Создатель двоичной системы счисления. Системы счисления
Конечно, это касается не только процессоров, но и других составляющих компьютера, например, или . И когда мы говорим, например, о разрядности шины данных, мы имеем ввиду количество выводов на шине данных, по которым передаются данные, то есть о количестве двоичных цифр в числе, которое может быть передано по шине данных за один раз. Но о разрядности чуть позже.
Итак, процессор (и компьютер в целом) использует двоичную систему, которая оперирует всего двумя цифрами: 0 и 1. И поэтому основание двоичной системы равно 2. Аналогично, основание десятичной системы равно 10, так как там используются 10 цифр.
Каждая цифра в двоичном числе называется бит (или разряд ). Четыре бита – это полубайт (или тетрада ), 8 бит – байт , 16 бит – слово , 32 бита – двойное слово . Запомните эти термины, потому что в программировании они используются очень часто. Возможно, вам уже приходилось слышать фразы типа слово данных или байт данных . Теперь, я надеюсь, вы понимаете, что это такое.
Отсчёт битов в числе начинается с нуля и справа. То есть в двоичном числе самый младший бит (нулевой бит) является крайним справа. Слева находится старший бит . Например, в слове старший бит – это 15-й бит, а в байте – 7-й. В конец двоичного числа принято добавлять букву b . Таким образом вы (и ассемблер) будете знать, что это двоичное число. Например,
101 – это десятичное число 101b – это двоичное число, которое эквивалентно десятичному числу 5. А теперь попробуем понять, как формируется двоичное число .
Ноль, он и в Африке ноль. Здесь вопросов нет. Но что дальше. А дальше разряды двоичного числа заполняются по мере увеличения этого числа. Для примера рассмотрим тетраду. Тетрада (или полубайт) имеет 4 бита.
| Двоичное | Десятичное | Пояснения |
| 0000 | 0 | - |
| 0001 | 1 | |
| 0010 | 2 | В следующий бит (бит 1) устанавливается 1, предыдущий бит (бит 0) очищается. |
| 0011 | 3 | В младший бит устанавливается 1. |
| 0100 | 4 | В следующий бит (бит 2) устанавливается 1, младшие биты (бит 0 и 1) очищаются. |
| 0101 | 5 | В младший бит устанавливается 1. |
| 0110 | 6 | Продолжаем в том же духе... |
| 0111 | 7 | ... |
| 1000 | 8 | ... |
| 1001 | 9 | ... |
| 1010 | 10 | ... |
| 1011 | 11 | ... |
| 1100 | 12 | ... |
| 1101 | 13 | ... |
| 1110 | 14 | ... |
| 1111 | 15 | ... |
Итак, мы видим, что при формировании двоичных чисел разряды числа заполняются нулями и единицами в определённой последовательности:
Если младший равен нулю, то мы записываем туда единицу. Если в младшем бите единица, то мы переносим её в старший бит, а младший бит очищаем. Тот же принцип действует и в десятичной системе:
0…9 10 – очищаем младший разряд, а в старший добавляем 1 Всего для тетрады у нас получилось 16 комбинаций. То есть в тетраду можно записать 16 чисел от 0 до 15. Байт – это уже 256 комбинаций и числа от 0 до 255. Ну и так далее. На рис. 2.2 показано наглядно представление двоичного числа (двойное слово).
Рис. 2.2. Двоичное число.
Система счисления - это способ отображения чисел на бумаге. Они используются в расчетах на оборудовании и цифровой аппаратуре. Двоичная система счисления сейчас представляет собой один из наиболее востребованных инструментов в вычислительных приборах. Рассмотрим особенности работы с этой системой счисления.
История возникновения двоичной системы счисления
Ученые древнего мира предложили производить вычисления, используя лишь 2 цифры, и предположили, что за таким методом расчета будущее. Это объясняется простотой такого метода исчисления: всего 2 положения (0 и 1), 2 позиции, например, есть сигнал или нет сигнала. Немецкий математик Лейбниц полагал, что математические операции, осуществляемые над 2 цифрами, несут в себе определенный порядок.
