Apothem ในปิรามิดปกติ เส้นกึ่งกลางของปิรามิด

ปิระมิดคือรูปทรงหลายเหลี่ยมเชิงพื้นที่หรือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่พบในปัญหาทางเรขาคณิต คุณสมบัติหลักของรูปนี้คือปริมาตรและพื้นที่ผิว ซึ่งคำนวณจากความรู้เกี่ยวกับลักษณะเชิงเส้นสองประการใดๆ ของมัน หนึ่งในลักษณะเหล่านี้คือจุดกึ่งกลางของปิรามิด มันจะกล่าวถึงในบทความ

รูปปิรามิด

ก่อนที่จะให้คำจำกัดความของเส้นตั้งฉากในของปิรามิด เรามาทำความรู้จักกับรูปนี้ก่อน ปิระมิดคือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่เกิดจากฐาน n เหลี่ยมหนึ่งฐานและสามเหลี่ยม n อันที่ประกอบกันเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยม พื้นผิวด้านข้างตัวเลข

ปิรามิดทุกอันมีจุดยอด - จุดเชื่อมต่อของสามเหลี่ยมทั้งหมด เส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดยอดนี้ไปยังฐานเรียกว่าความสูง หากความสูงตัดกับฐานที่จุดศูนย์กลางเรขาคณิต รูปนั้นจะเรียกว่าเส้นตรง ปิรามิดตรงที่มีฐานด้านเท่ากันหมดเรียกว่าปิรามิดแบบปกติ รูปนี้แสดงปิรามิดที่มีฐานหกเหลี่ยม เมื่อมองจากด้านข้างและขอบ

เส้นกึ่งกลางของปิรามิดปกติ

เรียกอีกอย่างว่าอะโพเทม เข้าใจว่าเป็นเส้นตั้งฉากที่ลากจากด้านบนของปิรามิดไปยังด้านข้างของฐานของรูป ตามคำจำกัดความ เส้นตั้งฉากนี้สอดคล้องกับความสูงของรูปสามเหลี่ยมที่ประกอบเป็นหน้าด้านข้างของปิรามิด

เนื่องจากเรากำลังพิจารณาปิรามิดปกติที่มีฐาน n-gonal ดังนั้น n apothems ทั้งหมดจะเหมือนกัน เนื่องจากเป็น สามเหลี่ยมหน้าจั่วพื้นผิวด้านข้างของรูป โปรดทราบว่าจุดตั้งฉากที่เหมือนกันนั้นเป็นคุณสมบัติของปิรามิดปกติ สำหรับรูปร่าง ประเภททั่วไป(เฉียงโดยมีเอ็นกอนไม่ปกติ) เส้นตั้งฉากทั้ง n ทั้งหมดจะต่างกัน

คุณสมบัติอีกประการหนึ่งของจุดกึ่งกลางของพีระมิดปกติก็คือ ความสูง ค่ามัธยฐาน และเส้นแบ่งครึ่งของรูปสามเหลี่ยมที่สอดคล้องกันพร้อมๆ กัน ซึ่งหมายความว่าจะแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากสองอันที่เหมือนกัน

และสูตรการหาระยะกึ่งกลางของมัน

ในปิรามิดที่ถูกต้อง สิ่งสำคัญคือ ลักษณะเชิงเส้นคือความยาวของด้านข้างของฐาน ขอบข้าง b ความสูง h และระยะกึ่งกลางของฐาน h b ปริมาณเหล่านี้สัมพันธ์กันด้วยสูตรที่เกี่ยวข้องซึ่งสามารถหาได้จากการวาดปิรามิดและพิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉากที่จำเป็น

ปิรามิดรูปสามเหลี่ยมปกติประกอบด้วยหน้าสามเหลี่ยม 4 หน้า และหนึ่งในนั้น (ฐาน) จะต้องมีด้านเท่ากันหมด ส่วนที่เหลือเป็นหน้าจั่วในกรณีทั่วไป อะโพเทม ปิรามิดสามเหลี่ยมสามารถกำหนดเป็นปริมาณอื่นๆ ได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้

