อัลกอริทึมสำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกัน สารละลายของคราบที่เป็นเนื้อเดียวกัน

คุณสามารถสั่งซื้อวิธีแก้ปัญหาของคุณได้อย่างละเอียด!!!

เพื่อทำความเข้าใจว่ามันคืออะไร ระบบการตัดสินใจขั้นพื้นฐานคุณสามารถชมวิดีโอบทช่วยสอนสำหรับตัวอย่างเดียวกันนี้ได้โดยการคลิก ตอนนี้เรามาดูคำอธิบายที่แท้จริงของงานที่จำเป็นทั้งหมดกันดีกว่า ซึ่งจะช่วยให้คุณเข้าใจสาระสำคัญของปัญหานี้ได้ละเอียดยิ่งขึ้น

จะหาระบบพื้นฐานของการแก้สมการเชิงเส้นได้อย่างไร?

ลองยกตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นต่อไปนี้:

มาหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นนี้กัน เริ่มต้นด้วยพวกเรา คุณต้องเขียนเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ของระบบ

ลองแปลงเมทริกซ์นี้ให้เป็นรูปสามเหลี่ยมดูเราเขียนบรรทัดแรกใหม่โดยไม่มีการเปลี่ยนแปลง และองค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่ภายใต้ $a_(11)$ จะต้องทำให้เป็นศูนย์ หากต้องการสร้างศูนย์แทนที่องค์ประกอบ $a_(21)$ คุณต้องลบอันแรกออกจากบรรทัดที่สอง และเขียนผลต่างในบรรทัดที่สอง หากต้องการสร้างศูนย์แทนองค์ประกอบ $a_(31)$ คุณต้องลบอันแรกออกจากบรรทัดที่สามและเขียนผลต่างในบรรทัดที่สาม หากต้องการสร้างศูนย์แทนองค์ประกอบ $a_(41)$ คุณต้องลบค่าแรกคูณด้วย 2 ออกจากบรรทัดที่สี่ และเขียนผลต่างในบรรทัดที่สี่ หากต้องการสร้างศูนย์แทนองค์ประกอบ $a_(31)$ คุณต้องลบค่าแรกคูณด้วย 2 ออกจากบรรทัดที่ห้า และเขียนผลต่างในบรรทัดที่ห้า

เราเขียนบรรทัดแรกและบรรทัดที่สองใหม่โดยไม่มีการเปลี่ยนแปลง และองค์ประกอบทั้งหมดที่อยู่ภายใต้ $a_(22)$ จะต้องทำให้เป็นศูนย์ หากต้องการสร้างศูนย์แทนองค์ประกอบ $a_(32)$ คุณต้องลบอันที่สองคูณด้วย 2 ออกจากบรรทัดที่สาม แล้วเขียนผลต่างในบรรทัดที่สาม หากต้องการสร้างศูนย์แทนองค์ประกอบ $a_(42)$ คุณต้องลบค่าที่สองคูณด้วย 2 ออกจากบรรทัดที่สี่ และเขียนผลต่างในบรรทัดที่สี่ หากต้องการสร้างศูนย์แทนองค์ประกอบ $a_(52)$ คุณต้องลบค่าที่สองคูณด้วย 3 ออกจากบรรทัดที่ห้า และเขียนผลต่างในบรรทัดที่ห้า

เราเห็นสิ่งนั้น สามบรรทัดสุดท้ายเหมือนกันดังนั้นหากคุณลบส่วนที่สามจากส่วนที่สี่และห้า ค่าเหล่านั้นจะกลายเป็นศูนย์

ตามเมทริกซ์นี้ เขียนระบบสมการใหม่.

เราจะเห็นว่าเรามีสมการอิสระเชิงเส้นเพียงสามสมการ และสมการไม่ทราบค่าห้ารายการ ดังนั้นระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาจะประกอบด้วยเวกเตอร์สองตัว ดังนั้นพวกเรา เราต้องย้ายสิ่งไม่รู้สองตัวสุดท้ายไปทางขวา.

ตอนนี้เราเริ่มแสดงสิ่งแปลกปลอมที่อยู่ทางด้านซ้ายผ่านสิ่งแปลกปลอมที่อยู่ทางด้านขวา เราเริ่มต้นด้วยสมการสุดท้าย ขั้นแรกเราแทนค่า $x_3$ จากนั้นแทนผลลัพธ์ที่ได้ลงในสมการที่สองและแทนค่า $x_2$ และจากนั้นเข้าไปในสมการแรก และตรงนี้เราแทนค่า $x_1$ ดังนั้นเราจึงแสดงสิ่งแปลกปลอมทั้งหมดที่อยู่ทางด้านซ้ายผ่านสิ่งแปลกปลอมที่อยู่ทางด้านขวา

