Proprietățile unei funcții de putere cu exponent fracționar. Funcţie

Lecție și prezentare pe tema: „Funcții de putere. Proprietăți. Grafice”

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările! Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.

Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online Integral pentru clasa a 11-a
Manual interactiv pentru clasele 9-11 „Trigonometrie”
Manual interactiv pentru clasele 10-11 „Logaritmi”

Funcții de putere, domeniu de definiție.

Băieți, în ultima lecție am învățat cum să lucrăm cu numerele indicator rațional grade. În această lecție ne vom uita la funcțiile de putere și ne vom limita la cazul în care exponentul este rațional.
Vom considera funcții de forma: $y=x^(\frac(m)(n))$.
Să considerăm mai întâi funcțiile al căror exponent $\frac(m)(n)>1$.
Să ni se dea o funcție specifică $y=x^2*5$.
Conform definiției pe care am dat-o în ultima lecție: dacă $x≥0$, atunci domeniul de definire al funcției noastre este raza $(x)$. Să descriem schematic graficul nostru al funcției.

Proprietăţile funcţiei $y=x^(\frac(m)(n))$, $0 2. Nu este nici par, nici impar.
3. Crește cu $$,
b) $(2,10)$,
c) pe raza $$.
Soluţie.
Băieți, vă amintiți cum am găsit cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții pe un segment în clasa a 10-a?
Așa e, am folosit derivatul. Să rezolvăm exemplul nostru și să repetăm ​​algoritmul pentru găsirea celei mai mici și mai mari valori.
1. Găsiți derivata funcției date:
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. Derivata există în întregul domeniu de definire al funcției originale, atunci nu există puncte critice. Să găsim puncte staționare:
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
8 $*\sqrt(x^3)=x^3$.
64$x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ și $x_2=\sqrt(64)=4$.
Un segment dat conține o singură soluție $x_2=4$.
Să construim un tabel cu valorile funcției noastre la capetele segmentului și la punctul extrem:
Răspuns: $y_(nume)=-862,65$ la $x=9$; $y_(max.)=38,4$ la $x=4$.

Exemplu. Rezolvați ecuația: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
Soluţie. Graficul funcției $y=x^(\frac(4)(3))$ crește, iar graficul funcției $y=24-x$ scade. Băieți, voi și eu știm: dacă o funcție crește și cealaltă scade, atunci se intersectează doar într-un punct, adică avem o singură soluție.
Nota:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
Adică, cu $x=8$ am obținut egalitatea corectă $16=16$, aceasta este soluția ecuației noastre.
Răspuns: $x=8$.

Exemplu.
Reprezentați grafic funcția: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
Soluţie.
Graficul funcției noastre se obține din graficul funcției $y=x^(\frac(3)(4))$, deplasându-l cu 3 unități la dreapta și 2 unități în sus.

Exemplu. Scrieți o ecuație pentru tangenta la dreapta $y=x^(-\frac(4)(5))$ în punctul $x=1$.
Soluţie. Ecuația tangentei este determinată de formula pe care o cunoaștem:
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
În cazul nostru $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Să găsim derivata:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Să calculăm:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Să găsim ecuația tangentei:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Răspuns: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.

Probleme de rezolvat independent

1. Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției: $y=x^\frac(4)(3)$ pe segment:
a) $$.
b) $(4,50)$.
c) pe raza $$.
3. Rezolvați ecuația: $x^(\frac(1)(4))=18-x$.
4. Construiți un grafic al funcției: $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$.
5. Creați o ecuație pentru tangenta la dreapta $y=x^(-\frac(3)(7))$ în punctul $x=1$.

Ce este o funcție de putere?

Funcția y = x n se numește funcție de putere.

Exponentul n aparține mulțimii numere reale.

În formula y = xn, argumentul sau variabila independentă este x, iar y este funcția sau variabila dependentă.

