Aksiomi realnih števil. Preučevanje aksiomov teorije celih števil. Sistem celih števil

Podani sistem aksiomov teorije celih števil ni neodvisen, kot je navedeno v vaji 3.1.4.

1. izrek. Aksiomatska teorija celih števil je dosledna.

Dokaz. Dokazovali bomo konsistentnost aksiomatske teorije celih števil, ki temelji na predpostavki, da je aksiomatska teorija naravnih števil konsistentna. Da bi to naredili, bomo zgradili model, na katerem so izpolnjeni vsi aksiomi naše teorije.

Najprej zgradimo prstan. Razmislite o kompletu

n´ n = {(a, b)ï a, bÎ n}.

a, b) naravna števila. S takim parom bomo razumeli razliko naravnih števil a–b. Toda dokler obstoj sistema celih števil, v katerem obstaja takšna razlika, ni dokazan, nimamo pravice uporabljati takšne oznake. Hkrati nam takšno razumevanje daje možnost, da nastavimo lastnosti parov, kot jih potrebujemo.

Vemo, da so lahko različne razlike naravnih števil enake istemu celemu številu. V skladu s tem se predstavimo na snemanju n´ n razmerje enakosti:

(a, b) = (c, d) Û a + d = b + c.

Lahko vidimo, da je ta relacija refleksivna, simetrična in tranzitivna. Zato je ekvivalenčno razmerje in ima pravico, da se imenuje enakost. Faktorska množica množic n´ n Z. Njegove elemente bomo imenovali cela števila. Predstavljajo ekvivalenčne razrede na množici parov. Razred, ki vsebuje par
(a, b), označimo z [ a, b].

Z a, b] kaj pa razlika a–b

[a, b] + [c, d] = [a+c, b+d];

[a, b] × [ c, d] = [ac+bd, ad+bc].

Upoštevati je treba, da strogo gledano uporaba operacijskih simbolov tukaj ni povsem pravilna. Isti simbol + označuje seštevanje naravnih števil in parov. Ker pa je vedno jasno, v katerem nizu se izvaja določena operacija, tukaj ne bomo uvajali ločenih zapisov za te operacije.

Preveriti je treba pravilnost definicij teh operacij, in sicer, da rezultati niso odvisni od izbire elementov. a in b, ki določa par [ a, b]. Res, naj

[a, b] = [a 1 , b 1 ], [s, d] = [z 1 , d 1 ].

To pomeni, da a+b 1 = b+a 1 , c + d 1 =d + z 1. Če seštejemo te enakosti, dobimo

a+b 1 + c + d 1 = b+a 1 +d + z 1 Þ [ a + b, c + d] = [a 1 +z 1 , b 1 + d 1] Þ

Þ [ a, b] + [c, d] = [a 1 , b 1 ] + [c 1 , d 1 ].

Podobno ugotavljamo pravilnost definicije množenja. Ampak tukaj morate najprej preveriti, da [ a, b] × [ c, d] = [a 1 , b 1 ] × [ c, d].

Zdaj bi morali preveriti, ali je nastala algebra obroč, torej aksiomi (Z1) – (Z6).

Preverimo na primer komutativnost seštevanja, torej aksiom (Z2). Imamo

[c, d] + [a, b] = = [a+c, b+d] = [a, b] + [c, d].

Komutativnost seštevanja za cela števila izhaja iz komutativnosti seštevanja naravnih števil, ki velja za že znano.

Na enak način preverimo aksiome (Z1), (Z5), (Z6).

Vlogo ničle igra par. Označimo ga z 0 . res,

[a, b] + 0 = [a, b] + = [a+ 1,b+ 1] = [a, b].

Končno, -[ a, b] = [b, a]. res,

[a, b] + [b, a] = [a+b, b+a] = = 0 .

Zdaj pa preverimo aksiome razširitve. Upoštevati je treba, da v konstruiranem obroču ni naravnih števil kot takih, saj so elementi obroča razredi parov naravnih števil. Zato moramo najti subalgebro, ki je izomorfna polkolonu naravnih števil. Tukaj je spet ideja o paru [ a, b] kaj pa razlika a–b. Naravno število n lahko predstavimo kot razliko dveh naravnih, na primer, kot sledi: n = (n+ 1) – 1. Zato nastane predlog za vzpostavitev korespondence f: n ® Z po pravilu

f(n) = [n + 1, 1].

Ta korespondenca je injektivna:

f(n) = f(m) Þ [ n + 1, 1]= [m+ 1, 1] Þ ( n + 1) + 1= 1 + (m+ 1) Þ n = m.

Posledično imamo korespondenco ena proti ena med n in nekaj podmnožic Z, ki jih označujemo z N*. Preverimo, ali shranjuje operacije:

f(n) + f(m) = [n + 1, 1]+ [m + 1, 1] = [n + m+ 2, 2]= [n + m+ 1, 1] = f(n+m);

f(n) × f(m) = [n+ 1, 1] × [ m + 1, 1] = [nm + n + m+ 2, n+m+ 2]= [nm+ 1, 1] = f(nm).

S tem se ugotavlja, da N* oblike v Z glede na operaciji seštevanja in množenja podalgebra izomorfna n

Označimo par [ n+ 1, 1] od N* n, prek n a, b] imamo

[a, b] = [a + 1, 1] + = [a + 1, 1] – [b + 1, 1] = a – b .

To končno utemeljuje idejo o paru [ a, b] kot razlika naravnih števil. Hkrati je bilo ugotovljeno, da vsak element iz konstruiranega sklopa Z je predstavljena kot razlika dveh naravnih. To bo pomagalo preveriti aksiom minimalnosti.

Pustiti M – podnabor Z, ki vsebuje N* in skupaj s poljubnimi elementi A in b njihova razlika a – b. Dokažimo to v tem primeru M =Z. Dejansko kateri koli element iz Z je predstavljena kot razlika dveh naravnih števil, ki po pogoju pripadata M skupaj s svojimi razlikami.

Z

Izrek 2. Aksiomatska teorija celih števil je kategorična.

Dokaz. Dokažimo, da sta katera koli dva modela, na katerih so izpolnjeni vsi aksiomi te teorije, izomorfna.

Naj á Z 1, +, ×, n 1 ñ in á Z 2, +, ×, n 2 ñ – dva modela naše teorije. Strogo gledano morajo biti operacije v njih označene z različnimi simboli. Od te zahteve se bomo oddaljili, da ne bomo zapletli izračunov: vsakič je jasno, o kateri operaciji govorimo. Elementi, ki pripadajo obravnavanim modelom, bodo opremljeni z ustreznimi indeksi 1 ali 2.

Definirali bomo izomorfno preslikavo iz prvega modela v drugega. Ker n 1 in n 2 sta polobroča naravnih števil, potem obstaja izomorfna preslikava j prvega polobroča na drugega. Določimo preslikavo f: Z 1® Z 2. Vsako celo število X 1 Î Z 1 je predstavljena kot razlika dveh naravnih:
X 1 =a 1 – b 1. Verjamemo

f (x 1) = j( a 1) – j( b 1).

Dokažimo to f– izomorfizem. Preslikava je pravilno definirana: če X 1 = pri 1 kje l 1 = c 1 – d 1, torej

a 1 – b 1 = c 1 – d 1 Þ a 1 +d 1 = b 1 + c 1 Þ j( a 1 +d 1) = j( b 1 + c 1) Þ

Þ j( a 1) + j( d 1) = j( b 1) + j( c 1) Þ j( a 1)– j( b 1)= j( c 1) – j( d 1) Þ f(x 1) =f (l 1).

Sledi, da f – preslikava ena proti ena Z 1 in Z 2. Ampak za kogar koli X 2 od Z 2 lahko najdete naravne elemente a 2 in b 2 tako, da X 2 =a 2 – b 2. Ker je j izomorfizem, imajo ti elementi inverzne podobe a 1 in b 1. pomeni, x 2 = j( a 1) – j( b 1) =
= f (a 1 – b 1) in za vsak element iz Z 2 je prototip. Zato dopisovanje f ena proti ena. Preverimo, ali shranjuje operacije.

če X 1 =a 1 – b 1 , l 1 =c 1 –d 1, torej

X 1 + l 1 = (a 1 + c 1) – (b 1 +d 1),

f(X 1 + l 1) = j( a 1 + c 1) – j( b 1 +d 1) =j( a 1)+ j( c 1) – j( b 1) – j( d 1) =

J( a 1) – j( b 1)+ j( c 1)– j( d 1) =f(X 1) + f(l 1).

Podobno se preveri, ali je množenje ohranjeno. S tem se ugotavlja, da f je izomorfizem in izrek je dokazan.

vaje

1. Dokažite, da vsak obroč, ki vključuje sistem naravnih števil, vključuje tudi obroč celih števil.

2. Dokaži, da je vsak minimalno urejen komutativni obroč z identiteto izomorfen obroču celih števil.

3. Dokažite, da vsak urejen obroč z enim in brez ničelnih deliteljev vsebuje samo en podobroč, izomorfen obroču celih števil.

4. Dokažite, da obroč matrik drugega reda nad poljem realnih števil vsebuje neskončno veliko podobročev, izomorfnih obroču celih števil.

Polje racionalnih števil

Definicija in konstrukcija sistema racionalnih števil poteka na enak način kot za sistem celih števil.

Opredelitev. Sistem racionalnih števil je minimalno polje, ki je podaljšek obroča celih števil.

V skladu s to definicijo dobimo naslednjo aksiomatsko konstrukcijo sistema racionalnih števil.

Primarni pogoji:

Q– množica racionalnih števil;

0, 1 – konstante;

+, × – binarne operacije na Q;

Z– podmnožica Q, množica celih števil;

Å, Ä – binarne operacije na Z.

Aksiomi:

JAZ. Aksiomi polja.

(Q1) a+ (b+c) = (a+b) + c.

(Q2) a + b = b + a.

(Q3) (" a) a + 0 = a.

(Q4) (" a)($(–a)) a + (–a) = 0.

(Q5) a× ( b× c) = (a× b) × c.

(Q6) a× b = b× a.

(Q7) A× 1 = A.

(V8) (" a¹ 0)($ a –1) a × a –1 = 1.

(Q9) ( a+b) × c = a × c + b× c.

II. Aksiomi razširitve.

(Q10) b Z, Å, Ä, 0, 1ñ – obroč naravnih števil.

(Q11) Z Í Q.

(V12) (" a,bÎ Z) a + b = aÅ b.

(V13) (" a,bÎ Z) a× b = aÄ b.

III. Aksiom minimalnosti.

(V14) MÍ Q, ZÍ M, ("a, bÎ M)(b ¹ 0 ® a× b–1 O M)Þ M = Q.

številka a× b–1 imenujemo količnik števil A in b, označeno a/b ali .

1. izrek. Vsako racionalno število lahko predstavimo kot količnik dveh celih števil.

Dokaz. Pustiti M– niz racionalnih števil, ki jih lahko predstavimo kot količnik dveh celih števil. če n- cela, torej n = n/1 pripada M, torej, ZÍ M. če a, bÎ M, To a = k/l, b = m/n, Kje k, l, m, nÎ Z. torej a/b=
= (knj) / (lm)Î M. Po aksiomu (Q14) M= Q, in izrek je dokazan.

Izrek 2. Polje racionalnih števil je lahko linearno in strogo urejeno ter na edinstven način. Vrstni red v polju racionalnih števil je Arhimedov in nadaljuje vrstni red v obroču celih števil.

Dokaz. Označimo z Q+ niz števil, ki jih je mogoče predstaviti kot ulomek, kjer kl> 0. Lahko vidimo, da ta pogoj ni odvisen od vrste ulomka, ki predstavlja število.

Preverimo to Q + – pozitivni del igrišča Q. Ker za celo število kl možni so trije primeri: kl = 0, klÎ n, –kl Î n, potem za a = dobimo eno od treh možnosti: a = 0, aО Q+ , –aО Q + . Nadalje, če a = , b = pripadajo Q+, torej kl > 0, mn> 0. Potem je a + b = , in ( kn + ml)ln = kln 2 + mnl 2 > 0. Torej a + bО Q + . Na podoben način lahko preverimo, da je abO Q + . torej Q + – pozitivni del polja Q.

Pustiti Q++ – nekaj pozitivnega dela tega polja. Imamo

l =.l 2 О Q ++ .

Od tod nÍ Q++. Po izreku 2.3.4 pripadajo tudi inverzi naravnih števil Q++. Potem Q + Í Q++. Na podlagi izreka 2.3.6 Q + =Q++. Zato tudi vrstni redi, ki jih določajo pozitivni deli, sovpadajo Q+ in Q ++ .

Ker Z + = nÍ Q+ , potem je vrstni red Q nadaljuje red v Z.

Naj bo zdaj a => 0, b => 0. Ker je vrstni red v obroču Arhimedovih celih števil, potem za pozitivne knj in ml nekaj je naravnega z tako da z× knj>ml. Od tod z a = z> = b. To pomeni, da je vrstni red v polju racionalnih števil Arhimedov.

vaje

1. Dokaži, da je polje racionalnih števil gosto, torej za poljubna racionalna števila a < b obstaja racionalno r tako da a < r < b.

2. Dokaži, da je enačba X 2 = 2 nima rešitev v Q.

3. Dokaži, da niz Qšteven.

Izrek 3. Aksiomatska teorija racionalnih števil je dosledna.

Dokaz. Doslednost aksiomatske teorije racionalnih števil je dokazana na enak način kot za cela števila. Za to je zgrajen model, na katerem so izpolnjeni vsi aksiomi teorije.

Za osnovo vzamemo komplet

Z´ Z* = {(a, b)ï a, bÎ Z, b ¹ 0}.

Elementi tega niza so pari ( a, b) cela števila. S takim parom bomo razumeli količnik celih števil a/b. V skladu s tem nastavimo lastnosti parov.

Predstavimo se na snemanju Z´ Z* razmerje enakosti:

(a, b) = (c, d) Û oglas = bc.

Ugotavljamo, da gre za ekvivalenčno razmerje in ima pravico, da se imenuje enakost. Faktorska množica množic Z´ Z* glede na to relacijo enakosti označimo z Q. Njegove elemente bomo imenovali racionalna števila. Razred, ki vsebuje par ( a, b), označimo z [ a, b].

Predstavimo v konstruiranem nizu Q operacije seštevanja in množenja. To nam bo pomagalo razumeti element [ a, b] kot zasebno a/b. V skladu s tem po definiciji predpostavljamo:

[a, b] + [c, d] = [ad+bc, bd];

[a, b] × [ c, d] = [ac, bd].

