อนุพันธ์ของ e คืออะไร ข้อผิดพลาดทั่วไปเมื่อคำนวณอนุพันธ์

จะหาอนุพันธ์ได้อย่างไร, หาอนุพันธ์ได้อย่างไร? บน บทเรียนนี้เราจะเรียนรู้การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน แต่ก่อนที่จะศึกษาหน้านี้ ฉันขอแนะนำอย่างยิ่งให้คุณทำความคุ้นเคยกับเนื้อหาเกี่ยวกับระเบียบวิธีสูตรร้อน หลักสูตรของโรงเรียนนักคณิตศาสตร์- สามารถเปิดหรือดาวน์โหลดคู่มืออ้างอิงได้ที่หน้าเพจสูตรทางคณิตศาสตร์และตาราง - จากนั้นเราจะต้องตารางอนุพันธ์จะดีกว่าถ้าพิมพ์ออกมา คุณมักจะต้องอ้างอิงถึงมัน ไม่ใช่แค่ตอนนี้ แต่ยังออฟไลน์ด้วย

กิน? มาเริ่มกันเลย ฉันมีสองข่าวสำหรับคุณ: ดีและดีมาก ข่าวดีก็คือ หากต้องการเรียนรู้วิธีค้นหาอนุพันธ์ คุณไม่จำเป็นต้องรู้หรือเข้าใจว่าอนุพันธ์คืออะไร ยิ่งไปกว่านั้น เป็นการเหมาะสมกว่าที่จะแยกแยะคำจำกัดความของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ความหมายทางคณิตศาสตร์ กายภาพ และเรขาคณิตของอนุพันธ์ในภายหลัง เนื่องจากในความคิดของฉัน การศึกษาทฤษฎีคุณภาพสูงจำเป็นต้องมีการศึกษาจำนวนหนึ่ง หัวข้ออื่นๆ รวมถึงประสบการณ์เชิงปฏิบัติบางอย่าง

และตอนนี้งานของเราคือฝึกฝนอนุพันธ์แบบเดียวกันนี้ในทางเทคนิค ข่าวดีก็คือการเรียนรู้ที่จะเข้าใจอนุพันธ์นั้นไม่ใช่เรื่องยาก มีอัลกอริธึมที่ชัดเจนในการแก้ปัญหา (และอธิบาย) งานนี้ เช่น อินทิกรัลหรือขีดจำกัดนั้นยากกว่าที่จะเชี่ยวชาญ

ฉันแนะนำให้คุณศึกษาหัวข้อตามลำดับต่อไปนี้: อันดับแรก บทความนี้. จากนั้นคุณจะต้องอ่านบทเรียนที่สำคัญที่สุดอนุพันธ์ ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน- ชั้นเรียนพื้นฐานทั้งสองนี้จะยกระดับทักษะของคุณตั้งแต่เริ่มต้น ถัดไปคุณสามารถทำความคุ้นเคยกับอนุพันธ์ที่ซับซ้อนยิ่งขึ้นในบทความอนุพันธ์เชิงซ้อน

อนุพันธ์ลอการิทึม- ถ้าแถบสูงเกินไปให้อ่านสิ่งนี้ก่อน โปรโตซัว งานทั่วไปด้วยอนุพันธ์- นอกเหนือจากเนื้อหาใหม่แล้ว บทเรียนยังครอบคลุมถึงอนุพันธ์ประเภทอื่นๆ ที่เรียบง่ายกว่า และเป็นโอกาสอันดีที่จะปรับปรุงเทคนิคการสร้างความแตกต่างของคุณ นอกจากนี้ใน การทดสอบเกือบทุกครั้งที่มีภารกิจในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยายหรือแบบพาราเมตริก นอกจากนี้ยังมีบทเรียนดังกล่าว: อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริยายและแบบอิงพารามิเตอร์.

