Proprietăți ale probabilității statistice. Definiția clasică și statistică a probabilității
Pentru a compara cantitativ evenimentele între ele după gradul de posibilitate al acestora, evident, este necesar să se asocieze un anumit număr fiecărui eveniment, care este mai mare, cu atât evenimentul este mai posibil. Vom numi acest număr probabilitatea unui eveniment. Astfel, probabilitatea unui eveniment este o măsură numerică a gradului de posibilitate obiectivă a acestui eveniment.
Prima definiție a probabilității ar trebui considerată cea clasică, care a apărut din analiza jocurilor de noroc și a fost aplicată inițial intuitiv.
Metoda clasică de determinare a probabilității se bazează pe conceptul de evenimente la fel de posibile și incompatibile, care sunt rezultatele unei experiențe date și formează un grup complet de evenimente incompatibile.
Cel mai simplu exemplu de evenimente la fel de posibile și incompatibile care formează un grup complet este apariția uneia sau alteia mingi dintr-o urnă care conține mai multe bile de aceeași dimensiune, greutate și alte caracteristici tangibile, care diferă doar prin culoare, bine amestecate înainte de a fi îndepărtate.
Prin urmare, un test ale cărui rezultate formează un grup complet de evenimente incompatibile și la fel de posibile se spune că este reductibil la un model de urne, sau un model de cazuri sau se încadrează în modelul clasic.
Evenimentele la fel de posibile și incompatibile care alcătuiesc un grup complet vor fi numite pur și simplu cazuri sau șanse. Mai mult, în fiecare experiment, alături de cazuri, pot apărea evenimente mai complexe.
Exemplu: Când aruncăm un zar, împreună cu cazurile A i - pierderea punctelor i din partea superioară, putem considera evenimente precum B - pierderea unui număr par de puncte, C - pierderea unui număr de puncte. puncte care sunt multiplu de trei...
În raport cu fiecare eveniment care poate apărea în timpul experimentului, cazurile sunt împărțite în favorabil, în care se produce acest eveniment, și nefavorabile, în care evenimentul nu are loc. În exemplul anterior, evenimentul B este favorizat de cazurile A 2, A 4, A 6; eveniment C - cazurile A 3, A 6.
Probabilitate clasică apariția unui anumit eveniment se numește raportul dintre numărul de cazuri favorabile apariției acestui eveniment și numărul total de cazuri la fel de posibile, incompatibile, care alcătuiesc grupul complet dintr-un experiment dat:
Unde P(A)- probabilitatea apariţiei evenimentului A; m- numărul de cazuri favorabile evenimentului A; n- numărul total de cazuri.
Exemple:
1) (vezi exemplul de mai sus) P(B)= , P(C) =.
2) Urna conține 9 bile roșii și 6 albastre. Găsiți probabilitatea ca una sau două bile extrase la întâmplare să devină roșii.
O- o bila rosie extrasa la intamplare:
m= 9, n= 9 + 6 = 15, P(A)=
B- două bile roșii extrase la întâmplare:
Următoarele proprietăți rezultă din definiția clasică a probabilității (arată-te):
1) Probabilitatea unui eveniment imposibil este 0;
2) Probabilitatea unui eveniment de încredere este 1;
3) Probabilitatea oricărui eveniment se situează între 0 și 1;
4) Probabilitatea unui eveniment opus evenimentului A,
Definiția clasică a probabilității presupune că numărul de rezultate ale unui proces este finit. În practică, de foarte multe ori există teste, al căror număr de cazuri posibile este infinit. În plus, slăbiciunea definiției clasice este că de foarte multe ori este imposibil să se reprezinte rezultatul unui test sub forma unui set de evenimente elementare. Este și mai dificil de indicat motivele pentru care se consideră că rezultatele elementare ale unui test sunt la fel de posibile. De obicei, echiposibilitatea rezultatelor testelor elementare este concluzionată din considerente de simetrie. Cu toate acestea, astfel de sarcini sunt foarte rare în practică. Din aceste motive, alături de definiția clasică a probabilității, sunt utilizate și alte definiții ale probabilității.
Probabilitate statistică evenimentul A este frecvența relativă de apariție a acestui eveniment în testele efectuate:
unde este probabilitatea de apariție a evenimentului A;
Frecvența relativă de apariție a evenimentului A;
Numărul de încercări în care a apărut evenimentul A;
Numărul total de încercări.
Spre deosebire de probabilitatea clasică, probabilitatea statistică este o caracteristică a probabilității experimentale.
Exemplu: Pentru a controla calitatea produselor dintr-un lot, au fost selectate aleatoriu 100 de produse, dintre care 3 produse s-au dovedit a fi defecte. Determinați probabilitatea căsătoriei.
Metoda statistică de determinare a probabilității este aplicabilă numai acelor evenimente care au următoarele proprietăți:
Evenimentele luate în considerare ar trebui să fie doar rezultatele acelor teste care pot fi reproduse de un număr nelimitat de ori în același set de condiții.
Evenimentele trebuie să aibă stabilitate statistică (sau stabilitate a frecvențelor relative). Aceasta înseamnă că în diferite serii de teste frecvența relativă a evenimentului se modifică puțin.
Numărul de încercări care au rezultat în evenimentul A trebuie să fie destul de mare.
Este ușor de verificat că proprietățile probabilității care decurg din definiția clasică sunt păstrate și în definiția statistică a probabilității.
Definiția clasică a probabilității presupune că toate rezultatele elementare la fel de posibil. Egalitatea rezultatelor unui experiment este încheiată din considerente de simetrie (ca în cazul unei monede sau al unui zar). Problemele în care pot fi utilizate considerații de simetrie sunt rare în practică. În multe cazuri, este dificil să oferim motive pentru a crede că toate rezultatele elementare sunt la fel de posibile. În acest sens, a devenit necesară introducerea unei alte definiții a probabilității, numită statistic. Pentru a da această definiție, este introdus mai întâi conceptul de frecvență relativă a unui eveniment.
Frecvența relativă a evenimentului, sau frecvenţă, este raportul dintre numărul de experimente în care a avut loc acest eveniment și numărul tuturor experimentelor efectuate. Să notăm frecvența evenimentului prin , apoi prin definiție
(1.4.1)
unde este numărul de experimente în care a avut loc evenimentul și este numărul tuturor experimentelor efectuate.
Frecvența evenimentului are următoarele proprietăți.
Observațiile au permis să se stabilească că frecvența relativă are proprietățile stabilității statistice: în diferite serii de teste polinomiale (în fiecare dintre ele acest eveniment poate sau nu să apară), ia valori destul de apropiate de o constantă. Această constantă, care este o caracteristică numerică obiectivă a unui fenomen, este considerată probabilitatea unui eveniment dat.
Probabilitate eveniment este numărul în jurul căruia valorile frecvenței unui anumit eveniment sunt grupate în diverse serii ale unui număr mare de teste.
Această definiție a probabilității se numește statistic.
În cazul unei definiții statistice, probabilitatea are următoarele proprietăți:
1) probabilitatea unui eveniment de încredere este egală cu unu;
2) probabilitatea unui eveniment imposibil este zero;
3) probabilitatea unui eveniment aleatoriu este între zero și unu;
4) probabilitatea sumei a două evenimente incompatibile este egală cu suma probabilităților acestor evenimente.
Exemplul 1. Din 500 de piese luate la întâmplare, 8 erau defecte. Găsiți frecvența pieselor defecte.
Soluţie. Deoarece în acest caz = 8, = 500, atunci în conformitate cu formula (1.4.1) găsim
Exemplul 2. Zarurile se aruncă de 60 de ori, în timp ce şase a aparut de 10 ori. Care este frecvența de apariție şase?
Soluţie. Din condițiile problemei rezultă că = 60, = 10, deci
Exemplul 3. Printre 1000 de nou-născuți, au fost 515 băieți. Care este rata natalității băieților?
Soluţie.Întrucât în acest caz, , atunci 
.
Exemplul 4.În urma a 20 de lovituri la țintă, s-au obținut 15 lovituri. Care este rata de lovituri?
Soluţie. Deoarece = 20, = 15, atunci
Exemplul 5. Când trageți la o țintă, rata de lovire = 0,75. Găsiți numărul de lovituri cu 40 de lovituri.
Soluţie. Din formula (1.4.1) rezultă că . Deoarece = 0,75, = 40, atunci . Astfel, au fost primite 30 de hit-uri.
Exemplul 6. www.. Din seminţele semănate au germinat 970 Câte seminţe au fost semănate?
Soluţie. Din formula (1.4.1) rezultă că . De când , , atunci . Deci, au fost semănate 1000 de semințe.
Exemplul 7. Pe un segment al seriei naturale de la 1 la 20, găsiți frecvența numerelor prime.
Soluţie. Pe segmentul indicat al seriei naturale de numere se află următoarele numere prime: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19; sunt 8 în total Deoarece = 20, = 8, atunci frecvența dorită
.
