Mișcarea de rotație a unui corp rigid: ecuație, formule. Mișcarea de rotație a unui corp rigid în jurul unei axe fixe

Mișcarea de rotație a unui corp rigid în jurul unei axe fixe este o astfel de mișcare în care oricare două puncte aparținând corpului (sau asociate invariabil cu acesta) rămân nemișcate pe tot parcursul mișcării.(Fig. 2.2) .

Figura 2.2

Trecerea prin puncte fixe OŞi ÎN linia dreaptă se numește axa de rotatie. Deoarece distanța dintre punctele unui corp rigid trebuie să rămână neschimbată, este evident că în timpul mișcării de rotație toate punctele aparținând axei vor fi nemișcate, iar toate celelalte vor descrie cercuri, ale căror planuri sunt perpendiculare pe axa de rotație, iar centrele se află pe această axă. Pentru a determina poziția unui corp în rotație, desenăm prin axa de rotație de-a lungul căreia este îndreptată axa Az, semiplan І – fix și semiplan ІІ încorporat în corpul însuși și rotindu-se odată cu acesta. Atunci poziția corpului în orice moment de timp este determinată în mod unic de unghiul luat cu semnul corespunzător φ între aceste planuri, pe care le numim unghiul de rotație al corpului. Vom lua în considerare unghiul φ pozitiv dacă este întârziat dintr-un plan fix în sens invers acelor de ceasornic (pentru un observator care privește de la capătul pozitiv al axei Az), și negativ dacă este în sensul acelor de ceasornic. Măsurați unghiul φ Vom fi în radiani. Pentru a cunoaște poziția unui corp în orice moment, trebuie să cunoașteți dependența unghiului φ din când în când t, adică

.

Această ecuație exprimă legea mișcării de rotație a unui corp rigid în jurul unei axe fixe.

Principalele caracteristici cinematice ale mișcării de rotație a unui corp rigid sunt acestea viteza unghiulara ω și accelerația unghiulară ε.

9.2.1. Viteza unghiulară și accelerația unghiulară a unui corp

Mărimea care caracterizează viteza de modificare a unghiului de rotație φ în timp se numește viteză unghiulară.

Dacă într-o perioadă de timp
corpul se rotește printr-un unghi
, atunci viteza unghiulară medie numeric a corpului în această perioadă de timp va fi
. În limita la
primim

Astfel, valoarea numerică a vitezei unghiulare a unui corp la un moment dat este egală cu prima derivată a unghiului de rotație în raport cu timpul.

Regula semnului: Când rotirea are loc în sens invers acelor de ceasornic, ω> 0, iar când în sensul acelor de ceasornic, atunci ω< 0.

sau, deoarece radianul este o mărime adimensională,
.

În calculele teoretice este mai convenabil să se utilizeze vectorul viteză unghiulară , al cărui modul este egal cu și care este îndreptată de-a lungul axei de rotație a corpului în direcția din care rotația este vizibilă în sens invers acelor de ceasornic. Acest vector determină imediat mărimea vitezei unghiulare, axa de rotație și direcția de rotație în jurul acestei axe.

Mărimea care caracterizează viteza de modificare a vitezei unghiulare în timp se numește accelerație unghiulară a corpului.

Dacă într-o perioadă de timp
incrementul vitezei unghiulare este egal cu
, apoi relația
, adică determină valoarea acceleraţiei medii a unui corp în rotaţie în timp
.

Când te străduiești
primim valoarea accelerație unghiularăîn acest moment t:

Astfel, valoarea numerică a accelerației unghiulare a unui corp la un moment dat este egală cu prima derivată a vitezei unghiulare sau cu derivata a doua a unghiului de rotație al corpului în timp.

De obicei se folosește unitatea de măsură sau, care este, de asemenea,
.

Dacă modulul vitezei unghiulare crește cu timpul, se numește rotația corpului accelerat, iar dacă scade, - lent Când valorile ω Şi ε au aceleași semne, atunci rotația va fi accelerată, când sunt diferite, va fi încetinită. Prin analogie cu viteza unghiulară, accelerația unghiulară poate fi reprezentată și ca vector , îndreptată de-a lungul axei de rotație. În același timp

.

Dacă un corp se rotește într-o direcție accelerată coincide cu , și opus cu rotație lentă.

Dacă viteza unghiulară a unui corp rămâne constantă în timpul mișcării ( ω= const), atunci se numește rotația corpului uniformă.

Din
avem
. Prin urmare, având în vedere că în momentul inițial de timp
colţ
, și luând integralele la stânga lui la , iar în dreapta de la 0 la t, în sfârșit vom obține

.

Cu rotire uniformă, când =0,
Şi
.

Viteza de rotație uniformă este adesea determinată de numărul de rotații pe minut, notând această valoare cu n rpm Să găsim relația dintre n rpm și ω 1/s. Cu o rotație corpul se va roti cu 2π și cu n rpm la 2π n; această tură se face în 1 minut, adică t= 1 min=60s. De aici rezultă că

.