ฉันจะพยายามในรูปแบบที่เข้าถึงได้ทีละขั้นตอนเพื่อสอนวิธีค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ข้อมูลทั้งหมดนำเสนออย่างละเอียดด้วยคำพูดง่ายๆ

ที่จริงแล้วเรามาดูตัวอย่างทันที: ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน วิธีแก้ไข:

นี้ ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดโปรดดูในตารางอนุพันธ์ ฟังก์ชั่นเบื้องต้น- ทีนี้มาดูวิธีแก้ปัญหาและวิเคราะห์ว่าเกิดอะไรขึ้น? และสิ่งต่อไปนี้ก็เกิดขึ้น:

เรามีฟังก์ชันที่เป็นผลจากการแก้ปัญหา กลายเป็นฟังก์ชัน

พูดง่ายๆ ก็คือเพื่อหาอนุพันธ์

คุณต้องเปลี่ยนเป็นฟังก์ชันอื่นตามกฎบางอย่าง - ดูตารางอนุพันธ์อีกครั้ง - ฟังก์ชันต่างๆ เปลี่ยนเป็นฟังก์ชันอื่นๆ คนเดียวเท่านั้น

ข้อยกเว้นคือฟังก์ชันเลขชี้กำลังซึ่ง

กลายเป็นตัวมันเอง การดำเนินการหาอนุพันธ์เรียกว่าความแตกต่าง.

สัญกรณ์: อนุพันธ์แสดงโดยหรือ

ความสนใจเป็นสิ่งสำคัญ! การลืมตีเส้น (เมื่อจำเป็น) หรือวาดเส้นพิเศษ (เมื่อไม่จำเป็น) ถือเป็นความผิดพลาดร้ายแรง! ฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันคือสองฟังก์ชันที่ต่างกัน!

กลับไปที่ตารางอนุพันธ์ของเรากัน จากตารางนี้เป็นที่พึงปรารถนา จดจำ: กฎการแยกความแตกต่างและอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานบางอย่าง โดยเฉพาะ:

อนุพันธ์ของค่าคงที่:

จำนวนคงที่อยู่ที่ไหน อนุพันธ์ ฟังก์ชั่นพลังงาน:

โดยเฉพาะ: , , .

ทำไมต้องจำ? ความรู้นี้เป็นความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับอนุพันธ์ และถ้าคุณไม่สามารถตอบคำถามของอาจารย์ว่า "อนุพันธ์ของตัวเลขคืออะไร" การเรียนที่มหาวิทยาลัยของคุณอาจจะจบลงสำหรับคุณ (โดยส่วนตัวแล้วฉันรู้สองคน กรณีจริงจากชีวิต) นอกจากนี้สูตรเหล่านี้เป็นสูตรทั่วไปที่เราต้องใช้เกือบทุกครั้งที่เจออนุพันธ์

ใน ในความเป็นจริง ตัวอย่างตารางธรรมดานั้นหาได้ยาก โดยปกติแล้ว เมื่อค้นหาอนุพันธ์ จะใช้กฎการหาอนุพันธ์ก่อน แล้วจึงใช้ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันเบื้องต้น

ใน ของการเชื่อมต่อนี้เราดำเนินการพิจารณาต่อไปกฎความแตกต่าง:

1) จำนวนคงที่สามารถ (และควร) นำออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์ได้

โดยที่ จำนวนคงที่ (คงที่) ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ลองดูที่ตารางอนุพันธ์ อนุพันธ์ของโคไซน์อยู่ตรงนี้ แต่เรามี

ถึงเวลาใช้กฎแล้ว เราจะนำตัวประกอบคงที่ออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์:

ตอนนี้เราแปลงโคไซน์ตามตาราง:

ขอแนะนำให้ "หวี" ผลลัพธ์เล็กน้อย - ใส่เครื่องหมายลบเป็นอันดับแรกในขณะเดียวกันก็กำจัดวงเล็บออก:

2) อนุพันธ์ของผลรวมเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

มาตัดสินใจกัน ดังที่คุณคงสังเกตเห็นแล้วว่า ขั้นตอนแรกที่ต้องทำเสมอเมื่อค้นหาอนุพันธ์คือ เราใส่นิพจน์ทั้งหมดไว้ในวงเล็บและใส่จำนวนเฉพาะที่มุมขวาบน:

ลองใช้กฎข้อที่สอง:

โปรดทราบว่าสำหรับการหาความแตกต่าง รากและกำลังทั้งหมดจะต้องแสดงในรูปแบบ และหากอยู่ในตัวส่วนแล้ว

