Kaj pomeni aritmetika? Znanstveni in tehnični enciklopedični slovar Kaj je aritmetika, kaj pomeni in kako se črkuje
Aritmetika
Aritmetika g.
1.
Veja matematike, ki proučuje najpreprostejše lastnosti števil, njihove načine pisanja in dejanja na njih.
2.
Predmet, ki vsebuje osnove tega poglavja matematike.
3. sprosti
Učbenik, ki opisuje vsebino tega predmeta.
Pojasnjevalni Efrajimov slovar. T. F. Efremova. 2000
Sinonimi:
Poglejte, kaj je "Aritmetika" v drugih slovarjih:
- (iz gr. arithmos številka in toche art). Znanost, ki ima svoje teme. Slovar tujih besed, vključenih v ruski jezik. Chudinov AN, 1910. ARITMETIKA iz grščine. aritmos, številka in tehnologija, umetnost. Znanost o številkah ... ... ... Slovar tujih besed ruskega jezika
Ženska, grščina nauk o računu, znanost o številčenju; osnova vse matematike (znanost o merljivih); · Staro. štetje ali digitalna modrost; račun, računanje, digitalna ocena, izračun. Aritmetika, aritmetika, povezana z njo. Aritmetika, ... ... Dahlov pojasnjevalni slovar
Digitalno poslovanje, digitalna znanost, digitalno, štetje Slovar ruskih sinonimov. aritmetični tsifir (zastarel.) slovar sinonimov ruskega jezika. Praktični vodnik. M .: Ruski jezik. Z. E. Alexandrova. 2011 ... Slovar sopomenk
- (iz grških besed številka ariJmoV in umetnost tecnh) del matematike, ki se ukvarja s preučevanjem lastnosti določenih specifičnih količin; v tesnejšem smislu je A. veda o številkah, izražena s števili, in se ukvarja z dejanji na številkah. A. lahko ... Enciklopedija Brockhausa in Efrona
Sodobna enciklopedija
- (iz gr. arithmos number) del matematike; preučevanje najpreprostejših lastnosti števil, predvsem naravnih (celo število pozitivnih) in delnih ter dejanj na njih. Razvoj aritmetike je privedel do ločitve algebri in teoretičnih števil od nje ... Veliki enciklopedični slovar
ARITMETIKA, metoda izračuna z seštevanjem, odštevanjem, množenjem in deljenjem. Giuseppe Peano je konec 19. stoletja prinesel formalno aksiomatično osnovo za te operacije. Na podlagi nekaterih postulatov, na primer, da obstaja samo en ... ... Znanstveni in tehnični enciklopedični slovar
ARITMETIKA, aritmetika, pl. nobene žene (Grško: arithmetike). Nauk števil, izražen s števili, in dejanja na njih. Pojasnjevalni slovar Ušakov. D.N. Ušakov. 1935 1940 ... Pojasnjevalni slovar Ušakov
ARITMETIKA in žene. 1. Veja matematike, ki proučuje najpreprostejše lastnosti števil, izražene s števili, in dejanja na njih. 2. trans. Enako kot štetje (v 2 števkah) (odprto). Razočaral sem stroške. | adj. aritmetika, oh, ... ... Pojasnjevalni slovar Ožegova
aritmetika - - [A.S. Goldberg. Angleško-ruski energetski slovar. 2006] Teme energija na splošno aritmetika EN ... Tehnična referenca prevajalca
Aritmetika - (iz grške številke aritmos), del matematike, ki preučuje najpreprostejše lastnosti celih in delnih števil in dejanj na njih. Nastala je v starih časih iz praktičnih potreb po štetju, merjenju razdalj, časa itd. Izboljšanje ... ... Ilustrirani enciklopedični slovar
Knjige
- Aritmetika, Kiselev Andrey Petrovič. V letu 2017 praznujejo 165-letnico rojstva A. P. Kiseleva. Njegov prvi šolski učbenik o aritmetiki je izšel leta 1884. Leta 1938 je bil potrjen kot učbenik aritmetike za 5-6 ...
Aritmetika je najbolj osnovni, osnovni del matematike. Nastane zaradi potreb ljudi na računu.
Mentalna aritmetika
Kaj se imenuje mentalna aritmetika? Mentalna aritmetika je metoda učenja hitrega štetja, ki je prišla iz antike.
Trenutno se učitelji, za razliko od prejšnjih, trudijo, da otrok ne le naučijo hitrosti štetja, ampak tudi poskušajo razviti mišljenje.
Sam proces učenja temelji na uporabi in razvoju obeh možganskih poloble. Glavna stvar je, da jih lahko uporabljate skupaj, saj se med seboj dopolnjujejo.
Dejansko je leva polobla odgovorna za logiko, govor in racionalnost, desna polobla pa za domišljijo.
Program usposabljanja vključuje usposabljanje na delovnem mestu in uporabo orodij, kot so abakus.
Abacus je glavno orodje pri preučevanju miselne aritmetike, saj se učenci naučijo delati z njimi, razvrščajo členke in razumejo bistvo štetja. Sčasoma abakus postane vaša domišljija in pripravniki jih predstavljajo, se zanašajo na to znanje in rešujejo primere.
Povratne informacije o teh metodah poučevanja so zelo pozitivne. Obstaja en minus - usposabljanje je plačano, vendar si tega ne more dovoliti vsak. Pot genija je torej odvisna od finančnega položaja.