Graficul funcției de putere

Graficul unei funcții de putere când n este un număr natural și n este mai mare sau egal cu doi se numește parabolă gradul al n-lea. Dacă n este par, atunci funcția y = x n este pară, graficul său este simetric față de ordonată. Cu cât n este mai mare, cu atât ramurile parabolei se ridică mai abrupte:

Funcția de putere cu un exponent negativ întreg y = x -n, unde n este par și mai mare sau egal cu doi, este par, graficul său este simetric față de ordonată. Exemplu pentru y = x -2

Un alt exemplu pentru y = x -4:

Dacă n este impar și n este mai mare sau egal cu trei, atunci funcția y = x n este impar, graficul său este simetric față de origine. Cu cât este mai mare n impar, cu atât ramurile parabolei se ridică mai abrupte:

O funcție de putere cu un exponent întreg negativ y = x -n, unde n este impar și mai mare sau egal cu trei, este impară, graficul său este simetric față de origine. Exemplu pentru y = x -3:

Pe domeniul de definire al funcției de putere y = x p sunt valabile următoarele formule:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Proprietățile funcțiilor de putere și graficele acestora

Funcția de putere cu exponent egal cu zero, p = 0

Dacă exponentul funcției de putere y = x p este egal cu zero, p = 0, atunci funcția de putere este definită pentru toate x ≠ 0 și este o constantă egală cu unu:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.

Funcția de putere cu exponent natural impar, p = n = 1, 3, 5, ...

Se consideră o funcție de putere y = x p = x n cu un exponent natural impar n = 1, 3, 5, ... .

Acest indicator poate fi scris și sub forma: n = 2k + 1, unde k = 0, 1, 2, 3, ... este un întreg nenegativ. Mai jos sunt proprietățile și graficele unor astfel de funcții.

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
Domeniu de aplicare: -∞ < y < ∞
Sensuri multiple: Paritate:
impar, y(-x) = - y(x) Monoton:
crește monoton Extreme:
Nu
Convex:< x < 0 выпукла вверх
la -∞< x < ∞ выпукла вниз
la 0 Puncte de inflexiune:
Puncte de inflexiune:
x = 0, y = 0
;
Limite:
Valori private:
la x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
la x = 0, y(0) = 0 n = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:
pentru n = 1, funcția este inversa ei: x = y

pentru n ≠ 1, funcția inversă este rădăcina gradului n:

Funcția de putere cu exponent natural par, p = n = 2, 4, 6, ...

Se consideră o funcție de putere y = x p = x n cu un exponent natural par n = 2, 4, 6, ... .

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
Domeniu de aplicare: Acest indicator poate fi scris și sub forma: n = 2k, unde k = 1, 2, 3, ... - natural. Proprietățile și graficele acestor funcții sunt prezentate mai jos.< ∞
Sensuri multiple: Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent natural par pentru diferite valori ale exponentului n = 2, 4, 6, ....
impar, y(-x) = - y(x)
0 ≤ y
par, y(-x) = y(x)
crește monoton pentru x ≤ 0 scade monoton
Nu pentru x ≥ 0 crește monoton
la 0 Extreme:
minim, x = 0, y = 0 Puncte de inflexiune:
x = 0, y = 0
;
Limite:
convex în jos Puncte de intersecție cu axele de coordonate:
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
la x = 0, y(0) = 0 n = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
la x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1:
pentru n = 2,

rădăcină pătrată

pentru n ≠ 2, rădăcină de grad n:

Funcție de putere cu exponent întreg negativ, p = n = -1, -2, -3, ...

Se consideră o funcție de putere y = x p = x n cu un exponent întreg negativ n = -1, -2, -3, ... .

Dacă punem n = -k, unde k = 1, 2, 3, ... este un număr natural, atunci acesta poate fi reprezentat ca:

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent întreg negativ pentru diferite valori ale exponentului n = -1, -2, -3, ....
Domeniu de aplicare: Exponent impar, n = -1, -3, -5, ...
Sensuri multiple: Paritate:
impar, y(-x) = - y(x) Mai jos sunt proprietățile funcției y = x n cu un exponent negativ impar n = -1, -3, -5, ....
crește monoton Extreme:
Nu
x ≠ 0< 0 : выпукла вверх
y ≠ 0
la 0 Extreme:
minim, x = 0, y = 0 Extreme:
scade monoton
x ≠ 0< 0, y < 0
la x
x = 0, y = 0
; ; ;
Limite:
la x = 0, y(0) = 0 n = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
pentru x > 0: convex în jos
Semn:< -2 ,

Exponent par, n = -2, -4, -6, ...

Mai jos sunt proprietățile funcției y = x n cu exponent negativ par n = -2, -4, -6, ....