จากนั้น แทนที่จะเป็น $x_4$ และ $x_5$ เราสามารถแทนที่ตัวเลขใดๆ และหา $x_1$, $x_2$ และ $x_3$ ได้ ตัวเลขห้าตัวแต่ละตัวจะเป็นรากของระบบสมการดั้งเดิมของเรา เพื่อค้นหาเวกเตอร์ที่รวมอยู่ในนั้น เอฟเอสอาร์เราจำเป็นต้องแทนที่ 1 แทนที่จะเป็น $x_4$ และแทนที่ 0 แทน $x_5$ แล้วหา $x_1$, $x_2$ และ $x_3$ จากนั้นในทางกลับกัน $x_4=0$ และ $x_5=1$

ระบบ มสมการเชิงเส้นค nเรียกว่าสิ่งไม่รู้ ระบบเอกพันธ์เชิงเส้นสมการถ้าเงื่อนไขอิสระทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ ระบบดังกล่าวดูเหมือนว่า:

ที่ไหน และอิจ (ฉัน = 1, 2, …, ม- เจ = 1, 2, …, n) - กำหนดตัวเลข; x ฉัน– ไม่ทราบ

เนื่องจากระบบสมการเอกพันธ์เชิงเส้นมีความสอดคล้องกันเสมอ ร(ก) = ร- จะมีค่าอย่างน้อยเป็นศูนย์เสมอ ( เล็กน้อย) วิธีแก้ปัญหา (0; 0; …; 0)

ให้เราพิจารณาว่าภายใต้เงื่อนไขใดที่ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันจะมีคำตอบที่ไม่เป็นศูนย์

ทฤษฎีบท 1ระบบสมการเอกพันธ์เชิงเส้นจะมีคำตอบที่ไม่ใช่ศูนย์ก็ต่อเมื่ออันดับของเมทริกซ์หลักเป็นเท่านั้น รไม่ทราบน้อยลง n, เช่น. ร < n.

□ 1) ปล่อยให้ระบบสมการเอกพันธ์เชิงเส้นมีคำตอบที่ไม่ใช่ศูนย์ เนื่องจากอันดับต้องไม่เกินขนาดของเมทริกซ์ ดังนั้นเห็นได้ชัดว่า ร ≤ n- อนุญาต ร = n- จากนั้นหนึ่งในขนาดย่อย ไม่แตกต่างจากศูนย์ ดังนั้น ระบบสมการเชิงเส้นที่สอดคล้องกันจึงมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ: - ซึ่งหมายความว่าไม่มีวิธีแก้ปัญหาอื่นใดนอกจากวิธีแก้ปัญหาเล็กน้อย ดังนั้นหากมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่สำคัญล่ะก็ ร < n.

2). อนุญาต ร < n- ดังนั้นระบบเอกพันธ์ที่มีความสม่ำเสมอจึงไม่แน่นอน ซึ่งหมายความว่ามีวิธีแก้ไขจำนวนอนันต์ เช่น มีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เป็นศูนย์ ■

พิจารณาระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน nสมการเชิงเส้นค nไม่ทราบ:

(2)

ทฤษฎีบท 2ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน nสมการเชิงเส้นค nค่าไม่ทราบค่า (2) จะมีคำตอบที่ไม่เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อค่าดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับศูนย์: = 0

□ ถ้าระบบ (2) มีคำตอบไม่เป็นศูนย์ แล้ว = 0 เพราะเมื่อระบบมีคำตอบเป็นศูนย์เพียงตัวเดียว ถ้า = 0 แสดงว่าอันดับ รเมทริกซ์หลักของระบบน้อยกว่าจำนวนไม่ทราบ เช่น ร < n- ดังนั้นระบบจึงมีวิธีแก้ปัญหาจำนวนอนันต์เช่น มีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เป็นศูนย์ ■

ให้เราแสดงถึงวิธีแก้ปัญหาของระบบ (1) เอ็กซ์ 1 = เค 1 , เอ็กซ์ 2 = เค 2 , …, เอ็กซ์เอ็น = เคเอ็นเป็นสตริง .

คำตอบของระบบสมการเอกพันธ์เชิงเส้นมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

1. ถ้าเป็นแนว คือคำตอบของระบบ (1) จากนั้นเส้นคือคำตอบของระบบ (1)

2. ถ้าเส้น และเป็นคำตอบของระบบ (1) แล้วสำหรับค่าใดๆ กับ 1 และ กับ 2 การรวมกันเชิงเส้นของพวกมันยังเป็นวิธีแก้ปัญหาของระบบ (1)

ความถูกต้องของคุณสมบัติเหล่านี้สามารถตรวจสอบได้โดยการแทนที่คุณสมบัติเหล่านั้นลงในสมการของระบบโดยตรง

จากคุณสมบัติตามสูตร จะตามมาว่าผลรวมเชิงเส้นใดๆ ของคำตอบกับระบบสมการเอกพันธ์เชิงเส้นก็เป็นคำตอบของระบบนี้เช่นกัน

ระบบการแก้ปัญหาอิสระเชิงเส้น จ 1 , จ 2 , …, เอ่อเรียกว่า พื้นฐานถ้าแต่ละคำตอบของระบบ (1) เป็นผลรวมเชิงเส้นของคำตอบเหล่านี้ จ 1 , จ 2 , …, เอ่อ.

