อนุกรมจำนวนเรียกว่าการลู่เข้าถ้า ชุดตัวเลข

คำจำกัดความพื้นฐาน

คำนิยาม. ผลรวมของเงื่อนไขของลำดับจำนวนอนันต์เรียกว่า ชุดตัวเลข.

ขณะเดียวกันก็มีตัวเลข
เราจะเรียกพวกเขาว่าสมาชิกของซีรีส์และ คุณ n– สมาชิกทั่วไปของซีรีส์

คำนิยาม. จำนวนเงิน
,n = 1, 2, … ถูกเรียกว่า จำนวนเงินส่วนตัว (บางส่วน)แถว.

ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะพิจารณาลำดับผลรวมบางส่วนของอนุกรมนั้น ส 1 , ส 2 , …, ส n , …

คำนิยาม. แถว
เรียกว่า มาบรรจบกันถ้าลำดับของผลรวมบางส่วนมาบรรจบกัน ผลรวมของอนุกรมมาบรรจบกันคือขีดจำกัดของลำดับของผลรวมบางส่วน

คำนิยาม. ถ้าลำดับของผลรวมบางส่วนของอนุกรมแยกออก กล่าวคือ ไม่มีขีดจำกัดหรือมีขีดจำกัดเป็นอนันต์จึงเรียกว่าอนุกรม แตกต่างและไม่มีการกำหนดจำนวนเงินไว้

คุณสมบัติของแถว

1) การบรรจบกันหรือความแตกต่างของซีรีส์จะไม่ถูกละเมิด หากข้อกำหนดจำนวนจำกัดของซีรีส์มีการเปลี่ยนแปลง ละทิ้ง หรือเพิ่ม

2) พิจารณาสองแถว
และ
โดยที่ C เป็นจำนวนคงที่

ทฤษฎีบท. ถ้าเป็นแถว
มาบรรจบกันและผลรวมก็เท่ากันสแล้วก็ซีรีย์
มาบรรจบกันด้วย และผลรวมเท่ากับ Cส. (ค  0)

3) พิจารณาสองแถว
และ
.จำนวนหรือ ความแตกต่างของซีรีย์เหล่านี้จะเรียกว่าซีรีย์
โดยที่องค์ประกอบได้มาจากการบวก (ลบ) องค์ประกอบดั้งเดิมด้วยตัวเลขเดียวกัน

ทฤษฎีบท. ถ้าเป็นแถว
และ
มาบรรจบกันและผลรวมเท่ากันตามลำดับสและ แล้วก็ซีรีย์
มาบรรจบกันด้วยและผลรวมก็เท่ากันส +  .

ความแตกต่างของอนุกรมมาบรรจบกันสองชุดก็จะเป็นอนุกรมที่มาบรรจบกันด้วย

ผลรวมของอนุกรมลู่เข้าและอนุกรมไดเวอร์เจนต์คืออนุกรมไดเวอร์เจนต์

เป็นไปไม่ได้ที่จะแถลงทั่วไปเกี่ยวกับผลรวมของอนุกรมไดเวอร์เจนต์สองชุด

เมื่อศึกษาอนุกรม ส่วนใหญ่จะแก้ปัญหาสองประการ ได้แก่ ศึกษาการลู่เข้าและการหาผลรวมของอนุกรม

เกณฑ์ Cauchy

(เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการบรรจบกันของซีรีส์)

เพื่อให้เกิดลำดับ
ได้มาบรรจบกันจึงจำเป็นและเพียงพอต่อการใด
มีจำนวนดังกล่าวเอ็น, ที่n > เอ็นและอย่างใดอย่างหนึ่งพี> 0 โดยที่ p เป็นจำนวนเต็ม จะถือว่าอสมการต่อไปนี้:

.

การพิสูจน์. (ความจำเป็น)

อนุญาต
แล้วสำหรับจำนวนใดๆ
มีจำนวน N เท่ากับความไม่เท่าเทียมกัน

เป็นจริงเมื่อ n>N สำหรับ n>N และจำนวนเต็มใดๆ p>0 ความไม่เท่าเทียมกันก็จะยังคงอยู่เช่นกัน
- เมื่อพิจารณาถึงความไม่เท่าเทียมกันทั้งสองอย่างแล้ว เราได้รับ:

ความต้องการได้รับการพิสูจน์แล้ว เราจะไม่พิจารณาหลักฐานความเพียงพอ

ให้เรากำหนดเกณฑ์ Cauchy สำหรับซีรีส์นี้

เพื่อที่จะเป็นซีรีส์
เป็นการบรรจบกันจึงจำเป็นและเพียงพอต่อการใด
มีหมายเลขหนึ่งเอ็นเช่นนั้นที่n> เอ็นและอย่างใดอย่างหนึ่งพี>0 ความไม่เท่าเทียมกันจะคงอยู่

.

อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ การใช้เกณฑ์ Cauchy โดยตรงนั้นไม่สะดวกนัก ดังนั้นตามกฎแล้วจะใช้การทดสอบการลู่เข้าที่ง่ายกว่า:

1) ถ้าเป็นแถว
มาบรรจบกันจึงมีความจำเป็นที่คำทั่วไป คุณ nมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ อย่างไรก็ตาม เงื่อนไขนี้ไม่เพียงพอ เราบอกได้แค่ว่าถ้าคำทั่วไปไม่มีแนวโน้มเป็นศูนย์ ซีรีส์ก็จะแตกต่างออกไปอย่างแน่นอน ตัวอย่างเช่น อนุกรมฮาร์มอนิกที่เรียกว่า มีความแตกต่าง แม้ว่าคำศัพท์ทั่วไปจะมีแนวโน้มเป็นศูนย์ก็ตาม

ตัวอย่าง.ตรวจสอบการบรรจบกันของซีรีส์

เราจะพบ
- เกณฑ์ที่จำเป็นสำหรับการบรรจบกันไม่เป็นที่พอใจ ซึ่งหมายความว่าซีรีส์นั้นแตกต่างออกไป

2) หากอนุกรมมาบรรจบกัน ลำดับของผลรวมบางส่วนของอนุกรมนั้นจะถูกผูกไว้

อย่างไรก็ตาม เครื่องหมายนี้ยังไม่เพียงพอ

ตัวอย่างเช่น อนุกรม 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n +1 +… ลู่ออก เนื่องจาก ลำดับของผลรวมบางส่วนของมันแตกต่างออกไปเนื่องจากข้อเท็จจริงนั้น

อย่างไรก็ตาม ลำดับของผลรวมบางส่วนมีจำกัด เนื่องจาก
ได้เลย n.

ซีรีส์ที่มีเงื่อนไขไม่เป็นลบ

เมื่อศึกษาอนุกรมของเครื่องหมายคงที่ เราจะจำกัดตัวเองให้พิจารณาอนุกรมที่มีพจน์ไม่เป็นลบ เพราะ เพียงคูณ –1 จากอนุกรมเหล่านี้ ก็จะได้อนุกรมที่มีพจน์เป็นลบ

ทฤษฎีบท. สำหรับการมาบรรจบกันของซีรีส์
เมื่อมีเงื่อนไขไม่เป็นลบ จำเป็นและเพียงพอสำหรับผลรวมบางส่วนของอนุกรมที่จะผูกขอบเขต.

สัญลักษณ์สำหรับการเปรียบเทียบอนุกรมกับคำที่ไม่เป็นลบ

ให้มีสองแถว
และ
ที่ คุณ n , โวลต์ n  0 .

ทฤษฎีบท. ถ้า คุณ n  โวลต์ nได้เลย nแล้วจากการมาบรรจบกันของซีรีส์
ซีรีส์มาบรรจบกัน
และจากความแตกต่างของซีรีส์
ซีรีส์แตกต่างออกไป
.

การพิสูจน์. ให้เราแสดงโดย ส n และ  nผลรวมบางส่วนของอนุกรม
และ
- เพราะ ตามเงื่อนไขของทฤษฎีบทอนุกรม
มาบรรจบกัน จากนั้นผลรวมบางส่วนของมันถูกจำกัดไว้ เช่น ต่อหน้าทุกคน n n  M โดยที่ M คือตัวเลขจำนวนหนึ่ง แต่เพราะว่า คุณ n  โวลต์ n, ที่ ส n   nแล้วผลรวมบางส่วนของอนุกรม
ก็มีจำกัดเช่นกัน และนี่ก็เพียงพอแล้วสำหรับการบรรจบกัน

ตัวอย่าง.ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า

เพราะ
และอนุกรมฮาร์โมนิค แตกต่างออกไป ซีรีส์ก็จะแตกต่างออกไป
.

ตัวอย่าง.

เพราะ
และซีรีส์
มาบรรจบกัน (เช่น ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลง) จากนั้นจึงเกิดอนุกรม
ยังมาบรรจบกัน

นอกจากนี้ยังใช้เครื่องหมายการบรรจบกันต่อไปนี้:

ทฤษฎีบท. ถ้า
และมีขีดจำกัด
, ที่ไหนชม.– ตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ ตามด้วยอนุกรม
และ
ประพฤติเหมือนกันในแง่ของการบรรจบกัน

สัญลักษณ์ของดาล็องแบร์

(Jean Leron d'Alembert (1717 - 1783) - นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส)

ถ้าเป็นซีรีย์.
ในแง่บวกก็มีตัวเลขเช่นนี้ถาม<1, что для всех достаточно больших nความไม่เท่าเทียมกันถือ

แล้วซีรีย์
มาบรรจบกันถ้ามีขนาดใหญ่เพียงพอnเป็นไปตามเงื่อนไข

แล้วซีรีย์
แตกต่าง

ป้ายจำกัดของดาล็องแบร์

เกณฑ์จำกัดของดาล็องแบร์เป็นผลมาจากเกณฑ์ของดาล็องแบร์ข้างต้น

หากมีขีดจำกัด
แล้วเมื่อไร < 1 ряд сходится, а при  > 1 – แตกต่าง ถ้า = 1 จึงไม่สามารถตอบคำถามเรื่องการลู่เข้าได้

ตัวอย่าง.กำหนดจุดบรรจบกันของอนุกรม .

บทสรุป: ซีรีส์มาบรรจบกัน

ตัวอย่าง.กำหนดจุดบรรจบกันของอนุกรม

บทสรุป: ซีรีส์มาบรรจบกัน

สัญญาณของคอชี่ (เครื่องหมายหัวรุนแรง)

ถ้าเป็นซีรีย์.
ด้วยเงื่อนไขที่ไม่เป็นลบจะมีตัวเลขเช่นนี้ถาม<1, что для всех достаточно больших nความไม่เท่าเทียมกันถือ

,

แล้วซีรีย์
มาบรรจบกันถ้ามีขนาดใหญ่เพียงพอnความไม่เท่าเทียมกันถือ

แล้วซีรีย์
แตกต่าง

ผลที่ตามมา หากมีขีดจำกัด
แล้วเมื่อไร<1 ряд сходится, а при >แถวที่ 1 แตกต่างออกไป

ตัวอย่าง.กำหนดจุดบรรจบกันของอนุกรม
.

บทสรุป: ซีรีส์มาบรรจบกัน

ตัวอย่าง.กำหนดจุดบรรจบกันของอนุกรม
.

เหล่านั้น. การทดสอบ Cauchy ไม่ได้ตอบคำถามเกี่ยวกับการบรรจบกันของอนุกรมนี้ ให้เราตรวจสอบว่าเป็นไปตามเงื่อนไขการลู่เข้าที่จำเป็นหรือไม่ ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น หากอนุกรมมาบรรจบกัน คำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมนั้นมีแนวโน้มเป็นศูนย์

,

ดังนั้น เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการลู่เข้าจึงไม่เป็นที่พอใจ ซึ่งหมายความว่าอนุกรมแยกออกจากกัน

การทดสอบอินทิกรัลคอชี่

ถ้า (x) เป็นฟังก์ชันบวกต่อเนื่องที่ลดลงในช่วงเวลาและ
แล้วอินทิกรัล
และ
ประพฤติเหมือนกันในแง่ของการบรรจบกัน

ซีรีย์สลับกัน.

สลับแถว.

อนุกรมสลับกันสามารถเขียนได้ดังนี้:

ที่ไหน

สัญญาณของไลบ์นิซ

ถ้าเป็นป้ายสลับแถว ค่าสัมบูรณ์คุณ ฉัน กำลังลดลง
และคำทั่วไปมีแนวโน้มเป็นศูนย์
แล้วซีรีส์ก็มาบรรจบกัน

การบรรจบกันแบบสัมบูรณ์และมีเงื่อนไขของอนุกรม

ลองพิจารณาซีรีย์สลับกัน (พร้อมเงื่อนไขของสัญญาณโดยพลการ)

(1)

และอนุกรมที่ประกอบด้วยค่าสัมบูรณ์ของสมาชิกของอนุกรม (1):

(2)

ทฤษฎีบท. จากการบรรจบกันของอนุกรม (2) เป็นไปตามการบรรจบกันของอนุกรม (1)

การพิสูจน์. ซีรีส์ (2) เป็นซีรีส์ที่มีเงื่อนไขไม่เป็นลบ ถ้าอนุกรม (2) มาบรรจบกัน ดังนั้นตามเกณฑ์คอชีสำหรับ >0 ใดๆ จะมีตัวเลข N ดังนั้นสำหรับ n>N และจำนวนเต็มใดๆ p>0 อสมการต่อไปนี้จะเป็นจริง:

ตามคุณสมบัติของค่าสัมบูรณ์:

นั่นคือตามเกณฑ์ของคอชี จากการบรรจบกันของอนุกรม (2) การบรรจบกันของอนุกรม (1) จะตามมา

คำนิยาม. แถว
เรียกว่า บรรจบกันอย่างแน่นอนถ้าซีรีย์มาบรรจบกัน
.