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent întreg negativ pentru diferite valori ale exponentului n = -1, -2, -3, ....
Domeniu de aplicare: y > 0
Sensuri multiple: Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent natural par pentru diferite valori ale exponentului n = 2, 4, 6, ....
impar, y(-x) = - y(x)
x ≠ 0< 0 : монотонно возрастает
pentru x > 0: scade monoton
crește monoton Extreme:
Nu pentru x ≥ 0 crește monoton
la 0 Extreme:
minim, x = 0, y = 0 Extreme:
scade monoton y > 0
x = 0, y = 0
; ; ;
Limite:
la x = 0, y(0) = 0 n = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
la n = -2,
Semn:< -2 ,

Funcția de putere cu exponent rațional (fracțional).

Considerăm o funcție de putere y = x p cu un exponent rațional (fracțional), unde n este un număr întreg, m > 1 este un număr natural. Mai mult, n, m nu au divizori comuni.

Numitorul indicatorului fracționar este impar

Fie numitorul exponentului fracționar impar: m = 3, 5, 7, ... . În acest caz, funcția de putere x p este definită atât pentru valorile pozitive, cât și pentru cele negative ale argumentului x.

Să luăm în considerare proprietățile unor astfel de funcții de putere atunci când exponentul p este în anumite limite.< 0

Valoarea p este negativă, p

Fie exponentul rațional (cu numitor impar m = 3, 5, 7, ...) mai mic decât zero: .

Grafice ale funcțiilor de putere cu un exponent negativ rațional pentru diferite valori ale exponentului, unde m = 3, 5, 7, ... - impar.

Numător impar, n = -1, -3, -5, ...

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent întreg negativ pentru diferite valori ale exponentului n = -1, -2, -3, ....
Domeniu de aplicare: Exponent impar, n = -1, -3, -5, ...
Sensuri multiple: Paritate:
impar, y(-x) = - y(x) Mai jos sunt proprietățile funcției y = x n cu un exponent negativ impar n = -1, -3, -5, ....
crește monoton Extreme:
Nu
x ≠ 0< 0 : выпукла вверх
y ≠ 0
la 0 Extreme:
minim, x = 0, y = 0 Extreme:
scade monoton
x ≠ 0< 0, y < 0
la x
x = 0, y = 0
; ; ;
Limite:
Prezentăm proprietățile funcției de putere y = x p cu un exponent negativ rațional, unde n = -1, -3, -5, ... este un număr întreg negativ impar, m = 3, 5, 7 ... este un întreg natural impar.
la x = 0, y(0) = 0 n = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1

la x = -1, y(-1) = (-1) n = -1

Numător par, n = -2, -4, -6, ...

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent întreg negativ pentru diferite valori ale exponentului n = -1, -2, -3, ....
Domeniu de aplicare: y > 0
Sensuri multiple: Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent natural par pentru diferite valori ale exponentului n = 2, 4, 6, ....
impar, y(-x) = - y(x)
x ≠ 0< 0 : монотонно возрастает
pentru x > 0: scade monoton
crește monoton Extreme:
Nu pentru x ≥ 0 crește monoton
la 0 Extreme:
minim, x = 0, y = 0 Extreme:
scade monoton y > 0
x = 0, y = 0
; ; ;
Limite:
Proprietățile funcției de putere y = x p cu un exponent rațional negativ, unde n = -2, -4, -6, ... este un întreg negativ par, m = 3, 5, 7 ... este un întreg natural impar .
la x = 0, y(0) = 0 n = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1

la x = -1, y(-1) = (-1) n = 1 Valoarea p este pozitivă,, 0 < p < 1

mai putin de unul< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Graficul unei funcții de putere cu exponent rațional (0

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < +∞
Domeniu de aplicare: -∞ < y < +∞
Sensuri multiple: Paritate:
impar, y(-x) = - y(x) Monoton:
crește monoton Extreme:
Nu
x ≠ 0< 0 : выпукла вниз
Numător impar, n = 1, 3, 5, ...
la 0 Puncte de inflexiune:
minim, x = 0, y = 0 Puncte de inflexiune:
scade monoton
x ≠ 0< 0, y < 0
la x
x = 0, y = 0
;
Limite:
pentru x > 0: convex în sus
la x = -1, y(-1) = -1
la x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1