До 40-х годов 20 века теория двоичной системы не развивалась, пока американский ученый Клод Шеннон не предложил применять ее в работе электронных схем. Оказалось, что их использование в ПЭВМ гораздо предпочтительнее, ведь человеку непросто запоминать громоздкое скопление нулей и единиц. А в компьютере достаточно создать устройство, имеющее логические 0 и 1, то есть обладающее не более 2 логическими состояниями. Это может быть намагниченный или размагниченный сердечник, закрытый или открытый трансформатор и т.д. Всего 2 положения, а не 10, как могло бы быть при использовании десятичной системы при компьютерных вычислениях.
Характеристики двоичной системы счисления
К особенностям двоичной системы счисления следует отнести:
- Использование всего пары цифр (0 и 1). Основание такой системы равно 2.
- Алгебраические операции, проводимые с числами из двух цифр, не представляют большой сложности.
- Хранение и преобразование сигналов видеоаппаратурой и приборами записи осуществляется в коде, состоящем из 0 и 1.
- Цифровые каналы связи обмениваются данными, используя их представление в виде 0 и 1.
Счет в двоичной системе
И затем для каждой цифры по порядку идет повышение разряда:
100 - четыре.
110 - шесть.
После 7 цифры записываются в виде 4 разрядов:
1000 - восемь.
1001 - девять.
1010 - десять.
1011 - одиннадцать.
1100 - двенадцать.
1101 - тринадцать.
1110 - четырнадцать.
Перевод чисел из двоичной системы в десятичную
Представление десятичных чисел в двоичной системе делает их довольно громоздкими. Рассмотрим как происходит обратный процесс: перевод числа, состоящего из 0 и 1, в удобный для нас вид. Например, нужно перевести двоичный код 10101110 в десятичный вид.
Его можно разбить по степеням, как это выполняется в десятичной системе. Так, число 1587 можно отобразить как:
1000 + 500 + 80 + 7.
Или еще одним способом:
1*10 3 + 5*10 2 + 8*10 1 + 7*10 0 .
В предыдущей записи просуммированы степени, соответствующие разряду каждой цифры за вычетом 1. За основание степени взято число10, потому что это десятичная система счисления. Этот метод можно применить к числу, представленному в двоичном виде. Только за основание степени следует брать цифру 2. Получается:
10101110 = 1*2 7 + 0*2 6 + 1*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 1*2 2 + 1*2 1 + 0*2 0 = 128 + 0 + 32 + 0 + 8 + 4 + 2 + 0 = 174.
Степени двойки выбираются по следующему принципу: необходимо посчитать разряд цифры и вычесть 1 из этого значения. Следует помнить, что разряд увеличивается справа налево. Так, самая первая единица имеет восьмой разряд, тогда ее надо умножить на 2 7 и т.д.
Таким образом, двоичная форма числа 10101110 - это 174 в десятичном представлении. Корректная запись выглядит так:
10101110 2 = 174 10 .
Бывает необходимость в обратном процессе: перевести десятичный вид записи в последовательность из 0 и 1. Это выполняется путем деления на 2 и образованием двоичного числа из остатка. Например, число 69.
| Делимое | Делитель | Частное | Остаток |
| 69 | 2 | 34 | 1 |
| 34 | 2 | 17 | 0 |
| 17 | 2 | 8 | 1 |
| 8 | 2 | 4 | 0 |
| 4 | 2 | 2 | 0 |
| 2 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 2 | 0 | 1 |
Смотрим на остаток. Получаем число в двоичной форме, начиная с последней строчки: 1000101 (эти цифры расположены в столбце «Остаток», если смотреть снизу вверх). Нужно проверить полученный результат:
1000101 = 1*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 64 + 4 +1 = 69.
Математические операции с двоичными числами
Сложение.
Это основная арифметическая операция при расчетах на компьютерах. Основные принципы сложения двоичных чисел опираются на правила:
Таким образом, складывая в столбик 1101 2 и 110 2 , получаем 10011 2 или 19 10 .
Вычитание .
