Creatorul sistemului de numere binar. Sisteme numerice
Desigur, acest lucru se aplică nu numai procesoarelor, ci și altor componente ale computerului, de exemplu, sau. Și când vorbim, de exemplu, despre lățimea magistralei de date, ne referim la numărul de pini de pe magistrala de date prin care sunt transmise datele, adică la numărul de cifre binare dintr-un număr care poate fi transmis de-a lungul magistralei de date la o dată. Dar despre adâncimea de biți puțin mai târziu.
Deci, procesorul (și computerul ca întreg) utilizează un sistem binar care funcționează cu doar două cifre: 0 și 1. Și, prin urmare, baza sistemului binar este 2. La fel, sistemul de bază 10 este 10 deoarece folosește 10 cifre.
Fiecare cifră dintr-un număr binar este numită pic(sau deversare). Patru biți este ciuguli(sau tetradă), 8 biți – octet, 16 biți – cuvânt, 32 de biți – cuvânt dublu . Amintiți-vă de acești termeni pentru că sunt folosiți foarte des în programare. Poate că ați auzit deja fraze precum cuvânt de date sau octet de date. Acum sper că înțelegi ce este asta.
Numărarea biților dintr-un număr începe de la zero și la dreapta. Adică cel mai mult în număr binar bitul cel mai puțin semnificativ(zero bit) este cel din extrema dreapta. În stânga este bitul cel mai semnificativ. De exemplu, într-un cuvânt, bitul cel mai semnificativ este al 15-lea bit, iar într-un octet este al 7-lea bit. Este obișnuit să adăugați o literă la sfârșitul unui număr binar b. În acest fel, dumneavoastră (și asamblatorul) veți ști că este un număr binar. De exemplu,
101 este număr zecimal 101b este un număr binar care este echivalent cu numărul zecimal 5. Acum să încercăm să înțelegem cum se formează număr binar.
Zero, este zero și în Africa. Nu există întrebări aici. Dar ce urmează? Și apoi biții numărului binar sunt umpluți pe măsură ce acest număr crește. De exemplu, luați în considerare o tetradă. O tetradă (sau nibble) are 4 biți.
| Binar | Zecimal | Explicații |
| 0000 | 0 | - |
| 0001 | 1 | |
| 0010 | 2 | Următorul bit (bit 1) este setat la 1, bitul anterior (bit 0) este șters. |
| 0011 | 3 | Bitul cel mai puțin semnificativ este setat la 1. |
| 0100 | 4 | Următorul bit (bit 2) este setat la 1, biții mai puțin semnificativi (bit 0 și 1) sunt șterși. |
| 0101 | 5 | Bitul cel mai puțin semnificativ este setat la 1. |
| 0110 | 6 | Să continuăm în același spirit... |
| 0111 | 7 | ... |
| 1000 | 8 | ... |
| 1001 | 9 | ... |
| 1010 | 10 | ... |
| 1011 | 11 | ... |
| 1100 | 12 | ... |
| 1101 | 13 | ... |
| 1110 | 14 | ... |
| 1111 | 15 | ... |
Deci, vedem că atunci când se formează numere binare, biții numărului sunt umpluți cu zerouri și unu într-o anumită secvență:
Dacă cel minor este zero, atunci scriem unul acolo. Dacă bitul cel mai puțin semnificativ este unul, atunci îl mutăm la bitul cel mai semnificativ și ștergem bitul cel mai puțin semnificativ. Același principiu se aplică și în sistemul zecimal:
0...9 10 - ștergem cifra de ordin scăzut și adăugăm 1 la cea de ordine superioară În total, avem 16 combinații pentru notebook. Adică, puteți scrie 16 numere de la 0 la 15 într-un caiet. Un octet este deja 256 de combinații și numere de la 0 la 255. Și așa mai departe. În fig. Figura 2.2 prezintă o reprezentare vizuală a unui număr binar (cuvânt dublu).
Orez. 2.2. Număr binar.
Un sistem numeric este o modalitate de a afișa numerele pe hârtie. Sunt utilizate în calcule pe hardware și echipamente digitale. Sistemul de numere binare este acum unul dintre cele mai populare instrumente în dispozitivele de calcul. Să ne uităm la caracteristicile lucrului cu acest sistem de numere.