pentru x = 1, y(1) = 1

Numător par, n = 2, 4, 6, ...< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < +∞
Domeniu de aplicare: Acest indicator poate fi scris și sub forma: n = 2k, unde k = 1, 2, 3, ... - natural. Proprietățile și graficele acestor funcții sunt prezentate mai jos.< +∞
Sensuri multiple: Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent natural par pentru diferite valori ale exponentului n = 2, 4, 6, ....
impar, y(-x) = - y(x)
x ≠ 0< 0 : монотонно убывает
Sunt prezentate proprietățile funcției de putere y = x p cu un exponent rațional în 0
crește monoton pentru x > 0: crește monoton
Nu minim la x = 0, y = 0
la 0 Extreme:
minim, x = 0, y = 0 Puncte de inflexiune:
scade monoton convex în sus pentru x ≠ 0
x = 0, y = 0
;
Limite:
pentru x ≠ 0, y > 0
la x = -1, y(-1) = -1
la x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1

la x = -1, y(-1) = 1

Indicele p este mai mare decât unu, p > 1

Graficul unei funcții de putere cu un exponent rațional (p > 1) pentru diferite valori ale exponentului, unde m = 3, 5, 7, ... este impar.

Numător impar, n = 5, 7, 9, ...

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
Domeniu de aplicare: -∞ < y < ∞
Sensuri multiple: Paritate:
impar, y(-x) = - y(x) Monoton:
crește monoton Extreme:
Nu
Convex:< x < 0 выпукла вверх
la -∞< x < ∞ выпукла вниз
la 0 Puncte de inflexiune:
minim, x = 0, y = 0 Puncte de inflexiune:
x = 0, y = 0
;
Limite:
pentru x > 0: convex în sus
la x = -1, y(-1) = -1
la x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1

Proprietăţi ale funcţiei de putere y = x p cu un exponent raţional mai mare de unu: .

Proprietăţi ale funcţiei de putere y = x p cu un exponent raţional mai mare de unu: .

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
Domeniu de aplicare: Acest indicator poate fi scris și sub forma: n = 2k, unde k = 1, 2, 3, ... - natural. Proprietățile și graficele acestor funcții sunt prezentate mai jos.< ∞
Sensuri multiple: Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent natural par pentru diferite valori ale exponentului n = 2, 4, 6, ....
impar, y(-x) = - y(x)
x ≠ 0< 0 монотонно убывает
Unde n = 4, 6, 8, ... - natural par, m = 3, 5, 7 ... - natural impar.
crește monoton pentru x > 0: crește monoton
Nu pentru x ≥ 0 crește monoton
la 0 Extreme:
minim, x = 0, y = 0 Puncte de inflexiune:
x = 0, y = 0
;
Limite:
pentru x ≠ 0, y > 0
la x = -1, y(-1) = -1
la x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1

pentru x > 0 crește monoton

Numitorul indicatorului fracționar este par

Fie numitorul exponentului fracționar par: m = 2, 4, 6, ... . În acest caz, funcția de putere x p nu este definită pentru valorile negative ale argumentului. Proprietățile sale coincid cu proprietățile unei funcții de putere cu un exponent irațional (vezi secțiunea următoare).

Funcția de putere cu exponent irațional

Se consideră o funcție de putere y = x p cu un exponent irațional p.

Proprietățile unor astfel de funcții diferă de cele discutate mai sus prin faptul că nu sunt definite pentru valorile negative ale argumentului x.< 0

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... Pentru valorile pozitive ale argumentului, proprietățile depind numai de valoarea exponentului p și nu depind de dacă p este întreg, rațional sau irațional.
Domeniu de aplicare: y > 0
impar, y(-x) = - y(x) Mai jos sunt proprietățile funcției y = x n cu un exponent negativ impar n = -1, -3, -5, ....
Nu pentru x ≥ 0 crește monoton
la 0 Extreme:
minim, x = 0, y = 0 Extreme:
x = 0, y = 0 ;
y = x p pentru diferite valori ale exponentului p. Funcția de putere cu exponent negativ p

x > 0

Sens privat:< p < 1

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... Pentru x = 1, y(1) = 1 p = 1
Domeniu de aplicare: Funcția de putere cu exponent pozitiv p > 0
impar, y(-x) = - y(x) Monoton:
Nu Indicator mai mic de unu 0
la 0 Extreme:
minim, x = 0, y = 0 Puncte de inflexiune:
x = 0, y = 0
Limite: x ≥ 0
Funcția de putere cu exponent negativ p

y ≥ 0

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... Pentru x = 1, y(1) = 1 p = 1
Domeniu de aplicare: Funcția de putere cu exponent pozitiv p > 0
impar, y(-x) = - y(x) Monoton:
Nu pentru x ≥ 0 crește monoton
la 0 Extreme:
minim, x = 0, y = 0 Puncte de inflexiune:
x = 0, y = 0
Limite: x ≥ 0
Funcția de putere cu exponent negativ p

convex în sus
Pentru x = 0, y(0) = 0 p = 0 .