Эта операция идентична сложению, если представить, что одно из двоичных чисел является отрицательным. В таком случае нужно учитывать модули складываемых чисел.
Правила, используемые при вычитании:
0 - 1 = 1 (занимаем из старшего разряда).
Например, вычитаем из 1110 2 число 101 2 , получаем 1001 2 или 9 10 .
Умножение .
На бумаге умножение представляет собой совокупность операций сложения. Например, необходимо произвести умножение 10 10 на 40 10 .
Преобразуем их в совокупность 0 и 1:
10 10 =00001010 2
40 10 = 00101000 2
Оба числа в двоичной форме имеют слева и справа несколько нулей, которые не играют роли в операции умножения. Значимые части - это 101 в числе 10 и 101 в числе 40, расположенные между нулями. Их нужно перемножить, а нули просто дописать в итоговом результате:
Перемножаем левую и правую единицу второго множителя на первый множитель, затем суммируем полученный промежуточный результат. Нули складываем и переписываем в итоговый результат умножения, который в двоичной форме выглядит так: 000000110010000 2 (нижняя строчка слева направо).
Проверяя, получаем:
1 * 2 8 + 1 * 2 7 + 1 * 2 4 = 256 + 128 + 16 = 400.
Деление .
Рассмотрим наиболее простой пример деления без остатка. Надо разделить 14 10 на 2 10 . В двоичном виде это выглядит так:
14 10 = 1110 2 .
Делим 1110 2 на 10 2 в столбик:
1110 |10
Получаем число 111 2 , что равняется 7 в десятичной системе счисления. При проверке умножением доказываем точность результата:
Смотрим на нижнюю строчку слева направо, результат умножения - 1110 2 . Ответ верный.
Основные темы параграфа:
♦ десятичная и двоичная системы счисления;
♦ развернутая форма записи числа;
♦ перевод двоичных чисел в десятичную систему;
♦ перевод десятичных чисел в двоичную систему;
♦ арифметика двоичных чисел.
В данной главе речь пойдет об организации вычислений на компьютере. Вычисления связаны с хранением и обработкой чисел.
Компьютер работает с числами в двоичной системе счисления.
Эта идея принадлежит Джону фон Нейману, сформулировавшему в 1946 году принципы устройства и работы ЭВМ. Выясним, что такое система счисления.
Десятичная и двоичная системы счисления
Системой счисления называют определенные правила записи чисел и связанные с ними способы выполнения вычислений.
нас будут интересовать двоичная и десятичная системы счисления.
Система счисления, к которой мы все привыкли, называется десятичной. Объясняется это название тем, что в ней используются десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Число цифр определяет основание системы счисления. Если число цифр - десять, то основание системы счисления равно десяти. В двоичной же системе существует всего две цифры: 0 и 1. Основание равно двум. Возникает вопрос, можно ли с помощью всего двух цифр представить любую величину. Оказывается, можно!
Развернутая форма записи числа
Вспомним принцип записи чисел в десятичной системе счисления. Значение цифры в записи числа зависит не только от самой цифры, но и от места расположения этой цифры в числе (говорят: от позиции цифры). Например, в числе 333 первая справа цифра обозначает: три единицы, следующая - три десятка, следующая - три сотни. Этот факт можно выразить равенством:
333 10 = 3 · 10 2 + 3 · 10 1 + 3 · 10 0 = 300 + 30 + 3.
В данном равенстве выражение, стоящее справа от знака «равно», называется развернутой формой записи многозначного числа. Вот еще пример развернутой формы записи многозначного десятичного числа:
8257 10 = 8 · 10 3 + 2 · 10 2 + 5 · 10 1 + 7 · 10 0 = 8000 + 200 + 50 + 7.
Таким образом, с продвижением от цифры к цифре справа налево «вес» каждой цифры увеличивается в 10 раз. Это связано с тем, что основание системы счисления равно десяти.
