Produsul scalar al vectorilor este egal cu. Formula pentru produsul scalar al vectorilor pentru probleme plane

În cazul unei probleme plane, produsul scalar al vectorilor a = (a x; a y) și b = (b x; b y) poate fi găsit folosind următoarea formulă:

a b = a x b x + a y b y

Formula pentru produsul scalar al vectorilor pentru probleme spațiale

În cazul unei probleme spațiale, produsul scalar al vectorilor a = (a x; a y; a z) și b = (b x; b y; b z) poate fi găsit folosind următoarea formulă:

a b = a x b x + a y b y + a z b z

Formula pentru produsul scalar al vectorilor n-dimensionali

În cazul unui spațiu n-dimensional, produsul scalar al vectorilor a = (a 1; a 2; ...; a n) și b = (b 1; b 2; ...; b n) poate fi găsit folosind urmatoarea formula:

a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n

Proprietăți ale produsului scalar al vectorilor

1. Produs punctual vectorul pe sine este întotdeauna mai mare sau egal cu zero:

2. Produsul scalar al unui vector cu el însuși este egal cu zero dacă și numai dacă vectorul este egal cu vectorul zero:

a · a = 0<=>a = 0

3. Produsul scalar al unui vector cu el însuși este egal cu pătratul modulului său:

4. Operația de înmulțire scalară este comunicativă:

5. Dacă produsul scalar a doi vectori nenuli este egal cu zero, atunci acești vectori sunt ortogonali:

a ≠ 0, b ≠ 0, a b = 0<=>a ┴ b

6. (αa) b = α(a b)

7. Operația de înmulțire scalară este distributivă:

(a + b) c = a c + b c

Exemple de probleme pentru calcularea produsului scalar al vectorilor

Exemple de calcul al produsului scalar al vectorilor pentru probleme plane

Aflați produsul scalar al vectorilor a = (1; 2) și b = (4; 8).

Soluţie: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.

Aflați produsul scalar al vectorilor a și b dacă lungimile lor |a| = 3, |b| = 6, iar unghiul dintre vectori este de 60˚.

Soluţie: a · b = |a| · |b| cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.

Aflați produsul scalar al vectorilor p = a + 3b și q = 5a - 3 b dacă lungimile lor |a| = 3, |b| = 2, iar unghiul dintre vectorii a și b este de 60˚.

Soluţie:

p q = (a + 3b) (5a - 3b) = 5 a a - 3 a b + 15 b a - 9 b b =

5 |a| 2 + 12 a · b - 9 |b| 2 = 5 3 2 + 12 3 2 cos 60˚ - 9 2 2 = 45 +36 -36 = 45.

Un exemplu de calcul al produsului scalar al vectorilor pentru probleme spațiale

Aflați produsul scalar al vectorilor a = (1; 2; -5) și b = (4; 8; 1).

Soluţie: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 - 5 = 15.

Un exemplu de calcul al produsului scalar pentru vectori n-dimensionali

Aflați produsul scalar al vectorilor a = (1; 2; -5; 2) și b = (4; 8; 1; -2).

Soluţie: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 + 2 · (-2) = 4 + 16 - 5 -4 = 11.

13. Produsul încrucișat al vectorilor și al unui vector se numește al treilea vector , definit după cum urmează:

2) perpendicular, perpendicular. (1"")

3) vectorii sunt orientați în același mod ca baza întregului spațiu (pozitiv sau negativ).

Desemnează: .

Sensul fizic produs vectorial

— momentul de forță relativ la punctul O; - raza - vector al punctului de aplicare a forței, atunci

Mai mult, dacă îl mutăm în punctul O, atunci triplul ar trebui să fie orientat ca vector de bază.

Curs: Coordonate vectoriale; produsul scalar al vectorilor; unghiul dintre vectori

Coordonatele vectoriale

Deci, așa cum am menționat mai devreme, un vector este un segment direcționat care are propriul său început și sfârșit. Dacă începutul și sfârșitul sunt reprezentate de anumite puncte, atunci ele au propriile coordonate în plan sau în spațiu.

Dacă fiecare punct are propriile sale coordonate, atunci putem obține coordonatele întregului vector.

Să presupunem că avem un vector al cărui început și sfârșit au următoarele denumiri și coordonate: A(A x ; Ay) și B(B x ; By)

Pentru a obține coordonatele unui vector dat, este necesar să se scadă coordonatele corespunzătoare ale începutului din coordonatele sfârșitului vectorului:

Pentru a determina coordonatele unui vector în spațiu, utilizați următoarea formulă:

Produsul punctual al vectorilor

Există două moduri de a defini conceptul de produs scalar:

• Metoda geometrică. Potrivit acestuia, produsul scalar este egal cu produsul dintre valorile acestor module și cosinusul unghiului dintre ele.