Indicatorul este mai mare decât un p > 1 Literatura folosita:ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți, „Lan”, 2009.

Cunoştinţe funcții elementare de bază, proprietățile și graficele lor nu mai puțin important decât cunoașterea tabelelor înmulțirii. Sunt ca fundația, totul se bazează pe ele, totul se construiește din ele și totul se reduce la ei.

puncte singulare de funcții;

proprietăți speciale sunt: ​​funcția constantă (constant), rădăcina a n-a, funcția de putere, funcția exponențială, funcția logaritmică, funcțiile trigonometrice și trigonometrice inverse.

Navigare în pagină.

Funcție permanentă.

O funcție constantă este definită pe mulțimea tuturor numerelor reale prin formula , unde C este un număr real. O funcție constantă asociază fiecare valoare reală a variabilei independente x cu aceeași valoare a variabilei dependente y - valoarea C. O funcție constantă se mai numește și constantă.

Graficul unei funcții constante este o linie dreaptă, paralel cu axa abscisă și trecând prin punctul cu coordonatele (0,C). De exemplu, să arătăm grafice ale funcțiilor constante y=5, y=-2 și, care în figura de mai jos corespund liniilor negre, roșii și, respectiv, albastre.

Proprietățile unei funcții constante.

  • Domeniu: întregul set de numere reale.
  • Funcția constantă este pară.
  • Interval de valori: set format din singular CU .
  • O funcție constantă nu crește și nu descrește (de aceea este constantă).
  • Nu are sens să vorbim despre convexitatea și concavitatea unei constante.
  • Nu există asimptote.
  • Funcția trece prin punctul (0,C) al planului de coordonate.

a n-a rădăcină.

Să considerăm funcția elementară de bază, care este dată de formula , unde n – număr natural, mai mare de unu.

Rădăcina de gradul al n-lea, n este un număr par.

Să începem cu a n-a funcție rădăcină pentru valorile pare ale exponentului rădăcină n.

Ca exemplu, iată o imagine cu imagini ale graficelor de funcții și , acestea corespund liniilor negre, roșii și albastre.


Graficele funcțiilor rădăcinii de grad par au un aspect similar pentru alte valori ale exponentului.

Proprietățile funcției de rădăcină a n-a pentru n chiar.

Rădăcina de gradul al n-lea, n este un număr impar.

Funcția a n-a rădăcină cu un exponent rădăcină impar n este definită pe întregul set de numere reale. De exemplu, aici sunt graficele funcțiilor și , acestea corespund curbelor negre, roșii și albastre.


Pentru alte valori impare ale exponentului rădăcină, graficele funcției vor avea un aspect similar.

Proprietățile funcției rădăcină a n-a pentru n impar.

Funcția de putere.

Funcția putere este dată de o formulă de forma .

Să luăm în considerare forma graficelor unei funcții de putere și proprietățile unei funcții de putere în funcție de valoarea exponentului.

Să începem cu o funcție de putere cu un exponent întreg a. În acest caz, tipul de grafice ale funcțiilor de putere și proprietățile funcțiilor depind de uniformitatea sau ciudata exponentului, precum și de semnul acestuia. Prin urmare, vom lua în considerare mai întâi funcțiile de putere pentru valorile pozitive impare ale exponentului a, apoi pentru exponenții pozitivi pari, apoi pentru exponenții negativi impari și, în final, pentru negativul par a.

Proprietățile funcțiilor de putere cu exponenți fracționali și iraționali (precum și tipul de grafice ale unor astfel de funcții de putere) depind de valoarea exponentului a. Le vom lua în considerare, în primul rând, pentru a de la zero la unu, în al doilea rând, pentru a mai mare decât unu, în al treilea rând, pentru a de la minus unu la zero, în al patrulea rând, pentru un mai mic de minus unu.

La sfârșitul acestei secțiuni, pentru a fi completă, vom descrie o funcție de putere cu exponent zero.

Funcția de putere cu exponent pozitiv impar.

Să considerăm o funcție de putere cu un exponent pozitiv impar, adică cu a = 1,3,5,....

Figura de mai jos prezintă grafice ale funcțiilor de putere - linie neagră, - linie albastră, - linie roșie, - linie verde. Pentru a=1 avem funcţie liniară y=x.