Matematika in aritmetika
Matematika in aritmetika sta tesno povezana pojma ali bolje rečeno, aritmetika je veja matematike, ki deluje s števili in izračuni (dejanja s števili).
Aritmetika je glavni sklop in s tem temelj matematike. Osnova matematike so najpomembnejši pojmi in operacije, ki tvorijo osnovo, na kateri temeljijo vsa nadaljnja znanja. Glavne operacije vključujejo: seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje.
Aritmetiko navadno preučujemo v šoli od samega začetka usposabljanja, torej. od prvega razreda. Otroci obvladajo osnovo matematike.
Dodatek - to je aritmetična operacija, pri kateri se dodata dve številki, njun rezultat pa bo nov - tretji.
a + b \u003d c.
Odštevanje - to je aritmetična operacija, pri kateri se drugo število odšteje od prvega števila, tretje pa rezultat.
Formula dodajanja je izražena na naslednji način: a - b \u003d c.
Množenje - to je dejanje, zaradi katerega najdemo vsoto enakih izrazov.
Formula tega ukrepa je: a1 + a2 + ... + an \u003d n * a.
Divizije- To je razčlenitev na enake dele poljubnega števila ali spremenljivke.
Prijavite se na tečaj »Pospešite ustno štetje, NE miselne aritmetike«, če želite izvedeti, kako hitro, pravilno seštevati, odštevati, množiti, deliti, kvadratiti in se celo ukoreniniti. Čez 30 dni se boste naučili uporabljati lahke trike za poenostavitev aritmetičnih operacij. Vsaka lekcija ima nove trike, jasne primere in koristne vaje.
Aritmetični trening
Aritmetični trening se izvaja znotraj sten šole. Otroci začnejo že od prvega razreda naprej študirati osnovni in glavni del matematike - aritmetiko.
Dodajanje številk
Aritmetična ocena 5
V petem razredu začne učenec preučevati teme, kot so: delna števila, mešana števila. Informacije o operacijah s temi številkami najdete v naših člankih o ustreznih operacijah.
Delna številka - to je razmerje dveh števil med seboj ali števec do imenovalca. Delno število lahko nadomestite z deljenjem. Na primer, ¼ \u003d 1: 4.
Mešana številka Je delna številka, označena samo s celotnim delom. Razlikuje se celoten del pod pogojem, da je števec večji od imenovalca. Na primer, obstajal je ulomek: 5/4, pretvoriti ga je mogoče tako, da označimo celo število: 1 celo število in ¼.
Primeri za usposabljanje:
Naloga številka 1:
Naloga številka 2:
Aritmetična ocena 6
V 6. razredu se pojavi tema pretvorbe ulomkov v male črke. Kaj to pomeni? Na primer, če dobimo ulomek ½, bo to enako 0,5. ¼ \u003d 0,25.
Primeri so lahko v tem slogu: 0,25 + 0,73 + 12/31.
Primeri za usposabljanje:
Naloga številka 1:
Naloga številka 2:
Igre za razvoj ustnega štetja in hitrosti štetja
Obstajajo čudovite igre, ki prispevajo k razvoju štetja, pomagajo razviti matematične sposobnosti in matematično razmišljanje, ustno štetje in hitrost štetja! Lahko se igrate in rastete! Ste radovedni? Preberite kratke članke o igrah in se prepričajte, da poskusite sami.
Igra "Hitri rezultat"
Igra s hitrim rezultatom vam bo pomagala pospešiti štetje ust. Bistvo igre je, da boste na sliki, ki vam je predstavljena, morali izbrati odgovor da ali ne na vprašanje, ali je 5 istega sadja? Sledite svojemu cilju in ta igra vam bo pomagala pri tem.
Igra "Matematične primerjave"
Za igro "Matematične primerjave" boste morali hkrati primerjati dve številki. Se pravi, morate čim hitreje izbrati eno od dveh številk. Ne pozabite, da je čas omejen in bolj ko boste pravilno odgovorili, bolje se bodo razvijale vaše matematične sposobnosti! Bomo poskusili?
Hitro dodajanje igre
Igra "Hitri dodatek" je odličen simulator hitrega štetja. Bistvo igre: glede na 4x4 polje, to je. 16 števil, nad poljem pa sedemnajsta številka. Vaš cilj: narediti 17 s šestnajstimi številkami s pomočjo operacije seštevanja. Na primer, število 28 je napisano nad poljem, potem morate v polju najti 2 taki številki, ki bosta skupaj dobili številko 28. Ali ste pripravljeni poskusiti z roko? Potem pa naprej, treniraj!
Razvoj fenomenalnega ustnega štetja
Pregledali smo samo vrh ledene gore, da bi bolje razumeli matematiko - prijavite se na naš tečaj: Pospešite ustno štetje - NE miselne aritmetike.
Iz tečaja se ne boste naučili le na desetine trikov za poenostavitev in hitro množenje, seštevanje, množenje, deljenje, računanje odstotkov, temveč jih boste izoblikovali tudi v posebnih nalogah in poučnih igrah! Ustno štetje zahteva tudi veliko pozornosti in koncentracije, ki se aktivno trenirajo pri reševanju zanimivih problemov.
