Ecuație în diferențiale totale. Ecuație în diferențe totale Verificați dacă expresia dată este o diferență totală

Enunțarea problemei în cazul bidimensional

Reconstruirea unei funcţii a mai multor variabile din diferenţialul ei total

9.1. Enunțarea problemei în cazul bidimensional. 72

9.2. Descrierea soluției. 72

Aceasta este una dintre aplicațiile unei integrale curbilinii de al doilea fel.

Expresia pentru diferența totală a unei funcții a două variabile este dată:

Găsiți funcția.

1. Deoarece nu orice expresie a formei este o diferenţială completă a unei funcţii U(x,y), atunci este necesar să se verifice corectitudinea enunțului problemei, adică să se verifice condiția necesară și suficientă pentru diferența totală, care pentru o funcție de 2 variabile are forma . Această condiție rezultă din echivalența afirmațiilor (2) și (3) din teorema secțiunii precedente. Dacă condiția indicată este îndeplinită, atunci problema are o soluție, adică o funcție U(x,y) poate fi restaurat; dacă condiția nu este îndeplinită, atunci problema nu are soluție, adică funcția nu poate fi restabilită.

2. Puteți găsi o funcție din diferența sa totală, de exemplu, folosind o integrală curbilinie de al doilea fel, calculând-o de-a lungul unei linii care leagă un punct fix ( x 0 ,y 0) și punct variabil ( x;y) (Orez. 18):

Astfel, se obţine că integrala curbilinie a celui de-al doilea fel al diferenţialului total dU(x,y) este egală cu diferența dintre valorile funcției U(x,y) la punctele de capăt și de început ale liniei de integrare.

Cunoscând acest rezultat acum, trebuie să înlocuim dUîn expresia integrală curbilinie și calculați integrala de-a lungul liniei întrerupte ( ACB), având în vedere independența sa față de forma liniei de integrare:

pe ( A.C.): pe ( NE) :

(1)

Astfel, s-a obţinut o formulă cu ajutorul căreia se restabileşte o funcţie a 2 variabile din diferenţialul ei total.

3. Este posibil să se restabilească o funcție din diferența sa totală doar până la un termen constant, deoarece d(U+ const) = dU. Prin urmare, în urma rezolvării problemei, obținem un set de funcții care diferă între ele printr-un termen constant.

Exemple (reconstruirea unei funcții a două variabile din diferența sa totală)

1. Găsiți U(x,y), Dacă dU = (x 2 – y 2)dx – 2xydy.

Verificăm condiția pentru diferența totală a unei funcții a două variabile:

Condiția diferențială completă este satisfăcută, ceea ce înseamnă funcția U(x,y) poate fi restaurat.

Verificați: – corect.

Răspuns: U(x,y) = x 3 /3 – xy 2 + C.

2. Găsiți o funcție astfel încât

Verificăm condiţiile necesare şi suficiente pentru diferenţialul complet al unei funcţii de trei variabile: , , , dacă este dată expresia.

În problema care se rezolvă

toate condițiile pentru un diferențial complet sunt îndeplinite, prin urmare, funcția poate fi restabilită (problema este formulată corect).

Vom restabili funcția folosind o integrală curbilinie de al doilea fel, calculând-o de-a lungul unei anumite linii care leagă un punct fix și un punct variabil, deoarece

(această egalitate este derivată în același mod ca în cazul bidimensional).

Pe de altă parte, o integrală curbilinie de al doilea fel dintr-o diferență totală nu depinde de forma liniei de integrare, așa că este cel mai ușor să o calculăm de-a lungul unei linii întrerupte constând din segmente paralele cu axele de coordonate. În acest caz, ca punct fix, puteți lua pur și simplu un punct cu coordonate numerice specifice, urmărind doar că în acest punct și de-a lungul întregii linii de integrare este îndeplinită condiția existenței unei integrale curbilinii (adică, astfel încât funcțiile și sunt continue). Ținând cont de această remarcă, în această problemă putem lua, de exemplu, punctul M 0 ca punct fix. Apoi pe fiecare dintre legăturile liniei întrerupte vom avea

10.2. Calculul integralei de suprafață de primul fel. 79

10.3. Unele aplicații ale integralei de suprafață de primul fel. 81

Se poate întâmpla ca partea stângă a ecuației diferențiale

este diferența totală a unei funcții:

și prin urmare, ecuația (7) ia forma .