ทฤษฎีบท 3ถ้ายศ รเมทริกซ์ค่าสัมประสิทธิ์สำหรับตัวแปรของระบบสมการเอกพันธ์เชิงเส้น (1) น้อยกว่าจำนวนตัวแปร nจากนั้นระบบพื้นฐานใดๆ ของการแก้ปัญหาของระบบ (1) จะประกอบด้วย ไม่มีการตัดสินใจ

นั่นเป็นเหตุผล วิธีแก้ปัญหาทั่วไประบบสมการเอกพันธ์เชิงเส้น (1) มีรูปแบบ:

ที่ไหน จ 1 , จ 2 , …, เอ่อ– ระบบพื้นฐานใดๆ ของการแก้ปัญหาระบบ (9) กับ 1 , กับ 2 , …, กับพี– ตัวเลขที่กำหนดเอง ร = ไม่มี.

ทฤษฎีบท 4โซลูชั่นทั่วไปของระบบ มสมการเชิงเส้นค nค่าไม่ทราบค่าเท่ากับผลรวมของคำตอบทั่วไปของระบบสมการเอกพันธ์เชิงเส้นที่สอดคล้องกัน (1) และค่าเฉลยเฉพาะของระบบนี้ (1)

ตัวอย่าง.แก้ระบบ

สารละลาย.สำหรับระบบนี้ ม = n= 3. ตัวกำหนด

ตามทฤษฎีบทที่ 2 ระบบมีเพียงวิธีแก้ปัญหาเล็กน้อยเท่านั้น: x = ย = z = 0.

ตัวอย่าง. 1) ค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไปและเฉพาะของระบบ

2) ค้นหาระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา

สารละลาย. 1) สำหรับระบบนี้ ม = n= 3. ตัวกำหนด

ตามทฤษฎีบทที่ 2 ระบบจะมีคำตอบที่ไม่ใช่ศูนย์

เนื่องจากมีสมการอิสระเพียงสมการเดียวในระบบ

x + ย – 4z = 0,

จากนั้นเราจะแสดงออก x =4z- ย- เราจะได้คำตอบจำนวนอนันต์ได้จากที่ไหน: (4 z- ย, ย, z) – นี่คือวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบ

ที่ z= 1, ย= -1 เราได้คำตอบเฉพาะอย่างหนึ่ง: (5, -1, 1) วาง z= 3, ย= 2 เราได้คำตอบบางส่วนที่สอง: (10, 2, 3) เป็นต้น

2) ในวิธีแก้ปัญหาทั่วไป (4 z- ย, ย, z) ตัวแปร ยและ zเป็นอิสระและตัวแปร เอ็กซ์- ขึ้นอยู่กับพวกเขา เพื่อที่จะค้นหาระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา เรามากำหนดค่าให้กับตัวแปรอิสระกันก่อน ย = 1, z= 0 แล้ว ย = 0, z= 1 เราได้คำตอบบางส่วน (-1, 1, 0), (4, 0, 1) ซึ่งเป็นระบบพื้นฐานของคำตอบ

ภาพประกอบ:

ข้าว. 1 การจำแนกประเภทของระบบสมการเชิงเส้น

ข้าว. 2 การศึกษาระบบสมการเชิงเส้น

การนำเสนอ:

· โซลูชันวิธี SLAE_matrix

· โซลูชันวิธี SLAE_Cramer

· โซลูชันวิธี SLAE_Gauss

· แพ็คเกจสำหรับการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์, MathCad: การค้นหาคำตอบเชิงวิเคราะห์และเชิงตัวเลขของระบบสมการเชิงเส้น

คำถามเพื่อความปลอดภัย:

1. กำหนดสมการเชิงเส้น

2. ระบบมีลักษณะอย่างไร? มสมการเชิงเส้นด้วย nไม่ทราบ?

3. ระบบแก้สมการเชิงเส้นเรียกว่าอะไร?

4. ระบบใดที่เรียกว่าเทียบเท่า?

5. ระบบใดเรียกว่าเข้ากันไม่ได้?

6. ระบบใดเรียกว่าข้อต่อ?

7. ระบบใดเรียกว่าแน่นอน?

