ชุดตัวเลขมาบรรจบกันถ้า สัญญาณของการบรรจบกันของอนุกรมจำนวน

ในทางปฏิบัติ การหาผลรวมของอนุกรมมักจะไม่สำคัญเท่ากับการตอบคำถามเรื่องการบรรจบกันของอนุกรม เพื่อจุดประสงค์นี้ เกณฑ์การลู่เข้าจะถูกใช้โดยพิจารณาจากคุณสมบัติของคำศัพท์ทั่วไปของอนุกรม

สัญญาณที่จำเป็นของการบรรจบกันของซีรีส์

ทฤษฎีบท 1

ถ้าเป็นแถวมาบรรจบกัน จากนั้นก็เป็นคำทั่วไป มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ที่
, เหล่านั้น.
.

สั้นๆ: หากอนุกรมมาบรรจบกัน คำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมนั้นมีแนวโน้มเป็นศูนย์

การพิสูจน์.ให้อนุกรมมาบรรจบกันและผลรวมเท่ากัน - สำหรับใครก็ตาม จำนวนบางส่วน

.

แล้ว .

จากเกณฑ์ที่จำเป็นที่ได้รับการพิสูจน์แล้วสำหรับการบรรจบกันมีดังนี้ สัญญาณที่เพียงพอของความแตกต่างของซีรีส์: ถ้าที่
หากคำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมไม่มีแนวโน้มเป็นศูนย์ แสดงว่าอนุกรมนั้นแยกออกไป

ตัวอย่างที่ 4

สำหรับซีรีส์นี้ คำทั่วไปคือ
และ
.

ดังนั้นซีรีย์นี้จึงแตกต่าง

ตัวอย่างที่ 5ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า

เห็นได้ชัดว่าคำศัพท์ทั่วไปของซีรีส์นี้ซึ่งรูปแบบที่ไม่ได้ระบุเนื่องจากความยุ่งยากในการแสดงออกมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์เนื่องจาก
, เช่น. เกณฑ์ที่จำเป็นสำหรับการบรรจบกันของซีรีย์เป็นที่พอใจ แต่ซีรีย์นี้แตกต่างเนื่องจากผลรวมของมัน มีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุด

ชุดจำนวนบวก

เรียกว่าชุดตัวเลขที่ทุกพจน์เป็นบวก สัญญาณบวก

ทฤษฎีบท 2 (เกณฑ์สำหรับการบรรจบกันของอนุกรมเชิงบวก)

สำหรับอนุกรมที่มีเครื่องหมายบวกที่จะมาบรรจบกัน จำเป็นและเพียงพอที่ผลรวมบางส่วนของอนุกรมนั้นจะถูกจำกัดขอบเขตจากด้านบนด้วยจำนวนเดียวกัน

การพิสูจน์.เพราะเพื่อใครก็ตาม
แล้วนั่นคือ ลำดับต่อมา
– เพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจ ดังนั้นสำหรับการมีอยู่ของขีดจำกัด จึงจำเป็นและเพียงพอที่จะจำกัดลำดับจากด้านบนด้วยจำนวนหนึ่ง

ทฤษฎีบทนี้มีความสำคัญทางทฤษฎีมากกว่าเชิงปฏิบัติ ด้านล่างนี้คือการทดสอบการลู่เข้าอื่นๆ ที่ใช้กันอย่างแพร่หลายมากขึ้น

สัญญาณที่เพียงพอของการบรรจบกันของอนุกรมเชิงบวก

ทฤษฎีบท 3 (เครื่องหมายเปรียบเทียบแรก)

ให้อนุกรมสัญญาณเชิงบวกสองชุดได้รับ:

(1)

(2)

และเริ่มจากจำนวนหนึ่ง
สำหรับใครก็ตาม
ความไม่เท่าเทียมกันถือ
แล้ว:

สัญกรณ์แผนผังของคุณลักษณะการเปรียบเทียบแรก:

การสืบเชื้อสายมา การรวมตัวกัน

ประสบการณ์ประสบการณ์

การพิสูจน์. 1) เนื่องจากการทิ้งพจน์จำนวนจำกัดของอนุกรมไม่ส่งผลต่อการบรรจบกัน เราจึงพิสูจน์ทฤษฎีบทสำหรับกรณีนี้
- ให้เป็นของใครก็ได้
เรามี

, (3)

ที่ไหน
และ
- ผลรวมบางส่วนของอนุกรม (1) และ (2) ตามลำดับ

ถ้าอนุกรม (2) มาบรรจบกัน ก็จะมีตัวเลข
. เนื่องจากในกรณีนี้ลำดับ
- เพิ่มขึ้น ขีดจำกัดของมันมากกว่าสมาชิกรายใด ๆ เช่น
สำหรับใครก็ตาม . ดังนั้น จากความไม่เท่าเทียมกัน (3) จึงเป็นไปตามนี้
. ดังนั้นผลรวมบางส่วนของอนุกรม (1) จึงถูกจำกัดไว้ด้านบนด้วยตัวเลข . ตามทฤษฎีบทที่ 2 ชุดนี้มาบรรจบกัน

2) แท้จริงแล้ว ถ้าอนุกรม (2) มาบรรจบกัน เมื่อเปรียบเทียบแล้ว อนุกรม (1) ก็จะมาบรรจบกันด้วย

ในการใช้คุณลักษณะนี้ มักใช้ชุดมาตรฐานดังกล่าว การลู่เข้าหรือความแตกต่างซึ่งทราบล่วงหน้าแล้ว เช่น:

3) - ซีรีส์ Dirichlet (มาบรรจบกันที่
และแตกต่างออกไปที่
).

นอกจากนี้ อนุกรมมักใช้ซึ่งสามารถหาได้โดยใช้อสมการที่เห็นได้ชัดเจนต่อไปนี้:

,

,
,
.

ให้เราพิจารณาโดยใช้ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง โครงการศึกษาชุดข้อมูลเชิงบวกสำหรับการลู่เข้าโดยใช้เกณฑ์การเปรียบเทียบแรก

ตัวอย่างที่ 6สำรวจแถว
เพื่อการบรรจบกัน

ขั้นตอนที่ 1 มาตรวจสอบสัญญาณเชิงบวกของซีรีย์นี้กันดีกว่า:
สำหรับ

ขั้นตอนที่ 2 ตรวจสอบการปฏิบัติตามเกณฑ์ที่จำเป็นสำหรับการบรรจบกันของซีรีส์:
- เพราะ
, ที่

(หากคำนวณวงเงินยากสามารถข้ามขั้นตอนนี้ได้)

ขั้นตอนที่ 3 ใช้เครื่องหมายเปรียบเทียบอันแรก ในการดำเนินการนี้ เราจะเลือกซีรีส์มาตรฐานสำหรับซีรีส์นี้ เพราะ
แล้วเราก็สามารถนำซีรี่ส์มาเป็นมาตรฐานได้
, เช่น. ซีรีส์ดีริชเลต์ ชุดนี้มาบรรจบกันตั้งแต่เลขยกกำลัง
- ดังนั้น ตามเกณฑ์การเปรียบเทียบแรก ชุดข้อมูลที่กำลังศึกษาก็จะมาบรรจบกันด้วย

ตัวอย่างที่ 7สำรวจแถว
เพื่อการบรรจบกัน

1) ซีรีส์นี้มีสัญญาณเชิงบวก เนื่องจาก
สำหรับ

2) เกณฑ์ที่จำเป็นสำหรับการบรรจบกันของซีรีย์นั้นเป็นไปตามที่พอใจเพราะ

3) มาเลือกแถวมาตรฐานกัน เพราะ
จากนั้นเราสามารถนำอนุกรมเรขาคณิตมาเป็นมาตรฐานได้

- ซีรีส์นี้มาบรรจบกัน และซีรีส์ที่กำลังศึกษาก็มาบรรจบกันด้วย

ทฤษฎีบทที่ 4 (เกณฑ์การเปรียบเทียบที่สอง)

ถ้าเป็นซีรีย์เชิงบวก และ มีขีดจำกัดอันไม่สิ้นสุด
, ที่ แถวมาบรรจบกันหรือแยกออกพร้อมกัน

การพิสูจน์.ให้ซีรีส์ (2) มาบรรจบกัน; ให้เราพิสูจน์ว่าอนุกรม (1) มาบรรจบกันด้วย มาเลือกเลขกัน , มากกว่า . จากสภาพ
ตามมาว่ามีตัวเลขดังกล่าวอยู่ นั่นสำหรับทุกคน
ความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริง
, หรือสิ่งที่เหมือนกัน

(4)

ทิ้งอันแรกในแถว (1) และ (2) (ซึ่งไม่ส่งผลกระทบต่อการบรรจบกัน) เราสามารถสรุปได้ว่าความไม่เท่าเทียมกัน (4) นั้นใช้ได้สำหรับทุกคน
แต่เป็นซีรีส์ที่มีสมาชิกร่วมกัน
มาบรรจบกันเนื่องจากการบรรจบกันของอนุกรม (2) ตามเกณฑ์การเปรียบเทียบแรก ความไม่เท่าเทียมกัน (4) หมายถึงการบรรจบกันของอนุกรม (1)

ตอนนี้ให้ซีรีส์ (1) มาบรรจบกัน ให้เราพิสูจน์การบรรจบกันของอนุกรม (2) เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เพียงสลับบทบาทของแถวที่กำหนด เพราะ

จากสิ่งที่พิสูจน์แล้วข้างต้น การบรรจบกันของอนุกรม (1) ควรบ่งบอกถึงการบรรจบกันของอนุกรม (2)

ถ้า
ที่
(สัญญาณที่จำเป็นของการบรรจบกัน) จากนั้นจากเงื่อนไข
มันเป็นไปตามนั้น และ – ค่าน้อยที่สุดของความเล็กลำดับเดียวกัน (เทียบเท่ากับ
- ดังนั้นหากได้รับเป็นซีรีย์ , ที่ไหน
ที่
แล้วสำหรับซีรีย์นี้เราสามารถนำซีรีย์มาตรฐานมาใช้ได้ ที่ไหนเป็นคำทั่วไป มีลำดับเล็กเหมือนกับคำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมที่กำหนด

เมื่อเลือกซีรี่ส์มาตรฐาน คุณสามารถใช้ตารางค่าเล็กน้อยที่เทียบเท่าต่อไปนี้ได้ที่
:

1)
; 4)
;

2)
; 5)
;

3)
; 6)
.

ตัวอย่างที่ 8ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า

.

สำหรับใครก็ตาม
.