Istoria sistemului de numere binar
Oamenii de știință lumea antică a propus să efectueze calcule folosind doar 2 cifre și a sugerat că această metodă de calcul este viitorul. Acest lucru se explică prin simplitatea acestei metode de calcul: doar 2 poziții (0 și 1), 2 poziții, de exemplu, există un semnal sau niciun semnal. Matematicianul german Leibniz credea că operațiile matematice efectuate pe 2 cifre poartă o anumită ordine.
Până în anii 40 ai secolului XX, teoria sistemului binar nu s-a dezvoltat, până când omul de știință american Claude Shannon a propus utilizarea acestuia în funcționarea circuitelor electronice. S-a dovedit că utilizarea lor într-un computer personal este mult de preferat, deoarece nu este ușor pentru o persoană să-și amintească o acumulare greoaie de zerouri și unu. Și într-un computer este suficient să creați un dispozitiv care are 0 și 1 logic, adică nu are mai mult de 2 stări logice. Acesta poate fi un miez magnetizat sau demagnetizat, un transformator închis sau deschis etc. Există doar 2 poziții, nu 10, așa cum ar fi cazul când se folosește sistemul zecimal în calculele computerizate.
Caracteristicile sistemului de numere binar
Caracteristicile sistemului de numere binar includ:
- Folosind doar câteva numere (0 și 1). Baza unui astfel de sistem este 2.
- Operațiile algebrice efectuate pe numere de două cifre nu sunt foarte dificile.
- Stocarea și conversia semnalelor de către echipamente video și dispozitive de înregistrare se realizează într-un cod format din 0 și 1.
- Canalele de comunicații digitale fac schimb de date folosind reprezentarea lor sub forma 0 și 1.
Numărarea binară
Și apoi, pentru fiecare cifră, cifra crește în ordine:
100 - patru.
110 - șase.
După 7, cifrele sunt scrise ca 4 cifre:
1000 - opt.
1001 - nouă.
1010 - zece.
1011 - unsprezece.
1100 - doisprezece.
1101 - treisprezece.
1110 - paisprezece.
Conversia numerelor din binar în zecimal
Reprezentarea numerelor zecimale în binar le face destul de greoaie. Să luăm în considerare modul în care are loc procesul invers: convertirea unui număr format din 0 și 1 într-o formă convenabilă pentru noi. De exemplu, trebuie să convertiți codul binar 10101110 în formă zecimală.
Poate fi împărțit în puteri, așa cum se face în sistemul zecimal. Deci, numărul 1587 poate fi afișat ca:
1000 + 500 + 80 + 7.
Sau altfel:
1*10 3 + 5*10 2 + 8*10 1 + 7*10 0 .
În intrarea anterioară, se însumează gradele corespunzătoare cifrei fiecărei cifre minus 1. Numărul 10 este luat ca bază a gradului, deoarece este un sistem numeric zecimal. Această metodă poate fi aplicată unui număr reprezentat în binar. Doar numărul 2 ar trebui luat ca bază a gradului.
10101110 = 1*2 7 + 0*2 6 + 1*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 1*2 2 + 1*2 1 + 0*2 0 = 128 + 0 + 32 + 0 + 8 + 4 + 2 + 0 = 174.
Puterile a doi sunt selectate după următorul principiu: este necesar să se numără cifra numărului și să se scadă 1 din această valoare. Trebuie amintit că debitul crește de la dreapta la stânga. Deci, prima unitate are a opta cifră, apoi trebuie înmulțită cu 2 7 etc.
Astfel, forma binară a lui 10101110 este 174 în notație zecimală. Intrarea corectă arată astfel:
10101110 2 = 174 10 .
Este nevoie de un proces invers: de a converti notația zecimală într-o secvență de 0 și 1. Acest lucru se face prin împărțirea la 2 și formarea unui număr binar din rest. De exemplu, numărul 69.
| Dividend | Divizor | Privat | Rest |
| 69 | 2 | 34 | 1 |
| 34 | 2 | 17 | 0 |
| 17 | 2 | 8 | 1 |
| 8 | 2 | 4 | 0 |
| 4 | 2 | 2 | 0 |
| 2 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 2 | 0 | 1 |
Să ne uităm la restul. Obținem numărul în formă binară, începând de la ultima linie: 1000101 (aceste numere se află în coloana „Restau”, dacă priviți de jos în sus). Trebuie să verificați rezultatul:
1000101 = 1*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 64 + 4 +1 = 69.
