Ecuația tangențială.

Deschide meniul Și de ce este nevoie? Știm deja ce sunt un sistem de referință, relativitatea mișcării și un punct material. Ei bine, este timpul să trecem mai departe! Aici ne vom uita la conceptele de bază ale cinematicii, vom reuni cele mai utile formule pentru elementele de bază ale cinematicii și vom prezenta exemplu practic

rezolvarea problemei. Să rezolvăm această problemă:

un punct se deplasează într-un cerc cu o rază de 4 metri. Legea mișcării sale este exprimată prin ecuația S=A+Bt^2. A=8m, B=-2m/s^2. În ce moment este accelerația normală a unui punct egală cu 9 m/s^2? Aflați viteza, accelerația tangențială și totală a punctului pentru acest moment de timp.

Soluție: știm că pentru a găsi viteza trebuie să luăm derivata primară a legii mișcării, iar accelerația normală este egală cu câtul dintre pătratul vitezei și raza cercului de-a lungul căruia se află punctul se misca. Înarmați cu aceste cunoștințe, vom găsi cantitățile necesare.

Ai nevoie de ajutor pentru rezolvarea problemelor? Serviciul pentru studenți profesioniști este gata să îl ofere.

Viteză. Cale. Lăsați punctul material să se miște în CO selectat. Se numește vectorul tras de la poziția inițială a unui punct până la cea finalăîn mișcare (). Apoi cantitatea vectorială numit viteza medie de deplasare . Se numește lungimea secțiunii de traiectorie parcursă de un punct în timpul intervalului de S(). Viteza medie caracterizează viteza și direcția mișcării particulelor. Viteza medie a mișcării unui corp de-a lungul unei traiectorii este caracterizată de viteza medie la sol . Cât de repede și în ce direcție se mișcă corpul în momentul t caracterizează . viteza instantanee Viteza instantanee la sol

. Când modulul vitezei instantanee este egal cu viteza instantanee la sol, viteza instantanee este întotdeauna direcționată tangențial la traiectorie. Pentru deplasare infinitezimală. Pentru intervale mici acest lucru se face aproximativ. Viteza este o mărime vectorială, ceea ce înseamnă că poate fi scrisă sub formă

. Pe cealaltă parte. Prin urmare, proiecția vitezei... Magnitudinea (modulul) vitezei. Exprimarea vitezei în coordonate polare (): , . Direcția este dată de un unghi sau de un vector unitar. Vector rază al unui punct, .

, este un vector unitar perpendicular pe .

Distanța parcursă de particulă de la până la .

Când un punct material se mișcă, viteza acestuia se schimbă atât în ​​mărime, cât și în direcție. Cât de repede se întâmplă acest lucru la un moment arbitrar în timp este caracterizat de mărimea vectorială accelerare. . Proiecție vectorială de accelerație …

Să luăm în considerare mișcarea unei particule într-un plan. Viteza este direcționată de-a lungul unei traiectorii tangente, deci putem scrie . Aici vectorul unitar specifică direcția tangentei, .

Accelerația direcționată tangențial la traiectorie, determinată de viteza de schimbare a mărimii vitezei, sau a modulului, se numește accelerația tangențială.

– accelerație normală(caracterizează viteza de schimbare a direcției vitezei), este un vector unitar perpendicular și îndreptat în interiorul curbei, R este raza de curbură a dreptei.

a treia lege a lui Newton. Principiul relativității lui Galileo.

a 3-a lege a lui Newton: forțele cu care 2 corpuri acționează unul asupra celuilalt sunt egale ca mărime, opuse ca direcție, se află pe aceeași linie dreaptă care trece prin corpuri și au aceeași natură fizică.

Cele trei legi ale lui Newton ne permit să rezolvăm sarcina principală a dinamicii: pe baza forțelor date, a pozițiilor inițiale și a vitezelor inițiale ale corpurilor, poate fi determinată mișcarea ulterioară sistem mecanic. legea 1 oferă un criteriu pentru găsirea ISO; a 2-a lege dă ecuația dinamică a mișcării; a 3-a lege ne permite să introducem în considerare toate forţele care acţionează în sistem. Când un ISO este transferat la un alt ISO, vitezele sunt convertite conform legii, iar accelerația -, i.e. accelerația corpurilor nu se modifică, la fel ca și forțele, prin urmare, ecuația legii a 2-a rămâne neschimbată. Prin urmare, pentru aceeași conditiile initiale(coordonate și viteze) obținem aceeași soluție în ambele cazuri. Aceasta înseamnă că ISO-urile sunt echivalente.

Principiul relativității lui Galileo: toate fenomenele mecanice din diferite ISO-uri se desfășoară în același mod în aceleași condiții inițiale, drept urmare este imposibil să se identifice orice ISO ca fiind absolut în repaus.

Legea conservării impulsului.

În mecanică sunt 3 fundamentale legea conservării(aceasta este o anumită funcție a coordonatelor vitezei și timpului particulelor, care rămâne constantă în timpul mișcării). Legile de conservare vă permit să rezolvați probleme folosind ecuații diferențiale de ordinul I. Mărimea vectorială se numește impuls punct material (impuls - impuls). Din legea a 2-a a lui Newton rezultă că rata de schimbare a impulsului unui sistem mecanic este egală cu suma forțelor externe care acționează asupra sistemului. N – numărul de puncte materiale. Un sistem asupra căruia nu acționează forțele externe este numit închis, sau izolat. Pentru un sistem închis, partea dreaptă a ecuației este egală cu 0. Aceasta înseamnă . Primim legea conservării impulsului: Momentul unui sistem cu buclă închisă este conservat (nu se modifică) în timp.