8. ระบบใดเรียกว่าไม่มีกำหนด

9. ทำรายการการแปลงเบื้องต้นของระบบสมการเชิงเส้น

10. ทำรายการการแปลงเบื้องต้นของเมทริกซ์

11. กำหนดทฤษฎีบทเกี่ยวกับการประยุกต์การแปลงเบื้องต้นกับระบบสมการเชิงเส้น

12. ระบบใดที่สามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีเมทริกซ์?

13. ระบบใดที่สามารถแก้ไขได้โดยวิธีของแครมเมอร์?

14. ระบบใดที่สามารถแก้ไขได้โดยวิธีเกาส์?

15. ทำรายการ 3 กรณีที่เป็นไปได้ที่เกิดขึ้นเมื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์

16. อธิบายวิธีเมทริกซ์สำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

17. อธิบายวิธีแครเมอร์ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

18. อธิบายวิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้นของเกาส์

19. ระบบใดที่สามารถแก้ไขได้โดยใช้เมทริกซ์ผกผัน?

20. ทำรายการ 3 กรณีที่เป็นไปได้ที่เกิดขึ้นเมื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีแครเมอร์

วรรณกรรม:

1. คณิตศาสตร์ขั้นสูงสำหรับนักเศรษฐศาสตร์: หนังสือเรียนสำหรับมหาวิทยาลัย / N.Sh. เครเมอร์ ปริญญาตรี ปุตโก, ไอ.เอ็ม. ทริชิน, มินนิโซตา ฟรีดแมน. เอ็ด น.ช. เครเมอร์. – อ.: เอกภาพ, 2548. – 471 หน้า

2. หลักสูตรคณิตศาสตร์ชั้นสูงทั่วไปสำหรับนักเศรษฐศาสตร์: หนังสือเรียน / เอ็ด. วี.ไอ. เออร์มาโควา. –อ.: INFRA-M, 2549. – 655 หน้า

3. การรวบรวมปัญหาทางคณิตศาสตร์ขั้นสูงสำหรับนักเศรษฐศาสตร์: หนังสือเรียน / เรียบเรียงโดย V.I. เออร์มาโควา. อ.: INFRA-M, 2549. – 574 หน้า

4. Gmurman V. E. คู่มือการแก้ปัญหาทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติแม็กมาติก - ม.: มัธยมปลาย, 2548. – 400 น.

5. กรัมเมอร์แมน. ว.ศ. ทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์ - ม.: มัธยมปลาย, 2548.

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. คณิตศาสตร์ขั้นสูงในแบบฝึกหัดและปัญหา ตอนที่ 1, 2. – ม.: Onyx ศตวรรษที่ 21: สันติภาพและการศึกษา, 2548 – 304 น. ส่วนที่ 1; – 416 น. ส่วนที่ 2

7. คณิตศาสตร์เศรษฐศาสตร์ : ตำราเรียน มี 2 ภาค / A.S. Solodovnikov, V.A. Babaytsev, A.V. เบรลอฟ, ไอ.จี. ชานดารา. – อ.: การเงินและสถิติ, 2549.

8. ชิปาชอฟ V.S. คณิตศาสตร์ชั้นสูง: หนังสือเรียนสำหรับนักเรียน. มหาวิทยาลัย - ม.: อุดมศึกษา, 2550 - 479 หน้า

ข้อมูลที่เกี่ยวข้อง.

สมการเชิงเส้นเรียกว่า เป็นเนื้อเดียวกันถ้าระยะอิสระเท่ากับศูนย์และไม่มีลักษณะเป็นเนื้อเดียวกัน ระบบที่ประกอบด้วยสมการเอกพันธ์เรียกว่าเอกพันธ์และมีรูปแบบทั่วไป:

เห็นได้ชัดว่าระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันทุกระบบมีความสอดคล้องกันและมีวิธีแก้ปัญหาเป็นศูนย์ (เล็กน้อย) ดังนั้น เมื่อนำไปใช้กับระบบเอกพันธ์ของสมการเชิงเส้น เรามักจะต้องหาคำตอบสำหรับคำถามเรื่องการมีอยู่ของคำตอบที่ไม่ใช่ศูนย์ คำตอบสำหรับคำถามนี้สามารถกำหนดเป็นทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท . ระบบสมการเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันจะมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่ใช่ศูนย์ก็ต่อเมื่ออันดับของมันน้อยกว่าจำนวนที่ไม่ทราบ .