Exemplul 8. Au fost efectuate trei serii de aruncări multiple ale unei monede simetrice, s-a calculat numărul de apariții ale stemei: 1) = 4040, = 2048, 2) = 12000, = 6019; 3) = 24000, = 12012. Aflați frecvența apariției stemei în fiecare serie de teste.
Soluţie. Conform formulei (1.4.1) găsim:
Comentariu. Aceste exemple indică faptul că în timpul încercărilor repetate, frecvența unui eveniment diferă puțin de probabilitatea acestuia. Probabilitatea ca o stemă să apară la aruncarea unei monede este p = 1/2 = 0,5, deoarece în acest caz n = 2, m = 1.
Exemplul 9. Dintre cele 300 de piese produse pe o mașină automată, au fost 15 care nu au respectat standardul. Găsiți frecvența de apariție a pieselor nestandard.
Soluţie.În acest caz n = 300, m = 15, deci
Exemplul 10. Inspectorul, verificând calitatea a 400 de produse, a constatat că 20 dintre ele aparțineau clasei a doua, iar restul - primei. Găsiți frecvența produselor din clasa întâi, frecvența produselor din clasa a doua.
Soluţie.În primul rând, să găsim numărul de produse de prima clasă: 400 - 20 = 380. Deoarece n = 400, = 380, atunci frecvența produselor de prima clasă
În mod similar, găsim frecvența produselor de clasa a doua:
Sarcini
- Departamentul de control tehnic a descoperit 10 produse nestandard într-un lot de 1000 de produse. Găsiți frecvența de fabricație a produselor defecte.
- Pentru a determina calitatea semințelor, au fost selectate 100 de semințe și semănate în condiții de laborator. 95 de semințe au încolțit normal. Care este frecvența germinării normale a semințelor?
- Aflați frecvența de apariție a numerelor prime în următoarele segmente ale seriei naturale: a) de la 21 la 40; b) de la 41 la 50; c) de la 51 la 70.
- Aflați frecvența de apariție a cifrei în 100 de aruncări ale unei monede simetrice. (Conduceți singur experimentul).
- Găsiți frecvența unui șase din 90 de aruncări ale unui zar.
- Prin sondajul tuturor studenților din cursul dvs., determinați frecvența zilelor de naștere care se încadrează în fiecare lună a anului.
- Găsiți frecvența cuvintelor din cinci litere în orice text din ziar.
Răspunsuri
- 0,01. 2, 0,95; 0,05. 3. a) 0,2; b) 0,3; c) 0,2.
Întrebări
- Ce este frecvența evenimentelor?
- Care este frecvența unui eveniment de încredere?
- Care este frecvența unui eveniment imposibil?
- Care sunt limitele frecvenței unui eveniment aleatoriu?
- Care este frecvența sumei a două evenimente incompatibile?
- Ce definiție a probabilității se numește statistică?
- Ce proprietăți are probabilitatea statistică?
Definiția clasică a probabilității.
Să apară rezultate elementare (evenimente) ca rezultat al testului: ω 1, ω 2, ω 3, …, ω m, ω m +1, …, ωn, care formează un grup complet de evenimente incompatibile în perechi la fel de posibile.
Definiţie:Vom numi rezultate elementare în care evenimentul care ne interesează are loc favorabil acestui eveniment.
Lasă evenimentul care ne interesează O observat dacă apare unul dintre rezultatele elementare: ω 1, ω 2, …, ω m.
Definiţie:Probabilitatea evenimentului A este raportul dintre numărul de rezultate favorabile acestui eveniment și numărul total al tuturor rezultatelor elementare incompatibile la fel de posibile care formează grupul complet:
unde m este numărul de rezultate elementare favorabile evenimentului A;
n este numărul tuturor rezultatelor posibile ale testului elementar.
Exemplu: Există șase bile identice în urnă: două dintre ele sunt roșii, trei sunt albastre și una este albă. Tragem o minge la întâmplare.
Găsiți probabilitatea ca el să nu fie alb.
Soluţie: Sunt posibile șase rezultate elementare:
ω 1- a apărut o minge albă,
ω 2, ω 3- a apărut o minge roșie,
ω 4, ω 5, ω 6– a apărut o minge albastră.
Calculăm probabilitatea de a extrage o minge nealbă:
Deoarece m = 5, n = 6.
Următoarele proprietăți rezultă din definiția probabilității:
Proprietatea 1: Probabilitatea unui eveniment de încredere este egală cu unu.
Dovada: Evenimentul este sigur, prin urmare, fiecare rezultat elementar al testului favorizează evenimentul:
Proprietatea 2:Probabilitatea unui eveniment imposibil este zero.
Dovada: Evenimentul este imposibil, prin urmare, nici un singur rezultat elementar nu este favorabil evenimentului:
Proprietatea 3:Probabilitatea unui eveniment aleatoriu este un număr pozitiv între zero și unu.
Dovada: Un eveniment aleatoriu favorizează doar o parte din numărul total de rezultate elementare ale testului. Prin urmare, 0 < m < n , Atunci:
Concluzie:Probabilitatea oricărui eveniment satisface inegalitatea:
Rețineți că definiția clasică a probabilității are dezavantajele sale. De exemplu, se presupune că numărul de rezultate elementare este finit. În practică, există adesea teste în care numărul de rezultate posibile este infinit. Aceasta implică limitările definiției clasice. Un alt dezavantaj al definiției clasice a probabilității: este adesea imposibil să se reprezinte rezultatul unui test sub forma unui set de evenimente elementare. Este și mai greu de indicat motivele pentru care se consideră că evenimentele elementare sunt la fel de posibile. Se impune introducerea altor definiții ale probabilității.
Înainte de a defini probabilitatea statistică, să definim frecvența relativă.
Definiţie:Frecvența relativă a unui eveniment este raportul dintre numărul de încercări m în care a avut loc evenimentul și numărul total de încercări n efectuate efectiv:
Rețineți că probabilitatea este calculată înainte de experiment, iar frecvența relativă - după experiment.
Exemplu: Departamentul de control al calității (departamentul de control tehnic) a descoperit 3 piese non-standard într-un lot de 80 de piese alese aleatoriu.
În acest caz, frecvența relativă de apariție a pieselor nestandard este egală cu:
Proprietatea de stabilitate relativă a frecvenței:În diferite experimente, frecvența relativă se modifică puțin (cu cât sunt mai puține, cu atât se efectuează mai multe teste), fluctuând în jurul unui anumit număr constant.
S-a dovedit că acest număr constant este probabilitatea ca evenimentul să se producă:
W(A) ≈ P(A).
Exemplu: Conform statisticilor suedeze, frecvența relativă a nașterilor de fete pentru 1935 pe lună (începând din ianuarie) este caracterizată de următoarele numere:
0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473.
Apoi W(A) ≈ 0,481≈ P(A)– valoarea aproximativă a probabilității de a avea o fată.
Definiţie:Probabilitatea unui eveniment A este numărul în jurul căruia frecvența relativă W(A) se stabilizează (se stabilește) cu o creștere nelimitată a numărului de experimente.
Este evident că toate proprietățile probabilității care decurg din definiția clasică sunt păstrate în definiția statistică a probabilității.
Probabilitatea este gradul (măsura, evaluarea cantitativă) al posibilității de apariție a unui eveniment. Atunci când motivele pentru care un eveniment posibil să apară efectiv depășesc motivele opuse, atunci acest eveniment se numește probabil, în caz contrar - incredibil sau improbabil. Preponderența motivelor pozitive față de cele negative și invers, poate fi în grade diferite, drept urmare probabilitatea (și improbabilitatea) poate fi mai mare sau mai mică. Prin urmare, probabilitatea este adesea evaluată la nivel calitativ, mai ales în cazurile în care o evaluare cantitativă mai mult sau mai puțin precisă este imposibilă sau extrem de dificilă. Sunt posibile diferite gradații de „niveluri” de probabilitate.
Definiția clasică a probabilității se bazează pe conceptul de probabilitate egală a rezultatelor. Probabilitatea este raportul dintre numărul de rezultate favorabile pentru un anumit eveniment și numărul total de rezultate la fel de posibile. De exemplu, probabilitatea de a obține cap sau cozi într-o aruncare aleatorie de monede este de 1/2 dacă se presupune că numai aceste două posibilități apar și că sunt la fel de posibile. Această „definiție” clasică a probabilității poate fi generalizată în cazul unui număr infinit de valori posibile - de exemplu, dacă un eveniment poate avea loc cu probabilitate egală în orice punct (numărul de puncte este infinit) al unei regiuni limitate a spațiu (plan), atunci probabilitatea ca aceasta să apară într-o anumită parte a acestei regiuni fezabile este egală cu raportul dintre volumul (aria) acestei părți și volumul (aria) regiunii tuturor punctelor posibile.