Operatii matematice cu numere binare
Plus.
Aceasta este operația aritmetică de bază în calculele computerizate. Principiile de bază ale adunării numerelor binare se bazează pe următoarele reguli:
Astfel, adunând 1101 2 și 110 2 într-o coloană, obținem 10011 2 sau 19 10.
Scădere.
Această operație este identică cu adunarea dacă vă imaginați că unul dintre numerele binare este negativ. În acest caz, trebuie să țineți cont de modulele numerelor adăugate.
Reguli folosite pentru scădere:
0 - 1 = 1 (împrumutați de la cea mai mare cifră).
De exemplu, scădeți numărul 101 2 din 1110 2, obținem 1001 2 sau 9 10.
Multiplicare.
Pe hârtie, înmulțirea este o colecție de operații de adunare. De exemplu, trebuie să înmulțiți 10 10 cu 40 10.
Să le transformăm într-un set de 0 și 1:
10 10 =00001010 2
40 10 = 00101000 2
Ambele numere în formă binară au câteva zerouri în stânga și în dreapta, care nu joacă niciun rol în operația de înmulțire. Părțile semnificative sunt 101 în 10 și 101 în 40, situate între zerouri. Ele trebuie înmulțite și pur și simplu adăugați zerouri la rezultatul final:
Înmulțim unitățile din stânga și dreapta ale celui de-al doilea factor cu primul factor, apoi însumăm rezultatul rezultat intermediar. Adăugăm zerourile și le rescriem în rezultatul final al înmulțirii, care în formă binară arată astfel: 000000110010000 2 (linia de jos de la stânga la dreapta).
Verificând, obținem:
1 * 2 8 + 1 * 2 7 + 1 * 2 4 = 256 + 128 + 16 = 400.
Diviziune.
Să luăm în considerare cel mai simplu exemplu de împărțire fără rest. Trebuie să împărțim 14 10 la 2 10. În binar arată așa:
14 10 = 1110 2 .
Împărțiți 1110 2 la 10 2 într-o coloană:
1110 |10
Obținem numărul 111 2, care este egal cu 7 în sistemul numeric zecimal. Când verificăm prin înmulțire, dovedim acuratețea rezultatului:
Ne uităm la linia de jos de la stânga la dreapta, rezultatul înmulțirii este 1110 2. Răspunsul este corect.
Principalele subiecte ale paragrafului:
♦ sisteme de numere zecimale și binare;
♦ formă extinsă a scrierii unui număr;
♦ conversia numerelor binare în sistem zecimal;
♦ conversia numerelor zecimale în sistem binar;
♦ aritmetica numerelor binare.
În acest capitol vom vorbi despre organizarea calculelor pe computer. Calculul presupune stocarea și procesarea numerelor.
Calculatorul lucrează cu numere în sistemul de numere binar.
Această idee îi aparține lui John von Neumann, care a formulat principiile de proiectare și funcționare a computerelor în 1946. Să aflăm ce este un sistem numeric.
Sisteme de numere zecimale și binare
Un sistem numeric se referă la anumite reguli de scriere a numerelor și la metodele asociate de efectuare a calculelor.
Ne vor interesa sistemele de numere binare și zecimale.
Sistemul de numere cu care suntem obișnuiți cu toții se numește zecimal. Acest nume se explică prin faptul că folosește zece cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Numărul de cifre determină baza sistemului numeric. Dacă numărul de cifre este zece, atunci baza sistemului numeric este zece. În sistemul binar, există doar două cifre: 0 și 1. Baza este egală cu două. Se pune întrebarea dacă este posibil să se reprezinte orice valoare cu doar două cifre. Se dovedește că se poate!