เลื่อนพวกเขาขึ้น วิธีการทำเช่นนี้มีการสนทนาอยู่ในสื่อการสอนของฉัน

ตอนนี้ เรามาจำกฎข้อแรกของการสร้างความแตกต่าง - เราใช้ปัจจัยคงที่ (ตัวเลข) นอกเครื่องหมายอนุพันธ์:

โดยปกติ ในระหว่างการแก้ปัญหา กฎทั้งสองนี้จะถูกนำมาใช้พร้อมกัน (เพื่อไม่ให้เขียนนิพจน์ยาวอีกครั้ง)

ฟังก์ชั่นทั้งหมดที่อยู่ใต้เส้นขีดนั้นเป็นฟังก์ชั่นตารางเบื้องต้น โดยใช้ตารางที่เราดำเนินการแปลง:

คุณสามารถปล่อยทุกอย่างไว้เหมือนเดิมได้ เนื่องจากไม่มีจังหวะอีกต่อไปแล้ว และพบอนุพันธ์แล้ว อย่างไรก็ตาม สำนวนเช่นนี้มักจะทำให้ง่ายขึ้น:

ขอแนะนำให้แสดงพลังทั้งหมดของรูปแบบอีกครั้งในรูปของราก

กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบ – ทิ้งลงในตัวส่วน แม้ว่าคุณไม่จำเป็นต้องทำเช่นนี้ แต่ก็ไม่ใช่ความผิดพลาด

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ลองแก้ตัวอย่างนี้ด้วยตัวเอง (ตอบในตอนท้ายของบทเรียน)

3) อนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชัน

ดูเหมือนว่าการเปรียบเทียบจะแนะนำสูตร .... แต่ที่น่าประหลาดใจก็คือ:

นี่เป็นกฎที่ไม่ธรรมดา(ตามความเป็นจริงแล้วคนอื่น ๆ ) ตามมาจาก คำจำกัดความอนุพันธ์- แต่เราจะระงับทฤษฎีไว้ก่อน ตอนนี้การเรียนรู้วิธีแก้ไขมีความสำคัญมากกว่า:

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ที่นี่เรามีผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชันขึ้นอยู่กับ ขั้นแรก เราใช้กฎแปลกๆ ของเรา จากนั้นจึงแปลงฟังก์ชันโดยใช้ตารางอนุพันธ์:

ยาก? ไม่เลย ค่อนข้างเข้าถึงได้แม้แต่กับกาน้ำชา

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ฟังก์ชันนี้ประกอบด้วยผลรวมและผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชัน - ตรีโนเมียลกำลังสองและลอการิทึม จากโรงเรียนเราจำได้ว่าการคูณและการหารมีความสำคัญมากกว่าการบวกและการลบ

มันก็เหมือนกันที่นี่ อันดับแรก เราใช้กฎการสร้างความแตกต่างของผลิตภัณฑ์:

ตอนนี้สำหรับวงเล็บเราใช้กฎสองข้อแรก:

จากการใช้กฎการสร้างความแตกต่างภายใต้เส้นขีด เราจะเหลือเพียงฟังก์ชันพื้นฐานเท่านั้น โดยใช้ตารางอนุพันธ์ เราจะแปลงให้เป็นฟังก์ชันอื่น:

ด้วยประสบการณ์ในการค้นหาอนุพันธ์มาบ้างแล้ว อนุพันธ์อย่างง่ายจึงไม่จำเป็นต้องอธิบายรายละเอียดดังกล่าว โดยทั่วไปแล้ว พวกเขามักจะตัดสินใจด้วยวาจาและจะเขียนไว้ทันที .