การพิสูจน์: ให้เราสมมติว่าระบบที่มีอันดับเท่ากันจะมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เป็นศูนย์ แน่นอนว่าไม่เกิน. ในกรณีที่ระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ เนื่องจากระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธ์จะมีคำตอบเป็นศูนย์เสมอ ดังนั้นคำตอบที่เป็นศูนย์จะเป็นคำตอบเฉพาะนี้ ดังนั้น คำตอบที่ไม่เป็นศูนย์จะทำได้เฉพาะกับ

ข้อพิสูจน์ 1 : ระบบสมการที่เป็นเนื้อเดียวกัน ซึ่งจำนวนสมการน้อยกว่าจำนวนที่ไม่ทราบ มักจะมีคำตอบที่ไม่เป็นศูนย์เสมอ

การพิสูจน์: หากระบบสมการมี อันดับของระบบจะไม่เกินจำนวนสมการ กล่าวคือ - ดังนั้นเงื่อนไขจึงเป็นที่พอใจ ดังนั้น ระบบจึงมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เป็นศูนย์

ข้อพิสูจน์ 2 : ระบบสมการเอกพันธ์ของสมการที่ไม่ทราบค่าจะมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่ใช่ศูนย์ก็ต่อเมื่อค่าดีเทอร์มิแนนต์ของมันคือศูนย์เท่านั้น

การพิสูจน์: ให้เราสมมติว่าระบบสมการเอกพันธ์เชิงเส้น ซึ่งมีเมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์ มีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่ใช่ศูนย์ จากนั้นตามทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วและนี่หมายความว่าเมทริกซ์นั้นเป็นเอกพจน์นั่นคือ -

ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-คาเปลลี: SNL จะสอดคล้องกันก็ต่อเมื่ออันดับของเมทริกซ์ระบบเท่ากับอันดับของเมทริกซ์แบบขยายของระบบนี้ ระบบของคุณจะถูกเรียกว่าสอดคล้องกันหากมีอย่างน้อยหนึ่งวิธี

ระบบเอกพันธ์ของสมการพีชคณิตเชิงเส้น.

ระบบสมการเชิงเส้น m ที่มีตัวแปร n เรียกว่าระบบสมการเอกพันธ์เชิงเส้นหากเงื่อนไขอิสระทั้งหมดเท่ากับ 0 ระบบสมการเอกพันธ์เชิงเส้นมีความสอดคล้องกันเสมอ เนื่องจาก อย่างน้อยก็มีวิธีแก้ปัญหาเป็นศูนย์เสมอ ระบบสมการเอกพันธ์เชิงเส้นมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เป็นศูนย์ถ้าหากอันดับของเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์สำหรับตัวแปรน้อยกว่าจำนวนตัวแปรนั่นคือ สำหรับอันดับ A (n. ผลรวมเชิงเส้นใดๆ

โซลูชั่นระบบลิน เป็นเนื้อเดียวกัน ur-ii ก็เป็นวิธีแก้ปัญหาสำหรับระบบนี้เช่นกัน

ระบบของคำตอบอิสระเชิงเส้น e1, e2,...,еk เรียกว่าพื้นฐาน ถ้าแต่ละคำตอบของระบบคือผลรวมเชิงเส้นของคำตอบ ทฤษฎีบท: หากอันดับ r ของเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์สำหรับตัวแปรของระบบสมการเอกพันธ์เชิงเส้นน้อยกว่าจำนวนตัวแปร n ดังนั้นระบบพื้นฐานทุกระบบของคำตอบของระบบจะประกอบด้วยคำตอบ n-r ดังนั้นคำตอบทั่วไปของระบบเชิงเส้นตรง วันหนึ่ง ur-th มีรูปแบบ: c1e1+c2e2+...+skek โดยที่ e1, e2,..., ek – ระบบพื้นฐานใดๆ ของการแก้ปัญหา, c1, c2,..., ck – ตัวเลขใดๆ และ k=n-r ผลเฉลยทั่วไปของระบบสมการเชิงเส้น m ที่มีตัวแปร n ตัวจะเท่ากับผลรวม

ของสารละลายทั่วไปของระบบที่สอดคล้องกับมันเป็นเนื้อเดียวกัน สมการเชิงเส้นและคำตอบเฉพาะของระบบนี้

7. ช่องว่างเชิงเส้น สเปซย่อย พื้นฐานมิติ เปลือกเชิงเส้น เรียกว่าปริภูมิเชิงเส้น n มิติถ้ามีระบบเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นอยู่ในนั้น และระบบใดๆ ที่มีจำนวนเวกเตอร์มากกว่าก็จะขึ้นอยู่กับเวกเตอร์เชิงเส้น เบอร์นั้นเรียกว่า มิติข้อมูล (จำนวนมิติ)พื้นที่เชิงเส้นและเขียนแทนด้วย กล่าวอีกนัยหนึ่ง มิติของปริภูมิคือจำนวนเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นสูงสุดของปริภูมินี้ หากมีตัวเลขดังกล่าว ปริภูมินั้นเรียกว่ามิติจำกัด สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n หากมีระบบในปริภูมิที่ประกอบด้วยเวกเตอร์ที่เป็นอิสระเชิงเส้น ดังนั้นปริภูมิดังกล่าวจะเรียกว่ามิติอนันต์ (เขียนว่า: ) ในสิ่งที่ตามมา เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น จะพิจารณาปริภูมิมิติจำกัด

พื้นฐานของปริภูมิเชิงเส้น n มิติคือชุดสะสมของเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นตามลำดับ ( เวกเตอร์พื้นฐาน).