• Sensul algebric. Din punctul de vedere al algebrei, produsul scalar a doi vectori este o anumită cantitate care se obține ca urmare a sumei produselor vectorilor corespunzători.

Dacă vectorii sunt dați în spațiu, atunci ar trebui să utilizați o formulă similară:

Proprietăți:

• Dacă înmulțiți scalar doi vectori identici, atunci produsul lor scalar nu va fi negativ:

• Dacă produsul scalar a doi vectori identici se dovedește a fi egal cu zero, atunci acești vectori sunt considerați zero:

• Dacă un anumit vector este înmulțit cu el însuși, atunci produsul scalar va fi egal cu pătratul modulului său:

• Produsul scalar are o proprietate comunicativă, adică dacă vectorii sunt rearanjați, produsul scalar nu se va modifica:

• Produsul scalar al vectorilor nenuli poate fi egal cu zero numai dacă vectorii sunt perpendiculari unul pe celălalt:

• Pentru un produs scalar al vectorilor, legea comutativă este valabilă în cazul înmulțirii unuia dintre vectori cu un număr:

• Cu un produs scalar, puteți folosi și proprietatea distributivă a înmulțirii:

Unghiul dintre vectori

Produsul punctual al vectorilor

Continuăm să ne ocupăm de vectori. La prima lecție Vectori pentru manechine Ne-am uitat la conceptul de vector, acțiuni cu vectori, coordonate vectoriale și cele mai simple probleme cu vectori. Dacă ați ajuns pentru prima dată pe această pagină dintr-un motor de căutare, vă recomand cu tărie să citiți articolul introductiv de mai sus, deoarece pentru a stăpâni materialul trebuie să vă familiarizați cu termenii și notațiile pe care le folosesc, să aveți cunoștințe de bază despre vectori și să poată rezolva probleme de bază. Această lecție este o continuare logică a subiectului, pe care o voi analiza în detaliu sarcini tipice, care folosesc produsul scalar al vectorilor. Aceasta este o activitate FOARTE IMPORTANTĂ.. Încercați să nu săriți peste exemplele, acestea vin cu un bonus util - practica vă va ajuta să consolidați materialul pe care l-ați acoperit și să vă îmbunătățiți la rezolvarea problemelor comune geometrie analitică.

Adunarea vectorilor, înmulțirea unui vector cu un număr.... Ar fi naiv să credem că matematicienii nu au venit cu altceva. Pe lângă acțiunile deja discutate, există o serie de alte operații cu vectori, și anume: produs scalar al vectorilor, produs vectorial al vectorilorŞi produs mixt al vectorilor. Produsul scalar al vectorilor ne este familiar de la școală, celelalte două produse se referă în mod tradițional la curs matematica superioara. Subiectele sunt simple, algoritmul pentru rezolvarea multor probleme este simplu și ușor de înțeles. Singurul lucru. Există o cantitate decentă de informații, așa că nu este de dorit să încerci să stăpânești și să rezolvi TOTUL ÎN DATA. Acest lucru este valabil mai ales pentru manechini, credeți-mă, autorul nu vrea să se simtă ca Chikatilo de la matematică. Ei bine, nici de la matematică, desigur, =) Elevii mai pregătiți pot folosi materiale selectiv, într-un anumit sens, „obține” cunoștințele lipsă pentru tine voi fi un inofensiv Conte Dracula =)

Să deschidem în sfârșit ușa și să urmărim cu entuziasm ce se întâmplă când doi vectori se întâlnesc...

Definirea produsului scalar al vectorilor.
Proprietățile produsului scalar. Sarcini tipice

Conceptul de produs punctual

În primul rând despre unghiul dintre vectori. Cred că toată lumea înțelege intuitiv care este unghiul dintre vectori, dar pentru orice eventualitate, puțin mai multe detalii. Să luăm în considerare vectorii liberi nenuli și . Dacă trasați acești vectori dintr-un punct arbitrar, veți obține o imagine pe care mulți și-au imaginat-o deja mental:

Recunosc, aici am descris situația doar la nivel de înțelegere. Dacă aveți nevoie de o definiție strictă a unghiului dintre vectori, vă rugăm să consultați manualul pentru probleme practice, în principiu, nu ne este de nici un folos. De asemenea, AICI ȘI AICI voi ignora vectorii zero pe alocuri din cauza semnificației lor practice scăzute. Am făcut o rezervare special pentru vizitatorii avansați ai site-ului care îmi pot reproșa incompletitudinea teoretică a unor declarații ulterioare.

poate lua valori de la 0 la 180 de grade (0 la radiani), inclusiv. Analitic acest fapt scris ca o dublă inegalitate: sau (în radiani).

În literatură, simbolul unghiului este adesea omis și scris simplu.

Definiţie: Produsul scalar a doi vectori este un NUMĂR egal cu produsul dintre lungimile acestor vectori și cosinusul unghiului dintre ei:

Acum, aceasta este o definiție destul de strictă.