ชั่วโมง ข = √(ข 2 - ก 2 /4);

ชั่วโมง ข = √(ก 2 /12 + ชั่วโมง 2)

สำนวนแรกเป็นจริงสำหรับพีระมิดที่มีฐานปกติใดๆ สำนวนที่สองเป็นเรื่องปกติสำหรับปิรามิดรูปสามเหลี่ยมโดยเฉพาะ มันแสดงให้เห็นว่าเส้นตั้งฉากในนั้นมากกว่าความสูงของรูปเสมอ

ไม่ควรสับสนระหว่างจุดกึ่งกลางของปิรามิดกับจุดกึ่งกลางของพีระมิด ในกรณีหลัง เส้นกึ่งกลางกึ่งกลางคือส่วนที่ตั้งฉากกับด้านข้างของรูปทรงหลายเหลี่ยมจากจุดศูนย์กลาง ตัวอย่างเช่น เส้นตั้งฉากในของสามเหลี่ยมด้านเท่าคือ √3/6*a

ปัญหาการคำนวณอะโพเธม

ให้เราได้รับปิรามิดปกติที่มีรูปสามเหลี่ยมอยู่ที่ฐาน มีความจำเป็นต้องคำนวณระยะกึ่งกลางของมันหากทราบว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยมนี้คือ 34 ซม. 2 และปิรามิดนั้นประกอบด้วยใบหน้าที่เหมือนกัน 4 หน้า

ตามเงื่อนไขของปัญหา เรากำลังเผชิญกับจัตุรมุขที่ประกอบด้วยสามเหลี่ยมด้านเท่า สูตรสำหรับพื้นที่หน้าเดียวคือ:

เราจะหาความยาวของด้าน a ได้ที่ไหน:

ในการหาระยะเอโพเธม h b เราใช้สูตรที่มีขอบด้านข้าง b ในกรณีที่อยู่ระหว่างการพิจารณา ความยาวจะเท่ากับความยาวของฐาน เรามี:

ชั่วโมง ข = √(ข 2 - ก 2 /4) = √3/2*ก

เมื่อแทนค่า a ถึง S เราจะได้สูตรสุดท้าย:

ชั่วโมง ข = √3/2*2*√(S/√3) = √(S*√3)

เราได้รับสูตรง่ายๆ ซึ่งจุดกึ่งกลางของพีระมิดขึ้นอยู่กับพื้นที่ฐานเท่านั้น หากเราแทนค่า S จากเงื่อนไขของปัญหา เราจะได้คำตอบ: h b การรับรู้ 7.674 ซม.

อะโพเทม อะโพเทม

(จากภาษากรีก apotíthēmi - วางไว้ข้างๆ) 1) ส่วน (รวมถึงความยาวของมัน) ของเส้นตั้งฉาก ก, ลดลงจากจุดศูนย์กลาง รูปหลายเหลี่ยมปกติไปทางด้านใดด้านหนึ่ง 2) ในปิระมิดปกติ เส้นกึ่งกลางคือความสูง กขอบด้านข้าง

อะโพเธม

APOTHEMA (กรีก apothemа - สิ่งที่เลื่อนออกไป)
1) ส่วน (รวมถึงความยาวของมัน) ของ a ตั้งฉาก ลดลงจากศูนย์กลางของรูปหลายเหลี่ยมปกติไปทางด้านใดด้านหนึ่ง
2) ในปิรามิดปกติ เส้นกึ่งกลางคือความสูงของใบหน้าด้านข้าง

พจนานุกรมสารานุกรม . 2009 .