Hitrost branja v 30 dneh
V 30 dneh povečajte hitrost branja za 2-3 krat. Od 150-200 do 300-600 besed na minuto ali od 400 do 800-1200 besed na minuto. Tečaj uporablja tradicionalne vaje za razvoj hitrostnega branja, tehnike za pospeševanje dela možganov, tehniko za postopno povečanje hitrosti branja, psihologijo hitrostnega branja in vprašanja udeležencev tečaja. Primerno za otroke in odrasle, ki berejo do 5000 besed na minuto.
Razvoj spomina in pozornosti pri otroku 5-10 let
Namen tečaja: razviti spomin in pozornost pri otroku, tako da mu bo lažje učiti v šoli, da se bo lažje spominjal.
Z aritmetiko, znanostjo o številu, se začne naše poznavanje matematike. Eden prvih ruskih učbenikov aritmetike, ki ga je leta 1703 napisal L. F. Magnitsky, se je začel z besedami: "Aritmetika ali števec je odkrit, neprimerna in lahka za razumevanje, uporabna in večnastavna umetnost, od najstarejših in najnovejših, ki živijo v različnih obdobjih dobro aritmetično izumil in izjavil. " Z aritmetiko vstopimo, kot je dejal M. V. Lomonosov, "vrata k učenju" in začnemo svoj dolg in težaven, a očarljiv način razumevanja sveta.
Beseda "aritmetika" prihaja iz grškega aritmosa, kar pomeni "število". Ta znanost proučuje dejanja na številih, različna pravila za ravnanje z njimi, uči nas reševanja problemov, ki so seštevanje, odštevanje, množenje in delitev števil. Pogosto si aritmetiko predstavljajo kot neko prvo stopnjo matematike, na podlagi katere je mogoče proučiti njene bolj zapletene odseke - algebro, matematično analizo itd. Cela cela števila - glavni predmet aritmetike - so ob upoštevanju njihovih splošnih lastnosti in zakonov napotena na višjo aritmetično ali teorijo števil. Takšen pogled na aritmetiko ima seveda razlog - resnično ostaja "ABC računa", a ABC "večkoristnega" in "lahko razumljivega."
Aritmetika in geometrija sta dolgoletna spremljevalca človeka. Te vede so se pojavile, ko je bilo potrebno šteti predmete, meriti zemljišča, deliti proizvodnjo in slediti času.
Aritmetika je nastala v državah starodavnega vzhoda: Babilon, Kitajska, Indija, Egipt. Na primer, egiptovski papirus Rinda (po imenu svojega lastnika G. Rinda) se nanaša na 20. stoletje. Pr Med drugimi informacijami vsebuje razgradnjo ulomka v vsoto ulomkov s števcem, ki je enak, na primer:
Zaklade matematičnega znanja, nakopičenih v državah starodavnega vzhoda, so razvili in nadaljevali znanstveniki starodavne Grčije. Zgodovina Anaksagora in Zenoa, Euklid (glej Euklid in njegovi začetki), Arhimed, Eratosten in Diofant je ohranila številna imena znanstvenikov, ki so v starodavnem svetu preučevali aritmetiko. Ime Pitagora (VI. Stoletje pred našim štetjem) se tukaj svetli s svetlo zvezdo. Pitagorejci (učenci in privrženci Pitagore) so častili številke, saj so verjeli, da vsebujejo vso harmonijo sveta. Posebne lastnosti so bile dodeljene posameznim številom in parom števil. Številki 7 in 36 sta bili deležni visokega spoštovanja, hkrati pa so bili pozorni na tako imenovane popolne številke, prijazne številke itd.
V srednjem veku je razvoj aritmetike povezan tudi z Vzhodom: Indijo, državami arabskega sveta in Srednjo Azijo. Od Indijancev so do nas prišle številke, ki jih uporabljamo, nič in pozicijski sistem številk; od al-Kashija (XV. stoletje), ki je delal v opazovalnici Ulugbek iz Samarkanda, - decimalni ulomki.
Zaradi razvoja trgovine in vpliva vzhodne kulture od XIII. zanimanje za aritmetiko v Evropi narašča. Velja spomniti na ime italijanskega znanstvenika Leonarda iz Pise (Fibonacije), čigar sestava Abacus Book je Evropejce seznanila z glavnimi dosežki vzhodne matematike in je bila začetek številnih študij aritmetike in algebre.
Skupaj z izumom tiskarstva (sredi 15. stoletja) so se pojavile prve tiskane matematične knjige. Prva tiskana knjiga o aritmetiki je izšla v Italiji leta 1478. Popolna aritmetika nemškega matematika M. Stiefela (začetek 16. stoletja) že vsebuje negativne številke in celo idejo o logaritmih.
Okoli XVI. razvoj čisto aritmetičnih vprašanj se je združil v glavni tok algebre - pomemben mejnik je pojav del znanstvenika iz Francije F. Viet, v katerem so številke označene s črkami. Od tega časa so osnovna aritmetična pravila končno prepoznana s stališča algebre.