Перевод двоичных чисел в десятичную систему
А вот пример многозначного двоичного числа:
Двойка внизу справа указывает на основание системы счисления. Это нужно для того, чтобы не перепутать двоичное число с десятичным. Ведь существует же десятичное число 110101! Вес каждой следующей цифры в двоичном числе при продвижении справа налево возрастает в 2 раза. Развернутая форма записи данного двоичного числа выглядит так:
110101 2 = 1 · 2 5 + 1 · 2 4 + 0 · 2 3 + 1 · 2 2 + 0 · 2 1 + 1 · 2 0 = 53 10 .
Таким способом мы перевели двоичное число в десятичную систему.
Переведем в десятичную систему еще несколько двоичных чисел.
10 2 = 2 1 = 2; 100 2 = 2 2 = 4; 1000 2 = 2 3 = 8;
10000 2 = 2 4 = 16; 100000 2 = 2 5 = 32 и т. д.
Таким образом, получилось, что двузначному десятичному числу соответствует шестизначное двоичное! И это характерно для двоичной системы: быстрый рост количества цифр с увеличением значения числа.
Вот как выглядит начало натурального ряда чисел в десятичной (А 10) и двоичной (А 2) системах счисления:
| A 10 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| A 2 | 1 | 10 | 11 | 100 | 101 | 110 | 111 | 1000 | 1001 | 1010 |
| A 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| A 2 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 | 10000 | 10001 | 10010 | 10011 | 10100 |
Перевод десятичных чисел в двоичную систему
Как перевести двоичное число в равное ему десятичное, вам должно быть понятно из рассмотренных выше примеров. А как осуществить обратный перевод: из десятичной системы в двоичную? Для этого нужно суметь разложить десятичное число на слагаемые, представляющие собой степени двойки. Например:
15 10 = 8 + 4 + 2 + 1 = 1 · 2 3 + 1 · 2 2 + 1 · 2 1 + 1 · 2 0 = 1111 2 .
Это сложно. Есть другой способ, с которым мы сейчас и познакомимся.
Существует процедура, позволяющая легко выполнить перевод десятичного числа в двоичную систему. Она состоит в том, что данное десятичное число делится на 2. Полученный остаток - это младший разряд искомого числа. Полученное частное снова делится на 2, полученный при этом остаток - это следующий разряд искомого числа. Так продолжается до тех пор, пока частное не станет меньше двойки (основания системы). Это частное - старшая цифра искомого числа.
Существуют два способа записи деления на 2. Продемонстрируем это на примере перевода числа 37 в двоичную систему.
Здесь а 5 , а 4 , а 3 , а 2 , а 1 , а 0 - обозначения цифр в записи двоичного числа по порядку слева направо. В результате перевода получим: 37 10 = 100101 2 .
Арифметика двоичных чисел
Правила двоичной арифметики гораздо проще правил десятичной арифметики. Вот все возможные варианты сложения и умножения однозначных двоичных чисел.
0 + 0 = 0 0 x 0 = 0
0 + 1 = 1 0 x 1 = 0
1 + 0 = 1 1 x 0 = 0
1 + 1 = 10 1 x 1 = 1
Своей простотой и согласованностью с битовой структурой компьютерной памяти двоичная система счисления и привлекла изобретателей компьютера. Ее гораздо проще реализовать техническими средствами, чем десятичную систему.
Вот пример сложения столбиком двух многозначных двоичных чисел:
1011011101
+111010110
10010110011
А теперь посмотрите внимательно на следующий пример умножения многозначных двоичных чисел:
1101101
x 101
1101101
1101101
1000100001
После небольшой тренировки любой из вас такие вычисления будет выполнять автоматически.
Коротко о главном
Система счисления - определенные правила записи чисел и связанные с этими правилами способы выполнения вычислений.
Основание системы счисления равно количеству используемых в ней цифр.
Двоичные числа - числа в двоичной системе счисления. В их записи используются две цифры: 0 и 1.
Развернутая форма записи двоичного числа - это его представление в виде суммы степеней двойки, умноженных на 0 или на 1.
Использование двоичных чисел в компьютере связано с битовой структурой компьютерной памяти и простотой двоичной арифметики.