คำพ้องความหมาย:

ดูว่า "apothem" ในพจนานุกรมอื่นคืออะไร:

ดู APOTEMA พจนานุกรม คำต่างประเทศรวมอยู่ในภาษารัสเซีย Chudinov A.N., 1910. APOTHEMA ดู APOTHEMA. พจนานุกรมคำต่างประเทศที่รวมอยู่ในภาษารัสเซีย พาฟเลนคอฟ เอฟ., 2450 ... พจนานุกรมคำต่างประเทศในภาษารัสเซีย

- (จากภาษากรีก อะโพทิเธมิ ฉันได้กันไว้) ..1) ส่วน (รวมถึงความยาวของมัน) ของเส้นตั้งฉาก a ซึ่งลดลงจากศูนย์กลางของรูปหลายเหลี่ยมปกติไปยังด้านใดก็ได้2)] ในปิรามิดปกติ เส้นกึ่งกลางของรูปหลายเหลี่ยมปกติ คือความสูงของหน้าด้านข้าง ... พจนานุกรมสารานุกรมขนาดใหญ่

คำนามจำนวนคำพ้องความหมาย: 3 เส้นตั้งฉาก (2) ความยาว (10) ตั้งฉาก (4) พจนานุกรม ... พจนานุกรมคำพ้องความหมาย

อะโพเธม- (1) ความยาวของเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบรูปหลายเหลี่ยมปกติไปยังด้านใดด้านหนึ่ง (2) ความสูงของหน้าด้านข้างของปิรามิดปกติ (3) ความสูงของสี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งเป็นหน้าด้านข้างของทรงตัดปกติ... ... สารานุกรมโพลีเทคนิคขนาดใหญ่

- (จากภาษากรีก apotithçmi ที่ฉันวางไว้) 1) ความยาวของตั้งฉากลดลงจากศูนย์กลางของรูปหลายเหลี่ยมปกติไปยังด้านใดด้านหนึ่ง (รูปที่ 1) 2) ในปิรามิดปกติ A. ความสูง a ของใบหน้าด้านข้าง (รูปที่ 2) ข้าว. 1 ก… … ใหญ่ สารานุกรมโซเวียต

- (จากภาษากรีก apotfthemi ฉันกันไว้) 1) ส่วน (รวมถึงความยาวของมัน) ของตั้งฉาก a ลดลงจากศูนย์กลางของรูปหลายเหลี่ยมปกติไปที่ด้านใดด้านหนึ่ง 2) ในพีระมิดปกติ A. คือความสูงของหน้าด้านข้าง (ดูรูป) ถึงศิลปะ อะโพเทม... พจนานุกรมโพลีเทคนิคสารานุกรมขนาดใหญ่

ความยาวของเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดศูนย์กลางของรูปหลายเหลี่ยมปกติไปยังด้านใดด้านหนึ่ง เส้นตั้งฉากในเท่ากันกับรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ในรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนด ก. เรียกอีกอย่างว่าด้านเอียงของกรวย... พจนานุกรมสารานุกรม F.A. บร็อคเฮาส์ และ ไอ.เอ. เอโฟรน

- (จากภาษากรีก apotithemi ที่ฉันแยกไว้) 1) ส่วน (รวมถึงความยาวของมัน) ของตั้งฉาก a ลดลงจากศูนย์กลางของรูปหลายเหลี่ยมปกติไปที่ด้านใดด้านหนึ่ง 2) ในพีระมิดปกติ A. ความสูง a ของใบหน้าด้านข้าง... วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ พจนานุกรมสารานุกรม

เส้นขนาน เส้นขนาน เส้นขนาน เส้นขนาน เส้นขนาน เส้นขนาน เส้นขนาน เส้นขนาน เส้นขนาน เส้นขนาน เส้นขนาน เส้นขนาน เส้นขนาน เส้นขนาน เส้นขนาน เส้นขนาน เส้นขนาน เส้นขนาน เส้นขนาน เส้นขนาน เส้นขนาน เส้นขนาน เส้นกึ่งกลาง เส้นกึ่งเส้นขนาน เส้นกึ่งกลางเส้น เส้นขนานเส้นขนาน

คำนิยาม. ขอบด้านข้าง- นี่คือรูปสามเหลี่ยมซึ่งมีมุมหนึ่งอยู่ที่ด้านบนของปิรามิด และด้านตรงข้ามเกิดขึ้นพร้อมกับด้านข้างของฐาน (รูปหลายเหลี่ยม)