Glavni predmet aritmetike je število. Naravne številke, tj. številke 1, 2, 3, 4, ... itd. so nastale iz računa določenih postavk. Veliko tisočletja je minilo, preden je človek izvedel, da sta dva fazana, dve roki, dve osebi itd. lahko rečemo isto besedo "dva". Pomembna naloga aritmetike je, da se naučijo premagati specifičen pomen imen preštetih predmetov, se odvrniti od njihove oblike, velikosti, barve itd. Fibonaccijeva ima že nalogo: „Sedem starih žensk odhaja v Rim. Vsaka ima 7 mula, vsaka mula nosi 7 vrečk, vsaka vreča ima 7 hlebcev, vsak kruh ima 7 nožev, vsak nož ima 7 plahtic. Koliko vseh? "Če želite rešiti težavo, boste morali sestaviti stare ženske, mulce, vrečke in kruh.
Razvoj koncepta števila - pojav ničelnih in negativnih števil, navadnih in decimalnih ulovov, načini pisanja števil (števk, zapisov, številskih sistemov) - vse to ima bogato in zanimivo zgodovino.
„Nauka števil se nanaša na dve znanosti: praktično in teoretično. Praktična študija števila, če gre za število preštetih številk. Ta znanost se uporablja v tržnih in civilnih zadevah. Teoretična znanost števil preučuje številke v absolutnem smislu, ki jih um odvzame od teles in vsega, kar je v njih mogoče prešteti. " al-farabi
V aritmetiki se števila seštevajo, odštevajo, množijo in delijo. Umetnost hitrega in natančnega izvajanja teh dejanj na poljubnih številkah se že dolgo šteje za najpomembnejšo aritmetično nalogo. Zdaj v mislih ali na papirju delamo le najpreprostejše izračune, vse pogosteje zaupajo bolj zapleteno računsko delo mikrokalkulatorjem, ki postopoma pridejo v poštev nadomeščajo takšne naprave, kot so abakus, aritmometer (glej Računalniška tehnika), pravilo diapozitiva. Vendar je osnova dela vseh računalnikov - enostavna in zapletena - najpreprostejša operacija - seštevanje naravnih števil. Izkazalo se je, da je najzahtevnejše izračune mogoče zmanjšati na dodajanje, le to operacijo je treba opraviti že več milijonov. Toda tu vdremo na drugo področje matematike, ki izvira iz aritmetike - računalniško matematiko.
Aritmetične operacije s števili imajo različne lastnosti. Te lastnosti lahko opišemo z besedami, na primer: "Vsota se ne spreminja s spremembami krajev izrazov", lahko jih zapišemo s črkami:, lahko izrazimo v posebnih izrazih.
To lastnost dodajanja se na primer imenuje translacijski ali komutativni zakon. Zakone aritmetike uporabljamo pogosto iz navade, ne da bi se tega zavedali. Učenci v šoli se pogosto sprašujejo: "Zakaj bi se naučili vseh teh zakonov gibanja in združevanja, ker je tako jasno, kako seštevati in množiti številke?" matematika je naredila pomemben korak - začela je sistematično seštevati in pomnoževati ne le številke, temveč tudi vektorje, funkcije, premike, tabele števil, matrike in še veliko več, celo samo črke, simbole, ne zares skrbijo za njihov specifičen pomen. In tu se je izkazalo, da je najpomembnejše, kakšni zakoni upoštevajo te operacije. Študij operacij, podanih na poljubnih objektih (ne nujno na številkah), je že algebra polje, čeprav ta naloga temelji na aritmetiki in njenih zakonih.
Aritmetika vsebuje veliko pravil za reševanje problemov. V starih knjigah lahko najdete naloge o "trojnem pravilu", o "proporcionalni delitvi", o "metodi uteži", o "ponarejenem pravilu" itd. Večina teh pravil je zdaj zastarelih, čeprav nalog, ki so jih rešili z njihovo pomočjo, ni mogoče šteti za zastarele. Znana naloga o bazenu, ki je napolnjen z več cevmi, je stara vsaj dva tisoč let, šolarjem pa še vedno ni enostavno. Če pa je bilo prej za rešitev te težave treba poznati posebno pravilo, se danes mlajši dijaki učijo reševanja takšnega problema z uvedbo črkovne oznake želene vrednosti. Tako so aritmetične težave pripeljale do potrebe po reševanju enačb in to je spet naloga algebre.