Legea conservării impulsului este o consecință a omogenității spațiului. Note: 1) Momentul unui sistem în buclă deschisă va fi conservat dacă forțele externe se compensează reciproc, iar rezultanta lor = 0; 2) dacă rezultanta forțelor externe este , dar = 0 proiecția ei pe o anumită direcție (proiectul OX), atunci proiecția impulsului pe această direcție se va păstra; 3) dacă sunt prezente forțe externe, dar se ia în considerare un proces pe termen scurt (impact, explozie), atunci forțele externe care acționează pot fi neglijate și se poate folosi legea conservării impulsului, deoarece dt este mic, atunci impulsul forțelor externe este mic și poate fi neglijat.

Să fie dat un sistem de puncte materiale, cu mase ale căror vectori de rază sunt relativ la o anumită origine O. Punctul C, al cărui vector rază este determinat de expresia , se numește centru de masă, sau centrul de inerție al sistemului. Poziția sa față de corpuri nu depinde de alegerea lui O. Viteza centrului de masă . ISO asociat cu centrul de masă se numește sistem de centru de masă.

Forțele conservatoare.

Interacțiunea dintre corpurile situate la o anumită distanță unul de celălalt se realizează prin câmpuri de forță create în spațiul înconjurător. Dacă câmpul nu se modifică, atunci un astfel de câmp este apelat staţionar. Să existe un punct O (centrul câmpului de forță), astfel încât în ​​orice punct din spațiu forța care acționează asupra particulei să se afle pe o linie dreaptă care trece prin acest punct spațiu și centru de putere. Dacă mărimea forțelor depinde doar de distanța dintre aceste puncte, atunci avem câmpul de forță central(ex. Câmp Coulomb). Dacă în toate punctele din spațiu forța este aceeași ca mărime și direcție, atunci vorbim despre câmp de forță uniform. Dacă munca efectuată asupra unei particule de forțele unui câmp staționar nu depinde de alegerea traiectoriei de mișcare și este determinată doar de pozițiile inițiale și finale ale corpurilor, atunci un astfel de câmp se numește conservator.

1) câmpul gravitațional se numește omogen staționar. . Aceasta înseamnă că câmpul gravitațional este conservator.

2) câmp de forță elastică. . Aceasta înseamnă că câmpul de forță elastică este conservator.

3) Să arătăm că orice câmp de forță central este conservator. , . . Aici munca este determinată de pozițiile de început și de sfârșit ale punctelor, și nu de tipul de traiectorie. Prin urmare, câmpul de forță central este conservator. Forțele centrale sunt:

1) Forța de interacțiune Coulomb , .

2) forța gravitațională interacțiuni, .

Definiție echivalentă forțe conservatoare este: forța se numește conservator, dacă lucrează pe o traiectorie închisă arbitrară = 0.

Problema a 2 corpuri.

Problema celor două corpuri implică mișcarea unui sistem izolat de două puncte materiale care interacționează unul cu celălalt. Datorită izolării sistemului, impulsul acestuia este conservat, iar centrul de masă se mișcă cu o viteză constantă față de cadrul de referință K'. Acest lucru vă permite să mergeți la sistemul de centru de masă (va fi inerțial, ca K’). – vector rază relativ la . - vectori raza si relativ la C. Compunem sistemul: . Rezolvând sistemul, obținem: , . Mișcarea corpurilor este determinată de forțe,. Am luat în considerare legea a 3-a a lui Newton și izotropia spațiului(dacă rotirea CO cu un unghi arbitrar nu duce la o modificare a rezultatelor măsurătorii). Obținem ecuațiile: , . Rezolvăm și ca rezultat obținem: .

Centrul de masă al unui corp rigid se mișcă în același mod în care un punct material de masă m s-ar deplasa sub influența tuturor forțelor externe care acționează asupra corpului rigid.

Giroscoape.

Giroscop(sau vârf) este un corp solid masiv, simetric față de o anumită axă, care se rotește în jurul lui cu o viteză unghiulară mare. Datorită simetriei giroscopului, . Când încercați să rotiți un giroscop rotativ în jurul unei anumite axe, efect giroscopic– sub influența unor forțe care, se pare, ar trebui să provoace o rotație a axei giroscopului OO în jurul dreptei O’O’, axa giroscopului se rotește în jurul dreptei O’’O’’ ( se presupune că axa OO și dreapta O'O' se află în planul desenului, iar dreapta O''O'' și forțele f1 și f2 sunt perpendiculare pe acest plan). Explicația efectului se bazează pe utilizarea ecuației momentului. Momentul unghiular se rotește în jurul axei OX datorită relației. Împreună cu OX, giroscopul se rotește și el. Datorită efectului giroscopic, rulmentul pe care se rotește giroscopul începe să acționeze forte giroscopice. Sub influența forțelor giroscopice, axa giroscopului tinde să ia o poziție paralelă cu viteza unghiulară de rotație a Pământului.

Comportamentul descris al giroscopului este baza busolă giroscopică. Avantajele unui giroscop: indică direcția exactă către cea geografică Polul Nord, funcționarea acestuia nu este afectată de obiectele metalice.

Precesia giroscopului– un tip special de mișcare a giroscopului apare dacă momentul forțelor externe care acționează asupra giroscopului, rămânând constant ca mărime, se rotește simultan cu axa giroscopului, formând tot timpul un unghi drept cu aceasta. Să luăm în considerare mișcarea unui giroscop cu un punct fix pe axă sub influența gravitației, este distanța de la punctul fix la centrul de inerție al giroscopului și este unghiul dintre giroscop și verticală. momentul este îndreptat perpendicular pe planul vertical care trece prin axa giroscopului. Ecuația mișcării: creșterea impulsului = În consecință, își schimbă poziția în spațiu în așa fel încât capătul său descrie un cerc în plan orizontal. Într-o perioadă de timp, giroscopul se rotește printr-un unghi Axa giroscopului descrie un con în jurul unei axe verticale cu viteză unghiulară – viteza unghiulara precesiune.