Descrierea probabilistică a anumitor fenomene a devenit larg răspândită în știința modernă, în special în econometrie, fizica statistică a sistemelor macroscopice (termodinamice), unde chiar și în cazul unei descrieri deterministe clasice a mișcării particulelor, o descriere deterministă a întregului sistem. de particule nu pare practic posibil sau adecvat. În fizica cuantică, procesele descrise sunt ele însele de natură probabilistică.
Apariția conceptului și a teoriei probabilității
Primele lucrări despre doctrina probabilității datează din secolul al XVII-lea. Cum ar fi corespondența oamenilor de știință francezi B. Pascal, P. Fermat (1654) și a savantului olandez H. Huygens (1657), care a dat cea mai timpurie interpretare științifică cunoscută a probabilității]. În esență, Huygens a operat deja cu conceptul de așteptare matematică. Matematicianul elvețian J. Bernoulli a stabilit legea numerelor mari pentru proiectarea unor încercări independente cu două rezultate (postum, 1713). În secolul al XVIII-lea - începutul secolului al XIX-lea. teoria probabilității este dezvoltată în lucrările lui A. Moivre (Anglia) (1718), P. Laplace (Franța), C. Gauss (Germania) și S. Poisson (Franța). Teoria probabilității începe să fie aplicată în teoria erorilor de observare, care s-a dezvoltat în legătură cu nevoile geodeziei și astronomiei, și în teoria împușcării. De remarcat că legea distribuției erorii a fost propusă în esență de Laplace, mai întâi ca dependență exponențială de eroare fără a lua în considerare semnul (în 1774), apoi ca funcție exponențială a erorii pătrate (în 1778). Această din urmă lege este de obicei numită distribuție Gaussiană sau distribuție normală. Bernoulli (1778) a introdus principiul produsului probabilităților evenimentelor simultane. Adrien Marie Legendre (1805) a dezvoltat metoda celor mai mici pătrate.
În a doua jumătate a secolului al XIX-lea. Dezvoltarea teoriei probabilităților este asociată cu lucrările matematicienilor ruși P. L. Chebyshev, A. M. Lyapunov și A. A. Markov (senior), precum și cu lucrările despre statistica matematică a lui A. Quetelet (Belgia) și F. Galton (Anglia) și fizicianul statistic L. . Boltzmann (în Austria), care a creat baza unei extinderi semnificative a problemelor teoriei probabilităților. Cea mai comună schemă logică (axiomatică) în prezent pentru construirea bazelor teoriei probabilităților a fost dezvoltată în 1933 de matematicianul sovietic A. N. Kolmogorov.
Definiția clasică a probabilității:
Conform definiției clasice, probabilitatea unui eveniment aleatoriu P(A) este egală cu raportul dintre numărul de rezultate favorabile lui A și numărul total de rezultate care alcătuiesc spațiul evenimentelor elementare, i.e.
teoria clasică statică a probabilității
Calcularea probabilităților în acest caz se rezumă la numărarea elementelor unui anumit set și adesea se dovedește a fi o sarcină pur combinatorie, uneori foarte dificilă.
Definiția clasică este justificată atunci când este posibil să se prezică probabilitatea pe baza simetriei condițiilor în care are loc experimentul și, prin urmare, a simetriei rezultatelor testului, ceea ce duce la conceptul de „posibilitate egală” a rezultatelor. .
De exemplu. Dacă o matriță obișnuită din punct de vedere geometric dintr-un material omogen este aruncată astfel încât să reușească să facă un număr suficient de mare de rotații înainte de a cădea, atunci pierderea oricărei fețe este considerată un rezultat la fel de posibil.
Din aceleași motive de simetrie, rezultatele unui astfel de experiment, cum ar fi îndepărtarea bine amestecate și care nu se pot distinge la atingere, sunt considerate la fel de posibile, astfel încât, după înregistrarea culorii, fiecare minge este returnată înapoi în vas și, după o minuțiozitate. amestecând, următoarea bilă este îndepărtată.
Cel mai adesea, o astfel de simetrie este observată în experimente organizate artificial, cum ar fi jocurile de noroc.
Astfel, definiția clasică a probabilității este asociată cu conceptul de șanse egale și este folosită pentru experimente care se reduc la o schemă de caz. Pentru aceasta, este necesar ca evenimentele e1, e2, en să fie incompatibile, adică două dintre ele nu pot apărea împreună; astfel încât formează un grup complet, adică epuizează toate rezultatele posibile (nu poate fi ca rezultat al experienței să nu fi avut loc niciunul dintre ele); la fel de posibil, cu condiția ca experimentul să ofere aceeași posibilitate de apariție a fiecăruia dintre ele.
Nu orice experiment satisface schema de caz. Dacă condiția de simetrie este încălcată, atunci nu există o schemă de cazuri.
Formula (1.1), „formula clasică”, a fost folosită pentru a calcula probabilitățile evenimentelor încă de la începutul apariției științei fenomenelor aleatorii.
Acele experimente care nu au avut simetrie au fost „ajustate” pentru a se potrivi schemei cazurilor. În prezent, împreună cu „formula clasică”, există metode de calculare a probabilităților atunci când experimentul nu este redus la o schemă de cazuri. În acest scop, se utilizează definiția statistică a probabilității.
Conceptul de probabilitate statistică va fi introdus mai târziu, dar acum să revenim la formula clasică.
Luați în considerare următoarele exemple.
Exemplul 1. Experimentul constă în aruncarea a două monede. Găsiți probabilitatea ca cel puțin o stemă să apară.
Soluţie. Eveniment aleatoriu A - apariția a cel puțin unei steme.
Spațiul evenimentelor elementare din acest experiment este determinat de următoarele rezultate: E = (GG, GR, RG, RR), care sunt desemnate respectiv e1, e2, e3, e4. Astfel,
E=e1, e2, e3, e4; n=4.
Este necesar să se determine numărul de rezultate din E care favorizează apariția lui A. Acestea sunt e1, e2, e3; numărul lor este m=3.
Folosind formula clasică pentru determinarea probabilității evenimentului A, avem
Exemplul 2. Într-o urnă sunt 3 bile albe și 4 negre. Din urnă se extrage o minge. Găsiți probabilitatea ca această minge să fie albă.
Soluţie. Eveniment aleatoriu A - apariția unei mingi albe. Spațiul evenimentelor elementare E include rezultatele e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, unde ei este apariția unei mingi (albă sau neagră);
E=(e1, e2, e3, e4, 5, e6, e7), n=7.
Un eveniment aleatoriu A din spațiul E este favorizat de 3 rezultate; m=3. Prin urmare,
Exemplul 3. Într-o urnă sunt 3 bile albe și 4 negre. Din urnă se extrag două bile. Găsiți probabilitatea ca ambele să fie albe.
Soluţie. Evenimentul aleatoriu A - ambele bile vor fi albe.
Exemplul 3 diferă de exemplul 2 prin aceea că în exemplul 3 rezultatele care alcătuiesc spațiul rezultatelor elementare E nu vor fi bile individuale, ci combinații de 7 bile cu 2. Adică, pentru a determina dimensiunea lui E, este necesar pentru a determina numărul de combinații de 7 cu 2. Pentru a face acest lucru, trebuie să utilizați formule combinatorice, care sunt date în secțiunea „Metoda combinatorie”. În acest caz, pentru a determina numărul de combinații de la 7 la 2, se utilizează formula pentru a determina numărul de combinații
întrucât alegerea se face fără a reveni și ordinea în care apar bilele este lipsită de importanță. Astfel,
Numărul de combinații favorabile pentru apariția evenimentului A este definit ca
Prin urmare, .
Definiția statistică a probabilității
Când vă uitați la rezultatele testelor individuale, este foarte dificil să găsiți modele. Cu toate acestea, într-o succesiune de teste identice, este posibil să se detecteze stabilitatea unor caracteristici medii. Frecvența oricărui eveniment dintr-o serie dată de n încercări este raportul m/n, numărul m al acelor încercări în care a avut loc evenimentul A, la numărul total de încercări n. În aproape fiecare serie suficient de lungă de teste, frecvența evenimentului A este stabilită în jurul unei anumite valori, care este considerată probabilitatea evenimentului A. Stabilitatea valorii frecvenței este confirmată de experimente speciale. Modelele statistice de acest fel au fost descoperite pentru prima dată folosind exemplul jocurilor de noroc, adică folosind exemplul acelor teste care se caracterizează prin posibilitatea de rezultate. Acest lucru a deschis calea unei abordări statistice a determinării numerice a probabilității când condiția de simetrie a experimentului este încălcată. Frecvența evenimentului A se numește probabilitate statistică, care se notează
unde mA este numărul de experimente în care a apărut evenimentul A;
n este numărul total de experimente.
Formulele (1.1) și (1.2) pentru determinarea probabilității sunt superficial similare, dar sunt în esență diferite. Formula (1.1) servește la calcularea teoretică a probabilității unui eveniment în condiții experimentale date. Formula (1.2) servește la determinarea experimentală a frecvenței unui eveniment. Pentru a utiliza formula (1.2), este nevoie de material statistic cu experiență.