|
PIFAGOR
O samem Pitagorju ni pisnih dokumentov in po kasnejših dokazih je težko obnoviti resnično sliko njegovega življenja in dosežkov. Znano je, da je Pitagora zapustil svoj rodni otok Samos v Egejskem morju ob obali Male Azije v znak protesta proti tiraniji vladarja in se že v odrasli dobi (po legendi pri 40 letih) pojavil v grškem mestu Croton v južni Italiji. Pitagora in njegovi privrženci - pitagorejci - so oblikovali tajno zavezništvo, ki je imelo pomembno vlogo v življenju grških kolonij v Italiji. Pitagorejci so se prepoznali po svojem zvezdnem pentagonu - pentagramu. Na učenja Pitagore je močno vplivala filozofija in religija Vzhoda. Veliko je potoval po vzhodnih deželah: bil je v Egiptu in v Babilonu. Tam se je Pitagora srečal z vzhodno matematiko. Matematika je postala del njegovega učenja in pomemben del. Pitagorejci so verjeli, da se skrivnost sveta skriva v številčnih zakonih. Svet številk je za pitagorejce živel posebno življenje, številke so imele svoj poseben smisel v življenju. Številke, enake vsoti njihovih deliteljev, so bile dojete kot popolne (6, 28, 496, 8128); prijazno imenovani pari števil, od katerih je bila vsaka enaka vsoti delitev drugih (na primer 220 in 284). Pitagora je prvič razdelil števila na sodo in liho, preprosto in sestavljeno, uvedel je koncept figurnega števila. V njegovi šoli so podrobno obravnavali pitagorejske trojice naravnih števil, v katerih je kvadrat ene enak vsoti kvadratov drugih dveh (glej Fermatov veliki izrek). Pitagora pripisuje pregovor: "Vse je število." Na števila (in mislil je zgolj naravna števila) je želel zmanjšati ves svet, predvsem pa matematiko. Toda v Pitagorovi šoli so odkrili odkritje, ki je kršilo to harmonijo. Dokazano je, da ne gre za racionalno število, tj. ni izraženo z naravnimi števili. Seveda je bila geometrija Pitagora podrejena aritmetiki, to se je očitno pokazalo v izreku, ki nosi njegovo ime in ki je kasneje postal osnova za uporabo numeričnih metod v geometriji. (Kasneje je Euklid spet postavil geometrijo v ospredje in ji podredil algebro.) Očitno so pitagorejci poznali pravilna telesa: tetraeder, kocko in dodekahedron. Pitagora je zaslužen za sistematično vnašanje dokazov v geometrijo, ustvarjanje planimetrije ravnih figur, nauk o podobnosti. Nauk o aritmetičnih, geometrijskih in harmoničnih razmerjih, sredstvih, je povezan z imenom Pitagora. Treba je opozoriti, da je Pitagora Zemljo obravnaval kot kroglo, ki se giblje okoli Sonca. Ko so v XVI. cerkev je začela goreče nadaljevati Kopernikove nauke, to učenje so vztrajno imenovali pitagorejski. |
|
ARCHIMEDES
O Arhimedu je znano več - velika matematika in mehanika kot o drugih znanstvenikih iz antike. Najprej je zanesljivo leto njegove smrti - leto padca Sirakuze, ko je znanstvenik umrl od rok rimskega vojaka. Vendar pa so zgodovinarji antike Polibije, Livi, Plutarh malo govorili o njegovih matematičnih zaslugah, od njih do naših časov so dobili informacije o čudežnih izumih znanstvenika, narejenih med službo kralju Hieronu II. Znana je zgodba o kraljevi zlati kroni. Arhimed je preveril čistost njegove sestave s pomočjo zakona plovnosti, ki ga je našel, in svojega vzklika "Eureka!" "Najdeno!". Druga legenda pravi, da je Archimedes zgradil sistem blokov, s pomočjo katerih je ena oseba lahko izstrelila ogromno ladjo "Syracosia". Arhimedove besede, ki jih je izgovoril, so nato postale krilate: "Opori me in obrnil bom Zemljo." Inženirski genij Arhimeda se je pokazal s posebno močjo med obleganjem Sirakuze, bogatega trgovskega mesta na otoku Sicilije. Vojake rimskega konzula Marcellusa so dolgo časa pridržali v bližini mestnega obzidja z vozili brez primere: močne katapultne strele so ciljne kamnite opeke, v vrzeli so vrgli izstrelke raket, obalni žerjavi so se obrnili čez obzidje in metali sovražne ladje s kamnitimi in svinčenimi bloki, kljuke pobrale ladje in metali so jih z velike višine, sistemi konkavnih ogledal (v nekaterih zgodbah - ščiti) so ladje podžgali. V "Zgodovini Marcellusa" Plutarh opisuje grozo, ki je vladala v vrstah rimskih bojevnikov: "Takoj ko so opazili, da se za trdnjavsko steno kaže vrv ali hlod, so zbežali s krikom, da je Arhimed za svojo smrt izumil nov avto." . Prispevek Arhimeda k razvoju matematike je ogromen. Spirala Arhimeda (glej Spiral), ki jo opisuje točka, ki se premika v vrtljivem krogu, je stala narazen med številnimi krivuljami, ki jih poznajo njegovi sodobniki. Naslednja kinematično določena krivulja - cikloid - se je pojavila šele v 17. stoletju. Arhimed se je naučil najti tangento na svoji spirali (in z njo so predhodniki znali narisati tangente samo na stožčaste odseke), našel je območje njegovega zasuka, pa tudi območje elipse, površino stožca in kroglice, prostornino kroglice in krogelni segment. Posebej je bil ponosen na svoje odkritje razmerja prostornine kroglice in valja, opisanega okoli nje, ki je 2: 3 (glej vpisane in opisane slike). Arhimed se je veliko ukvarjal tudi s problemom uvrščanja kroga (glej Znane antike). Znanstvenik je izračunal razmerje med obodom in premerom (številom) ter ugotovil, da je med njimi in. Metoda, ki jo je ustvaril za izračun oboda in površine figure, je bil bistven korak k ustvarjanju diferencialnih in integralnih kalkulov, ki so se pojavili šele 2000 let pozneje. Arhimed je našel tudi vsoto neskončne geometrijske progresije z imenovalcem. V matematiki je bil to prvi primer neskončne serije. Pomembno vlogo pri razvoju matematike je imel njegov esej "Psammit" - "O številu zrn peska", v katerem prikazuje, kako lahko z obstoječim številskim sistemom izrazite poljubno velike številke. Kot priložnost za svoje razmišljanje uporablja problem štetja števila zrn peska znotraj vidnega Vesolja. Tako je bilo takrat že obstoječe mnenje o prisotnosti skrivnostnih "največjih številk" ovrženo. |
Med pomembnimi pojmi, ki jih uvaja aritmetika, je treba omeniti deleže in odstotke. Večina konceptov in metod aritmetike temelji na primerjavi različnih odvisnosti med števili. V zgodovini matematike proces združevanja aritmetike in geometrije poteka že več stoletij.