ทฤษฎีบท 8.1 ว่าด้วยการขยายตัวของเวกเตอร์ในรูปของพื้นฐาน ถ้า เป็นพื้นฐานของปริภูมิเชิงเส้น n มิติ แล้วเวกเตอร์ใดๆ ก็สามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์พื้นฐานได้:

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
และยิ่งไปกว่านั้นด้วยวิธีเดียวคือ ค่าสัมประสิทธิ์ถูกกำหนดโดยเฉพาะกล่าวอีกนัยหนึ่ง เวกเตอร์ใดๆ ของปริภูมิสามารถขยายเป็นฐานได้ และยิ่งไปกว่านั้น ด้วยวิธีที่ไม่เหมือนใคร

แท้จริงแล้วมิติของอวกาศคือ ระบบเวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้น (นี่คือพื้นฐาน) หลังจากบวกเวกเตอร์ใดๆ เข้ากับฐาน เราจะได้ระบบที่ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น (เนื่องจากระบบนี้ประกอบด้วยเวกเตอร์ของปริภูมิ n มิติ) การใช้คุณสมบัติของเวกเตอร์เชิงเส้นและอิสระเชิงเส้น 7 ตัว เราได้ข้อสรุปของทฤษฎีบท

ระบบเอกพันธ์ของสมการพีชคณิตเชิงเส้น

เป็นส่วนหนึ่งของบทเรียน วิธีเกาส์เซียนและ ระบบ/ระบบที่เข้ากันไม่ได้กับโซลูชันทั่วไปเราพิจารณาแล้ว ระบบสมการเชิงเส้นแบบไม่เอกพันธ์, ที่ไหน สมาชิกฟรี(ซึ่งปกติจะอยู่ทางขวา) อย่างน้อยหนึ่งรายการจากสมการที่แตกต่างจากศูนย์
และตอนนี้หลังจากอุ่นเครื่องได้ดีแล้วด้วย อันดับเมทริกซ์เราจะได้ขัดเกลาเทคนิคต่อไป การเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นบน ระบบเอกพันธ์ของสมการเชิงเส้น.
จากย่อหน้าแรก เนื้อหาอาจดูน่าเบื่อและปานกลาง แต่ความประทับใจนี้กลับหลอกลวง นอกจากการพัฒนาเทคนิคเพิ่มเติมแล้ว ยังมีข้อมูลใหม่ๆ มากมาย ดังนั้นโปรดอย่าละเลยตัวอย่างในบทความนี้

ระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธ์คืออะไร?

คำตอบนั้นบ่งบอกตัวมันเอง ระบบสมการเชิงเส้นจะเป็นเนื้อเดียวกันหากใช้เงื่อนไขอิสระ ทุกคนสมการของระบบเป็นศูนย์ ตัวอย่างเช่น:

เป็นที่ชัดเจนอย่างยิ่งว่า ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันมีความสอดคล้องกันเสมอนั่นคือมันย่อมมีทางแก้เสมอ และก่อนอื่น สิ่งที่ดึงดูดสายตาของคุณคือสิ่งที่เรียกว่า เล็กน้อยสารละลาย - Trivial สำหรับผู้ที่ไม่เข้าใจความหมายของคำคุณศัพท์เลย หมายถึง ไม่โอ้อวด แน่นอนว่าไม่ใช่เชิงวิชาการ แต่อย่างชาญฉลาด =) ...ทำไมต้องทำอะไรบ้าๆ บอๆ มาดูกันว่าระบบนี้มีวิธีแก้ปัญหาอื่นหรือไม่:

ตัวอย่างที่ 1

สารละลาย: เพื่อแก้ระบบเอกพันธ์จำเป็นต้องเขียน เมทริกซ์ระบบและด้วยความช่วยเหลือของการแปลงเบื้องต้นทำให้เป็นรูปแบบขั้นตอน โปรดทราบว่าที่นี่ไม่จำเป็นต้องเขียนแถบแนวตั้งและคอลัมน์ศูนย์ของคำศัพท์อิสระ ท้ายที่สุดไม่ว่าคุณจะทำอะไรกับศูนย์ พวกมันก็จะยังคงเป็นศูนย์:

(1) บรรทัดแรกบวกกับบรรทัดที่สอง คูณด้วย –2 บรรทัดแรกบวกกับบรรทัดที่สาม คูณด้วย –3