Proprietățile unei funcții de putere cu un exponent pozitiv impar.

Funcție de putere cu exponent pozitiv chiar.

Să considerăm o funcție de putere cu exponent pozitiv par, adică pentru a = 2,4,6,....

Ca exemplu, oferim grafice ale funcțiilor de putere – linie neagră, – linie albastră, – linie roșie. Pentru a=2 avem o funcție pătratică, al cărei grafic este parabolă pătratică.

Proprietățile unei funcții de putere cu exponent pozitiv egal.

Funcția de putere cu exponent negativ impar.

Priviți graficele funcției de putere pentru valori negative impare ale exponentului, adică pentru a = -1, -3, -5,....

Figura prezintă grafice ale funcțiilor de putere ca exemple - linie neagră, - linie albastră, - linie roșie, - linie verde. Pentru a=-1 avem proporţionalitate inversă, al cărui grafic este hiperbolă.

Proprietățile unei funcții de putere cu un exponent negativ impar.

Funcția de putere cu exponent chiar negativ.

Să trecem la funcția de putere pentru a=-2,-4,-6,….

Figura prezintă grafice ale funcțiilor de putere – linie neagră, – linie albastră, – linie roșie.

Proprietățile unei funcții de putere cu exponent negativ par.

O funcție de putere cu un exponent rațional sau irațional a cărui valoare este mai mare decât zero și mai mică de unu.

Fiţi atenți! Dacă a este o fracție pozitivă cu un numitor impar, atunci unii autori consideră că domeniul de definire al funcției de putere este intervalul. Se stipulează că exponentul a este o fracție ireductibilă. Acum, autorii multor manuale de algebră și începuturile analizei NU DEFINEȘTE funcții de putere cu un exponent sub forma unei fracții cu un numitor impar pentru valorile negative ale argumentului. Vom adera tocmai la această viziune, adică vom considera mulțimea ca fiind domeniile de definire a funcțiilor de putere cu exponenți pozitivi fracționari. Recomandăm elevilor să afle părerea profesorului dumneavoastră cu privire la acest punct subtil pentru a evita neînțelegerile.

Să considerăm o funcție de putere cu un exponent rațional sau irațional a și .

Să prezentăm grafice ale funcțiilor de putere pentru a=11/12 (linia neagră), a=5/7 (linia roșie), (linia albastră), a=2/5 (linia verde).

O funcție de putere cu un exponent rațional sau irațional non-întreg mai mare decât unu.

Să considerăm o funcție de putere cu un exponent rațional sau irațional neîntreger a și .

Să prezentăm grafice ale funcțiilor de putere date prin formule (linii negre, roșii, albastre și, respectiv, verzi).

>

Pentru alte valori ale exponentului a, graficele funcției vor avea un aspect similar.

Proprietățile funcției de putere la .

O funcție de putere cu un exponent real care este mai mare decât minus unu și mai mic decât zero.

Fiţi atenți! Dacă a este o fracție negativă cu un numitor impar, atunci unii autori consideră că domeniul de definire al unei funcții de putere este intervalul . Se stipulează că exponentul a este o fracție ireductibilă. Acum, autorii multor manuale de algebră și începuturile analizei NU DEFINEȘTE funcții de putere cu un exponent sub forma unei fracții cu un numitor impar pentru valorile negative ale argumentului. Vom adera tocmai la acest punct de vedere, adică vom considera domeniile de definire a funcțiilor de putere cu exponenți negativi fracționali ca fiind, respectiv, o mulțime. Recomandăm elevilor să afle părerea profesorului dumneavoastră cu privire la acest punct subtil pentru a evita neînțelegerile.

Să trecem la funcția de putere, kgod.

Pentru a avea o idee bună despre forma graficelor funcțiilor de putere pentru , dăm exemple de grafice ale funcțiilor (curbe negru, roșu, albastru, respectiv verde).

Proprietățile unei funcții de putere cu exponent a, .

O funcție de putere cu un exponent real neîntreger care este mai mic de minus unu.

Să dăm exemple de grafice ale funcțiilor de putere pentru , acestea sunt reprezentate prin linii negre, roșii, albastre și, respectiv, verzi.

Proprietățile unei funcții de putere cu un exponent negativ non-întreg mai mic decât minus unu.

Când a = 0, avem o funcție - aceasta este o dreaptă din care punctul (0;1) este exclus (s-a convenit să nu se acorde nicio semnificație expresiei 0 0).