เพราะ
จากนั้นเราจะนำอนุกรมไดเวอร์เจนต์ฮาร์มอนิกเป็นอนุกรมมาตรฐาน
- เนื่องจากขีดจำกัดของอัตราส่วนของเงื่อนไขทั่วไป และ มีขอบเขตจำกัดและแตกต่างจากศูนย์ (เท่ากับ 1) จากนั้นชุดข้อมูลนี้จะแตกต่างไปตามเกณฑ์การเปรียบเทียบที่สอง

ตัวอย่างที่ 9
ตามเกณฑ์การเปรียบเทียบสองประการ

ซีรีย์นี้เป็นบวกตั้งแต่
, และ
- เนื่องจาก
จากนั้นเราสามารถนำอนุกรมฮาร์มอนิกมาเป็นอนุกรมมาตรฐานได้ - ซีรีส์นี้มีความแตกต่าง ดังนั้นตามสัญญาณแรกของการเปรียบเทียบ ซีรีส์ที่กำลังศึกษาจึงแตกต่างไปด้วย

เนื่องจากซีรีส์นี้และซีรีส์มาตรฐานเป็นไปตามเงื่อนไข
(ในที่นี้มีการใช้ขีดจำกัดที่น่าทึ่งประการที่ 1) จากนั้นจึงยึดตามเกณฑ์การเปรียบเทียบที่สองของซีรีส์
– แตกต่าง.

ทฤษฎีบทที่ 5 (การทดสอบของดาล็องแบร์)

มีขีดจำกัด
แล้วซีรีส์ก็มาบรรจบกันที่
และแตกต่างออกไปที่
.

การพิสูจน์.อนุญาต
- เอาตัวเลขมาบ้าง , สรุประหว่าง และ 1:
- จากสภาพ
เป็นไปตามนั้นโดยเริ่มจากตัวเลขจำนวนหนึ่ง ความไม่เท่าเทียมกันถือ

;
;
(5)

พิจารณาซีรีส์

ตาม (5) เงื่อนไขทั้งหมดของอนุกรม (6) จะต้องไม่เกินเงื่อนไขที่สอดคล้องกันของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอนันต์
เนื่องจาก
ความก้าวหน้านี้มาบรรจบกัน จากที่นี่ เนื่องจากเกณฑ์การเปรียบเทียบแรก การบรรจบกันของอนุกรมจะตามมา

กำลังเกิดขึ้น
พิจารณาด้วยตัวคุณเอง

หมายเหตุ :

มันตามมาว่าส่วนที่เหลือของซีรีส์

.

การทดสอบของดาล็องแบร์นั้นสะดวกในทางปฏิบัติเมื่อคำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมประกอบด้วยฟังก์ชันเลขชี้กำลังหรือแฟกทอเรียล

ตัวอย่างที่ 10ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า ตามป้ายของดาล็องแบร์

ชุดนี้เป็นบวกและ

.

(ในการคำนวณนี้ จะใช้กฎของโลปิตาลสองครั้ง)

จากนั้นตามเกณฑ์ของ d'Alembert ชุดนี้จะมาบรรจบกัน

ตัวอย่างที่ 11.

ชุดนี้เป็นบวกและ
- เนื่องจาก

แล้วซีรีย์นี้ก็มาบรรจบกัน

ทฤษฎีบท 6 (การทดสอบคอชี่)

หากเป็นซีรีส์เชิงบวก มีขีดจำกัด
แล้วเมื่อไร
ซีรีส์จะมาบรรจบกันและเมื่อไร
แถวนั้นแยกออกจากกัน

การพิสูจน์คล้ายกับทฤษฎีบทที่ 5

หมายเหตุ :

ตัวอย่างที่ 12ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า
.

ซีรีย์นี้เป็นบวกตั้งแต่
สำหรับใครก็ตาม
- เนื่องจากการคำนวณวงเงิน
ทำให้เกิดปัญหาบางอย่าง จากนั้นเราจะละเว้นการตรวจสอบความเป็นไปได้ของเกณฑ์ที่จำเป็นสำหรับการบรรจบกันของซีรีส์

จากนั้น ตามเกณฑ์ของ Cauchy ซีรีส์นี้จะแตกต่างออกไป

ทฤษฎีบทที่ 7 (การทดสอบอินทิกรัลสำหรับ Maclaurin - การบรรจบกันของ Cauchy)

เลยแจกซีรีย์.

ซึ่งมีเงื่อนไขเป็นบวกและไม่เพิ่มขึ้น:

ให้ต่อไป
- ฟังก์ชั่นที่กำหนดไว้สำหรับของจริงทั้งหมด
, ต่อเนื่องกัน, ไม่เพิ่มขึ้น และ

ให้ชุดจำนวนบวก $ \sum_(n=1) ^\infty a_n $ มอบให้ ให้เรากำหนดเกณฑ์ที่จำเป็นสำหรับการบรรจบกันของอนุกรม:

1. หากอนุกรมมาบรรจบกัน ขีดจำกัดของคำศัพท์ทั่วไปจะเป็นศูนย์: $$ \lim _(n \to \infty) a_n = 0 $$
2. หากขีดจำกัดของคำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมไม่เท่ากับศูนย์ อนุกรมจะแยกออก: $$ \lim _(n \to \infty) a_n \neq 0 $$

อนุกรมฮาร์มอนิกทั่วไป

ชุดนี้เขียนได้ดังนี้: $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(n^p) $ นอกจากนี้ ขึ้นอยู่กับ $p$ อนุกรมจะบรรจบกันหรือแยกออก:

1. ถ้า $ p = 1 $ ดังนั้นอนุกรม $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(n) $ จะลู่ออกและเรียกว่าฮาร์มอนิก แม้ว่าคำศัพท์ทั่วไป $ a_n = \frac(1 )(n) \ถึง 0 $ ทำไมจึงเป็นเช่นนี้? ข้อสังเกตกล่าวว่าเกณฑ์ที่จำเป็นไม่ได้ให้คำตอบเกี่ยวกับการลู่เข้า แต่เพียงเกี่ยวกับความแตกต่างของซีรีส์เท่านั้น ดังนั้น หากเราใช้เกณฑ์ที่เพียงพอ เช่น เกณฑ์อินทิกรัลของ Cauchy ก็จะเห็นได้ชัดว่าอนุกรมนั้นแตกต่างออกไป!
2. ถ้า $ p \leqslant 1 $ แสดงว่าซีรีย์นั้นแตกต่าง ตัวอย่าง $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(\sqrt(n)) $ โดยที่ $ p = \frac(1)(2) $
3. ถ้า $p > 1$ แสดงว่าอนุกรมมาบรรจบกัน ตัวอย่าง $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(1)(\sqrt(n^3)) $ โดยที่ $ p = \frac(3)(2) > 1 $

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 1

พิสูจน์ความแตกต่างของอนุกรม $ \sum_(n=1) ^\infty \frac(n)(6n+1) $

สารละลาย

ซีรีส์นี้เป็นบวก เราเขียนคำศัพท์ทั่วไป: $$ a_n = \frac(n)(6n+1) $$ เราคำนวณขีดจำกัดที่ $ n \to \infty $: $$ \lim _(n \to \infty) \frac(n)(6n+1) = \frac(\infty)(\infty) = $$ เรานำ $n$ ในตัวส่วนออก จากนั้นจึงทำการลดส่วนนั้น: $$ = \lim_(n \to \infty) \frac(n)(n(6+\frac(1)(n))) = \lim_(n \to \infty) \frac(1)(6 + \frac(1)(n)) = \frac(1)(6) $$ เนื่องจากเราพบว่า $ \lim_(n\to \infty) a_n = \frac(1)(6) \neq 0 $ ดังนั้นการทดสอบ Cauchy ที่จำเป็นจึงไม่เป็นที่พอใจ และอนุกรมจึงแตกต่างกัน หากคุณไม่สามารถแก้ปัญหาของคุณได้ โปรดส่งมาให้เรา เราจะให้วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียด คุณจะสามารถดูความคืบหน้าของการคำนวณและรับข้อมูลได้ วิธีนี้จะช่วยให้คุณได้เกรดจากอาจารย์ได้ทันเวลา!

คำตอบ

ซีรีส์มีความแตกต่าง

ก่อนที่จะเริ่มทำงานในหัวข้อนี้ ฉันแนะนำให้คุณดูส่วนที่มีคำศัพท์เฉพาะสำหรับชุดตัวเลข เป็นเรื่องที่ควรค่าแก่การใส่ใจกับแนวคิดของสมาชิกทั่วไปของอนุกรมและคุณสมบัติของอนุกรมตัวเลข (โดยเฉพาะเราต้องการคุณสมบัติหมายเลข 3 และหมายเลข 4) หากคุณมีข้อสงสัยเกี่ยวกับการเลือกเกณฑ์การลู่เข้าที่ถูกต้อง ฉันแนะนำให้คุณดูหัวข้อ "การเลือกเกณฑ์การลู่เข้าสำหรับชุดตัวเลข"

เกณฑ์การเปรียบเทียบใช้ในการศึกษาชุดตัวเลขที่มีเงื่อนไขไม่เป็นลบ เช่น มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ ซีรีส์ดังกล่าวมีชื่อว่า เชิงบวก(ในวรรณคดี - ไม่ใช่เชิงลบหรือบวก) เป็นซีรี่ส์เหล่านี้อย่างแน่นอนที่เราจะพิจารณาในหัวข้อนี้

เกณฑ์การเปรียบเทียบแรก (หรือทฤษฎีบทการเปรียบเทียบแรก) มีการกำหนดดังนี้:

สัญญาณแรกของการเปรียบเทียบ

ให้อนุกรมที่เป็นบวกสองชุด $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ และ $\sum\limits_(n=1)^(\infty)v_n$ หากเริ่มต้นจากจำนวน $n_0$ ความไม่เท่าเทียมกันของ $u_n≤ v_n$ ยังคงอยู่ ดังนั้น:

1. ถ้าอนุกรม $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ ลู่ออก ดังนั้นอนุกรม $\sum\limits_(n=1)^(\infty)v_n$ จะลู่ออก
2. ถ้าอนุกรม $\sum\limits_(n=1)^(\infty)v_n$ มาบรรจบกัน อนุกรม $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ จะมาบรรจบกัน

พูดง่ายๆ ก็คือ ถ้าอนุกรมที่มีเทอมน้อยกว่าไม่มีผลรวม (ลู่ออก) อนุกรมที่มีเทอมใหญ่กว่าก็จะลู่ออกด้วย และนี่ก็เป็นตรรกะ เพราะหากผลรวมเดิมมีขนาดใหญ่เป็นอนันต์ เมื่อเพิ่มเทอมแล้ว ก็จะคงอยู่เช่นนั้น

ถ้าอนุกรมที่มีเทอมมากกว่ามีผลรวม (มาบรรจบกัน) อนุกรมที่มีเทอมน้อยกว่าก็จะมาบรรจบกันด้วย

สัญลักษณ์ของการเปรียบเทียบสามารถกำหนดในรูปแบบอื่นได้ โดยปกติแล้วพวกเขาจะบอกว่านี่คือเกณฑ์การเปรียบเทียบที่สอง (หรือทฤษฎีบทการเปรียบเทียบที่สอง) บางครั้งเรียกว่าเครื่องหมายจำกัดของการเปรียบเทียบหรือเครื่องหมายของการเปรียบเทียบในรูปแบบจำกัด ถ้อยคำของมันมีดังนี้:

สัญญาณที่สองของการเปรียบเทียบ

ให้อนุกรมที่เป็นบวกสองชุด $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ และ $\sum\limits_(n=1)^(\infty)v_n$ หากภายใต้เงื่อนไข $v_n\neq 0$ มีขีดจำกัด $$\lim_(n\to\infty)\frac(u_n)(v_n)=K,$$ โดยที่ $0< K < \infty$, то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}v_n$ сходятся либо расходятся одновременно.