Forma extinsă de scriere a unui număr
Să ne amintim principiul scrierii numerelor în sistemul numeric zecimal. Semnificația unei cifre într-un număr depinde nu numai de cifra în sine, ci și de locația acestei cifre în număr (se spun: de poziția cifrei). De exemplu, în numărul 333, prima cifră din dreapta înseamnă: trei unități, următoarea - trei zeci, următoarea - trei sute. Acest fapt poate fi exprimat prin egalitate:
333 10 = 3 10 2 + 3 10 1 + 3 10 0 = 300 + 30 + 3.
În această egalitate, expresia din dreapta semnului egal se numește forma extinsă a scrierii unui număr cu mai multe cifre. Iată un alt exemplu de formă extinsă de scriere a unui număr zecimal cu mai multe cifre:
8257 10 = 8 10 3 + 2 10 2 + 5 10 1 + 7 10 0 = 8000 + 200 + 50 + 7.
Astfel, pe măsură ce treceți de la cifră la cifră de la dreapta la stânga, „greutatea” fiecărei cifre crește de 10 ori. Acest lucru se datorează faptului că baza sistemului numeric este zece.
Conversia numerelor binare în sistem zecimal
Iată un exemplu de număr binar cu mai multe cifre:
Cele două din dreapta jos indică baza sistemului numeric. Acest lucru este necesar pentru a nu confunda un număr binar cu unul zecimal. La urma urmei, există un număr zecimal 110101! Greutatea fiecărei cifre ulterioare dintr-un număr binar crește de 2 ori atunci când se deplasează de la dreapta la stânga. Forma extinsă de scriere a acestui număr binar arată astfel:
110101 2 = 1 2 5 + 1 2 4 + 0 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 = 53 10.
În acest fel am convertit numărul binar în sistem zecimal.
Să mai convertim câteva numere binare în sistemul zecimal.
10 2 = 2 1 = 2; 100 2 = 2 2 = 4; 1000 2 = 2 3 = 8;
10000 2 = 2 4 = 16; 100000 2 = 2 5 = 32 etc.
Astfel, s-a dovedit că un număr zecimal de două cifre corespunde unui număr binar de șase cifre! Și acest lucru este tipic pentru sistemul binar: o creștere rapidă a numărului de cifre pe măsură ce valoarea numărului crește.
Iată cum arată începutul unei serii naturale de numere în sistemele numerice zecimal (A 10) și binar (A 2):
| A 10 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| A 2 | 1 | 10 | 11 | 100 | 101 | 110 | 111 | 1000 | 1001 | 1010 |
| A 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| A 2 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 | 10000 | 10001 | 10010 | 10011 | 10100 |
Conversia numerelor zecimale în binar
Cum să convertiți un număr binar în numărul său zecimal egal ar trebui să vă fie clar din exemplele discutate mai sus. Cum se efectuează traducerea inversă: de la sistemul zecimal la sistemul binar? Pentru a face acest lucru, trebuie să puteți descompune un număr zecimal în termeni care sunt puteri a doi. De exemplu:
15 10 = 8 + 4 + 2 + 1 = 1 2 3 + 1 2 2 + 1 2 1 + 1 2 0 = 1111 2.
E complicat. Există o altă cale, cu care ne vom familiariza acum.
Există o procedură care vă permite să convertiți cu ușurință un număr zecimal în binar. Constă în împărțirea unui număr zecimal dat la 2. Restul rezultat este cifra cea mai puțin semnificativă a numărului dorit. Coeficientul rezultat este din nou împărțit la 2, restul rezultat este următoarea cifră a numărului dorit. Aceasta continuă până când coeficientul devine mai mic de doi (baza sistemului). Acest coeficient este cifra de început a numărului dorit.
Există două moduri de a scrie împărțirea cu 2. Să demonstrăm acest lucru folosind exemplul de conversie a numărului 37 în binar.
Aici un 5, un 4, un 3, un 2, un 1 și 0 sunt denumirile cifrelor din numărul binar în ordine de la stânga la dreapta. Ca rezultat al translației, obținem: 37 10 = 100101 2.
Aritmetica numerelor binare
Regulile aritmeticii binare sunt multe mai simplu decât regulile aritmetică zecimală. Iată toate opțiunile posibile pentru adăugarea și înmulțirea numerelor binare cu o singură cifră.
