในการสอบ Unified State ค่อนข้างต่ำ และการสอนก็ไม่ดีนัก ปัญหาที่เหมาะสมไม่มากก็น้อยกับปริมาตรของขนานที่เอียงทำให้เกิดปัญหาร้ายแรงที่เกี่ยวข้องกับการกำหนดตำแหน่งของจุด H - ฐานของความสูง ในกรณีนี้ ครูสอนคณิตศาสตร์สามารถแนะนำให้ตัดปิรามิดคู่ขนานให้เป็นหนึ่งในปิรามิดทั้งหก (ซึ่งอธิบายไว้ในคุณสมบัติหมายเลข 3) พยายามหาปริมาตรแล้วคูณด้วย 6

หากขอบด้านข้างของรูปขนานมี มุมเท่ากันโดยที่ด้านข้างของฐาน แล้ว H อยู่บนเส้นแบ่งครึ่งของมุม A ของฐาน ABCD และถ้าตัวอย่างเช่น ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนล่ะก็

งานครูสอนคณิต:
1) ใบหน้าของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีด้านเท่ากัน 2 ซม. และ มุมแหลม- จงหาปริมาตรของทรงขนาน
2) ในแนวขนานที่เอียงขอบด้านข้างคือ 5 ซม. ส่วนที่ตั้งฉากกับมันคือรูปสี่เหลี่ยมที่มีเส้นทแยงมุมตั้งฉากกันซึ่งมีความยาว 6 ซม. และ 8 ซม. คำนวณปริมาตรของเส้นขนาน
3) ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นที่ทราบกันว่า และใน ABCD ฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีด้านยาว 2 ซม. และมีมุม . หาปริมาตรของเส้นขนาน

อเล็กซานเดอร์ โคลปาคอฟ ครูสอนคณิตศาสตร์

หรือ (เทียบเท่า) รูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งมีหกหน้าและแต่ละหน้า - สี่เหลี่ยมด้านขนาน.

ประเภทของขนาน

Parallepiped มีหลายประเภท:

• ทรงลูกบาศก์คือทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีใบหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าทั้งหมด
• เส้นขนานด้านขวาคือเส้นขนานที่มี 4 ใบหน้าด้านข้างสี่เหลี่ยม
• Parallepiped แบบเอียงคือ Parallepiped ที่ด้านข้างไม่ตั้งฉากกับฐาน

องค์ประกอบพื้นฐาน

ด้านสองด้านของด้านขนานที่ไม่มีขอบร่วมเรียกว่าด้านตรงข้าม และด้านที่มีขอบร่วมเรียกว่าด้านติดกัน จุดยอดสองจุดของจุดขนานที่ไม่ได้อยู่ในด้านเดียวกันเรียกว่าตรงกันข้าม ส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดตรงข้ามเรียกว่าเส้นทแยงมุมของจุดยอดคู่ขนาน ความยาวสามขอบของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีจุดยอดร่วมกันเรียกว่ามิติข้อมูล

คุณสมบัติ

• เส้นขนานนั้นมีความสมมาตรประมาณกึ่งกลางของเส้นทแยงมุม
• ส่วนใด ๆ ที่มีปลายที่เป็นของพื้นผิวของเส้นขนานและผ่านตรงกลางของเส้นทแยงมุมจะถูกแบ่งครึ่งด้วย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เส้นทแยงมุมทั้งหมดของจุดตัดคู่ขนานที่จุดหนึ่งและถูกแบ่งออกเป็นสองส่วน
• ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นขนานและเท่ากัน
• กำลังสองของความยาวแนวทแยงของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านขนานมีค่าเท่ากับผลรวมของกำลังสองในสามมิติ

สูตรพื้นฐาน

ขนานกันทางขวา

พื้นที่ผิวด้านข้าง S b =P o *h โดยที่ P o คือเส้นรอบวงของฐาน h คือความสูง

พื้นที่ผิวทั้งหมด S p =S b +2S o โดยที่ S o คือพื้นที่ฐาน

ปริมาณ V=S หรือ *ชม

เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนานกัน

พื้นที่ผิวด้านข้าง S b =2c(a+b) โดยที่ a, b คือด้านข้างของฐาน, c คือขอบด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านขนาน

พื้นที่ผิวทั้งหมดส พี =2(ab+bc+ac)