Vibrații armonice.

Oscilații– procese caracterizate prin grade variate de repetabilitate în timp. În funcție de natura fizică a procesului care se repetă, se disting vibrații: mecanice, electromagnetice, electromecanice și altele. Toate aceste procese, în ciuda naturii lor fizice diferite, sunt descrise de aceleași ecuații matematice și au un număr de proprietăți generale. Să considerăm o minge mică de masă m suspendată pe un arc elastic ușor de rigiditate k. In pozitia de echilibru (x=0), suma fortelor care actioneaza asupra bilei este egala cu 0, i.e. . Când mingea se abate de la poziția de echilibru, mișcarea ei va fi descrisă prin ecuația: . Să scriem ecuația sub următoarea formă: . Poziția corpului este descrisă prin funcția cosinus (sau sinus), care se numește armonică, de aceea astfel de oscilații se numesc armonic. – amplitudinea vibrației– dă abaterea maximă de la poziţia de echilibru. – faza de oscilație – determinată de deplasarea corpului la un moment dat în timp. – faza initiala. Funcția cosinus are o perioadă. Aceasta înseamnă că starea corpului oscilant se repetă atunci când faza se schimbă cu . Se numește perioada de timp în care faza se schimbă perioada de oscilatie . Perioadă– timpul necesar pentru a finaliza o oscilație completă. Frecvența de oscilație– numărul de oscilații pe unitatea de timp, . – frecvență circulară (ciclică)., adică numărul de vibrații pe secundă. Cunoscând poziția inițială și viteza corpului, se poate determina amplitudinea și faza initiala: .Mișcarea unui corp în timpul oscilației armonice are loc sub influență forță cvasielastică: , care este conservativă, și, prin urmare, legea conservării energiei este îndeplinită, . Valoarea medie a energiilor cinetice și potențiale dupa timp: .

Oscilații amortizate.

În realitate sisteme fizice Forțele de rezistență acționează întotdeauna, în urma cărora amplitudinea oscilațiilor scade în timp. Să considerăm mișcarea unui corp într-un mediu vâscos când forțele de rezistență sunt opuse vitezei corpului: , este coeficientul de rezistență. . Înlocuiți în schimb - ecuația diferențială de ordinul 2 este redusă la una pătratică ecuație algebrică. Procesul oscilator este posibil dacă forțele de rezistență sunt suficient de mici. Aceasta înseamnă că condiția trebuie îndeplinită. În acest caz. Prin urmare, decizie generală ecuația noastră va avea o funcție - legea cinematică a oscilațiilor amortizate. Putem spune că oscilațiile armonice se observă cu o frecvență, în timp ce amplitudinea oscilațiilor scade după o lege exponențială. Rata de dezintegrare este determinată de cantitate coeficient de atenuare. Se caracterizează și atenuarea scăderea amortizarii, care arată de câte ori a scăzut amplitudinea oscilaţiilor într-un timp egal cu perioada: . Logaritmul acestei expresii se numește scădere logaritmică atenuare: . În sistemele amortizate se utilizează, de asemenea, următoarea cantitate: factor de calitate: .

Ecuația undelor.

Ecuația oricărei unde este o soluție pentru unele ecuație diferențială, numit val. Pe baza proprietăților fizice ale mediului și a legilor de bază ale mecanicii, obținem ecuația de undă dintr-o expresie explicită pentru ecuația de undă plană.

Puteți scrie: - ecuația de undă. Ecuația de undă va fi satisfăcută de orice undă de frecvență arbitrară care se propagă cu viteză. determinat proprietăți fizice mediu. În cazul unei unde plane care se propagă în direcția x, ecuația de undă se scrie astfel: .

Energia undelor elastice.

Lasă o undă longitudinală plană să se propagă în direcția OX într-un mediu elastic. Ecuația ei: . Particulele mediului, care se abat de la poziția de echilibru, se mișcă cu anumite viteze. Prin urmare, au energii cinetice și potențiale. Să selectăm în mediu un volum cilindric V cu aria bazei S și înălțimea x. Amploarea sa este de așa natură încât să putem lua în considerare viteza particulelor si despre decalaj relativ identic. Energie, cuprinse în acest volum. Astfel, densitatea energiei undelor elastice . Să substituim în ea ecuația unei unde plane, să transformăm și să folosim faptul că: . Apoi găsim cu densitatea energetică medie a perioadei: . Din expresia pentru densitatea energiei este clar că valoarea sa se schimbă în timp de la 0 la o anumită valoare maximă, ceea ce înseamnă că energia din sursele de vibrație este transferată de o undă dintr-un loc în altul cu o viteză procesul de transfer de energie, dar nu de materie. Transferul de energie se realizează prin forțele de interacțiune elastică dintre particulele mediului. Se numește cantitatea de energie transferată printr-o anumită suprafață pe unitatea de timp flux de energie prin aceasta suprafata: . Pentru o caracterizare mai detaliată a procesului de transfer de energie, vectorul densitatea fluxului energetic. În mărime, este egal cu fluxul de energie transferat prin zonă, perpendicular pe direcția de propagare a undei, împărțit la aria acestei zone: – ultimul – vector Umov. În direcție coincide cu direcția de propagare a undei. Medie . Modulul acestei expresii se numește intensitatea undei.

Adăugarea vitezei în benzinărie.