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน นี่เป็นตัวอย่างสำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระ(ตอบในตอนท้ายของบทเรียน)

4) อนุพันธ์ของฟังก์ชันผลหาร

ประตูเปิดบนเพดาน ไม่ต้องตกใจ มันเป็นความผิดพลาด แต่นี่คือความจริงอันโหดร้าย:

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สิ่งที่ขาดหายไปที่นี่ – ผลรวม ผลต่าง ผลิตภัณฑ์ เศษส่วน…. จะเริ่มตรงไหน! มีข้อสงสัย ไม่มีข้อสงสัย แต่อย่างใด อันดับแรกเราวาดวงเล็บและขีดที่มุมขวาบน:

ตอนนี้เราดูนิพจน์ในวงเล็บ แล้วเราจะทำให้มันง่ายขึ้นได้อย่างไร? ในกรณีนี้ เราสังเกตเห็นปัจจัยหนึ่งซึ่งตามกฎข้อแรก แนะนำให้ถอดเครื่องหมายของอนุพันธ์ออก:

ในเวลาเดียวกัน เราก็กำจัดวงเล็บในตัวเศษที่ไม่จำเป็นออกไปแล้ว โดยทั่วไปแล้ว ปัจจัยคงที่ในการค้นหาอนุพันธ์

คุณอาจไม่จำเป็นต้องถอดออก แต่ในกรณีนี้ พวกมันจะ "อยู่ใต้เท้าของคุณ" ซึ่งทำให้การแก้ปัญหายุ่งยากและทำให้การแก้ปัญหายุ่งยาก

ลองดูนิพจน์ของเราในวงเล็บ เรามีการบวก ลบ และการหาร จากโรงเรียนเราจำได้ว่าการแบ่งแยกเสร็จสิ้นก่อน และที่นี่ - ก่อนอื่นเราใช้กฎการแยกความแตกต่างของผลหาร:

ดังนั้นอนุพันธ์ที่น่ากลัวของเราจึงลดลงเหลืออนุพันธ์ของสอง สำนวนง่ายๆ- เราใช้กฎข้อที่หนึ่งและสอง เราจะทำแบบปากเปล่าที่นี่ ฉันหวังว่าคุณจะคุ้นเคยกับอนุพันธ์แล้ว:

ไม่มีจังหวะอีกต่อไป งานเสร็จสิ้นแล้ว

ในทางปฏิบัติ คำตอบมักจะ (แต่ไม่เสมอไป) ง่ายขึ้นโดยใช้วิธี "โรงเรียน":

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

นี่เป็นตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง (ตอบในตอนท้ายของบทเรียน) มีปริศนาที่ยุ่งยากเป็นครั้งคราว:

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

มาดูกัน ฟังก์ชั่นนี้- นี่ก็เศษส่วนอีกครั้ง. อย่างไรก็ตาม ก่อนที่จะใช้กฎในการหาอนุพันธ์ผลหาร (และสามารถใช้ได้) ควรพิจารณาดูว่าเป็นไปได้ที่จะทำให้เศษส่วนง่ายขึ้นหรือกำจัดมันออกไปเลยหรือไม่

ประเด็นก็คือว่าสูตร มันค่อนข้างยุ่งยากและฉันไม่อยากใช้มันเลย

ในกรณีนี้ คุณสามารถหารตัวเศษด้วยเทอมของตัวส่วนได้ มาแปลงฟังก์ชันกัน:

นั่นเป็นเรื่องที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง ตอนนี้การสร้างความแตกต่างนั้นเรียบง่ายและน่าพอใจ:

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สถานการณ์จะคล้ายกัน เรามาเปลี่ยนเศษส่วนให้เป็นผลคูณกัน โดยเพิ่มเลขชี้กำลังเป็นตัวเศษ โดยเปลี่ยนเครื่องหมายของเลขชี้กำลัง:

การแยกแยะผลิตภัณฑ์ให้แตกต่างยังง่ายกว่า:

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน นี่คือตัวอย่างในการแก้โจทย์ด้วยตัวเอง (ตอบท้ายบทเรียน)

5) อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

กฎข้อนี้ก็เกิดขึ้นบ่อยมากเช่นกัน แต่คุณสามารถบอกเล่าได้มากมายเกี่ยวกับเรื่องนี้ ดังนั้นฉันจึงสร้างบทเรียนแยกต่างหากในหัวข้อ อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน

ฉันขอให้คุณประสบความสำเร็จ!

ตัวอย่างที่ 4: - ในระหว่างการตัดสินใจ

ในตัวอย่างนี้ คุณควรใส่ใจกับความจริงที่ว่า และ เป็นจำนวนคงที่ ไม่สำคัญว่าพวกมันจะเท่ากับอะไร แต่สิ่งสำคัญคือพวกมันต้องเป็นค่าคงที่ ดังนั้นจึงถูกนำออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์ และ .