0 + 0 = 0 0 x 0 = 0
0 + 1 = 1 0 x 1 = 0
1 + 0 = 1 1 x 0 = 0
1 + 1 = 10 1 x 1 = 1
Prin simplitatea și consecvența cu structura de biți a memoriei computerului, sistemul de numere binare a atras inventatorii computerului. Este mult mai ușor de implementat mijloace tehnice decât sistemul zecimal.
Iată un exemplu de adăugare pe coloană a două numere binare cu mai multe cifre:
1011011101
+111010110
10010110011
Acum priviți cu atenție următorul exemplu de înmulțire a numerelor binare cu mai multe cifre:
1101101
x 101
1101101
1101101
1000100001
După puțin antrenament, oricare dintre voi va efectua automat astfel de calcule.
Pe scurt despre principalul lucru
Un sistem numeric reprezintă anumite reguli de scriere a numerelor și metode de efectuare a calculelor asociate acestor reguli.
Baza unui sistem numeric este egală cu numărul de cifre utilizate în acesta.
Numerele binare sunt numere din sistemul numeric binar. Sunt scrise folosind două numere: 0 și 1.
Forma extinsă a scrierii unui număr binar este reprezentarea acestuia ca sumă a puterilor a două înmulțite cu 0 sau 1.
Utilizarea numerelor binare într-un computer se datorează structurii de biți a memoriei computerului și simplității aritmeticii binare.
Întrebări și sarcini
1. Numiți avantajele și dezavantajele sistemului numeric binar în comparație cu sistemul numeric zecimal.
2. Ce numere binare corespund următoarelor numere zecimale:
128; 256; 512; 1024?
3. Cu ce sunt următoarele numere binare egale în sistemul zecimal:
1000001; 10000001; 100000001; 1000000001?
4. Convertiți următoarele numere binare în zecimale:
101; 11101; 101010; 100011; 10110111011.
5. Convertiți următoarele numere zecimale în sistemul numeric binar:
2; 7; 17; 68; 315; 765; 2047.
6. Efectuați adunarea în sistemul de numere binar:
11 + 1; 111 + 1; 1111 + 1; 11111 + 1.
7. Efectuați înmulțirea în sistem de numere binar:
111 10; 111 11; 1101 101; 1101 · 1000.
Cu asta calculator online Puteți converti numere întregi și fracționale dintr-un sistem numeric în altul. Dat solutie detaliata cu explicatii. Pentru a traduce, introduceți numărul original, specificați baza sistemului de numere al numărului inițial, specificați baza sistemului de numere în care doriți să convertiți numărul și faceți clic pe butonul „Traduceți”. Vezi mai jos partea teoretică și exemple numerice.
Rezultatul a fost deja primit!
Conversia numerelor întregi și fracțiilor dintr-un sistem numeric în oricare altul - teorie, exemple și soluții
Există sisteme numerice poziționale și nepoziționale. Sistemul de numere arabe pe care îl folosim viata de zi cu zi, este pozițional, dar Roman nu este. În sistemele de numere poziționale, poziția unui număr determină în mod unic mărimea numărului. Să luăm în considerare acest lucru folosind exemplul numărului 6372 din sistemul numeric zecimal. Să numerotăm acest număr de la dreapta la stânga începând de la zero:
Apoi, numărul 6372 poate fi reprezentat astfel:
6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .
Numărul 10 determină sistemul numeric (în acest caz este 10). Valorile poziției unui număr dat sunt luate ca puteri.
Luați în considerare numărul zecimal real 1287,923. Să-l numerotăm începând de la zero, poziționând numărul de la virgulă zecimală la stânga și la dreapta:
Atunci numărul 1287.923 poate fi reprezentat ca:
1287,923 =1000+200+80 +7+0,9+0,02+0,003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10 -3.
În general, formula poate fi reprezentată după cum urmează:
C n s n +C n-1 · s n-1 +...+C 1 · s 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k
unde C n este un număr întreg în poziție n, D -k - număr fracționar în poziția (-k), s- sistemul de numere.