Dacă funcția este o soluție a ecuației (7), atunci , și, prin urmare,

unde este o constantă și invers, dacă o funcție transformă ecuația finită (8) într-o identitate, atunci, diferențiind identitatea rezultată, obținem , și, prin urmare, , unde este o constantă arbitrară, este integrala generală a originalului ecuaţie.

Dacă sunt date valorile inițiale, atunci constanta este determinată din (8) și

este integrala parțială dorită. Dacă în punctul , atunci ecuația (9) este definită ca o funcție implicită a lui .

Pentru ca partea stângă a ecuației (7) să fie o diferență completă a unei funcții, este necesar și suficient ca

Dacă această condiție specificată de Euler este îndeplinită, atunci ecuația (7) poate fi integrată cu ușurință. Într-adevăr, . Pe de altă parte, . Prin urmare,

Când se calculează integrala, cantitatea este considerată o constantă, prin urmare este o funcție arbitrară a . Pentru a determina funcția, diferențiem funcția găsită față de și, din moment ce , obținem

Din această ecuație determinăm și, prin integrare, găsim .

După cum știți de la curs analiză matematică, și mai simplu, puteți defini o funcție prin diferența sa totală, luând integrala curbilinie dintre un punct fix și un punct cu coordonate variabile de-a lungul oricărei căi:

Cel mai adesea, ca cale de integrare, este convenabil să se ia o linie întreruptă compusă din două legături paralele cu axele de coordonate; în acest caz,

Exemplu. .

Partea stângă a ecuației este diferența totală a unei funcții, deoarece

Prin urmare, integrala generală are forma

O altă metodă de definire a unei funcții poate fi utilizată:

Alegem, de exemplu, originea coordonatelor ca punct de plecare și o linie întreruptă ca cale de integrare. Apoi

iar integrala generală are forma

Ceea ce coincide cu rezultatul anterior, conducând la un numitor comun.

În unele cazuri, când partea stângă a ecuației (7) nu este o diferențială completă, este ușor să selectați o funcție, după înmulțirea cu care partea stângă a ecuației (7) se transformă într-o diferență completă. Această funcție este numită factor integrator. Rețineți că înmulțirea cu un factor de integrare poate duce la apariția unor soluții parțiale inutile care transformă acest factor la zero.

Exemplu. .

Evident, după înmulțirea cu un factor, partea stângă se transformă într-o diferență totală. Într-adevăr, după înmulțirea cu obținem

sau, integrând, . Inmultind cu 2 si potentand, avem .

Desigur, factorul de integrare nu este întotdeauna ales atât de ușor. În cazul general, pentru a găsi factorul de integrare, este necesar să se selecteze cel puțin o soluție parțială a ecuației în derivate parțiale, sau în formă extinsă, care să nu fie identic zero.

care, după împărțirea și transferul unor termeni într-o altă parte a egalității, se reduce la formă

În cazul general, integrarea acestei ecuații diferențiale parțiale nu este în niciun caz o sarcină mai simplă decât integrarea ecuației originale, dar în unele cazuri selectarea unei anumite soluții pentru ecuația (11) nu este dificilă.

În plus, având în vedere că factorul de integrare este o funcție a unui singur argument (de exemplu, este o funcție de numai sau numai , sau o funcție de numai , sau numai , etc.), se poate integra cu ușurință ecuația (11) și indicați condițiile în care există un factor integrator de tipul în cauză. Aceasta identifică clase de ecuații pentru care factorul de integrare poate fi găsit cu ușurință.

De exemplu, să găsim condițiile în care ecuația are un factor de integrare care depinde numai de , i.e. . În acest caz, ecuația (11) este simplificată și ia forma , de unde, considerând functie continua de la , primim

Dacă este o funcție numai a lui , atunci un factor integrator care depinde numai de , există și este egal cu (12), în caz contrar un factor integrator de formă nu există.