Funcția exponențială.

Una dintre funcțiile elementare principale este funcția exponențială.

Programa functie exponentiala, unde și ia forme diferite în funcție de valoarea bazei a. Să ne dăm seama.

În primul rând, luați în considerare cazul în care baza funcției exponențiale ia o valoare de la zero la unu, adică .

Ca exemplu, prezentăm grafice ale funcției exponențiale pentru a = 1/2 – linie albastră, a = 5/6 – linie roșie. Graficele funcției exponențiale au un aspect similar pentru alte valori ale bazei din interval.

Proprietățile unei funcții exponențiale cu o bază mai mică de unu.

Să trecem la cazul când baza funcției exponențiale este mai mare decât unu, adică .

Ca o ilustrare, prezentăm grafice ale funcțiilor exponențiale - linie albastră și - linie roșie. Pentru alte valori ale bazei mai mari decât unu, graficele funcției exponențiale vor avea un aspect similar.

Proprietățile unei funcții exponențiale cu o bază mai mare decât unu.

Funcția logaritmică.

Următorul principal funcţie elementară este o funcție logaritmică, unde , . Funcția logaritmică este definită numai pentru valorile pozitive ale argumentului, adică pentru .

Graficul unei funcții logaritmice ia forme diferite în funcție de valoarea bazei a.

Proprietățile funcțiilor de putere și graficele acestora

Funcția de putere cu exponent egal cu zero, p = 0

Dacă exponentul funcției de putere y = x p este egal cu zero, p = 0, atunci funcția de putere este definită pentru toate x ≠ 0 și este o constantă egală cu unu:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.

Funcția de putere cu exponent natural impar, p = n = 1, 3, 5, ...

Considerăm o funcție de putere y = x p = x n cu un exponent natural impar n = 1, 3, 5, .... Acest exponent poate fi scris și sub forma: n = 2k + 1, unde k = 0, 1, 2 , 3, .. – întregul nu este negativ. Mai jos sunt proprietățile și graficele unor astfel de funcții.

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, ....

Domeniu: –∞< x < ∞

Valori multiple: –∞< y < ∞

Extreme: nu

Convex:

la –∞< x < 0 выпукла вверх

la 0< x < ∞ выпукла вниз

Puncte de inflexiune: x = 0, y = 0


Valori private:

la x = –1, y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2m+1 = –1

la x = 0, y(0) = 0 n = 0

pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1

pentru n ≠ 1, funcția inversă este rădăcina gradului n:

Se consideră o funcție de putere y = x p = x n cu un exponent natural parn = 2, 4, 6, .... Acest exponent poate fi scris și sub forma: n = 2k, unde k = 1, 2, 3, .. . - natural . Proprietățile și graficele acestor funcții sunt prezentate mai jos.

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent natural par pentru diferite valori ale exponentului n = 2, 4, 6, ....

Domeniu: –∞< x < ∞

Valori multiple: 0 ≤ y< ∞

Monoton:

la x< 0 монотонно убывает

pentru x > 0 crește monoton

Extreme: minim, x = 0, y = 0

Convex: convex în jos

Puncte de inflexiune: nu

Puncte de intersecție cu axe de coordonate: x = 0, y = 0
Valori private:

la x = –1, y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2m = 1

la x = 0, y(0) = 0 n = 0

pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1

rădăcină pătrată

Considerăm o funcție de putere y = x p = x n cu un exponent întreg negativ n = -1, -2, -3, .... Dacă setăm n = –k, unde k = 1, 2, 3, ... este un număr natural, atunci acesta poate fi reprezentat ca:

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent întreg negativ pentru diferite valori ale exponentului n = -1, -2, -3, ....

Se consideră o funcție de putere y = x p = x n cu un exponent întreg negativ n = -1, -2, -3, ... .

Mai jos sunt proprietățile funcției y = x n cu un exponent negativ impar n = -1, -3, -5, ....

Interval de definiție: x ≠ 0

Valori multiple: y ≠ 0

Paritate: impar, y(–x) = – y(x)

Extreme: nu

Convex:

la x< 0: выпукла вверх

pentru x > 0: convex în jos

Puncte de inflexiune: nu

Semn: la x< 0, y < 0

pentru x > 0, y > 0

Valori private:

pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1

Exponent par, n = -2, -4, -6, ...

Mai jos sunt proprietățile funcției y = x n cu exponent negativ par n = -2, -4, -6, ....