Câteva cuvinte despre sistemele numerice Un număr în sistemul numeric zecimal este format din multe cifre (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), în sistemul numeric octal este format din multe cifre. (0,1, 2,3,4,5,6,7), în sistemul numeric binar - dintr-un set de cifre (0,1), în sistemul numeric hexazecimal - dintr-un set de cifre (0,1 ,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), unde A,B,C,D,E,F corespund numerelor 10,11, 12,13,14,15 În tabelul Tab.1 numerele sunt prezentate în diferite sisteme numerice.
| Tabelul 1 | |||
|---|---|---|---|
| Notaţie | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | O |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E | 15 | 1111 | 17 | F |
Conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul
Pentru a converti numerele dintr-un sistem numeric în altul, cel mai simplu mod este să convertiți mai întâi numărul în sistemul numeric zecimal, apoi convertiți din sistemul numeric zecimal în sistemul numeric necesar.
Conversia numerelor din orice sistem numeric în sistemul numeric zecimal
Folosind formula (1), puteți converti numerele din orice sistem numeric în sistemul numeric zecimal.
Exemplu 1. Convertiți numărul 1011101.001 din sistemul numeric binar (SS) în SS zecimal. Soluţie:
1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93,125
Exemplu2. Convertiți numărul 1011101.001 din sistemul de numere octale (SS) în SS zecimal. Soluţie:
Exemplu 3 . Convertiți numărul AB572.CDF din sistemul numeric hexazecimal în SS zecimal. Soluţie:
Aici O-inlocuit cu 10, B- la 11, C- la 12, F- pana la 15.
Conversia numerelor din sistemul numeric zecimal în alt sistem numeric
Pentru a converti numerele din sistemul de numere zecimal într-un alt sistem de numere, trebuie să convertiți separat partea întreagă a numărului și partea fracțională a numărului.
Partea întreagă a unui număr este convertită din SS zecimal într-un alt sistem de numere prin împărțirea secvențială a părții întregi a numărului la baza sistemului de numere (pentru SS binar - la 2, pentru SS 8-ary - la 8, pentru 16 -ary SS - cu 16, etc.) până când se obține un reziduu întreg, mai mic decât baza CC.
Exemplu 4 . Să convertim numărul 159 din SS zecimal în SS binar:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
După cum se poate observa din fig. 1, numărul 159 când este împărțit la 2 dă câtul 79 și restul 1. În plus, numărul 79 când este împărțit la 2 dă câtul 39 și restul 1 etc. Ca rezultat, construind un număr din resturile de împărțire (de la dreapta la stânga), obținem un număr în SS binar: 10011111 . Prin urmare putem scrie:
159 10 =10011111 2 .
Exemplu 5 . Să convertim numărul 615 din SS zecimal în SS octal.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
Când convertiți un număr din SS zecimal în SS octal, trebuie să împărțiți succesiv numărul la 8 până când obțineți tot restul mai mic decât 8. Ca rezultat, construind un număr din resturile de diviziune (de la dreapta la stânga) obținem un număr în SS octal: 1147 (Vezi fig. 2). Prin urmare putem scrie:
615 10 =1147 8 .
Exemplu 6 . Să convertim numărul 19673 din sistemul numeric zecimal în SS hexazecimal.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
După cum se poate observa din figura 3, împărțind succesiv numărul 19673 la 16, resturile sunt 4, 12, 13, 9. În sistemul numeric hexazecimal, numărul 12 corespunde lui C, numărul 13 la D. Prin urmare, numărul nostru numărul hexazecimal este 4CD9.
Pentru a converti fracții zecimale regulate (un număr real cu o parte întreagă zero) într-un sistem de numere cu baza s, este necesar să înmulțim succesiv acest număr cu s până când partea fracțională este zero pur sau obținem numărul necesar de cifre. Dacă înmulțirea are ca rezultat un număr cu o parte întreagă diferită de zero, atunci această parte întreagă nu este luată în considerare (sunt incluse secvenţial în rezultat).
Să ne uităm la cele de mai sus cu exemple.