Condiția existenței unui factor integrator care depinde numai de este îndeplinită, de exemplu, pt ecuație liniară sau . Într-adevăr, și prin urmare. Condițiile de existență a factorilor integratori ai formei etc., pot fi găsite într-un mod complet similar.

Exemplu. Ecuația are un factor integrator de formă?

Să notăm. Ecuația (11) la ia forma , de unde sau

Pentru existența unui factor integrator de tip dat este necesar și, în ipoteza continuității, suficient ca acesta să fie doar o funcție . În acest caz, deci, factorul de integrare există și este egal cu (13). Când primim. Înmulțind ecuația inițială cu , o reducem la forma

Integrând, obținem , iar după potențare vom avea , sau în coordonate polare - o familie de spirale logaritmice.

Exemplu. Găsiți forma unei oglinzi care reflectă paralel cu o direcție dată toate razele care emană dintr-un punct dat.

Să plasăm originea coordonatelor într-un punct dat și să direcționăm axa absciselor paralel cu direcția specificată în condițiile problemei. Lasă fasciculul să cadă pe oglindă în punctul . Să considerăm o secțiune a oglinzii printr-un plan care trece prin axa absciselor și punctul . Să desenăm o tangentă la secțiunea suprafeței oglinzii luate în considerare la punctul . Deoarece unghiul de incidenţă al fasciculului egal cu unghiul reflexie, atunci triunghiul este isoscel. Prin urmare,

Ecuația omogenă rezultată se integrează ușor prin modificarea variabilelor, dar este și mai ușor, eliberat de iraționalitate în numitor, să o rescrieți sub forma . Această ecuație are un factor de integrare evident , , , (familie de parabole).

Această problemă poate fi rezolvată și mai simplu în coordonate și , unde , iar ecuația pentru secțiunea suprafețelor necesare ia forma .

Este posibil să se dovedească existența unui factor de integrare sau, ceea ce este același lucru, existența unei soluții nenule a ecuației cu diferență parțială (11) într-un anumit domeniu dacă funcțiile și au derivate continue și cel puțin una dintre acestea. funcțiile nu dispare. Prin urmare, metoda factorului integrator poate fi considerată ca metoda generala ecuații integratoare de forma , însă, din cauza dificultății de a găsi factorul de integrare, această metodă este folosită cel mai adesea în cazurile în care factorul de integrare este evident.

S-a arătat cum să recunoască ecuație diferențialăîn diferențe complete. Sunt date metode de rezolvare. Este dat un exemplu de rezolvare a unei ecuații în diferențe totale în două moduri.

Conţinut

Introducere

O ecuație diferențială de ordinul întâi în diferențiale totale este o ecuație de forma:
(1) ,
unde partea stângă a ecuației este diferența totală a unei funcții U (x, y) din variabilele x, y:
.
În același timp.

Dacă se găseşte o astfel de funcţie U (x, y), atunci ecuația ia forma:
dU (x, y) = 0.
Integrala sa generală este:
U (x, y) = C,
unde C este o constantă.

Dacă o ecuație diferențială de ordinul întâi este scrisă în termenii derivatei sale:
,
atunci este ușor să-l aduci în formă (1) . Pentru a face acest lucru, înmulțiți ecuația cu dx.
(1) .

Apoi . Ca rezultat, obținem o ecuație exprimată în termeni de diferențe:

Proprietatea unei ecuații diferențiale în diferențiale totale (1) Pentru ca ecuația
(2) .

a fost o ecuație în diferențiale totale, este necesar și suficient pentru ca relația să se țină:

Dovada În plus, presupunem că toate funcțiile utilizate în demonstrație sunt definite și au derivate corespunzătoare într-un interval de valori ale variabilelor x și y. Punctul x

0, y 0.
aparține și acestei zone. (1) Să demonstrăm necesitatea condiției (2) (x, y):
.
Lasă partea stângă a ecuației
;
.
este diferența unei funcții U
;
.
Apoi (2) Deoarece derivata a doua nu depinde de ordinea diferențierii, atunci