คำนิยาม. ซี่โครงด้านข้าง- นี่คือด้านทั่วไปของใบหน้าด้านข้าง ปิรามิดมีขอบเท่ากับมุมของรูปหลายเหลี่ยม

คำนิยาม. ความสูงของพีระมิด- นี่คือแนวตั้งฉากที่ลดลงจากด้านบนถึงฐานของปิรามิด

คำนิยาม. อะโพเทม- เป็นแนวตั้งฉากกับด้านข้างของปิรามิด โดยลดระดับจากด้านบนของปิรามิดลงไปที่ด้านข้างของฐาน

คำนิยาม. ส่วนแนวทแยง- นี่คือส่วนของปิรามิดโดยเครื่องบินที่วิ่งผ่านยอดปิรามิดและเส้นทแยงมุมของฐาน

คำนิยาม. ปิรามิดที่ถูกต้องเป็นปิรามิดซึ่งมีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติและมีความสูงลงมาจนถึงจุดศูนย์กลางฐาน

ปริมาตรและพื้นที่ผิวของปิรามิด

สูตร. ปริมาตรของปิรามิดผ่านพื้นที่ฐานและความสูง:

คุณสมบัติของปิรามิด

หากขอบด้านข้างทั้งหมดเท่ากัน ก็จะสามารถวาดวงกลมรอบฐานของพีระมิดได้ และจุดศูนย์กลางของฐานจะตรงกับจุดศูนย์กลางของวงกลม นอกจากนี้ เส้นตั้งฉากที่ตกลงมาจากด้านบนจะผ่านศูนย์กลางของฐาน (วงกลม)

หากขอบด้านข้างทั้งหมดเท่ากัน ขอบเหล่านั้นจะเอียงไปที่ระนาบของฐานในมุมเดียวกัน

ซี่โครงด้านข้างจะเท่ากันเมื่อก่อตัวกับระนาบของฐาน มุมเท่ากันหรือถ้าสามารถอธิบายวงกลมรอบฐานของปิระมิดได้

ถ้า ใบหน้าด้านข้างเอียงไปที่ระนาบของฐานในมุมหนึ่ง จากนั้นสามารถเขียนวงกลมไว้ที่ฐานของปิรามิด และยอดของปิรามิดจะถูกฉายไว้ที่กึ่งกลาง

ถ้าหน้าด้านข้างเอียงกับระนาบของฐานในมุมเดียวกัน แล้วจุดตั้งฉากของหน้าด้านข้างจะเท่ากัน

คุณสมบัติของปิระมิดปกติ

1. ยอดปิรามิดมีระยะห่างเท่ากันจากทุกมุมของฐาน

2. ขอบด้านข้างทั้งหมดเท่ากัน

3. ซี่โครงด้านข้างทั้งหมดเอียงเป็นมุมเท่ากันกับฐาน

4. เส้นตั้งฉากของใบหน้าด้านข้างทั้งหมดเท่ากัน

5. พื้นที่ของใบหน้าด้านข้างทั้งหมดเท่ากัน

6. ใบหน้าทั้งหมดมีมุมไดฮีดรัล (แบน) เท่ากัน

7. สามารถอธิบายทรงกลมรอบๆ พีระมิดได้ จุดศูนย์กลางของทรงกลมที่ถูกกำหนดขอบเขตไว้จะเป็นจุดตัดของเส้นตั้งฉากที่ผ่านตรงกลางของขอบ

8. คุณสามารถใส่ทรงกลมลงในปิรามิดได้ จุดศูนย์กลางของทรงกลมที่ถูกจารึกไว้จะเป็นจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งที่เล็ดลอดออกมาจากมุมระหว่างขอบกับฐาน

9. ถ้าจุดศูนย์กลางของทรงกลมที่ถูกกำหนดไว้ตรงกับจุดศูนย์กลางของทรงกลมที่ถูกกำหนดไว้แล้ว ผลรวมของมุมระนาบที่จุดยอดจะเท่ากับ π หรือในทางกลับกัน มุมหนึ่งจะเท่ากับ π/n โดยที่ n คือตัวเลข มุมที่ฐานปิระมิด

