Teorema despre modificarea impulsului unui punct. Teorema privind modificarea impulsului unui sistem mecanic

Să considerăm un sistem format din puncte materiale. Să compunem ecuații diferențiale de mișcare (13) pentru acest sistem și să le adăugăm termen cu termen. Apoi primim

Ultima sumă pe proprietate forțe interne egal cu zero. In plus,

In sfarsit gasim

Ecuația (20) exprimă teorema privind modificarea impulsului sistemului în formă diferențială: derivata în timp a impulsului sistemului este egală cu suma geometrică a tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului. În proiecţiile pe axele de coordonate voinţă:

Să găsim o altă expresie pentru teoremă. Fie în momentul de față cantitatea de mișcare a sistemului să fie egală și în momentul de față egală cu . Apoi, înmulțind ambele părți ale egalității (20) cu și integrând, obținem

întrucât integralele din dreapta dau impulsuri ale forţelor externe.

Ecuația (21) exprimă teorema despre modificarea impulsului sistemului în formă integrală: modificarea impulsului sistemului într-o anumită perioadă de timp este egală cu suma impulsurilor care acționează asupra sistemului de forțe externe peste aceeași perioadă de timp.

În proiecțiile pe axe de coordonate vor exista:

Să subliniem legătura dintre teorema dovedită și teorema mișcării centru de masă. Din moment ce , atunci, înlocuind această valoare în egalitatea (20) și ținând cont că obținem , adică ecuația (16).

În consecință, teorema privind mișcarea centrului de masă și teorema privind modificarea impulsului sistemului sunt în esență două forme diferite ale aceleiași teoreme. În cazurile în care se studiază mișcarea solid(sau sisteme de corpuri), puteți utiliza în mod egal oricare dintre aceste forme, iar ecuația (16) este de obicei mai convenabil de utilizat. Pentru un mediu continuu (lichid, gaz), atunci când rezolvă probleme, se folosesc de obicei teorema privind modificarea impulsului sistemului. Această teoremă are aplicații importante și în teoria impactului (vezi capitolul XXXI) și în studiul propulsiei cu reacție (vezi § 114).

Cantitatea de mișcare a sistemului numiți suma geometrică a cantităților de mișcare ale tuturor punctelor materiale ale sistemului

Pentru a clarifica semnificația fizică a lui (70), să calculăm derivata lui (64)

. (71)

Rezolvând (70) și (71) împreună, obținem

. (72)

Astfel, vectorul de impuls al unui sistem mecanic este determinat de produsul dintre masa sistemului și viteza centrului său de masă.

Să calculăm derivata lui (72)

. (73)

Rezolvând (73) și (67) împreună, obținem

. (74)

Ecuația (74) exprimă următoarea teoremă.

Teorema: Derivata în timp a vectorului impuls al sistemului este egală cu suma geometrică a tuturor forțelor externe ale sistemului.

La rezolvarea problemelor, ecuația (74) trebuie proiectată pe axele de coordonate:

. (75)

Din analiza (74) și (75) rezultă următoarele: legea conservării impulsului unui sistem: Dacă suma tuturor forțelor sistemului este zero, atunci vectorul său impuls își păstrează mărimea și direcția.

Dacă
, Asta
,Q = const . (76)

Într-un caz particular, această lege poate fi îndeplinită de-a lungul uneia dintre axele de coordonate.

Dacă
, Asta, Q z = const. (77)

Este recomandabil să folosiți teorema privind modificarea impulsului în cazurile în care sistemul include corpuri lichide și gazoase.

Teorema privind modificarea momentului unghiular al unui sistem mecanic

Cantitatea de mișcare caracterizează doar componenta de translație a mișcării.

Pentru a caracteriza mișcarea de rotație a unui corp, a fost introdus conceptul de moment unghiular principal al sistemului în raport cu un centru dat (moment cinetic). Momentul cinetic al sistemului

. (78)

relativ la un centru dat este suma geometrică a momentelor cantităților de mișcare ale tuturor punctelor sale relativ la același centru

. (79)

Proiectând (22) pe axele de coordonate, putem obține o expresie pentru momentul cinetic relativ la axele de coordonate Momentul cinetic al corpului în raport cu axele

. (80)

egal cu produsul dintre momentul de inerție al corpului față de această axă și viteza unghiulară a corpului

Din (80) rezultă că momentul cinetic caracterizează doar componenta de rotație a mișcării.