โปรดทราบว่าในการใช้เกณฑ์การเปรียบเทียบ เราจำเป็นต้องมีชุดข้อมูลบางชุดซึ่งทราบการลู่เข้ากันล่วงหน้า บ่อยครั้งที่บทบาทของอนุกรมสำหรับการเปรียบเทียบคืออนุกรมฮาร์มอนิกทั่วไป

\begin(สมการ)\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^\alpha)\end(สมการ)

ถ้า $\alpha > 1$ แล้วอนุกรม $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^\alpha)$ มาบรรจบกัน และถ้า $\alpha ≤ 1$ แล้ว อนุกรม $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^\alpha)$ ลู่ออก ตัวอย่างเช่น อนุกรม $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^5)$ มาบรรจบกัน เนื่องจาก $5 > 1$ และอนุกรม $\sum\limits_(n= 1) ^(\infty)\frac(1)(\sqrt(n^4))=\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^(\frac(4) (7) )))$ ลู่ออกเนื่องจาก $\frac(4)(7)≤ 1$

เป็นเรื่องที่ควรค่าแก่การใส่ใจเป็นพิเศษกับกรณี $\alpha=1$ เช่น ซีรีส์ $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^1)=\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ . อนุกรม $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ เรียกว่าอนุกรมฮาร์มอนิก อนุกรมฮาร์มอนิกจะแตกต่างออกไป

นอกจากนี้ ซีรีส์ประเภทนี้มักใช้เพื่อเปรียบเทียบ:

\begin(สมการ)\sum\limits_(n=1)^(\infty)aq^n\end(สมการ)

ชุดนี้คือผลรวมของเทอมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีเทอมแรก $b_1=a$ และตัวส่วน $q$ ชุดนี้มาบรรจบกันถ้า $|q|< 1$ и расходится если $|q|≥ 1$. Например, ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4\cdot 3^n}{5^n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(4\cdot\left(\frac{3}{5}\right)^n\right)$ подпадает под вид ряда (2). Этот ряд сходится, так как $\left| \frac{3}{5}\right|=\frac{3}{5} < 1$.

ส่วนใหญ่แล้วในตัวอย่างมาตรฐาน เกณฑ์การเปรียบเทียบจะใช้หากคำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมแสดงด้วยเศษส่วน ซึ่งตัวเศษและส่วนเป็นพหุนามบางประเภท ตัวอย่างเช่น $u_n=\frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4)$ (ดูตัวอย่างหมายเลข 1) หรือแทนที่จะเป็นพหุนาม (หรือร่วมกัน) รากของพหุนามอาจมีอยู่ (ดูตัวอย่างที่ 3) สำหรับอนุกรมประเภทนี้ จะต้องเลือกระหว่างเกณฑ์ที่จำเป็นสำหรับการลู่เข้าและเกณฑ์ในการเปรียบเทียบ บางครั้งคำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมอาจไม่เพียงแต่ประกอบด้วยพหุนามเท่านั้น แต่ยังมี "องค์ประกอบที่ทำให้เสียสมาธิ" บางอย่างที่ไม่ส่งผลกระทบต่อการบรรจบกัน (ดูส่วนที่สองของหัวข้อนี้) บางครั้ง เพื่อที่จะดูอนุกรมสำหรับการเปรียบเทียบ คุณต้องใช้ฟังก์ชันที่มีจำนวนไม่สิ้นสุดที่เทียบเท่ากัน (ดูตัวอย่างในส่วนที่สาม)

ตัวอย่างหมายเลข 1

ตรวจสอบการบรรจบกันของอนุกรม $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4)$

เนื่องจากขีดจำกัดล่างของการรวมคือ 1 คำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมจึงเขียนไว้ใต้เครื่องหมายผลรวม: $u_n=\frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4)$ เนื่องจากสำหรับ $n≥ 1$ เรามี $9n+7 > 0$ และ $2n^3+5n^2-4 > 0$ จากนั้น $u_n > 0$ ดังนั้นซีรีส์ของเราจึงเป็นไปในเชิงบวก อย่างไรก็ตาม สำหรับอนุกรมที่เป็นบวก ก็เพียงพอที่จะเป็นไปตามเงื่อนไข $u_n≥ 0$ อย่างไรก็ตาม สำหรับซีรี่ส์ของเรา เราสามารถเขียนได้แม่นยำยิ่งขึ้น: $u_n > 0$

ขั้นแรกจะเป็นการดีที่จะตรวจสอบการดำเนินการเช่น หา $\lim_(n\to\infty)u_n$. จะเป็นอย่างไรถ้าเราโชคดีและปรากฎว่า $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$? จากนั้นซีรีส์ก็จะแยกจากกัน และวิธีแก้ปัญหาก็จะจบลงตรงนั้น เมื่อค้นหาขีดจำกัดเราจะใช้วิธีที่อธิบายไว้ในหัวข้อ ในกระบวนการแก้โจทย์ เราหารทั้งเศษและส่วนด้วย $n^3$:

$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4)=\left|\frac(\infty) (\infty) \right|=\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(9)(n^2)+\frac(7)(n^3))(2+\frac(5) (n)-\frac(4)(n^3))=\frac(0+0)(2+0-0)=0 -

เพื่อที่จะใช้เครื่องหมายเหล่านี้ เราจำเป็นต้องมีซีรี่ส์ที่เราจะเปรียบเทียบกัน ในการเลือกอนุกรมสำหรับการเปรียบเทียบ ให้เราตรวจสอบพฤติกรรมของคำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมที่กำหนดสำหรับ $n\to\infty$ ซึ่งสามารถทำได้โดยใช้เหตุผลที่ไม่เป็นทางการ เนื่องจากการสนทนาเหล่านี้อาจไม่เป็นที่สนใจของผู้อ่านทุกคน ฉันจะซ่อนไว้ใต้บันทึก

จะเลือกแถวเพื่อเปรียบเทียบได้อย่างไร? แสดง\ซ่อน

ฉันจะไม่พูดถึงหัวข้อเช่นลำดับการเติบโต ฉันจะให้ข้อควรพิจารณาทั่วไปบางประการเท่านั้น มาดูคำศัพท์ทั่วไปของซีรีส์นี้ให้ละเอียดยิ่งขึ้น ก่อนอื่น ลองดูที่ตัวส่วนเป็นตัวอย่าง ตัวหารของคำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมนี้ประกอบด้วยกำลัง $n^3$, $n^2$ และตัวเลข -4 จำนวน $n$ เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ และมีแนวโน้มเป็นอนันต์ คำถาม: องค์ประกอบใด ($n^3$ หรือ $n^2$) จะเติบโตเร็วกว่าองค์ประกอบอื่นเมื่อจำนวน $n$ เพิ่มขึ้น

คำตอบนั้นง่ายมาก: $n^3$ จะเพิ่มค่าให้เร็วที่สุด ตัวอย่างเช่น เมื่อ $n=100$ แล้ว $n^2=10\,000$ และ $n^3=1\,000\,000$ และช่องว่างระหว่างค่าของ $n^2$ และ $n^3$ จะมีขนาดใหญ่ขึ้นเรื่อยๆ ดังนั้นเราจึงละทิ้งเงื่อนไขทั้งหมดของตัวส่วน ยกเว้นที่มี $n^3$ ในตัวเศษ เราจะดำเนินการตามขั้นตอน "ทิ้ง" ที่คล้ายกัน โดยเหลือเพียง $9n$ (หมายเลข 7 ในตัวเศษจะไม่มีบทบาทใดๆ อย่างชัดเจนเมื่อเทียบกับ $9n$) ดังนั้น เศษส่วน $\frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4)$ หลังจากละทิ้งทั้งหมดจะกลายเป็น: $\frac(9n)(2n^3)=\frac(9)(2) \ cdot\frac(1)(n^2)$. กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้า $n\to\infty$ คำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมจะแตกต่างจากนิพจน์ $\frac(9)(2)\cdot\frac(1)(n^2)$ เพียงเล็กน้อย

ปัจจัย $\frac(9)(2)$ ยังสามารถละทิ้งได้ เนื่องจากมันไม่ส่งผลต่อการบรรจบกัน และหลังจากการ "ทำความสะอาด" ดังกล่าว จะเหลือเพียง $\frac(1)(n^2)$ เท่านั้น เราจะพูดอะไรเกี่ยวกับซีรีส์ที่มีคำทั่วไปว่า $v_n=\frac(1)(n^2)$? นี้ . ในตัวส่วนของคำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมนี้ ระดับ $n$ เท่ากับ 2 ดังนั้น เนื่องจาก $2 > 1$ อนุกรม $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1 )(n^2)$ มาบรรจบกัน

ด้วยอนุกรมลู่เข้านี้ $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^2)$ ที่เราจะเปรียบเทียบอนุกรมที่กำหนด $\sum\limits_(n=1)^ ( \infty)\frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4)$ ในความเป็นจริง เราได้แก้ไขปัญหาอย่างไม่เป็นทางการแล้ว: ซีรีส์ของเราจะมาบรรจบกัน สิ่งที่เหลืออยู่คือการแสดงสิ่งนี้โดยใช้เหตุผลอันเข้มงวด

ลองพิจารณาวิธีแก้ปัญหาของเราโดยใช้เกณฑ์การเปรียบเทียบทั้งที่หนึ่งและที่สอง

ดังนั้น คำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมนี้คือ: $u_n=\frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4)$ ด้วยการให้เหตุผลอย่างไม่เป็นทางการ (ซ่อนอยู่ใต้หมายเหตุด้านบน) เราได้ข้อสรุปว่าซีรีส์ของเรามาบรรจบกัน ในกรณีนี้ให้ใช้วรรคสอง เราต้องแสดงให้เห็นว่าพจน์ทั่วไปของอนุกรมของเราเป็นไปตามอสมการ $\frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4)≤ v_n$ ในขณะที่อนุกรม $\sum\limits_(n=1) ^(\ infty)v_n$ มาบรรจบกัน แล้วซีรีส์ที่มอบให้เราจะมาบรรจบกัน