การเชื่อมต่อระหว่างปิรามิดกับทรงกลม

ทรงกลมสามารถอธิบายได้รอบๆ ปิรามิด เมื่อที่ฐานของปิรามิดมีรูปทรงหลายเหลี่ยมรอบๆ ซึ่งสามารถอธิบายวงกลมได้ (เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ) จุดศูนย์กลางของทรงกลมคือจุดตัดของระนาบที่ผ่านตั้งฉากผ่านจุดกึ่งกลางของขอบด้านข้างของปิรามิด

เป็นไปได้เสมอที่จะอธิบายทรงกลมรอบปิรามิดสามเหลี่ยมหรือพีระมิดปกติ

ทรงกลมสามารถเขียนลงในปิรามิดได้ ถ้าระนาบเส้นแบ่งครึ่งของมุมไดฮีดรัลภายในของปิรามิดตัดกันที่จุดหนึ่ง (เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ) จุดนี้จะเป็นจุดศูนย์กลางของทรงกลม

ความสัมพันธ์ระหว่างปิรามิดกับกรวย

กล่าวกันว่ากรวยจะถูกจารึกไว้ในปิรามิดหากจุดยอดตรงกันและฐานของกรวยถูกจารึกไว้ที่ฐานของปิรามิด

กรวยสามารถเขียนไว้ในปิรามิดได้หากจุดกึ่งกลางของพีระมิดเท่ากัน

กล่าวกันว่ากรวยจะถูกจำกัดขอบเขตรอบปิรามิดหากจุดยอดของมันตรงกันและฐานของกรวยถูกจำกัดรอบฐานของปิรามิด

กรวยสามารถอธิบายได้รอบๆ ปิรามิดถ้าขอบด้านข้างของพีระมิดเท่ากันทุกด้าน

ความสัมพันธ์ระหว่างปิรามิดกับทรงกระบอก

ปิรามิดจะถูกเรียกว่าจารึกไว้ในทรงกระบอก หากส่วนบนของปิรามิดอยู่บนฐานด้านหนึ่งของทรงกระบอก และฐานของปิรามิดนั้นถูกจารึกไว้ในฐานอีกฐานหนึ่งของทรงกระบอก

ทรงกระบอกสามารถอธิบายได้รอบๆ ปิรามิด ถ้าสามารถอธิบายวงกลมรอบฐานของปิรามิดได้

คำนิยาม. ปิรามิดที่ถูกตัดทอน (ปริซึมปิรามิด)เป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ตั้งอยู่ระหว่างฐานของปิระมิดกับระนาบหน้าตัดขนานกับฐาน ดังนั้นปิระมิดจึงมีฐานที่ใหญ่และมีฐานที่เล็กกว่าซึ่งคล้ายกับฐานที่ใหญ่กว่า ใบหน้าด้านข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู

คำนิยาม. ปิรามิดสามเหลี่ยม (จัตุรมุข)เป็นปิระมิดซึ่งมีหน้า 3 หน้าและฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมตามใจชอบ

จัตุรมุขมีสี่หน้าและสี่จุดยอดและมีขอบหกด้าน โดยที่ขอบทั้งสองนั้นไม่มีจุดยอดเดียวกันแต่ไม่ได้สัมผัสกัน

แต่ละจุดยอดประกอบด้วยสามใบหน้าและขอบที่ก่อตัว มุมสามเหลี่ยม.

ส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดของจัตุรมุขกับจุดศูนย์กลางของด้านตรงข้ามเรียกว่า ค่ามัธยฐานของจัตุรมุข(จีเอ็ม).