O caracteristică a acțiunii de rotație a unei forțe este momentul acesteia față de axa de rotație.

Teorema: Teorema privind modificarea momentului unghiular stabilește relația dintre caracteristica mișcării de rotație și forța care provoacă această mișcare.Derivata în timp a vectorului momentului unghiular al sistemului în raport cu un centru este egală cu suma geometrică a momentelor tuturor forțelor externe ale sistemului în raport cu

. (81)

acelasi centru

La rezolvarea problemelor de inginerie (81), este necesară proiectarea pe axele de coordonate Analiza lor a (81) și (82) implică: legea conservării momentului unghiular

,

Dacă suma momentelor tuturor forțelor externe față de centru (sau axă) este egală cu zero, atunci momentul cinetic al sistemului față de acest centru (sau axă) își păstrează mărimea și direcția.

sau viteza unghiulara.

Cantitatea de mișcare este o măsură a mișcării mecanice, dacă mișcarea mecanică se transformă în mecanică. De exemplu, mișcarea mecanică a unei mingi de biliard (Fig. 22) înainte de impact se transformă în mișcare mecanică a bilelor după impact. Pentru un punct, impulsul este egal cu produsul .

Măsura forței în acest caz este impulsul forței

. (9.1)

Momentul determină acțiunea forței pe o perioadă de timp . Pentru un punct material, teorema privind modificarea impulsului poate fi utilizată sub formă diferențială
(9.2) sau formă integrală (finită).
. (9.3)

Modificarea impulsului unui punct material într-o anumită perioadă de timp este egală cu impulsul tuturor forțelor aplicate punctului în același timp.

Figura 22

La rezolvarea problemelor, teorema (9.3) este folosită mai des în proiecțiile pe axe de coordonate
;

; (9.4)

.

Folosind teorema privind modificarea impulsului unui punct, este posibil să se rezolve probleme în care un punct sau un corp care se mișcă translațional este acționat de forțe constante sau variabile care depind de timp, iar mărimile date și căutate includ timpul de mișcarea și vitezele la începutul și la sfârșitul mișcării. Problemele folosind teorema se rezolvă în următoarea succesiune:

1. alege un sistem de coordonate;

2. descrieți toate forțele și reacțiile date (active) care acționează asupra unui punct;

3. scrieți o teoremă despre modificarea impulsului unui punct în proiecții pe axele de coordonate selectate;

4. determinați cantitățile necesare.

EXEMPLUL 12.

Un ciocan care cântărește G=2t cade de la o înălțime h=1m pe piesa de prelucrat în timp t=0,01s și ștampină piesa (Fig. 23). Determinați forța medie de presiune a ciocanului asupra piesei de prelucrat.

SOLUŢIE.

1. Piesa de prelucrat este supusă forței gravitaționale a ciocanului și reacția solului .
.

Mărimea reacției suport se schimbă în timp, așa că să luăm în considerare valoarea medie a acesteia
2. direcționați axa coordonatei y vertical în jos și aplicați teorema privind modificarea impulsului unui punct din proiecția pe această axă: , (1) unde

-- viteza ciocanului la finalul loviturii;

-- viteza initiala a ciocanului in momentul contactului cu piesa de prelucrat. 3. Pentru a determina viteza hai sa ne impacam ecuație diferențială

. (2)

mișcarea ciocanului în proiecție pe axa y:
;

;

Să separăm variabilele și să integrăm ecuația (2) de două ori: . Găsim constantele de integrare C 1, C 2 din conditiile initiale
. La t=0 V y =0, atunci C 1 =0; y=0, atunci C2 =0. Prin urmare, ciocanul se mișcă conform legii
, (3) iar viteza ciocanului se modifica conform legii
;
. (5)

.
.
(6) Înlocuiți (5) și (6) în (1):
, de unde găsim reacția suportului, și, în consecință, presiunea dorită a ciocanului asupra piesei de prelucrat

T.