เห็นได้ชัดว่าสำหรับชุดสัญญาณคงที่ แนวคิดของการลู่เข้าและการลู่เข้าสัมบูรณ์ตรงกัน

คำนิยาม. แถว
เรียกว่า บรรจบกันอย่างมีเงื่อนไขถ้ามันมาบรรจบกันและซีรีย์
แตกต่าง

การทดสอบของดาล็องแบร์และคอชีสำหรับการสลับอนุกรม

อนุญาต
- ซีรีย์สลับกัน

สัญลักษณ์ของดาล็องแบร์ หากมีขีดจำกัด
แล้วเมื่อไร<1 ряд
จะบรรจบกันอย่างแน่นอนและเมื่อ>

สัญญาณของคอชี่ หากมีขีดจำกัด
แล้วเมื่อไร<1 ряд
จะต้องมาบรรจบกันอย่างแน่นอน และหาก >1 ซีรีส์จะลู่ออก เมื่อ =1 เครื่องหมายจะไม่ให้คำตอบเกี่ยวกับการบรรจบกันของอนุกรม

คุณสมบัติของอนุกรมลู่เข้าสัมบูรณ์

1) ทฤษฎีบท. เพื่อการบรรจบกันของซีรีส์อย่างแท้จริง
มีความจำเป็นและเพียงพอที่จะแสดงเป็นผลต่างของอนุกรมที่มาบรรจบกันสองชุดที่มีเงื่อนไขไม่เป็นลบได้.

ผลที่ตามมา อนุกรมลู่เข้าแบบมีเงื่อนไขคือผลต่างของอนุกรมลู่ออกสองชุดที่มีพจน์ไม่เป็นลบมีแนวโน้มเป็นศูนย์

2) ในอนุกรมแบบบรรจบกัน การจัดกลุ่มข้อกำหนดของอนุกรมใดๆ ที่ไม่เปลี่ยนลำดับจะคงไว้ซึ่งการบรรจบกันและขนาดของอนุกรมนั้น

3) หากอนุกรมมาบรรจบกันโดยสิ้นเชิง อนุกรมที่ได้รับจากอนุกรมนั้นโดยการเรียงสับเปลี่ยนเงื่อนไขใดๆ ก็จะมาบรรจบกันอย่างสมบูรณ์และมีผลรวมเท่ากัน

โดยการจัดเรียงเงื่อนไขของอนุกรมลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข เราสามารถรับอนุกรมลู่เข้าแบบมีเงื่อนไขโดยมีผลรวมที่กำหนดไว้ล่วงหน้า หรือแม้แต่อนุกรมลู่ออกก็ได้

4) ทฤษฎีบท. สำหรับการจัดกลุ่มสมาชิกของอนุกรมการลู่เข้าอย่างสมบูรณ์ (ในกรณีนี้ จำนวนกลุ่มอาจเป็นแบบจำกัดหรือไม่จำกัดก็ได้ และจำนวนสมาชิกในกลุ่มอาจเป็นแบบจำกัดหรือไม่จำกัดก็ได้) จะได้อนุกรมแบบลู่เข้าหากัน ผลรวม ซึ่งเท่ากับผลรวมของซีรีย์ดั้งเดิม.

5) ถ้าเป็นแถว และ มาบรรจบกันอย่างสมบูรณ์และผลรวมเท่ากันตามลำดับ ส และ  จากนั้นเป็นอนุกรมที่ประกอบด้วยผลคูณทั้งหมดในแบบฟอร์ม
ในลำดับใด ๆ ก็มาบรรจบกันอย่างแน่นอนและผลรวมของมันเท่ากับ ส - ผลคูณของอนุกรมคูณ

หากคุณคูณอนุกรมลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข คุณจะได้อนุกรมลู่ออกตามผลลัพธ์

ลำดับการทำงาน

คำนิยาม. ถ้าสมาชิกของอนุกรมไม่ใช่ตัวเลข แต่เป็นฟังก์ชันของ เอ็กซ์แล้วซีรีย์นี้จึงถูกเรียกว่า ใช้งานได้.

การศึกษาการลู่เข้าของอนุกรมฟังก์ชันมีความซับซ้อนมากกว่าการศึกษาอนุกรมตัวเลข ซีรีย์ฟังก์ชันเดียวกันสามารถทำได้โดยมีค่าตัวแปรเหมือนกัน เอ็กซ์มาบรรจบกันและกับผู้อื่น - แตกต่าง ดังนั้นคำถามของการลู่เข้าของอนุกรมฟังก์ชันจึงลงมาเพื่อกำหนดค่าเหล่านั้นของตัวแปร เอ็กซ์ซึ่งซีรีส์จะมาบรรจบกัน

เซตของค่าดังกล่าวเรียกว่า พื้นที่ของการบรรจบกัน.

เนื่องจากขีดจำกัดของแต่ละฟังก์ชันที่รวมอยู่ในขอบเขตการบรรจบกันของอนุกรมคือจำนวนที่แน่นอน ขีดจำกัดของลำดับฟังก์ชันจึงเป็นฟังก์ชันเฉพาะ:

คำนิยาม. ลำดับต่อมา ( ฉ n (x) } มาบรรจบกันในการทำงาน ฉ(x) บนเซ็กเมนต์หากสำหรับตัวเลขใดๆ >0 และจุดใดๆ เอ็กซ์จากส่วนที่อยู่ระหว่างการพิจารณาจะมีตัวเลข N = N(, x) เพื่อให้เกิดความไม่เท่าเทียมกัน

เป็นจริงเมื่อ n>N

ด้วยค่าที่เลือก >0 แต่ละจุดของเซ็กเมนต์จะมีหมายเลขของตัวเอง ดังนั้น จึงมีจำนวนอนันต์ที่สอดคล้องกับทุกจุดของเซ็กเมนต์ หากคุณเลือกตัวเลขที่มากที่สุดในบรรดาตัวเลขเหล่านี้ ตัวเลขนี้จะเหมาะสมกับทุกจุดของกลุ่ม เช่น จะเป็นเรื่องธรรมดาทุกจุด

คำนิยาม. ลำดับต่อมา ( ฉ n (x) } มาบรรจบกันอย่างเท่าเทียมกันในการทำงาน ฉ(x) บนเซกเมนต์ ถ้าสำหรับจำนวนใดๆ >0 มีตัวเลข N = N() ในลักษณะที่ว่าอสมการ

เป็นไปตาม n>N สำหรับทุกจุดของเซ็กเมนต์

ตัวอย่าง.พิจารณาลำดับ

ลำดับนี้มาบรรจบกันบนแกนจำนวนทั้งหมดเข้ากับฟังก์ชัน ฉ(x)=0 , เพราะ

มาพล็อตลำดับนี้กัน:

บาป

ดังจะเห็นได้ว่ามีจำนวนเพิ่มมากขึ้น nกราฟลำดับเข้าใกล้แกน เอ็กซ์.

ซีรีย์ฟังก์ชั่น

คำนิยาม. จำนวนเงินส่วนตัว (บางส่วน)ช่วงการทำงาน
ฟังก์ชันต่างๆ จะถูกเรียก

คำนิยาม. ช่วงการทำงาน
เรียกว่า มาบรรจบกันณ จุด ( x=x 0 ) หากลำดับของผลรวมบางส่วนมาบรรจบกัน ณ จุดนี้ ขีดจำกัดของลำดับ
เรียกว่า จำนวนแถว
ตรงจุด เอ็กซ์ 0 .

คำนิยาม. ชุดของค่าทั้งหมด เอ็กซ์ซึ่งซีรีส์จะมาบรรจบกัน
เรียกว่า พื้นที่ของการบรรจบกันแถว.

คำนิยาม. แถว
เรียกว่า บรรจบกันอย่างเท่าเทียมกันในช่วงเวลาถ้าลำดับของผลรวมบางส่วนของอนุกรมนี้มาบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอในช่วงเวลานี้

ทฤษฎีบท. (เกณฑ์ Cauchy สำหรับการบรรจบกันของอนุกรมสม่ำเสมอ)

เพื่อการบรรจบกันของซีรีส์ที่สม่ำเสมอ
จำเป็นและเพียงพอสำหรับจำนวนเท่าใดก็ได้ >0 มีตัวเลขดังกล่าวอยู่เอ็น( ) ซึ่ง ณn> เอ็นและทั้งหมดใดๆพี>0 ความไม่เท่าเทียมกัน

จะคงไว้สำหรับ x ทั้งหมดในช่วงเวลา [ก, ข].

ทฤษฎีบท. (การทดสอบไวเออร์สตราสสำหรับการลู่เข้าที่สม่ำเสมอ)

(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 – 1897) – นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน)

แถว
มาบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอ และยิ่งไปกว่านั้น เป็นไปตามช่วงเวลา [ก, ข] ถ้าโมดูลัสของพจน์ในส่วนเดียวกันไม่เกินพจน์ที่สอดคล้องกันของชุดตัวเลขลู่เข้าหากันที่มีพจน์เป็นบวก:

เหล่านั้น. มีความไม่เท่าเทียมกัน:

.

พวกเขายังบอกด้วยว่าในกรณีนี้คือซีรีย์การทำงาน
เป็นวิชาเอกชุดตัวเลข
.

ตัวอย่าง.ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า
.

เพราะ
ย่อมเป็นที่แน่ชัดเสมอว่า
.

นอกจากนี้ยังทราบกันว่าอนุกรมฮาร์มอนิกทั่วไป เมื่อ=3>1 มาบรรจบกัน ดังนั้น ตามการทดสอบไวเออร์สตราส อนุกรมที่ศึกษาอยู่จะบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอ และยิ่งไปกว่านั้น ในช่วงเวลาใดก็ได้

ตัวอย่าง.ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า .

ในช่วงเวลา [-1,1] ความไม่เท่าเทียมกันยังคงอยู่
เหล่านั้น. ตามเกณฑ์ของไวเออร์ชตราส ชุดข้อมูลที่กำลังศึกษาจะมาบรรจบกันในส่วนนี้ แต่จะแตกต่างไปตามช่วงเวลา (-, -1)  (1, )

คุณสมบัติของอนุกรมลู่เข้าสม่ำเสมอ

1) ทฤษฎีบทเรื่องความต่อเนื่องของผลรวมของอนุกรม

หากสมาชิกในซีรีส์
- ต่อเนื่องในส่วน [ก, ข] และอนุกรมมาบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอ จากนั้นจึงรวมผลรวมส(x) มี ฟังก์ชั่นต่อเนื่องบนส่วน [ก, ข].

2) ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการรวมอนุกรมแบบเทอมต่อเทอม

มาบรรจบกันที่สม่ำเสมอในส่วน [ก, ข] ชุดข้อมูลที่มีพจน์ต่อเนื่องสามารถบูรณาการทีละเทอมในช่วงเวลานี้ได้ เช่น ชุดข้อมูลประกอบด้วยปริพันธ์ของเงื่อนไขในส่วน [ก, ข] มาบรรจบกับผลรวมของอนุกรมในส่วนนี้.

3) ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการสร้างอนุกรมแบบเทอมต่อเทอม

หากสมาชิกในซีรีส์
มาบรรจบกันที่ส่วน [ก, ข] แสดงถึงฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีอนุพันธ์ต่อเนื่อง และอนุกรมที่ประกอบด้วยอนุพันธ์เหล่านี้
มาบรรจบกันอย่างเท่าเทียมกันในส่วนนี้ จากนั้นซีรีส์นี้มาบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอและสามารถแยกความแตกต่างได้ทีละเทอม

จากข้อเท็จจริงที่ว่าผลรวมของอนุกรมคือฟังก์ชันหนึ่งของตัวแปร เอ็กซ์คุณสามารถดำเนินการแสดงฟังก์ชันในรูปแบบของอนุกรม (ขยายฟังก์ชันเป็นอนุกรม) ซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายในการบูรณาการ การสร้างความแตกต่าง และการดำเนินการอื่นๆ ด้วยฟังก์ชัน

ในทางปฏิบัติ มักใช้การขยายฟังก์ชันอนุกรมกำลัง

พาวเวอร์ซีรีส์

คำนิยาม. ซีรีย์พาวเวอร์เรียกว่าอนุกรมของแบบฟอร์ม

.

เพื่อศึกษาการบรรจบกันของอนุกรมกำลัง สะดวกในการใช้การทดสอบดาล็องแบร์

ตัวอย่าง.ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า

เราใช้สัญลักษณ์ของ d'Alembert:

.

เราพบว่าซีรีย์นี้มาบรรจบกันที่
และแตกต่างออกไปที่
.

ตอนนี้เราพิจารณาการบรรจบกันที่ขอบเขตจุดที่ 1 และ –1

สำหรับ x = 1:
ซีรีส์นี้มาบรรจบกันตามเกณฑ์ของไลบ์นิซ (ดู สัญญาณของไลบ์นิซ).

ที่ x = -1:
ซีรีส์แตกต่าง (ซีรีส์ฮาร์มอนิก)

ทฤษฎีบทของอาเบล

(นีลส์ เฮนริก อาเบล (1802 – 1829) – นักคณิตศาสตร์ชาวนอร์เวย์)

ทฤษฎีบท. ถ้าเป็นซีรีย์พาวเวอร์
มาบรรจบกันที่x = x 1 จากนั้นมันก็มาบรรจบกันและยิ่งไปกว่านั้นสำหรับทุกคนอย่างแน่นอน
.

การพิสูจน์. ตามเงื่อนไขของทฤษฎีบท เนื่องจากเงื่อนไขของอนุกรมมีจำกัดแล้ว

ที่ไหน เค- จำนวนคงที่บางส่วน อสมการต่อไปนี้เป็นจริง:

จากความไม่เท่าเทียมนี้จึงเห็นได้ชัดเจนว่าเมื่อใด x< x 1 ค่าตัวเลขของเงื่อนไขของอนุกรมของเราจะน้อยกว่า (อย่างน้อยไม่มาก) กว่าเงื่อนไขที่สอดคล้องกันของอนุกรมทางด้านขวาของความไม่เท่าเทียมกันที่เขียนไว้ด้านบนซึ่งก่อให้เกิดความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ตัวหารของความก้าวหน้านี้ ตามเงื่อนไขของทฤษฎีบท น้อยกว่าหนึ่งดังนั้นความก้าวหน้านี้จึงเป็นซีรีส์แบบมาบรรจบกัน

ดังนั้นเมื่อพิจารณาจากเกณฑ์การเปรียบเทียบแล้วจึงสรุปได้ว่าซีรีส์นี้
มาบรรจบกันซึ่งหมายถึงซีรีส์
มาบรรจบกันอย่างแน่นอน

ดังนั้นหากเป็นอนุกรมกำลัง
มาบรรจบกัน ณ จุดหนึ่ง เอ็กซ์ 1 แล้วมันจะมาบรรจบกันที่จุดใดก็ได้ในช่วงความยาว 2 มีศูนย์กลางที่จุดหนึ่ง เอ็กซ์ = 0.