Abordare axiomatică pentru determinarea probabilității
A treia abordare pentru determinarea probabilității este abordarea axiomatică, în care probabilitățile sunt specificate prin enumerarea proprietăților lor.
Definiția axiomatică acceptată a probabilității a fost formulată în 1933 de A. N. Kolmogorov. În acest caz, probabilitatea este specificată ca o funcție numerică P(A) pe mulțimea tuturor evenimentelor determinate de un experiment dat, care satisface următoarele axiome:
P(A)=1, dacă A este un eveniment de încredere.
Dacă A și B sunt inconsecvente.
Proprietățile de bază ale probabilității
Pentru fiecare eveniment aleator A se determină probabilitatea acestuia și.
Pentru un eveniment de încredere U, egalitatea P(U)=1 este valabilă din definiția probabilității.
Dacă evenimentele A și B sunt incompatibile, atunci probabilitatea sumei evenimentelor este egală cu suma probabilităților lor. Această proprietate se numește formula pentru adăugarea probabilităților într-un anumit caz (pentru evenimente incompatibile).
Pentru evenimentele arbitrare A și B
Această proprietate se numește formula de adunare a probabilităților în cazul general.
Pentru evenimentele opuse A, egalitatea este valabilă.
În plus, este introdus, desemnat, un eveniment imposibil, care nu este promovat de niciun rezultat din spațiul evenimentelor elementare. Probabilitatea unui eveniment imposibil este 0, P()=0.
Exemplu. Probabilitatea ca o familie selectată aleatoriu ca urmare a unui sondaj să aibă televizoare color, alb-negru sau color și, respectiv, alb-negru este de 0,86; 0,35; 0,29. Care este probabilitatea ca o familie să aibă un televizor color sau alb-negru?
Soluţie. Fie evenimentul A că familia are un televizor color.
Evenimentul B este că familia are un televizor alb-negru.
Evenimentul C este că familia are fie un televizor color, fie alb-negru. Evenimentul C este definit prin A și B sub forma, A și B sunt compatibile, prin urmare
Metoda combinatorie
În multe probleme de probabilitate, este necesar să se enumere toate rezultatele posibile ale unui experiment sau evenimente elementare care sunt posibile într-o situație dată sau să se calculeze numărul acestora. Pentru a face acest lucru, puteți folosi următoarele reguli.
Regula 1. Dacă o operație constă din doi pași, în care primul se poate face în n1 moduri și al doilea se poate face în n2 moduri, atunci întreaga operație se poate face în n1·n2 moduri.
Cuvântul „operație” se referă la orice procedură, proces sau metodă la alegere.
Pentru a confirma această regulă, luăm în considerare o operație care constă din pașii xi și yi, pasul x poate fi efectuat în n1 moduri, adică. , pasul y poate fi efectuat în n2 moduri, adică. , atunci seria tuturor căilor posibile poate fi reprezentată prin următoarele n1n2 perechi:
Exemplu. Câte rezultate posibile există într-un experiment care implică aruncarea a două zaruri?
Soluţie. Prin x și y în acest caz înțelegem pierderea oricărei fețe pe primul zar și pe al doilea zar. Pierderea unei fețe pe primul zar este posibilă în șase moduri xi, ; Fața celui de-al doilea zar poate cădea și în șase moduri xj, .
Total căi posibile 6,6=36.
Regula 2. Dacă o operațiune constă din k pași, în care primul se poate face în n1 moduri, al doilea în n2 moduri, a treia în n2 moduri etc., k-a feluri, atunci întreaga operație se poate face în n1·n2…nk pași .
Exemplu. Inspectorul de calitate dorește să selecteze o piesă din fiecare dintre cele patru containere care conțin 4, 3, 5 și, respectiv, 4 părți. În câte moduri poate face asta?
Soluţie. Numărul total de căi este determinat ca 4·3·5·4=240.
Exemplu. În câte moduri posibile poate un student să răspundă la un test de 20 de întrebări dacă poate răspunde „da” sau „nu” la fiecare întrebare?
Soluţie. Toate căile posibile 2·2...2=220=1048576.
Adesea, în practică, apare o situație în care obiectele trebuie comandate.
De exemplu: în câte moduri diferite pot sta 6 persoane în jurul unei mese? Aranjamentele lor diferite se numesc permutări.
Exemplu. Câte permutări sunt posibile pentru literele a, b, c?
Soluţie. Posibile locatii abc, acb, bac, bca, cab, cba. Numărul de locații posibile este de șase.
Generalizând acest exemplu, pentru n obiecte există doar n·(n-1)(n-2)…3 ·2 ·1 moduri diferite sau n!, adică numărul de permutări n!=1·2·3... · (n-2)(n-1)n, cu 0!=1.
Regula 3. Numărul de permutări a n obiecte diferite este egal cu n!.
Exemplu. Numărul de permutări a patru litere este 4!=24, dar ce număr de permutări se va obține dacă alegeți 2 litere din patru?
Soluţie. Trebuie să completăm două posturi de patru litere. Pentru prima pozitie - 4 cai, pentru a doua pozitie - 3 cai. Prin urmare, folosind regula 1, avem 4·3=12.
Generalizând acest exemplu la n obiecte diferite, din care sunt selectate r obiecte fără a reveni pentru r > 0, în total sunt n(n-1)...(n-r+1). Notăm acest număr, iar combinațiile rezultate se numesc plasări.
Regula 4. Numărul de plasări de n obiecte de către r este definit ca
(pentru r = 0,1,...,n).
Permutările în care obiectele sunt aranjate într-un cerc se numesc permutări circulare. Două permutări circulare nu sunt diferite (dar contează ca una singură) dacă obiectele corespunzătoare din cele două aranjamente au aceleași obiecte în stânga și în dreapta.
De exemplu: dacă patru oameni joacă bridge, nu vom obține aranjamente diferite dacă toți jucătorii mută un scaun la dreapta.
Exemplu. Câte permutări circulare sunt posibile de la patru oameni care joacă bridge? Soluţie. Dacă luăm în mod arbitrar poziția unuia dintre cei patru jucători ca fiind fixă, îi putem poziționa pe ceilalți trei jucători 3! moduri, cu alte cuvinte, avem șase permutări circulare diferite.
Generalizând acest exemplu, obținem următoarea regulă.
Regula 5. Numărul de permutări a n obiecte diferite situate într-un cerc este (n-1)!.
Până acum s-a presupus că cele n obiecte din care selectăm r obiecte și formăm permutările sunt distincte. Astfel, formulele menționate mai devreme nu pot fi folosite pentru a determina numărul de moduri în care literele din cuvântul „carte” pot fi aranjate sau numărul de moduri în care pot fi aranjate trei exemplare ale unei novele și câte o copie a fiecăruia dintre celelalte patru romane. pe un raft.
Exemplu. Câte permutări diferite de litere există în cuvântul „carte”?
Soluţie. Dacă este important să distingem literele O, atunci le notăm O1, O2 și atunci vom avea 4!=24 permutări diferite de litere în O1, O2 și K. Totuși, dacă omitem indicii, atunci O1 O2 și O2 , O1 nu se mai disting, atunci permutările numărului total sunt egale.
Exemplu. În câte moduri diferite pot fi aranjate pe un raft trei copii ale unei novele și un exemplar al celorlalte patru romane?
Soluţie. Dacă desemnăm trei exemplare ale primei novele ca a1, a2, a3 și celelalte patru romane - b, c, d și e, atunci în acest caz avem 7! moduri diferite si 3! mod de a aranja a1, a2, a3.
Dacă omiteți indici, atunci există diferite moduri de a aranja copii.
Rezumând aceste argumente, obținem următoarea regulă.
Regula 6. Numărul de permutări a n obiecte în care n1 sunt de un fel, n2 sunt de al doilea fel, ..., nk sunt de al k-lea fel și n1+n2+...+nk=n,
Există multe probleme în care trebuie să determinați numărul de moduri de a selecta r obiecte din n obiecte diferite, indiferent de ordinea în care sunt selectate. Astfel de combinații se numesc combinații.
Exemplu. În câte moduri pot fi selectați trei candidați dintre 20 de persoane pentru un sondaj public?
Soluţie. Dacă ordinea este importantă pentru noi la selectarea candidaților, atunci numărul de combinații, dar fiecare rând de trei candidați poate fi selectat 3! În moduri; dacă ordinea selecției nu este importantă, atunci metodele de selecție totală.
Combinațiile fără a returna r obiecte de la n obiecte diferite care diferă în obiectele în sine, dar nu în ordinea lor, se numesc combinații.
Regula 7. Numărul de combinații de r obiecte din n obiecte diferite este determinat de număr, numărul de combinații poate fi notat ca.
Exemplu. În câte moduri diferite poți obține 2 capete și 4 cozi cu șase aruncări de monede?
Soluţie. Deoarece ordinea în care sunt obținute capete și cozi nu este importantă, atunci, aplicând regula 7, obținem.