Figura 24

LA
;

. (9.7)

unde M este masa sistemului, V c este viteza centrului de masă. Teorema privind modificarea impulsului unui sistem mecanic poate fi scrisă sub formă diferențială și finită (integrală):
Cantitatea de mișcare a unui sistem mecanic poate fi definită ca suma cantităților de mișcare a punctelor sistemului
, (9.6)

.
; (9.8)
. (9.9)

(9.5) Momentul unui sistem sau al unui corp rigid poate fi determinat prin cunoașterea masei sistemului și a vitezei centrului de masă
,
.

Modificarea impulsului unui sistem mecanic într-o anumită perioadă de timp este egală cu suma impulsurilor forțelor externe care acționează în același timp. Uneori este mai convenabil să folosiți teorema privind modificarea impulsului în proiecția pe axele de coordonate
Legea conservării impulsului spune că, în absența forțelor externe, impulsul unui sistem mecanic rămâne constant. Acțiunea forțelor interne nu poate schimba impulsul sistemului. Din ecuația (9.6) este clar că atunci când
Dacă
.

, Asta

sau D elice sau elice, propulsie cu reacție. Calamarii se mișcă smucituri, aruncând apă din sacul muscular ca un tun cu apă (Fig. 25). Apa respinsă are o anumită mișcare îndreptată înapoi. Calamarul primește viteza corespunzătoare .

mișcarea înainte datorită forței reactive de tracțiune

, dinainte ca calmarul sa sara din forta

echilibrat de gravitaţie

Efectul legii conservării impulsului a unui sistem mecanic poate fi ilustrat prin exemplul fenomenului de recul sau de deplasare la fotografiere, lucru
Aplicarea teoremei asupra schimbării impulsului ne permite să excludem toate forțele interne din considerare.

EXEMPLUL 13. Un troliu A cu un tambur cu raza r este instalat pe o platformă feroviară de sine stătătoare pe șine (Fig. 26). Troliul este proiectat să deplaseze o sarcină B cu o masă m 1 de-a lungul platformei. Greutatea platformei cu troliu m 2. Tamburul troliului se rotește conform legii

. La momentul inițial, sistemul era mobil. Neglijând frecarea, găsiți legea schimbării vitezei platformei după pornirea troliului. R SOLUŢIE. 1. Considerați platforma, troliul și sarcina ca un singur sistem mecanic, asupra căruia sunt acționate forțe externe: gravitația sarcinii
.

și platforme
și reacții
Şi

Să exprimăm cantitatea de mișcare a sistemului la un moment arbitrar în timp. Platforma se deplasează înainte cu o viteză , sarcina suferă o mișcare complexă constând în deplasare relativă de-a lungul platformei cu o viteză Şi mișcare portabilăîmpreună cu platforma în viteză ., unde
. Platforma se va deplasa în direcția opusă mișcării relative a încărcăturii.

EXEMPLUL 14.

M

SOLUŢIE.

1. Să aplicăm teorema privind modificarea impulsului unui sistem mecanic în proiecție pe axa x. Deoarece toate forțele externe care acționează asupra sistemului sunt verticale, atunci
, Atunci
, unde
. (1)

2. Să exprimăm proiecția impulsului pe axa x pentru sistemul mecanic luat în considerare
,

Sistemul mecanic este format dintr-o placă verticală dreptunghiulară 1 cu masa m 1 = 18 kg, care se deplasează de-a lungul ghidajelor orizontale și o sarcină D cu masa m 2 = 6 kg. La momentul t 0 =0, când placa se mișca cu o viteză u 0 =2m/s, sarcina a început să se deplaseze de-a lungul șanțului în conformitate cu ecuația S=AD=0,4sin( t 2) (S-in metri, t-in secunde), (Fig. 26). Determinați viteza plăcii la momentul t 1 = 1s, folosind teorema privind modificarea impulsului unui sistem mecanic.