În secolul al XIX-lea, mecanica clasică s-a confruntat cu problema extinderii acestei reguli pentru adăugarea de viteze la procesele optice (electromagnetice). În esență, a avut loc un conflict între două idei ale mecanicii clasice, transferate în noul câmp al proceselor electromagnetice. De exemplu, dacă luăm în considerare exemplul cu valuri la suprafața apei din secțiunea anterioară și încercăm să generalizăm la unde electromagnetice, atunci va exista o contradicție cu observațiile (vezi, de exemplu, experimentul lui Michelson). Regula clasică de adunare a vitezelor corespunde transformării coordonatelor dintr-un sistem de axe într-un alt sistem care se deplasează față de primul fără accelerație. Dacă cu o astfel de transformare păstrăm conceptul de simultaneitate, adică putem considera două evenimente simultane nu numai atunci când sunt înregistrate într-un sistem de coordonate, ci și în orice alt sistem inerțial, atunci transformările se numesc galileene. În plus, cu transformările galileene, distanța spațială dintre două puncte - diferența dintre coordonatele lor într-un ISO - este întotdeauna egală cu distanța lor într-un alt cadru inerțial. A doua idee este principiul relativității. Fiind pe o navă care se mișcă uniform și rectiliniu, mișcarea acesteia nu poate fi detectată de niciun efect mecanic intern. Se aplică acest principiu la efecte optice? Nu este posibil să se detecteze mișcarea absolută a unui sistem prin efectele optice sau, ceea ce este același lucru, electrodinamice cauzate de această mișcare? Intuiția (legată destul de clar de principiul clasic al relativității) spune că mișcarea absolută nu poate fi detectată prin nici un fel de observație. Dar dacă lumina se propagă cu o anumită viteză în raport cu fiecare dintre sistemele inerțiale în mișcare, atunci această viteză se va schimba atunci când se trece de la un sistem la altul. Aceasta rezultă din regula clasică de adunare a vitezelor. În termeni matematici, viteza luminii nu va fi invariabilă sub transformările galileene. Acest lucru încalcă principiul relativității sau, mai degrabă, nu permite extinderea principiului relativității la procesele optice. Astfel, electrodinamica a distrus legătura dintre două prevederi aparent evidente fizica clasica- reguli de adunare a vitezelor și principiul relativității. Mai mult, aceste două prevederi în legătură cu electrodinamica s-au dovedit a fi incompatibile. Teoria relativității oferă răspunsul la această întrebare. Ea extinde conceptul principiului relativității, extinzându-l la procesele optice. În acest caz, regula pentru adăugarea vitezelor nu este anulată complet, ci este rafinată doar pentru viteze mari folosind transformarea Lorentz.

Dacă un obiect are componente de viteză în raport cu sistemul S și - în raport cu S", atunci există următoarea relație între ele:

În aceste relații, viteza relativă de mișcare a cadrelor de referință v este direcționată de-a lungul axei x. Adunarea relativistă a vitezelor, ca și transformarea Lorentz, la viteze mici () se transformă în legea clasică a adunării vitezelor.

Dacă un obiect se mișcă cu viteza luminii de-a lungul axei x în raport cu sistemul S, atunci va avea aceeași viteză în raport cu S": Aceasta înseamnă că viteza este invariabilă (aceeași) în toate ISO.

Formula barometrică.

Formula barometrică oferă dependența presiunii atmosferice de altitudinea măsurată de la suprafața Pământului. Se presupune că temperatura atmosferei nu se modifică odată cu altitudinea. Pentru a deriva formula, selectăm un cilindru vertical: secțiune transversală S. În el este identificat un volum cilindric mic de înălțimea dh. Este în echilibru: asupra ei este acționat de forța gravitației mg, forța vertical ascendentă a presiunii gazului F1 și forța de presiune îndreptată vertical în jos F2. Suma lor = 0. În proiecție: -mg+ F1-. F2=0. Din ecuația Clapeyron-Mendeleev . Noi integrăm în intervalul de la 0 la și obținem: – formula barometrică, folosit pentru a determina înălțimea. Modificarea temperaturii poate fi neglijată.

Presiunea gazului pe perete.

Distribuția Maxwell.

Să fie n molecule identice într-o stare de mișcare termică aleatorie la o anumită temperatură. După fiecare act de ciocnire între molecule, viteza lor se schimbă aleatoriu. Ca urmare a unui număr inimaginabil de mare de ciocniri, se stabilește o stare de echilibru staționar, când numărul de molecule într-un interval dat de viteză rămâne constant.

Ca rezultat al fiecărei ciocniri, proiecțiile de viteză ale moleculelor suferă o modificare aleatorie cu , , , iar modificările fiecărei proiecții de viteză sunt independente unele de altele. Vom presupune că câmpuri de forță nu au efect asupra particulelor. Să aflăm în aceste condiții ce număr de particule dn din numărul total n are o viteză în intervalul de la υ la υ+Δυ. În același timp, nu putem spune nimic cert despre valoarea exactă a vitezei unei anumite particule υi, deoarece ciocnirile și mișcările fiecăreia dintre molecule nu pot fi urmărite nici experimental, nici teoretic. Astfel de informații detaliate ar fi cu greu de valoare practică.

Viteza este o mărime vectorială. Pentru proiecția vitezei pe axa x (componenta x a vitezei), avem atunci unde A1 este o constantă egală cu

O reprezentare grafică a funcției este prezentată în figură. Se poate observa că fracția de molecule cu viteză nu este zero. La , (acesta este sensul fizic al constantei A1).

Expresia și graficul dat sunt valabile pentru distribuția moleculelor de gaz pe componentele x ale vitezei. Evident, din componentele y și z ale vitezei se poate obține și:

Probabilitatea ca viteza unei molecule să îndeplinească simultan trei condiții: componenta x a vitezei se află în intervalul de la , la + ,; componenta y, în intervalul de la +; Componenta z, în intervalul de la la +d, va fi egală cu produsul probabilităților fiecărei condiții (evenimente) separat: unde, sau ) este numărul de molecule dintr-un paralelipiped cu laturile , , d, adică într-un volum dV= d situat la distanță de originea coordonatelor în spațiul de viteză. Această mărime () nu poate depinde de direcția vectorului viteză. Prin urmare, este necesar să se obțină funcția de distribuție a moleculelor după viteză, indiferent de direcția lor, adică prin valoarea absolută a vitezei. Dacă colectați împreună toate moleculele într-o unitate de volum, ale căror viteze sunt în intervalul de la υ la υ+dυ în toate direcțiile și le eliberați, atunci într-o secundă se vor găsi într-un strat sferic de grosime dυ și raza υ. Acest strat sferic este format din acele paralelipipede despre care mentionate mai sus.