Ne concentrăm pe informațiile esențiale:

Desemnare: produsul scalar este notat prin sau simplu.

Rezultatul operației este un NUMĂR: Vectorul este înmulțit cu vector, iar rezultatul este un număr. Într-adevăr, dacă lungimile vectorilor sunt numere, cosinusul unui unghi este un număr, atunci produsul lor va fi și un număr.

Doar câteva exemple de încălzire:

Exemplul 1

Soluţie: Folosim formula . În acest caz:

Răspuns:

Valorile cosinusului pot fi găsite în tabel trigonometric. Recomand să-l imprimați - va fi necesar în aproape toate secțiunile turnului și va fi necesar de multe ori.

Din punct de vedere pur matematic, produsul scalar este adimensional, adică rezultatul, în acest caz, este doar un număr și atât. Din punctul de vedere al problemelor de fizică, produsul scalar are întotdeauna o anumită semnificație fizică, adică după rezultat trebuie să indicați unul sau altul unitate fizică. Un exemplu canonic de calcul al muncii unei forțe poate fi găsit în orice manual (formula este exact un produs scalar). Munca unei forțe este măsurată în Jouli, prin urmare, răspunsul va fi scris destul de specific, de exemplu, .

Exemplul 2

Găsiți dacă , iar unghiul dintre vectori este egal cu .

Acesta este un exemplu pentru decizie independentă, răspunsul este la sfârșitul lecției.

Unghiul dintre vectori și valoarea produsului punctual

În exemplul 1 produsul scalar sa dovedit a fi pozitiv, iar în exemplul 2 sa dovedit a fi negativ. Să aflăm de ce depinde semnul produsului scalar. Să ne uităm la formula noastră: . Lungimile vectorilor nenuli sunt întotdeauna pozitive: , deci semnul poate depinde doar de valoarea cosinusului.

Nota: Pentru a înțelege mai bine informațiile de mai jos, este mai bine să studiați graficul cosinus din manual Grafice de funcții și proprietăți. Vedeți cum se comportă cosinusul pe segment.

După cum sa menționat deja, unghiul dintre vectori poate varia în interior , iar următoarele cazuri sunt posibile:

1) Dacă colţîntre vectori picant: (de la 0 la 90 de grade), apoi , Și produsul punctual va fi pozitiv co-regizat, atunci unghiul dintre ele este considerat zero, iar produsul scalar va fi de asemenea pozitiv. Din moment ce , formula simplifică: .

2) Dacă colţîntre vectori bont: (de la 90 la 180 de grade), apoi și, în consecință, produsul punctual este negativ: . Caz special: dacă vectorii directii opuse, atunci se ia în considerare unghiul dintre ele extins: (180 de grade). Produsul scalar este de asemenea negativ, deoarece

Afirmațiile inverse sunt de asemenea adevărate:

1) Dacă , atunci unghiul dintre acești vectori este acut. Alternativ, vectorii sunt co-direcționali.

2) Dacă , atunci unghiul dintre acești vectori este obtuz. Alternativ, vectorii sunt în direcții opuse.

Dar cel de-al treilea caz prezintă un interes deosebit:

3) Dacă colţîntre vectori direct: (90 de grade), atunci produsul scalar este zero: . Este adevărat și invers: dacă , atunci . Enunțul poate fi formulat compact după cum urmează: Produsul scalar a doi vectori este zero dacă și numai dacă vectorii sunt ortogonali. Notație matematică scurtă:

! Nota : Să repetăm bazele logicii matematice: O pictogramă de consecință logică cu două fețe este de obicei citită „dacă și numai dacă”, „dacă și numai dacă”. După cum puteți vedea, săgețile sunt direcționate în ambele direcții - „de aici urmează asta și invers - de aici urmează asta”. Care este, apropo, diferența față de pictograma de urmărire unidirecțională? Pictograma afirmă numai atat, că „din aceasta urmează aceasta”, și nu este un fapt că contrariul este adevărat. De exemplu: , dar nu orice animal este o panteră, așa că în acest caz nu puteți folosi pictograma. În același timp, în locul pictogramei Can utilizați pictograma cu o singură față. De exemplu, în timp ce rezolvăm problema, am aflat că am ajuns la concluzia că vectorii sunt ortogonali: - o astfel de intrare va fi corectă și chiar mai potrivită decât .

Al treilea caz are mai multe semnificație practică , deoarece vă permite să verificați dacă vectorii sunt ortogonali sau nu. Vom rezolva această problemă în a doua secțiune a lecției.

Proprietățile produsului punctual

Să revenim la situația când doi vectori co-regizat. În acest caz, unghiul dintre ele este zero, , iar formula produsului scalar ia forma: .

Ce se întâmplă dacă un vector este înmulțit cu el însuși? Este clar că vectorul este aliniat cu el însuși, așa că folosim formula simplificată de mai sus:

Numărul este sunat pătrat scalar vector și sunt notate ca .