ปริมาณ V=abc โดยที่ a, b, c คือมิติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

คิวบ์

พื้นที่ผิว: $ส=6ก^2$
ปริมาณ: $วี=ก^3$, ที่ไหน $ก$- ขอบของลูกบาศก์

ขนานใดๆ

ปริมาตรและอัตราส่วนในแนวขนานที่เอียงมักถูกกำหนดโดยใช้พีชคณิตเวกเตอร์ ปริมาตรของเส้นขนานนั้นเท่ากับค่าสัมบูรณ์ของผลิตภัณฑ์ผสมของเวกเตอร์สามตัวที่กำหนดโดยด้านทั้งสามของเส้นขนานที่เล็ดลอดออกมาจากจุดยอดหนึ่ง ความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านข้างของเส้นขนานกับมุมระหว่างพวกมันทำให้คำกล่าวที่ว่าตัวกำหนดแกรมของเวกเตอร์สามตัวที่ระบุนั้นเท่ากับกำลังสองของผลิตภัณฑ์ผสม: 215

ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

ใน การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ใต้ทรงลูกบาศก์ n มิติ $บี$เข้าใจหลายประเด็น $x\; =\; (x\_1,\backslash lจุด,x\_n)$ใจดี $B\; =\; \backslash (x|a\_1\backslash leqslant\; x\_1\backslash leqslant\; b\_1,\backslash ldots,a\_n\backslash leqslant\; x\_n\backslash leqslant\; b\_n\backslash )$

เขียนบทวิจารณ์เกี่ยวกับบทความ "Parallelepiped"