Volumul acestui strat sferic este de . Numărul total de molecule din strat: Urmează Legea lui Maxwell de distribuție a moleculelor în funcție de valorile absolute ale vitezelor: unde este fracția tuturor particulelor dintr-un strat sferic de volum dV ale căror viteze se află în intervalul de la υ la υ+dυ. Pentru dυ = 1 obținem densitatea de probabilitate, sau funcția de distribuție a vitezei moleculare: Această funcție denotă fracția de molecule dintr-o unitate de volum de gaz ale cărei viteze absolute sunt conținute într-un interval de viteză unitar care include o viteză dată. Să notăm: si obtinem: Graficul acestei funcții este prezentat în figură. Asta este Distribuția Maxwell. Sau într-un alt fel

.

Entropie.

Entropia termodinamică S, numit adesea simplu entropie, în chimie și termodinamică este o funcție a stării unui sistem termodinamic. Conceptul de entropie a fost introdus pentru prima dată de Rudolf Clausius, care a definit modificarea entropiei unui sistem termodinamic în timpul unui proces reversibil ca raport dintre modificarea cantității totale de căldură ΔQ și temperatura absolută T (adică modificarea căldurii la o temperatură constantă): . De exemplu, la o temperatură de 0 °C, apa poate fi în stare lichidă și, cu o influență externă mică, începe să se transforme rapid în gheață, eliberând o anumită cantitate de căldură. În acest caz, temperatura substanței rămâne 0 °C. Starea unei substanțe se modifică, însoțită de o modificare a căldurii, ca urmare a unei modificări a structurii.

Această formulă este aplicabilă numai pentru un proces izoterm (care are loc la o temperatură constantă). Generalizarea lui la cazul unui proces cvasistatic arbitrar arată astfel: , unde dS este incrementul (diferențial) de entropie, iar δQ este o creștere infinitezimală a cantității de căldură. Este necesar să se acorde atenție faptului că definiția termodinamică în cauză se aplică numai la procese cvasistatice(constând din stări de echilibru continuu succesive).

Entropia este o cantitate aditivă, adică Entropia unui sistem este egală cu suma entropiilor părților sale individuale.

Boltzmann a stabilit legătura dintre entropie și probabilitatea unei stări date. Mai târziu, această legătură a fost prezentată sub forma formulei lui Planck: , unde constanta k = 1,38×10−23 J/K este numită constantă Boltzmann de către Planck, iar Ω este ponderea statistică (probabilitate termodinamică) a stării, este numărul de microstări (căi) posibile prin care se poate merge la o stare macroscopică dată. Acest postulat, numit de Albert Einstein principiul lui Boltzmann, a pus bazele mecanicii statistice, care descrie sisteme termodinamice folosind comportamentul statistic al componentelor lor constitutive. Principiul lui Boltzmann conectează proprietățile microscopice ale unui sistem (Ω) cu una dintre proprietățile sale termodinamice (S). Conform definiției, entropia este o funcție a stării, adică nu depinde de metoda de realizare a acestei stări, ci este determinată de parametrii acestei stări. Deoarece Ω poate fi doar număr natural(1, 2, 3, ...), atunci entropia Boltzmann trebuie să fie nenegativă - pe baza proprietăților logaritmului.

Entropia în sisteme deschise:

Datorită celei de-a doua legi a termodinamicii, entropia Si a unui sistem închis nu poate scădea ( legea entropiei nedescrescătoare). Matematic, aceasta poate fi scrisă astfel: , indicele i denotă așa-numita entropie internă corespunzătoare unui sistem închis. Într-un sistem deschis, fluxurile de căldură sunt posibile atât din sistem, cât și în el. Dacă există un flux de căldură, cantitatea de căldură δQ1 intră în sistem la temperatura T1 și cantitatea de căldură δQ2 iese la temperatura T2. Creșterea de entropie asociată acestor fluxuri de căldură este egală cu:

În sistemele staționare, de obicei δQ1 = δQ2, T1 > T2, deci dSo< 0. Поскольку здесь изменение энтропии отрицательно, то часто употребляют выражение «приток негэнтропии», вместо оттока энтропии из системы. Negentropie este definit astfel ca reciproca entropiei.

Modificarea entropiei totale sistem deschis va fi egal cu: dS = dSi + dSo.

Accelerația tangențială caracterizează modificarea vitezei în valoare absolută (magnitudine) și este direcționată tangențial la traiectorie:

,

Unde  derivată a modulului de viteză,  vector tangent unitar, care coincide în direcția cu viteza.

Accelerație normală caracterizează schimbarea vitezei în direcție și este îndreptată de-a lungul razei de curbură către centrul de curbură al traiectoriei la un punct dat:

,

unde R este raza de curbură a traiectoriei,  vector normal unitar.

Mărimea vectorului de accelerație poate fi găsită folosind formula

.

1.3. Sarcina principală a cinematicii

Sarcina principală a cinematicii este de a găsi legea mișcării unui punct material. Pentru aceasta se folosesc următoarele relații:

;
;
;
;

.

Cazuri speciale mișcare rectilinie:

1) mișcare liniară uniformă: ;

2) mișcare liniară uniformă:
.

1.4. Mișcarea de rotație și caracteristicile sale cinematice

În timpul mișcării de rotație, toate punctele corpului se mișcă în cercuri, ale căror centre se află pe aceeași linie dreaptă, numită axa de rotație. Pentru a caracteriza mișcarea de rotație se introduc următoarele caracteristici cinematice (Fig. 3).