ลองเพิ่มเศษส่วน $\frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4)$ กัน เป้าหมายของเรา: ลดเศษส่วนนี้ให้อยู่ในรูปแบบ $\frac(1)(n^2)$ ทำไมถึงเป็นประเภทนี้โดยเฉพาะ? หากต้องการตอบคำถามนี้ โปรดเปิดหมายเหตุด้านบน

ในการเพิ่มเศษส่วน มีสองวิธี: เพิ่มตัวเศษหรือลดตัวส่วน ยอมรับว่าตั้งแต่ $n≥ 1$ ดังนั้น $9n+7 ≥ 9n+7n=16n$ ดังนั้น หากเราใส่นิพจน์ $16n$ ในตัวเศษแทน $9n+7$ เราจะเพิ่มเศษส่วนที่ต้องการ:

$$ \frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4)≤\frac(16n)(2n^3+5n^2-4) -

มาทำงานกับตัวส่วนกันดีกว่า หากต้องการเพิ่มเศษส่วน ต้องลดตัวส่วนลง ตัวอย่างเช่น เราสามารถให้เหตุผลดังนี้: เรารู้ว่า $n≥ 1$ จากนั้น $5n^2-4 > 0$ ซึ่งหมายความว่าหากเราทิ้งนิพจน์ $5n^2-4$ ในตัวส่วน ตัวส่วนก็จะลดลง ดังนั้นเศษส่วนของเราจึงเพิ่มขึ้น. เรามาสานต่อความไม่เท่าเทียมกันก่อนหน้านี้:

$$ \frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4)≤\frac(16n)(2n^3+5n^2-4)< \frac{16n}{2n^3}=8\cdot\frac{1}{n^2}. $$

เนื่องจากอนุกรม $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^2)$ มาบรรจบกัน อนุกรม $\sum\limits_(n=1)^(\infty )\left (8\cdot\frac(1)(n^2)\right)$ (ดูจุดที่ 4 ในส่วนเกี่ยวกับคุณสมบัติของอนุกรมตัวเลข) เนื่องจากอนุกรม $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left(8\cdot\frac(1)(n^2)\right)$ มาบรรจบกัน และ $\frac(9n+7)(2n ^3+5n^2-4)< 8\cdot\frac{1}{n^2}$, то согласно (пункт №2) ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}$ сходится.

หากในย่อหน้าก่อนหน้านี้เรามีส่วนร่วมในกิจกรรมสมัครเล่น โดยเลือกและละทิ้ง "ชิ้นส่วน" บางอย่างในสูตรของคำศัพท์ทั่วไปของอนุกรม การแก้ปัญหาโดยใช้เกณฑ์การเปรียบเทียบที่จำกัดจะเป็นอัลกอริทึมโดยสมบูรณ์ ในหมายเหตุข้างต้น เราพบว่าเราจำเป็นต้องเปรียบเทียบอนุกรมของเรากับอนุกรมลู่เข้า $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^2)$ ดังนั้น เทอมทั่วไปของอนุกรมของเราคือ $u_n=\frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4)$ คำทั่วไปของอนุกรมที่เราเปรียบเทียบ: $v_n=\frac(1)(n^2)$ ใช้งานได้กับขีดจำกัด $\lim_(n\to\infty)\frac(u_n)(v_n)$ ยังไงก็ตาม เราไม่สนใจเลยสักคำทั่วไปที่อยู่ในตัวเศษและคำไหนอยู่ในตัวส่วน สิ่งสำคัญคือนิพจน์ในตัวส่วนไม่เท่ากับศูนย์ ตัวอย่างเช่น เนื่องจาก $v_n\neq 0$ ดังนั้น คำทั่วไปนี้สามารถใส่ไว้ในตัวส่วนได้:

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(\frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4))(\frac(1)(n^2))=\lim_(n \to\infty)\frac(n^2\cdot(9n+7))(2n^3+5n^2-4)=\lim_(n\to\infty)\frac(9n^3+7n^2 )(2n^3+5n^2-4)=\left|\frac(\infty)(\infty) \right|=\\ =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(9n^ 3)(n^3)+\frac(7n^2)(n^3))(\frac(2n^3)(n^3)+\frac(5n^2)(n^3)-\frac (4)(n^3))=\lim_(n\to\infty)\frac(9+\frac(7)(n))(2+\frac(5)(n)-\frac(4) (n^3))=\frac(9+0)(2+0-0)=\frac(9)(2) -

ตั้งแต่ $0<\frac{9}{2}<\infty$, то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, то одновременно с ним будет сходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}$.

ในกรณีทั่วไป แน่นอนว่าพวกเขาเลือกเกณฑ์การเปรียบเทียบเพียงรายการเดียว ไม่ใช่ทั้งสองอย่างพร้อมกัน :) เมื่อแก้ไขตัวอย่างในหน้านี้ ฉันจะใช้ทั้งสองวิธี - เพื่อความชัดเจน

คำตอบ: ซีรีส์มาบรรจบกัน

ตัวอย่างหมายเลข 2

ตรวจสอบการบรรจบกันของอนุกรม $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(4n^3+2n+9)(n^2(3n+5)^2)$

เนื่องจากขีดจำกัดล่างของการรวมคือ 1 คำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมจึงเขียนไว้ใต้เครื่องหมายผลรวม: $u_n=\frac(4n^3+2n+9)(n^2(3n+5)^2)$ คำทั่วไปคือ $u_n > 0$ เช่น ซีรีส์ของเราเป็นไปในเชิงบวก

ดังเช่นในตัวอย่างก่อนหน้านี้ ลองตรวจสอบการปฏิบัติตามเงื่อนไขการลู่เข้าที่จำเป็น เช่น ลองหา $\lim_(n\to\infty)u_n$ กัน เมื่อค้นหาขีดจำกัด เราจะใช้วิธีที่อธิบายไว้ในหัวข้อ “ขีดจำกัดของอัตราส่วนของพหุนามสองตัว” ในระหว่างการแก้โจทย์ เราหารทั้งเศษและส่วนด้วย $n^4$:

$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(4n^3+2n+9)(n^2(3n+5)^2)=\left|\ frac(\infty)(\infty)\right|=\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(4)(n)+\frac(2)(n^3)+\frac(9) (n^4))(\left(3+\frac(5)(n)\right)^2)=\frac(0+0+0)((3+0)^2)=0 -

เนื่องจาก $\lim_(n\to\infty)u_n=0$ เราไม่สามารถสรุปใดๆ เกี่ยวกับการบรรจบกันของซีรีส์ของเราได้ อนุกรมสามารถมาบรรจบกันหรือแยกออกได้ ลองใช้เกณฑ์การเปรียบเทียบกัน

เรามาดูกันว่าซีรีย์ใดที่เราจำเป็นต้องเปรียบเทียบซีรีย์ที่ระบุในเงื่อนไข ลองละทิ้งองค์ประกอบ "พิเศษ" ของทั้งเศษและส่วนในลักษณะเดียวกับที่ทำในตัวอย่างหมายเลข 1 เราจะเหลือเศษส่วนต่อไปนี้: $\frac(4n^3)(n^2\cdot (3n)^2)=\frac(4)(9)\cdot\frac(1)(n)$ เราจะเปรียบเทียบอนุกรมที่กำหนดกับอนุกรมฮาร์มอนิก $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ อนุกรมฮาร์มอนิกจะแตกต่างออกไป ดังนั้นอนุกรมของเราก็จะแตกต่างออกไปด้วย สิ่งที่เราต้องทำคือแสดงสิ่งนี้อย่างเป็นทางการโดยใช้เครื่องหมายเปรียบเทียบ

วิธีแก้ปัญหาโดยใช้เครื่องหมายเปรียบเทียบอันแรก

จากการใช้เหตุผลที่ไม่เป็นทางการที่ดำเนินการข้างต้น เราได้ข้อสรุปว่าซีรีส์ของเรามีความแตกต่างกัน ในกรณีนี้ให้ใช้วรรคแรก เราต้องแสดงให้เห็นว่าพจน์ทั่วไปของอนุกรมของเราเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน $v_n≤ \frac(4n^3+2n+9)(n^2(3n+5)^2)$ ในขณะที่อนุกรม $\sum\limits_ (n= 1)^(\infty)v_n$ ลู่ออก แล้วซีรีส์ที่มอบให้เราจะแตกต่างออกไป

มาเริ่มลดเศษส่วน $\frac(4n^3+2n+9)(n^2(3n+5)^2)$ กัน เป้าหมายของเรา: ลดเศษส่วนนี้ให้อยู่ในรูปแบบ $\frac(1)(n)$

หากต้องการลดเศษส่วน มีสองวิธี: ลดตัวเศษหรือเพิ่มตัวส่วน เนื่องจาก $n≥ 1$ ดังนั้น $2n+9 > 0$ ดังนั้น หากเราทิ้ง $2n+9$ ในตัวเศษ เราจะลดตัวเศษลง จึงเป็นการลดเศษส่วนที่ต้องการ:

$$ \frac(4n^3+2n+9)(n^2(3n+5)^2) > \frac(4n^3)(n^2(3n+5)^2) $$

มาทำงานกับตัวส่วนกันดีกว่า. ถ้าเราเพิ่มขึ้น เศษส่วนก็จะลดลง เนื่องจาก $n≥ 1$ ดังนั้น $3n+5≤ 3n+5n=8n$ ดังนั้น หากเราเขียน $8n$ แทนที่จะเป็น $3n+5$ ตัวส่วนจะเพิ่มขึ้น:

$$ \frac(4n^3+2n+9)(n^2(3n+5)^2) > \frac(4n^3)(n^2(3n+5)^2)≥ \frac(4n ^3)(n^2(8n)^2)=\frac(4n^3)(64n^4)=\frac(1)(16)\cdot\frac(1)(n) -

การใช้เหตุผลเพิ่มเติมเป็นมาตรฐาน: เนื่องจากอนุกรม $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ ลู่ออก ดังนั้นอนุกรม $\sum\limits_(n=1)^( \ infty)\left(\frac(1)(16)\cdot\frac(1)(n)\right)$. เนื่องจากอนุกรม $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left(\frac(1)(16)\cdot\frac(1)(n)\right)$ ลู่ออก และ $\frac(4n ^3+2n+9)(n^2(3n+5)^2) > \frac(1)(16)\cdot\frac(1)(n)$ จากนั้นตาม (จุดที่ 1) อนุกรม $\ sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(4n^3+2n+9)(n^2(3n+5)^2)$ จะลู่ออก