หมายเหตุ

ลิงค์

ถูกต้อง ถูกต้อง ไม่นูน นูน สูตร ทฤษฎีบท ทฤษฎี อื่น

ข้อความที่ตัดตอนมาจาก Parallelepiped

- On dit que les rivaux se sont คืนดีกับพระคุณ a l "angine... [พวกเขาบอกว่าคู่แข่งได้คืนดีต้องขอบคุณความเจ็บป่วยนี้]
คำว่า angine ถูกพูดซ้ำด้วยความยินดีอย่างยิ่ง
– Le vieux comte est touchant a ce qu"on dit. Il a pleure comme un enfant quand le medecin lui a dit que le cas etait punisheux. [การนับแบบเก่านั้นน่าประทับใจมาก พวกเขาพูด เขาร้องไห้เหมือนเด็กเมื่อหมอ บอกว่าเป็นกรณีอันตราย]
- โอ้ แย่มากเลย C"est une femme ravissante [โอ้ นั่นคงเป็นการสูญเสียครั้งใหญ่ ช่างเป็นผู้หญิงที่น่ารักมาก]
“Vous parlez de la pauvre comtesse” แอนนา พาฟโลฟนาพูดขณะเดินเข้ามาใกล้ “J"ai envoye Savoir de ses nouvelles. On m"a dit qu"elle allait un peu mieux. Oh, sans doute, c"est la plus charmante femme du monde" แอนนา พาฟโลฟนาพูดด้วยรอยยิ้มด้วยความกระตือรือร้นของเธอ – Nous appartenons a des camps differents, mais cela ne m"empeche pas de l"estimer, comme elle le merite. Elle est bien malheureuse, [คุณกำลังพูดถึงคุณหญิงผู้น่าสงสาร... ฉันส่งไปสอบถามเกี่ยวกับสุขภาพของเธอ พวกเขาบอกฉันว่าเธอรู้สึกดีขึ้นเล็กน้อย โอ้ ไม่ต้องสงสัยเลย นี่คือผู้หญิงที่น่ารักที่สุดในโลก เราอยู่ในค่ายที่แตกต่างกัน แต่นั่นไม่ได้หยุดฉันไม่ให้เคารพเธอในความดีของเธอ เธอไม่มีความสุขมาก] – เพิ่ม Anna Pavlovna
เชื่อว่าด้วยคำพูดเหล่านี้ Anna Pavlovna กำลังเปิดม่านแห่งความลับเล็กน้อยเกี่ยวกับความเจ็บป่วยของเคาน์เตสชายหนุ่มผู้ประมาทคนหนึ่งยอมให้ตัวเองแสดงความประหลาดใจที่แพทย์ชื่อดังไม่ได้ถูกเรียกเข้ามา แต่คุณหญิงกำลังได้รับการปฏิบัติโดยคนหลอกลวงที่อาจเป็นอันตรายได้ การเยียวยา
“ข้อมูล Vos peuvent etre meilleures que les miennes” จู่ๆ แอนนา พาฟโลฟน่าก็เฆี่ยนตีผู้ไม่มีประสบการณ์อย่างพิษร้าย ชายหนุ่ม- – Mais je sais de bonne แหล่งที่มา que ce medecin est un homme tres savant et tres habile C"est le medecin intime de la Reine d"Espagne. [ข่าวของคุณอาจจะแม่นยำกว่าของฉัน... แต่ฉันรู้จากแหล่งที่ดีว่าหมอคนนี้เป็นคนที่มีการศึกษาและมีทักษะมาก นี่คือแพทย์ชีวิตของราชินีแห่งสเปน] - และด้วยเหตุนี้ Anna Pavlovna จึงทำลายชายหนุ่มจึงหันไปหา Bilibin ซึ่งในอีกวงกลมหนึ่งหยิบผิวหนังขึ้นมาและเห็นได้ชัดว่ากำลังจะคลายมันเพื่อพูดว่า un mot พูด เกี่ยวกับชาวออสเตรีย
“Je trouve que c"est charmant! [ฉันคิดว่ามันมีเสน่ห์!]” เขากล่าวเกี่ยวกับเอกสารทางการฑูตซึ่งธงออสเตรียที่วิตเกนสไตน์ยึดไว้ถูกส่งไปยังเวียนนา le heros de Petropol [วีรบุรุษแห่ง Petropol] (ในขณะที่เขา ถูกเรียกในปีเตอร์สเบิร์ก)
- เป็นยังไงบ้าง เป็นยังไงบ้าง? - Anna Pavlovna หันมาหาเขาเพื่อปลุกความเงียบให้ได้ยินเสียงมดซึ่งเธอรู้อยู่แล้ว
และบิลิบินกล่าวซ้ำคำดั้งเดิมต่อไปนี้ของการส่งทางการทูตที่เขารวบรวม:
“L"Empereur renvoie les drapeaux Autrichiens” Bilibin กล่าว “drapeaux amis et egares qu"il a trouve hors de la Route [จักรพรรดิทรงส่งธงออสเตรีย แบนเนอร์ที่เป็นมิตรและสูญหายที่เขาพบนอกถนนจริง] ” บิลิบิน เสร็จสิ้น ทำให้ผิวคลายตัว
“ เจ้าเสน่ห์ เจ้าเสน่ห์ [น่ารัก มีเสน่ห์” เจ้าชายวาซิลีกล่าว
“ C"est la route de Varsovie peut être [นี่คือถนนวอร์ซอบางที] - เจ้าชายฮิปโปไลต์พูดเสียงดังและไม่คาดคิด ทุกคนมองย้อนกลับไปที่เขาโดยไม่เข้าใจว่าเขาต้องการพูดอะไรจากสิ่งนี้ เจ้าชายฮิปโปไลต์ก็มองย้อนกลับไปเช่นกัน ด้วยความประหลาดใจรอบตัวเขา เช่นเดียวกับคนอื่น ๆ ไม่เข้าใจคำพูดที่เขาพูดในอาชีพการทูตเขาสังเกตเห็นหลายครั้งว่าคำพูดในลักษณะนี้มีไหวพริบมากและเขาพูดสิ่งเหล่านี้ เผื่อไว้ คนแรกที่นึกถึง “บางทีมันอาจจะออกมาดีก็ได้” เขาคิด “และถ้ามันไม่ได้ผลพวกเขาก็จะสามารถจัดการมันได้ในขณะนั้น” ความเงียบงันน่าอึดอัดเกิดขึ้นใบหน้าที่เต็มไปด้วยความรักชาติไม่เพียงพอ Anna Pavlovna และเธอก็ยิ้มและสั่นนิ้วที่ Ippolit เชิญเจ้าชาย Vasily มาที่โต๊ะและยื่นเทียนสองเล่มและต้นฉบับให้เขาเพื่อขอให้เขาเริ่มต้นทุกอย่างก็เงียบลง .