Astfel, pătratul scalar al unui vector este egal cu pătratul lungimii vectorului dat:

Din această egalitate putem obține o formulă pentru calcularea lungimii vectorului:

Până acum pare neclar, dar obiectivele lecției vor pune totul la locul său. Pentru a rezolva problemele avem nevoie și de noi proprietățile produsului punctual.

Pentru vectori arbitrari și orice număr, următoarele proprietăți sunt adevărate:

1) – comutativă sau comutativ legea produsului scalar.

2) – distribuție sau distributiv legea produsului scalar. Pur și simplu, puteți deschide parantezele.

3) – asociativ sau asociativ legea produsului scalar. Constanta poate fi derivată din produsul scalar.

Adesea, tot felul de proprietăți (care trebuie, de asemenea, dovedite!) sunt percepute de studenți ca un gunoi inutil, care trebuie doar memorat și uitat în siguranță imediat după examen. S-ar părea că ceea ce este important aici, toată lumea știe deja din clasa întâi că rearanjarea factorilor nu schimbă produsul: . Trebuie să vă avertizez că în matematica superioară este ușor să încurci lucrurile cu o astfel de abordare. Deci, de exemplu, proprietatea comutativă nu este adevărată pentru matrici algebrice. De asemenea, nu este adevărat pentru produs vectorial al vectorilor. Prin urmare, cel puțin, este mai bine să aprofundați în orice proprietăți pe care le întâlniți la un curs superior de matematică pentru a înțelege ce se poate face și ce nu se poate face.

Exemplul 3

.

Soluţie: Mai întâi, să clarificăm situația cu vectorul. Ce este asta oricum? Suma vectorilor este un vector bine definit, care este notat cu . O interpretare geometrică a acțiunilor cu vectori poate fi găsită în articol Vectori pentru manechine. Același pătrunjel cu un vector este suma vectorilor și .

Deci, conform condiției, este necesar să se găsească produsul scalar. În teorie, trebuie să aplicați formula de lucru , dar problema este că nu știm lungimile vectorilor și unghiul dintre ei. Dar condiția oferă parametri similari pentru vectori, așa că vom lua o altă cale:

(1) Înlocuiți expresiile vectorilor.

(2) Deschidem parantezele conform regulii de înmulțire a polinoamelor se găsește în articol; Numerele complexe sau Integrarea unei funcții fracționale-raționale. Nu mă voi repeta =) Apropo, proprietatea distributivă a produsului scalar ne permite să deschidem parantezele. Avem dreptul.

(3) În primul și ultimul termen scriem compact pătratele scalare ale vectorilor: . În al doilea termen folosim comutabilitatea produsului scalar: .

(4) Prezentăm termeni similari: .

(5) În primul termen folosim formula pătratului scalar, care a fost menționată nu cu mult timp în urmă. În ultimul termen, în consecință, funcționează același lucru: . Extindem al doilea termen conform formulei standard .

(6) Înlocuiți aceste condiții , și efectuați cu ATENȚIE calculele finale.

Răspuns:

O valoare negativă a produsului scalar afirmă faptul că unghiul dintre vectori este obtuz.

Problema este tipică, iată un exemplu pentru a o rezolva singur:

Exemplul 4

Aflați produsul scalar al vectorilor și dacă se știe că .

Acum o altă sarcină comună, doar pentru noua formulă pentru lungimea unui vector. Notația de aici se va suprapune puțin, așa că pentru claritate o voi rescrie cu o altă literă:

Exemplul 5

Aflați lungimea vectorului dacă .

Soluţie va fi după cum urmează:

(1) Furnizăm expresia pentru vectorul .

(2) Folosim formula lungimii: , în timp ce întreaga expresie ve acţionează ca vectorul „ve”.

(3) Folosim formula școlară pentru pătratul sumei. Observați cum funcționează în mod curios aici: – este de fapt pătratul diferenței și, de fapt, așa este. Cei care doresc pot rearanja vectorii: - se intampla acelasi lucru, pana la rearanjarea termenilor.

(4) Ceea ce urmează este deja familiar din cele două probleme anterioare.

Răspuns:

Deoarece vorbim despre lungime, nu uitați să indicați dimensiunea - „unități”.

Exemplul 6

Aflați lungimea vectorului dacă .

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Continuăm să stoarcem lucruri utile din produsul punctual. Să ne uităm din nou la formula noastră . Folosind regula proporției, resetăm lungimile vectorilor la numitorul părții stângi:

Să schimbăm piesele:

Care este sensul acestei formule? Dacă sunt cunoscute lungimile a doi vectori și produsul lor scalar, atunci putem calcula cosinusul unghiului dintre acești vectori și, în consecință, unghiul însuși.