ผลที่ตามมา ถ้า ณ x = x 1 ซีรีส์แตกต่าง จากนั้นก็แตกต่างสำหรับทุกคน
.

ดังนั้นสำหรับอนุกรมกำลังแต่ละอนุกรมจะมีจำนวนบวก R ที่เป็นค่านั้นสำหรับทั้งหมด เอ็กซ์เช่นนั้น
ซีรีส์นี้มาบรรจบกันอย่างแน่นอนและเพื่อทุกคน
แถวนั้นแยกออกจากกัน ในกรณีนี้จะเรียกหมายเลข R รัศมีของการบรรจบกัน- เรียกว่าช่วงเวลา (-R, R) ช่วงเวลาการบรรจบกัน.

โปรดทราบว่าช่วงเวลานี้สามารถปิดได้ด้านเดียวหรือทั้งสองด้าน หรือไม่ปิดก็ได้

รัศมีของการบรรจบกันสามารถพบได้โดยใช้สูตร:

ตัวอย่าง.หาพื้นที่บรรจบกันของอนุกรม

การหารัศมีของการบรรจบกัน
.

ดังนั้น ซีรีย์นี้จึงมาบรรจบกันด้วยค่าใดๆ ก็ตาม เอ็กซ์- คำทั่วไปของซีรี่ส์นี้มีแนวโน้มเป็นศูนย์

ทฤษฎีบท. ถ้าเป็นซีรีย์พาวเวอร์
มาบรรจบกันเป็นค่าบวก x=x 1 จากนั้นจะมาบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอในช่วงเวลาใดก็ได้ภายใน
.

การดำเนินการกับซีรีย์กำลัง

พิจารณาลำดับของตัวเลขที่ไม่มีที่สิ้นสุด เช่น ชุดตัวเลขที่แต่ละตัว จำนวนธรรมชาติ nตามกฎข้อหนึ่ง จำนวนหนึ่งจะสอดคล้องกัน หนึ่ง- เรียกว่าการแสดงออกของแบบฟอร์ม ชุดตัวเลขตัวเลขเองก็เป็นสมาชิกของซีรีส์ - สมาชิกทั่วไปของซีรีส์- ซีรีย์นี้เขียนโดยย่อดังนี้: .

จำนวนที่ประกอบด้วยเท่านั้น nสมาชิกคนแรกของซีรีส์เรียกว่า ผลรวมบางส่วนของอนุกรม.

กล่าวกันว่าอนุกรมจำนวนมาบรรจบกันถ้าลำดับของผลบวกบางส่วนมีขีดจำกัดจำกัด ตัวเลข สเรียกว่าผลรวมของอนุกรม

หากไม่มีขีดจำกัด แสดงว่าซีรีส์นี้มีความแตกต่างกัน

ตัวอย่างที่ 1มีความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ไม่มีที่สิ้นสุด มาทำซีรี่ย์กันเถอะ

และตรวจสอบการลู่เข้าตามนิยามของการลู่เข้าของอนุกรม เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เรามาสร้างผลรวมบางส่วน = จาก หลักสูตรของโรงเรียนนักคณิตศาสตร์รู้เรื่องนี้ จำไว้ว่ามันทำงานอย่างไร เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ เรามาแบ่งกัน

ให้เราคำนวณขีดจำกัดโดยคำนึงถึงความเป็นไปได้สามกรณีที่นี่:

2) ถ้า ถาม= 1 แล้วก็ = และ ,

3) ถ้า ถาม= -1 จากนั้น =, และ , a = และ . ซึ่งหมายความว่าลำดับของผลรวมบางส่วนไม่มีขีดจำกัดเดียว

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า: ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตมาบรรจบกัน ถ้า และ ลู่ออกที่

ตัวอย่างที่ 2พิสูจน์ความแตกต่างของซีรีส์

สารละลาย.ให้เราประมาณผลรวมบางส่วนของอนุกรม:

> เช่น -

และขีดจำกัดของผลรวมบางส่วนเท่ากับอนันต์ (โดย ทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงเกี่ยวกับขีดจำกัด: ถ้า เอ็กซ์เอ็น > ใช่แล้ว ): = ¥ ซึ่งหมายความว่าซีรีส์นี้แตกต่างออกไป

คุณสมบัติของอนุกรมลู่เข้า

พิจารณาสองแถว และ . แถวที่สองได้มาจากแถวแรกโดยละทิ้งแถวแรก มสมาชิกของมัน ซีรีส์นี้เรียกว่าส่วนที่เหลือของซีรีส์และเขียนแทนด้วย ร.

ทฤษฎีบท 1- หากเงื่อนไขของอนุกรมลู่เข้าคูณด้วยจำนวนที่แน่นอน กับจากนั้นการบรรจบกันของซีรีส์จะไม่ถูกละเมิด และผลรวมจะคูณด้วย กับ.

ทฤษฎีบท 2- อนุกรมมาบรรจบกันสองชุดสามารถเพิ่ม (ลบ) ทีละเทอม และผลรวมของอนุกรมผลลัพธ์จะเท่ากับ โดยที่คือผลรวมของอนุกรมแรก และคือผลรวมของอนุกรมที่สอง

ทฤษฎีบท 3- หากอนุกรมมาบรรจบกัน เศษที่เหลือจะมาบรรจบกัน จากการบรรจบกันของส่วนที่เหลือของซีรีส์ การบรรจบกันของซีรีส์เองก็ตามมา

เราสามารถพูดได้อีกทางหนึ่ง: การบรรจบกันของอนุกรมจะไม่ได้รับผลกระทบจากการละทิ้ง (หรือการกำหนด) คำศัพท์จำนวนจำกัดในอนุกรมนั้น และคุณสมบัตินี้โดดเด่นที่สุด ที่จริงแล้ว ให้ผลรวมของอนุกรมเท่ากับอนันต์ (อนุกรมแยกออก) เราเพิ่มคำศัพท์ในชุดข้อมูลจำนวนมากแต่มีจำนวนจำกัด จำนวนนี้อาจมากมาก แต่ก็เป็นจำนวนจำกัดเช่นกัน นี่หมายความว่าผลรวมของเศษที่เหลือของอนุกรม และสมาชิกของอนุกรมนี้เป็นจำนวนเล็กน้อยอยู่แล้ว ยังคงเท่ากับอนันต์ เนื่องจากจำนวนเทอมไม่สิ้นสุด

ทฤษฎีบท 4- สัญญาณที่จำเป็นของการบรรจบกัน

ถ้าอนุกรมมาบรรจบกัน ก็ใช้คำทั่วไป หนึ่งมีแนวโน้มเป็นศูนย์ เช่น -

การพิสูจน์- จริงหรือ,

และถ้าอนุกรมมาบรรจบกัน แล้ว และ และดังนั้น สำหรับ

โปรดทราบว่าสัญลักษณ์นี้ไม่เพียงพอ เช่น ซีรีส์นี้อาจแตกต่างออกไป และคำศัพท์ทั่วไปมีแนวโน้มเป็นศูนย์ ในตัวอย่างที่ 2 ซีรีส์นี้มีความแตกต่างกัน แม้ว่าคำทั่วไปจะเป็น

แต่ถ้า หนึ่งมีแนวโน้มไม่เป็นศูนย์ที่ ดังนั้นอนุกรมจะลู่ออก ( ข้อบ่งชี้ที่เพียงพอของความแตกต่างของอนุกรม).

การบรรจบกันของอนุกรมกับพจน์เชิงบวก

ซีรีส์จะบอกว่าเป็นบวกถ้าทั้งหมด

ผลรวมบางส่วนของอนุกรมดังกล่าว สสร้างลำดับที่เพิ่มขึ้น เนื่องจากแต่ละลำดับก่อนหน้าจะน้อยกว่าลำดับถัดไป นั่นคือ - จากทฤษฎีขีดจำกัด เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้ว (ทฤษฎีบทโบลซาโน-ไวเออร์สตราส) ว่าหากลำดับที่เพิ่มขึ้นถูกจำกัดขอบเขตจากด้านบน (นั่นคือ สำหรับทั้งหมด สมีจำนวนดังกล่าว ม, อะไร ส < มสำหรับทุกคน n) จากนั้นจะมีขีดจำกัด นี่แสดงถึงทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท- อนุกรมที่มีพจน์เป็นบวกจะมาบรรจบกันถ้าผลรวมบางส่วนของอนุกรมนั้นอยู่ด้านบน และแตกต่างออกไปเป็นอย่างอื่น

ทั้งหมดขึ้นอยู่กับคุณสมบัตินี้ สัญญาณที่เพียงพอของการบรรจบกันของอนุกรมกับเงื่อนไขเชิงบวก- ลองดูที่หลัก

เครื่องหมายเปรียบเทียบ

ลองพิจารณาสองชุดที่มีเงื่อนไขไม่เป็นลบ: - (3) และ - (4) และเริ่มจากบางชุด n- จากนั้นจากการบรรจบกันของอนุกรม (4) การบรรจบกันของอนุกรม (3) ตามมา และจากความแตกต่างของอนุกรม (3) เป็นไปตามความแตกต่างของอนุกรม (4)

มิฉะนั้น: ถ้าอนุกรมที่มีพจน์ใหญ่กว่ามาบรรจบกัน อนุกรมที่มีพจน์น้อยกว่าก็จะมาบรรจบกันด้วย ถ้าอนุกรมที่มีเงื่อนไขน้อยกว่าแตกต่างออกไป อนุกรมที่มีเงื่อนไขใหญ่กว่าก็จะแตกต่างออกไปด้วย

ตัวอย่าง.ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า

สารละลาย.เทอมทั่วไปของอนุกรม และอนุกรมคือผลรวมอนันต์ของเทอมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีตัวส่วน< 1, т.е. это сходящийся ряд. По признаку сравнения (т.к. сходится ряд с б?льшими членами, то сходится и ряд с меньшими) данный ряд сходится.

เครื่องหมายเปรียบเทียบในรูปแบบสุดโต่ง

พิจารณาอนุกรมสองชุด และ และให้ เป็นจำนวนจำกัด จากนั้นอนุกรมทั้งสองมาบรรจบกันหรือแยกออกพร้อมกัน

ตัวอย่าง.

สารละลาย- เรามาเลือกซีรี่ส์เพื่อเปรียบเทียบกัน เพื่อดูว่าคำศัพท์ทั่วไปของซีรีส์นี้มีพฤติกรรมอย่างไรในวงกว้าง n:

เหล่านั้น. ~ และสำหรับซีรีส์เปรียบเทียบ เราจะนำซีรีส์ที่แตกต่างออกไป ดังที่แสดงไว้ก่อนหน้านี้

มาคำนวณขีดจำกัดกัน

และนี่หมายความว่าทั้งสองแถวมีพฤติกรรมเหมือนกันนั่นคือ ซีรีส์นี้ก็มีความแตกต่างเช่นกัน

สัญลักษณ์ของดาล็องแบร์

ปล่อยให้ซีรีส์ได้รับและมีขีดจำกัด แล้วถ้า ล < 1, то ряд сходится, если ล> 1 ดังนั้นอนุกรมจะแยกกันถ้า ล= 1 ดังนั้น เครื่องหมายนี้จึงไม่ให้คำตอบ (เช่น จำเป็นต้องมีการวิจัยเพิ่มเติม)

ตัวอย่าง.ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการบรรจบกัน (จำได้ว่านั่นคือ n- factorial คือผลคูณของจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง n).

สารละลาย.สำหรับซีรีย์นี้ (กลับพบว่ามีความจำเป็นในแทน) nทดแทน n+1) มาคำนวณขีดจำกัดกัน

และเนื่องจากขีดจำกัดน้อยกว่า 1 ชุดข้อมูลนี้จึงมาบรรจบกัน

สัญลักษณ์ของ Radical Cauchy

ปล่อยให้ซีรีส์ได้รับและมีขีดจำกัด ถ้า ล< 1, то ряд сходится, если ล> 1 ดังนั้นอนุกรมจะแยกกันถ้า ล= 1 แสดงว่าเครื่องหมายนี้ไม่ได้ให้คำตอบ (ต้องมีการวิจัยเพิ่มเติม)

ตัวอย่าง.ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า

สารละลาย.สมาชิกทั่วไปของซีรีส์ มาคำนวณขีดจำกัดกัน ซึ่งหมายความว่าซีรีส์มาบรรจบกัน

การทดสอบอินทิกรัลคอชี่

ลองพิจารณาอนุกรมและสมมุติว่าในช่วงเวลานั้น เอ็กซ์О มีฟังก์ชันการลดลงอย่างต่อเนื่อง เชิงบวก และซ้ำซาก เช่น ที่ , n= 1, 2, 3… . จากนั้นอนุกรมและอินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมมาบรรจบกันหรือแยกออกพร้อมกัน

โปรดทราบว่าหากให้อนุกรม ฟังก์ชันจะพิจารณาตามช่วงเวลา

ให้เราจำได้ว่าระบุไว้ อินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมเรียกว่าลู่เข้าถ้ามีขีดจำกัดจำกัด แล้ว = ถ้า at ไม่มีขีดจำกัด เขาก็จะพูดอย่างนั้น อินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมแตกต่าง

ตัวอย่าง.ลองพิจารณาซีรีส์นี้ - อนุกรมฮาร์มอนิกทั่วไปหรืออนุกรมดีริชเลต์ที่มีเลขชี้กำลัง ส- ถ้า ส= 1 แล้วอนุกรมนี้เรียกว่า ซีรีย์ฮาร์มอนิก.