โซลูชันโดยใช้เกณฑ์การเปรียบเทียบที่สอง

เราได้พบแล้วก่อนหน้านี้ว่าเราจำเป็นต้องเปรียบเทียบอนุกรมที่กำหนดกับอนุกรมลู่ออก $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ ลองเปรียบเทียบอนุกรมที่กำหนด $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(4n^3+2n+9)(n^2(3n+5)^2)$ กับอนุกรม $\ sum\limits_( n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ โดยใช้ . คุณลักษณะนี้ใช้งานได้กับขีดจำกัด $\lim_(n\to\infty)\frac(u_n)(v_n)$ พจน์ทั่วไปของอนุกรมที่เปรียบเทียบกันไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นเราจึงสามารถใส่พจน์ร่วมของอนุกรมใดๆ ในตัวส่วนได้:

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(\frac(4n^3+2n+9)(n^2(3n+5)^2))(\frac(1)(n))=\ lim_(n\to\infty)\frac(n\left(4n^3+2n+9\right))(n^2(3n+5)^2)=\lim_(n\to\infty)\frac (4n^3+2n+9)(n(3n+5)^2)=\left|\frac(\infty)(\infty)\right|=\\ =\lim_(n\to\infty)\ frac(\frac(4n^3)(n^3)+\frac(2n)(n^3)+\frac(9)(n^3))(\frac(n(3n+5)^2) (n^3))=\lim_(n\to\infty)\frac(4+\frac(2)(n^2)+\frac(9)(n^3))(\left(3+\ frac(5)(n)\right)^2)=\frac(4+0+0)((3+0)^2)=\frac(4)(9) -

ตั้งแต่ $0<\frac{4}{9}<\infty$, то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4n^3+2n+9}{n^2(3n+5)^2}$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ расходится, то одновременно с ним будет расходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4n^3+2n+9}{n^2(3n+5)^2}$.

คำตอบ: ซีรีส์แตกต่าง

ตัวอย่างหมายเลข 3

ตรวจสอบอนุกรม $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5n^2-3)(\sqrt(7n^(10)+2n^3-4))$ สำหรับการลู่เข้า

เนื่องจากขีดจำกัดล่างของการรวมคือ 1 คำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมจึงเขียนไว้ใต้เครื่องหมายผลรวม: $u_n=\frac(5n^2-3)(\sqrt(7n^(10)+2n^3-4) )$ เราจะสังเกตได้ทันทีว่า $u_n > 0$ เช่น ซีรีส์ของเราเป็นไปในเชิงบวก ในทำนองเดียวกับตัวอย่างก่อนหน้านี้ คุณสามารถตรวจสอบการปฏิบัติตามเงื่อนไขการลู่เข้าที่จำเป็นได้ แต่การตรวจสอบนี้จะแสดงเฉพาะว่า $\lim_(n\to\infty)u_n=0$ เท่านั้น เหล่านั้น. ไม่สามารถพูดได้แน่ชัดเกี่ยวกับการบรรจบกันของซีรีส์และต้องใช้เกณฑ์อื่น ๆ

ในการตรวจสอบการบรรจบกันของอนุกรมที่กำหนดโดยใช้เกณฑ์การเปรียบเทียบ ขั้นแรกเราจะรวบรวมอนุกรมที่เราจะเปรียบเทียบกัน ลองละทิ้งองค์ประกอบ "พิเศษ" ของตัวเศษและส่วนในลักษณะเดียวกับที่ทำในตัวอย่างหมายเลข 1 และหมายเลข 2 เราจะเหลือเศษส่วนนี้:

$$\frac(5n^2)(\sqrt(7n^(10)))=\frac(5)(\sqrt(7))\cdot\frac(n^2)(n^(\frac(10) )(3)))=\frac(5)(\sqrt(7))\cdot\frac(1)(n^(\frac(10)(3)-2))= \frac(5)(\ sqrt(7))\cdot\frac(1)(n^(\frac(4)(3))).$$

มันเหมือนกับอนุกรม $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^(\frac(4)(3)))$ ที่เราจะเปรียบเทียบอนุกรมที่กำหนด เนื่องจาก $\frac(4)(3) > 1$ ดังนั้นอนุกรม $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^(\frac(4)(3)) )$ มาบรรจบกัน ดังนั้น ซีรีส์ของเราจะมาบรรจบกัน สิ่งที่เราต้องทำคือแสดงสิ่งนี้อย่างเป็นทางการโดยใช้เกณฑ์การเปรียบเทียบ

วิธีแก้ปัญหาโดยใช้เครื่องหมายเปรียบเทียบอันแรก

ด้วยเหตุผลอย่างไม่เป็นทางการข้างต้น เราได้ข้อสรุปว่าซีรีส์ของเรามาบรรจบกัน ในกรณีนี้ให้ใช้วรรคสอง เราต้องแสดงให้เห็นว่าพจน์ทั่วไปของอนุกรมของเราเป็นไปตามอสมการ $\frac(5n^2-3)(\sqrt(7n^(10)+2n^3-4))≤ v_n$ และอนุกรม $\sum \limits_(n =1)^(\infty)v_n$ มาบรรจบกัน แล้วซีรีส์ที่มอบให้เราจะมาบรรจบกัน

ลองเพิ่มเศษส่วน $\frac(5n^2-3)(\sqrt(7n^(10)+2n^3-4))$ กัน เป้าหมายของเรา: ลดเศษส่วนนี้ให้อยู่ในรูปแบบ $\frac(1)(n^(\frac(4)(3)))$

หากต้องการเพิ่มเศษส่วนนี้ ให้เพิ่มตัวเศษก่อน ถ้าเราปล่อยตัวเลข (-3) ตัวเศษจะมีขนาดใหญ่ขึ้น ซึ่งหมายความว่าเศษส่วนนั้นจะเพิ่มขึ้น:

< \frac{5n^2}{\sqrt{7n^{10}+2n^3-4}} $$

มาทำงานกับตัวส่วนกันดีกว่า. ถ้าเราลดมันลง เศษส่วนก็จะเพิ่มขึ้น เนื่องจาก $n≥ 1$ ดังนั้น $7n^(10)-4≥ 7n^(10)-4n^(10)=3n^(10)$ ดังนั้น ถ้าเราเขียน $3n^(10)$ แทน $7n^(10)-4$ ตัวส่วนจะลดลงและเศษส่วนจะเพิ่มขึ้น:

$$ \frac(5n^2-3)(\sqrt(7n^(10)+2n^3-4))< \frac{5n^2}{\sqrt{7n^{10}+2n^3-4}}≤ \frac{5n^2}{\sqrt{3n^{10}+2n^3}} $$

ทีนี้มาทำสิ่งนี้: ลบคำว่า $2n^3$ ออกจากตัวส่วน ดังนั้นเราจะลดตัวส่วนและเพิ่มเศษส่วนเอง:

$$ \frac(5n^2-3)(\sqrt(7n^(10)+2n^3-4))< \frac{5n^2}{\sqrt{7n^{10}+2n^3-4}}≤ \frac{5n^2}{\sqrt{3n^{10}+2n^3}} < \frac{5n^2}{\sqrt{3n^{10}}}= \frac{5}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}. $$

เนื่องจากอนุกรม $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^(\frac(4)(3)))$ มาบรรจบกัน อนุกรม $\sum\limits_ ก็จะมาบรรจบกันด้วย (n=1)^(\infty)\left(\frac(5)(\sqrt(3))\cdot\frac(1)(n^(\frac(4)(3)))\right)$ . เนื่องจากอนุกรม $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left(\frac(5)(\sqrt(3))\cdot\frac(1)(n^(\frac(4)( ) 3)))\right)$ มาบรรจบกันและ $\frac(5n^2-3)(\sqrt(7n^(10)+2n^3-4))<\frac{5}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}$, то согласно (пункт №2) ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5n^2-3}{\sqrt{7n^{10}+2n^3-4}}$ будет сходиться.

โซลูชันโดยใช้เกณฑ์การเปรียบเทียบที่สอง

เราได้พบแล้วว่าเราจำเป็นต้องเปรียบเทียบอนุกรมที่กำหนดกับอนุกรมลู่เข้า $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^(\frac(4)(3)) )$ ลองเปรียบเทียบอนุกรมที่กำหนด $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5n^2-3)(\sqrt(7n^(10)+2n^3-4))$ กับ ซีรีส์ $\sum \limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n^(\frac(4)(3)))$ โดยใช้ . คุณลักษณะนี้ใช้งานได้กับขีดจำกัด $\lim_(n\to\infty)\frac(u_n)(v_n)$ พจน์ทั่วไปของอนุกรมที่เปรียบเทียบกันไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นเราจึงสามารถใส่พจน์ร่วมของอนุกรมใดๆ ในตัวส่วนได้:

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(\frac(5n^2-3)(\sqrt(7n^(10)+2n^3-4)))(\frac(1)(n^ (\frac(4)(3))))=\lim_(n\to\infty)\frac(5n^(\frac(10)(3))-3n^(\frac(4)(3)) )(\sqrt(7n^(10)+2n^3-4))=\left|\frac(\infty)(\infty)\right|=\left|\text(หารทั้งเศษและส่วนด้วย )n ^ (\frac(10)(3))\right|=\\ =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(5n^(\frac(10)(3)))(n^( \ frac(10)(3)))-\frac(3n^(\frac(4)(3)))(n^(\frac(10)(3))))(\sqrt(\frac(7n ^ (10))(n^(10))+\frac(2n^3)(n^(10))-\frac(4)(n^(10))))=\lim_(n\to\ infty )\frac(5-\frac(3)(n^2))(\sqrt(7+\frac(2)(n^7)-\frac(4)(n^(10))))= \ frac(5-0)(\sqrt(7+0-0))=\frac(5)(\sqrt(7)) -

ในการคำนวณขีดจำกัดนั้น ใช้วิธีการที่ระบุไว้ในหัวข้อ “ขีดจำกัดด้วยความไม่มีเหตุผล” ตั้งแต่ $0<\frac{5}{\sqrt{7}}<\infty$, то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5n^2-3}{\sqrt{7n^{10}+2n^3-4}}$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}$ сходится, то одновременно с ним будет сходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5n^2-3}{\sqrt{7n^{10}+2n^3-4}}$.