Rezultă că ..
Condiție de necesitate (2) :
(2) .
dovedit. (x, y) Să demonstrăm suficiența condiției (2)
.
Să fie îndeplinită condiția (x, y) Să arătăm că este posibil să găsim o astfel de funcție U
(3) ;
(4) .
că diferența sa este: (3) Aceasta înseamnă că există o astfel de funcție U 0 , care satisface ecuațiile:
;
;
(5) .
Să găsim o astfel de funcție. Să integrăm ecuația (2) :

.
prin x din x (4) la x, presupunând că y este o constantă:
.
Diferențiem față de y, presupunând că x este o constantă și se aplică 0 Ecuaţie
;
;
.
va fi executat dacă (5) :
(6) .
Integrați peste y din y
.
la y:

Înlocuiește în (6) Deci, am găsit o funcție a cărei diferenţială Suficiența a fost dovedită.În formulă (x, y),U În plus, presupunem că toate funcțiile utilizate în demonstrație sunt definite și au derivate corespunzătoare într-un interval de valori ale variabilelor x și y.(x 0 , y 0)

este o constantă - valoarea funcției U

în punctul x
(1) .
. (2) :
(2) .
Dacă este valabil, atunci această ecuație este în diferențe totale. Dacă nu, atunci aceasta nu este o ecuație diferențială totală.

Exemplu

Verificați dacă ecuația este în diferențe totale:
.

Aici
, .
Diferențiem față de y, considerând constanta x:


.
Sa facem diferenta


.
Deoarece:
,
atunci ecuația dată este în diferențe totale.

Metode de rezolvare a ecuaţiilor diferenţiale în diferenţiale totale

Metoda de extracție diferențială secvențială

Cele mai multe metoda simpla rezolvarea ecuației în diferențiale totale este metoda de selecție secvențială a diferențialei. Pentru a face acest lucru, folosim formule de diferențiere scrise în formă diferențială:
du ± dv = d (u ± v);
v du + u dv = d (uv);
;
.
În aceste formule, u și v sunt expresii arbitrare formate din orice combinație de variabile.

Exemplul 1

Rezolvați ecuația:
.

Anterior am descoperit că această ecuație este în diferențe totale. Să-l transformăm:
(P1) .
Rezolvăm ecuația izolând succesiv diferența.
;
;
;
;

.
va fi executat dacă (P1):
;
.

Metoda integrării succesive

În această metodă căutăm funcția U (x, y), satisfacand ecuatiile:
(3) ;
(4) .

Să integrăm ecuația (3) în x, având în vedere constanta y:
.
Aici φ (y)- o funcție arbitrară a lui y care trebuie determinată. Este constanta integrării. Înlocuiți în ecuație (4) :
.
De aici:
.
Integrând, găsim φ (y)și, astfel, U (x, y).

Exemplul 2

Rezolvați ecuația în diferențiale totale:
.

Anterior am descoperit că această ecuație este în diferențe totale. Să introducem următoarea notație:
, .
Se caută funcția U (x, y), a cărei diferenţială este partea stângă a ecuaţiei:
.
Apoi:
(3) ;
(4) .
Să integrăm ecuația (3) în x, având în vedere constanta y:
(P2)
.
Diferențierea față de y:

.
Să înlocuim (4) :
;
.
Să integrăm:
.
Să înlocuim (P2):

.
Integrala generală a ecuației:
U (x, y) = const.
Combinăm două constante într-una singură.

Metoda de integrare de-a lungul unei curbe

Funcția U definită de relația:
dU = p (x, y) dx + q(x, y) dy,
poate fi găsit prin integrarea acestei ecuații de-a lungul curbei care leagă punctele Suficiența a fost dovedită.Şi (x, y):
(7) .
Din moment ce
(8) ,
atunci integrala depinde numai de coordonatele initialei Suficiența a fost dovedită. si finala (x, y) puncte și nu depinde de forma curbei. Din (7) Şi (8) gasim:
(9) .
Aici x 0 și y 0 - permanentă. Prin urmare U Suficiența a fost dovedită.- de asemenea constantă.