Exemplu. Câte comitete diferite de doi chimiști și un fizician pot fi formate la facultatea unui mic colegiu cu 4 chimiști și 3 fizicieni?
Soluţie. Numărul de combinații de patru chimiști din 2 poate fi obținut în (șase) moduri.
Unul dintre cei trei fizicieni poate fi selectat în (trei) moduri.
Numărul de comisii, în conformitate cu regula 1, este determinat ca 6·3=18.
Exemplu. În câte moduri poate fi împărțit un rând de patru obiecte în trei rânduri care conțin două, unul și, respectiv, unul?
Soluţie. Să notăm aceste patru obiecte cu literele a, b, c, d. Numărul de împărțiri în două, unu și unul va fi 12:
O partiție a două obiecte poate fi obținută în moduri care oferă 6 posibilități. Numărul de moduri de a forma a doua partiție. Și pentru a treia partiție, numărul de moduri este 1.
Conform regulii 2, numărul total de metode de partiționare este (6·2·1)=12.
Generalizând acest exemplu, obținem următoarea regulă.
Regula 8. Numărul de moduri în care o serie de n obiecte diferite poate fi împărțită în k părți cu n1 obiecte în prima parte, n2 în a doua parte, ... și nk în kth este dat de
Exemplu. În câte moduri pot fi cazați 7 oameni de afaceri într-o cameră de hotel cu trei camere și două camere de hotel?
Soluţie. Conform Regulii 8, acest lucru se poate face în (două sute) moduri.
Dovada regulii 8
Deoarece n1 obiecte pot fi selectate în mai multe moduri, n2 poate fi selectat
Conform regulii 2, numărul total de căi va fi determinat în formular
Misiunea pentru muncă independentă
1. Zece cărți sunt așezate la întâmplare pe un raft. Determinați probabilitatea ca trei cărți specifice să fie în apropiere.
Răspuns: 0,066.
2. Trei cărți sunt extrase la întâmplare dintr-un pachet de cărți (52 de cărți). Găsiți probabilitatea ca acesta să fie un trei, un șapte și un as.
Răspuns: 0,0029.
3. Sunt cinci bilete în valoare de 1 rublă fiecare;
trei bilete care costă 3 ruble fiecare;
două bilete costă 5 ruble fiecare.
Trei bilete sunt selectate la întâmplare. Determinați probabilitatea ca:
a) cel puțin două dintre aceste bilete au același preț.
Răspuns: 0,75;
b) toate cele trei bilete costă 7 ruble.
Răspuns: 0,29.
4. Portofelul conține trei monede de 20 de copeici și șapte monede de 3 copeici. Se ia la întâmplare o monedă, apoi se scoate o a doua monedă de 20 de copeici.
Determinați probabilitatea ca prima monedă să aibă și o valoare nominală de 20 de copeici.
Răspuns: 0,22.
- 5. Din zece bilete de loterie, două sunt câștigătoare. Determinați probabilitatea ca dintre cinci bilete luate la întâmplare:
- a) unul câștigător;
- b) două câștigătoare;
- c) cel puțin unul câștigător.
Răspuns: 0,55, 0,22, 0,78.
6. În coș sunt n bile cu numere de la 1 la n, bilele se scot la întâmplare una câte una fără să se întoarcă. Care este probabilitatea ca în timpul primelor k extrageri, numerele bilelor să coincidă cu numerele extragerii.
Răspuns: (n - k)!/n!
Literatura folosita
- 1. http://kurs.ido.tpu.ru/courses/theory_ver/tema2/tema2.html
- 2. http://free.megacampus.ru/xbookM0018/index.html?go=part-003*page.htm
- 3. http://www.tetent.ru/publ/studenty/vysshaja_matematika/klassicheskoe_opredelenie_verojatnosti/35-1-0-1121
- 4. http://ru.wikipedia.org/
- 5. http://www.kolasc.net.ru/cdo/books/tv/page15.html
Definiția clasică și statistică a probabilității. Probabilitate geometrică.
Conceptul principal al teoriei probabilităților este conceptul de eveniment aleatoriu. Un eveniment aleatoriu este un eveniment care, dacă sunt îndeplinite anumite condiții, poate să apară sau nu. De exemplu, lovirea unui anumit obiect sau ratarea când trageți asupra acestui obiect dintr-o anumită armă este un eveniment aleatoriu.
Un eveniment se numește fiabil dacă apare cu siguranță ca rezultat al testului. Un eveniment care nu poate avea loc ca urmare a unui test este numit imposibil.
Se spune că evenimentele aleatoare sunt inconsecvente într-un studiu dat dacă nu pot avea loc două dintre ele împreună.
Evenimentele aleatoare formează un grup complet dacă în timpul fiecărei încercări poate apărea oricare dintre ele și nu poate apărea niciun alt eveniment care nu este în concordanță cu ele.
Să luăm în considerare grupul complet de evenimente aleatoare incompatibile la fel de posibile. Vom numi astfel de evenimente rezultate. Se spune că un rezultat favorizează apariția evenimentului A dacă apariția acestui eveniment implică apariția evenimentului A.
Probabilitatea evenimentului A este raportul dintre numărul m de rezultate favorabile acestui eveniment și numărul total n al tuturor rezultatelor elementare incompatibile la fel de posibile care formează un grup complet
Probabilitatea geometrică este o modalitate de a specifica probabilitatea; fie Ω o mulțime mărginită de spațiu euclidian având volumul λ(Ω) (respectiv lungimea sau aria într-o situație unidimensională sau bidimensională), fie ω un punct luat la întâmplare din Ω, fie probabilitatea ca un punct să fie luat dintr-o submulțime să fie proporțională cu volumul său λ (x), atunci probabilitatea geometrică a unei submulțimi este definită ca raportul dintre volume: definiția geometrică a probabilității este adesea folosită în metodele Monte Carlo, de exemplu, pentru a aproxima valorile de integrale definite multiple.
Teoreme de adunare și înmulțire a probabilității
Teoreme de adunare și înmulțire a probabilității
Suma a două evenimente A și B este un eveniment C, constând în apariția a cel puțin unuia dintre evenimentele A sau B.
Teorema de adunare a probabilității
Probabilitatea sumei a două evenimente incompatibile este egală cu suma probabilităților acestor evenimente:
P (A + B) = P (A) + P (B).
În cazul în care evenimentele A și B sunt comune, adevărul sumei lor este exprimată prin formula
P (A + B) = P (A) + P (B) – P (AB),
unde AB este produsul evenimentelor A și B.
Două evenimente sunt numite dependente dacă probabilitatea unuia dintre ele depinde de apariția sau neapariția celuilalt. în cazul evenimentelor dependente se introduce conceptul de probabilitate condiționată a unui eveniment.
Probabilitatea condiționată P(A/B) a evenimentului A este probabilitatea evenimentului A, calculată cu condiția ca evenimentul B să fi avut loc. În mod similar, P(B/A) denotă probabilitatea condiționată a evenimentului B, cu condiția ca evenimentul A să fi avut loc.
Produsul a două evenimente A și B este un eveniment C, constând din apariția comună a evenimentului A și evenimentului B.
Teorema înmulțirii probabilităților
Probabilitatea apariției a două evenimente este egală cu probabilitatea unuia dintre ele înmulțită cu probabilitatea condiționată a celuilalt în prezența primului:
P (AB) = P (A) · P (B/A), sau P (AB) = P (B) · P (A/B).
Consecinţă. Probabilitatea apariției comune a două evenimente independente A și B este egală cu produsul probabilităților acestor evenimente:
P (AB) = P (A) · P (B).
Consecinţă. Când se efectuează n încercări independente identice, în fiecare din care evenimentul A apare cu probabilitatea p, probabilitatea ca evenimentul A să apară cel puțin o dată este 1 - (1 - p)n
Probabilitatea ca cel puțin un eveniment să se producă. Exemplu. Formula Bayes.
Probabilitatea de a face cel puțin o greșeală pe o pagină de caiet este p=0,1. Caietul are 7 pagini scrise. Care este probabilitatea P ca să existe cel puțin o greșeală în caiet?
Probabilitatea apariției evenimentului A, constând din evenimentele A1, A2,..., Аn, independente în agregat, este egală cu diferența dintre unitate și produsul probabilităților evenimentelor opuse Ǡ1, Ǡ2, ... Ǡn.
P(A) = 1 - q1q2…qn
Probabilitatea evenimentului opus este q = 1 - p.
În special, dacă toate evenimentele au aceeași probabilitate egală cu p, atunci probabilitatea apariției a cel puțin unuia dintre aceste evenimente este egală cu:
Р(А) = 1 – qn = 1 – (1 – p)n = 1 – (1 – 0,1)7 = 0,522
Răspuns: 0,522
Formula Bayes.
Să presupunem că un experiment este în curs de desfășurare și se pot exprima n ipoteze posibile și incompatibile cu probabilități despre condițiile de desfășurare a acestuia Fie ca rezultat al experimentului A poate să apară sau nu și se știe că dacă experimentul are loc atunci când ipoteza este îndeplinită, atunci întrebarea este, cum va fi probabilitatea ipotezelor dacă se știe că evenimentul A a avut loc? Cu alte cuvinte, ne interesează valorile de probabilitate Pe baza relațiilor (4) și (5), avem 
Dar conform formulei probabilităţii totale Prin urmare 
Formula (12) se numește formula lui Bayes*.
6.Formula Bernoulli. Exemple.
Formula lui Bernoulli este o formulă în teoria probabilității care vă permite să găsiți probabilitatea apariției evenimentului A în timpul încercărilor independente. Formula lui Bernoulli vă permite să scăpați de un număr mare de calcule - adunarea și multiplicarea probabilităților - cu un număr suficient de mare de teste. Numit după remarcabilul matematician elvețian Jacob Bernoulli, care a derivat formula.
Formulare
Teorema: Dacă Probabilitatea p de apariție a evenimentului A în fiecare încercare este constantă, atunci probabilitatea ca evenimentul A să se producă de k ori în n încercări independente este egală cu: unde. .
Dovada
Deoarece, ca urmare a testelor independente efectuate în condiții identice, un eveniment are loc cu probabilitate, deci evenimentul opus cu probabilitate 
Să notăm apariția unui eveniment într-o încercare cu un număr Deoarece condițiile experimentelor sunt aceleași, aceste probabilități sunt egale. Lăsați un eveniment să aibă loc o dată ca rezultat al experimentelor, apoi celelalte ori acest eveniment nu are loc. Un eveniment poate apărea o dată în încercări în diferite combinații, al căror număr este egal cu numărul de combinații de elemente prin. Acest număr de combinații se găsește prin formula: 
În acest caz, probabilitatea fiecărei combinații este egală cu produsul probabilităților: 
Aplicând teorema adunării probabilităților evenimentelor incompatibile, obținem formula Bernoulli finală:
Teoreme locale și integrale ale lui Laplace. Exemple.
Teoreme locale și integrale ale lui Laplace
Teorema Laplace locală. Probabilitatea ca în n încercări independente, în fiecare dintre ele probabilitatea ca un eveniment să se producă este egală cu p(0< р < 1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна (тем точнее, чем больше n) 
Pentru a determina valorile lui φ(x), puteți folosi un tabel special.
Teorema integrală a lui Laplace. Probabilitatea ca în n încercări independente, în fiecare dintre ele probabilitatea ca un eveniment să se producă este egală cu p(0< р < 1), событие наступит не менее k1 раз и не более k2 раз, приближенно равна
P(k1;k2)=Φ(x"") - Φ(x")
Aici 
-Funcția Laplace Valorile funcției Laplace sunt găsite folosind un tabel special.
Exemplu. Găsiți probabilitatea ca evenimentul A să se producă exact de 70 de ori în 243 de încercări dacă probabilitatea ca acest eveniment să apară în fiecare încercare este 0,25.
Soluţie. Conform condiţiei, n=243; k = 70; p = 0,25; q= 0,75. Deoarece n=243 este un număr destul de mare, folosim teorema locală a lui Laplace: 
unde x = (k-np)/ √npq.
Să aflăm valoarea lui x Din tabelul n găsim f(1,37) = 0,1561. Probabilitate necesară
P(243)(70) = 1/6,75*0,1561 =0,0231.
Caracteristicile numerice ale mărimilor discrete. Exemple
Caracteristicile numerice ale variabilelor aleatoare discrete
Legea distribuției caracterizează pe deplin variabila aleatoare. Cu toate acestea, atunci când este imposibil să găsiți legea distribuției sau acest lucru nu este necesar, vă puteți limita la găsirea unor valori numite caracteristici numerice ale unei variabile aleatorii. Aceste valori determină o valoare medie în jurul căreia sunt grupate valorile variabilei aleatoare și gradul în care sunt împrăștiate în jurul acestei valori medii.
Definiţie. Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare discrete este suma produselor tuturor valorilor posibile ale variabilei aleatoare și probabilitățile acestora.
Așteptările matematice există dacă seria din partea dreaptă a egalității converge absolut.
Din punct de vedere al probabilității, putem spune că așteptarea matematică este aproximativ egală cu media aritmetică a valorilor observate ale variabilei aleatoare.
Puncte teoretice. Exemple.
Ideea acestei metode este de a echivala punctele teoretice și empirice. Așa că vom începe prin a discuta aceste concepte.
Lasă 
-- eșantionare independentă dintr-o distribuție în funcție de un parametru necunoscut 
Momentul teoretic al ordinului --lea este funcția 
unde este o variabilă aleatoare cu o funcție de distribuție. Remarcăm în special că momentul teoretic este o funcție a parametrilor necunoscuți, deoarece distribuția depinde de acești parametri. Vom presupune că există așteptări matematice, cel puțin pentru momentul empiric de ordinul al treilea se numește 
Rețineți că, prin definiție, momentele empirice sunt funcții ale eșantionului. Rețineți că 
-- aceasta este media eșantionului bine-cunoscută.
Pentru a găsi estimări ale parametrilor necunoscuți folosind metoda momentelor, ar trebui:
calculați în mod explicit momentele teoretice și compuneți următorul sistem de ecuații pentru variabile necunoscute
În acest sistem, parametrii sunt considerați fiși.
Rezolvați sistemul (35) cu privire la variabile Deoarece partea dreaptă a sistemului depinde de eșantion, rezultatul vor fi funcții de 
Acestea sunt estimările parametrilor necesari folosind metoda momentelor.
12. Inegalitatea lui Cebyshev. Legea numerelor mari.
Inegalitatea Chebyshev, cunoscută și sub numele de inegalitatea Bienaime-Chebyshev, este o inegalitate comună în teoria măsurării și teoria probabilității. A fost obținut pentru prima dată de Bienaime (franceză) în 1853, iar mai târziu tot de Cebyshev. Inegalitatea folosită în teoria măsurării este mai generală teoria probabilității își folosește corolarul.
Teoria inegalității lui Cebyshev în măsurare
Inegalitatea lui Cebyshev în teoria măsurării descrie relația dintre integrala Lebesgue și măsură. Un analog al acestei inegalități în teoria probabilității este inegalitatea lui Markov. Inegalitatea lui Cebyshev este folosită și pentru a demonstra încadrarea unui spațiu într-un spațiu slab
Formulări
Să fie un spațiu cu măsură. Lasa si
Însumabil după funcție
Atunci următoarea inegalitate este adevărată:
Mai general:
Dacă este o funcție măsurabilă reală nenegativă nedescrescătoare pe domeniul definiției, atunci în termeni de spațiu Fie Atunci
Inegalitatea lui Cebyshev în teoria probabilităților
Inegalitatea lui Chebyshev în teoria probabilității afirmă că o variabilă aleatorie ia în general valori apropiate de medie. Mai precis, oferă o estimare a probabilității ca o variabilă aleatorie să ia o valoare departe de medie. Inegalitatea lui Cebyshev este o consecință a inegalității lui Markov.
Formulări
Fie definită o variabilă aleatoare într-un spațiu de probabilitate, iar așteptarea și varianța ei matematică sunt finite. Apoi 
unde Dacă , unde este abaterea standard și , atunci obținem 
În special, o variabilă aleatoare cu varianță finită se abate de la medie cu mai mult decât abaterile standard cu probabilitate mai mică decât Se abate de la medie prin abateri standard cu probabilitate mai mică decât .
Legea numerelor mari
Conceptele de bază ale teoriei probabilităților sunt conceptele unui eveniment aleatoriu și ale unei variabile aleatorii. În același timp, este imposibil să se prezică în prealabil rezultatul unui test în care acest sau acel eveniment sau orice valoare specifică a unei variabile aleatoare poate sau nu să apară, deoarece rezultatul testului depinde de multe motive aleatorii care nu pot apărea. să fie luate în considerare.
Cu toate acestea, atunci când testele sunt repetate de mai multe ori, se observă modele caracteristice fenomenelor aleatorii masive. Aceste modele au proprietatea de stabilitate. Esența acestei proprietăți este că caracteristicile specifice ale fiecărui fenomen aleatoriu individual nu au aproape niciun efect asupra rezultatului mediu al unei mase mari de fenomene similare, iar caracteristicile evenimentelor aleatoare și variabilelor aleatoare observate în teste, cu o creștere nelimitată a numărul de teste, devin practic nealeatoriu.
Să se efectueze o serie mare de experimente de același tip. Rezultatul fiecărei experiențe individuale este aleatoriu și incert. Cu toate acestea, în ciuda acestui fapt, rezultatul mediu al întregii serii de experimente își pierde caracterul aleatoriu și devine natural.
Pentru practică, este foarte important să cunoaștem condițiile în care acțiunea combinată a mai multor cauze aleatoare duce la un rezultat aproape independent de întâmplare, deoarece permite să se prevadă cursul fenomenelor. Aceste condiții sunt indicate în teoreme, care se numesc în general legea numerelor mari.
Legea numerelor mari nu trebuie înțeleasă ca o lege generală asociată cu numerele mari. Legea numerelor mari este un nume generalizat pentru mai multe teoreme, din care rezultă că, cu o creștere nelimitată a numărului de încercări, valorile medii tind spre anumite constante.
Acestea includ teoremele lui Cebyshev și Bernoulli. Teorema lui Cebyshev este cea mai generală lege a numerelor mari, teorema lui Bernoulli este cea mai simplă.
Demonstrarea teoremelor, unită prin termenul „legea numerelor mari”, se bazează pe inegalitatea lui Cebyshev, care stabilește probabilitatea abaterii de la așteptările sale matematice: 
Formulare matematică
Este necesar să se determine maximul funcției obiectiv liniar (forma liniară) în condiții 
Uneori i se impune și un anumit set de restricții sub formă de egalități, dar puteți scăpa de ele exprimând secvențial o variabilă în termenii altora și substituind-o în toate celelalte egalități și inegalități (precum și în funcție) . O astfel de problemă se numește problemă „de bază” sau „standard” în programarea liniară.
O metodă geometrică pentru rezolvarea problemelor de programare liniară pentru două variabile. Exemplu.
Domeniul soluției pentru o inegalitate liniară în două variabile 
este un semiplan. Pentru a determina care dintre cele două semiplanuri corespunde acestei inegalități, este necesar să o reduceți la forma sau Apoi semiplanul dorit în primul caz este situat deasupra dreptei a0 + a1x1 + a2x2 = 0 și în al doilea - sub el. Dacă a2=0, atunci inegalitatea (8) are forma 
; în acest caz obținem fie un semiplan drept, fie un semiplan stâng.
Domeniul de soluție al unui sistem de inegalități este intersecția unui număr finit de semiplanuri descrise de fiecare inegalitate individuală. Această intersecție reprezintă o regiune poligonală G. Poate fi fie mărginită, fie nemărginită, și chiar goală (dacă sistemul de inegalități este inconsecvent). 
Orez. 2
Domeniul soluției G are proprietatea importantă a convexității. O regiune se numește convexă dacă oricare două dintre punctele sale pot fi conectate printr-un segment care aparține în întregime regiunii date. În fig. 2 prezintă regiunea convexă G1 și regiunea neconvexă G2. În regiunea G1, două dintre punctele sale arbitrare A1 și B1 pot fi conectate printr-un segment, toate punctele care aparțin regiunii G1. În regiunea G2, se pot alege două dintre punctele sale A2 și B2 astfel încât nu toate punctele segmentului A2B2 să aparțină regiunii G2.
O linie de referință este o linie care are cel puțin un punct comun cu regiunea, iar întreaga regiune este situată pe o parte a acestei linii. În fig. Figura 2 prezintă două linii de sprijin l1 și l2, adică în acest caz liniile trec prin vârful poligonului și, respectiv, printr-una dintre laturile acestuia.
În mod similar, putem da o interpretare geometrică a unui sistem de inegalități cu trei variabile. În acest caz, fiecare inegalitate descrie un semi-spațiu, iar întregul sistem este intersecția semi-spațiilor, adică un poliedru care are și proprietatea convexității. Aici planul de referință trece printr-un vârf, muchie sau față a unei regiuni poliedrice.
Pe baza conceptelor introduse, vom avea în vedere o metodă geometrică pentru rezolvarea unei probleme de programare liniară. Să fie dată o funcție obiectiv liniară f = c0 + c1x1 + c2x2 a două variabile independente, precum și un sistem comun de inegalități liniare care descrie domeniul soluției G. Se cere să se găsească dintre soluțiile fezabile una la care funcția obiectiv liniară. f ia cea mai mică valoare.
Să setăm funcția f egală cu o valoare constantă C: f = c0 + c1x1 + c2x2 = C. Această valoare se realizează în punctele dreptei care satisfac ecuația Când această dreaptă este transferată paralel în direcția pozitivă a normalei vector n(c1,c2), funcția liniară f va crește, iar când este transferată în sens opus, scade.
Să presupunem că dreapta scrisă sub forma (9), cu translație paralelă în direcția pozitivă a vectorului n, întâlnește mai întâi regiunea soluțiilor fezabile G la unele dintre vârfurile sale, iar valoarea funcției obiectiv este egală. la C1, iar linia dreaptă devine cea de referință. Atunci valoarea lui C1 va fi minimă, deoarece mișcarea ulterioară a liniei în aceeași direcție va duce la o creștere a valorii lui f.
Astfel, optimizarea unei funcții obiectiv liniare pe un poligon de soluții fezabile are loc în punctele de intersecție ale acestui poligon cu liniile de referință corespunzătoare acestei funcție obiectiv. În acest caz, intersecția poate fi într-un punct (la vârful poligonului) sau la un număr infinit de puncte (pe marginea poligonului).
Algoritm metoda simplex pentru rezolvarea unei probleme generale de programare liniară. Masă.
Algoritmi de rezolvare
Cea mai cunoscută și utilizată pe scară largă în practică pentru rezolvarea unei probleme de programare liniară generală (LP) este metoda simplex. În ciuda faptului că metoda simplex este un algoritm destul de eficient care a dat rezultate bune în rezolvarea problemelor aplicate LP, este un algoritm cu complexitate exponențială. Motivul pentru aceasta este natura combinatorie a metodei simplex, care enumeră secvenţial vârfurile poliedrului de soluţii fezabile atunci când se caută soluţia optimă.
Primul algoritm polinomial, metoda elipsoidului, a fost propus în 1979 de matematicianul sovietic L. Khachiyan, rezolvând astfel o problemă care rămăsese nerezolvată multă vreme. Metoda elipsoidală are o natură complet diferită, necombinatorie decât metoda simplex. Cu toate acestea, din punct de vedere computațional, această metodă s-a dovedit a fi nepromițătoare. Cu toate acestea, însuși faptul complexității polinomiale a problemelor a condus la crearea unei întregi clase de algoritmi LP eficienți - metode de punct interior, primul dintre care a fost algoritmul lui N. Karmarkar, propus în 1984. Algoritmii de acest tip folosesc o interpretare continuă a problemei LP, când, în loc să enumere vârfurile poliedrului pentru soluții la problema LP, se efectuează o căutare de-a lungul traiectoriilor în spațiul variabilelor problemă care nu trec prin vârfuri. a poliedrului. Metoda punctului interior, care, spre deosebire de metoda simplex, traversează puncte din interiorul regiunii fezabile, utilizează metode de programare neliniară cu barieră logartică dezvoltate în anii 1960 de Fiacco și McCormick.
24.Cazuri speciale în metoda simplex: soluție degenerată, set infinit de soluții, lipsă de soluție. Exemple.
Utilizarea metodei bazei artificiale pentru a rezolva o problemă generală de programare liniară. Exemplu.
Metoda pe bază artificială.
Metoda bazei artificiale este utilizată pentru a găsi o soluție de bază admisibilă la o problemă de programare liniară atunci când condiția conține constrângeri de tip egalitate. Să luăm în considerare problema:
max(F(x)=∑cixi|∑ajixi=bj, j=1,m; xi≥0).
Așa-numitele „variabile artificiale” Rj sunt introduse în constrângeri și în funcția de obiectiv după cum urmează:
∑ajix+Rj=bj, j=1,m;F(x)=∑cixi-M∑Rj
La introducerea variabilelor artificiale în metoda bazei artificiale în funcția obiectiv, li se atribuie un coeficient M suficient de mare, care are semnificația unei penalități pentru introducerea variabilelor artificiale. În cazul minimizării, la funcția de obiectiv se adaugă variabile artificiale cu un coeficient M. Introducerea variabilelor artificiale este permisă dacă, în procesul de rezolvare a problemei, acestea dispar succesiv.
Un tabel simplex, care este compilat în timpul procesului de soluție folosind metoda bazei artificiale, se numește extins. Diferă de cea obișnuită prin faptul că conține două linii pentru funcția scop: una pentru componenta F = ∑cixi, iar cealaltă pentru componenta M ∑Rj Să luăm în considerare procedura de rezolvare a problemei folosind un exemplu specific.
Exemplul 1. Găsiți maximul funcției F(x) = -x1 + 2x2 - x3 sub restricțiile:
x1≥0, x2≥0, x3≥0.
Să folosim metoda bazei artificiale. Să introducem variabile artificiale în constrângerile problemei
2x1 + 3x2 + x3 + R1 = 3;
x1 + 3x3 + R2 = 2 ;
Funcția obiectivă F(x)-M ∑Rj= -x1 + 2x2 - x3 - M(R1+R2).
Să exprimăm suma R1 + R2 din sistemul de restricții: R1 + R2 = 5 - 3x1 - 3x2 - 4x3, apoi F(x) = -x1 + 2x2 - x3 - M(5 - 3x1 - 3x2 - 4x3) .
La compilarea primului tabel simplex (Tabelul 1), vom presupune că variabilele originale x1, x2, x3 sunt nebaze, iar variabilele artificiale introduse sunt de bază. În problemele de maximizare, semnul coeficienților pentru variabilele nebazice din rândurile F și M este inversat. Semnul valorii constante în linia M nu se modifică. Optimizarea se realizează mai întâi de-a lungul liniei M. Selectarea coloanelor și rândurilor principale, toate transformările simplex atunci când se utilizează metoda bazei artificiale se efectuează ca în metoda simplex obișnuită. 
Coeficientul negativ maxim în valoare absolută (-4) determină coloana principală și variabila x3, care va intra în bază. Raportul minim simplex (2/3) corespunde celui de-al doilea rând al tabelului, prin urmare, variabila R2 trebuie exclusă din bază. Se conturează elementul conducător. 
În metoda bazei artificiale, variabilele artificiale excluse din bază nu mai sunt returnate acesteia, deci coloanele de elemente ale unor astfel de variabile sunt omise. Masă 2. scăzut cu 1 coloană. Efectuând o recalculare a acestui tabel, trecem la tabel. 3., în care linia M a fost resetată, poate fi eliminată. După eliminarea tuturor variabilelor artificiale din bază, obținem o soluție de bază admisibilă pentru problema inițială, care în exemplul luat în considerare este optimă:
x1=0; x2=7/9; Fmax=8/9.
Dacă, la eliminarea șirului M, soluția nu este optimă, atunci procedura de optimizare continuă și se efectuează folosind metoda simplex obișnuită. Să luăm în considerare un exemplu în care există restricții de toate tipurile: ≤,=,≥
Probleme de programare liniară simetrică duală. Exemplu.
Definiția unei probleme duale
Fiecare problemă de programare liniară poate fi asociată într-un anumit fel cu o altă problemă (programare liniară), numită duală sau conjugată în raport cu problema originală sau directă. Să definim problema duală în raport cu problema generală de programare liniară, care, după cum știm deja, constă în găsirea valorii maxime a unei funcții în condițiile
se numește dual la problema (32)–(34). Problemele (32) – (34) și (35) – (37) formează o pereche de probleme, numită pereche duală în programarea liniară. Comparând cele două probleme formulate, vedem că problema duală este compusă după următoarele reguli:
1. Funcția țintă a problemei inițiale (32) – (34) este setată la maxim, iar funcția țintă a problemei duale (35) – (37) este setată la minim.
2. Matrice 
compus din coeficienți pentru necunoscute în sistemul de constrângeri (33) al problemei inițiale (32) – (34), și o matrice similară 
în problema duală (35) – (37) se obțin unul de la celălalt prin transpunere (adică înlocuirea rândurilor cu coloane și coloanelor cu rânduri).
3. Numărul de variabile din problema duală (35) – (37) este egal cu numărul de restricții din sistemul (33) al problemei inițiale (32) – (34) și cu numărul de restricții din sistem (36) a problemei duale este egal cu numărul de variabile din problema inițială.
4. Coeficienții necunoscutelor în funcția obiectiv (35) a problemei duale (35) – (37) sunt termenii liberi din sistemul (33) ai problemei inițiale (32) – (34), iar dreptul -laturile din relatiile sistemului (36) ale problemei duale sunt coeficienti pentru necunoscutele in functia obiectiv (32) a problemei initiale.
5. Dacă variabila xj a problemei inițiale (32) – (34) poate lua numai valori pozitive, atunci a j a condiție din sistemul (36) a problemei duale (35) – (37) este o inegalitate de formă „? " Dacă variabila xj poate lua atât valori pozitive, cât și negative, atunci 1 – relația din sistemul (54) este o ecuație. Legături similare au loc între restricțiile (33) ale problemei inițiale (32) – (34) și variabilele problemei duale (35) – (37). Dacă i – relația din sistemul (33) a problemei inițiale este o inegalitate, atunci variabila i-a a problemei duale . În caz contrar, variabila уj poate lua atât valori pozitive, cât și negative.
Perechile duble de probleme sunt de obicei împărțite în simetrice și asimetrice. Într-o pereche simetrică de probleme duale, constrângerile (33) ale problemei directe și relațiile (36) ale problemei duale sunt inegalități de forma „ ”. Astfel, variabilele ambelor probleme pot lua doar valori nenegative.
Relația dintre variabilele problemelor directe și duale. Exemplu.
30.Interpretarea economică a problemelor duale. Semnificația estimărilor zero în rezolvarea unei probleme economice. Exemple.
Problema inițială am avut o semnificație economică specifică: variabilele principale xi desemnau cantitatea de produse produse de tipul i-lea, variabilele suplimentare indicau cantitatea de surplus al tipului corespunzător de resursă, fiecare dintre inegalitățile exprimau consumul unui anumit tip de materie primă în comparație cu furnizarea acestei materii prime. Funcția obiectiv a determinat profitul din vânzarea tuturor produselor. Să presupunem acum că întreprinderea are posibilitatea de a vinde materiile prime pe plan extern. Ce preț minim ar trebui stabilit pentru o unitate din fiecare tip de materie primă, cu condiția ca veniturile din vânzarea tuturor rezervelor sale să nu fie mai mici decât veniturile din vânzarea produselor care pot fi produse din această materie primă.
Variabilele y1, y2, y3 vor desemna prețul așteptat condiționat pentru resurse de 1, 2, respectiv 3 tipuri. Atunci venitul din vânzarea tipurilor de materii prime cheltuite pentru producerea unei unități de produs I este egal cu: 5y1 + 1·y3. Deoarece prețul produselor de tip I este de 3 unități, atunci 5y1 + y3 3, datorită faptului că interesele întreprinderii impun ca veniturile din vânzarea materiilor prime să nu fie mai mici decât din vânzarea produselor. Tocmai din cauza acestei interpretări economice, sistemul de restricții asupra sarcinii duale ia forma: 
Și funcția obiectiv G = 400y1 + 300y2 + 100y3 calculează costul total condiționat al tuturor materiilor prime disponibile. Este clar că, în virtutea primei teoreme a dualității, F(x*) = G(y*), egalitatea înseamnă că profitul maxim din vânzarea tuturor produselor finite coincide cu prețul minim condiționat al resurselor. Prețurile optime condiționate уi arată cel mai mic cost al resurselor la care este profitabil să se transforme aceste resurse în produse și produse.
Să fim din nou atenți la faptul că yi sunt doar prețuri condiționate, estimate și nu reale pentru materiile prime. Altfel, cititorul poate găsi ciudat că, de exemplu, y1* = 0. Acest fapt nu înseamnă deloc că prețul real al primei resurse nu este nimic gratuit în această lume; Dacă prețul condiționat este egal cu zero, înseamnă doar că această resursă nu a fost complet epuizată, este disponibilă în exces și nu este insuficientă. Într-adevăr, să ne uităm la prima inegalitate din sistemul de constrângeri a Problemei I, în care se calculează consumul primei resurse: 5x1* + 0,4x2* + 2x3* + 0,5x4* = 66< 400. его избыток составляет х5 = 334 ед. при данном оптимальном плане производства. Этот ресурс имеется в избытке, и поэтому для производителя он недефицитен, его условная цена равна 0, его не надо закупать. Наоборот, ресурс 2 и 3 используются полностью, причем у3 = 4 а у2 = 1, т. е. сырье третьего вида более дефицитно, чем второго, его условная цена больше. Если производитель продукции имел бы возможность приобретать дополнительно сырье к уже имеющемуся, с целью получения максимального дохода от производства, то увеличив сырье второго вида на единицу, он бы получил дополнительно доход в у2 денежных единиц, с увеличением на единицу сырья третьего вида, значение целевой функции увеличилось бы еще на у3 единицы.
Dacă producătorul se confruntă cu întrebarea „este rentabil să produci vreun produs, cu condiția ca costul pe unitate de produs să fie de 3, 1, 4 unități de 1, 2, 3 tipuri de materii prime, respectiv, și profitul din vânzările sunt egale cu 23 de unități”, atunci Datorită interpretării economice a problemei, nu este greu să răspundem la această întrebare, deoarece se cunosc costurile și prețurile condiționate ale resurselor. Costurile sunt egale cu 3, 1, 4, iar prețurile y1* = 0, y2* = 1, y3* = 4. Aceasta înseamnă că putem calcula costul condiționat total al resurselor necesare producerii acestui nou produs: 3 0 + 1 1 + 4 · 4 = 17< 23. значит продукцию производить выгодно, т. к. прибыль от реализации превышает затраты на ресурсы, в противном случае ответ бы на этот вопрос был отрицательным.
31.Utilizarea planului optim și a tabelului simplex pentru a determina intervalele de sensibilitate ale datelor inițiale.
32.Utilizarea planului optim și a tabelului simplex pentru a analiza sensibilitatea funcției obiectiv. Exemplu.
Problema transportului și proprietățile sale. Exemplu.