คำตอบ: ซีรีส์มาบรรจบกัน

ตัวอย่างหมายเลข 4

ตรวจสอบการบรรจบกันของอนุกรม $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left(\sqrt(2n+3)-\sqrt(2n-1)\right)$

เนื่องจากขีดจำกัดล่างของการรวมคือ 1 คำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมจึงเขียนไว้ใต้เครื่องหมายผลรวม: $u_n=\sqrt(2n+3)-\sqrt(2n-1)$ ที่นี่คุณจะสังเกตเห็นได้ทันทีว่าตั้งแต่ $\sqrt(2n+3)> \sqrt(2n-1)$ จากนั้น $u_n > 0$ เช่น ซีรีส์ของเราเป็นไปในเชิงบวก หากคุณต้องการ คุณสามารถตรวจสอบได้ว่าตรงตามเงื่อนไขการลู่เข้าที่จำเป็นหรือไม่ แต่การตรวจสอบนี้จะไม่ให้ผลลัพธ์ใดๆ (ขีดจำกัด $\lim_(n\to\infty)u_n$ คำนวณโดยการเปรียบเทียบกับตัวอย่างที่ 8 ในหน้านี้ ) เนื่องจาก $\lim_(n\to \infty)u_n=0$ มาดูการใช้คุณสมบัติการเปรียบเทียบกันดีกว่า

ก่อนที่จะใช้เกณฑ์การเปรียบเทียบบางอย่าง ควรเปลี่ยนการแสดงออกของสมาชิกทั่วไปของซีรีส์เล็กน้อย การคูณด้วยนิพจน์คอนจูเกตจะช่วยได้ เช่น โดย $\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1)$ โดยธรรมชาติแล้ว ถ้าเราคูณด้วยพจน์ใดพจน์หนึ่ง เราก็จะต้องหารด้วยพจน์นั้น เมื่อลดรูปลง สูตร $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ จะช่วยเราได้ ดังนั้น:

$$ u_n=\sqrt(2n+3)-\sqrt(2n-1)=\frac(\left(\sqrt(2n+3)-\sqrt(2n-1)\right)\cdot \left(\ sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1)\right))(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1))=\\ =\frac(\left(\sqrt(2n+ 3) )\right)^2-\left(\sqrt(2n-1)\right)^2)(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1))=\frac(2n+3-( 2n -1))(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1))= \frac(4)(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1)) -

ตอนนี้อนุกรมของเราดูเหมือน $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(4)(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1))$ การใช้อาร์กิวเมนต์ที่คล้ายกับที่ดำเนินการในตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราพบว่าเราจำเป็นต้องเปรียบเทียบอนุกรมของเรากับอนุกรม $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(\sqrt(n)) $. ซีรีส์ $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(\sqrt(n))=\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n ^(\frac(1)(2)))$ ลู่ออกตั้งแต่ระดับ $\frac(1)(2)≤ 1$ ซึ่งหมายความว่าซีรีส์ของเราจะแตกต่างออกไป สิ่งเดียวที่เหลือคือการแสดงสิ่งนี้อย่างเป็นทางการ

วิธีแก้ปัญหาโดยใช้เครื่องหมายเปรียบเทียบอันแรก

ด้วยเหตุผลอย่างไม่เป็นทางการข้างต้น เราได้ข้อสรุปว่าซีรีส์ของเรามีความแตกต่างกัน มาเริ่มลดเศษส่วน $\frac(4)(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1))$ กันก่อน เนื่องจาก $\sqrt(2n+3)> \sqrt(2n-1)$ ดังนั้นโดยการเขียนนิพจน์ $\sqrt(2n+3)$ แทน $\sqrt(2n-1)$ เราจะเพิ่มตัวส่วน จึงลดเศษส่วน :

$$ \frac(4)(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1)) > \frac(4)(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n+3))=\frac (4)(2\sqrt(2n+3))=\frac(2)(\sqrt(2n+3)) -

ลองเพิ่มตัวส่วนอีกครั้ง. ตั้งแต่ $2n+3< 2n+7n=9n$, то заменяя выражение в знаменателе на $\sqrt{9n}$ мы увеличим знаменатель, тем самым уменьшив дробь:

$$ \frac(4)(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1)) >\frac(2)(\sqrt(2n+3)) > \frac(2)(\sqrt(9n ))=\frac(2)(3)\cdot\frac(1)(\sqrt(n)) -

เนื่องจากอนุกรม $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(\sqrt(n))$ ลู่ออก อนุกรม $\sum\limits_(n=1)^( \infty) \left(\frac(2)(3)\cdot\frac(1)(\sqrt(n))\right)$. เนื่องจากอนุกรม $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left(\frac(2)(3)\cdot\frac(1)(\sqrt(n))\right)$ ลู่ออก และ $ \frac(4)(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1)) >\frac(2)(3)\cdot\frac(1)(\sqrt(n))$ จากนั้นตาม ( จุดที่ 1) อนุกรม $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(4)(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1))$ จะลู่ออก

โซลูชันโดยใช้เกณฑ์การเปรียบเทียบที่สอง

เราได้พบแล้วว่าเราจำเป็นต้องเปรียบเทียบอนุกรมที่กำหนดกับอนุกรมลู่ออก $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(\sqrt(n))$ ลองเปรียบเทียบอนุกรมที่กำหนด $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(4)(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1))$ กับอนุกรม $\sum \limits_(n =1)^(\infty)\frac(1)(\sqrt(n))$ โดยใช้ . พจน์ทั่วไปของอนุกรมที่เปรียบเทียบกันไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นเราจึงสามารถใส่พจน์ร่วมของอนุกรมใดๆ ในตัวส่วนได้:

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(\frac(4)(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1)))(\frac(1)(\sqrt(n)) )=\lim_(n\to\infty)\frac(4\sqrt(n))(\sqrt(2n+3)+\sqrt(2n-1))=\left|\frac(\infty)(\ infty) \right|=\left|\text(หารทั้งเศษและส่วนด้วย )\sqrt(n)\right|=\\ =\lim_(n\to\infty)\frac(4)(\sqrt(2 + \frac(3)(n))+\sqrt(2-\frac(1)(n)))=\frac(4)(\sqrt(2+0)+\sqrt(2-0))= \ frac(2)(\sqrt(2))=\sqrt(2) -

ตั้งแต่ $0<\sqrt{2}<\infty$, то ряды $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-1}}$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$ сходятся либо расходятся одновременно. Так как ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$ расходится, то одновременно с ним будет расходиться и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-1}}$.

คำตอบ: ซีรีส์แตกต่าง

เราจะดำเนินการต่อในหัวข้อการศึกษาการบรรจบกันของอนุกรมโดยใช้เกณฑ์การเปรียบเทียบในส่วนที่สองและสาม

แถวสำหรับหุ่น ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ฉันยินดีต้อนรับผู้รอดชีวิตทุกคนสู่ปีที่สอง! ในบทนี้หรือในชุดบทเรียน เราจะได้เรียนรู้วิธีจัดการแถว หัวข้อไม่ซับซ้อนมาก แต่การเรียนรู้จะต้องอาศัยความรู้ตั้งแต่ปีแรกโดยเฉพาะคุณต้องเข้าใจ ขีดจำกัดคืออะไร และสามารถหาขีดจำกัดที่ง่ายที่สุดได้ อย่างไรก็ตาม ตามที่ฉันอธิบายไว้ ไม่เป็นไร ฉันจะให้ลิงก์ที่เกี่ยวข้องไปยังบทเรียนที่จำเป็น สำหรับผู้อ่านบางคน หัวข้อของอนุกรมทางคณิตศาสตร์ วิธีการแก้ปัญหา สัญญาณ ทฤษฎีบทอาจดูแปลกและแม้จะเสแสร้งและไร้สาระ ในกรณีนี้ คุณไม่จำเป็นต้อง "หนักใจ" เกินไป เรายอมรับข้อเท็จจริงตามที่เป็นอยู่ และเพียงแค่เรียนรู้ที่จะแก้ไขงานทั่วไปทั่วไป

1) แถวสำหรับหุ่นและสำหรับกาโลหะให้เนื้อหาทันที :)

เพื่อการเตรียมการในหัวข้อที่รวดเร็วเป็นพิเศษมีหลักสูตรด่วนในรูปแบบ pdf ซึ่งคุณสามารถ "ยกระดับ" การฝึกฝนของคุณได้อย่างแท้จริงในหนึ่งวัน

แนวคิดเรื่องอนุกรมจำนวน

โดยทั่วไปแล้ว ชุดตัวเลขสามารถเขียนได้ดังนี้: .
ที่นี่:
– ไอคอนผลรวมทางคณิตศาสตร์
– คำทั่วไปของซีรีส์(จำคำง่ายๆนี้ไว้);
– ตัวแปร “ตัวนับ” สัญกรณ์หมายความว่าการรวมจะดำเนินการตั้งแต่ 1 ถึง "บวกอนันต์" นั่นคือกับเราก่อนจากนั้นต่อไปเรื่อย ๆ - จนถึงอนันต์ แทนที่จะเป็นตัวแปร ตัวแปรหรือบางครั้งก็ถูกใช้ การบวกไม่จำเป็นต้องเริ่มจากหนึ่ง ในบางกรณีอาจเริ่มจากศูนย์ จากสอง หรือจากใดๆ ก็ได้ จำนวนธรรมชาติ.

ตามตัวแปร "ตัวนับ" สามารถขยายซีรี่ส์ใดก็ได้:
- และอื่นๆ ไม่มีที่สิ้นสุด

ส่วนประกอบ - นี้ ตัวเลขซึ่งเรียกว่า สมาชิกแถว. หากทั้งหมดนั้นไม่เป็นลบ (มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์)แล้วซีรีย์ดังกล่าวจึงถูกเรียกว่า อนุกรมจำนวนบวก.