Unde ,
-- cantitatea de mișcare a plăcii și respectiv a sarcinii.

;
, Unde --viteza absolută a sarcinii D. Din egalitatea (1) rezultă că K 1x + K 2x =C 1 sau m 1 u x +m 2 V Dx =C 1.
, (3)
(2) Pentru a determina V Dx, considerați mișcarea sarcinii D ca fiind complexă, luând în considerare mișcarea ei în raport cu placa relativă și mișcarea plăcii în sine portabilă, atunci ;sau în proiecție pe axa x:
.

(4) Să înlocuim (4) în (2):

.

(5) Determinăm constanta de integrare C 1 din condiţiile iniţiale: la t=0 u=u 0 ;

(m1 +m2)u0 =C1.(6) Înlocuind valoarea constantei C 1 în ecuația (5), obținem Domnișoară.

(Fragmente dintr-o simfonie matematică)

(129)

Teorema a fost dovedită și matematicienii își consideră misiunea încheiată, dar inginerii, al căror destin este să creadă cu sfințenie în matematicieni, au întrebări atunci când folosesc ecuația dovedită (129). Dar ele sunt ferm blocate de succesiunea și frumusețea operațiilor matematice (128 și 129), care ne fascinează și ne încurajează să le numim fragmente dintr-o simfonie matematică. Câte generații de ingineri au fost de acord cu matematicienii și au fost uimiți de misterul simbolurilor lor matematice! Dar apoi a fost un inginer care nu a fost de acord cu matematicienii și le-a pus întrebări.

Dragi matematicieni! De ce în niciunul din manualele tale mecanică teoretică nu este luat în considerare procesul de aplicare a rezultatului simfonic (129) în practică, de exemplu, atunci când descrieți procesul de accelerare a unei mașini? Partea stângă a ecuației (129) este foarte clară. Mașina pornește accelerația din viteză și o termină, de exemplu, la viteză. Este destul de firesc ca ecuația (129) să devină

Și prima întrebare apare imediat: cum putem determina din ecuația (130) forța sub influența căreia mașina este accelerată la o viteză de 10 m/s? Răspunsul la această întrebare nu se găsește în niciunul dintre nenumăratele manuale de mecanică teoretică. Să mergem mai departe. După accelerare, mașina începe să se miște uniform cu o viteză de 10 m/s. Ce forta misca masina???????????? Nu am de ales decât să roșesc împreună cu matematicienii. Prima lege a dinamicii newtoniene spune că atunci când o mașină se mișcă uniform, nu acționează asupra ei nicio forță, iar mașina, la figurat vorbind, strănută la această lege, consumă benzină și funcționează, deplasându-se, de exemplu, pe o distanță de 100 km. Unde este forța care a făcut munca pentru a muta mașina 100 km? Ecuația matematică simfonică (130) este tăcută, dar viața continuă și cere un răspuns. Începem să-l căutăm.

Deoarece mașina se mișcă rectiliniu și uniform, forța care o mișcă este constantă ca mărime și direcție, iar ecuația (130) devine

(131)

Deci, ecuația (131) în acest caz descrie mișcarea accelerată a corpului. Cu ce ​​este egală forța? Cum să-și exprime schimbarea în timp? Matematicienii preferă să ocolească această întrebare și să o lase pe seama inginerilor, crezând că trebuie să caute răspunsul la această întrebare. Inginerilor le mai rămâne o singură opțiune - să țină cont de faptul că, dacă, după finalizarea mișcării accelerate a corpului, începe o fază de mișcare uniformă, care este însoțită de acțiunea unei forțe constante, prezentăm ecuația (131) pentru momentul de tranziție de la mișcarea accelerată la cea uniformă în această formă

(132)