Dacă accelerația unghiulară a unui corp rămâne constantă pe tot parcursul mișcării sale (ε = const), atunci rotația se numește la fel de variabilă.

În momentul inițial de timp t=0 unghi
, și viteza unghiulară
(- viteza unghiulara initiala).
;
=ε
. Integrarea părții stângi a la , iar cea dreaptă de la 0 la t, vom găsi

Viteza unghiulară ω a acestei rotații
. Dacă ω și ε au aceleași semne, rotația va fi uniform accelerat, și dacă este diferit - la fel de lent.

Acest articol descrie o secțiune importantă a fizicii - „Cinematica și dinamica mișcării de rotație”.

Concepte de bază ale cinematicii mișcării de rotație

Mișcarea de rotație a unui punct material în jurul unei axe fixe se numește o astfel de mișcare, a cărei traiectorie este un cerc situat într-un plan perpendicular pe axă, iar centrul său se află pe axa de rotație.

Mișcarea de rotație a unui corp rigid este o mișcare în care toate punctele corpului se mișcă de-a lungul cercurilor concentrice (ale căror centre se află pe aceeași axă) în conformitate cu regula pentru mișcarea de rotație a unui punct material.

Fie ca un corp rigid T arbitrar să se rotească în jurul axei O, care este perpendiculară pe planul desenului. Să selectăm punctul M de pe acest corp. Când este rotit, acest punct va descrie un cerc cu rază în jurul axei O r.

După ceva timp, raza se va roti în raport cu poziția inițială cu un unghi Δφ.

Direcția șurubului drept (în sensul acelor de ceasornic) este luată ca direcție pozitivă de rotație. Modificarea unghiului de rotație în timp se numește ecuația mișcării de rotație a unui corp rigid:

φ = φ(t).

Dacă φ se măsoară în radiani (1 rad este unghiul corespunzător unui arc de lungime egală cu raza sa), atunci lungimea arcului circular ΔS, pe care punctul material M îl va trece în timp Δt, este egală cu:

ΔS = Δφr.

Elemente de bază ale cinematicii mișcării uniforme de rotație

O măsură a mișcării unui punct material într-o perioadă scurtă de timp dt servește ca vector elementar de rotație dφ.

Viteza unghiulară a unui punct sau corp material este mărime fizică, care este determinată de raportul dintre vectorul unei rotații elementare și durata acestei rotații. Direcția vectorului poate fi determinată de regula șurubului drept de-a lungul axei O în formă scalară:

ω = dφ/dt.

Dacă ω = dφ/dt = const, atunci o astfel de mișcare se numește mișcare uniformă de rotație. Cu ea, viteza unghiulară este determinată de formula

ω = φ/t.

Conform formulei preliminare, dimensiunea vitezei unghiulare

[ω] = 1 rad/s.

Mișcarea uniformă de rotație a unui corp poate fi descrisă prin perioada de rotație. Perioada de rotație T este o mărime fizică care determină timpul în care un corp face o rotație completă în jurul axei de rotație ([T] = 1 s). Dacă în formula pentru viteza unghiulară luăm t = T, φ = 2 π (o rotație completă a razei r), atunci

ω = 2π/T,

Prin urmare, definim perioada de rotație după cum urmează:

T = 2π/ω.

Numărul de rotații pe care un corp le face pe unitatea de timp se numește frecvența de rotație ν, care este egală cu:

ν = 1/T.

Unități de frecvență: [ν]= 1/s = 1 s -1 = 1 Hz.

Comparând formulele pentru viteza unghiulară și frecvența de rotație, obținem o expresie care conectează aceste mărimi:

ω = 2πν.

Elemente de bază ale cinematicii mișcării de rotație neuniforme

Mișcarea de rotație neuniformă a unui corp rigid sau a unui punct de material în jurul unei axe fixe este caracterizată de viteza sa unghiulară, care se modifică în timp.

Vector ε , care caracterizează viteza de modificare a vitezei unghiulare, se numește vector de accelerație unghiulară:

ε = dω/dt.

Dacă un corp se rotește, accelerând, adică dω/dt > 0, vectorul are o direcție de-a lungul axei în aceeași direcție cu ω.

Dacă mișcarea de rotație este lentă - dω/dt< 0 , atunci vectorii ε și ω sunt direcționați opus.

Comentariu. Când apare o mișcare de rotație neuniformă, vectorul ω se poate schimba nu numai în mărime, ci și în direcție (când axa de rotație este rotită).

Relația dintre mărimile care caracterizează mișcarea de translație și de rotație

Se știe că lungimea arcului cu unghiul de rotație al razei și valoarea acesteia sunt legate prin relație

ΔS = Δφ r.

Apoi viteza liniară a unui punct material care efectuează mișcare de rotație

υ = ΔS/Δt = Δφr/Δt = ωr.

Accelerația normală a unui punct material care efectuează mișcare de translație de rotație este definită după cum urmează:

a = υ 2 /r = ω 2 r 2 /r.

Deci, în formă scalară

a = ω 2 r.