Preverimo pravilnost definicij teh operacij, in sicer, da rezultati niso odvisni od izbire elementov. a in b, ki določa par [ a, b]. To naredimo na enak način kot pri dokazu izreka 3.2.1.

Vlogo ničle igra par. Označimo ga z 0 . res,

[a, b] + 0 = [a, b] + = [a× 1+0× b, b× 1] = [a, b].

Nasprotno [ a, b] je par –[ a, b] = [–a, b]. res,

[a, b] + [–a, b]= [ab – ab, bb] = = 0 .

Enota je par = 1 . Nazaj na par [ a, b] - par [ b, a].

Zdaj pa preverimo aksiome razširitve. Vzpostavimo korespondenco
f: Z ® Q po pravilu

f(n) = [n, 1].

Preverimo, ali gre za korespondenco ena proti ena med Z in nekaj podmnožic Q, ki jih označujemo z Z*. Nadalje preverimo, ali ohranja operacije, kar pomeni, da vzpostavlja izomorfizem med Z in pod prstanom Z* V Q. To pomeni, da so bili aksiomi razširitve preverjeni.

Označimo par [ n, 1] od Z*, ki ustreza naravnemu številu n, prek n . Potem za poljuben par [ a, b] imamo

[a, b] = [a, 1] × = [ a, 1] / [b, 1] = a /b .

To upravičuje idejo o paru [ a, b] kot količnik celih števil. Hkrati je bilo ugotovljeno, da vsak element iz konstruiranega sklopa Q je predstavljen kot količnik dveh celih števil. To bo pomagalo preveriti aksiom minimalnosti. Preverjanje poteka kot v izreku 3.2.1.

Tako za zgrajen sistem Q vsi aksiomi teorije celih števil so izpolnjeni, to pomeni, da smo zgradili model te teorije. Izrek je dokazan.

Izrek 4. Aksiomatska teorija racionalnih števil je kategorična.

Dokaz je podoben izreku 3.2.2.

Izrek 5. Arhimedovo urejeno polje je razširitev polja racionalnih števil.

Dokaz je vaja.

Izrek 6. Pustiti F– Arhimedovo urejeno polje, a > b, Kje a, bÎ F. Obstaja racionalno število Î F tako da a > > b.

Dokaz. Pustiti a > b³ 0. Potem a–b> 0 in ( a–b) –1 > 0. Obstaja naravna T tako da m×1 > ( a–b) –1 , od koder m –1 < a–b £ A. Poleg tega obstaja naravni k tako da k× m–1 ³ a. Pustiti k je najmanjše število, za katero ta neenakost velja. Ker k> 1, potem lahko postavimo k = n + 1, n Î n. pri čemer
(n+ 1)× m–1 ³ a, n× m –1 < a. če n× m–1 £ b, To a = b + (a–b) > b+m–1 ³ n× m –1 + m –1 =
= (n+ 1)× m-1 . Protislovje. pomeni, a >n× m –1 > b.

vaje

4. Dokažite, da vsako polje, ki vključuje obroč celih števil, vključuje tudi polje racionalnih števil.

5. Dokaži, da je vsako minimalno urejeno polje izomorfno polju racionalnih števil.

Realne številke

Pri konstruiranju aksiomatske teorije naravnih števil bosta primarna pojma "element" ali "število" (ki ju v kontekstu tega priročnika lahko obravnavamo kot sinonima) in "množica", glavna razmerja: "pripadnost" (element pripada množici), "enakost" in " spremljati«, označeno z / (se glasi »številka, ki sledi številu a«, npr. dvojki sledi trojka, to je 2 / = 3, številu 10 sledi številka 11, to je 10 / = 11 itd.).

Množica naravnih števil(naravna vrsta, pozitivna cela števila) je množica N z uvedeno relacijo »sledi za«, v kateri so izpolnjeni naslednji 4 aksiomi:

A 1. V množici N je element imenovan enota, ki ne sledi nobeni drugi številki.

A 2. Za vsak element naravnega niza je zraven le eden.

A 3. Vsak element iz N sledi največ enemu elementu naravne vrste.

A 4.( Aksiom indukcije) Če podmnožica M množice N vsebuje enega in poleg tega skupaj z vsakim svojim elementom a vsebuje tudi naslednji element a / , potem M sovpada z N.

Iste aksiome lahko na kratko zapišemo z uporabo matematičnih simbolov:

A 1 ( 1  N) ( a  N) a / ≠ 1

A 2 ( a  N) ( a /  N) a = b => a / = b /

A 3 a / = b / => a = b

Če element b sledi elementu a (b = a /), potem bomo rekli, da je element a pred elementom b (ali pred b). Ta sistem aksiomov se imenuje Peanovi aksiomski sistemi(ker ga je v 19. stoletju uvedel italijanski matematik Giuseppe Peano). To je le eden izmed možnih nizov aksiomov, ki nam omogočajo definiranje množice naravnih števil; Obstajajo tudi drugi enakovredni pristopi.

Najenostavnejše lastnosti naravnih števil

Lastnost 1. Če so elementi različni, so različni tudi tisti, ki jim sledijo, tj

a  b => a /  b / .

Dokaz se izvede s protislovjem: predpostavimo, da je a / = b /, potem (z A 3) a = b, kar je v nasprotju s pogoji izreka.

Lastnost 2. Če so elementi različni, so tudi tisti pred njimi (če obstajajo) različni, tj

a /  b / => a  b.

Dokaz: predpostavimo, da je a = b, potem imamo glede na A 2 a / = b /, kar je v nasprotju s pogoji izreka.

Nepremičnina 3. Nobeno naravno število ni enako naslednjemu.

Dokaz: Uvedimo v obravnavo množico M, sestavljeno iz takih naravnih števil, za katera je ta pogoj izpolnjen

M = (a  N | a  a / ).

Dokaz bomo izvedli na podlagi aksioma indukcije. Po definiciji je množica M podmnožica množice naravnih števil. Naprej 1M, saj ne sledi nobenemu naravnemu številu (A 1), kar pomeni, da tudi za a = 1 velja: 1  1 / . Predpostavimo zdaj, da je nekaj a  M. To pomeni, da je a  a / (po definiciji M), od koder je a /  (a /) / (lastnost 1), to je a /  M. Iz vseh zgoraj, na podlagi uporabe aksiomov indukcije lahko sklepamo, da je M = N, to pomeni, da naš izrek velja za vsa naravna števila.

Izrek 4. Za vsako naravno število, ki ni 1, obstaja število pred njim.

Dokaz: Razmislite o nizu

M = (1)  (c N | ( a  N) c = a / ).

Ta M je podmnožica množice naravnih števil, ena očitno pripada tej množici. Drugi del te množice so elementi, za katere obstajajo predhodniki, torej, če a  M, potem tudi a / pripada M (njegov drugi del, saj ima a / predhodnika - to je a). Tako na podlagi aksioma indukcije M sovpada z množico vseh naravnih števil, kar pomeni, da so vsa naravna števila 1 ali tista, za katera obstaja predhodni element. Izrek je dokazan.

Konsistentnost aksiomatske teorije naravnih števil

Kot intuitivni model množice naravnih števil lahko obravnavamo množice črt: številka 1 bo ustrezala |, številka 2 || itd., to pomeni, da bo naravna vrsta videti tako:

|, ||, |||, ||||, ||||| ….

Te vrstice črt lahko služijo kot model naravnih števil, če se "pripisovanje ene vrstice številu" uporablja kot relacija "sledi za". Veljavnost vseh aksiomov je intuitivno očitna. Seveda ta model ni strogo logičen. Če želite zgraditi strog model, morate imeti še eno očitno dosledno aksiomatsko teorijo. Vendar nimamo na voljo takšne teorije, kot je navedeno zgoraj. Tako smo bodisi prisiljeni zanašati se na intuicijo ali pa se ne zatekati k metodi modelov, temveč se sklicevati na dejstvo, da v več kot 6 tisoč letih, v katerih je potekalo preučevanje naravnih števil, ni nobenih nasprotij z ti aksiomi so bili odkriti.

Neodvisnost Peanovega sistema aksiomov

Da bi dokazali neodvisnost prvega aksioma, je dovolj, da zgradimo model, v katerem je aksiom A 1 napačen, aksiomi A 2, A 3, A 4 pa so resnični. Števila 1, 2, 3 obravnavajmo kot primarne izraze (elemente) in definirajmo relacijo »sledenja« z relacijami: 1 / = 2, 2 / = 3, 3 / = 1.

V tem modelu ni elementa, ki ne bi sledil nobenemu drugemu (aksiom 1 je napačen), vsi drugi aksiomi pa so izpolnjeni. Tako prvi aksiom ni odvisen od ostalih.

Drugi aksiom je sestavljen iz dveh delov - obstoja in edinstvenosti. Neodvisnost tega aksioma (v smislu obstoja) je mogoče ponazoriti z modelom dveh števil (1, 2) z relacijo »sledenja«, definirano z eno samo relacijo: 1 / = 2:

Pri dveh manjka naslednji element, vendar so aksiomi A 1, A 3, A 4 resnični.

Neodvisnost tega aksioma v smislu edinstvenosti je ponazorjena z modelom, v katerem bo množica N množica vseh navadnih naravnih števil, pa tudi vseh vrst besed (nizov črk, ki nimajo nujno pomena), sestavljenih up črk latinske abecede (za črko z bo naslednja aa, nato ab ... az, nato ba ...; vsem možnim besedam z dvema črkama, med katerimi je zadnja zz, bo sledila beseda aaa itd.). Uvedemo relacijo »sledenja«, kot je prikazano na sliki:

Tu veljajo tudi aksiomi A 1, A 3, A 4, vendar 1 takoj sledita dva elementa 2 in a. Tako aksiom 2 ni odvisen od drugih.

Neodvisnost aksioma 3 ponazarja model:

v katerem veljajo A 1, A 2, A 4, vendar številka 2 sledi številu 4 in številu 1.

Za dokaz neodvisnosti indukcijskega aksioma uporabimo množico N, ki jo sestavljajo vsa naravna števila, pa tudi tri črke (a, b, c). Naslednjo relacijo v tem modelu lahko uvedemo, kot je prikazano na naslednji sliki:

Pri tem je za naravna števila uporabljena običajna relacija sledenja, za črke pa je relacija sledenja definirana z naslednjimi formulami: a / = b, b / = c, c / = a. Očitno je, da 1 ne sledi nobenemu naravnemu številu, za vsako je naslednje in samo eno, vsak element sledi največ enemu elementu. Če pa obravnavamo množico M, ki je sestavljena iz navadnih naravnih števil, potem bo to podmnožica te množice, ki vsebuje enega, kot tudi naslednji element za vsak element iz M. Vendar ta podmnožica ne bo sovpadala s celotnim modelom pod upoštevanju, saj ne bo vseboval črk a, b, c. Tako aksiom indukcije v tem modelu ni izpolnjen in zato aksiom indukcije ni odvisen od drugih aksiomov.

Aksiomatska teorija naravnih števil je kategorično(popoln v ožjem smislu).

 (n /) =( (n)) / .

Načelo popolne matematične indukcije.

Indukcijski izrek. Naj bo neka izjava P(n) formulirana za vsa naravna števila in naj bo a) P(1) resnična, b) iz dejstva, da je P(k) resnična, sledi, da je resnična tudi P(k /). Potem velja trditev P(n) za vsa naravna števila.

Da bi to dokazali, vpeljimo množico M naravnih števil n (M  N), za katere velja trditev P(n). Uporabimo aksiom A 4, to pomeni, da bomo poskušali dokazati, da:

1. k  M => k /  M.

Če nam to uspe, potem lahko po aksiomu A 4 sklepamo, da je M = N, torej P(n) velja za vsa naravna števila.

1) Po pogoju a) izreka velja P(1), torej 1  M.

2) Če je nekaj k  M, potem (s konstrukcijo M) velja P(k). V skladu s pogojem b) izreka to pomeni resničnost P(k /), kar pomeni k /  M.

Tako je po aksiomu indukcije (A 4) M = N, kar pomeni, da P(n) velja za vsa naravna števila.

Tako nam aksiom indukcije omogoča, da ustvarimo metodo za dokazovanje izrekov "z indukcijo". Ta metoda ima ključno vlogo pri dokazovanju osnovnih aritmetičnih izrekov o naravnih številih. Sestavljen je iz naslednjega:

1) preverja se veljavnost izjaven=1 (indukcijska baza) ,

2) veljavnost te izjave se domneva zan= k, Kjek– poljubno naravno število(induktivna hipoteza) , in ob upoštevanju te predpostavke se ugotovi veljavnost izjave zan= k / (indukcijski korak ).

Dokaz, ki temelji na danem algoritmu, se imenuje dokaz z matematično indukcijo .

Naloge za samostojno reševanje

Št. 1.1. Ugotovite, kateri od naštetih sistemov izpolnjujejo Peanove aksiome (so modeli množice naravnih števil), ugotovite, kateri aksiomi so izpolnjeni in kateri ne.

a) N = (3, 4, 5...), n / = n + 1;

b) N =(n  6, n  n), n / = n + 1;

c) N = (n  – 2, n  Z), n / = n + 1;

d) N = (n  – 2, n  Z), n / = n + 2;

e) liha naravna števila, n / = n +1;

f) liha naravna števila, n / = n +2;

g) Naravna števila z razmerjem n / = n + 2;

h) N = (1, 2, 3), 1 / = 3, 2 / = 3, 3 / = 2;

i) N = (1, 2, 3, 4, 5), 1 / = 2, 2 / = 3, 3 / = 4, 4 / = 5, 5 / = 1;

j) Naravna števila, večkratnika števila 3 z razmerjem n / = n + 3

k) Soda naravna števila z razmerjem n / = n + 2

m) cela števila,
.

Sistem celih števil

Spomnimo se, da se je naravna serija pojavila za seznam predmetov. Če pa želimo izvajati nekaj dejanj s predmeti, bomo potrebovali aritmetične operacije s številkami. Se pravi, če želimo zložiti jabolka ali razdeliti torto, moramo ta dejanja prevesti v jezik številk.

Upoštevajte, da je za uvedbo operacij + in * v jezik naravnih števil potrebno dodati aksiome, ki določajo lastnosti teh operacij. Toda potem je tudi sama množica naravnih števil širijo.