Un exemplu de astfel de definiție a lui U a fost obținut în demonstrație:
(6) .
Aici integrarea se realizează mai întâi pe segment, paralel cu axa y, de la punct (x 0 , y 0 ) la obiect (x 0 , y). (x 0 , y) la obiect (x, y) .

Apoi integrarea se realizează de-a lungul unui segment paralel cu axa x din punct (x 0 , y 0 )Şi (x, y) Mai general, trebuie să reprezentați ecuația unei curbe care leagă punctele
sub forma parametrica: x 1 = s(t 1) ;;
sub forma parametrica: y 1 = s(t 1) 1 = r(t 1);
0 = s(t 0) 0 = r(t 0) x = s 0 = r(t 0);
(t) 1 ; 0 y = r

Cel mai simplu mod de a realiza integrarea este peste un segment de puncte de conectare (x 0 , y 0 )Şi (x, y).
sub forma parametrica: În acest caz: 1 = s(t 1) 1 = x 0 + (x - x 0) t 1;
1 = y 0 + (y - y 0) t 1 0 = 0 t 1 ;
; t = dx 1 = (x - x 0) dt 1.
; 0 dy 1 .
1 = (y - y 0) dt 1 După înlocuire, obținem integrala peste t din

la
Această metodă

, duce însă la calcule destul de greoaie. Literatura folosita:

V.V. Stepanov, Curs de ecuații diferențiale, „LKI”, 2015.(Diferenţial)dx + numită ecuație a formei(Diferenţial)P = 0 ,

x,y

Q dy unde partea stângă este diferența totală a oricărei funcții a două variabile.

Să notăm funcția necunoscută a două variabile (acesta este ceea ce trebuie găsit atunci când rezolvăm ecuații în diferențiale totale) prin

F dyși vom reveni la el în curând.

Primul lucru la care ar trebui să acordați atenție este că trebuie să existe un zero în partea dreaptă a ecuației, iar semnul care leagă cei doi termeni din partea stângă trebuie să fie un plus. dyÎn al doilea rând, trebuie observată o oarecare egalitate, ceea ce confirmă că această ecuație diferențială este o ecuație în diferențiale totale. Această verificare este o parte obligatorie a algoritmului de rezolvare a ecuațiilor în diferențiale totale (este în al doilea paragraf al acestei lecții), deci procesul de găsire a unei funcții

destul de intensă a forței de muncă și este important să ne asigurăm în faza inițială că nu pierdem timpul. = V.V. Stepanov, Curs de ecuații diferențiale, „LKI”, 2015.(Diferenţial)dx + numită ecuație a formei(Diferenţial)P .

Deci, funcția necunoscută care trebuie găsită este notată cu

. Suma diferenţialelor parţiale pentru toate variabilele independente dă diferenţialul total. Prin urmare, dacă ecuația este o ecuație diferențială totală, partea stângă a ecuației este suma diferențialelor parțiale. Apoi, prin definiție

.

dF

.

Să ne amintim formula de calcul a diferenţialului total al unei funcţii a două variabile:

Rezolvând ultimele două egalități, putem scrie

Diferențiam prima egalitate în raport cu variabila „y”, a doua - în raport cu variabila „x”: care este o condiție pentru ca o ecuație diferențială dată să fie cu adevărat o ecuație diferențială totală. Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale în diferențiale totale dy(Pasul 1. Asigurați-vă că ecuația este o ecuație diferențială totală. Pentru expresia x a fost diferenţialul total al unei anumite funcţii y x, y

) este necesar şi suficient pentru ca . Cu alte cuvinte, trebuie să luați derivata parțială cu privire la iar derivata parțială în raport cu dy:

un alt termen și, dacă aceste derivate sunt egale, atunci ecuația este o ecuație diferențială totală. Integrați prima ecuație a sistemului - prin x (y dy:

,
y.

O opțiune alternativă (dacă este mai ușor să găsiți integrala în acest fel) este să integrați a doua ecuație a sistemului - prin y (x rămâne constantă și este scoasă din semnul integral). În acest fel, funcția este restabilită dy:

,
unde este o funcție încă necunoscută a X.

