Formula unghiului dintre vectori. Produsul punctual al vectorilor

Secțiuni: Matematică

Tip de lecție: învățarea de materiale noi.

Sarcini educaționale:

– se deduce o formulă pentru calcularea unghiului dintre doi vectori;

– să continue dezvoltarea abilităților în aplicarea vectorilor pentru rezolvarea problemelor;

– continuă să dezvolte interesul pentru matematică prin rezolvarea de probleme;

– cultivarea unei atitudini conștiente față de procesul de învățare, insuflarea simțului responsabilității pentru calitatea cunoștințelor, exercitarea autocontrolului asupra procesului de rezolvare și proiectare a exercițiilor.

Furnizare de cursuri:

– tabel „Vectorii în plan și în spațiu”;

– carduri de sarcini pentru întrebări individuale;

– carduri de sarcini pentru munca de testare;

- microcalculatoare.

Studentul trebuie sa stie:

– formula de calcul al unghiului dintre vectori.

Studentul trebuie să fie capabil să:

– să aplice cunoștințele dobândite la rezolvarea problemelor analitice, geometrice și aplicative.

Motivarea activității cognitive a elevilor.

Profesorul relatează că astăzi, la clasă, elevii vor învăța să calculeze unghiul dintre vectori și să aplice cunoștințele dobândite pentru a rezolva probleme. mecanica tehnica si fizica. Majoritatea problemelor de la disciplina „Mecanica tehnică” sunt rezolvate prin metoda vectorială. Astfel, la studierea temei „Sistemul plan al forțelor convergente”, „Găsirea rezultantei a două forțe”, se folosește formula de calcul al unghiului dintre doi vectori.

Progresul lecției.
I. Moment organizatoric.

II. Verificarea temelor.

a) Sondaj individual cu carduri.

Cardul 1.

1. Scrieți proprietățile de adunare a doi vectori.

2. La ce valoare m vectori şi vor fi coliniari?

Cardul 2.

1. Cum se numește produsul dintre un vector și un număr?

2. Sunt vectorii și ?

Cardul 3.

1. Formulați definiția produsului scalar a doi vectori.

2. La ce valoare a lungimii vectorilor şi vor fi ei egali?

Cardul 4.

1. Scrieți formule pentru calcularea coordonatelor vectoriale și a lungimii vectorului?

2. Sunt vectorii şi ?

b) Întrebări pentru sondaj frontal:

Ce acțiuni pot fi efectuate asupra vectorilor având în vedere coordonatele lor?
Ce vectori se numesc coliniari?
Condiție pentru coliniaritatea a doi vectori nenuli?
Determinarea unghiului dintre vectori?
Definiția produsului scalar a doi vectori nenuli?
Condiție necesară și suficientă pentru ca doi vectori să fie perpendiculari?
Care este semnificația fizică a produsului scalar a doi vectori?
Scrieți formule pentru calcularea produsului scalar a doi vectori prin coordonatele lor în plan și în spațiu.
Scrieți formule pentru calcularea lungimii unui vector în plan și în spațiu.

III. Învățarea de materiale noi.

a) Să derivăm o formulă pentru calcularea unghiului dintre vectorii din plan și din spațiu. Prin definiția produsului scalar a doi vectori nenuli:

cos

Prin urmare, dacă și , atunci

cosinusul unghiului dintre vectorii nenuli și este egal cu produsul scalar al acestor vectori împărțit la produsul lungimilor lor. Dacă vectorii sunt specificați într-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare pe un plan, atunci cosinusul unghiului dintre ei se calculează prin formula:

= (x 1 ; y 1); = (x 2 ; y 2)

cos =

În spațiu: = (x 1; y 1; z 1); = (x 2 ; y 2 ; z 2)

cos =

Rezolva probleme:

Sarcina 1: Aflați unghiul dintre vectorii = (1; -2), = (-3; 1).

Arccos = 135°

Sarcina 2:În triunghiul ABC, găsiți dimensiunea unghiului B dacă

A (0; 5; 0), B (4; 3; -8), C (-1; -3; -6).

cos = =

Sarcina 3: Aflați unghiul dintre vectori și dacă A (1; 6),

B (1; 0), C (-2; 3).

cos = = = –

IV. Aplicarea cunoștințelor în rezolvarea problemelor tipice.

SARCINI ALE UNUI PERSONAJ ANALIT.

Determinați unghiul dintre vectori și dacă A (1; -3; -4),

B (-1; 0; 2), C (2; -4; -6), D (1; 1; 1).

Aflați produsul scalar al vectorilor dacă , = 30°.

La ce valori ale lungimilor vectorului și vor fi ei egali?

Calculați unghiul dintre vectori și

Calculați aria unui paralelogram construit folosind vectori

Şi .

SARCINI APLICATE

Aflați rezultanta a două forțe 1 și 2, dacă = 5H; = 7H, unghi dintre ele = 60°.

° + .

Calculați munca efectuată cu forța = (6; 2), dacă punctul său de aplicare, mișcându-se rectiliniu, se deplasează din poziția A (-1; 3) în poziția B (3; 4).

Fie viteza punctului material și fie forța care acționează asupra acestuia. Care este puterea dezvoltată de forță dacă = 5H, = 3,5 m/s;

VI. Rezumând lecția.

VII. Teme pentru acasă:

G.N. Yakovlev, Geometrie, §22, paragraful 3, p. 191

Nr. 5.22, Nr. 5.27, p. 192.

Lungimea unui vector, unghiul dintre vectori - aceste concepte sunt aplicabile și intuitive în mod natural atunci când definiți un vector ca un segment dintr-o anumită direcție. Mai jos vom învăța cum să determinăm unghiul dintre vectori în spațiul tridimensional, cosinusul acestuia și să luăm în considerare teoria cu exemple.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pentru a lua în considerare conceptul de unghi între vectori, să ne întoarcem la o ilustrare grafică: să definim doi vectori a → și b → pe un plan sau într-un spațiu tridimensional, care sunt nenuli. Să stabilim, de asemenea, un punct arbitrar O și să trasăm vectorii O A → = b → și O B → = b → din acesta

Definiția 1

Unghiîntre vectorii a → și b → este unghiul dintre razele O A și O B.

Vom nota unghiul rezultat astfel: a → , b → ^

Evident, unghiul poate lua valori de la 0 la π sau de la 0 la 180 de grade.

a → , b → ^ = 0 când vectorii sunt co-direcționali și a → , b → ^ = π când vectorii sunt direcționați opus.

Definiția 2

Vectorii sunt numiți perpendicular, dacă unghiul dintre ele este de 90 de grade sau π 2 radiani.

Dacă cel puțin unul dintre vectori este zero, atunci unghiul a → , b → ^ nu este definit.

Cosinusul unghiului dintre doi vectori și, prin urmare, unghiul în sine, poate fi determinat de obicei fie folosind produsul scalar al vectorilor, fie folosind teorema cosinusului pentru un triunghi construit din doi vectori dați.

Conform definiției, produsul scalar este a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .

Dacă vectori dați a → și b → sunt nenule, atunci putem împărți laturile drepte și stângi ale egalității la produsul lungimilor acestor vectori, obținând astfel o formulă pentru găsirea cosinusului unghiului dintre vectorii nenuli:

cos a → , b → ^ = a → , b → a → b →

Această formulă este utilizată atunci când datele sursă includ lungimile vectorilor și produsul lor scalar.

Exemplul 1

Date inițiale: vectorii a → și b →. Lungimile lor sunt 3 și, respectiv, 6, iar produsul lor scalar este - 9. Este necesar să se calculeze cosinusul unghiului dintre vectori și să se găsească unghiul însuși.

Soluţie

Datele inițiale sunt suficiente pentru a aplica formula obținută mai sus, apoi cos a → , b → ^ = - 9 3 6 = - 1 2 ,

Acum să determinăm unghiul dintre vectori: a → , b → ^ = a r c cos (- 1 2) = 3 π 4

Răspuns: cos a → , b → ^ = - 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4

Mai des există probleme în care vectorii sunt specificați prin coordonate într-un sistem de coordonate dreptunghiular. Pentru astfel de cazuri, este necesar să se obțină aceeași formulă, dar sub formă de coordonate.

Lungimea unui vector este definită ca rădăcina pătrată a sumei pătratelor coordonatelor sale, iar produsul scalar al vectorilor este egal cu suma produselor coordonatelor corespunzătoare. Atunci formula pentru găsirea cosinusului unghiului dintre vectorii din planul a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) arată astfel:

cos a → , b → ^ = a x b x + a y b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Și formula pentru găsirea cosinusului unghiului dintre vectori în spațiul tridimensional a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) va arăta astfel: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Exemplul 2

Date inițiale: vectori a → = (2, 0, - 1), b → = (1, 2, 3) într-un sistem de coordonate dreptunghiular. Este necesar să se determine unghiul dintre ele.

Soluţie

Pentru a rezolva problema, putem aplica imediat formula:

cos a → , b → ^ = 2 1 + 0 2 + (- 1) 3 2 2 + 0 2 + (- 1) 2 1 2 + 2 2 + 3 2 = - 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a r c cos (- 1 70) = - a r c cos 1 70

De asemenea, puteți determina unghiul folosind formula:

cos a → , b → ^ = (a → , b →) a → b → ,

dar mai întâi calculați lungimile vectorilor și produsul scalar după coordonate: a → = 2 2 + 0 2 + (- 1) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 1 + 0 2 + (- 1) 3 = - 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = - 1 5 14 = - 1 70 ⇒ a → , b → ^ = - a r c cos 1 70

Răspuns: a → , b → ^ = - a r c cos 1 70

De asemenea, sunt comune sarcinile când coordonatele a trei puncte sunt date într-un sistem de coordonate dreptunghiular și este necesar să se determine un anumit unghi. Și apoi, pentru a determina unghiul dintre vectori cu coordonatele date ale punctelor, este necesar să se calculeze coordonatele vectorilor ca diferență între punctele corespunzătoare ale începutului și sfârșitului vectorului.

Exemplul 3

Date inițiale: punctele A (2, - 1), B (3, 2), C (7, - 2) sunt date pe plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular. Este necesar să se determine cosinusul unghiului dintre vectorii A C → și B C →.

Soluţie

Să găsim coordonatele vectorilor din coordonatele punctelor date A C → = (7 - 2, - 2 - (- 1)) = (5, - 1) B C → = (7 - 3, - 2 - 2) = (4, - 4)

Acum folosim formula pentru a determina cosinusul unghiului dintre vectorii de pe un plan în coordonate: cos A C → , B C → ^ = (A C → , B C →) A C → · B C → = 5 · 4 + (- 1) · (- 4) 5 2 + (- 1) 2 4 2 + (- 4) 2 = 24 26 32 = 3 13

Răspuns: cos A C → , B C → ^ = 3 13

Unghiul dintre vectori poate fi determinat folosind teorema cosinusului. Să lăsăm deoparte vectorii O A → = a → și O B → = b → din punctul O, atunci, conform teoremei cosinusului din triunghiul O A B, egalitatea va fi adevărată:

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 · O A · O B · cos (∠ A O B),

care este echivalent cu:

b → - a → 2 = a → + b → - 2 a → b → cos (a → , b →) ^

și de aici derivăm formula pentru cosinusul unghiului:

cos (a → , b →) ^ = 1 2 a → 2 + b → 2 - b → - a → 2 a → b →

Pentru a aplica formula rezultată, avem nevoie de lungimile vectorilor, care pot fi determinate cu ușurință din coordonatele lor.

Deși această metodă are loc, formula este încă mai des folosită:

cos (a → , b →) ^ = a → , b → a → b →

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Unghiul dintre doi vectori:

Dacă unghiul dintre doi vectori este acut, atunci produsul lor scalar este pozitiv; dacă unghiul dintre vectori este obtuz, atunci produsul scalar al acestor vectori este negativ. Produs punctual doi vectori nenuli este egal cu zero dacă și numai dacă acești vectori sunt ortogonali.

Exercita. Aflați unghiul dintre vectorii și

Soluţie. Cosinusul unghiului dorit

16. Calculul unghiului dintre drepte, drepte și plan

Unghiul dintre o linie dreaptă și un plan, care intersectează această dreaptă și nu perpendicular pe ea, este unghiul dintre linie și proiecția ei pe acest plan.

Determinarea unghiului dintre o linie și un plan ne permite să concluzionam că unghiul dintre o linie și un plan este unghiul dintre două linii care se intersectează: linia dreaptă însăși și proiecția ei pe plan. Prin urmare, unghiul dintre o linie dreaptă și un plan este un unghi ascuțit.

Unghiul dintre o dreaptă perpendiculară și un plan este considerat egal cu , iar unghiul dintre o dreaptă paralelă și un plan fie nu este determinat deloc, fie este considerat egal cu .

§ 69. Calculul unghiului dintre drepte.

Problema calculării unghiului dintre două drepte în spațiu se rezolvă la fel ca pe un plan (§ 32). Să notăm cu φ mărimea unghiului dintre drepte l 1 și l 2, iar prin ψ - mărimea unghiului dintre vectorii de direcție O Şi b aceste linii drepte.

Atunci dacă

ψ 90° (Fig. 206.6), apoi φ = 180° - ψ. Evident, în ambele cazuri este adevărată egalitatea cos φ = |cos ψ|. Prin formula (1) § 20 avem

prin urmare,

Fie dreptele date de ecuațiile lor canonice

Apoi unghiul φ dintre linii este determinat folosind formula

Dacă una dintre linii (sau ambele) este dată de ecuații non-canonice, atunci pentru a calcula unghiul trebuie să găsiți coordonatele vectorilor de direcție ai acestor linii și apoi să utilizați formula (1).

17. Drepte paralele, Teoreme pe drepte paralele

Definiţie. Se numesc două drepte dintr-un plan paralel, dacă nu au puncte comune.

Două linii din spațiul tridimensional sunt numite paralel, dacă se află în același plan și nu au puncte comune.

Unghiul dintre doi vectori.

Din definiția produsului punctual:

Condiție de ortogonalitate a doi vectori:

Condiția de coliniaritate a doi vectori:

Rezultă din definiția 5 - . Într-adevăr, din definiția produsului dintre un vector și un număr, rezultă. Prin urmare, pe baza regulii de egalitate a vectorilor, scriem , , , ceea ce implică . Dar vectorul rezultat din înmulțirea vectorului cu numărul este coliniar cu vectorul.

Proiecția vectorului pe vector:

Exemplul 4. Punctele date , , , .

Găsiți produsul punctual.

Soluţie. găsim folosind formula pentru produsul scalar al vectorilor specificați prin coordonatele lor. Deoarece

, ,

Exemplul 5. Punctele date , , , .

Găsiți proiecția.

Soluţie. Deoarece

, ,

Pe baza formulei de proiecție, avem

Exemplul 6. Punctele date , , , .

Aflați unghiul dintre vectorii și .

Soluţie. Rețineți că vectorii

, ,

nu sunt coliniare deoarece coordonatele lor nu sunt proporționale:

Acești vectori nu sunt, de asemenea, perpendiculari, deoarece produsul lor scalar este .

Să găsim

Colţ găsim din formula:

Exemplul 7. Determinați la ce vectori și coliniare.

Soluţie. În cazul coliniarității, coordonatele corespunzătoare ale vectorilor și trebuie să fie proporționale, adică:

Prin urmare și.

Exemplul 8. Determinați la ce valoare a vectorului Şi perpendicular.

Soluţie. Vector și sunt perpendiculare dacă produsul lor scalar este zero. Din această condiție obținem: . Prin urmare, .

Exemplul 9. Găsi , Dacă , , .

Soluţie. Datorită proprietăților produsului scalar, avem:

Exemplul 10. Aflați unghiul dintre vectorii și , unde și - vectori unitari si unghiul dintre vectori si este egal cu 120°.

Soluţie. Avem: , ,

În sfârșit avem: .

5.b. Opera de artă vectorială.

Definiția 21.Opera de artă vectorială vector cu vector se numește vector sau, definit de următoarele trei condiții:

1) Modulul vectorului este egal cu , unde este unghiul dintre vectori și , i.e. .

Rezultă că modulul produs vectorial este numeric egală cu aria unui paralelogram construit pe vectori și ambele părți.

2) Vectorul este perpendicular pe fiecare dintre vectori și ( ; ), adică. perpendicular pe planul unui paralelogram construit pe vectorii si .

3) Vectorul este direcționat în așa fel încât, dacă este privit de la capătul său, cea mai scurtă rotație de la vector la vector ar fi în sens invers acelor de ceasornic (vectorii , , formează un triplu dreptaci).

Cum se calculează unghiurile dintre vectori?

Când studiezi geometria, apar multe întrebări pe tema vectorilor. Elevul întâmpină dificultăți deosebite atunci când este necesar să găsească unghiurile dintre vectori.

Termeni de bază

Înainte de a privi unghiurile dintre vectori, este necesar să vă familiarizați cu definiția unui vector și conceptul de unghi între vectori.

Un vector este un segment care are o direcție, adică un segment pentru care sunt definite începutul și sfârșitul acestuia.

Unghiul dintre doi vectori dintr-un plan care au o origine comună este cel mai mic dintre unghiuri cu cantitatea cu care unul dintre vectori trebuie să fie mutat în jurul punctului comun până când direcțiile lor coincid.

Formula pentru soluție

Odată ce înțelegeți ce este un vector și cum este determinat unghiul său, puteți calcula unghiul dintre vectori. Formula de soluție pentru aceasta este destul de simplă, iar rezultatul aplicării sale va fi valoarea cosinusului unghiului. Conform definiției, este egal cu câtul dintre produsul scalar al vectorilor și produsul lungimii acestora.

Produsul scalar al vectorilor se calculează ca suma coordonatelor corespunzătoare ale vectorilor factori înmulțite între ele. Lungimea vectorului, sau modulul său, este calculată ca rădăcină pătrată din suma pătratelor coordonatelor sale.

După ce ați primit valoarea cosinusului unghiului, puteți calcula valoarea unghiului în sine folosind un calculator sau folosind un tabel trigonometric.

Exemplu

Odată ce vă dați seama cum să calculați unghiul dintre vectori, rezolvarea problemei corespunzătoare va deveni simplă și clară. Ca exemplu, merită să luăm în considerare problema simplă a găsirii valorii unui unghi.

În primul rând, va fi mai convenabil să se calculeze valorile lungimilor vectorilor și produsul lor scalar necesar pentru soluție. Folosind descrierea prezentată mai sus, obținem:

Înlocuind valorile obținute în formulă, calculăm valoarea cosinusului unghiului dorit:

Acest număr nu este una dintre cele cinci valori comune ale cosinusului, așa că pentru a obține valoarea unghiului, va trebui să utilizați un calculator sau tabelul trigonometric Bradis. Dar înainte de a obține unghiul dintre vectori, formula poate fi simplificată pentru a scăpa de semnul negativ suplimentar:

Pentru a menține acuratețea, răspunsul final poate fi lăsat ca atare sau puteți calcula valoarea unghiului în grade. Conform tabelului Bradis, valoarea acestuia va fi de aproximativ 116 grade și 70 de minute, iar calculatorul va afișa o valoare de 116,57 grade.

Calcularea unui unghi în spațiul n-dimensional

Când luăm în considerare doi vectori din spațiul tridimensional, este mult mai dificil de înțeles despre ce unghi vorbim dacă nu se află în același plan. Pentru a simplifica percepția, puteți desena două segmente care se intersectează care formează cel mai mic unghi între ele; acesta va fi cel dorit. Chiar dacă există o a treia coordonată în vector, procesul de calcul al unghiurilor dintre vectori nu se va schimba. Calculați produsul scalar și modulele vectorilor, arc cosinus al coeficientului lor va fi răspunsul la această problemă.

În geometrie, există adesea probleme cu spațiile care au mai mult de trei dimensiuni. Dar pentru ei, algoritmul pentru găsirea răspunsului arată similar.

Diferență între 0 și 180 de grade

Una dintre greșelile frecvente atunci când scrieți un răspuns la o problemă menită să calculeze unghiul dintre vectori este decizia de a scrie că vectorii sunt paraleli, adică unghiul dorit este egal cu 0 sau 180 de grade. Acest răspuns este incorect.

După ce a primit valoarea unghiului de 0 grade ca rezultat al soluției, răspunsul corect ar fi de a desemna vectorii ca codirecționali, adică vectorii vor avea aceeași direcție. Dacă se obțin 180 de grade, vectorii vor fi direcționați invers.

Vectori specifici

După ce au găsit unghiurile dintre vectori, puteți găsi unul dintre tipurile speciale, pe lângă cele co-direcționale și opus-direcționale descrise mai sus.

Mai mulți vectori paraleli cu un plan se numesc coplanari.
Vectorii care au aceeași lungime și direcție se numesc egali.
Vectorii care se află pe aceeași linie dreaptă, indiferent de direcție, se numesc coliniari.
Dacă lungimea unui vector este zero, adică începutul și sfârșitul acestuia coincid, atunci se numește zero, iar dacă este unul, atunci unitate.

Cum se află unghiul dintre vectori?

va rog ajutati! Cunosc formula, dar nu o pot calcula ((
vector a (8; 10; 4) vector b (5; -20; -10)

Alexandru Titov

Unghiul dintre vectori specificati de coordonatele lor este găsit folosind un algoritm standard. Mai întâi trebuie să găsiți produsul scalar al vectorilor a și b: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Înlocuim coordonatele acestor vectori aici și calculăm:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
În continuare, determinăm lungimile fiecăruia dintre vectori. Lungimea sau modulul unui vector este rădăcina pătrată a sumei pătratelor coordonatelor sale:
|a| = rădăcina lui (x1^2 + y1^2 + z1^2) = rădăcina lui (8^2 + 10^2 + 4^2) = rădăcina lui (64 + 100 + 16) = rădăcina lui 180 = 6 rădăcini ale 5
|b| = rădăcina lui (x2^2 + y2^2 + z2^2) = rădăcina lui (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = rădăcina lui (25 + 400 + 100) = rădăcină din 525 = 5 rădăcini din 21.
Înmulțim aceste lungimi. Obținem 30 de rădăcini din 105.
Și, în final, împărțim produsul scalar al vectorilor la produsul lungimilor acestor vectori. Obținem -200/(30 rădăcini din 105) sau
- (4 rădăcini ale lui 105) / 63. Acesta este cosinusul unghiului dintre vectori. Și unghiul în sine este egal cu arcul cosinus al acestui număr
f = arccos(-4 rădăcini ale lui 105) / 63.
Dacă am numărat totul corect.

Cum se calculează sinusul unghiului dintre vectori folosind coordonatele vectorilor

Mihail Tkaciov

Să înmulțim acești vectori. Produsul lor scalar este egal cu produsul dintre lungimile acestor vectori și cosinusul unghiului dintre ei.
Unghiul ne este necunoscut, dar coordonatele sunt cunoscute.
Să o scriem matematic așa.
Să fie dați vectorii a(x1;y1) și b(x2;y2).
Apoi

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Să vorbim.
a*b-produsul scalar al vectorilor este egal cu suma produselor coordonatelor corespunzătoare ale coordonatelor acestor vectori, adică egal cu x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-produsul lungimii vectorului este egal cu √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

Aceasta înseamnă că cosinusul unghiului dintre vectori este egal cu:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Cunoscând cosinusul unui unghi, putem calcula sinusul acestuia. Să discutăm cum să facem asta:

Dacă cosinusul unui unghi este pozitiv, atunci acest unghi se află în 1 sau 4 cadrane, ceea ce înseamnă că sinusul său este fie pozitiv, fie negativ. Dar, deoarece unghiul dintre vectori este mai mic sau egal cu 180 de grade, atunci sinusul său este pozitiv. Raționăm în mod similar dacă cosinusul este negativ.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

Asta e)))) mult noroc să-ți dai seama)))

Dmitri Levișciov

Faptul că este imposibil să sinus direct nu este adevărat.
Pe langa formula:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Există și acesta:
||=|a|*|b|*sin A
Adică, în locul produsului scalar, puteți lua modulul produsului vectorial.

Cunoașterea și înțelegerea termenilor matematici va ajuta la rezolvarea multor probleme atât la cursurile de algebră, cât și de geometrie. Un rol la fel de important este acordat formulelor care afișează relațiile dintre caracteristicile matematice.

Unghiul dintre vectori - terminologie explicată

Pentru a formula o definiție a unghiului dintre vectori, este necesar să aflăm ce înseamnă termenul „vector”. Acest concept caracterizează o secțiune a unei linii drepte care are început, lungime și direcție. Dacă în fața ta sunt 2 segmente direcționate care își au originea în același punct, deci formează un unghi.

Că. termenul „unghi între vectori” definește gradul de măsurare a celui mai mic unghi cu care un segment direcționat trebuie rotit (față de punctul de plecare), astfel încât să ia poziția/direcția celui de-al doilea segment direcționat al dreptei. Această afirmație se aplică vectorilor care emană dintr-un punct.

Gradul de măsurare a unghiului dintre două secțiuni direcționate ale unei linii drepte care își au originea în același punct este conținută într-un segment de la 0 º până la 180 º. Desemnat valoare dată ca ∠(ā,ū) – unghiul dintre segmentele direcționate ā și ū.

Calculul unghiului dintre vectori

Calculul gradului de măsură a unghiului format dintr-o pereche de părți direcționate ale unei linii drepte se efectuează folosind următoarea formulă:

cosφ = (ō,ā) / |ō|·|ā|, ⇒ φ = arccos (cosφ).

∠φ – unghiul dorit între vectorii dați ō și ā,

(ō,ā) – produsul scalarilor părților direcționate ale dreptei,

|ō|·|ā| – produsul lungimilor segmentelor direcționate date.

Determinarea produsului scalar al secțiunilor direcționate ale unei drepte

Cum se utilizează această formulă și se determină valoarea numărătorului și numitorului raportului prezentat?

În funcție de sistemul de coordonate (spațiu cartezian sau tridimensional) în care se află vectorii dați, fiecare segment direcționat are următorii parametri:

ō = { o x, o y ), ā = ( un x, o y) sau

ō = { o x, o y ,o z), ā = ( un x, o y , a z).

Prin urmare, pentru a găsi valoarea numărătorului - scalarul segmentelor direcționate - ar trebui să efectuați următoarele acțiuni:

(ō,ā) = ō * ā = o x* un x+ o y *o y dacă vectorii luați în considerare se află pe plan

(ō,ā) = ō * ā = o x* un x+ o y *o y + o z* o z dacă secțiunile direcționate ale liniei sunt situate în spațiu.

Determinarea lungimii vectoriale

Lungimea segmentului direcționat se calculează folosind expresiile:

|ō| = √ o x 2 + o y 2 sau |ō| = √ o x 2 + o y2+ o z 2

|ā| = √ a x 2 + o y 2 sau |ā| = √ o x 2 + o y2+ o z 2

Că. în cazul general al măsurării n-dimensionale, expresia pentru determinarea gradului de măsură a unghiului dintre segmentele direcționate ō = ( o x, o y , …o n) și ā = ( un x, o y , … a n) arată astfel:

φ = arccos (cosφ) = arccos (( o x* un x+ o y *o y + … + o n* o n)/(√ o x 2 + o y 2 + … + o n2*√ o x 2 + o y 2 + … + o n 2)).

Un exemplu de calcul al unghiului dintre segmentele direcționate

În funcție de condiții, sunt dați vectorii ī = (3; 4; 0) și ū = (4; 4; 2). Ce este măsura gradului unghiul format de aceste segmente?

Definiți scalarul vectorilor ī și ū. Pentru a face acest lucru:

i * u = 3*4 + 4*4 + 0*2 = 28

Apoi calculați lungimile segmentelor:

|ī| = √9 + 16 + 0 = √25 = 5,

|ū| = √16 + 16 + 4 = √36 = 6.

cos (ī,ū) = 28 / 5*6 = 28/30 = 14/15 = 0,9(3).

Folosind tabelul cu valorile cosinus (Bradis), determinați valoarea unghiului dorit:

cos (ī,ū) = 0,9(3) ⇒ ∠(ī,ū) = 21° 6′.

Produsul scalar al vectorilor (denumit în continuare SP). Dragi prieteni! Examenul de matematică include un grup de probleme de rezolvare a vectorilor. Am luat deja în considerare câteva probleme. Le puteți vedea în categoria „Vectori”. În general, teoria vectorilor nu este complicată, principalul lucru este să o studiezi în mod consecvent. Calcule si operatii cu vectori in curs şcolar Matematica este simplă, formulele nu sunt complicate. Aruncă o privire la. În acest articol vom analiza problemele SP ale vectorilor (incluse în Examinarea de stat unificată). Acum „imersiune” în teorie:

H Pentru a găsi coordonatele unui vector, trebuie să scădeți din coordonatele capătului săucoordonatele corespunzătoare originii sale

Si inca ceva:

*Lungimea vectorului (modulul) este determinată după cum urmează:

Aceste formule trebuie reținute!!!

Să arătăm unghiul dintre vectori:

Este clar că poate varia de la 0 la 180 0(sau în radiani de la 0 la Pi).

Putem trage câteva concluzii despre semnul produsului scalar. Lungimile vectorilor au o valoare pozitivă, acest lucru este evident. Aceasta înseamnă că semnul produsului scalar depinde de valoarea cosinusului unghiului dintre vectori.

Cazuri posibile:

1. Dacă unghiul dintre vectori este acut (de la 0 0 la 90 0), atunci cosinusul unghiului va avea o valoare pozitivă.

2. Dacă unghiul dintre vectori este obtuz (de la 90 0 la 180 0), atunci cosinusul unghiului va avea o valoare negativă.

*La zero grade, adică atunci când vectorii au aceeași direcție, cosinusul este egal cu unu și, în consecință, rezultatul va fi pozitiv.

La 180 o, adică atunci când vectorii au direcții opuse, cosinusul este egal cu minus unu,și în consecință rezultatul va fi negativ.

Acum PUNCT IMPORTANT!

La 90 o, adică atunci când vectorii sunt perpendiculari unul pe altul, cosinusul este egal cu zero și, prin urmare, SP este egal cu zero. Acest fapt (consecință, concluzie) este folosit în rezolvarea multor probleme despre care vorbim poziție relativă vectori, inclusiv în problemele incluse în banca deschisa teme de matematică.

Să formulăm afirmația: produsul scalar este egal cu zero dacă și numai dacă acești vectori se află pe drepte perpendiculare.

Deci, formulele pentru vectorii SP:

Dacă sunt cunoscute coordonatele vectorilor sau coordonatele punctelor începutului și sfârșitului lor, atunci putem găsi întotdeauna unghiul dintre vectori:

Să luăm în considerare sarcinile:

27724 Aflați produsul scalar al vectorilor a și b.

Putem găsi produsul scalar al vectorilor folosind una dintre cele două formule:

Unghiul dintre vectori este necunoscut, dar putem găsi cu ușurință coordonatele vectorilor și apoi folosim prima formulă. Deoarece originile ambilor vectori coincid cu originea coordonatelor, coordonatele acestor vectori sunt egale cu coordonatele capetelor lor, adică

Cum să găsiți coordonatele unui vector este descris în.

Calculam:

Raspuns: 40

Să găsim coordonatele vectorilor și să folosim formula:

Pentru a găsi coordonatele unui vector, este necesar să se scadă coordonatele corespunzătoare ale începutului său din coordonatele sfârșitului vectorului, ceea ce înseamnă