เราตรวจสอบชุดนี้โดยใช้การทดสอบ Cauchy แบบอินทิกรัล: = และฟังก์ชัน = มีคุณสมบัติทั้งหมดที่ระบุไว้ในการทดสอบ ลองคำนวณอินทิกรัลเกินกัน

เป็นไปได้สามกรณี:

1) ส < 1, и тогда

อินทิกรัลแตกต่างออกไป

2) เมื่อใด ส = 1

อินทิกรัลแตกต่างออกไป

3) ถ้า ส> 1 แล้ว

อินทิกรัลมาบรรจบกัน

บทสรุป- อนุกรมฮาร์มอนิกทั่วไปมาบรรจบกันถ้า ส> 1 และแตกต่างถ้า ส ≤ 1.

ชุดนี้มักใช้เพื่อเปรียบเทียบกับชุดอื่นที่มีองศา n.

ตัวอย่าง.ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า

สารละลาย.สำหรับอนุกรมนี้ ~ = ซึ่งหมายความว่าเราเปรียบเทียบอนุกรมนี้กับอนุกรมซึ่งมาบรรจบกันเหมือนอนุกรม Dirichlet กับเลขชี้กำลัง ส = 2 > 1.

เมื่อใช้เกณฑ์การเปรียบเทียบในรูปแบบจำกัด เราจะพบขีดจำกัดของอัตราส่วนของคำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมนี้และอนุกรม Dirichlet:

ดังนั้นซีรีย์นี้ก็มาบรรจบกัน

คำแนะนำสำหรับการใช้งานสัญญาณของการบรรจบกัน

ก่อนอื่น คุณควรใช้เกณฑ์ที่จำเป็นสำหรับการลู่เข้าของอนุกรมและคำนวณขีดจำกัดของคำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมที่ ถ้า แสดงว่าอนุกรมแยกออกจากกันอย่างเห็นได้ชัด และถ้า แสดงว่าควรใช้สัญญาณใดสัญญาณหนึ่งที่เพียงพอ

สัญญาณของการเปรียบเทียบมีประโยชน์ที่จะใช้ในกรณีที่โดยการแปลงนิพจน์สำหรับคำศัพท์ทั่วไปของอนุกรม ทำให้สามารถย้ายจากอนุกรมดั้งเดิมไปเป็นอนุกรมที่ทราบการบรรจบกัน (หรือความแตกต่าง) ได้ โดยเฉพาะถ้ามันมีเพียงพลังเท่านั้น nและไม่มีฟังก์ชันอื่นใดก็สามารถทำได้เสมอ

สัญญาณของการเปรียบเทียบใช้เมื่อสามารถเปรียบเทียบอนุกรมดั้งเดิมกับอนุกรมฮาร์มอนิกทั่วไป หรืออนุกรมที่ประกอบด้วยเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอนันต์< применяют, если при замене n . Самой медленно растущей функцией является логарифм, а быстрее всего растёт степенно-показательная функция . Между ними другие известные функции располагаются в следующем порядке:

ดังนั้น หากตัวเศษมีฟังก์ชันใดฟังก์ชันหนึ่งเหล่านี้ และตัวส่วนมีฟังก์ชันทางด้านซ้ายของฟังก์ชัน ก็มีแนวโน้มว่าอนุกรมจะลู่ออก และในทางกลับกัน

1. ถ้า 1 + a 2 + a 3 +…+a n +…= มาบรรจบกัน แล้วอนุกรม a m+1 +a m+2 +a m+3 +… ได้รับจากอนุกรมนี้โดยละทิ้งเทอม m แรกไป มาบรรจบกัน อนุกรมผลลัพธ์นี้เรียกว่าเศษที่เหลือของอนุกรม และในทางกลับกัน: จากการบรรจบกันของเศษที่เหลือของอนุกรมนี้ การบรรจบกันของอนุกรมนี้จะตามมา เหล่านั้น. การบรรจบกันและความแตกต่างของซีรีส์จะไม่ถูกละเมิดหากมีการเพิ่มหรือละทิ้งคำศัพท์ในจำนวนที่จำกัด

2 - ถ้าอนุกรม a 1 + a 2 + a 3 +... มาบรรจบกันและผลรวมเท่ากับ S ดังนั้นอนุกรม Ca 1 + Ca 2 +... โดยที่ C = มาบรรจบกันด้วย และผลรวมจะเท่ากับ CS

3. หากอนุกรม a 1 +a 2 +... และ b 1 +b 2 +... มาบรรจบกันและผลรวมของอนุกรมดังกล่าวเท่ากับ S1 และ S2 ตามลำดับ แล้วอนุกรม (a 1 +b 1)+(a 2 + b 2)+(a 3 +b 3)+… และ (a 1 -b 1)+(a 2 -b 2)+(a 3 -b 3)+… มาบรรจบกันด้วย ผลรวมจะเท่ากับ S1+S2 และ S1-S2 ตามลำดับ

4. ก) ถ้าอนุกรมมาบรรจบกัน เทอมที่ n ของมันมีแนวโน้มเป็น 0 เมื่อ n เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ (บทสนทนาไม่เป็นความจริง)

- จำเป็น เครื่องหมาย (เงื่อนไข)การบรรจบกัน แถว.

ข) ถ้า
ถ้าอย่างนั้นซีรีส์ก็แตกต่าง - เพียงพอ เงื่อนไขความแตกต่าง แถว.

- ชุดประเภทนี้ศึกษาตามคุณสมบัติ 4 เท่านั้น นี้ แตกต่างแถว

ซีรีส์สัญญาณบวก

สัญญาณของการบรรจบกันและความแตกต่างของอนุกรมสัญญาณบวก

อนุกรมเชิงบวก คืออนุกรมที่ทุกพจน์เป็นบวก เราจะพิจารณาสัญญาณของการบรรจบกันและความแตกต่างเหล่านี้สำหรับอนุกรมที่มีสัญญาณบวก

1. สัญญาณแรกของการเปรียบเทียบ

ให้อนุกรมที่มีเครื่องหมายบวกสองตัว a 1 + a 2 + a 3 +…+a n +…= (1) иb 1 +b 2 +b 3 +…+b n +…= (2).

หากสมาชิกของซีรีส์ (1) ไม่มีอีกแล้วบีเอ็นและ ซีรีส์ (2) มาบรรจบกันแล้วอนุกรม (1) ก็มาบรรจบกันด้วย

หากสมาชิกของซีรีส์ (1) ไม่น้อยสมาชิกของซีรีส์ที่เกี่ยวข้อง (2) เช่น หนึ่ง บีเอ็นและ แถว (2) แตกต่างจากนั้นอนุกรม (1) ก็แยกออกเช่นกัน

เกณฑ์การเปรียบเทียบนี้ใช้ได้หากความไม่เท่าเทียมกันไม่เป็นที่พอใจสำหรับ n ทั้งหมด แต่เริ่มจากบางส่วนเท่านั้น

2. สัญญาณที่สองของการเปรียบเทียบ

หากมีขอบเขตจำกัดและไม่เป็นศูนย์
จากนั้นอนุกรมทั้งสองมาบรรจบกันหรือแยกออกพร้อมกัน

- แถวประเภทนี้ แตกต่างออกไปตามเกณฑ์การเปรียบเทียบที่สอง ต้องเปรียบเทียบกับอนุกรมฮาร์มอนิก

3. ป้ายดาล็องแบร์

ถ้าเป็นสัญญาณ ซีรีส์เชิงบวก(ก 1 +ก 2 +ก 3 +…+น +…= ) มีอยู่
(1) ดังนั้นอนุกรมจะบรรจบกันถ้า q<1, расходится, если q>

4. สัญลักษณ์ของ Cauchy นั้นรุนแรง

หากมีขีดจำกัดสำหรับซีรีส์เชิงบวก
(2) จากนั้นอนุกรมจะมาบรรจบกัน ifq<1, расходится, если q>1. ถ้า q=1 คำถามนั้นยังคงเปิดอยู่

5. การทดสอบของ Cauchy ถือเป็นผลรวม

ให้เราจำอินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมอีกครั้ง

หากมีขีดจำกัด
- นี่คืออินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมและเขียนแทนด้วย
.

ถ้าขีดจำกัดนี้มีจำกัด ก็บอกว่าอินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมมาบรรจบกัน ซีรีส์ตามลำดับมาบรรจบกันหรือแยกออก

ให้อนุกรม a 1 + a 2 + a 3 +…+a n +…= - ซีรีส์เชิงบวก

ให้เราแสดงถึง n =f(x) และพิจารณาฟังก์ชัน f(x) ถ้า f(x) เป็นฟังก์ชันบวก ลดลงแบบโมโนโทนและต่อเนื่องกัน แล้วถ้าอินทิกรัลมาบรรจบกันไม่ถูกต้อง อนุกรมที่กำหนดก็จะมาบรรจบกัน และในทางกลับกัน: ถ้าอินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมลู่ออก อนุกรมก็จะลู่ออกด้วย

ถ้าอนุกรมมีจำกัด มันก็จะมาบรรจบกัน

แถวเป็นเรื่องธรรมดามาก
-ซีรีส์เดอริชเลต์- มันจะมาบรรจบกันถ้า p>1, ลู่ออก p<1. Гармонический ряд является рядом Дерихле при р=1. Сходимость и расходимость данного ряда легко доказать с помощью интегрального признака Коши.

การแนะนำ

Cauchy d'Alembert เชิงตัวเลข

จริงๆ แล้ว แนวคิดเรื่องผลรวมอนันต์เป็นที่รู้กันดีในหมู่นักวิทยาศาสตร์สมัยกรีกโบราณ (ยูดอกซัส, ยุคลิด, อาร์คิมีดีส) การค้นหาผลรวมอนันต์เป็นส่วนสำคัญของสิ่งที่เรียกว่าวิธีการหมดแรง ซึ่งนักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณใช้กันอย่างแพร่หลายในการค้นหาพื้นที่ของตัวเลข ปริมาตรของวัตถุ ความยาวของเส้นโค้ง ฯลฯ ตัวอย่างเช่น อาร์คิมิดีสในการคำนวณพื้นที่ของส่วนพาราโบลา (เช่น ตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยเส้นตรงและพาราโบลา) พบผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอนันต์ด้วยตัวส่วน 1/4

นักคณิตศาสตร์เริ่มใช้อนุกรมเป็นแนวคิดอิสระในศตวรรษที่ 17 I. Newton และ G. Leibniz ใช้อนุกรมในการแก้พีชคณิตและ สมการเชิงอนุพันธ์- ทฤษฎีอนุกรมในช่วงคริสต์ศตวรรษที่ 18-19 พัฒนาขึ้นในผลงานของ J. และ I. Bernoulli, B. Taylor, C. Maclaurin, L. Euler, J. d'Alembert, J. Lagrange และคนอื่นๆ ทฤษฎีอนุกรมที่เข้มงวดถูกสร้างขึ้นในศตวรรษที่ 19 ตามแนวคิดเรื่องขีดจำกัดในงานของ K. Gauss, B. Bolzano, O. Cauchy, P. Dirichlet, N. Abel, K. Weierstrass, B. Riemann และคนอื่นๆ

ความเกี่ยวข้องของการศึกษาปัญหานี้เกิดจากการที่สาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่ทำให้สามารถแก้ปัญหาที่วางไว้อย่างดีโดยมีความแม่นยำเพียงพอสำหรับการใช้งานจริงเรียกว่าทฤษฎีอนุกรม แม้จะมีแนวคิดที่ละเอียดอ่อนบางอย่าง การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ปรากฏโดยไม่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีอนุกรม พวกมันถูกนำไปใช้กับอนุกรมทันที ซึ่งทำหน้าที่เป็นเครื่องมือชนิดหนึ่งในการทดสอบความสำคัญของแนวคิดเหล่านี้ สถานการณ์นี้ยังคงดำเนินต่อไปจนถึงทุกวันนี้ ดังนั้นจึงดูเหมือนว่าเกี่ยวข้องกับการศึกษาอนุกรมจำนวน แนวคิดพื้นฐาน และคุณลักษณะของการบรรจบกันของอนุกรม

1. ประวัติศาสตร์

.1 การกล่าวถึงครั้งแรกและการใช้ชุดตัวเลข

กฎของเลขคณิตทำให้เราสามารถหาผลรวมของ 2, 3, 4 และโดยทั่วไปคือชุดตัวเลขจำกัดใดๆ จะเกิดอะไรขึ้นถ้าจำนวนเทอมไม่มีที่สิ้นสุด? แม้ว่ามันจะเป็นอนันต์ที่ "เล็กที่สุด" ก็ตามนั่นคือ ให้นับจำนวนเทอมได้

การค้นหาผลรวมอนันต์เป็นส่วนสำคัญของสิ่งที่เรียกว่าวิธีการหมดแรง ซึ่งนักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณใช้กันอย่างแพร่หลายในการค้นหาพื้นที่ของตัวเลข ปริมาตรของวัตถุ ความยาวของเส้นโค้ง ฯลฯ ตัวอย่างเช่น อาร์คิมิดีสในการคำนวณพื้นที่ของส่วนพาราโบลา (เช่น ตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยเส้นตรงและพาราโบลา) พบผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอนันต์ด้วยตัวส่วน 1/4

เกือบสองพันห้าพันปีก่อน นักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวกรีก Eudoxus แห่ง Cnidus ใช้วิธีการ "หมดแรง" เพื่อค้นหาพื้นที่และปริมาตร แนวคิดของวิธีนี้คือการแบ่งร่างกายที่กำลังศึกษาออกเป็นจำนวนนับได้ พื้นที่หรือปริมาตรที่ทราบ แล้วจึงบวกปริมาตรเหล่านี้ วิธีการนี้ใช้โดยทั้ง Euclid และ Archimedes โดยธรรมชาติแล้วไม่มีเหตุผลที่สมบูรณ์และถูกต้องเกี่ยวกับวิธีการในงานของนักคณิตศาสตร์โบราณ ก่อนหน้านี้จำเป็นต้องผ่านการเดินทางอันยาวนานสองพันปีซึ่งมีการเปิดเผยที่ยอดเยี่ยม ข้อผิดพลาด และความอยากรู้อยากเห็น

ตัวอย่างเช่น นี่คือวิธีที่นักศาสนศาสตร์ยุคกลางคนหนึ่งให้เหตุผลเมื่อพิสูจน์ - ไม่มากไปกว่านี้ - การดำรงอยู่ของพระเจ้าผู้ทรงฤทธานุภาพสูงสุด

ให้เราเขียน S ในปริมาณเท่ากันเป็นผลรวมอนันต์

ส = 1010101010… (1)

“ให้เราแทนที่ศูนย์แต่ละตัวทางด้านขวาของค่าเท่ากันนี้ด้วยผลรวม 1+(-1)

ส =1+(-1)+ 1+(-1)+ 1+(-1)+… (2)

ปล่อยให้เทอมแรกอยู่ทางด้านขวาของ (2) เพียงอย่างเดียว เราจะใช้วงเล็บเพื่อรวมเทอมที่สองกับเทอมที่สาม เทอมที่สี่กับเทอมที่ห้า เป็นต้น แล้ว

ส=1 + ((-1) +1) + ((-1) +1) +… = 1+0+0+… = 1”

“ถ้าคุณสามารถได้รับสิ่งหนึ่งจากศูนย์ได้ตามใจชอบ การสันนิษฐานว่าจะสร้างโลกจากความว่างเปล่าก็เป็นที่ยอมรับเช่นกัน!”