Pasul 4. Rezultatul pasului 3 (integrala generală găsită) se diferențiază prin y(alternativ - conform x) și echivalează cu a doua ecuație a sistemului:

,

și într-o versiune alternativă - la prima ecuație a sistemului:

.

Din ecuația rezultată determinăm (alternativ)

Pasul 5. Rezultatul pasului 4 este integrarea și găsirea (alternativ, găsirea).

Pasul 6.Înlocuiți rezultatul pasului 5 în rezultatul pasului 3 - în funcția restaurată prin integrare parțială dy. Constanta arbitrara C scris adesea după semnul egal - în partea dreaptă a ecuației. Astfel obținem solutie generala ecuație diferențială în diferențiale totale. După cum am menționat deja, are forma dy(Pasul 1.) = C.

Exemple de soluții ale ecuațiilor diferențiale în diferențiale totale

Exemplul 1.

Diferențiam prima egalitate în raport cu variabila „y”, a doua - în raport cu variabila „x”: ecuație în diferențiale totale x un termen din partea stângă a expresiei

iar derivata parțială în raport cu y alt termen
ecuație în diferențiale totale .

) este necesar şi suficient pentru ca . Cu alte cuvinte, trebuie să luați derivata parțială cu privire la dy:

un alt termen și, dacă aceste derivate sunt egale, atunci ecuația este o ecuație diferențială totală. De x (y rămâne constantă și este scoasă din semnul integral). Astfel restabilim funcția dy:

unde este o funcție încă necunoscută a y.

Pasul 4. y

.

.

Pasul 5.

Pasul 6. dy. Constanta arbitrara C :
.

Ce eroare este cel mai probabil să apară aici? Cele mai frecvente greșeli sunt să luați o integrală parțială peste una dintre variabile pentru integrala obișnuită a unui produs de funcții și să încercați să integrați prin părți sau o variabilă de înlocuire și, de asemenea, să luați derivata parțială a doi factori ca derivată a unui produs al funcțiilor și căutați derivata folosind formula corespunzătoare.

Acest lucru trebuie reținut: atunci când se calculează o integrală parțială față de una dintre variabile, cealaltă este o constantă și este scoasă din semnul integralei, iar când se calculează derivata parțială față de una dintre variabile, cealaltă este de asemenea o constantă și derivata expresiei se găsește ca derivată a variabilei „acționante” înmulțită cu constanta.

Printre ecuații în diferențiale totale Nu este neobișnuit să găsiți exemple cu o funcție exponențială. Acesta este următorul exemplu. Se remarcă și prin faptul că soluția sa folosește o opțiune alternativă.

Exemplul 2. Rezolvați ecuația diferențială

.

Diferențiam prima egalitate în raport cu variabila „y”, a doua - în raport cu variabila „x”: Să ne asigurăm că ecuația este ecuație în diferențiale totale . Pentru a face acest lucru, găsim derivata parțială cu privire la x un termen din partea stângă a expresiei

iar derivata parțială în raport cu y alt termen
. Aceste derivate sunt egale, ceea ce înseamnă că ecuația este ecuație în diferențiale totale .

) este necesar şi suficient pentru ca . Cu alte cuvinte, trebuie să luați derivata parțială cu privire la Să scriem un sistem de ecuații cu diferențe parțiale care alcătuiesc funcția dy:

un alt termen și, dacă aceste derivate sunt egale, atunci ecuația este o ecuație diferențială totală. Să integrăm a doua ecuație a sistemului - prin y (x rămâne constantă și este scoasă din semnul integral). Astfel restabilim funcția dy:

unde este o funcție încă necunoscută a X.

Pasul 4. Diferențiem rezultatul pasului 3 (integrala generală găsită) în raport cu X

și echivalează cu prima ecuație a sistemului:

Din ecuația rezultată determinăm:
.

Pasul 5. Integram rezultatul pasului 4 si gasim:
.

Pasul 6.Înlocuim rezultatul pasului 5 în rezultatul pasului 3 - în funcția restaurată prin integrare parțială dy. Constanta arbitrara C scrie după semnul egal. Astfel obținem totalul rezolvarea unei ecuații diferențiale în diferențiale totale :
.