Punct material tangenţial accelerat care efectuează mişcare de rotaţie

a = ε r.

Momentul unui punct material

Produsul vectorial dintre vectorul rază a traiectoriei unui punct material de masă m i și impulsul său se numește momentul unghiular al acestui punct în jurul axei de rotație. Direcția vectorului poate fi determinată folosind regula cu șurub potrivită.

Momentul unui punct material ( L i) este îndreptată perpendicular pe planul trasat prin r i și υ i și formează cu ei un triplu din dreapta de vectori (adică la deplasarea de la capătul vectorului r i La υ șurubul din dreapta va arăta direcția vectorului L i).

În formă scalară

L = m i υ i r i sin(υ i , r i).

Având în vedere că la deplasarea într-un cerc, vectorul rază și vectorul viteză liniară pt al-lea material puncte reciproc perpendiculare,

sin(υ i , r i) = 1.

Deci, momentul unghiular al unui punct material pentru mișcarea de rotație va lua forma

L = m i υ i r i .

Momentul de forță care acționează asupra i-lea punct material

Produsul vectorial al vectorului rază, care este tras la punctul de aplicare al forței, iar această forță se numește momentul forței care acționează asupra al-lea material punct relativ la axa de rotație.

În formă scalară

M i = r i F i sin(r i , F i).

Având în vedere că r i sinα = l i ,M i = l i F i .

Magnitudinea l i, egală cu lungimea perpendicularei coborâte de la punctul de rotație la direcția de acțiune a forței, se numește brațul forței F i.

Dinamica mișcării de rotație

Ecuația pentru dinamica mișcării de rotație se scrie după cum urmează:

M = dL/dt.

Formularea legii este următoarea: viteza de modificare a momentului unghiular al unui corp care se rotește în jurul unei axe fixe este egală cu momentul rezultat față de această axă a tuturor forțelor externe aplicate corpului.

Momentul de impuls și momentul de inerție

Se știe că pentru al-lea punct material momentul unghiular în formă scalară este dat de formula

L i = m i υ i r i .

Dacă în loc de viteza liniară înlocuim expresia acesteia prin viteza unghiulară:

υ i = ωr i ,

atunci expresia pentru momentul unghiular va lua forma

L i = m i r i 2 ω.

Magnitudinea I i = m i r i 2 numit momentul de inerție despre axa i punct material al unui corp absolut rigid care trece prin centrul său de masă. Apoi scriem momentul unghiular al punctului material:

L i = I i ω.

Scriem momentul unghiular al unui corp absolut rigid ca suma momentului unghiular al punctelor materiale care alcătuiesc acest corp:

L = Iω.

Momentul de forță și momentul de inerție

Legea mișcării de rotație spune:

M = dL/dt.

Se știe că momentul unghiular al unui corp poate fi reprezentat prin momentul de inerție:

L = Iω.

M = Idω/dt.

Având în vedere că accelerația unghiulară este determinată de expresie

ε = dω/dt,

obținem o formulă pentru momentul de forță, reprezentat prin momentul de inerție:

M = Iε.

Comentariu. Un moment de forță este considerat pozitiv dacă accelerația unghiulară care îl provoacă este mai mare decât zero și invers.

teorema lui Steiner. Legea adunării momentelor de inerție

Dacă axa de rotație a unui corp nu trece prin centrul său de masă, atunci în raport cu această axă se poate găsi momentul său de inerție folosind teorema lui Steiner:
I = I 0 + ma 2,

Unde eu 0- momentul inițial de inerție al corpului; m- greutatea corporală; o- distanta dintre axe.

Dacă un sistem care se rotește în jurul unei axe fixe este format din n corpuri, atunci momentul total de inerție al acestui tip de sistem va fi egal cu suma momentelor componentelor sale (legea adunării momentelor de inerție).

Aceasta este o mișcare în care toate punctele corpului se mișcă în cercuri, ale căror centre se află pe axa de rotație.

Poziția corpului este specificată de unghiul diedric (unghiul de rotație).

 =  (t) - ecuația mișcării.

Caracteristicile cinematice ale corpului:

- viteza unghiulara, s -1;

- accelerația unghiulară, s -2.

Mărimile  și  pot fi reprezentate ca vectori
, situat pe axa de rotație, direcția vectorului astfel încât de la capătul său se vede că rotația corpului are loc în sens invers acelor de ceasornic. Direcţie coincide cu , Dacă > oh.

P poziţie puncte ale corpului: M 0 M 1 = S = h.

Viteză puncte
; în același timp
.

unde
;
;
.

Accelerare puncte ale corpului,
- accelerația de rotație (în cinematica unui punct - tangentă - ):
- accelerație punct la punct (în cinematica punctului - normal - ).

Module:
;
;

.