เราเห็นด้วยกับเหตุผลนี้หรือไม่? ไม่แน่นอน จากมุมมองของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ข้อผิดพลาดของผู้เขียนคือเขาพยายามดำเนินการกับแนวคิดที่ไม่ได้รับคำจำกัดความ (มันคืออะไร - "ผลรวมของจำนวนเทอมที่ไม่มีที่สิ้นสุด") และทำการเปลี่ยนแปลง (วงเล็บเปิด การจัดกลุ่มใหม่) ความถูกต้องตามกฎหมายนั้นไม่ได้รับการพิสูจน์จากเขา

นักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในศตวรรษที่ 17 และ 18 - Isaac Newton (1642-1727), Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), Brooke Taylor (1685-1731) - ใช้กันอย่างแพร่หลายในการนับผลรวมโดยไม่ให้ความสนใจเพียงพอกับคำถามที่ว่าสิ่งนี้คืออะไรกันแน่ แนวคิดหมายถึง ), Colin Maclaurin (1698-1746), Joseph Louis Lagrange (1736-1813) Leonard และ Euler (1707-1783) ได้รับการยกย่องว่าเป็นผู้เชี่ยวชาญในการจัดการแถว แต่ในขณะเดียวกัน เขาก็มักจะยอมรับว่าไม่มีเหตุผลเพียงพอสำหรับเทคนิคที่เขาใช้ เอกสารกว่าร้อยฉบับมีประโยคเช่นนี้ซ้ำแล้วซ้ำอีก: “เราพบว่าสำนวนอนันต์ทั้งสองนี้เท่าเทียมกัน แม้ว่าจะกลายเป็นไปไม่ได้ที่จะพิสูจน์ก็ตาม” เขาเตือนนักคณิตศาสตร์ไม่ให้ใช้ "อนุกรมไดเวอร์เจนต์" แม้ว่าตัวเขาเองจะไม่ได้สนใจเรื่องนี้เสมอไป และมีเพียงสัญชาตญาณอันชาญฉลาดเท่านั้นที่ปกป้องเขาจากข้อสรุปที่ไม่ถูกต้อง จริงอยู่ที่เขามี "การเจาะ" เช่นกัน

เมื่อถึงต้นศตวรรษที่ 19 ความจำเป็นในการให้เหตุผลอย่างรอบคอบเกี่ยวกับคุณสมบัติของ "การนับผลรวม" ก็ชัดเจนขึ้น ในปี 1812 Carl Friedrich Gauss (1777-1865) ได้ยกตัวอย่างแรกของการศึกษาการบรรจบกันของอนุกรม ในปี 1821 เพื่อนที่ดีของเรา Augustin Louis Cauchy (1789-1857) ได้ก่อตั้งหลักการพื้นฐานสมัยใหม่ของทฤษฎีอนุกรมขึ้นมา

.2 ศึกษาเพิ่มเติมเรื่องอนุกรมจำนวน การกำหนดแนวคิดเรื่องอนุกรมจำนวนที่ชัดเจน

การบวกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอนันต์ที่มีตัวส่วนน้อยกว่า 1 ได้ดำเนินการไปแล้วในสมัยโบราณ (อาร์คิมีดีส) ความแตกต่างของอนุกรมฮาร์มอนิกก่อตั้งขึ้นโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวอิตาลี Mengoli ในปี 1650 อนุกรมกำลังปรากฏในนิวตัน (1665) ซึ่งเชื่อว่าฟังก์ชันใดๆ สามารถแสดงด้วยอนุกรมกำลังได้ นักวิทยาศาสตร์แห่งศตวรรษที่ 18 ต้องเผชิญกับซีรีส์ต่างๆ ในการคำนวณอยู่ตลอดเวลา แต่ไม่ได้ให้ความสนใจกับประเด็นของการบรรจบกันเสมอไป ทฤษฎีอนุกรมที่แน่นอนเริ่มต้นด้วยผลงานของเกาส์ (ค.ศ. 1812), โบลซาโน (ค.ศ. 1817) และสุดท้ายคือคอชี ซึ่งให้คำจำกัดความสมัยใหม่ของผลรวมของอนุกรมแบบลู่เข้าเป็นครั้งแรก และทฤษฎีบทหลักได้ถูกสร้างขึ้น ในปี ค.ศ. 1821 Cauchy ได้ตีพิมพ์ "หลักสูตรการวิเคราะห์ที่ Royal Polytechnic School" ซึ่งมีความสำคัญมากที่สุดสำหรับการเผยแพร่แนวคิดใหม่ ๆ เพื่อการพิสูจน์การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ในช่วงครึ่งแรกของศตวรรษที่ 19

“ต่อไปเป็นลำดับปริมาณไม่จำกัด

อันเป็นผลจากกันตามกฎหมายบางประการ...

คือผลรวมของพจน์ n ตัวแรก โดยที่ n คือจำนวนเต็มใดๆ หากค่า n เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องผลรวมเข้าใกล้ขีดจำกัด S ที่ทราบอย่างไม่มีกำหนด อนุกรมนี้เรียกว่าการลู่เข้า และขีดจำกัดนี้คือผลรวมของอนุกรม ในทางตรงกันข้าม ถ้า n เพิ่มขึ้นไม่จำกัด แล้วผลรวมไม่ถึงขีดจำกัดใดๆ อนุกรมจะลู่ออกและจะไม่มีผลรวม…” [จากส่วนแรกของ “หลักสูตรการวิเคราะห์ที่ Royal Polytechnic School” โดย O. Cauchy (1821) ( ฉบับที่ 54 ฉบับที่ 3 หน้า 114-116 แปลโดย A.P. ยูชเควิช}]

.3 ปัญหาที่นำไปสู่แนวคิดเรื่องอนุกรมจำนวนและปัญหาที่ใช้

อคิลลีสที่มีเท้าว่องไวจะตามเต่าไม่ทันถ้าในช่วงเริ่มต้นของการเคลื่อนไหว เต่าอยู่ห่างจากเขาไปพอสมควร ที่จริงแล้ว ให้ระยะทางเริ่มต้นเป็น a และปล่อยให้จุดอ่อนวิ่งเร็วกว่าเต่า k เท่า เมื่อจุดอ่อนผ่านระยะ a เต่าจะคลานออกไปที่ a/k เมื่อจุดอ่อนผ่านระยะนี้ เต่าจะคลานออกไปที่ a/ ฯลฯ กล่าวคือ แต่ละครั้งจะมีระยะห่างระหว่างผู้แข่งขันไม่เป็นศูนย์

ใน Aporia นี้ นอกจากความยากแบบเดียวกันของการนับอนันต์แล้ว ยังมีอีกอย่างหนึ่งอีกด้วย สมมติว่าเมื่อถึงจุดหนึ่ง อคิลลีสไล่ตามเต่าทัน มาเขียนเส้นทางของอคิลลีสกัน

และวิถีแห่งเต่า

แต่ละส่วนของเส้นทาง a/ ที่สำรวจโดยจุดอ่อนจะสอดคล้องกับส่วนของเส้นทาง a/ ของเต่า ดังนั้น เมื่อถึงเวลาประชุม อคิลลีสจะต้องครอบคลุมเส้นทาง "มาก" เท่าๆ กับเต่า ในทางกลับกัน แต่ละส่วนที่เดินโดยเต่าสามารถเชื่อมโยงกับส่วนที่เท่ากันของเส้นทางของจุดอ่อนได้ แต่นอกจากนี้ Achilles ยังต้องวิ่งอีกหนึ่งส่วนที่มีความยาว a นั่นคือ เขาจะต้องเดินทางมากกว่าหนึ่งส่วนกว่าเต่า หากจำนวนเซกเมนต์ที่ครอบคลุมโดยอันสุดท้ายคือ b เราก็จะได้

"ลูกศร". "ลูกศร". หากเวลาและพื้นที่ประกอบด้วยอนุภาคที่แบ่งแยกไม่ได้ ลูกศรที่บินอยู่ก็จะไม่เคลื่อนไหว เนื่องจากในแต่ละช่วงเวลาที่แบ่งแยกไม่ได้จะมีตำแหน่งที่เท่ากันนั่นคือ อยู่นิ่ง และช่วงระยะเวลาหนึ่งคือผลรวมของช่วงเวลาที่แบ่งแยกไม่ได้เช่นนั้น

aporia นี้มุ่งต่อต้านแนวคิดเรื่องปริมาณต่อเนื่อง - เป็นผลรวมของอนุภาคที่แบ่งแยกไม่ได้จำนวนอนันต์

"สนามกีฬา". ปล่อยให้มวลเท่ากันเคลื่อนที่ข้ามสนามกีฬาไปตามเส้นตรงขนานกันด้วยความเร็วเท่ากัน แต่ไปในทิศทางตรงกันข้าม ให้แถวหมายถึงมวลนิ่ง แถวหมายถึงมวลเคลื่อนที่ไปทางขวา และแถวหมายถึงมวลเคลื่อนที่ไปทางซ้าย (รูปที่ 1) ตอนนี้ให้เราพิจารณามวลชน แบ่งแยกไม่ได้ ในช่วงเวลาที่แบ่งแยกไม่ได้ ส่วนที่แบ่งแยกไม่ได้จะเคลื่อนผ่านเข้ามา อันที่จริง ถ้าในช่วงเวลาหนึ่งที่แบ่งแยกไม่ได้ วัตถุใด ๆ ผ่านส่วนที่แบ่งแยกไม่ได้มากกว่าหนึ่งส่วน ช่วงเวลาที่แบ่งแยกไม่ได้ก็จะแบ่งแยกไม่ได้ แต่ถ้าน้อยกว่านั้น ส่วนที่แบ่งแยกไม่ได้ของช่องว่างก็จะแบ่งออกได้ ตอนนี้ให้เราพิจารณาการเคลื่อนที่ของสิ่งที่แบ่งแยกไม่ได้โดยสัมพันธ์กัน: ในสองช่วงเวลาที่แบ่งแยกไม่ได้ สองส่วนที่แบ่งแยกไม่ได้จะผ่านไป และในเวลาเดียวกันก็นับส่วนที่แบ่งแยกไม่ได้สี่ส่วน กล่าวคือ เวลาที่แบ่งแยกไม่ได้ก็จะกลายเป็นส่วนที่แบ่งแยกไม่ได้

Aporia นี้สามารถให้รูปแบบที่แตกต่างออกไปเล็กน้อย ในเวลาเดียวกัน t จุดจะผ่านครึ่งหนึ่งของส่วนและทั้งส่วน แต่แต่ละช่วงเวลาที่แบ่งแยกไม่ได้นั้นสอดคล้องกับส่วนที่แบ่งแยกไม่ได้ของอวกาศที่เดินทางผ่านในช่วงเวลานี้ จากนั้นบางเซกเมนต์ a และเซ็กเมนต์ 2a มีจำนวนคะแนน "เท่ากัน" "เท่ากัน" ในแง่ที่ว่าสามารถสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างจุดของทั้งสองเซ็กเมนต์ได้ นี่เป็นครั้งแรกที่มีการติดต่อกันระหว่างจุดต่างๆ ที่มีความยาวต่างกัน หากเราถือว่าการวัดของส่วนนั้นได้มาเป็นผลรวมของการวัดที่แบ่งแยกไม่ได้ ข้อสรุปก็จะขัดแย้งกัน

2. การใช้ชุดตัวเลข

.1 คำจำกัดความ

ให้ลำดับจำนวนอนันต์ได้รับ

คำจำกัดความ 1.1. ชุดตัวเลขหรือเพียงแค่ ใกล้เรียกว่านิพจน์ (ผลรวม) ของแบบฟอร์ม

ตัวเลขที่ถูกเรียก สมาชิกของตัวเลข, - ทั่วไปหรือ nสมาชิกของซีรีส์

ในการกำหนดอนุกรม (1.1) ก็เพียงพอที่จะระบุฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ตามธรรมชาติในการคำนวณเทอมที่ 3 ของอนุกรมด้วยหมายเลข

จากเงื่อนไขของอนุกรม (1.1) เราสร้างตัวเลข ลำดับของบางส่วน จำนวนเงินโดยที่ผลรวมของเทอมแรกของอนุกรมซึ่งเรียกว่า n-จำนวนบางส่วน, เช่น.