În exemplul următor ne întoarcem de la o opțiune alternativă la cea principală.

Exemplul 3. Rezolvați ecuația diferențială

Diferențiam prima egalitate în raport cu variabila „y”, a doua - în raport cu variabila „x”: Să ne asigurăm că ecuația este ecuație în diferențiale totale . Pentru a face acest lucru, găsim derivata parțială cu privire la y un termen din partea stângă a expresiei

iar derivata parțială în raport cu x alt termen
. Aceste derivate sunt egale, ceea ce înseamnă că ecuația este ecuație în diferențiale totale .

) este necesar şi suficient pentru ca . Cu alte cuvinte, trebuie să luați derivata parțială cu privire la Să scriem un sistem de ecuații cu diferențe parțiale care alcătuiesc funcția dy:

un alt termen și, dacă aceste derivate sunt egale, atunci ecuația este o ecuație diferențială totală. Să integrăm prima ecuație a sistemului - De x (y rămâne constantă și este scoasă din semnul integral). Astfel restabilim funcția dy:

unde este o funcție încă necunoscută a y.

Pasul 4. Diferențiem rezultatul pasului 3 (integrala generală găsită) în raport cu y

și echivalează cu a doua ecuație a sistemului:

Din ecuația rezultată determinăm:
.

Pasul 5. Integram rezultatul pasului 4 si gasim:

Pasul 6.Înlocuim rezultatul pasului 5 în rezultatul pasului 3 - în funcția restaurată prin integrare parțială dy. Constanta arbitrara C scrie după semnul egal. Astfel obținem totalul rezolvarea unei ecuații diferențiale în diferențiale totale :
.

Exemplul 4. Rezolvați ecuația diferențială

Diferențiam prima egalitate în raport cu variabila „y”, a doua - în raport cu variabila „x”: Să ne asigurăm că ecuația este ecuație în diferențiale totale . Pentru a face acest lucru, găsim derivata parțială cu privire la y un termen din partea stângă a expresiei

iar derivata parțială în raport cu x alt termen
. Aceste derivate sunt egale, ceea ce înseamnă că ecuația este o ecuație diferențială totală.

) este necesar şi suficient pentru ca . Cu alte cuvinte, trebuie să luați derivata parțială cu privire la Să scriem un sistem de ecuații cu diferențe parțiale care alcătuiesc funcția dy:

un alt termen și, dacă aceste derivate sunt egale, atunci ecuația este o ecuație diferențială totală. Să integrăm prima ecuație a sistemului - De x (y rămâne constantă și este scoasă din semnul integral). Astfel restabilim funcția dy:

unde este o funcție încă necunoscută a y.

Pasul 4. Diferențiem rezultatul pasului 3 (integrala generală găsită) în raport cu y

și echivalează cu a doua ecuație a sistemului:

Din ecuația rezultată determinăm:
.

Pasul 5. Integram rezultatul pasului 4 si gasim:

Pasul 6.Înlocuim rezultatul pasului 5 în rezultatul pasului 3 - în funcția restaurată prin integrare parțială dy. Constanta arbitrara C scrie după semnul egal. Astfel obținem totalul rezolvarea unei ecuații diferențiale în diferențiale totale :
.

Exemplul 5. Rezolvați ecuația diferențială

.

Diferențiam prima egalitate în raport cu variabila „y”, a doua - în raport cu variabila „x”: Să ne asigurăm că ecuația este ecuație în diferențiale totale . Pentru a face acest lucru, găsim derivata parțială cu privire la y un termen din partea stângă a expresiei

iar derivata parțială în raport cu x alt termen
. Aceste derivate sunt egale, ceea ce înseamnă că ecuația este ecuație în diferențiale totale .

În acest subiect ne vom uita la metoda de restabilire a unei funcții din diferența sa totală, dăm exemple de probleme cu analiză completă solutii.

Se întâmplă ca ecuațiile diferențiale (DE) de forma P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 să conțină diferențiale complete ale unor funcții pe laturile stângi. Atunci putem găsi integrala generală a ecuației diferențiale dacă reconstruim mai întâi funcția din diferența sa totală.