ไบมีเดียนเรียกว่าส่วนที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของขอบด้านตรงข้ามที่ไม่สัมผัสกัน (KL)

ไบมีเดียนและมัธยฐานของจัตุรมุขทั้งหมดตัดกันที่จุดหนึ่ง (S) ในกรณีนี้ ไบเมเดียนจะถูกแบ่งครึ่ง และค่ามัธยฐานจะถูกแบ่งในอัตราส่วน 3:1 โดยเริ่มจากด้านบน

คำนิยาม. ปิรามิดเอียง- เป็นปิรามิดที่มีขอบด้านใดด้านหนึ่งเกิดขึ้น มุมป้าน(β) มีฐาน

คำนิยาม. ปิรามิดสี่เหลี่ยมคือปิรามิดซึ่งมีด้านหนึ่งตั้งฉากกับฐาน

คำนิยาม. ปิรามิดมุมแหลม- ปิรามิดซึ่งมีระยะเอโพเธมยาวมากกว่าครึ่งหนึ่งของความยาวด้านข้างของฐาน

คำนิยาม. ปิรามิดป้าน- ปิระมิดที่มีระยะเอโพเธมน้อยกว่าครึ่งหนึ่งของความยาวด้านข้างของฐาน

คำนิยาม. จัตุรมุขปกติ- จัตุรมุขซึ่งมีใบหน้าทั้งสี่เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า มันเป็นหนึ่งในห้ารูปหลายเหลี่ยมปกติ ใน จัตุรมุขปกติมุมไดฮีดรัลทั้งหมด (ระหว่างใบหน้า) และมุมสามมิติ (ที่จุดยอด) เท่ากัน

คำนิยาม. จัตุรมุขสี่เหลี่ยมเรียกว่าจัตุรมุขซึ่งมีมุมฉากระหว่างขอบทั้งสามที่ปลาย (ขอบตั้งฉากกัน) เป็นรูปหน้าทั้งสาม มุมสามเหลี่ยมรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมใดๆ ระยะกึ่งกลางของใบหน้าใดๆ จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของฐานที่จุดกึ่งกลางด้านอยู่

คำนิยาม. จัตุรมุข Isohedralเรียกว่าจัตุรมุขซึ่งมีด้านด้านข้างเท่ากันและมีฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ จัตุรมุขดังกล่าวมีใบหน้าที่เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

คำนิยาม. จัตุรมุขออร์โธเซนตริกเรียกว่า จัตุรมุข ซึ่งความสูงทั้งหมด (ตั้งฉาก) ที่ลดระดับจากด้านบนไปยังด้านตรงข้ามจะตัดกันที่จุดหนึ่ง

คำนิยาม. ปิรามิดดาวรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีฐานเป็นรูปดาวเรียกว่า

คำนิยาม. ปิรามิดแบบปิรามิด- รูปทรงหลายเหลี่ยมประกอบด้วยปิรามิดที่แตกต่างกัน 2 ชิ้น (สามารถตัดปิรามิดออกได้) มีฐานร่วม และจุดยอดอยู่ด้านตรงข้ามของระนาบฐาน บันทึก- นี่เป็นส่วนหนึ่งของบทเรียนเกี่ยวกับปัญหาเรขาคณิต (หมวด Stereometry ปัญหาเกี่ยวกับปิรามิด) หากคุณต้องการแก้ไขปัญหาเรขาคณิตที่ไม่มีอยู่ที่นี่ โปรดเขียนเกี่ยวกับปัญหานั้นในฟอรัม ในงาน แทนที่จะใช้สัญลักษณ์ "สแควร์รูท" จะใช้ฟังก์ชัน sqrt() โดยที่ sqrt เป็นสัญลักษณ์ รากที่สองและนิพจน์รากจะแสดงอยู่ในวงเล็บ.สำหรับนิพจน์รากอย่างง่าย สามารถใช้เครื่องหมาย "√" ได้.

สำหรับวัสดุและสูตรทางทฤษฎี โปรดดูบท "ปิรามิดที่ถูกต้อง"

งาน

เส้นตั้งฉากของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติคือ 4 ซม. และมุมไดฮีดรัลที่ฐานคือ 60 องศา ค้นหาปริมาตรของปิรามิด

สารละลาย.