…………………………….

…………………………….

ลำดับตัวเลขที่สามารถเพิ่มจำนวนได้ไม่จำกัดสามารถ:

) มีขีดจำกัด;

) ไม่มีขีดจำกัดจำกัด (ขีดจำกัดไม่มีอยู่หรือเท่ากับอนันต์)

คำจำกัดความ 1.2- ซีรีส์ (1.1) เรียกว่า มาบรรจบกัน,ถ้าลำดับของผลรวมบางส่วน (1.5) มีขีดจำกัดจำกัด เช่น

ในกรณีนี้จะมีการเรียกหมายเลขดังกล่าว จำนวนซีรีส์ (1.1) และแสดงแทน

คำจำกัดความ 1.3ซีรีส์ (1.1) เรียกว่า แตกต่าง,ถ้าลำดับของผลรวมบางส่วนไม่มีขีดจำกัด

ไม่มีการกำหนดผลรวมให้กับซีรีส์ไดเวอร์เจนต์

ดังนั้น ปัญหาในการหาผลรวมของอนุกรมลู่เข้า (1.1) จึงเทียบเท่ากับการคำนวณขีดจำกัดของลำดับของผลรวมบางส่วน

.2 คุณสมบัติพื้นฐานของอนุกรมจำนวน

คุณสมบัติของผลรวมของคำศัพท์จำนวนจำกัดแตกต่างจากคุณสมบัติของอนุกรม กล่าวคือ ผลรวมของเงื่อนไขจำนวนอนันต์ ดังนั้น ในกรณีที่มีจำนวนเทอมจำกัด สามารถจัดกลุ่มตามลำดับใดก็ได้ โดยจะไม่ทำให้ผลรวมเปลี่ยนแปลง มีอนุกรมลู่เข้า (ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข) ซึ่งดังที่รีมันน์ เกออร์ก ฟรีดริช แบร์นฮาร์ดแสดงให้เห็น โดยการเปลี่ยนลำดับเงื่อนไขอย่างเหมาะสม คุณสามารถสร้างผลรวมของอนุกรมเท่ากับจำนวนใดๆ ก็ได้ หรือแม้แต่อนุกรมลู่ออกก็ได้

ตัวอย่างที่ 2.1พิจารณาอนุกรมรูปแบบที่ต่างกัน

เมื่อจัดกลุ่มสมาชิกเป็นคู่ เราจะได้ชุดตัวเลขมาบรรจบกันโดยมีผลรวมเท่ากับศูนย์:

ในทางกลับกัน เมื่อจัดกลุ่มพจน์เป็นคู่ๆ โดยเริ่มจากเทอมที่สอง เราจะได้อนุกรมลู่เข้าด้วย แต่มีผลรวมเท่ากับ 1:

อนุกรมลู่เข้ามีคุณสมบัติบางอย่างที่ทำให้สามารถปฏิบัติต่ออนุกรมเหล่านั้นเสมือนว่าเป็นผลรวมจำกัดได้ จึงสามารถคูณด้วยตัวเลข บวกและลบเทอมต่อเทอมได้ พวกเขาสามารถรวมคำศัพท์ที่อยู่ติดกันเป็นกลุ่มได้

ทฤษฎีบท 2.1(สัญญาณที่จำเป็นของการบรรจบกันของซีรีส์)

ถ้าอนุกรม (1.1) มาบรรจบกัน คำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมนั้นมีแนวโน้มเป็นศูนย์เมื่อ n เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ เช่น

การพิสูจน์ทฤษฎีบทเป็นไปตามข้อเท็จจริงที่ว่า และถ้า

S คือผลรวมของอนุกรม (1.1) ดังนั้น

เงื่อนไข (2.1) ถือเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นแต่ไม่เพียงพอสำหรับการลู่เข้าของอนุกรม นั่นคือ ถ้าคำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ ก็ไม่ได้หมายความว่าอนุกรมนั้นมาบรรจบกัน ตัวอย่างเช่น สำหรับอนุกรมฮาร์มอนิก (1.2) จะต่างกันออกไป

ผลที่ตามมา(สัญญาณที่เพียงพอของความแตกต่างของซีรีส์)

หากคำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมหนึ่งไม่มีแนวโน้มเป็นศูนย์ แสดงว่าอนุกรมนี้จะลู่ออก

คุณสมบัติ 2.1.การบรรจบกันหรือความแตกต่างของอนุกรมจะไม่เปลี่ยนแปลงหากมีการลบคำศัพท์จำนวนจำกัดออก เพิ่มเข้าไป หรือจัดเรียงใหม่ในอนุกรมนั้นโดยพลการ (ในกรณีนี้ สำหรับอนุกรมที่มาบรรจบกัน ผลรวมของอนุกรมอาจมีการเปลี่ยนแปลง)

การพิสูจน์คุณสมบัติเป็นไปตามข้อเท็จจริงที่ว่าอนุกรม (1.1) และเศษที่เหลือมาบรรจบกันหรือแยกออกพร้อมกัน

คุณสมบัติ 2.2.อนุกรมลู่เข้าสามารถคูณด้วยจำนวนได้ กล่าวคือ ถ้าอนุกรม (1.1) มาบรรจบกัน มีผลรวม S และ c เป็นจำนวนที่แน่นอน แล้ว

ข้อพิสูจน์ตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าความเท่าเทียมกันต่อไปนี้ถือเป็นผลรวมจำกัด:

คุณสมบัติ 2.3.อนุกรมลู่เข้าสามารถเพิ่มและลบทีละเทอมได้ เช่น ถ้าเป็นแถว

มาบรรจบกัน

มาบรรจบกันและผลรวมของมันเท่ากับเช่น

การพิสูจน์เป็นไปตามคุณสมบัติของขีดจำกัดของผลรวมอันจำกัด กล่าวคือ

เครื่องหมายเปรียบเทียบ

ให้ซีรีย์เชิงบวกสองชุดได้รับ

และตรงตามเงื่อนไขสำหรับทุก n=1,2,...

จากนั้น: 1) จากการบรรจบกันของอนุกรม (3.2) ตามการบรรจบกันของอนุกรม (3.1)

) จากความแตกต่างของอนุกรม (3.1) เป็นไปตามความแตกต่างของอนุกรม (3.2)

การพิสูจน์- 1. ให้อนุกรม (3.2) มาบรรจบกันและผลรวมเท่ากับ B ลำดับของผลรวมบางส่วนของอนุกรม (3.1) จะไม่ลดลงตามขอบเขตด้านบนด้วยตัวเลข B เช่น

จากนั้น เนื่องจากคุณสมบัติของลำดับดังกล่าว จึงมีขีดจำกัดจำกัด นั่นคือ ซีรีส์ (3.1) มาบรรจบกัน

ให้ซีรีส์ (3.1) แตกต่างออกไป จากนั้น หากอนุกรม (3.2) มาบรรจบกัน ดังนั้นโดยอาศัยจุดที่ 1 พิสูจน์แล้วข้างต้น อนุกรมดั้งเดิมก็จะมาบรรจบกันด้วย ซึ่งขัดแย้งกับเงื่อนไขของเรา ด้วยเหตุนี้ ซีรีส์ (3.2) จึงมีความแตกต่างกันด้วย

เกณฑ์นี้สะดวกในการนำไปใช้กับการพิจารณาการบรรจบกันของอนุกรม โดยเปรียบเทียบกับอนุกรมที่ทราบการลู่เข้ากันอยู่แล้ว

สัญลักษณ์ของดาล็องแบร์

จากนั้น: 1) ที่ q< 1 ряд (1.1) сходится;

) สำหรับ q > 1 อนุกรม (1.1) ลู่ออก

) สำหรับ q = 1 ไม่สามารถพูดได้เกี่ยวกับการบรรจบกันของอนุกรม (1.1) จำเป็นต้องมีการวิจัยเพิ่มเติม

ความคิดเห็น:ซีรีส์ (1.1) ก็จะแตกต่างออกไปในกรณีที่เมื่อใด

สัญญาณของคอชี่

ปล่อยให้เงื่อนไขของอนุกรมเชิงบวก (1.1) มีขีดจำกัด

จากนั้น: 1) ที่ q< 1 ряд (1.1) сходится;

) สำหรับ q > 1 อนุกรม (1.1) ลู่ออก

3) สำหรับ q = 1 ไม่สามารถพูดได้เกี่ยวกับการบรรจบกันของอนุกรม (1.1) จำเป็นต้องมีการวิจัยเพิ่มเติม

การทดสอบอินทิกรัลคอชี-แมคคลอริน

ปล่อยให้ฟังก์ชัน f(x) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ไม่เป็นลบและไม่เพิ่มขึ้นในช่วงเวลา

จากนั้นอนุกรมและอินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมมาบรรจบกันหรือแยกออกพร้อมกัน

.3 วัตถุประสงค์

ชุดตัวเลขไม่เพียงแต่ใช้ในคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังใช้ในวิทยาศาสตร์อื่นๆ อีกจำนวนหนึ่งด้วย ฉันอยากจะยกตัวอย่างการใช้งานดังกล่าวบ้าง

เช่น เพื่อศึกษาคุณสมบัติของโครงสร้างหินเหนียว ในทางปฏิบัติ การใช้แนวคิดเรื่อง "โครงสร้าง" ส่วนใหญ่จะลดน้อยลงเพื่อระบุลักษณะพารามิเตอร์ด้านมิติของเมล็ดพืช ทั้งนี้ แนวคิดเรื่อง “โครงสร้าง” ในวิชาปิโตรกราฟีไม่สอดคล้องกับแนวคิดเรื่อง “โครงสร้าง” ในวิชาผลึกศาสตร์ ธรณีวิทยาโครงสร้าง และวิทยาศาสตร์อื่นๆ เกี่ยวกับโครงสร้างของสสาร ประการหลัง "โครงสร้าง" มีความสอดคล้องกับแนวคิดเรื่อง "พื้นผิว" ใน petrography มากกว่า และสะท้อนถึงวิธีการเติมช่องว่าง หากเรายอมรับว่า "โครงสร้าง" เป็นแนวคิดเชิงพื้นที่ โครงสร้างต่อไปนี้ควรได้รับการพิจารณาว่าไม่มีความหมาย: โครงสร้างและพื้นผิวรองหรือหลัก ผลึก เคมี การทดแทน (การกัดกร่อน การตกผลึกซ้ำ ฯลฯ) โครงสร้างการเสียรูป โครงสร้างเชิงตัว โครงสร้างที่เหลือ ฯลฯ ดังนั้น "โครงสร้าง" เหล่านี้จึงเรียกว่า "โครงสร้างเท็จ"

โครงสร้างเป็นชุด องค์ประกอบโครงสร้างโดดเด่นด้วยขนาดเกรนและอัตราส่วนเชิงปริมาณ

เมื่อดำเนินการจำแนกประเภทเฉพาะ พารามิเตอร์เกรนเชิงเส้นพร้อมลำดับ

แม้ว่าการประมาณความชุกเชิงปริมาณจะทำผ่านพารามิเตอร์พื้นที่ (เปอร์เซ็นต์) ลำดับนี้อาจมีความยาวมากและไม่เคยถูกสร้างขึ้นเลย โดยปกติแล้วพวกเขาจะพูดถึงขีด จำกัด ของการเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์เท่านั้นโดยตั้งชื่อค่าสูงสุด (สูงสุด) และค่าต่ำสุด (นาที) ของขนาดเกรน

แนวทางหนึ่งในการแทน P4 คือการใช้ชุดตัวเลข ซึ่งสร้างขึ้นในลักษณะเดียวกับลำดับข้างต้น แต่แทนที่จะใส่ (?) จะมีการใส่เครื่องหมายผลรวม (+) แทน การบิดของลำดับทั้งหมดจะดำเนินการโดยการรวมองค์ประกอบที่เท่ากันและเพิ่มพื้นที่ของมัน จากนั้นเราก็จะได้ลำดับ:

การแสดงออกหมายความว่าพื้นที่ที่ครอบครองโดยทุกส่วนของเมล็ดพืชที่มีขนาดเท่ากันนั้นถูกวัด

คุณลักษณะของเกรนนี้ช่วยให้สามารถวิเคราะห์ความสัมพันธ์ที่ได้รับเชิงตัวเลขได้ ประการแรก พารามิเตอร์สามารถถือเป็นค่าได้ แกนพิกัดและสร้างกราฟขึ้นมา S=f(l) ประการที่สอง ลำดับ (RSl) 1 สามารถจัดลำดับได้ เช่น ในลำดับจากมากไปน้อยของสัมประสิทธิ์ ส่งผลให้เกิดอนุกรม

ซีรีส์นี้เรียกว่าโครงสร้างของส่วนหินที่กำหนด และยังเป็นคำจำกัดความของแนวคิด "โครงสร้าง" อีกด้วย พารามิเตอร์คือองค์ประกอบของโครงสร้าง และพารามิเตอร์ k= คือความยาวของโครงสร้าง โดยการก่อสร้าง n=k การแสดงโครงสร้างนี้ช่วยให้สามารถเปรียบเทียบโครงสร้างที่แตกต่างกันได้

นอกจากนี้ Kirill Pavlovich Butusov ยังค้นพบปรากฏการณ์ของ "การสั่นพ้องของคลื่นจังหวะ" บนพื้นฐานของที่เขากำหนด "กฎของช่วงเวลาของดาวเคราะห์" เนื่องจากช่วงเวลาของการปฏิวัติของดาวเคราะห์ก่อตัวเป็นชุดหมายเลขฟีโบนักชีและลูคัสและพิสูจน์แล้ว ว่า "กฎของระยะห่างของดาวเคราะห์" ของ Johann Titius เป็นผลมาจาก "การสั่นพ้องของคลื่นจังหวะ" (1977) ในเวลาเดียวกัน เขาได้ค้นพบการปรากฏของ "ส่วนสีทอง" ในการกระจายตัวของพารามิเตอร์อื่น ๆ ของร่างกายในระบบสุริยะ (1977) ในเรื่องนี้เขากำลังทำงานเพื่อสร้าง "คณิตศาสตร์ทองคำ" - ระบบใหม่สัญกรณ์ขึ้นอยู่กับจำนวนฟีเดียส (1.6180339) ซึ่งเพียงพอต่อปัญหาทางดาราศาสตร์ ชีววิทยา สถาปัตยกรรม สุนทรียศาสตร์ ทฤษฎีดนตรี ฯลฯ มากกว่า

จากประวัติศาสตร์ดาราศาสตร์เป็นที่รู้กันว่า I. Titius นักดาราศาสตร์ชาวเยอรมันแห่งศตวรรษที่ 18 ด้วยความช่วยเหลือของชุดฟีโบนัชชีนี้ ได้พบรูปแบบและลำดับในระยะห่างระหว่างดาวเคราะห์ ระบบสุริยะ.