Jasno je mogoče zaslediti "geometrizacijo" aritmetike: zapletena pravila in vzorci, izraženi s formulami, postanejo bolj razumljivi, če jih je mogoče geometrijsko prikazati. Veliko vlogo pri matematiki in njenih aplikacijah igra obratni postopek - prevajanje vizualnih, geometrijskih informacij v jezik števil (glej Grafično računanje). Osnova tega prevoda je ideja francoskega filozofa in matematika R. Descartesa o določitvi točk na ravnini s koordinatami. Seveda, preden se je ta ideja že uporabljala, na primer, v pomorski industriji, ko je bilo treba določiti lokacijo ladje, pa tudi v astronomiji, geodeziji. Toda od Descartesa in njegovih učencev prihaja do dosledne uporabe jezika koordinatov pri matematiki. In dandanes pri upravljanju zapletenih procesov (na primer letenja vesoljskega plovila) raje razpolagajo z vsemi informacijami v obliki številk, ki jih računalnik obdeluje. Po potrebi stroj pomaga osebi prevesti nabrane številčne podatke v risalni jezik.
Vidite, da, če govorimo o aritmetiki, vedno presežemo njene meje - v algebri, geometriji in drugih vejah matematike.
Kako orisati meje same aritmetike?
V kakšnem smislu se beseda uporablja?
Besedo "aritmetika" lahko razumemo:
subjekt, ki obravnava predvsem racionalna števila (cela števila in ulomke), dejanja z njimi in težave, ki jih rešujejo s temi dejanji;
del zgodovinske zgradbe matematike, ki je nabral različne podatke o izračunih;
"Teoretična aritmetika" - del sodobne matematike, ki sodeluje pri konstruiranju različnih numeričnih sistemov (naravnih, celih, racionalnih, realnih, kompleksnih števil in njihovih posploševanj);
"Formalna aritmetika" je del matematične logike (glej Matematična logika), ki se ukvarja z analizo aksiomatske teorije aritmetike;
"Višja aritmetika" ali teorija števil, neodvisno razvijajoči se del matematike.
Kaj je aritmetika? Kako črkovati to besedo. Koncept in interpretacija.
aritmetika umetnost računanja s pozitivnimi realnimi številkami. Kratka zgodovina aritmetike. Delo s števili je bilo že od antičnih časov razdeljeno na dve različni področji: eno je neposredno povezano z lastnostmi števil, drugo pa je bilo povezano s tehnikami štetja. Pod "aritmetiko" v mnogih državah običajno pomeni to zadnje področje, ki je nedvomno najstarejša veja matematike. Očitno je bila največja težava med starodavnimi kalkulatorji delo z ulomki. O tem lahko sodimo po papirusu Ahmesa (imenovanem tudi papirus Rind), staroegipčanskem eseju o matematiki iz leta 1650 pr. Vse frakcije, omenjene v papirusu, z izjemo 2/3, imajo številke enake 1. Težav pri ravnanju z ulomki je opazen tudi pri preučevanju starodavnih babilonskih klinopisnih tablet. Tako stari Egipčani kot Babilonci so očitno izvajali izračune z uporabo nekakšnega abaka. Znanost o številkah je dobila pomemben razvoj pri starih Grkih, začenši s Pitagoro, okoli leta 530 pr. Kar zadeva samo tehniko izračunavanja, so Grki na tem področju storili veliko manj. Rimljani, ki so živeli pozneje, nasprotno, praktično niso prispevali k znanosti o številkah, vendar so izhajali iz potreb po hitro razvijajoči se proizvodnji in trgovini, izboljšali so abakus kot štetje. O rojstvu indijske aritmetike je zelo malo znanega. Do nas je prišlo le nekaj poznejših del o teoriji in praksi operacij s številkami, zapisano po izboljšanju indijskega pozicijskega sistema z vključitvijo nič. Kdaj točno se je to zgodilo, ne vemo zagotovo, šele takrat so bili postavljeni temelji za naše najpogostejše aritmetične algoritme (glej tudi ŠTEVILA IN ŠTEVILA). Indijski sistem številk in prve aritmetične algoritme so si izposodili Arabci. Najzgodnejši arabski učbenik aritmetike, ki se je prišel do nas, je al-Khwarizmi napisal okoli leta 825. Indijske številke se v njem pogosto uporabljajo in razlagajo. Kasneje je bil ta učbenik preveden v latinščino in je imel pomemben vpliv na Zahodno Evropo. Popačena različica imena al-Khwarizmi nam je prišla z besedo "algoritem", ki se je ob nadaljnjem mešanju z grško besedo arithmos spremenila v izraz "algoritem". Indo-arabska aritmetika je v zahodni Evropi postala poznana predvsem po delu L. Fibonaccha Book of abacus (Liber abaci, 1202). Abacistična metoda je ponudila poenostavitve, podobne uporabi našega pozicijskega sistema, vsaj za seštevanje in množenje. Abaciste so zamenjali algoritmi, ki so uporabljali ničelno in arabsko metodo delitve in ekstrakcije kvadratnega korena. Eden prvih učiteljev aritmetike, katerega avtor nam ni znan, je izšel v