ตัวอย่างที่ 1

นี่เป็นงาน "ต่อสู้" อยู่แล้ว - ในทางปฏิบัติบ่อยครั้งที่จำเป็นต้องเขียนคำศัพท์หลายคำในซีรีส์

ก่อนอื่น:
ถ้าอย่างนั้น:
ถ้าอย่างนั้น:

กระบวนการนี้สามารถดำเนินต่อไปได้อย่างไม่มีกำหนด แต่ตามเงื่อนไขจำเป็นต้องเขียนสามเทอมแรกของอนุกรม ดังนั้นเราจึงเขียนคำตอบ:

โปรดสังเกตความแตกต่างพื้นฐานจาก ลำดับหมายเลข ,
โดยที่ข้อกำหนดไม่ได้สรุปแต่ถือว่าเป็นเช่นนั้น

ตัวอย่างที่ 2

เขียนคำศัพท์สามคำแรกของชุดข้อมูล

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง คำตอบอยู่ท้ายบทเรียน

แม้ว่าซีรีส์จะดูซับซ้อนตั้งแต่แรกเห็น แต่ก็อธิบายได้ไม่ยาก:

ตัวอย่างที่ 3

เขียนคำศัพท์สามคำแรกของชุดข้อมูล

ในความเป็นจริงงานจะดำเนินการด้วยวาจา: แทนที่จิตใจเป็นคำทั่วไปของซีรีส์ก่อนแล้วจึงและ เป็นผลให้:

เราทิ้งคำตอบไว้ดังนี้: เป็นการดีกว่าที่จะไม่ทำให้เงื่อนไขอนุกรมผลลัพธ์ง่ายขึ้นนั่นคือ อย่าดำเนินการการกระทำ: , , . ทำไม คำตอบอยู่ในรูปแบบ ครูจะตรวจสอบได้ง่ายและสะดวกกว่ามาก

บางครั้งงานตรงกันข้ามก็เกิดขึ้น

ตัวอย่างที่ 4

ไม่มีอัลกอริธึมวิธีแก้ปัญหาที่ชัดเจนที่นี่ คุณเพียงแค่ต้องเห็นรูปแบบ.
ในกรณีนี้:

หากต้องการตรวจสอบ ซีรีส์ผลลัพธ์สามารถ "เขียนกลับ" ในรูปแบบขยายได้

นี่คือตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่าเล็กน้อยในการแก้ไขด้วยตัวเอง:

ตัวอย่างที่ 5

เขียนผลรวมในรูปแบบการยุบโดยใช้คำศัพท์ทั่วไปของอนุกรม

ตรวจสอบโดยเขียนชุดข้อมูลในรูปแบบขยายอีกครั้ง

การบรรจบกันของอนุกรมจำนวน

วัตถุประสงค์สำคัญประการหนึ่งของหัวข้อนี้คือ การศึกษาซีรีส์เพื่อการลู่เข้า- ในกรณีนี้เป็นไปได้สองกรณี:

1) แถวแตกต่าง- ซึ่งหมายความว่าผลรวมอนันต์เท่ากับอนันต์: หรือผลรวมโดยทั่วไป ไม่มีอยู่จริงเช่นในซีรีส์
(นี่คือตัวอย่างซีรีส์ที่มีคำศัพท์เชิงลบ) ตัวอย่างที่ดีของอนุกรมเลขลู่ออกพบได้ในตอนต้นของบทเรียน: - เห็นได้ชัดว่าสมาชิกแต่ละคนถัดไปของซีรีส์จะมีจำนวนมากกว่าสมาชิกก่อนหน้า ดังนั้นซีรีส์จึงมีความแตกต่างกัน ตัวอย่างที่ไม่สำคัญยิ่งกว่านั้น: .

2) แถวมาบรรจบกัน- ซึ่งหมายความว่าผลรวมอนันต์เท่ากับค่าจำนวนหนึ่ง จำนวนจำกัด- โปรด: – ซีรีย์นี้มาบรรจบกันและผลรวมเป็นศูนย์ เพื่อเป็นตัวอย่างที่มีความหมายมากขึ้น เราสามารถอ้างอิงได้ ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่เรารู้จักตั้งแต่สมัยเรียน: - ผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดคำนวณโดยสูตร: โดยที่ คือเทอมแรกของความก้าวหน้า และเป็นฐาน ซึ่งโดยปกติจะเขียนอยู่ในรูปแบบ ถูกต้องเศษส่วน ในกรณีนี้: , . ดังนั้น: จะได้จำนวนจำกัด ซึ่งหมายความว่าอนุกรมมาบรรจบกัน ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

อย่างไรก็ตามในกรณีส่วนใหญ่ หาผลรวมของอนุกรม ไม่ใช่เรื่องง่ายดังนั้นในทางปฏิบัติเพื่อศึกษาการบรรจบกันของอนุกรมจึงมีการใช้สัญญาณพิเศษที่ได้รับการพิสูจน์ทางทฤษฎีแล้ว

มีสัญญาณของการบรรจบกันของอนุกรมหลายประการ: การทดสอบที่จำเป็นสำหรับการบรรจบกันของอนุกรม การทดสอบเปรียบเทียบ การทดสอบของดาล็องแบร์ ​​การทดสอบของคอชี, สัญญาณของไลบ์นิซและสัญญาณอื่นๆ ควรใช้สัญลักษณ์ใดเมื่อใด?ขึ้นอยู่กับสมาชิกทั่วไปของซีรีส์นี้ ซึ่งหากพูดโดยนัยแล้วก็คือ "การเติมเต็ม" ของซีรีส์นี้ และในไม่ช้าเราจะจัดการทุกอย่างให้เรียบร้อย

! คุณต้องเรียนรู้บทเรียนเพิ่มเติม เข้าใจดีขีดจำกัดคืออะไร และเป็นการดีที่สามารถเปิดเผยความไม่แน่นอนของประเภทได้ หากต้องการทบทวนหรือศึกษาเนื้อหา โปรดดูที่บทความ ขีดจำกัด ตัวอย่างการแก้ปัญหา .

สัญญาณที่จำเป็นของการบรรจบกันของซีรีส์

หากอนุกรมมาบรรจบกัน คำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมนั้นมีแนวโน้มเป็นศูนย์:

การสนทนาไม่เป็นความจริงในกรณีทั่วไป เช่น ถ้า อนุกรมนั้นสามารถมาบรรจบกันหรือแยกออกได้ ดังนั้นเครื่องหมายนี้จึงถูกนำมาใช้เพื่อพิสูจน์ ความแตกต่างแถว:

ถ้าเป็นศัพท์ทั่วไปของซีรีย์ ไม่มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์แล้วซีรีส์ก็แยกออกไป

หรือเรียกสั้น ๆ ว่า: ถ้า แสดงว่าซีรีย์นั้นแตกต่างออกไป โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สถานการณ์อาจเป็นไปได้โดยที่ไม่มีขีดจำกัดเลย เช่น ขีด จำกัด - ดังนั้นพวกเขาจึงพิสูจน์ให้เห็นถึงความแตกต่างของซีรีย์หนึ่งทันที :)

แต่บ่อยครั้งกว่ามาก ขีดจำกัดของอนุกรมไดเวอร์เจนต์จะเท่ากับอนันต์ และแทนที่จะเป็น "x" จะทำหน้าที่เป็นตัวแปร "ไดนามิก" มาทบทวนความรู้กันดีกว่า: เรียกว่าลิมิตด้วย "X" เกินกว่าหน้าที่และจำกัดด้วยตัวแปร “en” – นอกลำดับตัวเลข- ความแตกต่างที่ชัดเจนคือตัวแปร "en" รับค่าธรรมชาติที่ไม่ต่อเนื่อง (ไม่ต่อเนื่อง) เช่น 1, 2, 3 เป็นต้น แต่ความจริงข้อนี้มีผลเพียงเล็กน้อยต่อวิธีการแก้ไขขีดจำกัดและวิธีการเปิดเผยความไม่แน่นอน

ให้เราพิสูจน์ว่าซีรีส์จากตัวอย่างแรกมีความแตกต่างกัน
สมาชิกทั่วไปของซีรีส์:

บทสรุป: แถว แตกต่าง

คุณสมบัติที่จำเป็นมักใช้ในทางปฏิบัติจริง:

ตัวอย่างที่ 6

เรามีพหุนามในตัวเศษและส่วน. ผู้ที่อ่านและเข้าใจวิธีการเปิดเผยความไม่แน่นอนในบทความอย่างถี่ถ้วน ขีดจำกัด ตัวอย่างการแก้ปัญหา ฉันคงจับได้ว่า เมื่อพลังสูงสุดของทั้งเศษและส่วน เท่ากันแล้วขีดจำกัดก็คือ จำนวนจำกัด .

หารทั้งเศษและส่วนด้วย

ซีรีส์ที่กำลังศึกษาอยู่ แตกต่างเนื่องจากไม่เป็นไปตามเกณฑ์ที่จำเป็นสำหรับการบรรจบกันของซีรีส์

ตัวอย่างที่ 7

ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน

ดังนั้น เมื่อเราได้รับชุดตัวเลขใดๆ ก่อนอื่นเลยเราตรวจสอบ (ทางจิตใจหรือแบบร่าง): คำทั่วไปของมันมีแนวโน้มเป็นศูนย์หรือไม่? หากไม่เป็นเช่นนั้น เราจะคิดวิธีแก้ปัญหาตามตัวอย่างที่ 6, 7 และให้คำตอบว่าชุดข้อมูลแยกออกจากกัน

เราได้พิจารณาซีรีส์ที่แตกต่างอย่างเห็นได้ชัดประเภทใดบ้าง เป็นที่ชัดเจนทันทีว่าซีรีส์ชอบหรือแตกต่าง ซีรีส์จากตัวอย่างที่ 6, 7 ก็มีความแตกต่างเช่นกัน: เมื่อตัวเศษและส่วนมีพหุนามและกำลังนำของตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับกำลังนำของตัวส่วน- ในกรณีเหล่านี้ทั้งหมด เมื่อแก้ไขและเตรียมตัวอย่าง เราใช้สัญลักษณ์ที่จำเป็นของการบรรจบกันของซีรีส์

เหตุใดจึงเรียกป้ายนี้ว่า จำเป็น- ทำความเข้าใจอย่างเป็นธรรมชาติที่สุด: เพื่อให้ซีรีส์มาบรรจบกัน จำเป็น ดังนั้นคำทั่วไปจึงมีแนวโน้มเป็นศูนย์ และทุกอย่างคงจะดี แต่ยังมีอีกมาก ไม่เพียงพอ - กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากคำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ นี่ไม่ได้หมายความว่าอนุกรมนั้นมาบรรจบกัน– มันสามารถมาบรรจบกันและแตกแยกได้!

พบปะ:

ชุดนี้มีชื่อว่า ซีรีย์ฮาร์มอนิก- โปรดจำไว้ว่า! ในบรรดาซีรีส์หมายเลข เขาเป็นนักบัลเล่ต์ระดับพรีมา แม่นยำยิ่งขึ้นนักบัลเล่ต์ =)

มันง่ายที่จะเห็นว่า , แต่. ในทฤษฎีการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ได้รับการพิสูจน์แล้วว่า อนุกรมฮาร์มอนิกแตกต่าง.

คุณควรจำแนวคิดของอนุกรมฮาร์มอนิกทั่วไปด้วย:

1) แถวนี้ แตกต่างที่ . เช่น ซีรีส์ , , ไดเวอร์จ
2) แถวนี้ มาบรรจบกันที่ . ตัวอย่างเช่น ซีรีส์ , , , มาบรรจบกัน ฉันขอย้ำอีกครั้งว่าในงานภาคปฏิบัติเกือบทั้งหมดนั้นไม่สำคัญสำหรับเราเลยว่าคุณค่าคืออะไร ผลรวมเช่น ซีรีส์ ความจริงของการบรรจบกันเป็นสิ่งสำคัญ.