Rotire uniformă și uniformă

1. Uniformă:  = const,
;
;
- ecuația mișcării.

2. La fel de variabil:  = const,
;
;
;
;
- ecuația mișcării.

2). Acționarea mecanică este formată din scripete 1, cureaua 2 și roțile trepte 3 și 4. Aflați viteza cremalierei 5, precum și accelerația punctului M la momentul t 1 = 1s. Dacă viteza unghiulară a scripetelui este  1 = 0,2t, s -1; R1 = 15; R3 = 40; r3 = 5; R4 = 20; r 4 = 8 (în centimetri).

Viteza rack

;

;
;
.

Unde
;
;
, s -1 .

Din (1) și (2) obținem, vezi.

Accelerația punctului M.

, s -2 la t 1 = 1 s; a = 34,84 cm/s 2 .

3.3 Mișcarea plan-paralelă (plană) a unui corp rigid

E acea mișcare în care toate punctele corpului se mișcă în planuri paralele cu un plan fix.

Toate punctele corpului de pe orice linie dreaptă perpendiculară pe un plan fix se mișcă în mod egal. Prin urmare, analiza mișcării plane a unui corp se reduce la studiul mișcării unei figuri plane (secțiunea S) în planul său (xy).

Această mișcare poate fi reprezentată ca un set de mișcări de translație împreună cu unele arbitrar punctul selectat a, numit pol, și mișcarea de rotație în jurul polului.

Ecuații de mișcare figură plată

x a = x a (t); y a = y a; j = j(t)

Caracteristici cinematice ki al unei figuri plate:

- viteza si acceleratia stalpului; w, e - viteza unghiulară și accelerația unghiulară (nu depind de alegerea polului).

U alinierea mișcării oricărui punct figura plană (B) poate fi obținută prin proiectarea egalității vectoriale
pe axele x și y

x 1 B , y 1 B - coordonatele punctului din sistemul de coordonate asociat figurii.

Determinarea vitezelor punctuale

1). Metoda analitica.

Cunoscând ecuațiile mișcării x n = x n (t); y n = y n (t), găsim
;
;
.

2). Teorema distribuției vitezei.

D diferențierea egalității
, primim
,

- viteza punctului B la rotirea unei figuri plane în jurul polului A;
;

Formula pentru distribuția vitezelor punctelor unei figuri plane
.

CU viteza punctului M al unei roți care rulează fără alunecare

;
.

3). Teorema proiecției vitezei.

Proiecțiile vitezelor a două puncte ale corpului pe axa care trece prin aceste puncte sunt egale. Proiectarea egalității
pe axa x avem

P exemplu

Determinați viteza curgerii apei v N pe cârma navei, dacă este cunoscută (viteza centrului de greutate al navei), b și b K (unghiuri de deriva).

Soluție: .

4). Centru de viteză instantanee (IVC).

Vitezele punctelor în timpul mișcării plane a unui corp pot fi determinate din formulele mișcării de rotație, folosind conceptul de MCS.

MCS este un punct asociat cu o figură plată, a cărei viteză la un moment dat este zero (v p = 0).

În general, MCS este punctul de intersecție al perpendicularelor pe direcțiile vitezei a două puncte ale figurii.

Luând punctul P ca pol, avem un punct arbitrar

, Atunci

Unde
- viteza unghiulară a figurii şi
,aceste. vitezele punctelor unei figuri plate sunt proporționale cu distanțele lor față de MCS.

Posibile cazuri de găsire a MCS
			Se rostogolește fără să alunece
		MCS - la infinit

Cazul b corespunde unei distribuții instantanee a vitezei de translație.

1). Pentru o poziție dată a mecanismului, găsițiv B, v C, v D, w 1, w 2, w 3, dacă în momentul de față v A = 20 cm/s; BC = CD = 40 cm; OC = 25 cm; R = 20 cm.

Rezolvarea MCS al rolei 1 - punctul P 1:

s-1;
cm/s.

MCS al legăturii 2 - punctul P 2 al intersecției perpendicularelor pe direcțiile de viteză ale punctelor B și C:

s-1;
cm/s;
cm/s;
s -1 .

2). Sarcina Q este ridicată cu ajutorul unui tambur în trepte 1, a cărui viteză unghiulară este w 1 = 1 s -1 ; R1 = 3r1 = 15 cm; AE || B.D. Aflați viteza v C a axei blocului în mișcare 2.

Aflați vitezele punctelor A și B:

v A = v E = w 1* R 1 = 15 cm/s; v B = v D = w 1* r 1 = 5 cm/s.

MCS blocului 2 - punctul P. Apoi
, unde
;
;
cm/s.

Unghiul de rotație, viteza unghiulară și accelerația unghiulară

Rotirea unui corp rigid în jurul unei axe fixe Se numește o astfel de mișcare în care două puncte ale corpului rămân nemișcate pe toată durata mișcării. În acest caz, toate punctele corpului situate pe o linie dreaptă care trece prin punctele sale fixe rămân, de asemenea, nemișcate. Această linie se numește axa de rotatie a corpului.

Dacă OŞi ÎN- puncte fixe ale corpului (Fig. 15 ), atunci axa de rotație este axa Oz, care poate avea orice direcție în spațiu, nu neapărat verticală. O direcție a axei Oz este considerat pozitiv.