ตัวอย่างที่ 7:

ตัวอย่างที่ 9:

วันที่: 05/10/2558

จะหาอนุพันธ์ได้อย่างไร?

กฎของความแตกต่าง

ในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันใดๆ คุณต้องเชี่ยวชาญเพียงสามแนวคิดเท่านั้น:

2. กฎแห่งความแตกต่าง

3. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

ตามลำดับนั้นเลย นี่เป็นคำแนะนำ)

แน่นอนว่าคงจะดีถ้ามีแนวคิดเกี่ยวกับอนุพันธ์โดยทั่วไป) อนุพันธ์คืออะไรและวิธีการทำงานกับตารางอนุพันธ์นั้นอธิบายไว้อย่างชัดเจนในบทที่แล้ว ที่นี่เราจะจัดการกับกฎของการสร้างความแตกต่าง

ความแตกต่างคือการดำเนินการค้นหาอนุพันธ์ ไม่มีอะไรซ่อนอยู่เบื้องหลังคำนี้อีกแล้ว เหล่านั้น. การแสดงออก "หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน"และ "สร้างความแตกต่างให้กับฟังก์ชัน"- มันเป็นเรื่องเดียวกัน

การแสดงออก "กฎแห่งความแตกต่าง"หมายถึงการหาอนุพันธ์ จากการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ความเข้าใจนี้ช่วยได้มากในการหลีกเลี่ยงความสับสนในหัวของคุณ

เรามาตั้งสมาธิและจดจำการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดกัน มีสี่คน) การบวก (ผลรวม) การลบ (ผลต่าง) การคูณ (ผลคูณ) และการหาร (ผลหาร) นี่คือกฎของความแตกต่าง:

จานก็โชว์. ห้ากฎเกี่ยวกับ สี่การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ฉันไม่ได้ถูกทำให้สั้นลง) เพียงแต่ว่ากฎข้อ 4 เป็นผลสืบเนื่องเบื้องต้นของกฎข้อ 3 แต่เป็นที่นิยมมากจนสมเหตุสมผลที่จะเขียน (และจำไว้ว่า!) มันเป็นสูตรอิสระ

ภายใต้การกำหนด คุณและ วีฟังก์ชั่นบางอย่าง (มีอย่างแน่นอน!) มีความหมายโดยนัย คุณ(x)และ วี(x)

ลองดูตัวอย่างบางส่วน อันดับแรก - สิ่งที่ง่ายที่สุด

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=sinx - x 2

ที่นี่เรามี ความแตกต่างสองฟังก์ชันพื้นฐาน เราใช้กฎข้อ 2 เราจะถือว่า sinx เป็นฟังก์ชัน คุณและ x 2 คือฟังก์ชัน วี.เรามี ทุกอย่างถูกต้องเขียน:

y" = (บาปx - x 2)" = (บาปx)"- (x 2)"

ดีกว่าไหม?) สิ่งที่เหลืออยู่คือการหาอนุพันธ์ของไซน์และกำลังสองของ x มีตารางอนุพันธ์สำหรับสิ่งนี้ เราแค่มองหาฟังก์ชั่นที่เราต้องการในตาราง ( บาปและ x2) ดูว่าพวกเขามีอนุพันธ์อะไรบ้างแล้วเขียนคำตอบ:

y" = (บาปx)" - (x 2)" = cosx - 2x

แค่นั้นแหละ. กฎข้อที่ 1 ของการหาผลรวมมีผลเหมือนกันทุกประการ

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเรามีหลายเงื่อนไข? ไม่ใช่เรื่องใหญ่) เราแบ่งฟังก์ชันออกเป็นเงื่อนไขและค้นหาอนุพันธ์ของแต่ละเทอมโดยแยกจากกัน ตัวอย่างเช่น:

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y=sinx - x 2 +cosx - x +3

เราเขียนอย่างกล้าหาญ:

y" = (บาปx)" - (x 2)" + (cosx)" - (x)" + (3)"