Trevisu (Italija) leta 1478. Ukvarjal se je z izračuni pri trgovanju. Ta učbenik je postal predhodnica številnih poznejših učbenikov iz aritmetike. Vse do začetka 17. stoletja v Evropi je izšlo več kot tristo takih učbenikov. Aritmetični algoritmi so se v tem času bistveno izboljšali. V 16-17 stoletju. pojavili so se simboli aritmetičnih operacij, kot so \u003d, +, -, *, "root" in /. Menijo, da je decimalne ulomke leta 1585 izumil S. Stevin, logaritmi J. Neper leta 1614, logaritmični vladar W. Outred 1622. Sodobne analogne in digitalne računalniške naprave so bile izumljene sredi 20. stoletja. Glej tudi MATH; ZGODOVINA MATEMATIKE; TEORIJA ŠTEVILKA; SERIJA. Mehanizacija aritmetičnih izračunov. Z razvojem družbe je rasla potreba po hitrejših in natančnejših izračunih. To je moralo prinesti štiri izjemne izume: indo-arabske številke, decimalke, logaritme in sodobne računalnike. V resnici so najpreprostejše števalne naprave obstajale pred pojavom moderne aritmetike, saj so se v starih časih na abaskusu izvajale elementarne aritmetične operacije (v Rusiji so v ta namen uporabljali rezultate). Najpreprostejša sodobna računalniška naprava se lahko šteje za drsno pravilo, ki je dve drsni logaritmični lestvici drug ob drugem, ki omogoča množenje in deljenje, seštevanje in odštevanje odsekov lestvic. Za izumitelja prvega stroja za mehansko seštevanje se šteje B. Pascal (1642). Kasneje istega stoletja sta G. Leibniz (1671) v Nemčiji in S. Moreland (1673) v Angliji izumila stroje za izvajanje množenja. Ti stroji so postali predhodniki namiznih računalnikov (aritmometri) 20. stoletja, kar je omogočilo hitro in natančno izvajanje seštevanja, odštevanja, množenja in deljenja. Leta 1812 je angleški matematik C. Babbage začel zasnovati stroj za računanje matematičnih tabel. Čeprav je delo na projektu trajalo več let, je ostal nedokončan. Kljub temu je projekt Babbage spodbudil ustvarjanje sodobnih elektronskih računalnikov, katerih prvi vzorci so se pojavili okoli leta 1944. Hitrost teh strojev je bila neverjetna: uporabljati jih je bilo mogoče za reševanje težav, ki so trajale več let ali več, celo z uporabo aritmometrov. Bistvo zadeve je mogoče razložiti s primerom specifične aritmetične težave, na primer izračunavanjem števila p (razmerje oboda kroga in njegovega premera). Prve sistematične poskuse izračunavanja p najdemo v Arhimedu (približno 240 pr. N. Št.). Z zelo nepopolnim številskim sistemom je po številnih delih znal izračunati p z natančnostjo, ki ustreza dvema decimalnima mestoma v našem sodobnem številčnem sistemu. L. Van Zeilen (1540–1610) je z metodo Arhimeda, ki je temu posvetil pomemben del svojega življenja, znal natančno izračunati p s natančnostjo 35 decimalnih mest. Leta 1873 je W. Shanks po petnajstih letih dela prejel vrednost p s 707 znaki, vendar je pozneje postalo jasno, da so v njegovih izračunih prišle napake, ki izhajajo iz 528. znaka. Leta 1958 je računalnik IBM v 70 sekundah izračunal 707 znakov števila p in z nadaljnjimi izračuni v 100 minutah prejel 10.000 znakov. Glej tudi RAČUNALNIK; ŠTEVILO PI. Pozitivna cela števila. Osnova naših idej o številih so intuitivni pojmi množic, ujemanje med množicami in neskončno zaporedje razločljivih znakov ali zvokov. Znano zaporedje znakov 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... ni nič drugega kot neskončno zaporedje razločljivih znakov in neskončno zaporedje razločljivih zvokov (ali besed) ) "ena", "dva", "tri", "štiri", "pet", "šest", "sedem", "osem", "devet", "deset", "enajst", "dvanajst",. .. ustreza določenim znakom. Vsako množico, katere vse elemente lahko postavimo v medsebojno korespondenco z elementi nekega začetnega segmenta našega neskončnega zaporedja znakov, imenujemo končni niz. V tem primeru zadnji znak segmenta kaže število elementov v naboru. Na primer, nabor predmetov, ki jih lahko postavimo v korespondenco ena na ena z začetnim segmentom 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, je končni niz, ki vsebuje 8 ("osem") elementov. Simbol 8 označuje "število" predmetov v prvotnem nizu. Ta številka je simbol ali oznaka, pripisana temu nizu. Enaka nalepka je pripisana vsem tistim in samo tistim naborom, ki jih je mogoče vnesti medsebojno dopisovanje s tem nizom. Nedvoumna opredelitev nalepke za kateri koli končni niz se imenuje "ponovno računanje" elementov določenega niza, same nalepke pa imenujemo pozitivna ali cela pozitivna števila (glej tudi ŠTEVILO; NASTAVI TEORIJO). Naj