อย่างไรก็ตาม มีกรณีหนึ่งที่ดูเหมือนจะขัดแย้งกับกฎหมาย นั่นคือ ไม่มีดาวเคราะห์ระหว่างดาวอังคารกับดาวพฤหัสบดี การสังเกตท้องฟ้าส่วนนี้อย่างมุ่งเน้นนำไปสู่การค้นพบแถบดาวเคราะห์น้อย สิ่งนี้เกิดขึ้นหลังจากการสิ้นพระชนม์ของทิติอุสเมื่อต้นศตวรรษที่ 19 อนุกรมฟีโบนัชชีมีการใช้กันอย่างแพร่หลาย โดยใช้เพื่อเป็นตัวแทนสถาปัตยกรรมของสิ่งมีชีวิต โครงสร้างที่มนุษย์สร้างขึ้น และโครงสร้างของกาแล็กซี ข้อเท็จจริงเหล่านี้เป็นหลักฐานยืนยันความเป็นอิสระของชุดตัวเลขจากเงื่อนไขของการสำแดงซึ่งเป็นหนึ่งในสัญญาณของความเป็นสากล

การเข้ารหัสเป็นศาสตร์แห่ง วิธีการทางคณิตศาสตร์สร้างความมั่นใจในการรักษาความลับ (ความเป็นไปไม่ได้ในการอ่านข้อมูลโดยบุคคลภายนอก) และความถูกต้อง (ความสมบูรณ์และความถูกต้องของการประพันธ์ตลอดจนความเป็นไปไม่ได้ที่จะปฏิเสธการประพันธ์) ของข้อมูล ระบบการเข้ารหัสสมัยใหม่ส่วนใหญ่ใช้อัลกอริธึมสตรีมหรือบล็อกตาม ประเภทต่างๆยันต์การทดแทนและการเรียงสับเปลี่ยน น่าเสียดายที่อัลกอริธึมเกือบทั้งหมดที่ใช้ในระบบเข้ารหัสสตรีมนั้นมีไว้สำหรับใช้ในระบบการสื่อสารทางการทหารและรัฐบาล รวมถึงในบางกรณีเพื่อปกป้องข้อมูลเชิงพาณิชย์ ซึ่งค่อนข้างจะเป็นความลับและไม่สามารถเข้าถึงได้เพื่อการตรวจสอบ อัลกอริธึมการเข้ารหัสสตรีมมาตรฐานเพียงอย่างเดียวคือมาตรฐาน American DES (โหมด CFB และ OFB) และมาตรฐานรัสเซีย GOST 28147-89 (โหมดการเล่นเกม) อย่างไรก็ตาม อัลกอริธึมการเข้ารหัสสตรีมที่ใช้ในมาตรฐานเหล่านี้ได้รับการจัดประเภทไว้

พื้นฐานสำหรับการทำงานของระบบการเข้ารหัสแบบสตรีมคือตัวสร้างลำดับแบบสุ่มหรือแบบสุ่มหลอก ลองพิจารณาปัญหานี้โดยละเอียด

ลำดับสุ่มหลอก

รหัสลับเป็นพื้นฐานของการแปลงการเข้ารหัส ซึ่งตามกฎของ Kerckhoff จุดแข็งของระบบการเข้ารหัสที่ดีจะถูกกำหนดโดยการรักษาความลับของรหัสเท่านั้น อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ การสร้าง แจกจ่าย และจัดเก็บคีย์มักไม่ค่อยเป็นงานที่ซับซ้อนทางเทคนิค แม้ว่าจะมีราคาแพงก็ตาม ปัญหาหลักของการเข้ารหัสแบบคลาสสิกมานานแล้วคือความยากในการสร้างลำดับไบนารี่แบบยาวที่ไม่สามารถคาดเดาได้โดยใช้คีย์สุ่มแบบสั้น เพื่อแก้ปัญหานี้ เครื่องกำเนิดลำดับไบนารีเทียมจึงถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลาย ความก้าวหน้าที่สำคัญในการพัฒนาและวิเคราะห์เครื่องกำเนิดไฟฟ้าเหล่านี้เกิดขึ้นได้ในช่วงต้นอายุหกสิบเศษเท่านั้น ดังนั้นบทนี้จึงกล่าวถึงกฎสำหรับการได้รับคีย์และสร้างลำดับการสุ่มหลอกแบบยาวที่ใช้โดยระบบการเข้ารหัสเพื่อแปลงข้อความเป็นการเข้ารหัส

ชุดตัวเลขสุ่มหรือสุ่มหลอกที่ได้รับโดยทางโปรแกรมจากคีย์เรียกว่าแกมมาในศัพท์แสงของนักเข้ารหัสในประเทศตามชื่อ y - ตัวอักษรของอักษรกรีกซึ่งใช้ในสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์เพื่อแสดงถึง ตัวแปรสุ่ม- เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าในหนังสือ "Strangers on a Bridge" ที่เขียนโดยทนายความของเจ้าหน้าที่ข่าวกรอง Abel ได้มีการให้คำว่าแกมมาซึ่งผู้เชี่ยวชาญของ CIA ให้ความเห็นเกี่ยวกับ "การออกกำลังกายทางดนตรี" นั่นคือในวัยห้าสิบที่พวกเขาไม่รู้ ความหมายของมัน การได้รับและทำซ้ำการใช้งานซีรีส์สุ่มจริงนั้นเป็นอันตราย ยาก และมีราคาแพง การสร้างแบบจำลองทางกายภาพของการสุ่มโดยใช้ปรากฏการณ์ทางกายภาพ เช่น รังสีกัมมันตภาพรังสีเสียงช็อตในหลอดสุญญากาศหรือการพังทลายของอุโมงค์ของซีเนอร์ไดโอดของเซมิคอนดักเตอร์ไม่ทำให้เกิดกระบวนการสุ่มที่แท้จริง แม้ว่าจะมีกรณีที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าการใช้งานที่ประสบความสำเร็จในการสร้างคีย์ เช่น ในอุปกรณ์เข้ารหัสลับของรัสเซีย KRYPTON ดังนั้น แทนที่จะใช้กระบวนการทางกายภาพ โปรแกรมคอมพิวเตอร์จึงถูกใช้เพื่อสร้างแกมมา ซึ่งแม้จะเรียกว่าเครื่องกำเนิดตัวเลขสุ่ม แต่จริงๆ แล้วสร้างชุดตัวเลขที่กำหนดขึ้นซึ่งดูเหมือนสุ่มในคุณสมบัติเท่านั้น พวกเขาจำเป็นต้องรู้กฎแห่งการก่อตัว แต่ไม่รู้กุญแจในรูปแบบ เงื่อนไขเริ่มต้นไม่มีใครสามารถแยกชุดตัวเลขออกจากชุดสุ่มได้ ราวกับว่าได้มาจากการทอยลูกเต๋าที่สมบูรณ์แบบ เราสามารถกำหนดข้อกำหนดหลักสามประการสำหรับตัวสร้างที่ปลอดภัยด้วยการเข้ารหัสของลำดับสุ่มหลอกหรือแกมมา:

คาบแกมมาต้องมีขนาดใหญ่พอที่จะเข้ารหัสข้อความที่มีความยาวต่างกันได้

แกมมาน่าจะคาดเดาได้ยาก ซึ่งหมายความว่าหากทราบประเภทของตัวกำเนิดและชิ้นส่วนของแกมมา ก็เป็นไปไม่ได้ที่จะทำนายบิตถัดไปของแกมมาหลังจากชิ้นนี้ด้วยความน่าจะเป็นที่สูงกว่า x หากนักวิเคราะห์การเข้ารหัสทราบส่วนใดส่วนหนึ่งของช่วงเสียง เขาจะยังคงไม่สามารถระบุบิตที่อยู่ข้างหน้าหรือตามนั้นได้

การสร้างช่วงไม่ควรเกี่ยวข้องกับปัญหาด้านเทคนิคและองค์กรที่สำคัญ

ลำดับฟีโบนัชชี

ชั้นเรียนที่น่าสนใจเครื่องกำเนิดตัวเลขสุ่มได้รับการเสนอหลายครั้งโดยผู้เชี่ยวชาญหลายคนในวิชาเลขคณิตจำนวนเต็ม โดยเฉพาะ George Marsalia และ Arif Zeiman ตัวสร้างประเภทนี้จะขึ้นอยู่กับการใช้ลำดับฟีโบนักชี ตัวอย่างคลาสสิกของลำดับดังกล่าว (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...) ยกเว้นสองเทอมแรก แต่ละเทอมต่อมาจะเท่ากับผลรวมของสองเทอมก่อนหน้า หากนำเฉพาะหลักสุดท้ายของตัวเลขแต่ละตัวในลำดับ คุณจะได้ลำดับของตัวเลข (0, 1, 1, 2, 5, 8, 3, 1, 4, 5, 9, 4...) ถ้า ลำดับนี้ใช้เพื่อเติมอาร์เรย์ขนาดใหญ่ในตอนแรก จากนั้นเมื่อใช้อาร์เรย์นี้ คุณสามารถสร้างตัวสร้างตัวเลขสุ่มฟีโบนักชีโดยมีการหน่วงเวลา โดยที่จะไม่บวกตัวเลขที่อยู่ติดกัน แต่อยู่ห่างไกล Marsalia และ Zeiman เสนอให้แนะนำ "carry bit" ในวงจร Fibonacci ซึ่งสามารถมีค่าเริ่มต้นเป็น 0 หรือ 1 เครื่องกำเนิด "carry นอกจากนี้" ที่สร้างขึ้นบนพื้นฐานนี้จะได้รับ คุณสมบัติที่น่าสนใจขึ้นอยู่กับสิ่งเหล่านี้ เป็นไปได้ที่จะสร้างลำดับที่มีระยะเวลานานกว่าเครื่องกำเนิดที่สอดคล้องกันในปัจจุบันมาก ตามการแสดงออกที่เป็นรูปเป็นร่างของ Marsalia เครื่องกำเนิดของคลาสนี้ถือได้ว่าเป็นเครื่องขยายสัญญาณของการสุ่ม “คุณสุ่มเมล็ดที่มีความยาวหลายพันบิตและสร้างตัวเลขสุ่มลำดับยาว” อย่างไรก็ตามระยะเวลาที่ยาวนานในตัวมันเองนั้นไม่เพียงพอ จุดอ่อนในเครื่องชั่งอาจตรวจพบได้ยาก และนักวิเคราะห์ต้องใช้เทคนิคการวิเคราะห์ลำดับที่ซับซ้อนเพื่อเน้นรูปแบบบางอย่างที่ซ่อนอยู่ในอาร์เรย์จำนวนมาก

ข้อสรุป

ซีรีส์นี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในด้านคณิตศาสตร์และการประยุกต์ ในการวิจัยเชิงทฤษฎี และในการแก้โจทย์ปัญหาเชิงตัวเลขโดยประมาณ สามารถเขียนตัวเลขจำนวนมากในรูปแบบของซีรี่ส์พิเศษซึ่งสะดวกในการคำนวณค่าโดยประมาณด้วยความแม่นยำที่ต้องการ วิธีการขยายอนุกรมคือ วิธีการที่มีประสิทธิภาพศึกษาฟังก์ชั่น มันถูกใช้เพื่อคำนวณค่าโดยประมาณของฟังก์ชัน, คำนวณและประเมินอินทิกรัล, เพื่อแก้สมการทุกประเภท (พีชคณิต, อนุพันธ์, อินทิกรัล)

อ้างอิง

1. ชิลอฟ จี.อี. การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่ง ตอนที่ 1-2 - อ.: เนากา 2512

ไมคอฟ อี.วี. การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ชุดตัวเลข/E.V. ไมคอฟ - 1999

. “หลักสูตรการวิเคราะห์ที่ Royal Polytechnic School”

O. Cauchy (1821) (หมายเลข 54 เล่ม III, หน้า 114-116 แปลโดย A.P. Yushkevich)

ประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ตั้งแต่สมัยโบราณจนถึงปัจจุบัน ต้น XIXศตวรรษ (แก้ไขโดย A.P. Yushkevich เล่มที่ 1)

ผู้อ่านเกี่ยวกับประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ (ตอนที่ II) (แก้ไขโดย A.P. Yushkevich)

คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น: หลักสูตรทั่วไป: หนังสือเรียน. - ฉบับที่ 2 / A.I. ยาบลอนสกี้, A.V. Kuznetsov, E.I. Shilkina และคนอื่น ๆ ; ภายใต้ทั่วไป เอ็ด เอส.เอ. ซามาล. - ชื่อ: สูงกว่า. โรงเรียน พ.ศ. 2543 - 351 น.

Markov L.N. , Razmyslovich G.P. คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น ส่วนที่ 2 พื้นฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และองค์ประกอบของสมการเชิงอนุพันธ์ - อนาธิปไตย: Amalthea, 2546. - 352 น.