Un produs punctual este un număr? Număr. Lungimile vectorului sunt numere? Numerele. Aceasta înseamnă că o fracție este și un număr. Și dacă cosinusul unghiului este cunoscut: , atunci folosind funcția inversă este ușor să găsiți unghiul în sine: .

Exemplul 7

Aflați unghiul dintre vectori și dacă se știe că .

Soluţie: Folosim formula:

În etapa finală a calculelor s-a folosit o tehnică tehnică - eliminarea iraționalității în numitor. Pentru a elimina iraționalitatea, am înmulțit numărătorul și numitorul cu .

Deci dacă , că:

Valori inverse funcții trigonometrice poate fi găsit de către tabel trigonometric. Deși acest lucru se întâmplă rar. În problemele de geometrie analitică, mult mai des un urs stângace ca , iar valoarea unghiului trebuie găsită aproximativ folosind un calculator. De fapt, vom vedea o astfel de imagine de mai multe ori.

Răspuns:

Din nou, nu uitați să indicați dimensiunile - radiani și grade. Personal, pentru a „rezolva în mod evident toate întrebările”, prefer să le indică pe amândouă (cu excepția cazului în care condiția, desigur, impune prezentarea răspunsului doar în radiani sau doar în grade).

Acum puteți face față în mod independent unei sarcini mai complexe:

Exemplul 7*

Sunt date lungimile vectorilor și unghiul dintre ei. Aflați unghiul dintre vectorii , .

Sarcina nu este atât de dificilă, ci are mai multe etape.
Să ne uităm la algoritmul de soluție:

1) În funcție de condiție, trebuie să găsiți unghiul dintre vectori și , deci trebuie să utilizați formula .

2) Aflați produsul scalar (vezi Exemplele nr. 3, 4).

3) Aflați lungimea vectorului și lungimea vectorului (vezi Exemplele nr. 5, 6).

4) Sfârșitul soluției coincide cu Exemplul nr. 7 - cunoaștem numărul , ceea ce înseamnă că este ușor să găsiți unghiul în sine:

O scurtă soluție și răspuns la sfârșitul lecției.

A doua secțiune a lecției este dedicată aceluiași produs scalar. Coordonatele. Va fi chiar mai ușor decât în ​​prima parte.

produsul punctual al vectorilor,
dat de coordonate în bază ortonormală

Răspuns:

Inutil să spun că a face cu coordonatele este mult mai plăcută.

Exemplul 14

Aflați produsul scalar al vectorilor și dacă

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Aici puteți folosi asociativitatea operației, adică nu numărați, dar imediat scoateți triplul în afara produsului scalar și înmulțiți-l cu acesta ultimul. Soluția și răspunsul sunt la sfârșitul lecției.

La sfârșitul paragrafului, un exemplu provocator despre calcularea lungimii unui vector:

Exemplul 15

Aflați lungimile vectorilor , Dacă

Soluţie: Metoda secțiunii anterioare se sugerează din nou: dar există o altă modalitate:

Să găsim vectorul:

Și lungimea sa conform formulei triviale :

Produsul scalar nu este deloc relevant aici!

De asemenea, nu este util atunci când se calculează lungimea unui vector:
Stop. Nu ar trebui să profităm de proprietatea evidentă a lungimii vectorului? Ce poți spune despre lungimea vectorului? Acest vector de 5 ori mai lung decât vectorul. Direcția este opusă, dar asta nu contează, pentru că vorbim de lungime. Evident, lungimea vectorului este egală cu produsul modul numere pe lungimea vectorului:
– semnul modulului „mănâncă” posibilul minus al numărului.

Astfel:

Răspuns:

Formula pentru cosinusul unghiului dintre vectori care sunt specificați prin coordonate

Acum avem informații complete pentru a folosi formula derivată anterior pentru cosinusul unghiului dintre vectori exprima prin coordonate vectoriale:

Cosinusul unghiului dintre vectorii planiși, specificate pe o bază ortonormală, exprimat prin formula:
.

Cosinusul unghiului dintre vectorii spațiali, specificat pe o bază ortonormală, exprimat prin formula:

Exemplul 16

Date trei vârfuri ale unui triunghi. Găsiți (unghiul vârfului).

Soluţie: Conform condițiilor, desenul nu este necesar, dar totuși:

Unghiul necesar este marcat cu un arc verde. Să ne amintim imediat desemnarea școlară a unui unghi: – atenție deosebită la medie litera - acesta este vârful unghiului de care avem nevoie. Pentru concizie, puteți scrie și simplu.

Din desen este destul de evident că unghiul triunghiului coincide cu unghiul dintre vectori și, cu alte cuvinte: .

Este recomandabil să învățați cum să efectuați analiza mental.

Să găsim vectorii:

Să calculăm produsul scalar:

Și lungimile vectorilor:

Cosinusul unghiului:

Aceasta este exact ordinea de finalizare a sarcinii pe care o recomand pentru manechin. Cititorii mai avansați pot scrie calculele „într-o singură linie”:

Iată un exemplu de valoare a cosinusului „proastă”. Valoarea rezultată nu este finală, așa că nu are rost să scapi de iraționalitatea la numitor.