(2) บรรทัดที่สองบวกเข้ากับบรรทัดที่สาม คูณด้วย –1

การหารบรรทัดที่สามด้วย 3 นั้นไม่สมเหตุสมผลนัก

อันเป็นผลมาจากการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นจะได้ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันที่เทียบเท่ากัน และการใช้วิธีผกผันของวิธีเกาส์เซียน ทำให้ง่ายต่อการตรวจสอบว่าโซลูชันมีลักษณะเฉพาะ

คำตอบ:

ให้เรากำหนดเกณฑ์ที่ชัดเจน: มีระบบสมการเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกัน เป็นเพียงวิธีแก้ปัญหาเล็กน้อย, ถ้า อันดับเมทริกซ์ของระบบ(ในกรณีนี้คือ 3) เท่ากับจำนวนตัวแปร (ในกรณีนี้คือ 3 ชิ้น)

มาอุ่นเครื่องและปรับวิทยุของเราให้เข้ากับคลื่นของการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้น:

ตัวอย่างที่ 2

แก้ระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธ์

จากบทความ จะค้นหาอันดับของเมทริกซ์ได้อย่างไร?ขอให้เรานึกถึงเทคนิคเชิงเหตุผลของการลดจำนวนเมทริกซ์ไปพร้อม ๆ กัน ไม่เช่นนั้นคุณจะต้องแล่ปลาตัวใหญ่และกัดปลาบ่อยๆ ตัวอย่างงานโดยประมาณในตอนท้ายของบทเรียน

ศูนย์เป็นสิ่งที่ดีและสะดวก แต่ในทางปฏิบัติกรณีนี้พบได้บ่อยกว่ามากเมื่อแถวของเมทริกซ์ระบบ ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น- แล้วการเกิดขึ้นของวิธีแก้ปัญหาทั่วไปก็หลีกเลี่ยงไม่ได้:

ตัวอย่างที่ 3

แก้ระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธ์

สารละลาย: ลองเขียนเมทริกซ์ของระบบแล้วใช้การแปลงเบื้องต้น ทำให้มันอยู่ในรูปแบบขั้นตอน การดำเนินการแรกมีวัตถุประสงค์ไม่เพียงเพื่อให้ได้ค่าเดียวเท่านั้น แต่ยังรวมถึงการลดตัวเลขในคอลัมน์แรกด้วย:

(1) เพิ่มบรรทัดที่สามเข้ากับบรรทัดแรก คูณด้วย –1 บรรทัดที่สามถูกบวกเข้ากับบรรทัดที่สอง คูณด้วย –2 ที่ด้านซ้ายบนฉันมีหน่วยที่มี "ลบ" ซึ่งมักจะสะดวกกว่ามากสำหรับการแปลงเพิ่มเติม

(2) สองบรรทัดแรกเหมือนกัน หนึ่งบรรทัดถูกลบไปแล้ว จริงๆ แล้ว ฉันไม่ได้ผลักดันวิธีแก้ปัญหา - มันกลับกลายเป็นอย่างนั้น หากคุณทำการแปลงในลักษณะเทมเพลต การพึ่งพาเชิงเส้นเส้นจะถูกเปิดเผยในภายหลังเล็กน้อย

(3) เพิ่มบรรทัดที่สองเข้ากับบรรทัดที่สามคูณด้วย 3

(4) ป้ายบรรทัดแรกมีการเปลี่ยนแปลง

จากผลของการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้น ทำให้ได้ระบบที่เทียบเท่ากัน:

อัลกอริทึมทำงานเหมือนกับทุกประการ ระบบที่แตกต่างกัน- ตัวแปร “นั่งบนบันได” เป็นตัวแปรหลัก ส่วนตัวแปรที่ไม่ได้รับ “ขั้นบันได” จะว่าง

เรามาแสดงตัวแปรพื้นฐานผ่านตัวแปรอิสระกันดีกว่า:

คำตอบ: วิธีแก้ปัญหาทั่วไป:

สูตรทั่วไปมีวิธีแก้ปัญหาเล็กน้อยและไม่จำเป็นต้องจดแยกกัน

การตรวจสอบยังดำเนินการตามรูปแบบปกติ: ต้องแทนที่ผลลัพธ์ทั่วไปที่ได้ทางด้านซ้ายของแต่ละสมการของระบบและต้องได้รับศูนย์ทางกฎหมายสำหรับการทดแทนทั้งหมด

เป็นไปได้ที่จะจบเรื่องนี้อย่างเงียบๆ และสงบสุข แต่บ่อยครั้งจำเป็นต้องนำเสนอการแก้ระบบสมการเอกพันธ์ ในรูปแบบเวกเตอร์โดยใช้ ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา- กรุณาลืมมันซะก่อน เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์เนื่องจากตอนนี้เราจะพูดถึงเวกเตอร์ในแง่พีชคณิตทั่วไปซึ่งฉันได้เปิดบทความเล็กน้อยในบทความ อันดับเมทริกซ์- ไม่จำเป็นต้องกลบคำศัพท์ ทุกอย่างค่อนข้างง่าย

ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันมีความสม่ำเสมอและมีวิธีแก้ปัญหาเล็กน้อย
- เพื่อให้วิธีแก้ปัญหาที่ไม่สำคัญมีอยู่ จำเป็นต้องมีอันดับของเมทริกซ์ มีจำนวนน้อยกว่าไม่ทราบ:

ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน
เรียกระบบการแก้ปัญหาในรูปแบบของเวกเตอร์คอลัมน์
ซึ่งสอดคล้องกับพื้นฐานที่ยอมรับได้เช่น พื้นฐานที่มีค่าคงที่ตามอำเภอใจ
สลับกันตั้งเป็นหนึ่ง ส่วนที่เหลือตั้งเป็นศูนย์

จากนั้นคำตอบทั่วไปของระบบเอกพันธ์จะมีรูปแบบ:

ที่ไหน
- ค่าคงที่ตามอำเภอใจ กล่าวอีกนัยหนึ่ง วิธีแก้ปัญหาโดยรวมคือการรวมกันเชิงเส้นของระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา

ดังนั้น จึงสามารถหาคำตอบพื้นฐานได้จากวิธีแก้ปัญหาทั่วไป หากค่าไม่ทราบค่าอิสระได้รับค่าเป็น 1 ในทางกลับกัน โดยตั้งค่าค่าอื่นๆ ทั้งหมดให้เท่ากับศูนย์

ตัวอย่าง- เรามาหาวิธีแก้ไขระบบกันดีกว่า

ยอมรับซะ แล้วเราจะได้คำตอบในรูปแบบ:

ให้เราสร้างระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา:

วิธีแก้ปัญหาทั่วไปจะถูกเขียนเป็น:

คำตอบของระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธ์มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ผลรวมเชิงเส้นใดๆ ของคำตอบของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันก็เป็นคำตอบอีกครั้ง

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นเป็นที่สนใจของนักคณิตศาสตร์มานานหลายศตวรรษ ผลลัพธ์แรกเกิดขึ้นในศตวรรษที่ 18 ในปี ค.ศ. 1750 G. Kramer (1704–1752) ตีพิมพ์ผลงานของเขาเกี่ยวกับปัจจัยกำหนดของเมทริกซ์จตุรัส และเสนออัลกอริทึมสำหรับการค้นหาเมทริกซ์ผกผัน ในปี ค.ศ. 1809 เกาส์ได้สรุปวิธีการแก้ปัญหาใหม่ที่เรียกว่าวิธีการกำจัด

วิธีเกาส์เซียนหรือวิธีการกำจัดสิ่งที่ไม่ทราบตามลำดับประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าด้วยความช่วยเหลือของการแปลงเบื้องต้น ระบบสมการจะลดลงเป็นระบบที่เทียบเท่าของรูปแบบขั้นตอน (หรือสามเหลี่ยม) ระบบดังกล่าวทำให้สามารถค้นหาสิ่งแปลกปลอมทั้งหมดตามลำดับตามลำดับ

ให้เราสมมุติว่าในระบบ (1)
(ซึ่งเป็นไปได้เสมอ)

(1)

การคูณสมการแรกทีละสมการด้วยสิ่งที่เรียกว่า ตัวเลขที่เหมาะสม

และบวกผลลัพธ์การคูณด้วยสมการที่สอดคล้องกันของระบบ เราก็จะได้ระบบที่เทียบเท่ากัน ซึ่งในสมการทั้งหมดยกเว้นสมการแรกจะไม่มีใครไม่ทราบ เอ็กซ์ 1

(2)

ตอนนี้ให้เราคูณสมการที่สองของระบบ (2) ด้วยตัวเลขที่เหมาะสม โดยสมมติว่า

และบวกกับอันที่ต่ำกว่า เราก็กำจัดตัวแปรออกไป จากสมการทั้งหมดเริ่มจากสมการที่สาม

ดำเนินกระบวนการนี้ต่อไปหลังจากนั้น
ขั้นตอนที่เราได้รับ:

(3)

ถ้าอย่างน้อยก็มีตัวเลขตัวใดตัวหนึ่ง
ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นความเท่าเทียมกันที่สอดคล้องกันจึงขัดแย้งกัน และระบบ (1) ไม่สอดคล้องกัน ในทางกลับกัน สำหรับระบบจำนวนร่วมใดๆ
มีค่าเท่ากับศูนย์ ตัวเลข ไม่มีอะไรมากไปกว่าอันดับของเมทริกซ์ของระบบ (1)