8. มาคารอฟ วี.พี. คำถามเกี่ยวกับธรณีวิทยาเชิงทฤษฎี 7. องค์ประกอบของทฤษฎีโครงสร้าง - ประเด็นร่วมสมัยและแนวทางแก้ไขในด้านวิทยาศาสตร์ การขนส่ง การผลิต และการศึกษา 2550 Odessa, Chernomorye, 2550 T.19 หน้า 27 - 40.

9. โปโลวินกีนา ยู. โครงสร้างหิน ส่วนที่ 1: หินอัคนี; ส่วนที่ 2: หินตะกอน; ส่วนที่ 3: หินแปร - ม.: Gosgeolizdat, 2491.

10.http://shaping.ru/mku/butusov.asp

http://www.abc-people.com/idea/zolotsech/gr-txt.htm

ซับซ้อนทางการศึกษาและระเบียบวิธีระเบียบวินัย "คณิตศาสตร์" ส่วนที่ 10 "แถว" รากฐานทางทฤษฎี. แนวทางสำหรับนักเรียน วัสดุสำหรับ งานอิสระนักเรียน. - อูฟา: สำนักพิมพ์ USNTU, 2550 - 113 หน้า

13.http://cryptolog.ru/? Psevdosluchainye_posledovatelmznosti

14. กาลูฟ จี.เอ. รากฐานทางคณิตศาสตร์ของการเข้ารหัส: คู่มือการศึกษาและระเบียบวิธี- ตากันร็อก: สำนักพิมพ์ TRTU 2003.-120 น.

กวดวิชา

ต้องการความช่วยเหลือในการศึกษาหัวข้อหรือไม่?

ผู้เชี่ยวชาญของเราจะแนะนำหรือให้บริการสอนพิเศษในหัวข้อที่คุณสนใจ
ส่งใบสมัครของคุณระบุหัวข้อในขณะนี้เพื่อค้นหาความเป็นไปได้ในการรับคำปรึกษา

1. แนวคิดพื้นฐาน ขอให้เราได้รับลำดับของตัวเลขที่ไม่สิ้นสุด

คำนิยาม.การแสดงออก

คำทั่วไปของซีรีส์นี้อยู่ที่ไหน

ตัวอย่างที่ 7.1

ลองพิจารณาซีรีส์ นี่คือคำศัพท์ทั่วไปของซีรีส์นี้

ให้เราพิจารณาผลรวมที่ประกอบด้วยคำศัพท์จำนวนจำกัดของอนุกรม (7.1): , , - - - จำนวนเงินดังกล่าวเรียกว่า จำนวนบางส่วนแถว. เรียกว่าผลบวกบางส่วนของอนุกรม ดังนั้น ผลรวมบางส่วนคือผลรวมของเงื่อนไข (จำนวนจำกัด):

.

(7.3)

ลำดับต่อมา , , , ..., , ... หรือ .เรียกว่าลำดับผลบวกบางส่วนของอนุกรม (7.1)

คำนิยาม.หากมีขอบเขตจำกัด , จากนั้นจึงเรียกอนุกรม (1.1) มาบรรจบกัน,และตัวเลขคือผลรวมของอนุกรมนี้ ในกรณีนี้พวกเขาเขียน

ถ้าลำดับไม่มีขีดจำกัด ก็จะเรียกอนุกรม (7.1) แตกต่างซีรีย์ที่แตกต่างไม่มีผลรวม

ตัวอย่างที่ 7.2

สารละลาย

คำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมสามารถแสดงเป็น

, (n= 1, 2, 3, . . .).

ดังนั้น อนุกรมนี้มาบรรจบกันและผลรวมของมันคือ 1

ตัวอย่างที่ 7.3(ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต)

พิจารณาลำดับซึ่งแต่ละเทอมเริ่มต้นจากวินาทีจะได้มาโดยการคูณเทอมก่อนหน้าด้วยจำนวนเดียวกัน:

บางครั้งอนุกรม (7.5) เองก็เรียกว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ผลรวมบางส่วนของอนุกรม (7.5) คือผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตและ

คำนวณโดยสูตร

.

(7.6)

ถ้าอย่างนั้น. ด้วยเหตุนี้เมื่อซีรีส์ (7.5) มาบรรจบกัน ถ้าอย่างนั้น. ดังนั้นเมื่อซีรีย์ (7.5) แตกต่างออกไป ถ้า จากนั้น (7.5) เปลี่ยนเป็นอนุกรม 1 + 1 + 1 + ... + 1 + ... . สำหรับซีรีย์ดังกล่าวและ

ดังนั้นเมื่อซีรีย์ (7.5) แตกต่างออกไป

เมื่อพิจารณาอนุกรม ประเด็นของการลู่เข้า (divergence) เป็นสิ่งสำคัญ เพื่อแก้ไขปัญหานี้ ตัวอย่างที่ 7.1 และ 7.2 ใช้คำจำกัดความของการลู่เข้า บ่อยครั้งที่มีการใช้คุณสมบัติบางอย่างของซีรีส์ซึ่งเรียกว่าสัญญาณของการบรรจบกันของซีรีส์

ทฤษฎีบท 7.1(สัญญาณที่จำเป็นของการบรรจบกัน) หากอนุกรม (7.1) มาบรรจบกัน คำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมนั้นมีแนวโน้มเป็นศูนย์โดยเพิ่มขึ้นไม่จำกัดใน เช่น

ซีรีส์ (7.8) มีชื่อว่า ฮาร์มอนิกใกล้.

สำหรับแถวนี้ อย่างไรก็ตาม ยังไม่สามารถสรุปข้อสรุปเกี่ยวกับการลู่เข้าของอนุกรม (7.8) ได้ เนื่องจากข้อความที่ขัดแย้งกับทฤษฎีบท 7.1 ไม่เป็นความจริง

ให้เราแสดงให้เห็นว่าซีรีส์ (7.8) แตกต่าง สิ่งนี้สามารถสร้างขึ้นได้โดยใช้เหตุผลที่ขัดแย้งกัน สมมติว่าอนุกรม (7.8) มาบรรจบกันและผลรวมเท่ากับ ส.แล้ว = –

– ซึ่งขัดแย้งกับความไม่เท่าเทียมกัน

ดังนั้นอนุกรมฮาร์มอนิกจึงแยกออก

คุณลักษณะที่จำเป็นสามารถใช้เพื่อกำหนดข้อเท็จจริงของความแตกต่างของอนุกรมได้ อันที่จริงเป็นไปตามทฤษฎีบท 7.1 ว่าถ้าคำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมไม่มีแนวโน้มเป็นศูนย์ อนุกรมก็จะแยกออกจากกัน

ตัวอย่างที่ 7.5

ลองพิจารณาซีรีส์

ที่นี่ , . ขีดจำกัดไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นอนุกรมจึงแตกต่าง

ดังนั้น หากเป็นไปตามเงื่อนไข (7.7) คำถามเกี่ยวกับการลู่เข้าของอนุกรม (7.1) จะยังคงเปิดอยู่ ซีรีส์อาจแตกต่างออกไปหรืออาจมาบรรจบกัน เพื่อแก้ไขปัญหานี้พวกเขาสามารถทำได้

ต้องใช้คุณสมบัติของซีรีย์นี้ซึ่งจะตามมาของการบรรจบกันของซีรีย์นี้ คุณสมบัติดังกล่าวเรียกว่า สัญญาณของการบรรจบกันที่เพียงพอแถว

ซีรีส์ที่มีแง่บวกพิจารณา สัญญาณที่เพียงพอของการบรรจบกันของอนุกรมกับเงื่อนไขเชิงบวก

ทฤษฎีบท 7.2.(สัญลักษณ์ของดาล็องแบร์).

เป็นบวก:

1) ถ้า , อนุกรม (7.1) มาบรรจบกัน;

2) ถ้า , ซีรีส์ (7.1) มาบรรจบกัน;

บันทึก. ซีรีส์ (7.1) ก็จะแยกกันในกรณีที่ เมื่อ ตั้งแต่นั้นมา โดยเริ่มจากตัวเลขบางตัว ยังไม่มีข้อความจะเป็น และดังนั้นจึงไม่มีแนวโน้มเป็นศูนย์ที่

ตัวอย่างที่ 7.6

ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า

สารละลาย- . แล้ว =

ขีดจำกัดที่พบน้อยกว่าความสามัคคี ดังนั้นซีรีย์นี้จึงมาบรรจบกัน

ตัวอย่างที่ 7.7

ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า

สารละลาย- . แล้ว =

= = = = = = = .

ขีดจำกัดที่พบนั้นมากกว่าความสามัคคี ดังนั้นซีรีย์นี้จึงแตกต่าง

ทฤษฎีบท 7.3.(เครื่องหมายหัวรุนแรง Cauchy).

ให้ระบุซีรีส์ (7.1) ตามเงื่อนไขทั้งหมด เป็นบวก:

และมีขีดจำกัด

,

(7.11)

(การกำหนดขีดจำกัดที่พบอยู่ที่ไหน) แล้ว:

1) ถ้า , อนุกรม (7.1) มาบรรจบกัน;

2) ถ้า , ซีรีส์ (7.1) มาบรรจบกัน;

3) ถ้า เกณฑ์ที่พิจารณาไม่ตอบคำถามเกี่ยวกับการบรรจบกันของซีรีส์

สามารถดูหลักฐานการลงนามได้ใน

ตัวอย่างที่ 7.8

ตรวจสอบซีรีส์สำหรับการลู่เข้า

สารละลาย.

มาหาขีดจำกัดกัน (7.11):

ขีดจำกัดที่พบมีค่ามากกว่าความสามัคคี ดังนั้นอนุกรมนี้จึงแตกต่างออกไป (ทฤษฎีบท 7.3)

อนุกรมฮาร์มอนิกทั่วไปอนุกรมฮาร์มอนิกทั่วไปเรียกว่าอนุกรมของแบบฟอร์ม

ทฤษฎีบท 7.3- (ทฤษฎีบทของไลบ์นิซ) ถ้าเป็นซีรีย์.(7.13) ตรงตามเงื่อนไขสองประการ:

1) เงื่อนไขของซีรีส์ลดลงอย่างน่าเบื่อในค่าสัมบูรณ์:

2)คำศัพท์ทั่วไปของซีรีส์นี้มีแนวโน้มเป็นศูนย์:

แล้วซีรีย์(7.13) มาบรรจบกัน

สามารถดูหลักฐานการลงชื่อได้เช่นใน

ตัวอย่างที่ 7.9

พิจารณาสัญลักษณ์ของอนุกรมสลับกัน

(7.14)

สำหรับชุดนี้ เป็นไปตามเงื่อนไขของทฤษฎีบท (7.13) ดังนี้

ดังนั้น อนุกรม (7.12) มาบรรจบกัน

ข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบท 7.3ส่วนที่เหลือของอนุกรมสลับกัน (7.13) ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขของทฤษฎีบทของไลบ์นิซ มีเครื่องหมายของเทอมแรกและน้อยกว่าค่าสัมบูรณ์

ตัวอย่างที่ 7.10คำนวณผลรวมของอนุกรมลู่เข้าด้วยความแม่นยำ 0.1

จากค่าประมาณของผลรวมของอนุกรม เราจะต้องหาผลรวมบางส่วนซึ่ง จากการสอบสวนพบว่า. ดังนั้นจึงเพียงพอที่จะใส่ เช่น แล้ว

ดังนั้น ด้วยความแม่นยำ 0.1

การบรรจบกันแบบสัมบูรณ์และมีเงื่อนไข- พิจารณาซีรีส์ที่มีเงื่อนไขที่มีสัญญาณโดยอำเภอใจ

โปรดทราบว่าอนุกรม (7.16) เป็นอนุกรมที่มีพจน์เป็นบวก และทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องที่ให้ไว้ข้างต้นสามารถใช้ได้

ทฤษฎีบท 7.4(สัญลักษณ์ของการบรรจบกันอย่างสมบูรณ์) ถ้าอนุกรม (7.16) มาบรรจบกัน อนุกรม (7.15) ก็มาบรรจบกันด้วย

(สามารถหาข้อพิสูจน์ทฤษฎีบทได้ใน)

คำนิยาม.

ถ้าอนุกรม (7.16) มาบรรจบกัน อนุกรมที่เกี่ยวข้อง (7.15) เรียกว่าลู่เข้าอย่างแน่นอน ลดลงอย่างแน่นอนเซี่ย

อาจกลายเป็นว่าซีรีส์ (7.16) แตกต่างออกไป แต่ซีรีส์ (7.15) มาบรรจบกัน ในกรณีนี้จะเรียกว่าซีรีส์ (7.15) บรรจบกันอย่างมีเงื่อนไข.

โปรดทราบว่าอนุกรมการสลับ (7.13) เป็นกรณีพิเศษของซีรีส์ที่มีเงื่อนไขมีสัญญาณโดยพลการ ดังนั้น ในการศึกษาอนุกรมสลับกัน เราสามารถใช้ทฤษฎีบท 7.5 ก็ได้

ตัวอย่างที่ 7.11

สารละลาย

ลองพิจารณาซีรีส์ที่ประกอบด้วยค่าสัมบูรณ์ของสมาชิกของซีรีส์ที่กำหนด อนุกรมนี้มาบรรจบกัน เนื่องจากเป็นอนุกรมฮาร์มอนิกทั่วไป (7.12) ที่มีค่า ดังนั้น ตามเกณฑ์การลู่เข้าสัมบูรณ์ (ทฤษฎีบท 7.5) อนุกรมดั้งเดิมจึงมาบรรจบกันโดยสิ้นเชิง

ตัวอย่างที่ 7.12

ซีรีส์นี้กำลังตรวจสอบการบรรจบกัน

สารละลาย

ตามทฤษฎีบทของไลบ์นิซมันมาบรรจบกัน แต่อนุกรมที่ประกอบด้วยค่าสัมบูรณ์ของเงื่อนไขของอนุกรมดั้งเดิมนั้นแตกต่างออกไป (นี่คืออนุกรมฮาร์มอนิก) ด้วยเหตุนี้ ซีรีส์ต้นฉบับจึงมาบรรจบกันอย่างมีเงื่อนไข