เนื่องจากพีระมิดเป็นแบบปกติ ให้พิจารณาสิ่งต่อไปนี้:

• ความสูงของปิรามิดถูกฉายไปที่กึ่งกลางฐาน
• จากปัญหาดังกล่าว จุดศูนย์กลางของฐานของปิรามิดปกติเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า
• จุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าคือจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีเส้นจารึกไว้และวงกลมที่มีเส้นล้อมรอบ
• ความสูงของปิรามิดเป็นมุมฉากกับระนาบของฐาน

ปริมาตรของปิรามิดหาได้จากสูตร:
วี = 1/3 ช

เนื่องจากจุดกึ่งกลางของพีระมิดปกติก่อตัวเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากร่วมกับความสูงของพีระมิด เราจึงใช้ทฤษฎีบทของไซน์เพื่อหาความสูง นอกจากนี้ เราจะคำนึงถึง:

• ขาแรกของเรื่อง สามเหลี่ยมมุมฉากคือความสูง ขาที่สองคือรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ (ในสามเหลี่ยมปกติ จุดศูนย์กลางจะอยู่ที่จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้และวงกลมที่ถูกกำหนดไว้พร้อมกัน) ด้านตรงข้ามมุมฉากคือจุดกึ่งกลางของพีระมิด
• มุมที่สามของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับ 30 องศา (ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ 180 องศา มุม 60 องศากำหนดโดยเงื่อนไข มุมที่สองเป็นเส้นตรงตามคุณสมบัติของปิรามิด อันที่สามคือ 180-90-60 = 30)
• ไซน์ของ 30 องศาเท่ากับ 1/2
• ไซน์ของ 60 องศา เท่ากับรากของสามครึ่ง
• ไซน์ของ 90 องศาคือ 1

ตามทฤษฎีบทไซน์:
4 / บาป(90) = h / บาป(60) = r / บาป(30)
4 = ชั่วโมง / (√3 / 2) = 2r
ที่ไหน
ร = 2
ชั่วโมง = 2√3

ที่ฐานของปิรามิดจะมีรูปสามเหลี่ยมปกติอยู่ซึ่งสามารถหาพื้นที่ได้โดยใช้สูตร:
S สามเหลี่ยมปกติ = 3√3 r 2
ส = 3√3 2 2 .
ส = 12√3.

ทีนี้ลองหาปริมาตรของปิรามิด:
วี = 1/3 ช
วี = 1/3 * 12√3 * 2√3
วี = 24 ซม. 3

คำตอบ: 24 ซม. 3 .

งาน

ความสูงและด้านข้างของฐานถูกต้อง ปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมตามลำดับเท่ากับ 24 และ 14 ค้นหาจุดกึ่งกลางของพีระมิด

สารละลาย .

เนื่องจากปิรามิดเป็นแบบปกติ ที่ฐานของมันก็เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสปกติ - สี่เหลี่ยมจัตุรัส นอกจากนี้ ความสูงของปิรามิดยังถูกฉายไว้ที่กึ่งกลางของจัตุรัสอีกด้วย ดังนั้น ขาของสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งประกอบขึ้นจากจุดกึ่งกลางของพีระมิด ความสูงและส่วนที่เชื่อมต่อกัน จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของความยาวของฐานของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติ

โดยที่ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ความยาวของเส้นตั้งฉากกึ่งกลางด้านจะพบได้จากสมการ:

7 2 + 24 2 = x 2
x 2 = 625
x = 25

คำตอบ: 25 ซม

• ระยะกึ่งกลางของตำแหน่ง- ความสูงของใบหน้าด้านข้างของปิรามิดปกติซึ่งดึงมาจากจุดยอด (นอกจากนี้ ระยะกึ่งกลางคือความยาวของเส้นตั้งฉากซึ่งลดลงจากตรงกลางของรูปหลายเหลี่ยมปกติไปทางด้านใดด้านหนึ่ง)
• ใบหน้าด้านข้าง (ASB, BSC, CSD, DSA) - สามเหลี่ยมที่มาบรรจบกันที่จุดยอด
• ซี่โครงด้านข้าง ( เช่น , บี.เอส. , ซี.เอส. , ดี.เอส. ) — ด้านทั่วไปของใบหน้าด้านข้าง
• ด้านบนของปิรามิด (ทีเอส) - จุดที่เชื่อมต่อซี่โครงด้านข้างและไม่อยู่ในระนาบของฐาน
• ความสูง ( ดังนั้น ) - ส่วนตั้งฉากที่ลากผ่านด้านบนของปิรามิดไปยังระนาบของฐาน (ปลายของส่วนดังกล่าวจะเป็นด้านบนของปิรามิดและฐานของตั้งฉาก)
• ส่วนแนวทแยงของปิรามิด- ส่วนของปิรามิดที่ผ่านด้านบนและแนวทแยงของฐาน
• ฐาน (เอบีซีดี) - รูปหลายเหลี่ยมที่ไม่อยู่ในจุดยอดของปิรามิด

คุณสมบัติของปิรามิด

1. เมื่อขอบด้านข้างทั้งหมดมีขนาดเท่ากัน ให้:

• เป็นเรื่องง่ายที่จะอธิบายวงกลมที่อยู่ใกล้ฐานของปิรามิด และด้านบนของปิรามิดจะถูกฉายไปที่ศูนย์กลางของวงกลมนี้
• ซี่โครงด้านข้างมีมุมเท่ากันกับระนาบของฐาน
• ยิ่งไปกว่านั้น สิ่งที่ตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน เช่น เมื่อซี่โครงด้านข้างทำมุมเท่ากันกับระนาบของฐาน หรือเมื่อสามารถอธิบายวงกลมรอบฐานของปิรามิดได้และยอดของปิรามิดจะฉายไปที่ศูนย์กลางของวงกลมนี้ หมายความว่า ขอบด้านข้างทั้งหมด ของปิระมิดจะมีขนาดเท่ากัน

2. เมื่อใบหน้าด้านข้างมีมุมเอียงกับระนาบของฐานที่มีค่าเท่ากัน ให้:

• เป็นเรื่องง่ายที่จะอธิบายวงกลมที่อยู่ใกล้ฐานของปิรามิด และด้านบนของปิรามิดจะถูกฉายไปที่ศูนย์กลางของวงกลมนี้
• ความสูงของใบหน้าด้านข้างมีความยาวเท่ากัน
• พื้นที่ผิวด้านข้างเท่ากับ 1/2 ผลคูณของเส้นรอบวงฐานและความสูงของหน้าด้านข้าง

3. สามารถอธิบายทรงกลมรอบๆ ปิรามิดได้ ถ้าที่ฐานของปิรามิดนั้นมีรูปหลายเหลี่ยมอยู่รอบๆ ซึ่งสามารถอธิบายวงกลมได้ (เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ) จุดศูนย์กลางของทรงกลมคือจุดตัดของระนาบที่ผ่านตรงกลางของขอบของปิรามิดที่ตั้งฉากกับพวกมัน จากทฤษฎีบทนี้ เราสรุปได้ว่าทรงกลมสามารถอธิบายได้ทั้งรอบสามเหลี่ยมใดๆ และรอบปิรามิดปกติใดๆ

4. สามารถเขียนทรงกลมลงในปิรามิดได้ ถ้าระนาบเส้นแบ่งครึ่งของมุมไดฮีดรัลภายในของปิรามิดตัดกันที่จุดที่ 1 (เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอ) จุดนี้จะกลายเป็นจุดศูนย์กลางของทรงกลม

ปิรามิดที่ง่ายที่สุด

ขึ้นอยู่กับจำนวนมุม ฐานของปิรามิดจะแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยม และอื่นๆ

ก็จะมีปิระมิด สามเหลี่ยม, รูปสี่เหลี่ยมเป็นต้น เมื่อฐานของปิรามิดเป็นรูปสามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส เป็นต้น ปิรามิดรูปสามเหลี่ยมคือจัตุรมุข - จัตุรมุข รูปสี่เหลี่ยม - ห้าเหลี่ยมและอื่น ๆ