Desenăm un plan fix prin axa de rotație Deși mobil P, atașat unui corp rotativ. Fie ca la momentul inițial de timp ambele planuri coincid. Apoi la un moment dat t poziția planului în mișcare și a corpului rotativ însuși poate fi determinată de unghiul diedru dintre planuri și unghiul liniar corespunzător φ între drepte situate în aceste plane şi perpendiculare pe axa de rotaţie. Colţ φ numit unghiul de rotație al corpului.

Poziția corpului față de sistemul de referință ales este complet determinată în oricare

moment în timp, dacă este dată ecuația φ =f(t) (5)

Unde f(t)- orice funcție de timp diferențiabilă de două ori. Această ecuație se numește ecuația de rotație a unui corp rigid în jurul unei axe fixe.

Un corp care se rotește în jurul unei axe fixe are un grad de libertate, deoarece poziția sa este determinată prin specificarea unui singur parametru - unghiul φ .

Colţ φ este considerat pozitiv dacă este trasat în sens invers acelor de ceasornic și negativ în direcția opusă când este privit din direcția pozitivă a axei Oz. Traiectoriile punctelor unui corp în timpul rotației sale în jurul unei axe fixe sunt cercuri situate în planuri perpendiculare pe axa de rotație.

Pentru a caracteriza mișcarea de rotație a unui corp rigid în jurul unei axe fixe, introducem conceptele de viteză unghiulară și accelerație unghiulară. Viteza unghiulară algebrică a corpuluiîn orice moment în timp se numește prima derivată în raport cu timpul a unghiului de rotație în acest moment, i.e. dφ/dt = φ. Este o mărime pozitivă când corpul se rotește în sens invers acelor de ceasornic, deoarece unghiul de rotație crește cu timpul, și negativă când corpul se rotește în sensul acelor de ceasornic, deoarece unghiul de rotație scade.

Modulul vitezei unghiulare este notat cu ω. Apoi ω= ׀dφ/dt׀= ׀φ ׀ (6)

Dimensiunea vitezei unghiulare este stabilită în conformitate cu (6)

[ω] = unghi/timp = rad/s = s -1.

În inginerie, viteza unghiulară este viteza de rotație exprimată în rotații pe minut. În 1 minut corpul se va roti printr-un unghi 2πп, Dacă n- numărul de rotații pe minut. Împărțind acest unghi la numărul de secunde dintr-un minut, obținem: (7)

Accelerația unghiulară algebrică a corpului se numește derivată întâi în raport cu timpul a vitezei algebrice, adică. derivata a doua a unghiului de rotație d 2 φ/dt 2 = ω. Să notăm modulul de accelerație unghiulară ε , Atunci ε=|φ| (8)

Dimensiunea accelerației unghiulare se obține din (8):

[ε ] = viteza unghiulara/timp = rad/s 2 = s -2

Dacă φ’’>0 la φ’>0 , atunci viteza unghiulară algebrică crește cu timpul și, prin urmare, corpul se rotește accelerat în momentul de față în sens pozitiv (în sens invers acelor de ceasornic). La φ’’<0 Şi φ’<0 corpul se rotește rapid într-o direcție negativă. Dacă φ’’<0 la φ’>0 , atunci avem o rotație lentă într-o direcție pozitivă. La φ’’>0 Şi φ’<0 , adică rotația lentă are loc în sens negativ. Viteza unghiulară și accelerația unghiulară în figuri sunt reprezentate de săgeți arc în jurul axei de rotație. Săgeata arc pentru viteza unghiulară indică direcția de rotație a corpurilor;

Pentru rotația accelerată, săgețile arcului pentru viteza unghiulară și accelerația unghiulară au aceleași direcții pentru rotația lentă, direcțiile lor sunt opuse.

Cazuri speciale de rotație a unui corp rigid

Se spune că rotația este uniformă dacă ω=const, φ= φ’t

Rotaţia va fi uniformă dacă ε=const. φ’= φ’ 0 + φ’’t și

În general, dacă φ’’ nu tot timpul

Vitezele și accelerațiile punctelor corpului

Ecuația de rotație a unui corp rigid în jurul unei axe fixe este cunoscută φ= f(t)(Fig. 16). Distanţă s puncte Mîntr-un plan în mișcare P de-a lungul unui arc circular (traiectoria punctului), măsurată din punct M o, situat într-un plan fix, exprimat prin unghi φ dependenta s=hφ, Unde h-raza cercului de-a lungul caruia se misca punctul. Este cea mai scurtă distanță de la un punct M faţă de axa de rotaţie. Aceasta se numește uneori raza de rotație a unui punct. În fiecare punct al corpului, raza de rotație rămâne neschimbată atunci când corpul se rotește în jurul unei axe fixe.