Poglejmo, kako se širi množica naravnih števil. Najenostavnejša operacija, ki je bila ena prvih zahtevanih, je seštevanje. Če želimo definirati operacijo seštevanja, moramo definirati njen inverz – odštevanje. Pravzaprav, če vemo, kaj bo rezultat seštevanja, na primer 5 in 2, potem bi morali biti sposobni rešiti težave, kot so: kaj je treba dodati 4, da dobimo 11. To pomeni, da bodo težave, povezane s seštevanjem, zagotovo zahtevajo sposobnost izvajanja obratnega dejanja - odštevanja. Toda če seštevanje naravnih števil ponovno dobi naravno število, potem odštevanje naravnih števil da rezultat, ki se ne prilega v N. Potrebna so bila nekatera druga števila. Po analogiji z razumljivim odštevanjem manjšega števila od večjega števila je bilo uvedeno pravilo odštevanja večjega števila od manjšega števila - tako so se pojavila negativna cela števila.

Z dopolnitvijo naravne vrste z operacijama + in - pridemo do množice celih števil.

Z=N+operacije(+-)

Sistem racionalnih števil kot jezik aritmetike

Oglejmo si zdaj naslednje najbolj zapleteno dejanje - množenje. V bistvu je to ponavljajoče se dodajanje. In produkt celih števil ostane celo število.

Toda obratna operacija množenju je deljenje. Vendar ne daje vedno najboljših rezultatov. In spet smo pred dilemo - ali sprejeti kot dano, da rezultat deljenja morda "ne obstaja", ali pa priti do števil neke nove vrste. Tako so se pojavila racionalna števila.

Vzemimo sistem celih števil in ga dopolnimo z aksiomi, ki definirajo operaciji množenja in deljenja. Dobimo sistem racionalnih števil.

Q=Z+operacije(*/)

Torej nam jezik racionalnih števil omogoča proizvodnjo vse aritmetične operacije nad številkami. Jezik naravnih števil za to ni bil dovolj.

Dajmo aksiomatsko definicijo sistema racionalnih števil.

Opredelitev. Množica Q se imenuje množica racionalnih števil, njeni elementi pa racionalna števila, če je izpolnjena naslednja množica pogojev, imenovana aksiomatika racionalnih števil:

Aksiomi operacije seštevanja. Za vsak naročen par x,y elementi iz Q določen element x+yОQ, imenovana vsota X in pri. V tem primeru so izpolnjeni naslednji pogoji:

1. (Obstoj ničle) Obstaja element 0 (ničla), tako da za katero koli XÎQ

X+0=0+X=X.

2. Za kateri koli element XО Q obstaja element - XО Q (nasprotno X) tako, da

X+ (-X) = (-X) + X = 0.

3. (Komutativnost) Za katero koli x,yО Q

4. (Asociativnost) Za poljubne x,y,zO Q

x + (y + z) = (x + y) + z

Aksiomi operacije množenja.

Za vsak naročen par x, y elementov iz Q je definiran nek element xyО Q, imenovan izdelek X in u. V tem primeru so izpolnjeni naslednji pogoji:

5. (Obstoj elementa enote) Obstaja element 1 О Q tak, da za katerikoli XО Q

X . 1 = 1. x = x

6. Za kateri koli element XО Q , ( X≠ 0) obstaja inverzni element X-1 ≠0 tako, da

X. x -1 = x -1. x = 1

7. (Asociativnost) Za katero koli x, y, zО Q

X . (l . z) = (x . y) . z

8. (Komutativnost) Za katero koli x, yО Q

Aksiom povezave med seštevanjem in množenjem.

9. (Distributivnost) Za katero koli x, y, zО Q

(x+y) . z = x . z+y . z

Aksiomi reda.

Katera koli dva elementa x, y,О Q vstopite v primerjalno relacijo ≤. V tem primeru so izpolnjeni naslednji pogoji:

10. (X≤pri)L ( pri≤x) ó x=y

11. (X≤y) L ( y≤ z) => x≤z

12. Za kogarkoli x, yО Q ali x< у, либо у < x .

Odnos< называется строгим неравенством,

Relacija = se imenuje enakost elementov iz Q.

Aksiom povezave med seštevanjem in vrstnim redom.

13. Za poljubne x, y, z ОQ, (x £ y) Þ x+z £ y+z

Aksiom povezave med množenjem in vrstnim redom.

14. (0 £ x)Ç(0 £ y) Þ (0 £ x´y)

Arhimedov aksiom kontinuitete.

15. Za vsak a > b > 0 obstajata m О N in n О Q taka, da je m ³ 1, n< b и a= mb+n.

*****************************************

Tako je sistem racionalnih števil jezik aritmetike.

Vendar ta jezik ni dovolj za reševanje praktičnih računalniških problemov.

Aksiomatska metoda v matematiki.

Osnovni koncepti in relacije aksiomatske teorije naravnih vrst. Definicija naravnega števila.

Seštevanje naravnih števil.

Množenje naravnih števil.

Lastnosti množice naravnih števil

Odštevanje in deljenje naravnih števil.

Aksiomatska metoda v matematiki

Pri aksiomatični konstrukciji katere koli matematične teorije se upoštevajo naslednja pravila: določena pravila:

1. Nekateri koncepti teorije so izbrani kot glavni in so sprejeti brez opredelitve.

2. So oblikovane aksiomi, ki so v tej teoriji sprejeti brez dokaza, razkrivajo lastnosti osnovnih pojmov.

3. Podan je vsak koncept teorije, ki ni na seznamu osnovnih definicija, pojasnjuje njegov pomen s pomočjo glavnih in predhodnih pojmov.

4. Vsako trditev teorije, ki ni na seznamu aksiomov, je treba dokazati. Takšni predlogi se imenujejo izreki in jih dokažite na podlagi aksiomov in izrekov pred obravnavanim.

Sistem aksiomov bi moral biti:

a) dosledno: prepričani moramo biti, da s črpanjem vseh možnih zaključkov iz danega sistema aksiomov ne bomo nikoli prišli do protislovja;

b) neodvisen: noben aksiom ne sme biti posledica drugih aksiomov tega sistema.

V) poln, če je v njegovem okviru vedno mogoče dokazati bodisi dano trditev bodisi njeno zanikanje.

Prvo izkušnjo konstrukcije aksiomatske teorije lahko štejemo za predstavitev geometrije Evklida v njegovih "Elementih" (3. stoletje pr. n. št.). Pomemben prispevek k razvoju aksiomatske metode konstrukcije geometrije in algebre je prispeval N.I. Lobačevski in E. Galois. Ob koncu 19. stol. Italijanski matematik Peano je razvil sistem aksiomov za aritmetiko.

Osnovni pojmi in relacije aksiomatske teorije naravnih števil. Definicija naravnega števila.

Kot osnovni (nedefinirani) pojem v določenem sklopu n je izbrana odnos , uporablja pa tudi teoretične koncepte in pravila logike.

Element takoj za elementom A, označujejo A".

Razmerje "neposredno sledenje" izpolnjuje naslednje aksiome:

Peanovi aksiomi:

Aksiom 1. V izobilju n neposredno obstaja element ne naslednji ne za noben element tega sklopa. Pokličimo ga enota in označena s simbolom 1 .

Aksiom 2. Za vsak element A od n obstaja samo en element A" , takoj za tem A .

Aksiom 3. Za vsak element A od n obstaja največ en element, ki mu takoj sledi A .

Aksiom 4. Katera koli podmnožica M kompleti n sovpada z n , če ima naslednje lastnosti: 1) 1 vsebovana v M ; 2) iz dejstva, da A vsebovana v M , sledi, da A" vsebovana v M.

Definicija 1. Kup n , za katerega elemente je vzpostavljena relacija "neposredno slediti", ki izpolnjuje aksiome 1-4, se imenuje množica naravnih števil, njeni elementi pa so naravna števila.

Ta definicija ne pove ničesar o naravi elementov množice n . Torej je lahko karkoli. Izbira v kompletu n nek specifičen niz, na katerem je podana specifična relacija »neposredno«, ki izpolnjuje aksiome 1-4, dobimo model tega sistema aksiom.

Standardni model Peanovega aksiomskega sistema je niz števil, ki je nastal v procesu zgodovinskega razvoja družbe: 1,2,3,4,... Naravni niz se začne s številom 1 (aksiom 1); vsakemu naravnemu številu takoj sledi eno naravno število (aksiom 2); vsako naravno število takoj sledi največ enemu naravnemu številu (aksiom 3); začenši s številom 1 in po vrsti do naravnih števil, ki si sledijo, dobimo celotno množico teh števil (aksiom 4).

Tako smo začeli aksiomatsko konstrukcijo sistema naravnih števil z izbiro osnovnega odnos »neposredno sledenje«. in aksiomi, ki opisujejo njegove lastnosti. Nadaljnja gradnja teorije vključuje upoštevanje znanih lastnosti naravnih števil in operacij z njimi. Razkriti morajo biti v definicijah in izrekih, tj. so izpeljani povsem logično iz razmerja "neposredno sledijo" in aksiomi 1-4.

Prvi koncept, ki ga bomo predstavili po definiciji naravnega števila, je odnos "takoj pred" , ki se pogosto uporablja pri obravnavi lastnosti naravnih nizov.

Definicija 2.Če naravno število b neposredno sledi naravno število A, to številko A klical neposredno pred tem(ali prejšnji) številka b .

Razmerje »predhodi« ima številne lastnosti.

Izrek 1. Enota nima predhodnega naravnega števila.

Izrek 2. Vsako naravno število A, razen 1, ima eno samo predhodno številko b, tako da b"= A.

Aksiomatske konstrukcije teorije naravnih števil ne obravnavajo ne v osnovnih ne v srednjih šolah. Toda tiste lastnosti relacije "neposredno sledijo", ki se odražajo v Peanovih aksiomih, so predmet študija v začetnem tečaju matematike. Že v prvem razredu, ko obravnavamo številke prve desetice, postane jasno, kako je mogoče dobiti vsako številko. Uporabljata se pojma "sledi" in "predhodi". Vsako novo število deluje kot nadaljevanje proučenega segmenta naravnega niza števil. Učenci so prepričani, da vsakemu številu sledi naslednje, poleg tega pa le eno, da je naravni niz števil neskončen.

Seštevanje naravnih števil

V skladu s pravili za gradnjo aksiomatske teorije je treba definicijo seštevanja naravnih števil uvesti samo z relacijo "neposredno sledi", in koncepti "naravno število" in "prejšnja številka".

Naj pred definicijo seštevanja navedemo naslednje premisleke. Če na poljubno naravno število A dodamo 1, dobimo število A", takoj za tem A, tj. A+ 1= a" in tako dobimo pravilo za dodajanje 1 poljubnemu naravnemu številu. Toda kako dodati številki A naravno število b, drugačen od 1? Uporabimo naslednje dejstvo: če vemo, da je 2 + 3 = 5, potem je vsota 2 + 4 = 6, ki takoj sledi številu 5. To se zgodi, ker je v vsoti 2 + 4 drugi člen število, ki sledi takoj število 3. Torej je 2 + 4 = 2 + 3 " =(2+3)". Na splošno imamo , .

Ta dejstva tvorijo osnovo za definicijo seštevanja naravnih števil v aksiomatski teoriji.

Definicija 3. Seštevanje naravnih števil je algebraična operacija, ki ima naslednje lastnosti:

številka a + b klical vsota števil A in b , in same številke A in b - pogoji.

OMSK DRŽAVNA PEDAGOŠKA UNIVERZA
PODRUŽNICA Državne pedagoške univerze Omsk v TAR
BBK Izdano po sklepu uredništva in založbe
22ya73 sektor podružnice Omske državne pedagoške univerze v Tari
Ch67

Priporočila so namenjena študentom pedagoških univerz, ki študirajo disciplino "Algebra in teorija števil". V okviru te discipline se v skladu z državnim standardom v 6. semestru preučuje oddelek "Numerični sistemi". Ta priporočila predstavljajo gradivo o aksiomatski konstrukciji sistemov naravnih števil (Peanov sistem aksiomov), sistemov celih števil in racionalnih števil. Ta aksiomatika nam omogoča, da bolje razumemo, kaj je število, ki je eden od osnovnih konceptov šolskega tečaja matematike. Za boljšo asimilacijo gradiva so podane težave o ustreznih temah. Na koncu priporočil so odgovori, navodila in rešitve problemov.

Recenzent: doktor pedagoških znanosti, prof. Dalinger V.A.

(c) Mozhan N.N.

Podpisan za objavo - 22.10.98

Časopisni papir
Naklada 100 izvodov.
Način tiskanja deluje
Omska državna pedagoška univerza, 644099, Omsk, nab. Tuhačevski, 14
podružnica, 644500, Tara, ul. Shkolnaya, 69

1. NARAVNA ŠTEVILA.

Pri aksiomatski konstrukciji sistema naravnih števil bomo predvidevali, da so pojem množice, relacije, funkcije in drugi množično-teoretični pojmi znani.

1.1 Peanov aksiomski sistem in najenostavnejše posledice.

Izhodiščni koncepti v Peanovi aksiomatski teoriji so množica N (ki jo bomo imenovali množica naravnih števil), posebno število nič (0) iz nje in binarna relacija "sledi" na N, označena s S(a) (oz. a()).
AKSIOMI:
1. ((a(N) a"(0 (Obstaja naravno število 0, ki ne sledi nobenemu številu.)
2. a=b (a"=b" (Za vsakim naravnim številom a sledi naravno število a" in samo eno.)
3. a"=b" (a=b (Vsako naravno število sledi največ enemu številu.)
4. (aksiom indukcije) Če množica M(N in M ​​izpolnjuje dva pogoja:
A) 0(M;
B) ((a(N) a(M ® a"(M, potem je M=N.
V funkcionalni terminologiji to pomeni, da je preslikava S:N®N injektivna. Iz aksioma 1 sledi, da preslikava S:N®N ni surjektivna. Aksiom 4 je osnova za dokazovanje trditev »z metodo matematične indukcije«.
Opozorimo na nekatere lastnosti naravnih števil, ki neposredno izhajajo iz aksiomov.
Lastnost 1. Vsako naravno število a(0 sledi enemu in samo enemu številu.
Dokaz. Naj M označi množico naravnih števil, ki vsebujejo nič, in vsa tista naravna števila, od katerih vsako sledi nekemu številu. Dovolj je pokazati, da je M=N, edinstvenost izhaja iz aksioma 3. Uporabimo indukcijski aksiom 4:
A) 0(M - s konstrukcijo množice M;
B) če a(M, potem a"(M, ker a" sledi a.
To pomeni, po aksiomu 4, M=N.
Lastnost 2. Če je a(b, potem a"(b).
Lastnost je dokazana s protislovjem z uporabo aksioma 3. Naslednja lastnost 3 je dokazana na podoben način z uporabo aksioma 2.
Lastnost 3. Če je a"(b", potem a(b.
Lastnost 4. ((a(N)a(a". (Nobeno naravno število ne sledi sebi.)
Dokaz. Naj bo M=(x (x(N, x(x")). Dovolj je pokazati, da je M=N. Ker je po aksiomu 1 ((x(N)x"(0, potem še posebej 0"(0 in tako je izpolnjen pogoj A) aksioma 4 0(M -). Če je x(M, to je x(x", potem je po lastnosti 2 x"((x")", kar pomeni, da je pogoj B) x ( M ® x"(M. Toda potem je po aksiomu 4 M=N.
Naj bo ( neka lastnost naravnih števil. Dejstvo, da ima število a lastnost (, bomo zapisali ((a).
Naloga 1.1.1. Dokažite, da je aksiom 4 iz definicije množice naravnih števil enakovreden naslednji izjavi: za katero koli lastnost (, if ((0) in, then.
Naloga 1.1.2. Na nizu treh elementov A=(a,b,c) je unarna operacija ( definirana takole: a(=c, b(=c, c(=a). Kateri od Peanovih aksiomov so resnični na nizu A z operacijo (?
Naloga 1.1.3. Naj bo A=(a) enostranska množica, a(=a. Kateri od Peanovih aksiomov so resnični na množici A z operacijo (?
Naloga 1.1.4. Na množici N definiramo unarno operacijo ob predpostavki, da je za katero koli. Ugotovite, ali bodo izjave Peanovih aksiomov, oblikovane v smislu operacije, resnične v N.
Problem 1.1.5. Naj bo. Dokažite, da je A zaprt glede na operacijo (. Preverite resničnost Peanovih aksiomov na množici A z operacijo (.
Problem 1.1.6. Naj bo,. Definirajmo unarno operacijo na A, nastavitev. Kateri od Peanovih aksiomov so resnični na množici A z operacijo?

1.2. Doslednost in kategoričnost Peanovega sistema aksiomov.

Sistem aksiomov imenujemo konsistenten, če iz njegovih aksiomov ni mogoče dokazati izreka T in njegove negacije (T. Jasno je, da protislovni sistemi aksiomov v matematiki nimajo pomena, ker je v takšni teoriji mogoče dokazati karkoli in tako teorija ne odraža zakonov resničnega sveta. Zato je doslednost sistema aksiomov absolutno nujna zahteva.
Če izrek T in njegove negacije (T) ne najdemo v aksiomski teoriji, to ne pomeni, da je sistem aksiomov konsistenten; takšne teorije se lahko pojavijo v prihodnosti. Zato je treba konsistentnost sistema aksiomov dokazati. Najpogostejši način za dokazovanje konsistentnosti je metoda interpretacije, ki temelji na dejstvu, da če obstaja interpretacija sistema aksiomov v očitno konsistentni teoriji S, potem je sistem aksiomov sam konsistenten. Dejansko, če bi bil sistem aksiomov nedosleden, potem bi bila izreka T in (T) v njej dokazljiva, vendar bi potem ti izreki veljali in v njeni razlagi, to pa je v nasprotju s konsistentnostjo teorije S. Metoda interpretacije omogoča dokazovanje le relativne konsistentnosti teorije.
Za Peanov sistem aksiomov je mogoče konstruirati veliko različnih interpretacij. Teorija množic je še posebej bogata z interpretacijami. Naj navedemo eno od teh interpretacij. Množice (, ((), ((()), (((())),... bomo imeli za naravna števila; ničlo bomo imeli za posebno število (. Relacija “sledi” bo razlagati na naslednji način: množici M sledi množica (M), katere edini element je sam M. Tako je ("=((), (()"=((()), itd. Izvedljivost aksiome 1–4 je mogoče preprosto preveriti. Vendar pa je učinkovitost takšne razlage majhna: pokaže, da je Peanov sistem aksiomov konsistenten, če je teorija množic konsistentna. Toda dokazovanje konsistentnosti sistema aksiomov teorije množic je še težje naloga Najbolj prepričljiva razlaga sistema aksiomov Peano je intuitivna aritmetika, katere doslednost potrjujejo stoletja izkušenj njenega razvoja.
Dosleden sistem aksiomov se imenuje neodvisen, če vsakega aksioma tega sistema ni mogoče dokazati kot izrek na podlagi drugih aksiomov. Dokazati, da aksiom (ni odvisen od drugih aksiomov sistema
(1, (2, ..., (n, ((1)
dovolj je dokazati, da je sistem aksiomov konsistenten
(1, (2, ..., (n, (((2)
Dejansko, če (je bilo dokazano na podlagi preostalih aksiomov sistema (1), potem bi bil sistem (2) protisloven, saj v njem izrek (in aksiom ((.
Torej, da bi dokazali neodvisnost aksioma (od drugih aksiomov sistema (1), je dovolj, da zgradimo interpretacijo sistema aksiomov (2).
Neodvisnost sistema aksiomov je neobvezna zahteva. Včasih, da bi se izognili dokazovanju "težkih" izrekov, sestavi namenoma odvečen (odvisen) sistem aksiomov. Vendar pa "dodatni" aksiomi otežujejo preučevanje vloge aksiomov v teoriji, pa tudi notranjih logičnih povezav med različnimi deli teorije. Poleg tega je konstruiranje interpretacij za odvisne sisteme aksiomov veliko težje kot za neodvisne; Navsezadnje moramo preveriti veljavnost "dodatnih" aksiomov. Zaradi teh razlogov je bilo vprašanje odvisnosti med aksiomi že od antičnih časov najpomembnejše. Nekoč so poskusi dokazati, da je postulat 5 v Evklidovih aksiomih »Skozi točko A poteka največ ena premica, vzporedna s premico («, izrek (to je odvisen od preostalih aksiomov) in je pripeljal do odkritja Lobačevskega geometrija.
Konsistenten sistem imenujemo deduktivno popoln, če je katero koli trditev A dane teorije mogoče dokazati ali ovreči, to je bodisi A ali (A je izrek te teorije. Če obstaja trditev, ki je ni mogoče ne dokazati ne ovreči, potem se sistem aksiomov imenuje deduktivno nepopoln. Deduktivna popolnost tudi ni obvezna zahteva. Na primer, sistem aksiomov teorije skupin, teorije obročev, teorije polja je nepopoln; saj obstajajo tako končne kot neskončne skupine, obroči, polja , potem je v teh teorijah nemogoče dokazati ali ovreči trditev: "Skupina (obroč, polje) vsebuje končno število elementov."
Opozoriti je treba, da v mnogih aksiomatskih teorijah (namreč v neformaliziranih) nabora izjav ni mogoče šteti za natančno definiranega, zato je nemogoče dokazati deduktivno popolnost sistema aksiomov takšne teorije. Drug občutek popolnosti se imenuje kategoričnost. Sistem aksiomov imenujemo kategoričen, če sta kateri koli dve njegovi interpretaciji izomorfni, to pomeni, da obstaja taka ujemanje ena proti ena med množicami začetnih predmetov ene in druge interpretacije, ki se ohrani pri vseh začetnih odnosih. Kategoričnost je tudi neobvezen pogoj. Na primer, sistem aksiomov teorije skupin ni kategoričen. To izhaja iz dejstva, da končna skupina ne more biti izomorfna neskončni skupini. Pri aksiomatiziranju teorije katerega koli numeričnega sistema pa je kategoričnost obvezna; na primer, kategorična narava sistema aksiomov, ki definirajo naravna števila, pomeni, da do izomorfizma obstaja samo en naravni niz.
Dokažimo kategorično naravo sistema Peanovih aksiomov. Naj sta (N1, s1, 01) in (N2, s2, 02) poljubni dve interpretaciji sistema Peanovih aksiomov. Navesti je treba bijektivno (ena proti ena) preslikavo f:N1®N2, za katero so izpolnjeni naslednji pogoji:
a) f(s1(x)=s2(f(x)) za kateri koli x iz N1;
b) f(01)=02
Če sta obe unarni operaciji s1 in s2 označeni z istim praštevilom, bo pogoj a) prepisan kot
a) f(x()=f(x)(.
Definirajmo binarno relacijo f na množici N1(N2) z naslednjimi pogoji:
1) 01f02;
2) če je xfy, potem x(fy(.
Prepričajmo se, da je ta relacija preslikava iz N1 v N2, to je za vsak x iz N1
(((y(N2) xfy (1)
Z M1 označimo množico vseh elementov x iz N1, za katere je izpolnjen pogoj (1). Potem
A) 01(M1 zaradi 1);
B) x(M1 ® x((M1 na podlagi 2) in lastnosti 1 odstavka 1.
Od tod po aksiomu 4 sklepamo, da je M1=N1, kar pomeni, da je relacija f preslikava N1 v N2. Poleg tega iz 1) sledi, da je f(01)=02. Pogoj 2) je zapisan v obliki: če je f(x)=y, potem je f(x()=y(. Iz tega sledi, da je f(x()=f(x)(). Tako je za prikaz f pogoj a ) in b) sta izpolnjeni.Dokazati moramo še, da je preslikava f bijektivna.
Označimo z M2 množico tistih elementov iz N2, od katerih je vsak podoba enega in samo enega elementa iz N1 pod preslikavo f.
Ker je f(01)=02, je 02 slika. Še več, če x(N2 in x(01), potem po lastnosti 1 postavke 1 x sledi nekemu elementu c iz N1 in potem f(x)=f(c()=f(c)((02. To pomeni 02 je slika edinega elementa 01, to je 02(M2.
Naj bo nadalje y(M2 in y=f(x), kjer je x edina inverzna slika elementa y. Potem po pogoju a) y(=f(x)(=f(x()), tj. y(je podoba elementa x (. Naj bo c katera koli inverzna podoba elementa y(, to je f(c)=y(. Ker je y((02), potem je c(01 in za c predhodni element, ki ga označimo z d. Potem je y(=f( c)=f(d()=f(d)(), od koder je po aksiomu 3 y=f(d). Ker pa je y(M2, potem d= x, od koder je c=d(=x(. Dokazali smo, da če je y slika edinstvenega elementa, potem je y(slika edinstvenega elementa, to je y(M2 ® y((M2. Oba pogoji aksioma 4 so izpolnjeni in zato M2=N2, kar zaključuje dokaz kategoričnosti.
Vsa predgrška matematika je bila empirične narave. Posamezni elementi teorije so se utopili v množici empiričnih metod za reševanje praktičnih problemov. Grki so to empirično gradivo podvrgli logični obdelavi in ​​skušali najti povezave med različnimi empiričnimi informacijami. V tem smislu sta imela Pitagora in njegova šola (5. stoletje pr. n. št.) veliko vlogo v geometriji. Ideje aksiomatske metode so bile jasno slišane v delih Aristotela (4. stoletje pr. n. št.). Praktično izvedbo teh idej pa je izvedel Evklid v svojih Elementih (3. stoletje pr. n. št.).
Trenutno lahko ločimo tri oblike aksiomatskih teorij.
1). Smiselna aksiomatika, ki je bila edina do sredine prejšnjega stoletja.
2). Polformalna aksiomatika, ki je nastala v zadnji četrtini prejšnjega stoletja.
3). Formalna (ali formalizirana) aksiomatika, katere datum rojstva se lahko šteje za leto 1904, ko je D. Hilbert objavil svoj slavni program o osnovnih principih formalizirane matematike.
Vsaka nova oblika ne zanika prejšnje, ampak je njen razvoj in razjasnitev, tako da je stopnja strogosti vsake nove oblike višja od prejšnje.
Za intenzivno aksiomatiko je značilno, da imajo začetni koncepti intuitivno jasen pomen, še preden so aksiomi oblikovani. Tako v Evklidovih Elementih točka pomeni točno to, kar intuitivno razumemo pod tem pojmom. V tem primeru sta uporabljena navaden jezik in navadna intuitivna logika, ki sega vse do Aristotela.
Polformalne aksiomatske teorije uporabljajo tudi navaden jezik in intuitivno logiko. Vendar pa za razliko od smiselne aksiomatike izvirni koncepti nimajo nobenega intuitivnega pomena; zanje so značilni le aksiomi. To poveča strogost, saj intuicija do neke mere moti strogost. Poleg tega se pridobi splošnost, ker bo vsak izrek, dokazan v taki teoriji, veljaven v kateri koli interpretaciji. Primer polformalne aksiomatske teorije je Hilbertova teorija, predstavljena v njegovi knjigi "Osnove geometrije" (1899). Primeri polformalnih teorij so tudi teorija obročev in številne druge teorije, predstavljene v tečaju algebre.
Primer formalizirane teorije je propozicijski račun, ki se preučuje pri predmetu matematične logike. Za razliko od vsebinske in polformalne aksiomatike formalizirana teorija uporablja poseben simbolni jezik. Podana je namreč abeceda teorije, to je določen niz simbolov, ki igrajo enako vlogo kot črke v običajnem jeziku. Vsako končno zaporedje znakov se imenuje izraz ali beseda. Med izrazi je razločen razred formul in naveden je natančen kriterij, ki omogoča, da vsak izraz ugotovi, ali je formula. Formule igrajo enako vlogo kot stavki v običajnem jeziku. Nekatere formule so razglašene za aksiome. Poleg tega so določena pravila logičnega sklepanja; Vsako tako pravilo pomeni, da določena formula neposredno izhaja iz določenega niza formul. Dokaz samega izreka je končna veriga formul, v kateri je zadnja formula izrek sam in vsaka formula je bodisi aksiom ali predhodno dokazan izrek ali neposredno sledi iz prejšnjih formul verige v skladu z eno od pravila sklepanja. Tako ni nobenega dvoma o strogosti dokazov: ali je določena veriga dokaz ali pa ni; dvomljivih dokazov ni. V zvezi s tem se formalizirana aksiomatika uporablja pri posebej subtilnih vprašanjih utemeljitve matematičnih teorij, ko lahko navadna intuitivna logika vodi do napačnih zaključkov, ki se pojavljajo predvsem zaradi netočnosti in dvoumnosti našega običajnega jezika.
Ker lahko v formalizirani teoriji o vsakem izrazu rečemo, ali je formula, potem se lahko nabor stavkov formalizirane teorije šteje za dokončnega. V zvezi s tem se načeloma lahko postavi vprašanje dokazovanja deduktivne popolnosti, pa tudi dokazovanja konsistentnosti, ne da bi se zatekli k interpretaciji. V številnih preprostih primerih je to mogoče doseči. Na primer, doslednost propozicijskega računa je dokazana brez interpretacije.
V neformaliziranih teorijah veliko propozicij ni jasno definiranih, zato je nesmiselno zastavljati vprašanje dokazovanja konsistentnosti, ne da bi se zatekli k interpretacijam. Enako velja za vprašanje dokazovanja deduktivne popolnosti. Če pa naletimo na predlog neformalizirane teorije, ki je ni mogoče niti dokazati niti ovreči, potem je teorija očitno deduktivno nepopolna.
Aksiomatska metoda se že dolgo uporablja ne le v matematiki, ampak tudi v fiziki. Prve poskuse v tej smeri je naredil Aristotel, vendar je aksiomatska metoda dobila pravo uporabo v fiziki šele v Newtonovih delih o mehaniki.
V povezavi s hitrim procesom matematizacije znanosti poteka tudi proces aksiomatizacije. Trenutno se aksiomatska metoda uporablja celo na nekaterih področjih biologije, na primer v genetiki.
Kljub temu pa možnosti aksiomatske metode niso neomejene.
Najprej ugotavljamo, da se niti v formaliziranih teorijah ni mogoče popolnoma izogniti intuiciji. Sama formalizirana teorija brez interpretacij nima pomena. Zato se pojavljajo številna vprašanja o razmerju med formalizirano teorijo in njeno interpretacijo. Poleg tega se, tako kot v formaliziranih teorijah, postavljajo vprašanja o doslednosti, neodvisnosti in popolnosti sistema aksiomov. Celota vseh tovrstnih vprašanj sestavlja vsebino druge teorije, ki se imenuje metateorija formalizirane teorije. Za razliko od formalizirane teorije je jezik metateorije običajen vsakdanji jezik, logično sklepanje pa poteka po pravilih običajne intuitivne logike. Tako se intuicija, popolnoma izrinjena iz formalizirane teorije, ponovno pojavi v njeni metateoriji.
Vendar to ni glavna slabost aksiomatske metode. Omenili smo že program D. Hilberta, ki je postavil osnovo za formalizirano aksiomatsko metodo. Hilbertova glavna ideja je bila izraziti klasično matematiko kot formalizirano aksiomatsko teorijo in nato dokazati njeno konsistentnost. Vendar se je ta program v svojih glavnih točkah izkazal za utopičnega. Leta 1931 je avstrijski matematik K. Gödel dokazal svoje znamenite izreke, iz katerih je sledilo, da sta oba glavna problema, ki ju je postavil Hilbert, nemogoča. S svojo metodo kodiranja mu je uspelo izraziti nekatere resnične predpostavke iz metateorije z uporabo formul formalne aritmetike in dokazati, da teh formul ni mogoče izpeljati v formalni aritmetiki. Tako se je formalizirana aritmetika izkazala za deduktivno nepopolno. Iz Gödelovih rezultatov je sledilo, da če je ta nedokazljiva formula vključena v število aksiomov, potem obstaja še ena nedokazljiva formula, ki izraža neko resnično trditev. Vse to je pomenilo, da ne samo vse matematike, ampak tudi aritmetike - njenega najpreprostejšega dela - ni bilo mogoče popolnoma formalizirati. Zlasti Gödel je sestavil formulo, ki ustreza stavku "Formalizirana aritmetika je konsistentna" in pokazal, da tudi te formule ni mogoče izpeljati. To dejstvo pomeni, da doslednosti formalizirane aritmetike ni mogoče dokazati znotraj same aritmetike. Seveda je možno zgraditi močnejšo formalizirano teorijo in uporabiti njena sredstva za dokazovanje konsistentnosti formalizirane aritmetike, vendar se potem pojavi težje vprašanje o konsistentnosti te nove teorije.
Gödelovi rezultati kažejo na omejitve aksiomatske metode. In vendar v teoriji znanja ni prav nobene podlage za pesimistične sklepe, da obstajajo nespoznavne resnice. Dejstvo, da obstajajo aritmetične resnice, ki jih s formalno aritmetiko ni mogoče dokazati, ne pomeni, da obstajajo nespoznavne resnice, in ne pomeni, da je človeško razmišljanje omejeno. To le pomeni, da možnosti našega razmišljanja niso omejene na povsem formalizirane postopke in da mora človeštvo šele odkriti in izumiti nove dokazne principe.

1.3.Seštevanje naravnih števil

Operacije seštevanja in množenja naravnih števil niso postulirane s sistemom Peanovih aksiomov; te operacije bomo definirali mi.
Opredelitev. Seštevanje naravnih števil je binarna algebraična operacija + na množici N, ki ima naslednje lastnosti:
1s. ((a(N) a+0=a;
2c. ((a,b(N) a+b(=(a+b)(.
Postavlja se vprašanje: ali obstaja takšna operacija in če je tako, ali je edina?
Izrek. Obstaja samo en seštevek naravnih števil.
Dokaz. Binarna algebraična operacija na množici N je preslikava (:N(N®N. Potrebno je dokazati, da obstaja edinstvena preslikava (:N(N®N) z lastnostmi: 1) ((x(N) ( (x,0)=x ; 2) ((x,y(N) ((x,y()=((x,y)(). Če za vsako naravno število x dokažemo obstoj preslikave fx:N®N z lastnostmi 1() fx(0 )=x; 2() fx(y()=fx(y)(), nato funkcija ((x,y), definirana z enakostjo ((x ,y) (fx(y), bodo izpolnjevali pogoja 1) in 2).
Na množici N definiramo binarno relacijo fx s pogoji:
a) 0fxx;
b) če je yfxz, potem je y(fxz(.
Prepričajmo se, da je ta relacija preslikava iz N v N, to je za vsak y iz N
(((z(N) yfxz (1)
Z M označimo množico naravnih števil y, za katere je izpolnjen pogoj (1). Nato iz pogoja a) sledi, da je 0(M, in iz pogoja b) in lastnosti 1 klavzule 1 sledi, da če y(M, potem y((M). Zato na podlagi aksioma 4 sklepamo, da je M = N , kar pomeni, da je relacija fx preslikava iz N v N. Za to preslikavo so izpolnjeni naslednji pogoji:
1() fx(0)=x - zaradi a);
2() fx((y)=fx(y() - na podlagi b).
Tako je obstoj dodatka dokazan.
Dokažimo edinstvenost. Naj sta + in ( poljubni dve binarni algebrski operaciji na množici N z lastnostma 1c in 2c. Dokazati moramo, da
((x,y(N) x+y=x(y
Fiksirajmo poljubno število x in s S označimo množico tistih naravnih števil y, za katera velja enakost
x+y=x(y (2)
izvedel. Ker je po 1c x+0=x in x(0=x, potem
A) 0 (S
Naj bo zdaj y(S, to je enakost (2) izpolnjena. Ker x+y(=(x+y)(, x(y(=(x(y)(in x+y=x(y), potem je po aksiomu 2 x+y(=x(y(), to pomeni, da je pogoj izpolnjen
B) y(S ® y((S.
Zato je po aksiomu 4 S=N, kar zaključuje dokaz izreka.
Dokažimo nekaj lastnosti seštevanja.
1. Število 0 je nevtralni element seštevanja, to je a+0=0+a=a za vsako naravno število a.
Dokaz. Iz pogoja 1c izhaja enakost a+0=a. Dokažimo enakost 0+a=a.
Označimo z M množico vseh števil, za katera velja. Očitno je 0+0=0 in zato 0(M. Naj bo a(M, to je 0+a=a. Potem je 0+a(=(0+a)(=a(in zato a((M) To pomeni M=N, kar je bilo treba dokazati.
Nato potrebujemo lemo.
Lema. a(+b=(a+b)(.
Dokaz. Naj bo M množica vseh naravnih števil b, za katera velja enakost a(+b=(a+b) za katero koli vrednost a. Potem:
A) 0(M, ker a(+0=(a+0)(;
B) b(M ® b((M. Dejansko imamo iz dejstva, da b(M in 2c)
a(+b(=(a(+b)(=((a+b)()(=(a+b())(,
to je b((M. To pomeni M=N, kar je bilo treba dokazati.
2. Seštevanje naravnih števil je komutativno.
Dokaz. Naj bo M=(a(a(N(((b(N)a+b=b+a). Dovolj je dokazati, da je M=N. Imamo:
A) 0(M - zaradi lastnosti 1.
B) a(M ® a((M. Z uporabo leme in dejstva, da je a(M), dobimo:
a(+b=(a+b)(=(b+a)(=b+a(.
To pomeni a((M in po aksiomu 4 M=N.
3. Seštevanje je asociativno.
Dokaz. Pustiti
M=(c(c(N(((a,b(N)(a+b)+c=a+(b+c))
Potrebno je dokazati, da je M=N. Ker (a+b)+0=a+b in a+(b+0)=a+b, potem je 0(M. Naj c(M, to je (a+b)+c=a+(b+c) Potem
(a+b)+c(=[(a+b)+c](=a+(b+c)(=a+(b+c().
To pomeni c((M in po aksiomu 4 M=N.
4. a+1=a(, kjer je 1=0(.
Dokaz. a+1=a+0(=(a+0)(=a(.
5. Če je b(0, potem ((a(N)a+b(a.
Dokaz. Naj bo M=(a(a(N(a+b(a). Ker je 0+b=b(0, potem 0(M). Nadalje, če a(M, to je a+b(a), potem z lastnost 2 element 1 (a+b)((a(ali a(+b(a(. Torej a((M in M=N.)
6. Če je b(0, potem ((a(N)a+b(0.
Dokaz. Če je a=0, potem je 0+b=b(0, če pa a(0 in a=c(, potem je a+b=c(+b=(c+b)(0). Torej, v vsakem primeru a + b(0.
7. (Zakon trihotomije dodajanja). Za kateri koli naravni števili a in b velja eno in samo eno od treh razmerij:
1) a=b;
2) b=a+u, kjer je u(0;
3) a=b+v, kjer je v(0.
Dokaz. Fiksirajmo poljubno število a in z M označimo množico vseh naravnih števil b, za katera velja vsaj eno od razmerij 1), 2), 3). Potrebno je dokazati, da je M=N. Naj bo b=0. Potem, če je a=0, potem je relacija 1 resnična), in če je a(0, potem je relacija 3 resnična), ker je a=0+a. Torej 0 (M.
Predpostavimo zdaj, da je b(M, to je za izbrani a izpolnjena ena od relacij 1), 2), 3). Če je a=b, potem b(=a(=a+1, to je za b(drži razmerje 2). Če je b=a+u, potem b(=a+u(, to je za b( relacija 2). Če je a=b+v, sta možna dva primera: v=1 in v(1. Če je v=1, potem je a=b+v=b", to je za b" razmerje 1 zadovoljen). Če je isti v(1, potem je v=c", kjer je c(0 in nato a=b+v=b+c"=(b+c)"=b"+c, kjer je c(0, to je za b" izpolnjena relacija 3). Torej, dokazali smo, da b(M®b"(M, in torej M=N, to je za vsak a in b vsaj eno od relacij 1), 2), 3 je izpolnjeno). Prepričajmo se, da nobena od njiju ne more biti izpolnjena hkrati. Dejansko: če bi bili razmerji 1) in 2) izpolnjeni, bi imeli b=b+u, kjer je u(0, kar je v nasprotju z lastnostjo 5. Nezmožnost izpolnitve 1) in 3). Končno, če bi bili razmerji 2) in 3) izpolnjeni, potem bi imeli a=(a+u)+v = a+ +(u+v), in to je nemogoče zaradi lastnosti 5 in 6. Lastnost 7 je popolnoma dokazana.
Naloga 1.3.1. Naj velja 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9)). Dokaži, da je 3+5=8, 2+4=6.

1.4. MNOŽENJE NARAVNIH ŠTEVIL.

Definicija 1. Množenje naravnih števil je taka binarna operacija (na množici N, za katero so izpolnjeni naslednji pogoji:
1у. ((x(N) x(0=0;
2u. ((x,y(N) x(y"=x(y+x.
Spet se postavlja vprašanje, ali takšna operacija obstaja in če obstaja, ali je edina?
Izrek. Za množenje naravnih števil obstaja samo ena operacija.
Dokaz se izvede skoraj enako kot pri seštevanju. Najti je treba preslikavo (:N(N®N), ki izpolnjuje pogoje
1) ((x(N) ((x,0)=0;
2) ((x,y(N) ((x,y")= ((x,y)+x.
Poljubno določimo število x. Če za vsak x(N dokažemo obstoj preslikave fx: N®N z lastnostmi
1") fx(0)=0;
2") ((y(N) fx(y")=fx(y)+x,
potem je funkcija ((x,y), definirana z enakostjo ((x,y)=fx(y) in bo izpolnjevala pogoja 1) in 2).
Torej se dokaz izreka zmanjša na dokazovanje obstoja in edinstvenosti za vsak x funkcije fx(y) z lastnostma 1") in 2"). Vzpostavimo korespondenco na množici N po naslednjem pravilu:
a) število nič je primerljivo s številom 0,
b) če je število y povezano s številom c, potem število y (poveži število c+x.
Prepričajmo se, da ima s tako primerjavo vsako število y enolično sliko: to bo pomenilo, da je korespondenca preslikava N v N. Označimo z M množico vseh naravnih števil y, ki imajo enolično sliko. Iz pogoja a) in aksioma 1 sledi, da je 0(M. Naj bo y(M. Nato iz pogoja b) in aksioma 2 sledi, da je y((M. To pomeni M=N, tj. naša korespondenca je preslikava N v N ; označimo z fx. Potem je fx(0)=0 zaradi pogoja a) in fx(y()=fx(y)+x - zaradi pogoja b).
Torej je obstoj operacije množenja dokazan. Naj sta zdaj (in () katerikoli dve binarni operaciji na množici N z lastnostma 1у in 2у. Ostaja še dokazati, da ((x,y(N) x(y=x(y). Fiksirajmo poljubno število x in naj
S=(y?y(N (x(y=x(y))
Ker je na podlagi 1y x(0=0 in x(0=0), potem je 0(S. Naj bo y(S, to je x(y=x(y). Potem
x(y(=x(y+x=x(y+x=x(y()
in zato y((S. To pomeni S=N, kar zaključuje dokaz izreka.
Upoštevajte nekaj lastnosti množenja.
1. Nevtralni element glede na množenje je število 1=0(, to je ((a(N) a(1=1(a=a.
Dokaz. a(1=a(0(=a(0+a=0+a=a. Tako je enakost a(1=a) dokazana. Ostaja še dokazati enakost 1(a=a. Naj velja M=(a ?a(N (1(a=a). Ker je 1(0=0, potem je 0(M. Naj bo a(M, to je 1(a=a). Potem je 1(a(=1(a+1=) a+1= a(, in zato a((M. To pomeni, po aksiomu 4, M=N, kar je bilo treba dokazati.
2. Za množenje velja desni distribucijski zakon, tj
((a,b,c(N) (a+b)c=ac+bc.
Dokaz. Naj bo M=(c (c(N (((a,b(N) (a+b)c=ac+bc). Ker (a+b)0=0 in a(0+b(0=0 , potem 0(M. Če c(M, to je (a+b)c=ac+bc, potem (a + b)(c(= (a + b)c +(a + b) = ac + bc + a+b=(ac+a)+(bc+b)=ac(+bc(. Torej, c((M in M=N.
3. Množenje naravnih števil je komutativno, to je ((a,b(N) ab=ba.
Dokaz. Dokažimo najprej za vsak b(N enakost 0(b=b(0=0. Enakost b(0=0) izhaja iz pogoja 1y. Naj bo M=(b (b(N (0(b=0). Ker je 0( 0=0, potem je 0(M. Če je b(M, to je 0(b=0, potem je 0(b(=0(b+0=0) in torej b((M. Torej M =N, to pomeni, da je bila enakost 0(b=b(0) dokazana za vse b(N. Naj bo nadalje S=(a (a(N (ab=ba)). Ker je 0(b=b(0, potem 0(S. Naj bo a (S, to je ab=ba. Potem je a(b=(a+1)b=ab+b=ba+b=ba(, to je a((S. To pomeni S =N, kar je bilo treba dokazati.
4. Množenje je distributivno glede na seštevanje. Ta lastnost izhaja iz lastnosti 3 in 4.
5. Množenje je asociativno, to je ((a,b,c(N) (ab)c=a(bc).
Dokaz izvedemo, tako kot pri seštevanju, z indukcijo na c.
6. Če je a(b=0, potem je a=0 ali b=0, to pomeni, da N nima ničelnih deliteljev.
Dokaz. Naj bo b(0 in b=c(. Če je ab=0, potem je ac(=ac+a=0), kar na podlagi lastnosti 6 klavzule 3 pomeni, da je a=0.
Naloga 1.4.1. Naj velja 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9)). Dokažite, da je 2(4=8, 3(3=9.
Naj bodo n, a1, a2,...,an naravna števila. Vsota števil a1, a2,...,an je število, ki ga označujemo in določamo s pogoji; za poljubno naravno število k
Zmnožek števil a1, a2,...,an je naravno število, ki ga označujemo in določamo s pogoji: ; za poljubno naravno število k
Če, potem je številka označena z.
Naloga 1.4.2. Dokaži to
A) ;
b) ;
V) ;
G) ;
d) ;
e) ;
in) ;
h) ;
In) .

1.5. UREJENOST NARAVNEGA ŠTEVILNEGA SISTEMA.

Relacija »sledi« je antirefleksivna in antisimetrična, ni pa tranzitivna in zato ni relacija reda. Določili bomo relacijo reda, ki temelji na seštevanju naravnih števil.
Definicija 1. a
Definicija 2. a(b (((x(N) b=a+x.
Prepričajmo se, da je relacija Opozorimo na nekatere lastnosti naravnih števil, povezanih z relacijami enakosti in neenakosti.
1.
1.1 a=b (a+c=b+c.
1.2 a=b (ac=bc.
1.3a
1.4a
1,5 a+c=b+c (a=b.
1.6 ac=bc (c(0 (a=b.
1.7 a+c
1.8ac
1.9a
1.10a
Dokaz. Lastnosti 1.1 in 1.2 izhajata iz edinstvenosti operacij seštevanja in množenja. Če
2. ((a(N)a
Dokaz. Ker je a(=a+1, potem a
3. Najmanjši element v N je 0, najmanjši element v N\(0) pa je število 1.
Dokaz. Ker je ((a(N) a=0+a, potem je 0(a in je zato 0 najmanjši element v N. Nadalje, če je x(N\(0), potem je x=y(, y(N) ali x=y+1. Iz tega sledi, da je ((x(N\(0)) 1(x, to je 1 najmanjši element v N\(0).
4. Relacija ((a,b(N)((n(N)b(0 (nb > a.
Dokaz. Očitno je, da za vsako naravno število a obstaja naravno število n tako, da
a Takšno število je na primer n=a(. Nadalje, če b(N\(0), potem po lastnosti 3
1(b(2)
Iz (1) in (2) na podlagi lastnosti 1.10 in 1.4 dobimo aa.

1.6. POPOLNA UREJENOST SISTEMA NARAVNIH ŠTEVIL.

Definicija 1. Če je vsaka neprazna podmnožica urejene množice (M; Prepričajmo se, da je skupni vrstni red linearen. Naj sta a in b poljubna dva elementa iz popolnoma urejene množice (M; Lema . 1)a
Dokaz.
1) a((b (b=a(+k, k(N (b=a+k(, k((N\(0) (a)
2) a(b (b=a+k, k(N (b(=a+k(, k((N\(0) (a)
Izrek 1. Naravni vrstni red na množici naravnih števil je skupni vrstni red.
Dokaz. Naj bo M katera koli neprazna množica naravnih števil in S množica njenih spodnjih meja v N, to je S=(x (x(N (((m(M) x(m)). Iz lastnosti 3 klavzule 5 sledi, da je 0(S. Če bi bil izpolnjen tudi drugi pogoj aksioma 4 n(S (n((S)), potem bi imeli S=N. Pravzaprav S(N; in sicer, če a( M, potem a((S zaradi neenakosti a
Izrek 2. Vsaka zgoraj omejena neprazna množica naravnih števil ima največji element.
Dokaz. Naj bo M katera koli neprazna množica naravnih števil, omejena zgoraj, S pa množica njenih zgornjih meja, to je S=(x(x(N (((m(M) m(x)). Naj x0 označi najmanjši element v S. Potem za vsa števila m iz M velja neenakost m(x0) in stroga neenakost m
Naloga 1.6.1. Dokaži to
A) ;
b) ;
V) .
Problem 1.6.2. Naj bo ( neka lastnost naravnih števil in k poljubno naravno število. Dokažite to
a) vsako naravno število ima lastnost (, čim ima 0 to lastnost za vsak n (0
b) vsako naravno število, ki je večje ali enako k, ima lastnost (, takoj ko ima k to lastnost in za vsak n (k(n) iz predpostavke, da ima n lastnost (, sledi, da je število n+1 ima tudi to lastnost ;
c) vsako naravno število, ki je večje ali enako k, ima lastnost (, takoj ko ima k to lastnost in za vsak n (n>k) ob predpostavki, da so vsa števila t definirana s pogojem k(t

1.7. NAČELO INDUKCIJE.

S popolno urejenostjo sistema naravnih števil je mogoče dokazati naslednji izrek, na katerem temelji ena izmed dokaznih metod, imenovana metoda matematične indukcije.
Izrek (princip indukcije). Vse trditve iz zaporedja A1, A2, ..., An, ... so resnične, če so izpolnjeni naslednji pogoji:
1) trditev A1 drži;
2) če trditve Ak veljajo za k
Dokaz. Predpostavimo nasprotno: pogoja 1) in 2) sta izpolnjena, vendar izrek ni resničen, to pomeni, da množica M=(m(m(N\(0), Am je napačna)) ni prazna). izreka 1 klavzule 6 obstaja najmanjši element, ki ga označimo z n. Ker je glede na pogoj 1) A1 resničen in An napačen, potem je 1(n in torej 1
Pri dokazovanju z indukcijo lahko ločimo dve stopnji. Na prvi stopnji, ki jo imenujemo indukcijska baza, se preveri izvedljivost pogoja 1). Na drugi stopnji, imenovani indukcijski korak, se dokaže izvedljivost pogoja 2). V tem primeru najpogosteje obstajajo primeri, ko za dokazovanje resničnosti izjav An ni treba uporabiti resničnosti izjav Ak za k
Primer. Dokaži neenakost Put =Sk. Zahtevano je dokazati resničnost izjav Ak=(Sk Zaporedje izjav iz izreka 1 lahko dobimo iz predikata A(n), definiranega na množici N ali na njeni podmnožici Nk=(x (x(N) , x(k), kjer je k poljubno fiksno naravno število.
Zlasti, če je k=1, potem je N1=N\(0), oštevilčenje izjav pa se lahko izvede z enakostmi A1=A(1), A2=A(2), ..., An=A (n), ... Če je k(1, potem lahko zaporedje stavkov dobimo z enakostmi A1=A(k), A2=A(k+1), ..., An=A(k+n -1), .. V skladu s takim zapisom lahko izrek 1 formuliramo še v drugi obliki.
Izrek 2. Predikat A(m) je identično resničen na množici Nk, če so izpolnjeni naslednji pogoji:
1) trditev A(k) je resnična;
2) če trditve A(m) veljajo za m
Naloga 1.7.1. Dokaži, da naslednje enačbe nimajo rešitev v domeni naravnih števil:
a) x+y=1;
b) 3x=2;
c) x2=2;
d) 3x+2=4;
e) x2+y2=6;
f) 2x+1=2y.
Naloga 1.7.2. Dokažite z uporabo načela matematične indukcije:
a) (n3+(n+1)3+(n+2)3)(9;
b) ;
V) ;
G) ;
d) ;
e) .

1.8. ODŠTEVANJE IN DELJENJE NARAVNIH ŠTEVIL.

Definicija 1. Razlika naravnih števil a in b je naravno število x tako, da je b+x=a. Razliko med naravnima številoma a in b označujemo z a-b, operacijo iskanja razlike pa imenujemo odštevanje. Odštevanje ni algebraična operacija. To izhaja iz naslednjega izreka.
Izrek 1. Razlika a-b obstaja, če in samo če je b(a. Če razlika obstaja, potem je samo ena.
Dokaz. Če je b(a, potem po definiciji relacije (obstaja naravno število x, tako da je b+x=a. Toda to tudi pomeni, da je x=a-b. Nasprotno, če razlika a-b obstaja, potem po definiciji 1 obstaja a naravno število x, da je b+x=a. Toda to tudi pomeni, da je b(a.
Dokažimo edinstvenost razlike a-b. Naj bo a-b=x in a-b=y. Potem v skladu z definicijo 1 b+x=a, b+y=a. Zato je b+x=b+y in torej x=y.
Definicija 2. Kvocient dveh naravnih števil a in b(0) je naravno število c tako, da je a=bc. Operacija iskanja količnika se imenuje deljenje. Vprašanje obstoja količnika je rešeno v teoriji deljivost.
Izrek 2. Če količnik obstaja, potem je samo eden.
Dokaz. Naj bo =x in =y. Potem je po definiciji 2 a=bx in a=by. Zato je bx=by in torej x=y.
Upoštevajte, da sta operaciji odštevanja in deljenja definirani skoraj dobesedno na enak način kot v šolskih učbenikih. To pomeni, da je v odstavkih 1-7 na podlagi Peanovih aksiomov postavljena trdna teoretična podlaga za aritmetiko naravnih števil, njena nadaljnja predstavitev pa se dosledno izvaja v šolskem tečaju matematike in v univerzitetnem predmetu "Algebra in teorija števil" .
Naloga 1.8.1. Dokažite veljavnost naslednjih trditev ob predpostavki, da obstajajo vse razlike, ki se pojavljajo v njihovih formulacijah:
a) (a-b)+c=(a+c)-b;
b) (a-b)(c=a(c-b(c;
c) (a+b)-(c+b)=a-c;
d) a-(b+c)=(a-b)-c;
e) (a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d);
e) (a-b)-(c-d)=a-c;
g) (a+b)-(b-c)=a+c;
h) (a-b)-(c-d)=(a+d)-(b+c);
i) a-(b-c)=(a+c)-b;
j) (a-b)-(c+d)=(a-c)-(b+d);
k) (a-b)(c+d)=(ac+ad)-(bc+bd);
m) (a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc);
m) (a-b)2=(a2+b2)-2ab;
o) a2-b2=(a-b)(a+b).
Problem 1.8.2. Dokažite veljavnost naslednjih trditev ob predpostavki, da obstajajo vsi količniki, ki se pojavljajo v njihovih formulacijah.
A) ; b) ; V) ; G) ; d) ; e) ; in) ; h) ; In) ; Za) ; l) ; m) ; n) ; O) ; P) ; R) .
Problem 1.8.3. Dokažite, da naslednje enačbe ne morejo imeti dveh različnih naravnih rešitev: a) ax2+bx=c (a,b,c(N); b) x2=ax+b (a,b(N); c) 2x=ax2 + b (a,b(N).
Problem 1.8.4. Reši naslednje enačbe v naravnih številih:
a) x2+(x+1)2=(x+2)2; b) x+y=x(y; c) ; d) x2+2y2=12; e) x2-y2=3; e) x+y+z=x(y(z.
Problem 1.8.5. Dokaži, da naslednje enačbe nimajo rešitev v polju naravnih števil: a) x2-y2=14; b) x-y=xy; V) ; G) ; e) x2=2x+1; e) x2=2y2.
Problem 1.8.6. Rešite neenačbe v naravnih številih: a) ; b) ; V) ; d) x+y2 Naloga 1.8.7. Dokaži, da na polju naravnih števil veljajo razmerja: a) 2ab(a2+b2; b) ab+bc+ac(a2+b2+c2; c) c2=a2+b2 (a2+b2+c2 1.9 KVANTITATIVNI POMEN NARAVNA ŠTEVILA.
V praksi se naravna števila uporabljajo predvsem za štetje elementov, za to pa je treba ugotoviti kvantitativni pomen naravnih števil v Peanovi teoriji.
Definicija 1. Množico (x (x(N, 1(x(n)) imenujemo segment naravne vrste in jo označimo z (1;n(.
Definicija 2. Končna množica je vsaka množica, ki je enaka določenemu segmentu naravne vrste, kot tudi prazna množica. Množica, ki ni končna, se imenuje neskončna.
Izrek 1. Končna množica A ni enakovredna nobeni lastni podmnožici (to je podmnožici, ki je drugačna od A).
Dokaz. Če je A=(, potem je izrek resničen, ker prazna množica nima pravih podmnožic. Naj sta A((in A enako močna (1,n((A((1,n())). Dokazali bomo izrek z indukcijo na n. Če je n= 1, to je A((1,1(, potem je edina pravilna podmnožica množice A prazna množica. Jasno je, da je A(in zato za n=1 izrek velja. Predpostavimo, da je izrek resničen za n=m, to pomeni, da vse končne množice, ki so enakovredne segmentu (1,m(), nimajo enakovrednih pravih podmnožic. Naj bo A katera koli množica, ki je enaka segmentu (1,m +1(in (:(1,m+1(®A - neka bijektivna preslikava segmenta (1,m+1(v A. Če je ((k) označeno z ak), je k=1,2,.. .,m+1, potem lahko množico A zapišemo kot A=(a1, a2, ... , am, am+1). Naša naloga je dokazati, da A nima enakovrednih pravih podmnožic. Predpostavimo nasprotno; naj bo B(A, B(A, B(A in f: A®B) bijektiven preslikav. Izberemo lahko bijektivne preslikave, kot je ta (in f tako, da je am+1(B in f(am+1)=am+ 1.
Razmislite o nizih A1=A\(am+1) in B1=B\(am+1). Ker je f(am+1)=am+1, bo funkcija f izvedla bijektivno preslikavo množice A1 na množico B1. Tako bo množica A1 enaka lastni podmnožici B1. Toda ker je A1((1,m(), je to v nasprotju s predpostavko indukcije.
Posledica 1. Množica naravnih števil je neskončna.
Dokaz. Iz Peanovih aksiomov sledi, da je preslikava S:N®N\(0), S(x)=x( bijektivna. To pomeni, da je N enak lastni podmnožici N\(0) in na podlagi izreka 1, ni končna.
Posledica 2. Vsaka neprazna končna množica A je enaka enemu in samo enemu segmentu naravne vrste.
Dokaz. Naj bo A((1,m(in A((1,n(). Potem (1,m(((1,n(), iz česar po izreku 1 sledi, da je m=n. Dejansko, če predpostavimo, da je m
Posledica 2 nam omogoča, da uvedemo definicijo.
Definicija 3. Če je A((1,n(, potem naravno število n imenujemo število elementov množice A, proces vzpostavljanja korespondence ena proti ena med množicama A in (1,n( imenujemo štetje elementov množice A. Naravno je upoštevati število elementov prazne množice številka nič.
O velikem pomenu štetja v praktičnem življenju je odveč govoriti.
Upoštevajte, da bi bilo ob poznavanju kvantitativnega pomena naravnega števila mogoče operacijo množenja definirati s seštevanjem, in sicer:
.
Namenoma nismo ubrali te poti, da bi pokazali, da sama aritmetika ne potrebuje kvantitativnega smisla: kvantitativni smisel naravnega števila je potreben le v aplikacijah aritmetike.

1.10. SISTEM NARAVNIH ŠTEVIL KOT DISKRETNA POPOLNOMA UREJENA MNOŽICA.

Pokazali smo, da je množica naravnih števil povsem urejena glede na naravni red. Poleg tega ((a(N) a
1. za vsako število a(N obstaja sosednje, ki mu sledi v relaciji 2. za vsako število a(N\(0) obstaja sosednje, ki mu sledi v relaciji A popolnoma urejena množica (A;() z lastnostma 1 in 2 bomo imenovali diskretno popolnoma urejeno množico. Izkazalo se je, da je popolna urejenost z lastnostma 1 in 2 značilna lastnost sistema naravnih števil. Res, naj bo A=(A;() vsaka popolnoma urejena množica z lastnostma 1 in 2. Definirajmo na množici A relacijo "sledi" takole: a(=b, če je b sosednji element, ki sledi a v relaciji (. Jasno je, da je najmanjši element množice A ne sledi nobenemu elementu in je zato Peanov aksiom 1 izpolnjen.
Ker je relacija (linearen red, potem za vsak element a obstaja edinstven element, ki mu sledi in največ en predhodni sosednji element. To implicira veljavnost aksiomov 2 in 3. Naj bo zdaj M katera koli podmnožica množice A za ki so izpolnjeni naslednji pogoji:
1) a0(M, kjer je a0 najmanjši element v A;
2) a(M (a((M.
Dokažimo, da je M=N. Predpostavimo nasprotno, to je A\M((. Označimo z b najmanjši element v A\M. Ker je a0(M, potem b(a0) in zato obstaja element c, tako da c( =b Ker c
Tako smo dokazali možnost druge definicije sistema naravnih števil.
Opredelitev. Sistem naravnih števil je vsaka dobro urejena množica, na kateri so izpolnjeni naslednji pogoji:
1. kateremu koli elementu sledi sosednji element;
2. za kateri koli element, razen najmanjšega, je pred njim sosednji element.
Obstajajo tudi drugi pristopi k definiranju sistema naravnih števil, na katere se tu ne osredotočamo.

2. CELA IN RACIONALNA ŠTEVILA.

2.1. DEFINICIJA IN LASTNOSTI SISTEMA CELIH ŠTEVIL.
Znano je, da je množica celih števil v njihovem intuitivnem razumevanju obroč glede na seštevanje in množenje, ta obroč pa vsebuje vsa naravna števila. Jasno je tudi, da v obroču celih števil ni pravega podobroča, ki bi vseboval vsa naravna števila. Izkazalo se je, da lahko te lastnosti uporabimo kot osnovo za strogo definicijo sistema celih števil. V odstavkih 2.2 in 2.3 bo dokazana pravilnost te definicije.
Definicije 1. Sistem celih števil je algebraični sistem, za katerega so izpolnjeni naslednji pogoji:
1. Algebraični sistem je kolobar;
2. Množica naravnih števil je vsebovana v, seštevanje in množenje v obroču na podmnožici pa sovpadata s seštevanjem in množenjem naravnih števil, tj.
3. (pogoj minimalnosti). Z je vključitvena minimalna množica z lastnostma 1 in 2. Z drugimi besedami, če podobroč obroča vsebuje vsa naravna števila, potem je Z0=Z.
Definiciji 1 lahko damo razširjen aksiomatski značaj. Začetni koncepti te aksiomatske teorije bodo:
1) Množica Z, katere elemente imenujemo cela števila.
2) Posebno celo število, ki se imenuje nič in je označeno z 0.
3) Ternarna razmerja + in (.
Kot običajno N označuje množico naravnih števil s seštevanjem (in množenjem (). V skladu z definicijo 1 je sistem celih števil algebraični sistem (Z; +, (, N), za katerega veljajo naslednji aksiomi:
1. (Aksiomi obroča.)
1.1.
Ta aksiom pomeni, da je + binarna algebraična operacija na množici Z.
1.2. ((a,b,c(Z) (a+b)+c=a+(b+c).
1.3. ((a,b(Z) a+b=b+a.
1.4. ((a(Z) a+0=a, to pomeni, da je število 0 nevtralen element glede na seštevanje.
1.5. ((a(Z)((a((Z) a+a(=0, to pomeni, da za vsako celo število obstaja nasprotno število a(.
1.6. ((a,b(Z)((! d(Z) a(b=d.
Ta aksiom pomeni, da je množenje binarna algebraična operacija na množici Z.
1.7. ((a,b,c(Z) (a(b)(c=a((b(c).
1.8. ((a,b,c(Z) (a+b)(c=a(c+b(c, c((a+b)=c(a+c(b.)
2. (Aksiomi, ki povezujejo obroč Z s sistemom naravnih števil.)
2.1. N(Z.
2.2. ((a,b(N) a+b=a(b.
2.3. ((a,b(N) a(b=a(b.
3. (Aksiom minimalnosti.)
Če je Z0 podobroč obroča Z in N(Z0, potem je Z0=Z.
Opozorimo na nekatere lastnosti sistema celih števil.
1. Vsako celo število lahko predstavimo kot razliko dveh naravnih števil. Ta predstavitev je dvoumna, z z=a-b in z=c-d, kjer je a,b,c,d(N, če in samo če a+d=b+c.
Dokaz. Označimo z Z0 množico vseh celih števil, od katerih je vsako mogoče predstaviti kot razlika dveh naravnih števil. Očitno je ((a(N) a=a-0 in zato N(Z0.
Nato naj bo x,y(Z0, to je x=a-b, y=c-d, kjer je a,b,c,d(N. Potem je x-y=(a-b)-(c-d)=(a+d)-( b +c)=(a(d)-(b(c), x(y=(a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc)=(a(c(b(d)- ( a(d(b(c). Od tod je jasno, da je x-y, x(y(Z0 in je torej Z0 podobroč obroča Z, ki vsebuje množico N). Toda potem je po aksiomu 3 Z0=Z in tako je prvi del lastnosti 1 dokazan. Druga izjava te lastnosti je očitna.
2. Obroč celih števil je komutativni obroč z enoto, ničla tega obroča pa je naravno število 0, enota tega obroča pa naravno število 1.
Dokaz. Naj bo x,y(Z. V skladu z lastnostjo 1 x=a-b, y=c-d, kjer je a,b,c,d(N. Potem je x(y=(a-b)((c-d)=(ac+bd)-( ad +bc)=(a(c(b(d)-(a(d(b(c), y(x=(c-d)(a-b))=(ca+db)-(da+cb)=(c ( a(d(b)-(d(a(c(b)). Zaradi komutativnosti množenja naravnih števil sklepamo, da je xy=yx. Komutativnost množenja v obroču Z je dokazana. preostale trditve lastnosti 2 izhajajo iz naslednjih očitnih enakosti, v katerih 0 in 1 označujeta naravni števili nič in ena: x+0=(a-b)+0=(a+(-b))+0=(a+0) +(-b)=(a(0)+ (-b)=a-b=x. x(1=(a-b)(1=a(1-b(1=a(1-b(1=a-b=x) .

2.2. OBSTOJ SISTEMA CELIH ŠTEVIL.

Sistem celih števil je definiran v 2.1 kot minimalni inkluzijski obroč, ki vsebuje vsa naravna števila. Postavlja se vprašanje: ali tak prstan obstaja? Z drugimi besedami, ali je sistem aksiomov iz 2.1 konsistenten? Da bi dokazali konsistentnost tega sistema aksiomov, je treba zgraditi njegovo interpretacijo v očitno konsistentni teoriji. Takšno teorijo lahko štejemo za aritmetiko naravnih števil.
Torej, začnimo graditi interpretacijo sistema aksiomov 2.1. Nabor bomo šteli za začetni. Na tem nizu definiramo dve binarni operaciji in binarno relacijo. Ker se seštevanje in množenje parov zmanjša na seštevanje in množenje naravnih števil, sta tako kot pri naravnih številih seštevanje in množenje parov komutativno, asociativno, množenje pa distributivno glede na seštevanje. Preverimo na primer komutativnost seštevanja parov: +===+.
Oglejmo si lastnosti relacije ~. Ker je a+b=b+a, potem ~, torej je relacija ~ refleksivna. Če ~, to je a+b1=b+a1, potem a1+b=b1+a, to je ~. To pomeni, da je razmerje simetrično. Naj še naprej ~ in ~. Potem veljata enakosti a+b1=b+a1 in a1+b2=b1+a2. Če te enačbe seštejemo, dobimo a+b2=b+a2, to je ~. To pomeni, da je tudi relacija ~ tranzitivna in torej ekvivalenca. Ekvivalenčni razred, ki vsebuje par, bo označen z. Tako lahko ekvivalenčni razred označimo s katerimkoli od njegovih parov in hkrati
(1)
Množico vseh ekvivalenčnih razredov označimo z. Naša naloga je pokazati, da bo ta niz z ustrezno definicijo operacij seštevanja in množenja interpretacija sistema aksiomov iz 2.1. Operacije na množici definiramo z enačbami:
(2)
(3)
Če in, torej na množici N veljajo enakosti a+b(=b+a(, c+d(=a+c(), potem velja enakost (a+c)+(b(+d( )=(b +d)+(a(+c()), iz česar na podlagi (1) dobimo to. To pomeni, da enačba (2) definira enolično operacijo dodajanja na množici, neodvisno od izbira parov, ki označujejo razrede, ki se dodajajo.Na podoben način se preverja in enoličnost množenja razredov.Tako enačbi (2) in (3) definirata binarne algebrske operacije na množici.
Ker se seštevanje in množenje razredov zmanjša na seštevanje in množenje parov, so te operacije komutativne, asociativne, množenje razredov pa je distributivno glede na seštevanje. Iz enačb sklepamo, da je razred nevtralen element glede na seštevanje in za vsak razred obstaja razred, ki mu je nasproten. To pomeni, da je množica obroč, to pomeni, da so izpolnjeni aksiomi skupine 1 iz 2.1.
Razmislite o podmnožici obroča. Če a(b, potem z (1) in če a
Na množici definiramo binarno relacijo (sledi (; namreč razredu sledi razred, kjer je x(naravno število, ki sledi x. Razred, ki sledi naravno, označimo z (. Jasno je, da razred ne sledi). kateri koli razred in vsakemu razredu sledi razred in poleg tega samo eden. Slednje pomeni, da je relacija (sledi (unarna algebrska operacija na množici N.
Razmislimo o preslikavi. Očitno je ta preslikava bijektivna in pogoji f(0)= , f(x()==(=f(x)(). To pomeni, da je preslikava f izomorfizem algebre (N;0,() na algebro (;, (). Z drugimi besedami, algebra (;,() je interpretacija Peanovega sistema aksiomov. Z identifikacijo teh izomorfnih algeber, to je s predpostavko, da je sama množica N podmnožica Ta ista identifikacija v očitnih enakostih vodi do enakosti a(c =a+c, a(c=ac), kar pomeni, da seštevanje in množenje v obroču na podmnožici N sovpadata s seštevanjem in množenjem naravnih števil. ugotovljena je izvedljivost aksiomov skupine 2. Ostaja še preveriti izpolnitev aksioma minimalnosti.
Naj bo Z0 poljuben podobroč obroča, ki vsebuje množico N in. Upoštevajte, da in zato,. Ker pa je Z0 obroč, pripada tudi razlika teh razredov obroču Z0. Iz enakosti -= (= sklepamo, da (Z0 in torej Z0=. Konsistentnost sistema aksiomov v klavzuli 2.1 je dokazana.

2.3. ENKRATNOST SISTEMA CELIH ŠTEVIL.

Obstaja samo en sistem celih števil, kot jih intuitivno razumemo. To pomeni, da mora biti sistem aksiomov, ki definira cela števila, kategoričen, kar pomeni, da morata biti kateri koli dve interpretaciji tega sistema aksiomov izomorfni. Kategorično pomeni, da do izomorfizma obstaja samo en sistem celih števil. Poskrbimo, da bo res tako.
Naj sta (Z1;+,(,N) in (Z2;(,(,N)) kateri koli dve interpretaciji sistema aksiomov v klavzuli 2.1. Zadostuje dokazati obstoj takšne bijektivne preslikave f:Z1®Z2 za katere naravna števila ostanejo fiksna in razen. Poleg tega za poljubna elementa x in y iz obroča Z1 veljajo naslednje enakosti:
(1)
. (2)
Upoštevajte, da ker je N(Z1 in N(Z2), potem
, a(b=a(b. (3)
Naj bo x(Z1 in x=a-b, kjer je a,b(N. Povežimo s tem elementom x=a-b element u=a(b, kjer je (odštevanje v obroču Z2. Če je a-b=c-d, potem a+d) =b+c, ​​od koder je na podlagi (3) a(d=b(c) in torej a(b=c(d). To pomeni, da naše ujemanje ni odvisno od predstavnika elementa x v obliki razlike dveh naravnih števil in s tem je določena preslikava f: Z1®Z2, f(a-b)=a(b. Jasno je, da če je v(Z2 in v=c(d), potem je v=f(c-d To pomeni, da je vsak element iz Z2 slika pod preslikavo f in je zato preslikava f surjektivna.
Če je x=a-b, y=c-d, kjer je a,b,c,d(N in f(x)=f(y), potem je a(b=c(d. Toda potem je a(d=b(d, v sila (3) a+d=b+c, ​​to je a-b=c-d Dokazali smo, da enakost f(x)=f(y) implicira enakost x=y, kar pomeni, da je preslikava f injektivna .
Če je a(N, potem je a=a-0 in f(a)=f(a-0)=a(0=a. To pomeni, da so naravna števila fiksna pod preslikavo f. Nadalje, če je x=a-b, y=c-d, kjer je a,b,c,d(N, potem x+y=(a+c)- in f(x+y) = (a+c)((b+d)=(a(c )((b (d)=(a(b)((c(d)=f(x)+f(y). Veljavnost enakosti (1) je dokazana. Preverimo enakost (2). Ker je f( xy)=(ac+bd )((ad+bc)=(a(c(b(d)(a(d(b(c), in na drugi strani) f(x)(f(y)=( a(b)((c (d)=(a(c(b(d)((a(d(b(c). To pomeni f(xy)=f(x)(f(y), kar dopolnjuje dokaz kategoričnosti sistema aksiomov 2.1.

2.4. DEFINICIJA IN LASTNOSTI SISTEMA RACIONALNIH ŠTEVIL.

Množica Q racionalnih števil je v njihovem intuitivnem razumevanju polje, za katerega je množica celih števil Z podobroč. Očitno je, da če je Q0 podpolje polja Q, ki vsebuje vsa cela števila, potem je Q0=Q. Te lastnosti bomo uporabili kot osnovo za strogo definicijo sistema racionalnih števil.
Definicija 1. Sistem racionalnih števil je algebraični sistem (Q;+,(;Z), za katerega so izpolnjeni naslednji pogoji:
1. algebrski sistem (Q;+,() je polje;
2. obroč celih števil Z je podobroč polja Q;
3. (pogoj minimalnosti) če podpolje Q0 polja Q vsebuje podobroč Z, potem je Q0=Q.
Skratka, sistem racionalnih števil je minimalno vključno polje, ki vsebuje podobroč celih števil. Možno je podati podrobnejšo aksiomatsko definicijo sistema racionalnih števil.
Izrek. Vsako racionalno število x lahko predstavimo kot količnik dveh celih števil, tj
, kjer je a,b(Z, b(0. (1)
Ta predstavitev je dvoumna in kjer so a,b,c,d(Z, b(0, d(0.
Dokaz. Označimo s Q0 množico vseh racionalnih števil, ki jih je mogoče predstaviti v obliki (1). Dovolj je zagotoviti, da je Q0=Q. Naj, kjer je a,b,c,d(Z, b(0, d(0). Potem imamo glede na lastnosti polja: , in za c(0. To pomeni, da je Q0 zaprt glede odštevanja in deljenja s števili, ne enako nič in je torej podpolje polja Q. Ker je vsako celo število a mogoče predstaviti v obliki, potem Z(Q0. Od tod zaradi pogoja minimalnosti sledi, da je Q0=Q. Dokaz za drugi del izreka je očiten.

2.5. OBSTOJ SISTEMA RACIONALNIH ŠTEVIL.

Sistem racionalnih števil je definiran kot minimalno polje, ki vsebuje podobroč celih števil. Seveda se postavlja vprašanje, ali takšno polje obstaja, torej ali je sistem aksiomov, ki definirajo racionalna števila, konsistenten? Da bi dokazali doslednost, je treba zgraditi interpretacijo tega sistema aksiomov. V tem primeru se lahko zanesemo na obstoj sistema celih števil. Pri konstruiranju interpretacije bomo za izhodišče šteli množico Z(Z\(0). Na tej množici definiramo dve binarni algebraični operaciji
, (1)
(2)
in binarno razmerje
(3)
Smiselnost prav te definicije operacij in odnosov izhaja iz dejstva, da bo v interpretaciji, ki jo gradimo, par izražal posebnost.
Preprosto preverimo, da sta operaciji (1) in (2) komutativni, asociativni, množenje pa distributivno glede na seštevanje. Vse te lastnosti so preizkušene glede na ustrezne lastnosti seštevanja in množenja celih števil. Preverimo na primer asociativnost množilnih parov: .
Podobno je preverjeno, da je relacija ~ ekvivalenca in je zato množica Z(Z\(0) razdeljena na ekvivalenčne razrede. Množico vseh razredov označimo z, razred, ki vsebuje par, pa z. Tako , lahko razred označimo s katerim koli njegovim parom in na podlagi pogoja (3) dobimo:
. (4)
Naša naloga je definirati operacijo seštevanja in množenja na množici tako, da bo to polje. Te operacije definiramo z enakostmi:
, (5)
(6)
Če je torej ab1=ba1 in torej cd1=dc1, potem z množenjem teh enakosti dobimo (ac)(b1d1)=(bd)(a1c1), kar pomeni, da To nas prepriča, da je enakost (6 ) res definira edinstveno operacijo na nizu razredov, neodvisno od izbire predstavnikov v vsakem razredu. Enakomernost operacije (5) se preveri na enak način.
Ker se seštevanje in množenje razredov zmanjša na seštevanje in množenje parov, sta operaciji (5) in (6) komutativni, asociativni, množenje pa je distributivno glede na seštevanje.
Iz enačb sklepamo, da je razred nevtralen element glede na seštevanje in za vsak razred obstaja element, ki mu je nasproten. Podobno iz enakosti sledi, da je razred nevtralen element glede na množenje in za vsak razred obstaja inverzni razred. To pomeni, da gre za polje glede na operacije (5) in (6); prvi pogoj v definiciji klavzule 2.4 je izpolnjen.
Oglejmo si naslednji niz. Očitno,. Množica je zaprta glede odštevanja in množenja in je zato podobroč polja. Res,. Nato razmislimo o preslikavi, . Surjektivnost tega preslikave je očitna. Če je f(x)=f(y), potem je x(1=y(1 ali x=y). Zato je preslikava f tudi injektivna. Poleg tega je . Tako je preslikava f izomorfizem obroča v obroč. Če ugotovimo, da so to izomorfni obroči, lahko predpostavimo, da je obroč Z podobroč polja, kar pomeni, da je izpolnjen pogoj 2 v definiciji klavzule 2.4. Ostaja, da dokažemo minimalnost polja. Naj bo poljubno podpolje polja in, in pustimo. Ker, a, potem. Ker pa - polje, potem tudi kvocient teh elementov pripada polju. Tako je dokazano, da če , potem, to je. Obstoj sistema racionalnih števil je dokazano.

2.6. ENKRATNOST SISTEMA RACIONALNIH ŠTEVIL.

Ker obstaja le en sistem racionalnih števil v njihovem intuitivnem razumevanju, mora biti aksiomatska teorija racionalnih števil, ki je tukaj predstavljena, kategorična. Kategorično pomeni, da do izomorfizma obstaja samo en sistem racionalnih števil. Pokažimo, da je temu res tako.
Naj sta (Q1;+, (; Z) in (Q2; (, (; Z)) katera koli dva sistema racionalnih števil. Dovolj je dokazati obstoj bijektivne preslikave, pod katero ostanejo vsa cela števila fiksna in poleg tega , so pogoji izpolnjeni
(1)
(2)
za poljubna elementa x in y iz polja Q1.
Kvocient elementov a in b v polju Q1 bomo označili z, v polju Q2 pa z a:b. Ker je Z podobroč vsakega od polj Q1 in Q2, potem za poljubna cela števila a in b veljajo enakosti
, . (3)
Naj in, kje, . Temu elementu x povežimo element y=a:b iz polja Q2. Če enakost velja v polju Q1, kjer, potem po izreku 2.4 v obroču Z velja enakost ab1=ba1 oziroma na podlagi (3) velja enakost in nato po istem izreku enakost a:b= a1:b1 velja v polju Q2 . To pomeni, da s povezovanjem elementa y=a:b iz polja Q2 z elementom iz polja Q1 definiramo preslikavo, .
Vsak element iz polja Q2 lahko predstavimo kot a:b, kjer je in torej slika elementa iz polja Q1. To pomeni, da je preslikava f surjektivna.
Če, potem v polje Q1 in nato. Tako je preslikava f bijektivna in vsa cela števila ostanejo fiksna. Treba je še dokazati veljavnost enakosti (1) in (2). Naj in, kjer je a,b,c,d(Z, b(0, d(0). Potem in, od koder je na podlagi (3) f(x+y)=f(x)(f(y). Podobno in kje.
Izomorfizem interpretacij (Q1;+, (; Z) in (Q2; (, (; Z)) je dokazan.

ODGOVORI, NAVODILA, REŠITVE.

1.1.1. rešitev. Naj bo pogoj aksioma 4 resničen (lastnost naravnih števil, tako da ((0) in. Naj. Potem M izpolnjuje predpostavko aksioma 4, saj ((0)(0(M in. Zato je M=N, t.j. vsako naravno število ima lastnost (. Nasprotno. Predpostavimo, da za katero koli lastnost (iz dejstva, da ((0) in sledi. Naj bo M podmnožica N, tako da 0(M in. Pokažimo, da M = N. Uvedimo lastnost (, ob predpostavki. Potem ((0), saj in. Tako je torej M=N.
1.1.2. Odgovor: Trditve 1. in 4. Peanovega aksioma držijo. Trditev 2. aksioma je napačna.
1.1.3. Odgovor: trditve 2,3,4 Peanovih aksiomov so resnične. Trditev 1. aksioma je napačna.
1.1.4. Trditve 1, 2, 3 Peanovih aksiomov so resnične. Trditev 4. aksioma je napačna. Navodilo: dokažite, da množica izpolnjuje predpostavko aksioma 4, formuliranega v smislu operacije but.
1.1.5. Namig: da bi dokazali resničnost trditve aksioma 4, razmislite o podmnožici M od A, ki izpolnjuje pogoje: a) 1((M, b) in množico. Dokažite to. Potem je M=A.
1.1.6. Izjave 1., 2. in 3. Peanovega aksioma so resnične. Trditev Peanovega 4. aksioma je napačna.
1.6.1. a) Rešitev: Najprej dokažite, da če 1 zjutraj. Nazaj. Naj sem
1.6.2. a) Rešitev: Predpostavimo nasprotno. Naj M označi množico vseh števil, ki nimajo lastnosti (. Po predpostavki je M((. Po izreku 1 ima M najmanjši element n(0. Vsako število x
1.8.1. f) Uporabite točke e) in točke c): (a-c)+(c-b)=(a+c)-(c+b)=a-b, torej (a-b)-(c-b)=a-c.
h) Uporabljajte lastnino.
k) Uporabite element b).
m) Uporabite postavke b) in točke h).
1.8.2. c) Imamo torej . Torej, .
d) Imamo. Zato,.
in) .
1.8.3. a) Če sta (in (različni rešitvi enačbe ax2+bx=c), potem a(2+b(=a(2+b(). Po drugi strani pa, če na primer (b) Naj bo (in ( sta različni rešitvi enačbe. Če ((. Vendar (2=a(+b>a(), torej (>a. Imamo protislovje.
c) Naj sta (in () različna korena enačbe in (>(. Potem je 2((-()=(a(2+b)-(a(2+b)=a((-())(( (+( ) Torej a((+()=2, vendar (+(>2, torej a((+()>2, kar je nemogoče.
1.8.4. a) x=3; b) x=y=2. Namig: ker in velja x=y; c) x=y(y+2), y - poljubno naravno število; d) x=y=2; e) x=2, y=1; f) Do permutacij x=1, y=2, z=3. Rešitev: Naj bo na primer x(y(z. Potem je xyz=x+y+z(3z, tj. xy(3). Če je xy=1, potem je x=y=1 in z=2+z, kar je nemogoče. Če je xy=2, potem je x=1, y=2. V tem primeru je 2z=3+z, to je z=3. Če je xy=3, potem je x=1, y=3. Potem je 3z= 4+z, tj. z=2, kar je v nasprotju s predpostavko y(z.
1.8.5. b) Če je x=a, y=b rešitev enačbe, potem je ab+b=a, tj. a>ab, kar je nemogoče. d) Če je x=a, y=b rešitev enačbe, potem je b
1.8.6. a) x=ky, kjer so k,y poljubna naravna števila in y(1. b) x je poljubno naravno število, y=1. c) x je poljubno naravno število, y=1. d) Ni rešitve. e) x1=1; x2=2; x3=3. e) x>5.
1.8.7. a) Če je a=b, potem je 2ab=a2+b2. Naj bo na primer a

LITERATURA

1. Redkov M.I. Numerični sistemi. /Metodološka priporočila za študij predmeta "Numerični sistemi". Del 1.- Omsk: Državni pedagoški inštitut Omsk, 1984.- 46 str.
2. Ershova T.I. Numerični sistemi. / Metodološki razvoj za praktični pouk - Sverdlovsk: SGPI, 1981. - 68 str.