นี่เป็นข้อเท็จจริงเบื้องต้นจากทฤษฎีอนุกรมที่ได้รับการพิสูจน์แล้ว และเมื่อแก้ไขตัวอย่างเชิงปฏิบัติใดๆ คุณสามารถอ้างอิงถึงความแตกต่างของอนุกรมหรือการบรรจบกันของอนุกรมได้อย่างปลอดภัย

โดยทั่วไปเนื้อหาที่เป็นปัญหาจะคล้ายกันมาก การศึกษาปริพันธ์ที่ไม่เหมาะสม และจะง่ายกว่าสำหรับผู้ที่ได้ศึกษาหัวข้อนี้ สำหรับผู้ที่ยังไม่ได้ศึกษามันง่ายกว่าสองเท่า :)

แล้วจะทำอย่างไรถ้าคำศัพท์ทั่วไปของอนุกรม TENDS เป็นศูนย์?ในกรณีเช่นนี้ เพื่อแก้ตัวอย่างคุณต้องใช้ตัวอื่น เพียงพอ สัญญาณของการบรรจบกัน/ความแตกต่าง:

เกณฑ์การเปรียบเทียบอนุกรมจำนวนบวก

ฉันดึงความสนใจของคุณตรงนี้เรากำลังพูดถึงเฉพาะอนุกรมจำนวนบวกเท่านั้น (ที่มีเงื่อนไขไม่เป็นลบ).

มีสัญญาณการเปรียบเทียบสองประการ หนึ่งในนั้นฉันจะเรียกง่ายๆ สัญญาณของการเปรียบเทียบ, อื่น - ขีดจำกัดของการเปรียบเทียบ.

เรามาพิจารณากันก่อน เครื่องหมายเปรียบเทียบหรือค่อนข้างจะเป็นส่วนแรกของมัน:

พิจารณาชุดจำนวนบวกสองชุด และ ถ้ารู้แล้วว่าซีรีส์ – มาบรรจบกันและเริ่มจากจำนวนหนึ่งถึงความไม่เท่าเทียมกันแล้วจึงเกิดอนุกรม ยังมาบรรจบกัน.

กล่าวอีกนัยหนึ่ง: จากการบรรจบกันของอนุกรมที่มีเทอมที่ใหญ่กว่า การบรรจบกันของอนุกรมที่มีเทอมที่เล็กกว่าจะตามมา- ในทางปฏิบัติ ความไม่เท่าเทียมกันมักมีอยู่ในค่านิยมทั้งหมด:

ตัวอย่างที่ 8

ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า

ก่อนอื่นเรามาตรวจสอบกันก่อน(ทางจิตใจหรือในร่าง) การดำเนินการ:
ซึ่งหมายความว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะ "ออกไปโดยมีเลือดเพียงเล็กน้อย"

เราดูที่ "แพ็ค" ของอนุกรมฮาร์มอนิกทั่วไป และมุ่งเน้นไปที่ระดับสูงสุด เราจะพบอนุกรมที่คล้ายกัน: เป็นที่ทราบกันดีจากทฤษฎีว่ามันมาบรรจบกัน

สำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมด อสมการที่เห็นได้ชัดเจนมีดังนี้:

และตัวส่วนที่มากกว่าสอดคล้องกับเศษส่วนที่น้อยกว่า:
ซึ่งหมายความว่าตามเกณฑ์การเปรียบเทียบชุดที่กำลังศึกษาอยู่ มาบรรจบกันร่วมกับถัดจาก

หากคุณมีข้อสงสัย คุณสามารถอธิบายความไม่เท่าเทียมกันโดยละเอียดได้เสมอ!ให้เราเขียนความไม่เท่าเทียมกันที่สร้างขึ้นสำหรับตัวเลขหลายตัว “en”:
ถ้าอย่างนั้น
ถ้าอย่างนั้น
ถ้าอย่างนั้น
ถ้าอย่างนั้น
….
และตอนนี้ก็ชัดเจนแล้วว่าความไม่เท่าเทียมกันนั้น เติมเต็มให้กับจำนวนธรรมชาติทั้งหมด “en”

มาวิเคราะห์เกณฑ์การเปรียบเทียบและตัวอย่างที่แก้ไขแล้วจากมุมมองที่ไม่เป็นทางการ แต่ทำไมซีรีส์ถึงมาบรรจบกัน? นี่คือเหตุผล หากซีรีส์มาบรรจบกันแสดงว่ามีบางอย่าง สุดท้ายจำนวน: - และเนื่องจากสมาชิกทุกคนในซีรีส์ น้อยเงื่อนไขที่สอดคล้องกันของอนุกรม เป็นที่ชัดเจนว่าผลรวมของอนุกรมต้องไม่มากกว่าตัวเลข และยิ่งกว่านั้นคือไม่สามารถเท่ากับอนันต์ได้!

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถพิสูจน์การมาบรรจบกันของซีรีส์ที่ "คล้ายกัน" ได้: , , ฯลฯ

- โปรดทราบ, ว่าในทุกกรณี เรามี "ข้อดี" ในตัวส่วน การมีเครื่องหมายลบอย่างน้อยหนึ่งตัวอาจทำให้การใช้ผลิตภัณฑ์ที่เป็นปัญหายุ่งยากอย่างมาก เครื่องหมายเปรียบเทียบ- ตัวอย่างเช่น หากมีการเปรียบเทียบอนุกรมในลักษณะเดียวกันกับอนุกรมที่มาบรรจบกัน (เขียนความไม่เท่าเทียมกันหลายประการสำหรับเทอมแรก) เงื่อนไขก็จะไม่เป็นที่พอใจเลย! ที่นี่คุณสามารถหลบและเลือกซีรีส์มาบรรจบกันอื่นเพื่อเปรียบเทียบได้ แต่จะนำมาซึ่งการจองที่ไม่จำเป็นและปัญหาอื่น ๆ ที่ไม่จำเป็น ดังนั้นเพื่อพิสูจน์การบรรจบกันของซีรีส์จึงใช้งานได้ง่ายกว่ามาก ขีดจำกัดของการเปรียบเทียบ(ดูย่อหน้าถัดไป)

ตัวอย่างที่ 9

ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า

และในตัวอย่างนี้ ฉันขอแนะนำให้คุณพิจารณาด้วยตัวเอง ส่วนที่สองของแอตทริบิวต์การเปรียบเทียบ:

ถ้ารู้แล้วว่าซีรีส์ – แตกต่างและเริ่มจากจำนวนหนึ่ง (มักจะตั้งแต่แรกสุด)ความไม่เท่าเทียมกันเป็นที่พอใจแล้วซีรีส์ ยังแตกต่างออกไป.

กล่าวอีกนัยหนึ่ง: จากความแตกต่างของอนุกรมที่มีเทอมน้อยกว่า จะตามมาด้วยความแตกต่างของอนุกรมที่มีเทอมใหญ่กว่า.

จะต้องทำอะไร?
จำเป็นต้องเปรียบเทียบอนุกรมที่กำลังศึกษากับอนุกรมฮาร์มอนิกแบบไดเวอร์เจนท์ เพื่อความเข้าใจที่ดีขึ้น ให้สร้างความไม่เท่าเทียมกันเฉพาะหลายประการ และตรวจสอบให้แน่ใจว่าความไม่เท่าเทียมกันนั้นยุติธรรม

วิธีแก้ไขและการออกแบบตัวอย่างอยู่ท้ายบทเรียน

ตามที่ระบุไว้แล้ว ในทางปฏิบัติ เกณฑ์การเปรียบเทียบที่เพิ่งกล่าวถึงนั้นไม่ค่อยได้ใช้ สิ่งสำคัญที่แท้จริงของอนุกรมตัวเลขคือ ขีดจำกัดของการเปรียบเทียบและในด้านความถี่ในการใช้งานก็สามารถแข่งขันกับมันได้เท่านั้น สัญลักษณ์ของดาล็องแบร์ .

การทดสอบขีดจำกัดสำหรับการเปรียบเทียบอนุกรมตัวเลขบวก

พิจารณาชุดจำนวนบวกสองชุด และ ถ้าขีดจำกัดของอัตราส่วนของเงื่อนไขทั่วไปของอนุกรมเหล่านี้มีค่าเท่ากับ จำนวนจำกัดที่ไม่ใช่ศูนย์: , แล้วอนุกรมทั้งสองมาบรรจบกันหรือแยกออกพร้อมกัน.

เกณฑ์จำกัดจะใช้เมื่อใด?เกณฑ์จำกัดสำหรับการเปรียบเทียบจะใช้เมื่อ "การเติม" ของอนุกรมเป็นพหุนาม พหุนามตัวเดียวในตัวส่วน หรือพหุนามทั้งตัวเศษและส่วนก็ได้ อีกทางเลือกหนึ่ง คือ พหุนามสามารถอยู่ใต้รากได้

เรามาจัดการกับแถวที่เครื่องหมายการเปรียบเทียบก่อนหน้านี้หยุดทำงาน

ตัวอย่างที่ 10

ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า

ลองเปรียบเทียบซีรีย์นี้กับซีรีย์แบบมาบรรจบกัน เราใช้เกณฑ์จำกัดในการเปรียบเทียบ เป็นที่รู้กันว่าซีรีส์มาบรรจบกัน ถ้าเราแสดงว่ามันเท่ากับได้ มีจำกัด ไม่ใช่ศูนย์จะได้รับการพิสูจน์ว่าซีรีส์นี้มาบรรจบกันด้วย

จะได้จำนวนจำกัดที่ไม่ใช่ศูนย์ ซึ่งหมายความว่าอนุกรมที่กำลังศึกษาอยู่ มาบรรจบกันร่วมกับถัดจาก

เหตุใดจึงเลือกซีรีส์นี้เพื่อเปรียบเทียบ หากเราเลือกอนุกรมอื่นจาก "กรง" ของอนุกรมฮาร์มอนิกทั่วไป เราก็คงไม่ประสบความสำเร็จในขีดจำกัด มีจำกัด ไม่ใช่ศูนย์ตัวเลข (คุณสามารถทดลองได้)

บันทึก: เมื่อเราใช้เกณฑ์การเปรียบเทียบแบบจำกัด ไม่สำคัญเพื่อที่จะประกอบความสัมพันธ์ของสมาชิกทั่วไปตามตัวอย่างที่พิจารณา ความสัมพันธ์สามารถรวบรวมได้ในอีกทางหนึ่ง: - สิ่งนี้จะไม่เปลี่ยนสาระสำคัญของเรื่อง