Mișcare unghiulară
 vector, numeric egal cu unghiul rotația corpului
în timp
și îndreptată de-a lungul axei de rotație astfel încât, privind de-a lungul acesteia, se observă că rotația corpului are loc în sensul acelor de ceasornic.

Viteza unghiulara  caracterizează viteza și direcția de rotație a corpului, este egală cu derivata unghiului de rotație în raport cu timpul și este îndreptată de-a lungul axei de rotație ca deplasare unghiulară.

P Pentru mișcarea de rotație sunt valabile următoarele formule:

;
;
.

Accelerația unghiulară caracterizează viteza de modificare a vitezei unghiulare în timp, egală cu prima derivată a vitezei unghiulare și direcționată de-a lungul axei de rotație:

;
;
.

Dependenta
exprimă legea rotației corpului.

Cu rotație uniformă:  = 0,  = const,  = t.

Cu rotație uniformă:  = const,
,
.

Pentru a caracteriza mișcarea de rotație uniformă, se utilizează perioada de rotație și frecvența de rotație.

Perioada de rotație T este timpul unei rotații a unui corp care se rotește cu o viteză unghiulară constantă.

Viteza de rotatie – numărul de rotaţii făcute de corp pe unitatea de timp.

Viteza unghiulară poate fi exprimată după cum urmează:

.

Relația dintre caracteristicile cinematice unghiulare și liniare (Fig. 4):

2. Dinamica mișcărilor de translație și rotație

1. Legile lui Newton Prima lege a lui Newton: fiecare corp se află într-o stare de repaus sau mișcare rectilinie uniformă până când influența altor corpuri îl scoate din această stare.

Corpurile care nu sunt supuse influențelor externe se numesc corpuri libere. Sistemul de referință asociat cu un corp liber se numește sistem de referință inerțial (IRS). În raport cu acesta, orice corp liber se va mișca uniform și rectiliniu sau va fi în repaus. Din relativitatea mișcării rezultă că un sistem de referință care se mișcă uniform și rectiliniu în raport cu ISO este, de asemenea, un ISO. ISO joacă un rol important în toate ramurile fizicii. Acest lucru se datorează principiului relativității lui Einstein, care afirmă că forma matematică a oricărui legea fizică trebuie să aibă aceeași formă în toate cadrele de referință inerțiale.

Conceptele de bază utilizate în dinamica mișcării de translație includ forța, masa corporală și impulsul corpului (sistemul corpurilor).

Prin forţă este o mărime fizică vectorială care este o măsură a acțiunii mecanice a unui corp asupra altuia. Acțiunea mecanică are loc atât prin contactul direct al corpurilor care interacționează (frecare, reacție de susținere, greutate etc.), cât și prin câmp de forță existente în spațiu (gravitație, forțe Coulomb etc.). Rezistenţă caracterizat prin modul, direcția și punctul de aplicare.

Acțiunea simultană a mai multor forțe asupra corpului ,,...,poate fi înlocuită cu acţiunea forţei rezultante (rezultate). :

=++...+=.

Masa a unui corp este o mărime scalară care este o măsură inerţie corpuri. Sub inerţie se referă la proprietatea corpurilor materiale de a-și menține viteza neschimbată în absența influențelor externe și de a o modifica treptat (adică cu accelerație finită) sub influența forței.

Impuls corpul (punctul material) se numește vector mărime fizică, egal cu produsul dintre masa corpului și viteza acestuia:
.

Momentul unui sistem de puncte materiale este egal cu suma vectorială a impulsului punctelor care alcătuiesc sistemul:
.

A doua lege a lui Newton: rata de schimbare a impulsului unui corp este egală cu forța care acționează asupra acestuia:

.

Dacă masa corpului rămâne constantă, atunci accelerația dobândită de corp în raport cu cadrul de referință inerțial este direct proporțională cu forța care acționează asupra acestuia și invers proporțională cu masa corpului:

.

Cinematica unui punct, cinematica unui corp rigid, mișcarea de translație, mișcarea de rotație, mișcarea plan-paralelă, teorema privind proiecțiile vitezei, centrul instantaneu al vitezelor, determinarea vitezei și accelerației punctelor unui corp plan, mișcarea complexă a unui punct

Conţinut

Cinematica corpului rigid

Pentru a determina în mod unic poziția unui corp rigid, trebuie să specificați trei coordonate (x A , y A , z A ) unul dintre punctele A ale corpului și trei unghiuri de rotație. Astfel, poziția unui corp rigid este determinată de șase coordonate. Adică un corp rigid are șase grade de libertate.

În cazul general, dependența coordonatelor punctelor de un corp rigid față de un sistem de coordonate fix este determinată de formule destul de greoaie. Cu toate acestea, vitezele și accelerațiile punctelor sunt determinate destul de simplu. Pentru a face acest lucru, trebuie să cunoașteți dependența coordonatelor de timp a unui punct A, selectat în mod arbitrar, și a vectorului viteză unghiulară. Diferențiând în funcție de timp, găsim viteza și accelerația punctului A și accelerația unghiulară a corpului:
; ; .
Apoi viteza și accelerația unui punct al unui corp cu un vector rază sunt determinate de formulele:
(1) ;
(2) .
Aici și mai jos, produsele vectorilor dintre paranteze pătrate înseamnă opera de artă vectorială.

Rețineți că vectorul viteză unghiulară este același pentru toate punctele corpului. Nu depinde de coordonatele punctelor corpului. Asemenea vectorul accelerației unghiulare este același pentru toate punctele corpului.

Vedeți rezultatul formulei (1) Şi (2) la pagina: Viteza și accelerația punctelor unui corp rigid > > >

Mișcarea de translație a unui corp rigid

La mișcare înainte, viteza unghiulară este zero. Vitezele tuturor punctelor corpului sunt egale. Orice linie dreaptă trasată în corp se mișcă în timp ce rămâne paralelă cu direcția inițială. Astfel, pentru a studia mișcarea unui corp rigid în timpul mișcării de translație, este suficient să studiem mișcarea oricărui punct al acestui corp. Vezi secțiunea.

Mișcare uniform accelerată

Să luăm în considerare cazul mișcării uniform accelerate. Fie proiecția accelerației unui punct al corpului pe axa x să fie constantă și egală cu un x.
Atunci proiecția vitezei v x și x - coordonatele acestui punct depind de timpul t conform legii: v x = v x;
,
0 + a x t 0 unde v x 0 și x 0 .

- viteza si coordonata punctului in momentul initial de timp t =

Mișcarea de rotație a unui corp rigid Luați în considerare un corp care se rotește axă fixă
; .
. Să alegem un sistem de coordonate fix Oxyz cu centrul în punctul O. Să direcționăm axa z de-a lungul axei de rotație. Presupunem că coordonatele z ale tuturor punctelor corpului rămân constante. Apoi mișcarea are loc în planul xy. Viteza unghiulară ω și accelerația unghiulară ε sunt direcționate de-a lungul axei z:
;
.

Fie φ unghiul de rotație al corpului, care depinde de timpul t.
Diferențiând în funcție de timp, găsim:
proiecții ale vitezei unghiulare și ale accelerației unghiulare
pe axa z:
Să considerăm mișcarea unui punct M, care este situat la o distanță r de axa de rotație. Traiectoria mișcării este un cerc (sau arc de cerc) cu raza r.:
Viteza punctului
v = ωr.
Vectorul viteză este direcționat tangențial la traiectorie.:
.
Accelerația tangențială
Accelerație completă:
.
Deoarece vectorii și sunt perpendiculari între ei, atunci modul de accelerare:
.

Mișcare uniform accelerată

În cazul mișcării uniform accelerate, în care accelerația unghiulară este constantă și egală cu ε, viteza unghiulară ω și unghiul de rotație φ se modifică cu timpul t conform legii:
ω = ω 0 + εt;
,
unde ω 0 și φ 0 - viteza unghiulara si unghiul de rotatie in momentul initial de timp t = 0 .

Mișcarea plan-paralelă a unui corp rigid

Plan-paralel sau plat este mișcarea unui corp rigid în care toate punctele sale se mișcă paralel cu un plan fix. Să alegem un sistem de coordonate dreptunghiular Oxyz.

Vom plasa axele x și y în planul în care se mișcă punctele corpului. Atunci toate coordonatele z ale punctelor corpului rămân constante, z - componentele vitezelor și accelerațiilor sunt egale cu zero. Vectorii viteză unghiulară și accelerație unghiulară, dimpotrivă, sunt direcționați de-a lungul axei z.
Componentele lor x și y sunt zero. Proiecțiile vitezelor a două puncte ale unui corp rigid pe o axă care trece prin aceste puncte sunt egale între ele..

vA

cos α = v B cos β Centru de viteză instantanee Centru de viteză instantanee numit un punct

figură plată
.

, a cărui viteză este în prezent zero. 0 Pentru a determina poziția centrului instantaneu al vitezelor P al unei figuri plate, trebuie doar să cunoașteți direcțiile vitezelor și cele două puncte ale sale A și B.

Pentru a face acest lucru, trageți o linie dreaptă prin punctul A perpendicular pe direcția vitezei. (1) Prin punctul B trasăm o dreaptă perpendiculară pe direcția vitezei.
,
Punctul de intersecție al acestor drepte este centrul instantaneu al vitezelor P.
Viteza unghiulara de rotatie a corpului:
Dacă vitezele a două puncte sunt paralele între ele, atunci ω =
.

Vitezele tuturor punctelor corpului sunt egale între ele (la un moment dat de timp). (2) Dacă viteza oricărui punct A al unui corp plat și viteza sa unghiulară ω sunt cunoscute, atunci viteza unui punct arbitrar M este determinată de formula
.
pot fi descompuse în accelerații tangenţiale și normale:
.
Accelerația tangențială este direcționată tangențial la traiectorie. Accelerația normală este direcționată de la punctul M la punctul A.

Aici ω și ε sunt viteza unghiulară și accelerația unghiulară a corpului.

Mișcare complexă a punctului Să fie O 1 x 1 y 1 z 1

- sistem de coordonate dreptunghiular fix. Viteza și accelerația punctului M din acest sistem de coordonate vor fi numite viteză absolută și accelerație absolută. Fie Oxyz un sistem de coordonate dreptunghiular în mișcare, de exemplu, conectat rigid la un anumit corp solid Să fie O, deplasându-se în raport cu sistemul O Să fie O.

. Să fie O Viteza și accelerația punctului M din sistemul de coordonate Oxyz vor fi numite viteză relativă și accelerație relativă.

Fie viteza unghiulară de rotație a sistemului Oxyz în raport cu O

Să considerăm un punct care, la un moment dat de timp, coincide cu punctul M și este nemișcat în raport cu sistemul Oxyz (un punct legat rigid de un corp rigid). Viteza și accelerația unui astfel de punct în sistemul de coordonate O
.

o vom numi viteză portabilă și accelerație portabilă.

Teorema adiției vitezei
,
Viteza absolută a unui punct este egală cu suma vectorială a vitezelor relative și portabile:
Teorema de adunare a accelerației (teorema Coriolis)

Accelerația absolută a unui punct este egală cu suma vectorială a accelerațiilor relative, de transport și Coriolis:
Unde - Accelerația Coriolis. Literatura folosita:, « S. M. Targ, Curs scurt

.mecanică teoretică facultate

4

", 2010.

.Vectorul viteză este direcționat tangențial la traiectorie. Accelerația tangențială

.

– o mărime fizică vectorială care caracterizează modificarea vitezei unui corp în valoare absolută, numeric egală cu derivata întâi a modulului vitezei în raport cu timpul și direcționată tangențial la traiectorie în aceeași direcție cu viteza dacă viteza crește; iar opus vitezei dacă aceasta scade.

Accelerație normală – mărime fizică vectorială care caracterizează schimbarea direcției vitezei, numeric egală cu raportul dintre pătratul vitezei și raza de curbură a traiectoriei, îndreptată de-a lungul razei de curbură spre centrul de curbură: T

, (1.2.9)

5.ca vectorii Şi

îndreptată în unghi drept, apoi (Fig. 1. 17)

Accelerația unghiulară

– o mărime fizică vectorială care caracterizează modificarea vitezei unghiulare, numeric egală cu derivata întâi a vitezei unghiulare în raport cu timpul și direcționată de-a lungul axei de rotație în aceeași direcție cu viteza unghiulară dacă viteza crește și opus acesteia daca scade.

Introduceți formula (1.2.10)

Deoarece ne limităm la a lua în considerare rotația în jurul unei axe fixe, accelerația unghiulară nu este împărțită în componente precum accelerația liniară.

Accelerația unghiulară

Relația dintre caracteristicile unghiulare

corp rotativ și liniar

caracteristicile mișcării punctelor sale individuale

R

Accelerația unghiulară

Să luăm în considerare unul dintre punctele unui corp în rotație, care este situat la o distanță R de axa de rotație, adică se mișcă de-a lungul unui cerc cu raza R (Fig. 1.18).

După ce timpul a trecut
punctul A se va deplasa în poziția A 1, după ce a parcurs distanța
, vectorul rază se va roti cu un unghi
. Unghiul central subtins de un arc
, în radiani, este egal cu raportul dintre lungimea arcului și raza de curbură a acestui arc:

.

Acest lucru rămâne valabil pentru un interval de timp infinitezimal
:
. În plus, folosind definițiile, este ușor de obținut:

; (1.2.11)

Relația dintre caracteristicile liniare și unghiulare

; (1.2.12)

. (1.2.13)

1.1.2. Clasificarea mișcărilor. Legile cinematice

Vom numi legile cinematice legi care exprimă modificări ale caracteristicilor cinematice ale mișcării în timp:

Legea căii
sau
;

Legea vitezei
sau
;

Legea Accelerării
sau
.

N

Accelerare

Accelerația unei mașini de curse la start este de 4-5 m/s 2

Accelerația unui avion cu reacție la aterizare

6-8 m/c 2

Accelerația gravitațională lângă suprafața Soarelui 274 m/c 2

Accelerația unui proiectil într-o țeavă de armă 10 5 m/c 2

Cea mai informativă caracteristică a mișcării este accelerația, deci este folosită ca bază pentru clasificarea mișcărilor.

Accelerația normală transportă informații despre o schimbare a direcției vitezei, adică despre caracteristicile traiectoriei de mișcare:

- mișcarea este liniară (direcția vitezei nu se schimbă);

- miscare curbilinie.

Accelerația tangențială determină natura modificării modulului de viteză în timp. Pe această bază, se obișnuiește să se distingă următoarele tipuri de mișcare:

- mișcare uniformă (valoarea absolută a vitezei nu se modifică);

- miscare accelerata

- neuniform - (viteza creste)

noua miscare
- mișcare lentă

viteza (viteza scade).

Cele mai simple cazuri speciale de mișcare neuniformă sunt mișcările în care

- acceleratia tangentiala nu depinde de timp, ramane constanta in timpul miscarii - miscare uniform variabila (uniform accelerata sau uniform decelerata);

sau
- accelerația tangențială se modifică în timp conform legii sinusului sau cosinusului - mișcarea oscilativă armonică (de exemplu, o greutate pe un arc).

La fel și pentru mișcarea de rotație:

- rotatie uniforma;

- rotație neuniformă

Scrieți tipurile de mișcare mai compact

-accelerată uniform

rotaţie

-lent-

fara rotatie;

- egal-

rotirea curelei

Vibrații de torsiune (de exemplu, suspensie trifilară - un disc suspendat pe trei fire elastice și oscilant în plan orizontal).

Dacă una dintre legile cinematice în formă analitică, atunci puteți găsi altele și sunt posibile două tipuri de probleme:

Tipul I – conform unei legi de cale date
sau
afla legea vitezei
sau
si legea acceleratiei
sau
;

Tipul II – conform unei legi de accelerație date
sau
afla legea vitezei
sau
si legea drumului
sau
.

Aceste probleme sunt reciproc inverse și sunt rezolvate folosind operații matematice inverse. Primul tip de problemă se rezolvă pe baza definițiilor, adică prin aplicarea operației de diferențiere.

- set

- ?

- ?
.

Al doilea tip de problemă se rezolvă prin integrare. Dacă viteza este prima derivată a căii în raport cu timpul, atunci calea în raport cu viteza poate fi găsită ca o antiderivată. În mod similar: accelerația este derivata vitezei în raport cu timpul, atunci viteza în raport cu accelerația este antiderivată. Din punct de vedere matematic, aceste acțiuni arată astfel:

- creșterea traseului pe o perioadă infinitezimală de timp
. Pentru un interval finit de la la integra:
. Conform regulilor de integrare
. Pentru a lua integrala din partea dreaptă, trebuie să cunoașteți forma legii ratei, adică
. În sfârșit, pentru a găsi poziția corpului pe traiectorie la un moment arbitrar în timp, obținem:

, unde (1.2.14)

- modificarea vitezei pe o perioadă infinitezimală de timp
.

Pentru un interval finit de la la :