bosta A in B dva končna niza, ki nimata skupnih elementov, in A vsebujeta n elemente, B pa m elementov. Potem je množica S, sestavljena iz vseh elementov sklopov A in B, skupaj, končni niz, ki vsebuje, recimo, elemente s. Na primer, če je A sestavljen iz elementov (a, b, c), je množica B sestavljena iz elementov (x, y), potem je množica S \u003d A + B in je sestavljena iz elementov (a, b, c, x, y). Število s imenujemo vsota števil n in m in ga zapišemo takole: s \u003d n + m. V tem zapisu sta številki n in m imenovani izrazi, operacija iskanja vsote se imenuje seštevanje. Simbol delovanja "+" se bere kot "plus". Množica P, sestavljena iz vseh urejenih parov, v katerih je prvi element izbran iz množice A, drugi pa iz množice B, je končni niz, ki vsebuje, recimo, p elemente. Če je na primer A \u003d (a, b, c), B \u003d (x, y), potem je P \u003d A′B \u003d ((a, x), (a, y), (b, x), (b, y), (c, x), (c, y)). Število p imenujemo zmnožek števil a in b in ga zapišemo takole: p \u003d a * b ali p \u003d a * b. Številki a in b v izdelku imenujemo faktorja, operacijo iskanja izdelka imenujemo množenje. Simbol operacije ґ se glasi kot "pomnoženo z". Iz teh opredelitev izhaja naslednje temeljne zakonitosti seštevanja in množenja celih števil: - zakon spremenljivosti seštevanja: a + b \u003d b + a; - zakon asociativnosti seštevanja: a + (b + c) \u003d (a + b) + c; - zakon komutativnosti množenja: a * b \u003d b * a; - zakon asociativnosti množenja: a * (b * c) \u003d (a * b) * c; - zakon distribucije: a ′ (b + c) \u003d (a * b) + (a * c). Če sta a in b dve pozitivni celi številki in če je pozitivno celo število c tako, da je a \u003d b + c, potem rečemo, da je a večja od b (piše se takole: a\u003e b) ali da je b manjši od ( piše se takole: bb ali a
- Aritmetika (dr. Grško ἀριθμητική; iz ἀριθμός - število) je veja matematike, ki preučuje števila, njihova razmerja in lastnosti. Predmet aritmetike je koncept števila pri razvoju idej o njem (naravna, cela in racionalna, realna, kompleksna števila) in njegovih lastnostih. V aritmetiki se upoštevajo metode meritev, računanja (seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje) in računske metode. Preučevanje lastnosti posameznih celih števil se ukvarja z višjo aritmetiko ali teorijo števil. Teoretična aritmetika posveča pozornost definiciji in analizi koncepta števila, formalna aritmetika pa deluje na logičnih konstrukcijah predikatov in aksiomov. Aritmetika je najstarejša in ena izmed osnovnih matematičnih ved; je tesno povezan z algebro, geometrijo in teorijo števil.
Razlog za aritmetiko je bila praktična potreba po računu in izračuni, povezani z nalogami računovodstva pri centralizaciji kmetijstva. Znanost se je razvijala skupaj s kompleksnostjo nalog, ki jih je treba rešiti. Velik prispevek k razvoju aritmetike so dali grški matematiki, zlasti pitagorejski filozofi, ki so s številkami poskušali razumeti in opisati vse zakone sveta.
V srednjem veku je bila aritmetika uvrščena po neoplatonistih med tako imenovane sedem prostih umetnosti. Glavna področja praktične uporabe aritmetike so bila trgovina, navigacija, gradbeništvo. V tem pogledu so še posebej pridobili približni izračuni iracionalnih števil, ki so potrebni predvsem za geometrijske konstrukcije. Še posebej hitro se je aritmetika razvila v Indiji in islamskih državah, od koder so najnovejši dosežki matematične misli prodrli v zahodno Evropo; Rusija se je seznanila z matematičnim znanjem "Grkov in Latincev".
S prihodom modernega časa so navigacijska astronomija, mehanika in zapleteni komercialni izračuni postavili nove zahteve računalniški tehniki in dali zagon nadaljnjemu razvoju aritmetike. Napier je v začetku 17. stoletja izumil logaritme, nato pa je Fermat izbral teorijo števil kot samostojen odsek aritmetike. Do konca stoletja se je oblikovala ideja o iracionalnem številu kot zaporedju racionalnih približkov, v naslednjem stoletju pa so po zaslugi del Lamberta, Eulerja, Gaussa aritmetika vključevala operacije s kompleksnimi količinami in pridobila sodoben videz.
Kasnejšo zgodovino aritmetike je zaznamoval kritičen pregled njenih temeljev, poskusi s svojo dedno utemeljitvijo. Teoretične utemeljitve pojma števil so povezane predvsem s strogo opredelitvijo naravnega števila in Peanovimi aksiomi, oblikovanimi leta 1889. Doslednost formalne konstrukcije aritmetike je leta 1936 pokazal Genzen.
Osnove aritmetike so bile že dolgo in se jim vedno posvečale v osnovni šoli.