Вопросы и задания
1. Назовите преимущества и недостатки двоичной системы счисления по сравнению с десятичной.
2. Какие двоичные числа соответствуют следующим десятичным числам:
128; 256; 512; 1024?
3. Чему в десятичной системе равны следующие двоичные числа:
1000001; 10000001; 100000001; 1000000001?
4. Переведите в десятичную систему следующие двоичные числа:
101; 11101; 101010; 100011; 10110111011.
5. Переведите в двоичную систему счисления следующие десятичные числа:
2; 7; 17; 68; 315; 765; 2047.
6. Выполните сложение в двоичной системе счисления:
11 + 1; 111 + 1; 1111 + 1; 11111 + 1.
7. Выполните умножение в двоичной системе счисления:
111 · 10; 111 · 11; 1101 · 101; 1101 · 1000.
С помощю этого онлайн калькулятора можно перевести целые и дробные числа из одной системы счисления в другую. Дается подробное решение с пояснениями. Для перевода введите исходное число, задайте основание сисемы счисления исходного числа, задайте основание системы счисления, в которую нужно перевести число и нажмите на кнопку "Перевести". Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Результат уже получен!
Перевод целых и дробных чисел из одной системы счисления в любую другую − теория, примеры и решения
Существуют позиционные и не позиционные системы счисления. Арабская система счисления, которым мы пользуемся в повседневной жизни, является позиционной, а римская − нет. В позиционных системах счисления позиция числа однозначно определяет величину числа. Рассмотрим это на примере числа 6372 в десятичном системе счисления. Пронумеруем это число справа налево начиная с нуля:
Тогда число 6372 можно представить в следующем виде:
6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .
Число 10 определяет систему счисления (в данном случае это 10). В качестве степеней взяты значения позиции данного числа.
Рассмотрим вещественное десятичное число 1287.923. Пронумеруем его начиная с нуля позиции числа от десятичной точки влево и вправо:
Тогда число 1287.923 можно представить в виде:
1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3·10 -3 .
В общем случае формулу можно представить в следующем виде:
Ц n ·s n +Ц n-1 ·s n-1 +...+Ц 1 ·s 1 +Ц 0 ·s 0 +Д -1 ·s -1 +Д -2 ·s -2 +...+Д -k ·s -k
где Ц n -целое число в позиции n , Д -k - дробное число в позиции (-k), s - система счисления.
Несколько слов о системах счисления.Число в десятичной системе счисления состоит из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, в восьмеричной системе счисления - из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7}, в двоичной системе счисления - из множества цифр {0,1}, в шестнадцатеричной системе счисления - из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}, где A,B,C,D,E,F соответствуют числам 10,11,12,13,14,15.В таблице Таб.1 представлены числа в разных системах счисления.
| Таблица 1 | |||
|---|---|---|---|
| Система счисления | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E | 15 | 1111 | 17 | F |
Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Для перевода чисел с одной системы счисления в другую, проще всего сначала перевести число в десятичную систему счисления, а затем, из десятичной системы счисления перевести в требуемую систему счисления.
Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления
С помощью формулы (1) можно перевести числа из любой системы счисления в десятичную систему счисления.
Пример 1. Переводить число 1011101.001 из двоичной системы счисления (СС) в десятичную СС. Решение:
1 ·2 6 +0 ·2 5 +1 ·2 4 +1 ·2 3 +1 ·2 2 +0 ·2 1 +1 ·2 0 +0 ·2 -1 +0 ·2 -2 +1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125
Пример 2. Переводить число 1011101.001 из восьмеричной системы счисления (СС) в десятичную СС. Решение:
Пример 3 . Переводить число AB572.CDF из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную СС. Решение:
Здесь A -заменен на 10, B - на 11, C - на 12, F - на 15.
Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления
Для перевода чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления нужно переводить отдельно целую часть числа и дробную часть числа.
Целую часть числа переводится из десятичной СС в другую систему счисления - последовательным делением целой части числа на основание системы счисления (для двоичной СС - на 2, для 8-ичной СС - на 8, для 16-ичной - на 16 и т.д.) до получения целого остатка, меньше, чем основание СС.