Interval de definiție: x ≠ 0

Valori multiple: y > 0

Paritate: par, y(–x) = y(x)

Monoton:

la x< 0: монотонно возрастает

pentru x > 0: scade monoton

Extreme: nu

Convex: convex în jos

Puncte de inflexiune: nu

Puncte de intersecție cu axele de coordonate: nr

Semn: y > 0

Valori private:

la x = –1, y(–1) = (–1) n = 1

pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1

Funcția de putere cu exponent rațional (fracțional).

Considerăm o funcție de putere y = x p cu un exponent rațional (fracțional), unde n este un număr întreg, m > 1 este un număr natural. Mai mult, n, m nu au divizori comuni.

Numitorul indicatorului fracționar este impar

Fie numitorul exponentului fracționar impar: m = 3, 5, 7, ... . În acest caz, funcția de putere x p este definită atât pentru valorile pozitive, cât și pentru cele negative ale argumentului. Să luăm în considerare proprietățile unor astfel de funcții de putere atunci când exponentul p este în anumite limite.

Să luăm în considerare proprietățile unor astfel de funcții de putere atunci când exponentul p este în anumite limite.< 0

Fie exponentul rațional (cu numitor impar m = 3, 5, 7, ...) să fie mai mic decât zero: .

Grafice ale funcțiilor puterii cu un exponent negativ rațional pentru diferite valori ale exponentului, unde m = 3, 5, 7, ... este impar.

Numător impar, n = -1, -3, -5, ...

Prezentăm proprietățile funcției de putere y = x p cu un exponent negativ rațional, unde n = -1, -3, -5, ... este un număr întreg negativ impar, m = 3, 5, 7 ... este un întreg natural impar.

Interval de definiție: x ≠ 0

Valori multiple: y ≠ 0

Paritate: impar, y(–x) = – y(x)

Monotonicitate: monoton în scădere

Extreme: nu

Convex:

la x< 0: выпукла вверх

pentru x > 0: convex în jos

Puncte de inflexiune: nu

Puncte de intersecție cu axele de coordonate: nr

la x< 0, y < 0

pentru x > 0, y > 0

Valori private:

la x = –1, y(–1) = (–1) n = –1

pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1

Numător par, n = -2, -4, -6, ...

Proprietățile funcției de putere y = x p cu un exponent rațional negativ, unde n = -2, -4, -6, ... este un întreg negativ par, m = 3, 5, 7 ... este un întreg natural impar .

Interval de definiție: x ≠ 0

Valori multiple: y > 0

Paritate: par, y(–x) = y(x)

Monoton:

la x< 0: монотонно возрастает

pentru x > 0: scade monoton

Extreme: nu

Convex: convex în jos

Puncte de inflexiune: nu

Puncte de intersecție cu axele de coordonate: nr

Semn: y > 0

Valoarea p este pozitivă, mai mică de unu, 0< p < 1

Graficul funcției de putere cu exponent rațional (0< p < 1) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Graficul unei funcții de putere cu exponent rațional (0

< p < 1, где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domeniu: –∞< x < +∞

Valori multiple: –∞< y < +∞

Paritate: impar, y(–x) = – y(x)

Monotonicitate: crescând monoton

Extreme: nu

Convex:

la x< 0: выпукла вниз

pentru x > 0: convex în sus

Puncte de inflexiune: x = 0, y = 0

Puncte de intersecție cu axe de coordonate: x = 0, y = 0

la x< 0, y < 0

pentru x > 0, y > 0

Valori private:

la x = –1, y(–1) = –1

la x = 0, y(0) = 0

pentru x = 1, y(1) = 1

pentru x = 1, y(1) = 1

Sunt prezentate proprietățile funcției de putere y = x p cu un exponent rațional în 0< p < 1, где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domeniu: –∞< x < +∞

Valori multiple: 0 ≤ y< +∞

Paritate: par, y(–x) = y(x)

Monoton:

la x< 0: монотонно убывает

pentru x > 0: crește monoton

Extreme: minim la x = 0, y = 0

Convexitate: convex în sus la x ≠ 0

Puncte de inflexiune: nu

Puncte de intersecție cu axe de coordonate: x = 0, y = 0

Semn: pentru x ≠ 0, y > 0


Articole înrudite
Discutand:
Contacte Despre proiect și editori Publicitate pe site Harta site-ului

2024 liveps.ru. Teme și probleme gata făcute în chimie și biologie.