Săgeata din această ecuație nu înseamnă rezultatul integrării acestei ecuații, ci procesul de trecere de la forma sa integrală la o formă simplificată. Forța din această ecuație este echivalentă cu forța medie care a schimbat impulsul corpului de la zero la o valoare finală. Așadar, dragi matematicieni și fizicieni teoreticieni, absența metodei voastre pentru determinarea mărimii impulsului vostru ne obligă să simplificăm procedura de determinare a forței, iar absența unei metode pentru determinarea timpului de acțiune a acestei forțe ne pune în general într-un poziție fără speranță și suntem forțați să folosim o expresie pentru a analiza procesul de schimbare a impulsului unui corp. Rezultatul este că, cu cât forța acționează mai mult, cu atât impulsul ei este mai mare. Acest lucru contrazice în mod clar ideile de mult stabilite că, cu cât impulsul de forță este mai mare, cu atât este mai mare mai putin timp acțiunile lui.

Să atragem atenția asupra faptului că modificarea impulsului unui punct material (impuls de forță) în timpul mișcării sale accelerate are loc sub acțiunea forței newtoniene și a forțelor de rezistență la mișcare, sub forma unor forțe generate de rezistențele mecanice și forța de inerție. Dar dinamica newtoniană în marea majoritate a problemelor ignoră forța de inerție, iar Mecanodinamica afirmă că o modificare a impulsului unui corp în timpul mișcării sale accelerate are loc din cauza excesului forței newtoniene asupra forțelor de rezistență la mișcare, inclusiv forta de inertie.

Când un corp se mișcă cu mișcare lentă, de exemplu, o mașină cu treapta de viteză oprită, nu există nicio forță newtoniană, iar schimbarea impulsului mașinii are loc datorită excesului de forțe de rezistență la mișcare față de forța inerțială care se mișcă. mașina când se mișcă încet.

Cum putem aduce acum rezultatele acțiunilor matematice „simfonice” notate (128) la curentul principal al relațiilor cauză-efect? Există o singură cale de ieșire - găsirea unei noi definiții a conceptelor „impuls de forță” și „forță de impact”. Pentru a face acest lucru, împărțiți ambele părți ale ecuației (132) la timpul t. Ca urmare vom avea

. (133)

Să acordăm atenție faptului că expresia mV/t este rata de schimbare a impulsului (mV/t) a unui punct sau corp material. Dacă luăm în considerare că V/t este accelerație, atunci mV/t este forța care modifică cantitatea de mișcare a corpului. Aceeași dimensiune din stânga și din dreapta semnului egal ne dă dreptul să numim forța F forță de șoc și să o notăm prin simbol, iar impulsul S - un impuls de șoc și să-l notăm cu simbolul. Aceasta conduce la o nouă definiție a forței de impact. Forța de impact care acționează asupra unui punct sau corp material este egală cu raportul dintre modificarea impulsului punctului sau corpului material și momentul acestei schimbări.

Să acordăm o atenție deosebită faptului că doar forța newtoniană participă la formarea impulsului de șoc (134), care a schimbat viteza mașinii de la zero la maxim - , prin urmare ecuația (134) aparține în întregime dinamicii newtoniene. Deoarece este mult mai ușor să determinați mărimea vitezei experimental decât să determinați accelerația, formula (134) este foarte convenabilă pentru calcule.

Acest rezultat neobișnuit rezultă din ecuația (134).

Să acordăm atenție faptului că, conform noilor legi ale mecanodinamicii, generatorul impulsului de forță în timpul mișcării accelerate a unui punct sau corp material este forța newtoniană. Formează accelerația mișcării unui punct sau a unui corp, la care se naște automat o forță inerțială, îndreptată opus forței newtoniene și impactului forța newtoniană trebuie să învingă acțiunea forței inerțiale, prin urmare forța inerțială trebuie reprezentată în echilibrul de forțe pe partea stângă a ecuației (134). Deoarece forța de inerție este egală cu masa punctului sau corpului înmulțită cu decelerația pe care o formează, atunci ecuația (134) devine

(136)

Dragi matematicieni! Vezi ce formă a luat model matematic, descriind impulsul de șoc, care accelerează mișcarea corpului impactat de la viteza zero la V maximă (11). Acum să verificăm funcționarea acestuia în determinarea impulsului de impact, care este egal cu forța de impact care a declanșat a doua unitate de putere a SShG (Fig. 120), și vă vom lăsa cu ecuația dvs. inutilă (132). Pentru a nu complica prezentarea, vom lăsa formula (134) în pace deocamdată și vom folosi formule care dau valori medii ale forțelor. Vezi în ce poziție ai pus un inginer care încearcă să rezolve o anumită problemă.

Să începem cu dinamica newtoniană. Experții au descoperit că a doua unitate de putere s-a ridicat la o înălțime de 14 m. Deoarece s-a ridicat în câmpul gravitațional, la o înălțime de h = 14 m energia sa potențială s-a dovedit a fi egală cu

iar media energie cinetică a fost egal

Orez. 120. Fotografie cu camera turbinelor înainte de dezastru

Din egalitatea energiilor cinetice (138) și potențiale (137) rezultă viteza medie ridicarea unității de alimentare (Fig. 121, 122)

Orez. 121. Fotonul camerei turbinelor după dezastru

Conform noilor legi ale mecanodinamicii, creșterea unității de putere a constat din două faze (Fig. 123): prima fază OA - creștere accelerată și a doua fază AB - creștere lentă , , .

Timpul și distanța acțiunii lor sunt aproximativ egale (). Apoi ecuația cinematică a fazei accelerate de ridicare a unității de putere se va scrie după cum urmează:

. (140)

Orez. 122. Vedere a puțului unității de alimentare și a unității de alimentare în sine după dezastru

Legea schimbării ratei de creștere a unității de putere în prima fază are forma

. (141)

Orez. 123. Regularitatea modificărilor vitezei de zbor V a unei unități de putere

Înlocuind timpul din ecuația (140) în ecuația (141), avem

. (142)

Timpul de ridicare a blocului în prima fază este determinat din formula (140)

. (143)

Apoi, timpul total pentru ridicarea unității de putere la o înălțime de 14 m va fi egal cu . Masa unității de putere și a capacului este de 2580 de tone. Conform dinamicii newtoniene, forța care a ridicat unitatea de putere este egală cu

Dragi matematicieni! Urmărim rezultatele matematice simfonice și scriem formula (129), urmând din dinamica newtoniană, pentru a determina pulsul de șoc care a declanșat a doua unitate de putere

și puneți o întrebare de bază: cum să determinați durata pulsului de șoc care a declanșat a 2-a unitate de putere????????????

draga!!! Amintiți-vă câtă cretă a fost scrisă pe tablă de generații de colegi, învățându-i pe elevi în mod abstru cum să determine impulsul de șoc și nimeni nu a explicat cum să determine durata impulsului de șoc în fiecare caz specific. Veți spune că durata impulsului de șoc este egală cu intervalul de timp al schimbării vitezei unității de putere de la zero la, vom presupune, valoarea maximă de 16,75 m/s (139). Este în formula (143) și este egal cu 0,84 s. Deocamdată suntem de acord cu dumneavoastră și determinăm valoarea medie a impulsului de șoc

Apare imediat întrebarea: de ce magnitudinea impulsului de șoc (146) este mai mică decât forța newtoniană de 50600 de tone? Voi, dragi matematicieni, nu aveți niciun răspuns. Să mergem mai departe.

Conform dinamicii newtoniene, principala forță care a rezistat ascensiunii unității de putere a fost gravitația. Deoarece această forță este direcționată împotriva mișcării unității de putere, ea generează o decelerație care este egală cu accelerația căderii libere. Apoi, forța gravitațională care acționează asupra unității de putere care zboară în sus este egală cu

Dinamica lui Newton nu ține cont de alte forțe care au împiedicat acțiunea forței newtoniene de 50.600 de tone (144), iar mecanodinamica afirmă că ridicarea unității de putere a fost rezistată și de o forță inerțială egală cu

Apare imediat întrebarea: cum să găsiți cantitatea de decelerație în mișcarea unității de putere? Dinamica newtoniană este tăcută, dar mecanodinamica răspunde: în momentul acțiunii forței newtoniene, care a ridicat unitatea de putere, i-au rezistat: forța gravitației și forța de inerție, deci ecuația forțelor care acționează asupra unitatea de putere în acel moment este scrisă după cum urmează.