Пример 4 . Переведем число 159 из десятичной СС в двоичную СС:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Как видно из Рис. 1, число 159 при делении на 2 дает частное 79 и остаток 1. Далее число 79 при делении на 2 дает частное 39 и остаток 1 и т.д. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в двоичной СС: 10011111 . Следовательно можно записать:
159 10 =10011111 2 .
Пример 5 . Переведем число 615 из десятичной СС в восьмеричную СС.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
При приведении числа из десятичной СС в восьмеричную СС, нужно последовательно делить число на 8, пока не получится целый остаток меньшее, чем 8. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в восьмеричной СС: 1147 (см. Рис. 2). Следовательно можно записать:
615 10 =1147 8 .
Пример 6 . Переведем число 19673 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Как видно из рисунка Рис.3, последовательным делением числа 19673 на 16 получили остатки 4, 12, 13, 9. В шестнадцатеричной системе счисления числе 12 соответствует С, числе 13 - D. Следовательно наше шестнадцатеричное число - это 4CD9.
Для перевода правильных десятичных дробей (вещественное число с нулевой целой частью) в систему счисления с основанием s необходимо данное число последовательно умножить на s до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль, или же не получим требуемое количество разрядов. Если при умножении получится число с целой частью, отличное от нуля, то эту целую часть не учитывать (они последовательно зачисливаются в результат).
Рассмотрим вышеизложенное на примерах.
Пример 7 . Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в двоичную СС.
| 0.214 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.392 |
Как видно из Рис.4, число 0.214 последовательно умножается на 2. Если в результате умножения получится число с целой частью, отличное от нуля, то целая часть записывается отдельно (слева от числа), а число записывается с нулевой целой частью. Если же при умножении получиться число с нулевой целой частью, то слева от нее записывается нуль. Процесс умножения продолжается до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль или же не получим требуемое количество разрядов. Записывая жирные числа (Рис.4) сверху вниз получим требуемое число в двоичной системе счисления: 0.0011011 .
Следовательно можно записать:
0.214 10 =0.0011011 2 .
Пример 8 . Переведем число 0.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС.
| 0.125 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.0 |
Для приведения числа 0.125 из десятичной СС в двоичную, данное число последовательно умножается на 2. В третьем этапе получилось 0. Следовательно, получился следующий результат:
0.125 10 =0.001 2 .
Пример 9 . Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.
| 0.214 | ||
| x | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| x | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| x | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| x | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| x | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| x | 16 | |
| 4 | 0.224 |
Следуя примерам 4 и 5 получаем числа 3, 6, 12, 8, 11, 4. Но в шестнадцатеричной СС числам 12 и 11 соответствуют числа C и B. Следовательно имеем:
0.214 10 =0.36C8B4 16 .
Пример 10 . Переведем число 0.512 из десятичной системы счисления в восьмеричную СС.
| 0.512 | ||
| x | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| x | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| x | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.728 |
Получили:
0.512 10 =0.406111 8 .
Пример 11 . Переведем число 159.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 4) и дробную часть числа (Пример 8). Далее объединяя эти результаты получим:
159.125 10 =10011111.001 2 .
Пример 12 . Переведем число 19673.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 6) и дробную часть числа (Пример 9). Далее объединяя эти результаты получим.
Двоичная система счисления сегодня используется практически во всех цифровых устройствах. Компьютеры, контроллеры и другие вычислительные устройства производят вычисления именно в двоичной системе. Цифровые устройства записи и воспроизведения звука, фото и видео хранят и обрабатывают сигналы в двоичной системе счисления. Передача информации по цифровым каналам связи также использует модель двоичной системы счисления.
Система носит такое название, потому что основанием системы является число два (2 ) или в двоичной системе 10 2 - это значит что для изображения чисел используется только две цифры "0" и "1". Двоечка записанная справа внизу от числа, здесь и далее будет обозначать основание системы счисления. Для десятичной системы основание обычно не указывают.
Ноль
- 0
;
Один
- 1
;
А что делать дальше? Все цифры кончились. Как же изобразить число два? В десятичной системе, в подобной ситуации (когда закончились цифры), мы вводили понятие десятка, здесь же мы вынуждены ввести понятие "двойка" и скажем, что два - это одна двойка и ноль единиц. А это уже можно и записать как - "10 2 ".
Итак, Два
- 10
2 (одна двойка, ноль единиц)
Три
- 11
2 (одна двойка, одна единица)
Четыре
- 100
2 (одна четверка, ноль двоек, ноль единиц)
Пять
- 101
2 (одна четверка, ноль двоек, одна единица)
Шесть
- 110
2 (одна четверка, одна двойка, ноль единиц)
Семь
- 111
2 (одна четверка, одна двойка, одна единица)
Возможности трех разрядов исчерпались, вводим более крупную единицу счета - восьмерку (осваиваем новый разряд).
Восемь
- 1000
2 (одна восьмерка, ноль четверок, ноль двоек, ноль единиц)
Девять
- 1001
2 (одна восьмерка, ноль четверок, ноль двоек, одна единица)
Десять
- 1010
2 (одна восьмерка, ноль четверок, одна двойка, ноль единиц)
...
и так далее...
...
Всегда, когда возможности задейсвованых разрядов, для отображения следующего числа, исчерпываются, мы вводим более крупные единицы счета, т.е. задействуем следующий разряд.
Рассмотрим число 1011 2 записанное в двоичной системе счисления. Про него можно сказать, что оно содержит: одну восьмерку, ноль четверок, одну двойку и одну единицу. И получить его значение через входящие в него цифры можно следующим образом.
1011 2 = 1 *8+0 *4+1 *2+1 *1, здесь и далее знак * (звездочка) означает умножение.
Но ряд чисел 8, 4, 2, 1 есть не что иное, как целые степени числа два (основания системы счисления) и поэтому можно записать:
1011 2 = 1 *2 3 +0 *2 2 +2 *2 1 +2 *2 0
Подобным образом для двоичной дроби (дробного числа) например: 0.101 2 (пять восьмых), про него можно сказать, что оно содержит: одну вторую, ноль четвертых и одну восьмую долю. И его значение можно вычислить следующим образом:
0.101 2 = 1 *(1/2) + 0 *(1/4) + 1 *(1/8)
И здесь ряд чисел 1/2; 1/4 и 1/8 есть не что иное, как целые степени числа два и мы также можем записать:
0.101 2 = 1 *2 -1 + 0 *2 -2 + 1 *2 -3
Для смешанного числа 110.101 аналогичным образом можем записать:
110.101 = 1 *2 2 +1 *2 1 +0 *2 0 +1 *2 -1 +0 *2 -2 +1 *2 -3
Давайте пронумеруем разряды целой части двоичного числа, справа налево, как 0,1,2…n (нумерация начинается с нуля!). А разряды дробной части, слева направо, как -1,-2,-3…-m. Тогда значение некоторого двоичного числа может быть вычислено по формуле:
N = d n 2 n +d n-1 2 n-1 +…+d 1 2 1 +d 0 2 0 +d -1 2 -1 +d -2 2 -2 +…+d -(m-1) 2 -(m-1) +d -m 2 -m
Где: n
- количество разрядов в целой части числа минус единица;
m
- количество разрядов в дробной части числа
d i
- цифра стоящая в i
-м разряде
Эта формула называется формулой разложения двоичного числа, т.е. числа записанного в двоичной системе счисления. Но если в этой формуле число два заменить на некоторое абстрактное q , то мы получим формулу разложения для числа записанного в q-й системе счисления:
N = d n q n +d n-1 q n-1 +…+d 1 q 1 +d 0 q 0 +d -1 q -1 +d -2 q -2 +…+d -(m-1) q -(m-1) +d -m q -m
С помощью этой формулы вы всегда сможете вычислить значение не только двоичного числа, но и числа записанного в любой другой позиционной системе счислени. О других системах счисления рекомендуем почитать следующие статьи.