Să găsim unghiul în sine:

Dacă te uiți la desen, rezultatul este destul de plauzibil. Pentru a verifica, unghiul poate fi măsurat și cu un raportor. Nu deteriorați capacul monitorului =)

Răspuns:

În răspuns nu uităm că întrebat despre unghiul unui triunghi(și nu despre unghiul dintre vectori), nu uitați să indicați răspunsul exact: și valoarea aproximativă a unghiului: , găsit folosind un calculator.

Cei care s-au bucurat de procesul pot calcula unghiurile și pot verifica validitatea egalității canonice

Exemplul 17

Un triunghi este definit în spațiu de coordonatele vârfurilor sale. Aflați unghiul dintre laturile și

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției

O scurtă secțiune finală va fi dedicată proiecțiilor, care implică și un produs scalar:

Proiecția unui vector pe un vector. Proiecția unui vector pe axele de coordonate.
Cosinusurile de direcție ale unui vector

Luați în considerare vectorii și:

Să proiectăm vectorul pe vector pentru a face acest lucru, de la începutul și sfârșitul vectorului pe care îl omitem perpendiculare la vector (linii punctate verzi). Imaginează-ți că razele de lumină cad perpendicular pe vector. Apoi segmentul (linia roșie) va fi „umbra” vectorului. În acest caz, proiecția vectorului pe vector este LUNGIMEA segmentului. Adică PROIECȚIA ESTE UN NUMĂR.

Acest NUMĂR este notat după cum urmează: , „vector mare” denotă vectorul CARE proiect, „vector indice mic” denotă vectorul PE care este proiectat.

Intrarea în sine se citește astfel: „proiecția vectorului „a” pe vectorul „fi”.”

Ce se întâmplă dacă vectorul „fi” este „prea scurt”? Desenăm o linie dreaptă care conține vectorul „fi”. Și vectorul „a” va fi proiectat deja în direcția vectorului „fi”, pur și simplu - la linia dreaptă care conține vectorul „fi”. Același lucru se va întâmpla dacă vectorul „a” este amânat în al treizecilea regat - va fi încă proiectat cu ușurință pe linia dreaptă care conține vectorul „fi”.

Dacă unghiulîntre vectori picant(ca in poza), atunci

Dacă vectorii ortogonală, atunci (proiecția este un punct ale cărui dimensiuni sunt considerate zero).

Dacă unghiulîntre vectori bont(în figură, rearanjați mental săgeata vectorială), apoi (aceeași lungime, dar luată cu semnul minus).

Să tragem acești vectori dintr-un punct:

Evident, atunci când un vector se mișcă, proiecția lui nu se modifică

Unghiul dintre vectori

Luați în considerare doi vectori dați $\overrightarrow(a)$ și $\overrightarrow(b)$. Să scădem vectorii $\overrightarrow(a)=\overrightarrow(OA)$ și $\overrightarrow(b)=\overrightarrow(OB)$ dintr-un punct ales arbitrar $O$, apoi unghiul $AOB$ se numește unghiul dintre vectorii $\overrightarrow( a)$ și $\overrightarrow(b)$ (Fig. 1).

Figura 1.

Rețineți că dacă vectorii $\overrightarrow(a)$ și $\overrightarrow(b)$ sunt codirecționali sau unul dintre ei este vectorul zero, atunci unghiul dintre vectori este $0^0$.

Notație: $\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))$

Conceptul de produs scalar al vectorilor

Din punct de vedere matematic, această definiție poate fi scrisă după cum urmează:

Produsul punctual poate fi zero în două cazuri:

Dacă unul dintre vectori este un vector zero (Deoarece atunci lungimea lui este zero).

Dacă vectorii sunt reciproc perpendiculari (adică $cos(90)^0=0$).

De asemenea, rețineți că produsul scalar este mai mare decât zero dacă unghiul dintre acești vectori este acut (deoarece $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ ) >0$) , și mai mic decât zero dacă unghiul dintre acești vectori este obtuz (deoarece $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ )

Legat de conceptul de produs scalar este conceptul de pătrat scalar.

Definiția 2

Pătratul scalar al unui vector $\overrightarrow(a)$ este produsul scalar al acestui vector cu el însuși.

Constatăm că pătratul scalar este egal cu

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(a)=\left|\overrightarrow(a)\right|\left|\overrightarrow(a)\right|(cos 0^0\ )=\left|\overrightarrow(a )\right|\left|\overrightarrow(a)\right|=(\left|\overrightarrow(a)\right|)^2\]

Calcularea produsului scalar din coordonatele vectoriale

Pe lângă modalitatea standard de găsire a valorii produsului scalar, care rezultă din definiție, există o altă modalitate.