Deoarece masa punctului este constantă, iar accelerația sa, ecuația (2), care exprimă legea de bază a dinamicii, poate fi reprezentată sub forma

Ecuația (32) exprimă simultan teorema despre modificarea impulsului unui punct în formă diferențială: derivata în timp a impulsului unui punct este egală cu suma forțelor care acționează asupra punctului.

Fie ca un punct în mișcare să aibă o viteză în momentul de timp și o viteză în momentul respectiv. Apoi înmulțim ambele părți ale egalității (32) și luăm integrale definite din ele. În acest caz, în dreapta, unde se produce integrarea în timp, vor fi limitele integralei iar în stânga, unde este integrată viteza, limitele integralei vor fi valorile corespunzătoare de viteză.

Deoarece integrala lui este egală, rezultatul este

Integralele din dreapta, după cum rezultă din formula (30), reprezintă impulsurile forțelor care acționează. Prin urmare va fi în sfârșit

Ecuația (33) exprimă teorema despre modificarea impulsului unui punct în formă finală: modificarea impulsului unui punct într-o anumită perioadă de timp este egală cu suma impulsurilor tuturor forțelor care acționează asupra punctului peste. aceeași perioadă de timp.

La rezolvarea problemelor, în locul ecuației vectoriale (33), sunt adesea folosite ecuații din proiecții. Proiectând ambele părți ale egalității (33) pe axele de coordonate, obținem

În cazul în care mișcare rectilinie, care apare de-a lungul axei teoremei este exprimată prin prima dintre aceste ecuații.

Rezolvarea problemelor. Ecuațiile (33) sau (34) permit, știind cum se modifică viteza unui punct atunci când un punct se mișcă, să se determine impulsul forțelor care acționează (prima problemă de dinamică) sau, cunoscând impulsurile forțelor care acționează, să se determine cum se modifică viteza unui punct la mișcare (a doua problemă a dinamicii). La rezolvarea celei de-a doua probleme, când se dau forțe, este necesar să se calculeze impulsurile acestora După cum se vede din egalitățile (30) sau (31), acest lucru se poate face numai când forțele sunt constante sau depind doar de timp.

Astfel, ecuațiile (33), (34) pot fi utilizate direct pentru rezolvarea celei de-a doua probleme de dinamică, atunci când datele și mărimile necesare în problemă includ: forțele care acționează, timpul de mișcare a punctului și vitezele inițiale și finale ale acestuia (i.e. cantități) , iar forțele trebuie să fie constante sau dependente numai de timp.

Problema 95. Un punct cu masa de kg se deplasează într-un cerc cu viteză constantă numeric Determinați impulsul forței care acționează asupra punctului în timpul în care punctul trece de un sfert de cerc.

Soluţie. Conform teoremei privind modificarea impulsului, construind geometric diferența dintre aceste mărimi de mișcare (Fig. 222), aflăm din triunghiul dreptunghic rezultat

Dar, în funcție de condițiile problemei, prin urmare,

Pentru calcul analitic, folosind primele două din ecuațiile (34), putem găsi

Problema 96. O sarcină care are o masă și se află pe un plan orizontal i se dă (prin împingere) o viteză inițială Mișcarea ulterioară a sarcinii este încetinită de o forță constantă F. Determinați cât timp va dura sarcina. a opri,

Soluţie. Conform datelor problemei, este clar că pentru a determina timpul de mișcare, puteți folosi teorema dovedită. Înfățișăm sarcina într-o poziție arbitrară (Fig. 223). Ea este acționată de forța gravitațională P, reacția planului N și forța de frânare F. Prin direcționarea axei în direcția mișcării, compunem prima dintre ecuațiile (34)

În acest caz, viteza în momentul opririi), a. Dintre forțe, doar forța F dă proiecția pe axă, deoarece este constantă, unde este timpul de frânare. Înlocuind toate aceste date în ecuația (a), obținem timpul necesar