ในบทเรียนนี้ ทุกคนจะสามารถศึกษาหัวข้อ “สี่เหลี่ยมด้านขนาน” ได้ ในตอนต้นของบทเรียนเราจะทำซ้ำสิ่งที่ขนานกันโดยพลการและตรงจำคุณสมบัติของใบหน้าตรงข้ามและเส้นทแยงมุมของเส้นขนาน จากนั้นเรามาดูกันว่าทรงลูกบาศก์คืออะไรและอภิปรายเกี่ยวกับคุณสมบัติพื้นฐานของมัน

หัวข้อ: ความตั้งฉากของเส้นและระนาบ

บทเรียน: ทรงลูกบาศก์

พื้นผิวที่ประกอบด้วยสี่เหลี่ยมด้านขนานสองอันที่เท่ากัน ABCD และ A 1 B 1 C 1 D 1 และสี่เหลี่ยมด้านขนานสี่อัน ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 เรียกว่า ขนานกัน(รูปที่ 1)

ข้าว. 1 วางขนานกัน

นั่นคือ: เรามีสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD สองอันที่เท่ากัน และ A 1 B 1 C 1 D 1 (ฐาน) พวกมันอยู่ในระนาบขนานกัน เพื่อให้ขอบด้านข้าง AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 ขนานกัน ดังนั้นจึงเรียกว่าพื้นผิวที่ประกอบด้วยสี่เหลี่ยมด้านขนาน ขนานกัน.

ดังนั้น พื้นผิวของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือผลรวมของสี่เหลี่ยมด้านขนานทั้งหมดที่ประกอบเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

1. ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นขนานและเท่ากัน

(รูปร่างเท่ากันคือสามารถนำมารวมกันได้โดยการทับซ้อนกัน)

ตัวอย่างเช่น:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (สี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากันตามคำจำกัดความ)

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (เนื่องจาก AA 1 B 1 B และ DD 1 C 1 C เป็นด้านตรงข้ามกันของเส้นขนาน)

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (เนื่องจาก AA 1 D 1 D และ BB 1 C 1 C เป็นหน้าตรงข้ามของเส้นขนาน)

2. เส้นทแยงมุมของจุดตัดด้านขนานที่จุดหนึ่งและถูกแบ่งครึ่งโดยจุดนี้

เส้นทแยงมุมของ AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B ตัดกันที่จุดหนึ่ง O และแต่ละเส้นทแยงมุมจะถูกแบ่งครึ่งตามจุดนี้ (รูปที่ 2)

ข้าว. 2 เส้นทแยงมุมของจุดตัดเส้นขนานและแบ่งครึ่งด้วยจุดตัด

3. มีสามสี่เท่ากันและ ซี่โครงขนานขนานกัน: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1

คำนิยาม. เส้นขนานเรียกว่าเส้นตรงหากขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐาน

ให้ขอบด้านข้าง AA 1 ตั้งฉากกับฐาน (รูปที่ 3) ซึ่งหมายความว่าเส้นตรง AA 1 ตั้งฉากกับเส้นตรง AD และ AB ซึ่งอยู่ในระนาบของฐาน ซึ่งหมายความว่าใบหน้าด้านข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า และฐานมีสี่เหลี่ยมด้านขนานตามใจชอบ ให้เราแสดงว่า ∠BAD = φ มุม φ สามารถเป็นมุมใดก็ได้

ข้าว. 3 ขนานขนานกัน

ดังนั้น เส้นขนานด้านขวาคือเส้นขนานที่ขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐานของเส้นขนาน

คำนิยาม. ด้านขนานเรียกว่าสี่เหลี่ยมถ้าขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐาน ฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ที่ขนานกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (รูปที่ 4) ถ้า:

1. AA 1 ⊥ ABCD (ขอบด้านข้างตั้งฉากกับระนาบของฐาน นั่นคือ เส้นตรงขนานกัน)

2. ∠BAD = 90° เช่น ฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

ข้าว. 4 สี่เหลี่ยมด้านขนาน

รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีคุณสมบัติทั้งหมดของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานตามอำเภอใจแต่มีคุณสมบัติเพิ่มเติมที่ได้มาจากคำจำกัดความของทรงลูกบาศก์

ดังนั้น, ทรงลูกบาศก์เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐาน ฐานของทรงลูกบาศก์เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า.

1. ในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ใบหน้าทั้งหกเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

ABCD และ A 1 B 1 C 1 D 1 เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าตามคำจำกัดความ

2. ซี่โครงด้านข้างตั้งฉากกับฐาน- ซึ่งหมายความว่าใบหน้าด้านข้างทั้งหมดของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

3. มุมไดฮีดรัลทั้งหมดของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านขนานนั้นถูกต้อง

ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณามุมไดฮีดรัลของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีขอบ AB นั่นคือ มุมไดฮีดรัลระหว่างระนาบ ABC 1 และ ABC

AB คือขอบ โดยจุด A 1 อยู่ในระนาบเดียว - ในระนาบ ABB 1 และจุด D ในอีกระนาบ - ในระนาบ A 1 B 1 C 1 D 1 จากนั้นมุมไดฮีดรัลที่กำลังพิจารณาก็สามารถแสดงได้ดังนี้: ∠A 1 ABD

ลองหาจุด A บนขอบ AB กัน AA 1 ตั้งฉากกับขอบ AB ในระนาบ АВВ-1, AD ตั้งฉากกับขอบ AB ในระนาบ ABC ซึ่งหมายความว่า ∠A 1 AD คือมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลที่กำหนด ∠A 1 AD = 90° ซึ่งหมายความว่ามุมไดฮีดรัลที่ขอบ AB คือ 90°

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°

ในทำนองเดียวกัน มีการพิสูจน์ว่ามุมไดฮีดรัลใดๆ ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านขนานนั้นถูกต้อง

กำลังสองของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านขนานมีค่าเท่ากับผลรวมของกำลังสองในสามมิติ

บันทึก. ความยาวของขอบทั้งสามที่เล็ดลอดออกมาจากจุดยอดหนึ่งของทรงลูกบาศก์คือการวัดขนาดของทรงลูกบาศก์ บางครั้งเรียกว่าความยาว ความกว้าง ความสูง

ให้ไว้: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน (รูปที่ 5)

พิสูจน์: .

ข้าว. 5 สี่เหลี่ยมด้านขนาน

การพิสูจน์:

เส้นตรง CC 1 ตั้งฉากกับระนาบ ABC ดังนั้นกับเส้นตรง AC ซึ่งหมายความว่าสามเหลี่ยม CC 1 A เป็นมุมฉาก ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ลองพิจารณาดู สามเหลี่ยมมุมฉากเอบีซี ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

แต่ BC และ AD - ฝั่งตรงข้ามสี่เหลี่ยมผืนผ้า. ดังนั้น BC = AD แล้ว:

เพราะ , ก , ที่. เนื่องจาก CC 1 = AA 1 นี่คือสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเท่ากัน

ให้เราแสดงขนาดของ ABC ที่ขนานกันเป็น a, b, c (ดูรูปที่ 6) จากนั้น AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

ในเรขาคณิต แนวคิดหลักคือ ระนาบ จุด เส้นตรง และมุม เมื่อใช้คำเหล่านี้ คุณสามารถอธิบายรูปทรงเรขาคณิตใดๆ ได้ รูปทรงหลายเหลี่ยมมักจะอธิบายเป็นรูปทรงที่เรียบง่ายกว่าซึ่งอยู่ในระนาบเดียวกัน เช่น วงกลม สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมจัตุรัส สี่เหลี่ยมผืนผ้า ฯลฯ ในบทความนี้ เราจะดูว่า Parallelepiped คืออะไร อธิบายประเภทของ Parallelepiped คุณสมบัติของมัน องค์ประกอบใดบ้างที่ประกอบด้วย และยังให้สูตรพื้นฐานสำหรับการคำนวณพื้นที่และปริมาตรสำหรับ Parallelepiped แต่ละประเภท

คำนิยาม

รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานในปริภูมิสามมิติคือปริซึม ซึ่งทุกด้านเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ดังนั้น จึงสามารถมีรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานขนานได้เพียงสามคู่หรือหกหน้าเท่านั้น

หากต้องการเห็นภาพด้านขนาน ให้จินตนาการถึงอิฐมาตรฐานธรรมดาๆ อิฐเป็นตัวอย่างที่ดีของรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานที่แม้แต่เด็กก็สามารถจินตนาการได้ ตัวอย่างอื่นๆ ได้แก่ บ้านแผงหลายชั้น ตู้เก็บของ ตู้คอนเทนเนอร์ ผลิตภัณฑ์อาหารแบบฟอร์มที่เหมาะสม ฯลฯ

ความหลากหลายของรูป

Parallepiped มีสองประเภทเท่านั้น:

1. สี่เหลี่ยม ใบหน้าด้านข้างทั้งหมดทำมุม 90° กับฐาน และเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
2. ขอบด้านข้างลาดเอียงซึ่งอยู่ที่มุมหนึ่งถึงฐาน

ตัวเลขนี้สามารถแบ่งออกเป็นองค์ประกอบใดได้บ้าง?

• เช่นเดียวกับรูปทรงเรขาคณิตอื่น ๆ ในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน 2 ใบหน้าที่มีขอบร่วมกันเรียกว่าติดกันและใบหน้าที่ไม่มีจะขนานกัน (ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งมีคู่ของด้านตรงข้ามขนานกัน)
• จุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ไม่ได้อยู่หน้าเดียวกันเรียกว่าตรงกันข้าม
• ส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดดังกล่าวเป็นเส้นทแยงมุม
• ความยาวของขอบทั้งสามของทรงลูกบาศก์ที่มาบรรจบกันที่จุดยอดหนึ่งคือขนาด (ได้แก่ ความยาว ความกว้าง และความสูง)

คุณสมบัติรูปร่าง

1. มันถูกสร้างขึ้นอย่างสมมาตรโดยคำนึงถึงกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมเสมอ
2. จุดตัดของเส้นทแยงมุมทั้งหมดแบ่งแต่ละเส้นทแยงมุมออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน
3. ใบหน้าที่อยู่ตรงข้ามมีความยาวเท่ากันและนอนอยู่บนเส้นคู่ขนาน
4. หากคุณบวกกำลังสองของทุกมิติของเส้นขนาน ค่าที่ได้จะเท่ากับกำลังสองของความยาวของเส้นทแยงมุม

สูตรการคำนวณ

สูตรของแต่ละกรณีของรูปคู่ขนานจะแตกต่างกัน

สำหรับเส้นขนานโดยพลการ มันเป็นความจริงที่ว่าปริมาตรของมันเท่ากับค่าสัมบูรณ์ของสาม ผลิตภัณฑ์ดอทเวกเตอร์ของด้านทั้งสามที่เล็ดลอดออกมาจากจุดยอดหนึ่ง อย่างไรก็ตาม ไม่มีสูตรในการคำนวณปริมาตรของเส้นขนานตามอำเภอใจ

สำหรับรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ให้ใช้สูตรต่อไปนี้:

• V=ก*ข*ค;
• Sb=2*ค*(ก+ข);
• Sp=2*(a*b+b*c+a*c)

• V คือปริมาตรของรูป
• Sb - พื้นที่ผิวด้านข้าง
• Sp - พื้นที่ผิวทั้งหมด
• ก - ความยาว;
• ข - ความกว้าง;
• ค - ความสูง

กรณีพิเศษอีกกรณีหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ทุกด้านเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสก็คือลูกบาศก์ หากด้านใดด้านหนึ่งของสี่เหลี่ยมจัตุรัสถูกกำหนดด้วยตัวอักษร a แสดงว่าสามารถใช้สูตรต่อไปนี้สำหรับพื้นที่ผิวและปริมาตรของรูปนี้ได้:

• ส=6*ก*2;
• วี=3*ก.

• S - พื้นที่ของรูป
• V คือปริมาตรของรูป
• a คือความยาวของใบหน้าของร่างนั้น

Parallelepiped ประเภทสุดท้ายที่เรากำลังพิจารณาคือ Parallelepiped แบบตรง คุณถามอะไรคือความแตกต่างระหว่างรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ถูกต้องกับทรงลูกบาศก์ ความจริงก็คือฐานของสี่เหลี่ยมด้านขนานสามารถเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานใดๆ ได้ แต่ฐานของสี่เหลี่ยมด้านขนานแบบตรงสามารถเป็นได้เพียงสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่านั้น ถ้าเราแทนเส้นรอบวงของฐานเท่ากับผลรวมของความยาวของทุกด้านเป็น Po และแทนความสูงด้วยตัวอักษร h เรามีสิทธิ์ใช้สูตรต่อไปนี้ในการคำนวณปริมาตรและพื้นที่ของผลรวม และพื้นผิวด้านข้าง