Să luăm în considerare.

Fie vectorii $\overrightarrow(a)$ și $\overrightarrow(b)$ să aibă coordonatele $\left(a_1,b_1\right)$ și, respectiv, $\left(a_2,b_2\right)$.

Teorema 1

Produsul scalar al vectorilor $\overrightarrow(a)$ și $\overrightarrow(b)$ este egal cu suma produselor coordonatelor corespunzătoare.

Din punct de vedere matematic, aceasta poate fi scrisă după cum urmează

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=a_1a_2+b_1b_2\]

Dovada.

Teorema a fost demonstrată.

Această teoremă are mai multe consecințe:

Corolarul 1: Vectorii $\overrightarrow(a)$ și $\overrightarrow(b)$ sunt perpendiculari dacă și numai dacă $a_1a_2+b_1b_2=0$

Corolarul 2: Cosinusul unghiului dintre vectori este egal cu $cos\alpha =\frac(a_1a_2+b_1b_2)(\sqrt(a^2_1+b^2_1)\cdot \sqrt(a^2_2+b^2_2))$

Proprietăți ale produsului scalar al vectorilor

Pentru oricare trei vectori și un număr real $k$ este adevărat:

$(\overrightarrow(a))^2\ge 0$

Această proprietate rezultă din definiția unui pătrat scalar (Definiția 2).

Legea călătoriilor:$\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=\overrightarrow(b)\overrightarrow(a)$.

Această proprietate rezultă din definiția produsului scalar (Definiția 1).

Legea distributivă:

$\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)$. \end(enumerați)

Prin teorema 1, avem:

\[\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\left(a_1+a_2\right)a_3+\left(b_1+b_2\right)b_3=a_1a_3+a_2a_3+ b_1b_3 +b_2b_3==\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)\]

Legea combinației:$\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))$. \end(enumerați)

Prin teorema 1, avem:

\[\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=ka_1a_2+kb_1b_2=k\left(a_1a_2+b_1b_2\right)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))\]

Un exemplu de problemă pentru calcularea produsului scalar al vectorilor

Exemplul 1

Găsiți produsul scalar al vectorilor $\overrightarrow(a)$ și $\overrightarrow(b)$ dacă $\left|\overrightarrow(a)\right|=3$ și $\left|\overrightarrow(b)\right |= 2$, iar unghiul dintre ele este $((30)^0,\ 45)^0,\ (90)^0,\ (135)^0$.

Soluţie.

Folosind Definiția 1, obținem

Pentru $(30)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((30)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(3))(2)=3\sqrt( 3)\]

Pentru $(45)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((45)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(2))(2)=3\sqrt( 2)\]

Pentru $(90)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((90)^0\right)\ )=6\cdot 0=0\]

Pentru $(135)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((135)^0\right)\ )=6\cdot \left(-\frac(\sqrt(2))(2)\ dreapta)=-3\sqrt(2)\]

): ⟨a |

b ⟩ (\displaystyle \langle a|b\rangle ) În cel mai simplu caz al spațiului obișnuit, produsul scalar al vectorilor nenuli și b (\displaystyle \mathbf (b) )

este definită ca produsul dintre lungimile acestor vectori și cosinusul unghiului dintre ei:

(a, b) = |

a | | b |

cos ⁡ (θ) (\displaystyle (\mathbf (a) ,\mathbf (b))=|\mathbf (a) ||\mathbf (b) |\cos(\theta)) Definiție echivalentă: produsul scalar este produsul dintre lungimea proiecției primului vector pe al doilea și lungimea celui de-al doilea vector (vezi figura). Dacă cel puțin unul dintre vectori este zero, atunci produsul este considerat egal cu zero. Conceptul de produs scalar are și un număr mare de generalizări pentru diverse spații vectoriale, adică pentru mulțimi de vectori cu operațiile de adunare și înmulțire cu scalari. Date mai sus

definiție geometrică

Produsul scalar este în general nepotrivit, deoarece nu este clar ce se înțelege prin lungimile vectorilor și mărimea unghiului dintre ei. Prin urmare, în matematica modernă, se utilizează abordarea opusă: produsul scalar este determinat axiomatic, iar prin acesta - lungimi și unghiuri. În special, produsul punctual este definit pentru vectori complecși, spații de dimensiuni mari și infinite, în algebra tensorală.

Produsul scalar și generalizările sale joacă un rol extrem de important mare rolîn algebră vectorială, teoria varietăților, mecanică și fizică. De exemplu, munca efectuată de o forță în timpul mișcării mecanice este egală cu produsul scalar dintre vectorul forță și vectorul deplasare. mare rol numere reale pe o bază ortonormală. Puteți defini produsul scalar al vectorilor astfel:

(a , b) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + ⋯ + a n b n (\displaystyle (\mathbf (a) ,\mathbf (b))=a_(1)b_(1)+ a_(2)b_(2)+a_(3)b_(3)+\dots +a_(n)b_(n))

Verificarea arată că toate cele trei axiome sunt îndeplinite.

De exemplu, produsul scalar al vectorilor ( 1 , 3 , - 5 ) (\displaystyle \(1,3,-5\))Şi ( 4 , - 2 , - 1 ) (\displaystyle \(4,-2,-1\)) se va calcula astfel:

( 1 , 3 , − 5 ) ⋅ ( 4 , − 2 , − 1 ) = 1 ⋅ 4 + 3 ⋅ (− 2) + (− 5) ⋅ (− 1) = 4 − 6 + 5 = 3. (\ stil de afișare (\begin(aligned)\\(1,3,-5\)\cdot \(4,-2,-1\)&=1\cdot 4+3\cdot (-2)+(-5) \cdot (-1)\\&=4-6+5\\&=3.\end(aliniat)))

Pentru vectori complecși a = ( a 1 , a 2 ... a n ) , b = ( b 1 , b 2 ... b n ) (\displaystyle \mathbf (a) =\(a_(1),a_(2)\dots a_(n)\ ),\mathbf (b) =\(b_(1),b_(2)\dots b_(n)\)) hai sa definim in mod similar:

(a , b) = ∑ k = 1 n a k b k ¯ = a 1 b 1 ¯ + a 2 b 2 ¯ + ⋯ + a n b n ¯ (\displaystyle (\mathbf (a) ,\mathbf (b))=\sum _( k=1)^(n)a_(k)(\overline (b_(k)))=a_(1)(\overline (b_(1)))+a_(2)(\overline (b_(2)) ))+\cdots +a_(n)(\overline (b_(n)))).

Exemplu (pentru n = 2 (\displaystyle n=2)): ( 1 + i , 2 ) ⋅ ( 2 + i , i ) = (1 + i) ⋅ (2 + i ¯) + 2 ⋅ i ¯ = (1 + i) ⋅ (2 − i) + 2 ⋅ (− i) = 3 − i .

(\displaystyle \(1+i,2\)\cdot \(2+i,i\)=(1+i)\cdot ((\overline (2+i)))+2\cdot (\overline ( i))=(1+i)\cdot (2-i)+2\cdot (-i)=3-i.)

Definiții înrudite

În abordarea axiomatică modernă, deja pe baza conceptului de produs scalar al vectorilor, sunt introduse următoarele concepte derivate: Lungime

vector, care este de obicei înțeles ca norma sa euclidiană:

|

a | = (a , a) (\displaystyle |\mathbf (a) |=(\sqrt ((\mathbf (a) ,\mathbf (a))))) (termenul „lungime” este de obicei aplicat vectorilor cu dimensiuni finite, dar în cazul calculării lungimii unui traseu curbat este adesea folosit în cazul spațiilor cu dimensiuni infinite). Pentru orice elemente a , b (\displaystyle \mathbf (a) ,\mathbf (b) )

Dacă spațiul este pseudo-euclidian, conceptul de unghi este definit doar pentru vectorii care nu conțin linii izotrope în interiorul sectorului format de vectori. Unghiul însuși este introdus ca număr, al cărui cosinus hiperbolic este egal cu raportul dintre modulul produsului scalar al acestor vectori și produsul lungimii lor (norme):

|

• (a, b) |= |
• a |
  • |
• b | ch ⁡ φ .(\displaystyle |(\mathbf (a) ,\mathbf (b))|=|\mathbf (a) ||\mathbf (b) |\operatorname (ch) \varphi .)

Ortogonală

• (perpendiculari) sunt vectori al căror produs scalar este egal cu zero. Această definiție se aplică oricărui spațiu cu un produs scalar definit pozitiv. De exemplu, polinoamele ortogonale sunt de fapt ortogonale (în sensul acestei definiții) între ele într-un spațiu Hilbert. Un spațiu (real sau complex) cu un produs interior definit pozitiv se numește spațiu pre-Hilbert.
• În acest caz, un spațiu real de dimensiuni finite cu un produs scalar definit pozitiv se numește și euclidian, iar un spațiu complex se numește spațiu hermitian sau unitar. (a, b) = | a |< 0, если угол между векторами тупой.
• ⋅ | b |: ⋅ cos ⁡ ∠ (a , b) (\displaystyle (\mathbf (\mathbf (a) ) ,\mathbf (b))=|\mathbf (a) |\cdot |\mathbf (b) |\cdot \cos \angle ((\mathbf (a) ,\mathbf (b)))) semnul este determinat doar de cosinusul unghiului (normele vectorilor sunt întotdeauna pozitive). Prin urmare, produsul scalar > 0 dacă unghiul dintre vectori este acut și Proiecția unui vector pe direcția definită de vectorul unitar
• e (\displaystyle \mathbf (e) ) a e = (a , e) = |Şi a ||

e |