ในตอนท้ายของบทเรียน ฉันจะให้คำแนะนำเพื่อทำให้ชีวิตง่ายขึ้นเมื่อสร้างความแตกต่าง)

คำแนะนำการปฏิบัติ:

1. ก่อนที่จะแยกความแตกต่าง ให้ดูว่าเป็นไปได้ที่จะทำให้ฟังก์ชันดั้งเดิมง่ายขึ้นหรือไม่

2. ในตัวอย่างที่ซับซ้อน เราจะอธิบายวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียด โดยใช้วงเล็บและขีดกลางทั้งหมด

3. เมื่อแยกเศษส่วนด้วยจำนวนคงที่ในตัวส่วน เราจะเปลี่ยนการหารเป็นการคูณและใช้กฎข้อ 4

กระบวนการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเรียกว่า ความแตกต่างอนุพันธ์จะต้องพบปัญหาหลายประการในหลักสูตร การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์- ตัวอย่างเช่น เมื่อค้นหาจุดสุดขั้วและจุดเปลี่ยนเว้าของกราฟฟังก์ชัน

จะหาได้อย่างไร?

ในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันคุณจำเป็นต้องรู้ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานและใช้กฎพื้นฐานของการสร้างความแตกต่าง:

1. การย้ายค่าคงที่เลยเครื่องหมายของอนุพันธ์: $$ (Cu)" = C(u)" $$
2. อนุพันธ์ของผลรวม/ผลต่างของฟังก์ชัน: $$ (u \pm v)" = (u)" \pm (v)" $$
3. อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชัน: $$ (u \cdot v)" = u"v + uv" $$
4. อนุพันธ์ของเศษส่วน: $$ \bigg (\frac(u)(v) \bigg)" = \frac(u"v - uv"))(v^2) $$
5. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน: $$ (f(g(x)))" = f"(g(x)) \cdot g"(x) $$

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $ y = x^3 - 2x^2 + 7x - 1 $

สารละลาย

อนุพันธ์ของผลรวม/ผลต่างของฟังก์ชันเท่ากับผลรวม/ผลต่างของอนุพันธ์: $$ y" = (x^3 - 2x^2 + 7x - 1)" = (x^3)" - (2x^2)" + (7x)" - (1)" = $$ การใช้กฎสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลัง $ (x^p)" = px^(p-1) $ เรามี: $$ y" = 3x^(3-1) - 2 \cdot 2 x^(2-1) + 7 - 0 = 3x^2 - 4x + 7 $$ นอกจากนี้ยังนำมาพิจารณาด้วยว่าอนุพันธ์ของค่าคงที่มีค่าเท่ากับศูนย์ หากคุณไม่สามารถแก้ปัญหาของคุณได้ โปรดส่งมาให้เรา เราจะจัดให้ วิธีแก้ปัญหาโดยละเอียด- คุณจะสามารถดูความคืบหน้าของการคำนวณและรับข้อมูลได้ วิธีนี้จะช่วยให้คุณได้เกรดจากอาจารย์ได้ทันเวลา!

คำตอบ

$$y" = 3x^2 - 4x + 7 $$

การแก้ปัญหาทางกายภาพหรือตัวอย่างในคณิตศาสตร์เป็นไปไม่ได้เลยหากไม่มีความรู้เกี่ยวกับอนุพันธ์และวิธีการคำนวณ อนุพันธ์เป็นหนึ่งในแนวคิดที่สำคัญที่สุดในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เราตัดสินใจที่จะอุทิศบทความของวันนี้ให้กับหัวข้อพื้นฐานนี้ อนุพันธ์คืออะไร ความหมายทางกายภาพและเรขาคณิตคืออะไร วิธีคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน? คำถามทั้งหมดเหล่านี้สามารถรวมเป็นหนึ่งเดียว: จะเข้าใจอนุพันธ์ได้อย่างไร?

ความหมายทางเรขาคณิตและฟิสิกส์ของอนุพันธ์

ให้มีฟังก์ชัน ฉ(x) ระบุไว้ในช่วงเวลาหนึ่ง (ก ข) - คะแนน x และ x0 อยู่ในช่วงนี้ เมื่อ x เปลี่ยนแปลง ฟังก์ชันก็จะเปลี่ยนไปด้วย การเปลี่ยนอาร์กิวเมนต์ - ความแตกต่างในค่าของมัน x-x0 - ความแตกต่างนี้เขียนเป็น เดลต้า x และเรียกว่าการเพิ่มอาร์กิวเมนต์ การเปลี่ยนแปลงหรือการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันคือความแตกต่างระหว่างค่าของฟังก์ชันที่จุดสองจุด คำจำกัดความของอนุพันธ์:

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งคือขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันที่จุดที่กำหนดต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์เมื่อค่าหลังมีแนวโน้มเป็นศูนย์

มิฉะนั้นจะเขียนได้ดังนี้:

จุดประสงค์ของการค้นหาขีด จำกัด ดังกล่าวคืออะไร? และนี่คือสิ่งที่:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งจะเท่ากับแทนเจนต์ของมุมระหว่างแกน OX และแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันที่จุดที่กำหนด

ความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์: อนุพันธ์ของเส้นทางเทียบกับเวลาเท่ากับความเร็วของการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง

อันที่จริงตั้งแต่สมัยเรียนทุกคนก็รู้ดีว่าความเร็วเป็นเส้นทางเฉพาะ x=ฉ(เสื้อ) และเวลา ที . ความเร็วเฉลี่ยในช่วงระยะเวลาหนึ่ง:

เพื่อค้นหาความเร็วของการเคลื่อนไหวในขณะนั้น t0 คุณต้องคำนวณขีดจำกัด:

กฎข้อที่หนึ่ง: ตั้งค่าคงที่

ค่าคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์ได้ ยิ่งกว่านั้นจะต้องทำสิ่งนี้ เมื่อแก้ตัวอย่างทางคณิตศาสตร์ ให้ถือเป็นกฎ - หากคุณสามารถลดความซับซ้อนของนิพจน์ได้ อย่าลืมทำให้ง่ายขึ้นด้วย .

ตัวอย่าง. มาคำนวณอนุพันธ์กัน:

กฎข้อที่สอง: อนุพันธ์ของผลรวมของฟังก์ชัน

อนุพันธ์ของผลรวมของสองฟังก์ชันเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้ เช่นเดียวกับอนุพันธ์ของผลต่างของฟังก์ชัน

เราจะไม่พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ แต่จะพิจารณาตัวอย่างเชิงปฏิบัติแทน

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

กฎข้อที่สาม: อนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชัน

อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชันอนุพันธ์สองฟังก์ชันคำนวณโดยสูตร:

ตัวอย่าง: ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

สารละลาย:

สิ่งสำคัญคือต้องพูดถึงการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนที่นี่ อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนเท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้เทียบกับอาร์กิวเมนต์ตัวกลางและอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ตัวกลางเทียบกับตัวแปรอิสระ

ในตัวอย่างข้างต้น เราเจอนิพจน์:

ในกรณีนี้ อาร์กิวเมนต์ระดับกลางคือ 8x ยกกำลังห้า ในการคำนวณอนุพันธ์ของนิพจน์นั้น ขั้นแรกเราจะคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกด้วยความเคารพต่ออาร์กิวเมนต์ตัวกลาง จากนั้นจึงคูณด้วยอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ตัวกลางด้วยความเคารพต่อตัวแปรอิสระ

กฎข้อที่สี่: อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน

สูตรหาอนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน:

เราพยายามพูดคุยเกี่ยวกับอนุพันธ์สำหรับหุ่นจำลองตั้งแต่เริ่มต้น หัวข้อนี้ไม่ง่ายอย่างที่คิด ดังนั้นโปรดระวัง: มักจะมีข้อผิดพลาดในตัวอย่าง ดังนั้นควรระมัดระวังในการคำนวณอนุพันธ์

หากมีคำถามเกี่ยวกับเรื่องนี้และหัวข้ออื่นๆ คุณสามารถติดต่อฝ่ายบริการนักศึกษาได้ ในระยะเวลาอันสั้น เราจะช่วยคุณแก้การทดสอบที่ยากที่สุดและเข้าใจงานต่างๆ แม้ว่าคุณจะไม่เคยคำนวณอนุพันธ์มาก่อนก็ตาม