Exemplul 1

Se consideră ecuația P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0. Partea stângă conține diferența unei anumite funcții U(x, y) = 0. Pentru a face acest lucru, condiția ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x trebuie îndeplinită.

Diferenţialul total al funcţiei U (x, y) = 0 are forma d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y. Ținând cont de condiția ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x obținem:

P (x , y) d x + Q (x , y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x, y) ∂ U ∂ y = Q (x, y)

Transformând prima ecuație din sistemul de ecuații rezultat, putem obține:

U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + φ (y)

Putem găsi funcția φ (y) din a doua ecuație a sistemului obținut anterior:
∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) d x ∂ y + φ y " (y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x , y) d x ∂ y d y

Așa am găsit funcția dorită U (x, y) = 0.

Exemplul 2

Aflați soluția generală pentru ecuația diferențială (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0.

Soluţie

P (x, y) = x 2 - y 2, Q (x, y) = - 2 x y

Să verificăm dacă este îndeplinită condiția ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y

Condiția noastră este îndeplinită.

Pe baza calculelor, putem concluziona că partea stângă a ecuației diferențiale inițiale este diferența totală a unei funcții U (x, y) = 0. Trebuie să găsim această funcție.

Deoarece (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y este diferența totală a funcției U (x, y) = 0, atunci

∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y

Să integrăm prima ecuație a sistemului în raport cu x:

U (x, y) = ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y)

Acum diferențiam rezultatul rezultat în raport cu y:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y " (y)

Transformând a doua ecuație a sistemului, obținem: ∂ U ∂ y = - 2 x y . Aceasta înseamnă că
- 2 x y + φ y " (y) = - 2 x y φ y " (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

unde C este o constantă arbitrară.

Se obține: U (x, y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + C. Integrala generală a ecuației inițiale este x 3 3 - x y 2 + C = 0.

Să ne uităm la o altă metodă pentru găsirea unei funcții folosind o diferenţială totală cunoscută. Implica utilizarea unei integrale curbilinii de la un punct fix (x 0, y 0) la un punct cu coordonate variabile (x, y):

U (x , y) = ∫ (x 0 , y 0) (x , y) P (x , y) d x + Q (x , y) d y + C

În astfel de cazuri, valoarea integralei nu depinde în niciun fel de calea integrării. Putem lua ca cale de integrare o linie întreruptă, ale cărei legături sunt situate paralel cu axele de coordonate.

Exemplul 3

Aflați soluția generală a ecuației diferențiale (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0.

Soluţie

Să verificăm dacă este îndeplinită condiția ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

Rezultă că partea stângă a ecuației diferențiale este reprezentată de diferența totală a unei funcții U (x, y) = 0. Pentru a găsi această funcție, este necesar să se calculeze integrala dreaptă a punctului (1 ; 1) dy (x, y). Să luăm ca cale de integrare o linie întreruptă, a cărei secțiuni vor trece în linie dreaptă y = 1 de la punctul (1, 1) la (x, 1) și apoi de la punctul (x, 1) la (x, y):

∫ (1 , 1) (x , y) y - y 2 d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) ) d y + + ∫ (x , 1) (x , y) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ 1 x (1 - 1 2) d x + ∫ 1 y (x - 2) x y) d y = (x y - x y 2) y 1 = = x y - x y 2 - (x 1 - x 1 2) = x y - x y 2

Am obținut o soluție generală a unei ecuații diferențiale de forma x y - x y 2 + C = 0.

Exemplul 4

Să se determine soluția generală a ecuației diferențiale y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 .

Soluţie

Să verificăm dacă este îndeplinită condiția ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x.

Deoarece ∂ (y · cos x) ∂ y = cos x, ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x · cos x, atunci condiția nu va fi îndeplinită. Aceasta înseamnă că partea stângă a ecuației diferențiale nu este diferența completă a funcției. Aceasta este o ecuație diferențială cu variabile separabile și alte soluții sunt potrivite pentru a o rezolva.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter