Ecuație bazată pe formula lui Einstein. ecuația lui Einstein

Spațiu - timp pentru luarea în considerare a locației energiei de stres în spațiu - timp. Relația dintre tensorul metric și tensorul Einstein permite ca EFE să fie scris ca un set de ecuații diferențiale parțiale neliniare atunci când este utilizat în acest mod. Soluțiile EFE sunt componente ale tensorului metric. Traiectoriile particulelor inerțiale și radiația (geodezice) din geometria rezultată sunt apoi calculate folosind ecuația geodezică.

Și, de asemenea, respectând conservarea energiei-impuls local, EFE-urile sunt reduse la legea gravitațională a lui Newton, unde câmpul gravitațional este slab și viteza este mult mai mică decât viteza luminii.

Soluțiile exacte pentru EFE pot fi găsite numai în baza unor ipoteze simplificatoare, cum ar fi simetria. Clasele speciale de soluții exacte sunt cel mai adesea studiate, deoarece modelează multe fenomene gravitaționale, cum ar fi găurile negre rotative și expansiunea Universului. O simplificare suplimentară este realizată prin aproximarea spațiu-timpului real ca un spațiu-timp plat cu o mică abatere, rezultând un EFE liniarizat. Aceste ecuații sunt folosite pentru a studia fenomene precum undele gravitaționale.

Forma matematică

Ecuațiile de câmp Einstein (EFE) pot fi scrise astfel:

R μ ν - 1 2 R g μ ν + Λ g μ ν = 8 π g c 4 T μ ν (\displaystyle R_(\mu \Nu)-(\tfrac (1)(2)) R\, G_(\ mu\Nu) + \Lambda G_(\mu\Nu) = (\frac (8\p G)(c^(4)))_(T\mu\Nu))

unde R μν este tensorul curburii Ricci, R este curbura scalară, G μν este tensorul metric, Λ este constanta cosmologică, G este constanta gravitațională a lui Newton, c este viteza luminii în vid și T μν este stresul tensor de energie.

EFE este o ecuație tensorială care raportează un set de tensori simetrici 4×4. Fiecare tensor are 10 componente independente. Cele patru identități Bianchi reduc numărul de ecuații independente de la 10 la 6, rezultând un indice cu patru grade de libertate calibrul de fixare care corespund libertății de alegere a sistemului de coordonate.

Deși ecuațiile de câmp ale lui Einstein au fost formulate inițial în contextul teoriei patru-dimensionale, unii teoreticieni au explorat implicațiile lor în n dimensiuni. Ecuații în contexte externe teorie generală relativitatea sunt încă numite ecuații de câmp ale lui Einstein. Ecuațiile câmpului de vid (obținute când T este identic zero) definesc varietățile Einstein.

În ciuda simplului aspect Ecuațiile sunt de fapt destul de complexe. Luând în considerare distribuția specificată a materiei și energiei sub forma unui tensor de energie, EFE înțelege ecuațiile pentru tensorul metric r μν, deoarece atât tensorul Ricci, cât și curbura scalară depind de metrică într-o manieră neliniară complexă. De fapt, atunci când sunt scrise complet, EFE-urile sunt un sistem de zece ecuații diferențiale hiperbolice-eliptice cuplate, neliniare.

Putem scrie EFE într-o formă mai compactă prin definirea tensorului Einstein

G μ ν = R μ ν - 1 2 R g μ ν , (\displaystyle G_(\mu \Nu)=R_(\mu \Nu)-(\tfrac (1)(2))_(Rg \mu\ Nu))

care este un tensor simetric de rangul doi, care este o funcție a metricii. EFE, atunci poate fi scris în formă

G μ ν + Λ G μ ν = 8 π G c 4 T μ ν , (\displaystyle G_(\mu \Nu)+\Lambda G_(\mu \Nu)=(\frac (8\p G) (c ^(4))) T_(\mu\Nu).)

În unitățile standard, fiecare termen din stânga are unități de 1/lungime de 2. Cu o astfel de alegere a constantei lui Einstein ca 8πG/s 4, tensorul energie-impuls din partea dreaptă a ecuației trebuie scris cu fiecare componentă în unități de densitate de energie (adică energie pe unitate de volum = presiune).

Intrarea la convenție

Forma de mai sus a EFE este standardul stabilit de Misner, Thorne și Wheeler. Autorii au analizat toate convențiile care există și sunt clasificate după următoarele trei semne (S1, S2, S3):

g μ ν = [ S 1 ] × diag ⁡ (- 1 , + 1 , + 1 , + 1) r μ α β γ = [ S 2 ] × (Γ α γ , β μ - Γ α β , γ μ + Γ σ β μ Γ γ α σ - Γ σ γ μ Γ β α σ) g μ ν = [ S 3 ] × 8 π g c 4 T μ ν (\displaystyle (\(begin aligned))_(g \mu\nu )&=\times\OperatorName (Diag) (-1, +1, +1, +1)\\(R^(\mu))_(\alpha\beta\gamma)&=\times \left(\ Gamma_(\alpha\gamma,\beta)^(\mu)-\Gamma_(\alpha\beta,\gamma)^(\mu)+\Gamma_(\Sigma\beta)^(\mu)\gamma_(\ Gamma\alpha)^(\Sigma)-\Gamma_(\Sigma\Gamma)^(\mu)\Gamma_(\beta\alpha)^(\Sigma)\right)\\G_(\mu\Nu)&= \times (\frac(8\Pi G)(s^(4))) T_(\mu\Nu)\(end aligned)))

Al treilea semn de mai sus se referă la alegerea convenției pentru tensorul Ricci:

R μ ν = [ S 2 ] × [ S 3 ] × R α μ α ν (\displaystyle R_(\mu \nu)=\[ori S3]\(ori R^(\alpha))_(\ mu\ alfa\nu)) R μ ν - 1 2 R g μ ν + Λ g μ ν = 8 π g c 4 T μ ν , (\displaystyle R_(\mu \Nu)-(\tfrac (1)(2)) R\ , G_( \mu\Nu) + \Lambda G_(\mu\Nu) = (\frac (8\p G)(c^(4))) T_(\mu\Nu)\,.)

Deoarece Λ este constant, legea conservării energiei nu se modifică.

Termenul cosmologic a fost inventat inițial de Einstein pentru a se referi la un univers care nu se extinde sau nu se contractă. Aceste eforturi au avut succes deoarece:

• Universul descris de această teorie era instabil și
• Observațiile lui Edwin Hubble au confirmat că Universul nostru se extinde.

Astfel, Einstein l-a abandonat pe L, numind-o „cea mai mare greșeală [pe] a făcut-o vreodată”.

În ciuda motivației lui Einstein de a introduce o constantă cosmologică, nu există nimic incompatibil cu prezența unui astfel de termen în ecuații. Timp de mulți ani, constanta cosmologică a fost aproape universal presupusă a fi 0. Cu toate acestea, tehnicile astronomice îmbunătățite recente au descoperit că o valoare pozitivă pentru A este necesară pentru a explica accelerarea Universului. Cu toate acestea, cosmologicul este neglijabil la scara unei galaxii sau mai mică.

Einstein a considerat constanta cosmologică ca un parametru independent, dar termenul său din ecuația de câmp poate fi mutat și algebric pe cealaltă parte, scris ca parte a tensorului de energie:

T μ ν (v a c) = - Λ c 4 8 π g g μ ν , (\displaystyle T_(\mu \nu)^(\mathrm ((VPT)))=-(\frac (\Lambda c ^(4) ) (8\pi G)) G_(\mu\Nu)\, .) р α β [ γ δ ;

ε ] = 0 (\displaystyle R_(\alpha \beta [\gamma \delta;\varepsilon])=0) cu g αβ dă, folosind faptul că tensorul metric este constant covariant, adică = 0 ,

gαβ; γ

р γ β γ δ ;

ε + р γ β ε γ ;

δ + р γ β δ ε ;

γ = 0 (\displaystyle (R^(\Gamma))_(\beta \gamma \delta;\varepsilon)+(R^(\Gamma))_(\beta \varepsilon \gamma;\delta)+( R ^(\gamma))_(\beta\delta\varepsilon;\gamma)=\,0)

Antisimetria tensorului Riemann permite rescrierea celui de-al doilea termen din expresia de mai sus:

р γ β γ δ ;

ε - р γ β γ ε ;

δ + р γ β δ ε ;

γ = 0 (\displaystyle (R^(\Gamma))_(\beta \gamma \delta;\varepsilon)-(R^(\Gamma))_(\beta \gamma \varepsilon;\delta)+( R ^(\gamma))_(\beta\delta\varepsilon;\gamma)=0)

care este echivalent

р β δ;

ε - р β ε ;

δ + р γ β δ ε ;

(р γ δ - 1 2 g γ δ р);

γ = 0 (\displaystyle \left(R^(\Gamma \delta)-(\tfrac (1)(2))r^(\Gamma \delta)R\right)_(;\gamma )=0)

care, în virtutea simetriei dintre parantezele pătrate a termenului și a definiției tensorului Einstein, dă după reetichetarea indicilor,

gαβ;

β = 0 (\displaystyle (G^(\alpha\beta))_(;\beta)=0)

Folosind EFE, acest lucru dă imediat,

∇ β T α β = T α β ;

β = 0 (\displaystyle \nabla _(\beta)T^(\alpha \beta)=(T^(\alpha \beta))_(;\beta)=0)

care exprimă conservarea locală a energiei de stres. Această lege de conservare este o cerință fizică. Cu ecuațiile sale de câmp, Einstein s-a asigurat că relativitatea generală este în concordanță cu această condiție de conservare.

neliniaritate

Neliniaritatea EFE distinge relativitatea generală de multe alte teorii fizice fundamentale. De exemplu, ecuația lui Maxwell a electromagnetismului este liniară în câmpurile electrice și magnetice, precum și în distribuția sarcinii și a curentului (adică, suma a două soluții este, de asemenea, o soluție); Un alt exemplu este ecuația Schrödinger din mecanica cuantică, care este liniară în funcția de undă.

Principiul corespondenței

d 2 x α d τ 2 = - Γ β γ α d x β d τ d x γ d τ , (\displaystyle (\frac (d^(2)x^(\alpha)) (d\tau ^( 2)) ) = -\Gamma_(\beta\gamma)^(\alpha) (\frac(dx^(\beta))(d\tau)) (\frac(dx^(\Gamma)) (d \tau)) \,.)

Pentru a vedea cum acesta din urmă se reduce la primul, presupunem că viteza testerului de particule este aproape de zero

d x β d τ ≈ (d T d τ , 0 , 0 , 0) (\displaystyle (\frac (dx^(\beta))(d\tau))\ok \left ((\frac (dt) (d) \tau)), 0,0,0\dreapta))

şi prin urmare

re re T (d T d τ) ≈ 0 (\displaystyle (\frac (d)(dt))\stânga ((\frac (dt)(d\tau))\dreapta)\aproximativ 0) și că metrica și derivatele sale sunt aproximativ statice și că abaterile pătrate de la metrica Minkowski sunt neglijabile. Aplicarea acestor ipoteze simplificatoare la componentele spațiale ale ecuației geodezice dă d 2 x i d t 2 ≈ - Γ 00 i (\displaystyle (\frac (d^(2)x^(i)))(dt^(2)))\ok -\Gamma _(00)^(i )) unde sunt doi factori D.T.

Φ , i ≈ Γ 00 i = 1 2 g i α (g α 0 , 0 + g 0 α , 0 - g 00 , α) , (\displaystyle \Phi _(,i)\approx \Gamma _(00)^ (i) = (\tfrac(1)(2)) g^(i\alpha)\left(G_(\alpha-0.0) + g_(0\alpha-,0)-g_(00 \alpha)\right )\,.)

Presupunerile noastre forțează alfa = eu iar derivate de timp (0) egale cu zero. Așa că este mai ușor pentru

2 Φ , i ≈ g i J (- g 00 , J) ≈ - g 00 , i (\ displaystyle 2\ Phi _(,i)\ok g^(IJ)\left (-g_(00,J)\dreapta )\ok -g_(00,i)\)

care se realizează, permiţând

g 00 ≈ - c 2 - 2 Φ , (\displaystyle g_(00)\ok -c^(2)-2\Phi\,.)

Revenind la ecuațiile lui Einstein, avem nevoie doar de componenta timpului

R 00 = K (T 00 - 1 2 T g 00) (\displaystyle R_(00)=K\left(T_(00)-(\tfrac (1)(2))Tg_(00)\right))

în viteză şi câmp static presupunerea de scăzut înseamnă că

T μ ν ≈ d i a g (T 00 , 0 , 0 , 0) ≈ d i a g (ρ c 4 , 0 , 0 , 0) , (\displaystyle T_(\mu \Nu)\ok \mathrm (Diag)\left(T_ (00),0,0,0\dreapta)\ok\mathrm (Diag)\stanga (\Rho c^(4), 0,0,0\dreapta)\,.) T = g α β T α β ≈ g 00 T 00 ≈ - 1 s 2 ρ c 4 = - ρ c 2 (\displaystyle T=g^(\alpha \beta) T_(\alpha \beta)\ about r^ (00) T_(00)\ok - (\frac (1) (s^(2)))\Rho c^(4) = -\Rho c^(2)\,)

d 2 x α d τ 2 = - Γ β γ α d x β d τ d x γ d τ , (\displaystyle (\frac (d^(2)x^(\alpha)) (d\tau ^( 2)) ) = -\Gamma_(\beta\gamma)^(\alpha) (\frac(dx^(\beta))(d\tau)) (\frac(dx^(\Gamma)) (d \tau)) \,.)

K (T 00 - 1 2 T g 00) ≈ K (ρ c 4 - 1 2 (- ρ c 2) (- c 2)) = 1 2 K ρ c 4 , (\displaystyle K\left (T_( 00) ) - (\ tfrac (1) (2)) Tg_ (00) \ dreapta) \ ok K \ stânga (\ ro c ^ (4) - (\ tfrac (1) ( 2)) \ stânga (- \ Rho c ^(2)\dreapta)\stanga (-c^(2)\dreapta)\dreapta) = (\tfrac (1)(2))K\Rho c^(4)\,.)

Din definiția tensorului Ricci

R 00 = Γ 00 , ρ ρ − Γ ρ 0 , 0 ρ + Γ ρ λ ρ Γ 00 λ - Γ 0 λ ρ Γ ρ 0 λ , (\ Displaystyle R_(00)=\Gamma _(00,\Rho) ^ (\) - rho \ Gamma _ (\ Rho 0,0) ^ ( \ Rho) + \ Gamma _ (\ Rho \ Lambda) ^ ( \ Rho) \ Gamma _ (00) ^ (\ Lambda) - \ Gamma_ (0\Lambda)^(\Rho)\Gamma_(\Rho 0)^(\Lambda)).

Ipotezele noastre simplificatoare fac să dispară pătratele lui Γ împreună cu derivatele de timp

R 00 ≈ Γ 00 , i i, (\displaystyle R_(00)\ok \Gamma _(00,i)^(i)\,.)

Combinând ecuațiile de mai sus împreună

Φ , I I ≈ Γ 00 , I I ≈ R 00 = K (T 00 − 1 2 T G 00) ≈ 1 2 K ρ c 4 (\Displaystyle \Phi _(,II)\aprox \Gamma _(00, i)^ (i)\despre R_(00) = K\left (T_(00)-(\tfrac (1)(2)) Tg_(00)\dreapta)\despre (\tfrac (1) (2)) K\ Rho c^ (4))

care se reduce la ecuaţia câmpului newtonian cu condiţia

1 2 K ρ c 4 = 4 π g ρ (\displaystyle (\tfrac (1)(2)) K\Rho c^(4)=4\R C\Rho\,)

care va avea loc dacă

K = 8 π g c 4 , (\displaystyle K=(\frac (8\r G)(c^(4)))\,.)

Ecuații câmpului de vid

Monedă elvețiană din 1979, care arată ecuații de câmp de vid cu constantă cosmologică zero (sus).

Dacă tensorul energie-impuls T μν este zero în regiunea luată în considerare, atunci ecuațiile de câmp se mai numesc și ecuații de câmp de vid. Avand instalat Tμν= 0 în , ecuațiile de vid pot fi scrise ca

R μ ν = 0 , (\displaystyle R_(\mu \Nu)=0\,.)

În cazul unei constante cosmologice nenule, ecuațiile cu dispariție

este folosit, atunci se numesc ecuațiile de câmp ale lui Einstein Ecuații Einstein-Maxwell(cu constanta cosmologică L luată egală cu zero în relativitatea obișnuită):

R α β - 1 2 R g α β + Λ g α β = 8 π g c 4 μ 0 (F α ψ F ψ β + 1 4 g α β F ψ τ F ψ τ) , (\ Displaystyle R^ (\ alfa\beta) - (\tfrac(1)(2))Rg^(\alpha\beta) + \Lambda g^(\alpha\beta) = (\frac (8\p G) (s^( 4) \mu_(0)))\left ((F^(\alpha))^(\Psi)(F_(\Psi))^(\beta)+(\tfrac(1)(4)) r^(\ alfa\beta)F_(\Psi\tau)F^(\Psi\tau)\right).)

Studiul soluțiilor exacte ale ecuațiilor lui Einstein este una dintre activitățile cosmologiei. Acest lucru duce la predicția găurilor negre și a diferitelor modele ale evoluției Universului.

De asemenea, este posibil să se descopere noi soluții pentru ecuațiile de câmp ale lui Einstein folosind metoda cadrului ortonormal, așa cum a fost lansată de Ellis și MacCallum. Cu această abordare, ecuațiile câmpului Einstein sunt reduse la un set de cuplate, neliniare, obișnuite. ecuații diferențiale. După cum au discutat de Hsu și Wainwright, soluțiile auto-similare ale ecuațiilor de câmp ale lui Einstein sunt puncte fixe în sistemul dinamic rezultat. Noi soluții au fost descoperite folosind aceste metode de către Leblanc și Coley și Haslam. .

formă polinomială

S-ar putea crede că EFE nu sunt polinoame, deoarece conțin inversul unui tensor metric. Cu toate acestea, ecuațiile pot fi organizate în așa fel încât să conțină doar tensorul metric și nu inversul acestuia. În primul rând, determinantul unei metrici în 4 dimensiuni poate fi scris:

ye (g) = 1 24 ε α β γ δ ε κ λ μ ν g α κ g β λ g γ μ g δ ν (\displaystyle \det (g)=(\tfrac (1)(24))\ varepsilon ^(\alpha\beta\gamma\delta)\varepsilon^(\kappa\Lambda\mu\nu) G_(\alpha\kappa)_(g\beta\Lambda)_(g\gamma\mu) _(r \delta\nu)\,)

folosind simbolul Levi-Civita; iar valorile inverse în 4 dimensiuni pot fi scrise ca:

g α κ = 1 6 ε α β γ δ ε κ λ μ ν g β λ g γ μ g δ ν e (g) , (\displaystyle g^(\alpha \kappa)=(\frac ((\tfrac ( 1)(6))\varepsilon^(\alpha\beta\gamma\delta)\varepsilon^(\kappa\Lambda\mu\Nu)_(r\beta\Lambda)_(r\gamma\mu) _( r\delta\Nu)) (\Det(r)))\,.)

Înlocuind această definiție a metricii inverse în ecuație, apoi înmulțind ambele părți ale lui ( G) până când numitorul din ecuațiile polinomiale ale tensorului metric și derivatele sale prima și a doua nu au rămas încă în rezultate. Acțiunile din care sunt derivate ecuațiile pot fi, de asemenea, scrise ca polinom folosind redefinirea câmpului adecvată.

link extern

Wikibooks au cărți

Acum putem trece la derivarea ecuațiilor câmpului gravitațional. Aceste ecuații sunt obținute din principiul celei mai mici acțiuni, unde sunt acțiunile pentru câmpul gravitațional și materie, respectiv 2). Câmpul gravitațional este acum supus variației, adică valorile

Să calculăm variația. Avem:

Înlocuind aici, conform (86.4),

Pentru calcul, rețineți că, deși cantitățile nu constituie un tensor, variațiile lor formează un tensor. Într-adevăr, există o schimbare într-un vector în timpul transferului paralel (vezi (85.5)) de la un anumit punct P la P infinit aproape de acesta. Prin urmare, există o diferență între doi vectori obținuți, respectiv, sub două transferuri paralele (cu nevariate și variate T) de la punctul P la același punct P. Diferența dintre doi vectori în același punct este un vector și, prin urmare, este un tensor.

Să folosim sistemul local de coordonate geodezice. Atunci, în acest moment, totul este. Folosind expresia (92.7) pentru că avem (reținând că primele derivate ale lui sunt acum egale cu zero):

Deoarece există un vector, putem scrie relația rezultată în sistem arbitrar coordonatele din formular

(înlocuind cu și folosind (86,9)). Prin urmare, a doua integrală din dreapta în (95.1) este egală cu

iar prin teorema lui Gauss poate fi transformată într-o integrală de peste o suprafață care acoperă întregul -volum.

Deoarece variația câmpului este zero la limitele integrării, acest termen dispare. Deci variația este

Rețineți că dacă am plecat de la expresie

pentru acțiunea câmpului, atunci am obține, așa cum este ușor de verificat,

Comparând aceasta cu (95.2), găsim următoarea relație:

Pentru variațiile în acțiunea materiei, putem scrie conform (94.5)

unde este tensorul energie-impuls al materiei (inclusiv câmpul electromagnetic). Interacțiunea gravitațională joacă un rol numai pentru corpurile cu o masă suficient de mare (datorită micii constantei gravitaționale). Prin urmare, atunci când studiem câmpul gravitațional, de obicei avem de-a face cu corpuri macroscopice. În consecință, pentru aceasta, de obicei, trebuie să scriem expresia (94.9).

Astfel, din principiul celei mai mici acțiuni găsim:

unde din cauza arbitrarului

sau în componente mixte

Acestea sunt ecuațiile căutate ale câmpului gravitațional - ecuațiile de bază ale teoriei generale a relativității. Ele se numesc ecuațiile lui Einstein.

Simplificand (95.6) prin indicii i si k, gasim:

Prin urmare, ecuațiile câmpului pot fi scrise și sub formă

Ecuațiile lui Einstein sunt neliniare. Prin urmare, principiul suprapunerii nu este valabil pentru câmpurile gravitaționale. Acest principiu este valabil doar aproximativ pentru câmpurile slabe care permit liniarizarea ecuațiilor lui Einstein (acestea includ, în special, câmpurile gravitaționale în limita clasică, newtoniană, vezi § 99).

În spațiul gol, ecuațiile câmpului gravitațional sunt reduse la ecuații

Să ne amintim că acest lucru nu înseamnă că spațiu-timp gol este plat - acest lucru ar necesita îndeplinirea unor condiții mai puternice.

Tensor energie-impuls câmp electromagnetic are proprietatea care (vezi (33.2)). Având în vedere (95.7), rezultă că în prezența unui câmp electromagnetic fără mase, curbura scalară a spațiu-timpului este zero.

După cum știm, divergența tensorului energie-impuls este zero:

Prin urmare, divergența părții stângi a ecuației (95.6) trebuie să fie, de asemenea, egală cu zero. Acest lucru este într-adevăr adevărat datorită identității (92.10).

Astfel, ecuațiile (95.10) sunt conținute în mod esențial în ecuațiile de câmp (95.6). Pe de altă parte, ecuațiile (95.10), care exprimă legile conservării energiei și a impulsului, conțin ecuațiile de mișcare ale acelei sistem fizic, căruia îi aparține tensorul energie-impuls luat în considerare (adică, ecuațiile de mișcare ale particulelor materiale sau a doua pereche de ecuații lui Maxwell).

Astfel, ecuațiile câmpului gravitațional conțin și ecuații pentru materia însăși, care creează acest câmp. Prin urmare, distribuția și mișcarea materiei care creează un câmp gravitațional nu pot fi specificate în mod arbitrar. Dimpotrivă, ele trebuie determinate (prin rezolvarea ecuațiilor de câmp pentru data conditiile initiale) concomitent cu domeniul propriu-zis creat de această materie.

Să atragem atenția asupra diferenței fundamentale dintre această situație și ceea ce am avut în cazul câmpului electromagnetic. Ecuațiile acestui câmp (ecuațiile lui Maxwell) conțin doar ecuația de conservare a sarcinii totale (ecuația de continuitate), dar nu și ecuațiile de mișcare ale sarcinilor în sine. Prin urmare, distribuția și mișcarea sarcinilor pot fi specificate într-o manieră arbitrară, atâta timp cât sarcina totală este constantă. Specificând această distribuție a sarcinilor, câmpul electromagnetic pe care îl creează este apoi determinat folosind ecuațiile lui Maxwell.

Trebuie, totuși, clarificat că pentru a determina pe deplin distribuția și mișcarea materiei în cazul unui câmp gravitațional, este necesar să se adauge ecuațiilor lui Einstein (nu cuprinse în ele, desigur) ecuația stării materiei. , adică ecuația care leagă presiunea și densitatea. Această ecuație trebuie specificată împreună cu ecuațiile de câmp.

Cele patru coordonate pot fi supuse unei transformări arbitrare. Prin intermediul acestei transformări, patru din cele zece componente ale tensorului pot fi selectate în mod arbitrar. Prin urmare, doar șase dintre cantități sunt funcții independente necunoscute. În plus, cele patru componente ale tensorului energie-impuls materie cu 4 viteze sunt legate între ele prin relația , astfel încât doar trei dintre ele sunt independente. Astfel, avem, așa cum era de așteptat, zece ecuații de câmp (95.5) pentru zece mărimi necunoscute: șase din componente, trei din componente și densitatea materiei (sau presiunea acesteia). Pentru un câmp gravitațional în vid, rămân doar șase mărimi necunoscute (componentă) și numărul de ecuații de câmp independente scade în consecință: zece ecuații sunt legate prin patru identități (92.10).

Să notăm câteva caracteristici ale structurii ecuațiilor lui Einstein. Ele reprezintă un sistem de ecuații cu diferențe parțiale de ordinul doi. Cu toate acestea, ecuațiile nu includ derivatele a doua timp ale tuturor celor 10 componente. Într-adevăr, din (92.1) reiese clar că derivatele secunde în raport cu timpul sunt cuprinse doar în componentele tensorului de curbură, unde intră sub forma unui termen (notăm diferențiere față de ); derivatele secunde ale componentelor tensorului metric sunt complet absente. Prin urmare, este clar că tensorul obținut prin simplificare din tensorul de curbură și, odată cu el, ecuațiile (95.5), conțin și derivate secunde în raport cu timpul a doar șase componente spațiale.

De asemenea, este ușor de observat că aceste derivate apar numai în ecuațiile -(95.6), adică în ecuații

(95,11)

Ecuațiile și , adică ecuațiile

conțin derivate în raport cu timpul doar de ordinul întâi. Acest lucru poate fi verificat prin verificarea faptului că, atunci când sunt formate prin restrângerea valorilor, componentele formularului de fapt dispar. Este și mai ușor să vezi acest lucru din identitate (92.10) scriindu-l în formular

Cele mai mari derivate în raport cu timpul, incluse în partea dreaptă a acestei egalități, sunt derivatele secunde (care apar în cantitățile în sine). Deoarece (95.13) este o identitate, partea stângă a acesteia trebuie, prin urmare, să conțină derivate în timp de ordinul doi. Dar o singură diferențiere. în timp apare deja în ea explicit; prin urmare, expresiile în sine pot conține derivate în raport cu timpul nu mai mari decât primul ordin.

Mai mult, părțile din stânga ecuațiilor (95.12) nu conțin nici derivate primare (ci numai derivate). Într-adevăr, dintre toate, aceste derivate conțin numai , iar aceste cantități, la rândul lor, sunt incluse numai în componentele tensorului de curbură de forma , care, după cum știm deja, renunță atunci când părțile din stânga ecuațiilor (95.12) sunt format.

Dacă sunteți interesat să rezolvați ecuațiile lui Einstein în condiții inițiale (în timp) date, atunci se pune întrebarea câte cantități pot fi date în mod arbitrar distribuții spațiale inițiale.

Condițiile inițiale pentru ecuațiile de ordinul doi trebuie să includă distribuțiile inițiale atât ale mărimilor diferențiabile în sine, cât și ale derivatelor lor primare în funcție de timp. Cu toate acestea, deoarece în acest caz ecuațiile conțin derivate secunde de numai șase, atunci toate nu pot fi specificate în mod arbitrar în condițiile inițiale. Astfel, puteți seta (împreună cu viteza și densitatea materiei) valorile inițiale ale funcțiilor și , după care valorile inițiale permise vor fi determinate din 4 ecuații (95.12); în ecuațiile (95.11) valorile inițiale vor rămâne în continuare arbitrare

Dificultăți ale explicației clasice a efectului fotoelectric

Cum ar putea fi explicat efectul fotoelectric din punctul de vedere al electrodinamicii clasice și al conceptelor ondulatorii ale luminii?

Se știe că, pentru a îndepărta un electron dintr-o substanță, este necesar să îi împărtășim ceva energie O , numită funcția de lucru a electronilor. În cazul unui electron liber într-un metal, aceasta este munca de depășire a câmpului de ioni pozitivi a rețelei cristaline, care deține electronul la limita metalului. În cazul unui electron situat într-un atom, funcția de lucru este munca efectuată pentru a rupe legătura dintre electron și nucleu.

În câmpul electric alternativ al unei unde luminoase, electronul începe să oscileze.

Și dacă energia de vibrație depășește funcția de lucru, atunci electronul va fi smuls din substanță.

Cu toate acestea, în cadrul unor astfel de concepte, este imposibil să înțelegem a doua și a treia lege a efectului fotoelectric. De ce energia cinetică a electronilor ejectați nu depinde de intensitatea radiației? La urma urmei, cu cât este mai mare intensitatea, cu atât este mai mare tensiunea câmp electricîntr-o undă electromagnetică, cu cât forța care acționează asupra electronului este mai mare, cu atât energia oscilațiilor acestuia este mai mare și energia cinetică cu care electronul va zbura din catod este mai mare. Dar experimentul arată contrariul.

De unde provine chenarul roșu al efectului fotoelectric? ce este în neregulă cu frecvențele joase? S-ar părea că pe măsură ce intensitatea luminii crește, crește și forța care acționează asupra electronilor; prin urmare, chiar și la o frecvență scăzută a luminii, electronul va fi smuls mai devreme sau mai târziu din substanță atunci când intensitatea atinge suficient de mare importanță. Cu toate acestea, granița roșie interzice strict emisia de electroni la frecvențe joase ale radiațiilor incidente.

În plus, atunci când catodul este iluminat cu radiații de intensitate arbitrar slabă (cu o frecvență peste limita roșie), efectul fotoelectric începe instantaneu în momentul în care iluminarea este aprinsă. Între timp, electronii au nevoie de ceva timp pentru a „slăbi” legăturile care îi țin în substanță, iar acest timp de „slăbire” ar trebui să fie mai lung, cu cât lumina incidentă este mai slabă. Analogia este următoarea: cu cât împingi leagănul mai slab, cu atât va dura mai mult pentru a-l balansa la o anumită amplitudine. Din nou, pare logic, dar experiența este singurul criteriu al adevărului în fizică! contrazice aceste argumente.

Deci, la cumpăna dintre XIX și XX secole, a apărut un impas în fizică: electrodinamica, care a prezis existența unde electromagneticeși funcționează excelent în domeniul undelor radio, a refuzat să explice fenomenul efectului fotoelectric.

Calea de ieșire din acest impas a fost găsită de Albert Einstein în 1905. El a găsit o ecuație simplă care descrie efectul fotoelectric. Toate cele trei legi ale efectului fotoelectric s-au dovedit a fi consecințe ale ecuației lui Einstein.

Principalul merit al lui Einstein a fost respingerea încercărilor de a interpreta efectul fotoelectric din punctul de vedere al electrodinamicii clasice. Einstein a pus în aplicare ipoteza îndrăzneață despre cuante care fusese propusă de Max Planck cu cinci ani mai devreme.

Ecuația lui Einstein pentru efectul fotoelectric

Ipoteza lui Planck vorbea despre natura discretă a emisiei și absorbției undelor electromagnetice, adică despre natura intermitentă a interacțiunii luminii cu materia. În același timp, Planck credea că propagarea luminii este proces continuu, având loc în deplină conformitate cu legile electrodinamicii clasice.

Einstein a mers și mai departe: a sugerat că lumina, în principiu, are o structură discontinuă: nu numai emisia și absorbția, ci și propagarea luminii are loc în porțiuni separate de cuante cu energie. E = h ν .

Planck a considerat ipoteza sa doar ca pe un truc matematic și nu a îndrăznit să infirme electrodinamica în raport cu microcosmosul. Quanta a devenit o realitate fizică datorită lui Einstein.

Quanta radiatii electromagnetice(în special, cuante de lumină) au devenit ulterior cunoscuți ca fotoni. Astfel, lumina constă din particule speciale de fotoni care se mișcă în vid cu o viteză c . Fiecare foton de lumină monocromatică având o frecvență transportă energie h ν .

Fotonii pot schimba energie și impuls cu particule de materie; în acest caz vorbim despre o coliziune între un foton și o particulă. În special, fotonii se ciocnesc cu electronii metalului catodic.

Absorbția luminii este absorbția fotonilor, adică ciocnirea inelastică a fotonilor cu particulele (atomi, electroni). Absorbit la ciocnirea cu un electron, fotonul își transferă energia acestuia. Ca urmare, electronul primește energie cinetică instantaneu, și nu treptat, iar acesta este ceea ce explică efectul fotoelectric fără inerție.

Ecuația lui Einstein pentru efectul fotoelectric nu este altceva decât legea conservării energiei. Unde se duce energia fotonului? h ν în timpul ciocnirii sale inelastice cu un electron? Se cheltuiește pentru îndeplinirea funcției de muncă O a extrage un electron dintr-o substanță și a da un electron energie cinetică mv 2 /2: h ν = A + mv 2/2 (4)

Termenul mv 2 /2 se dovedește a fi energia cinetică maximă a fotoelectronilor. De ce maxim? Această întrebare necesită o mică clarificare.

Electronii dintr-un metal pot fi liberi sau legați. Electronii liberi „merg” prin metal, în timp ce electronii legați „stau” în interiorul atomilor lor. În plus, electronul poate fi situat atât lângă suprafața metalului, cât și în adâncimea acestuia.

Este clar că energia cinetică maximă a unui fotoelectron va fi obținută în cazul în care fotonul lovește un electron liber în stratul de suprafață al metalului, atunci numai funcția de lucru este suficientă pentru a elimina electronul.

În toate celelalte cazuri, va trebui cheltuită energie suplimentară pentru a scoate un electron legat dintr-un atom sau pentru a „trage” un electron adânc la suprafață. Aceste costuri suplimentare vor duce la faptul că energia cinetică a electronului emis va fi mai mică.

Ecuația (4), remarcabilă prin simplitatea și claritatea sa fizică, conține întreaga teorie a efectului fotoelectric:

1. numărul de electroni ejectați este proporțional cu numărul de fotoni absorbiți. Pe măsură ce intensitatea luminii crește, numărul de fotoni incidenti pe catod pe secundă crește. Prin urmare, numărul de fotoni absorbiți și, în consecință, numărul de electroni eliminați pe secundă crește proporțional.

2. Să exprimăm energia cinetică din formula (4): mv 2 /2 = h ν - O

Într-adevăr, energia cinetică a electronilor ejectați crește liniar cu frecvența și nu depinde de intensitatea luminii.

Dependența energiei cinetice de frecvență are forma unei ecuații a unei drepte care trece prin punctul ( Ah ; 0). Aceasta explică pe deplin cursul graficului din Fig. 3.

3. Pentru ca efectul fotoelectric să înceapă, energia fotonului trebuie să fie suficientă pentru a îndeplini cel puțin funcția de lucru: h ν >A . Frecvența cea mai joasă ν 0, definit de egalitate

h ν o = A;

Aceasta va fi marginea roșie a efectului fotoelectric. După cum puteți vedea, marginea roșie a efectului fotoelectric ν 0 = Ah este determinată numai de funcția de lucru, adică depinde doar de substanța suprafeței catodului iradiat.

Dacă ν < ν 0, atunci nu va exista niciun efect fotoelectric indiferent de câți fotoni cad pe catod pe secundă. Prin urmare, intensitatea luminii nu contează; principalul lucru este dacă un foton individual are suficientă energie pentru a elimina un electron.

Ecuația lui Einstein (4) face posibilă găsirea experimentală a constantei lui Planck. Pentru a face acest lucru, este necesar să se determine mai întâi frecvența radiației și funcția de lucru a materialului catodic, precum și să se măsoare energia cinetică a fotoelectronilor.

În cursul unor astfel de experimente, valoarea a fost obținută h , care coincide exact cu (2). Această coincidență a rezultatelor a două experimente independente bazate pe spectrele radiațiilor termice și pe ecuația lui Einstein pentru efectul fotoelectric a însemnat că au fost descoperite „reguli ale jocului” complet noi, conform cărora are loc interacțiunea luminii și materiei. În acest domeniu, fizica clasică, reprezentată de mecanica newtoniană și electrodinamica maxwelliană, face loc fizicii cuantice și teoriei microlumii, a cărei construcție continuă și astăzi.

L-ai văzut peste tot: pe haine, genți, mașini, oameni tatuați, pe internet, în reclamele TV. Poate chiar într-un manual. Stephen Hawking a inclus doar acesta, singurul, în cartea sa, iar o cântăreață pop și-a numit albumul cu această formulă. Mă întreb dacă ea știa în același timp care este sensul formulei? Deși, în general, aceasta nu este treaba noastră și nu despre asta vom vorbi în continuare.

După cum înțelegeți, vom vorbi mai jos despre formula cea mai epică și faimoasă a lui Einstein:

Aceasta este poate cea mai populară formulă fizică. Dar care este sensul ei? Știi deja? Mare! Apoi vă sugerăm să vă familiarizați cu alte formule, mai puțin cunoscute, dar nu mai puțin utile, care pot fi cu adevărat utile în rezolvarea diverselor probleme.

Și pentru cei care doresc să afle sensul formulei lui Einstein rapid și fără să sape prin manuale, bine ați venit la articolul nostru!

Formula lui Einstein este cea mai cunoscută formulă

Interesant este că Einstein nu a fost un student de succes și chiar a avut probleme la obținerea certificatului de bacalaureat. Când a fost întrebat cum a reușit să vină cu teoria relativității, fizicianul a răspuns: „Un adult normal nu se gândește deloc la problema spațiului și a timpului, în opinia sa, s-a gândit deja la această problemă în copilărie s-a dezvoltat intelectual atât de încet încât spațiul și „Gândurile mele mi-au ocupat timpul când am devenit adult. Desigur, puteam pătrunde mai adânc în problemă decât un copil cu înclinații normale”.

1905 este numit anul miracolelor, deoarece atunci s-au pus bazele revoluției științifice.

Ce este în formula lui Einstein

Să revenim la formulă. Are doar trei litere: E , m Şi c . Dacă totul în viață ar fi atât de simplu!

Fiecare elev de clasa a VI-a știe deja că:

1. m- aceasta este masa. În mecanica newtoniană - o mărime fizică scalară și aditivă, o măsură a inerției unui corp.
2. Cu în formula lui Einstein – viteza luminii. Viteza maximă posibilă în lume este considerată o constantă fizică fundamentală. Viteza luminii este de 300.000 (aproximativ) de kilometri pe secundă.
3. E – energie. O măsură fundamentală a interacțiunii și mișcării materiei. Această formulă nu implică energie cinetică sau potențială. Aici E - energia de odihnă a corpului.

Este important de înțeles că în teoria relativității mecanica newtoniană este un caz special. Când un corp se mișcă cu o viteză apropiată de Cu , masa se schimbă. În formulă m denotă masa de repaus.

Deci, formula leagă aceste trei mărimi și se mai numește legea sau principiul echivalenței masei și energiei.

Masa este o măsură a conținutului de energie al unui corp.

Semnificația formulei lui Einstein: legătura dintre energie și masă

Cum funcţionează asta? De exemplu: o broască râioasă se lasă la soare, fetele în bikini joacă volei, este frumusețe peste tot. De ce se întâmplă toate acestea? În primul rând, datorită fuziunii termonucleare care are loc în interiorul Soarelui nostru.

Acolo, atomii de hidrogen fuzionează pentru a forma heliu. Aceleași reacții sau reacții cu elemente mai grele apar pe alte stele, dar esența rămâne aceeași. Ca rezultat al reacției, se eliberează energie care zboară către noi sub formă de lumină, căldură, radiații ultraviolete și raze cosmice.

De unde vine această energie? Faptul este că masa celor doi atomi de hidrogen care au intrat în reacție este mai mare decât masa atomului de heliu rezultat. Această diferență de masă se transformă în energie!

Apropo! Pentru cititorii noștri există acum o reducere de 10% la

Un alt exemplu este mecanismul de funcționare al unui reactor nuclear.

Fuziunea termonucleară de pe Soare este incontrolabilă. Oamenii au stăpânit deja acest tip de fuziune pe Pământ și au construit o bombă cu hidrogen. Dacă am putea încetini reacția și am obține fuziunea nucleară controlată, am avea o sursă de energie practic inepuizabilă.

Despre materie și energie

Deci, am aflat sensul formulei și am vorbit despre principiul echivalenței masei și energiei.

Masa poate fi convertită în energie, iar energia corespunde unei anumite mase.

În același timp, este important să nu confundați conceptele de materie și energie și să înțelegeți că acestea sunt lucruri diferite.

Legea fundamentală a naturii este legea conservării energiei. Se spune că energia nu vine de nicăieri și nu merge nicăieri, cantitatea ei în Univers este constantă, doar forma se schimbă. Legea conservării masei este un caz special al legii conservării energiei.

Ce este energia și ce este materia? Să privim lucrurile din această parte: atunci când o particulă se mișcă cu o viteză apropiată de viteza luminii, este considerată radiație, adică energie. O particulă în repaus sau care se mișcă cu o viteză mică este definită ca materie.

În momentul Big Bang-ului, materia nu exista, era doar energie. Apoi Universul s-a răcit și o parte din energie a trecut în materie.

Câtă energie este conținută în materie? Cunoscând masa unui corp, putem calcula care este energia acestui corp conform formulei lui Einstein. Viteza luminii în sine este o cantitate destul de mare, iar pătratul ei este și mai mult. Aceasta înseamnă că o bucată foarte mică de materie conține o energie enormă. Energia nucleară este o dovadă în acest sens.

Un pelet de combustibil nuclear (uraniul îmbogățit este folosit la centralele nucleare) cântărește 4,5 grame. Dar furnizează energie echivalentă cu energia din arderea a 400 de kilograme de cărbune. Eficiență bună, nu-i așa?

Deci, cea mai cunoscută formulă a fizicii spune că materia poate fi transformată în energie și invers. Energia nu dispare nicăieri, ci doar își schimbă forma.

Nu vom oferi derivarea formulei lui Einstein - formule mult mai complexe ne așteaptă acolo și pot descuraja oamenii de știință începători de orice interes pentru știință. Serviciul nostru pentru studenți este pregătit să vă ofere asistență în rezolvarea problemelor legate de studiile dumneavoastră. Economisiți energie și putere cu ajutorul experților noștri!

Toate încercările de a explica fenomenul efectului fotoelectric pe baza teoriei ondulatorii a luminii au eșuat. O explicație a efectului fotoelectric a fost dată de A. Einstein în 1905. Einstein a examinat legile experimentale ale efectului fotoelectric din punctul de vedere al teoriei cuantice a luminii. După cum se știe, pentru a îndepărta un electron dintr-un metal, este necesar să se consume ceva energie. Energia necesară pentru a îndepărta un electron dintr-un metal se numește funcție de lucru. Energia cuantumului incident este cheltuită pe funcția de lucru și pe energia cinetică a electronului ejectat:

Unde hv- energia cuantumului incident, O- funcția de lucru, - energia cinetică a unui electron rupt de pe suprafața metalului.

Formula (4) se numește ecuația Einstein pentru efectul fotoelectric. Această ecuație explică legile experimentale de bază și tipul de caracteristică curent-tensiune a unei celule foto (Fig. 19 și 20).

Intensitatea luminii, conform teoriei cuantice, este proporțională cu numărul de cuante de energie ale luminii incidente. Prin urmare, numărul de electroni ejectați crește odată cu creșterea fluxului luminos și, în consecință, crește curentul de saturație (Fig. 19).

Energia cinetică maximă a electronilor ejectați și, prin urmare, potențialul de oprire U h, se determină conform formulei (3) numai de frecvența luminii și de funcția de lucru. Funcția de lucru O determinat doar de tipul de metal. Prin urmare, odată cu creșterea frecvenței luminii incidente, energia cinetică a electronilor ejectați și potențialul de întârziere cresc U h (Fig. 20). Energia cinetică nu depinde de mărimea fluxului luminos (vezi formularul. 3).

Pentru fiecare substanță, efectul fotoelectric se observă numai dacă frecvența v lumina este mai mare decât valoarea minimă v 0 . Din ecuația lui Einstein rezultă că pentru a rupe electroni dintr-un metal este necesar să se cheltuiască o funcție de lucru - O. În consecință, pentru a ejecta un electron, energia cuantică trebuie să fie mai mare decât această funcție de lucru hv>O. Frecvența limită v 0 (marginea roșie a efectului fotoelectric) se exprimă: v 0 =O/h. Din moment ce funcţia de muncă O determinat de tipul de substanță, frecvența limită v 0 (chenar roșu) este diferit pentru diferite substanțe. Pentru zinc, marginea roșie corespunde lungimii de undă λ=3,7·10 -7 m (regiune ultravioletă). Reamintim că lungimea de undă a luminii este legată de frecvență prin următoarea relație λ 0 = c/v 0 .

Întrebări

1. Desenați dependența energiei cinetice a fotoelectronilor ejectați de mărimea fluxului de lumină incidentă pentru frecvențe v 1 și v 2, și v 1 > v 2 .

2. Se aplică un potențial de întârziere între catod și anod, astfel încât fotoelectronii ejectați parcurg doar jumătate din distanța dintre anod și catod. Vor putea ajunge la anod dacă distanța dintre catod și anod este înjumătățită?