Viteza algebrică a unui punct M determinat de formula v τ =s’=hφ Modul de viteză punctual: v=hω(9)

Vitezele punctelor corpului atunci când se rotesc în jurul unei axe fixe sunt proporționale cu distanța lor cea mai scurtă față de această axă. Coeficientul de proporționalitate este viteza unghiulară. Vitezele punctelor sunt direcționate de-a lungul tangentelor la traiectorii și, prin urmare, sunt perpendiculare pe razele de rotație. Vitezele punctelor corpului situate pe un segment de linie dreaptă OM,în conformitate cu (9) sunt distribuite după o lege liniară. Ele sunt reciproc paralele, iar capetele lor sunt situate pe aceeași linie dreaptă care trece prin axa de rotație. Descompunem accelerația unui punct în componente tangențiale și normale, i.e. a=a τ +a nτ Accelerațiile tangențiale și normale sunt calculate folosind formulele (10)

întrucât pentru un cerc raza de curbură este p=h(Fig. 17 ). Astfel,

Accelerațiile tangente, normale și totale ale punctelor, precum și vitezele, sunt, de asemenea, distribuite conform unei legi liniare. Ele depind liniar de distanțele punctelor față de axa de rotație. Accelerația normală este îndreptată de-a lungul razei cercului spre axa de rotație. Direcția accelerației tangențiale depinde de semnul accelerației unghiulare algebrice. La φ’>0 Şi φ’’>0 sau φ’<0 Şi φ’<0 avem rotația accelerată a corpului și direcțiile vectorilor a τŞi v meci. Dacă φ’ Şi φ’" au semne diferite (rotatie lenta), atunci a τŞi vîndreptate unul opus celuilalt.

După ce a desemnat α unghiul dintre accelerația totală a unui punct și raza lui de rotație, avem

tgα = | a τ |/a n = ε/ω 2 (11)

deoarece accelerația normală a pîntotdeauna pozitiv. Colţ O la fel pentru toate punctele corpului. Ar trebui amânat de la accelerație la raza de rotație în direcția săgeții arcului de accelerație unghiulară, indiferent de direcția de rotație a corpului rigid.

Vectori ai vitezei unghiulare și ai accelerației unghiulare

Să introducem conceptele de vectori de viteză unghiulară și accelerație unghiulară a unui corp. Dacă LA este vectorul unitar al axei de rotație îndreptată în direcția sa pozitivă, apoi vectorii viteză unghiulară ώ și accelerația unghiulară ε determinat de expresii (12)

Deoarece k este o constantă vectorială ca mărime și direcție, apoi din (12) rezultă că

ε=dώ/dt(13)

La φ’>0 Şi φ’’>0 direcții vectoriale ώ Şi ε meci. Ambele sunt îndreptate spre partea pozitivă a axei de rotație Oz(Fig. 18.a)Dacă φ’>0 Şi φ’’<0 , apoi sunt îndreptate în direcții opuse (Fig. 18.b ). Vectorul accelerație unghiulară coincide în direcție cu vectorul viteză unghiulară în timpul rotației accelerate și este opus acestuia în timpul rotației lente. Vectori ώ Şi ε poate fi reprezentat în orice punct al axei de rotație. Sunt vectori în mișcare. Această proprietate rezultă din formulele vectoriale pentru vitezele și accelerațiile punctelor corpului.

Mișcare complexă a punctului

Concepte de bază

Pentru a studia unele tipuri mai complexe de mișcare a unui corp rigid, este recomandabil să luăm în considerare cea mai simplă mișcare complexă a unui punct. În multe probleme, mișcarea unui punct trebuie considerată în raport cu două (sau mai multe) sisteme de referință care se mișcă unul față de celălalt. Astfel, mișcarea unei nave spațiale care se deplasează spre Lună trebuie luată în considerare simultan atât față de Pământ, cât și față de Lună, care se mișcă în raport cu Pământul. Orice mișcare a unui punct poate fi considerată complexă, constând din mai multe mișcări. De exemplu, mișcarea unei nave de-a lungul unui râu în raport cu Pământul poate fi considerată complexă, constând în mișcarea prin apă și împreună cu apa care curge.

În cel mai simplu caz, mișcarea complexă a unui punct constă din mișcări relative și de translație. Să definim aceste mișcări. Să avem două sisteme de referință care se deplasează unul față de celălalt. Dacă unul dintre aceste sisteme O l x 1 y 1 z 1(Fig. 19 ) luat ca principal sau staționar (nu se ia în considerare mișcarea acestuia față de alte sisteme de referință), apoi al doilea sistem de referință Oxyz se va deplasa în raport cu primul. Mișcarea unui punct în raport cu un cadru de referință în mișcare Oxyz numit relativ. Caracteristicile acestei mișcări, cum ar fi traiectoria, viteza și accelerația, sunt numite relativ. Ele sunt desemnate prin indicele r; pentru viteza si acceleratie v r , a r . Mișcarea unui punct în raport cu cadrul de referință principal sau fix al sistemului O 1 x 1 y 1 z 1 numit absolut(sau complex ). Se mai numește uneori compozit circulaţie. Traiectoria, viteza și accelerația acestei mișcări se numesc absolute. Viteza și accelerația mișcării absolute sunt indicate prin litere v, a fara indici.

Mișcarea portabilă a unui punct este mișcarea pe care acesta o realizează împreună cu un cadru de referință în mișcare, ca punct atașat rigid acestui sistem în momentul de timp luat în considerare. Datorită mișcării relative, un punct în mișcare în momente diferite coincide cu diferite puncte ale corpului S, cu care este atașat sistemul de referință în mișcare. Viteza portabilă și accelerația portabilă sunt viteza și accelerația acelui punct al corpului S, cu care punctul de mișcare coincide în prezent. Viteza portabilă și accelerația denotă v e , a e.

Dacă traiectoriile tuturor punctelor corpului S, atașat la sistemul de referință în mișcare, prezentat în figură (Fig. 20), apoi obținem o familie de linii - o familie de traiectorii ale mișcării portabile a unui punct M. Datorită mișcării relative a punctului Mîn fiecare moment de timp se află pe una din traiectorii de mişcare portabilă. Punct M poate coincide cu un singur punct pe fiecare dintre traiectorii acestei familii de traiectorii portabile. În acest sens, se crede uneori că nu există traiectorii de mișcare portabilă, deoarece este necesar să se considere liniile ca traiectorii de mișcare portabilă, pentru care doar un punct este de fapt un punct al traiectoriei.

În cinematica unui punct s-a studiat mișcarea unui punct față de orice sistem de referință, indiferent dacă acest sistem de referință se mișcă față de alte sisteme sau nu. Să completăm acest studiu luând în considerare mișcarea complexă, în cel mai simplu caz constând din mișcare relativă și figurată. Una și aceeași mișcare absolută, alegând diferite cadre de referință în mișcare, poate fi considerată a consta din diferite mișcări portabile și, în consecință, relative.

Adăugarea vitezei

Să determinăm viteza mișcării absolute a unui punct dacă sunt cunoscute vitezele mișcărilor relative și portabile ale acestui punct. Fie punctul să facă o singură mișcare relativă față de cadrul de referință în mișcare Oxyz și în momentul de timp t ocupă poziția M pe traiectoria mișcării relative (Fig. 20). La momentul t+ t, din cauza mișcării relative, punctul se va afla în poziția M 1, deplasându-se MM 1 de-a lungul traiectoriei mișcării relative. Să presupunem că este vorba despre subiect Oxyz iar cu o traiectorie relativă se va deplasa de-a lungul vreunei curbe MM 2. Dacă un punct participă simultan atât la mișcări relative cât și la mișcări portabile, atunci în timpul A; ea se va muta la MM" de-a lungul traiectoriei mișcării absolute și în momentul de timp t+At va ocupa postul M". Dacă timpul La putin si apoi mergi la limita la La, tinzând spre zero, atunci micile deplasări de-a lungul curbelor pot fi înlocuite cu segmente de coarde și luate ca vectori de deplasare. Adăugând deplasările vectoriale, obținem

În acest sens, cantități mici de ordin superior sunt aruncate, tinzând spre zero la La, tinde spre zero. Trecând la limită, avem (14)

Prin urmare, (14) va lua forma (15)

A fost obținută așa-numita teoremă de adiție a vitezei: viteza mișcării absolute a unui punct este egală cu suma vectorială a vitezelor mișcărilor portabile și relative ale acestui punct. Deoarece în cazul general vitezele mișcărilor portabile și relative nu sunt perpendiculare, atunci (15’)

Informații conexe.

Mișcarea de rotație a unui corp rigid. Mișcarea de rotație este mișcarea unui corp rigid în care toate punctele sale situate pe o anumită linie dreaptă, numită axa de rotație, rămân nemișcate.

În timpul mișcării de rotație, toate celelalte puncte ale corpului se mișcă în planuri perpendiculare pe axa de rotație și descriu cercuri ale căror centre se află pe această axă.

Pentru a determina poziția unui corp în rotație, desenăm două semiplane prin axa z: semiplanul I - staționar și semiplanul II - conectat la corpul rigid și care se rotește cu acesta (Fig. 2.4). Atunci poziția corpului în orice moment de timp va fi determinată în mod unic de unghi jîntre aceste semiplane, luate cu semnul corespunzător, care se numește unghiul de rotație al corpului.

Când un corp se rotește, unghiul de rotație j se modifică în funcție de timp, adică este o funcție a timpului t:

Această ecuație se numește ecuaţie mișcarea de rotație a unui corp rigid.

Principalele caracteristici cinematice ale mișcării de rotație a unui corp rigid sunt viteza sa unghiulară w și accelerația unghiulară e.

Dacă în timpul D t= t1 + t corpul face o întoarcere cu Dj = j1 –j, atunci viteza unghiulară medie a corpului în această perioadă de timp va fi egală cu

(1.16)

Pentru a determina valoarea vitezei unghiulare a unui corp la un moment dat t să găsim limita raportului dintre incrementul unghiului de rotație Dj și intervalul de timp D t deoarece acesta din urmă tinde spre zero:

(2.17)

Astfel, viteza unghiulară a corpului la un moment dat este numeric egală cu prima derivată a unghiului de rotație în raport cu timpul. Semnul vitezei unghiulare w coincide cu semnul unghiului de rotație al corpului j: w > 0 la j > 0 și invers, dacă j < 0. apoi w < 0. Dimensiunea vitezei unghiulare este de obicei 1/s, deci radianii sunt adimensionali.

Viteza unghiulară poate fi reprezentată ca un vector w , a cărui valoare numerică este egală cu dj/dt care este îndreptată de-a lungul axei de rotație a corpului în direcția din care se poate vedea rotația care se produce în sens invers acelor de ceasornic.

Modificarea vitezei unghiulare a unui corp în timp este caracterizată de accelerația unghiulară e. Prin analogie cu găsirea valorii medii a vitezei unghiulare, vom găsi o expresie pentru determinarea valorii accelerației medii:

(2.18)

Apoi, din expresie se determină accelerația corpului rigid la un moment dat

(2.19)

adică accelerația unghiulară a corpului la un moment dat este egală cu prima derivată a vitezei unghiulare sau cu derivata a doua a unghiului de rotație al corpului în raport cu timpul. Dimensiunea accelerației unghiulare este 1/s 2.

Accelerația unghiulară a unui corp rigid, ca și viteza unghiulară, poate fi reprezentată ca un vector. Vectorul accelerație unghiulară coincide în direcție cu vectorul viteză unghiulară în timpul mișcării accelerate a unui vârf solid și este îndreptat în direcția opusă în timpul mișcării lente.

După ce am stabilit caracteristicile mișcării unui corp rigid în ansamblu, să trecem la studierea mișcării punctelor sale individuale. Să luăm în considerare un punct M corp solid situat la distanta h de axa de rotatie r (fig. 2.3).

Când corpul se rotește, punctul M va descrie un punct circular cu raza h centrat pe axa de rotație și situat într-un plan perpendicular pe această axă. Dacă în timpul dt apare o biciuire elementară a corpului într-un unghi dj , apoi punct Mîn acelaşi timp realizează o mişcare elementară de-a lungul traiectoriei sale dS = h*dj ,. Apoi viteza punctului M a fost determinată din expresie

(2.20)

Viteza se numește viteza liniară sau circumferențială a punctului M.

Astfel, viteza liniară a unui punct de pe un corp rigid rotativ este numeric egală cu produsul dintre viteza unghiulară a corpului și distanța de la acest punct la axa de rotație. Deoarece pentru toate punctele corpului viteza unghiulară w; are aceeași valoare, apoi din formula vitezei liniare rezultă că vitezele liniare ale punctelor unui corp în rotație sunt proporționale cu distanța lor față de axa de rotație. Viteza liniară a unui punct al unui corp rigid este un vector n direcționat tangențial la cercul descris de punctul M.

Beli distanța de la axa de rotație a unui pel solid până la un anumit punct M considerat ca vectorul rază h al punctului M, atunci vectorul viteză liniară al punctului v poate fi reprezentat ca produsul vectorial al vectorului viteză unghiulară w vector rază h:

V = l * h (2/21)

Într-adevăr, rezultatul produsului vectorial (2.21) este un vector egal ca modul cu produsul w*h și direcționat (Fig. 2.5) perpendicular pe planul în care se află cei doi factori, în direcția din care cea mai apropiată combinație de Se observă că primul factor cu al doilea are loc în sens invers acelor de ceasornic, adică tangent la traiectoria punctului M.

Astfel, vectorul rezultat din produsul vectorial (2.21) corespunde ca mărime și direcție vectorului viteză liniară al punctului M.

Orez. 2.5

Pentru a găsi o expresie pentru accelerație O punctul M, diferențiem în funcție de timp expresia (2.21) pentru viteza punctului

(2.22)

Ținând cont de faptul că dj/dt=e și dh/dt = v, scriem expresia (2.22) sub forma

unde аг și аn sunt, respectiv, componentele tangente și normale ale accelerației totale a unui punct al unui corp în timpul mișcării de rotație, determinate din expresiile

Componenta tangenţială a acceleraţiei totale a unui punct al corpului (acceleraţia tangenţială) la caracterizează modificarea mărimii vectorului viteză şi este direcţionată tangenţial la traiectoria punctului corpului în direcţia vectorului viteză în timpul mişcării accelerate sau invers. direcție în timpul mișcării lente. Mărimea vectorului de accelerație tangențială a unui punct al unui corp în timpul mișcării de rotație a unui corp rigid este determinată de expresia

(2,25)

Componenta normală a accelerației totale (accelerație normală) O" apare din cauza unei modificări a direcției vectorului viteză al unui punct la pictarea unui corp solid. După cum reiese din expresia (2.24) pentru accelerația normală, această accelerație este direcționată de-a lungul razei h spre centrul cercului de-a lungul căruia se mișcă punctul. Modulul vectorului normal de accelerație al unui punct în timpul mișcării de rotație a unui corp rigid este determinat luând în considerare (2.20) prin expresia