Exemplu 7 . Să convertim numărul 0,214 din sistemul numeric zecimal în SS binar.
| 0.214 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.392 |
După cum se poate vedea din Fig. 4, numărul 0,214 este înmulțit succesiv cu 2. Dacă rezultatul înmulțirii este un număr cu o parte întreagă, alta decât zero, atunci partea întreagă este scrisă separat (în stânga numărului), iar numărul este scris cu o parte întreagă zero. Dacă înmulțirea are ca rezultat un număr cu o parte întreagă zero, atunci în stânga acestuia se scrie un zero. Procesul de înmulțire continuă până când partea fracțională ajunge la zero pur sau obținem numărul necesar de cifre. Scriind numere îngroșate (Fig. 4) de sus în jos obținem numărul necesar în sistemul numeric binar: 0. 0011011 .
Prin urmare putem scrie:
0.214 10 =0.0011011 2 .
Exemplu 8 . Să convertim numărul 0,125 din sistemul numeric zecimal în SS binar.
| 0.125 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.0 |
Pentru a converti numărul 0,125 din zecimal SS în binar, acest număr este înmulțit succesiv cu 2. În a treia etapă, rezultatul este 0. În consecință, se obține următorul rezultat:
0.125 10 =0.001 2 .
Exemplu 9 . Să convertim numărul 0,214 din sistemul numeric zecimal în SS hexazecimal.
| 0.214 | ||
| x | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| x | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| x | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| x | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| x | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| x | 16 | |
| 4 | 0.224 |
Urmând exemplele 4 și 5, obținem numerele 3, 6, 12, 8, 11, 4. Dar în SS hexazecimal, numerele 12 și 11 corespund numerelor C și B. Prin urmare, avem:
0,214 10 = 0,36C8B4 16 .
Exemplu 10 . Să convertim numărul 0,512 din sistemul numeric zecimal în SS octal.
| 0.512 | ||
| x | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| x | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| x | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.728 |
Primit:
0.512 10 =0.406111 8 .
Exemplu 11 . Să convertim numărul 159,125 din sistemul numeric zecimal în SS binar. Pentru a face acest lucru, traducem separat partea întreagă a numărului (Exemplul 4) și partea fracțională a numărului (Exemplul 8). Combinând în continuare aceste rezultate, obținem:
159.125 10 =10011111.001 2 .
Exemplu 12 . Să convertim numărul 19673,214 din sistemul numeric zecimal în SS hexazecimal. Pentru a face acest lucru, traducem separat partea întreagă a numărului (Exemplul 6) și partea fracțională a numărului (Exemplul 9). În plus, combinând aceste rezultate, obținem.
Sistem de numere binar Astăzi este folosit în aproape toate dispozitivele digitale. Calculatoarele, controlerele și alte dispozitive de calcul efectuează calcule în sistemul binar. Dispozitive digitale pentru înregistrarea și reproducerea sunetului, foto și video stochează și procesează semnale în sistemul de numere binar. Transmiterea informațiilor prin canalele de comunicații digitale utilizează, de asemenea, modelul sistemului de numere binar.
Sistemul are acest nume deoarece baza sistemului este numărul doi ( 2 ) sau în binar 10 2 - aceasta înseamnă că doar două cifre „0” și „1” sunt folosite pentru a reprezenta numere. Cele două scrise în partea dreaptă jos a numărului vor desemna în continuare baza sistemului numeric. Pentru sistemul zecimal, baza de obicei nu este indicată.
Zero - 0
;
Unul - 1
;
Ce să faci mai departe? Toate numerele au dispărut. Cum să descrii numărul doi? În sistemul zecimal, într-o situație similară (când numerele s-au epuizat), am introdus conceptul de zece, dar aici suntem nevoiți să introducem conceptul de „doi” și să spunem că doi este unul doi și zero uni. Și aceasta poate fi deja scrisă ca „10 2”.
Aşa, Două - 10
2 (unul doi, zero unul)
Trei - 11
2 (unul doi, unul unul)
Patru - 100
2 (un patru, zero doi, zero unu)
Cinci - 101
2 (un patru, zero doi, unul unu)
Şase - 110
2 (unul patru, unul doi, zero unu)
Șapte - 111
2 (unul patru, unul doi, unul unul)
Posibilitățile de trei cifre au fost epuizate, introducem o unitate mai mare de numărare - opt (stăpânim o nouă cifră).
Opt - 1000
2 (un opt, zero patru, zero doi, zero unu)
Nouă - 1001
2 (un opt, zero patru, zero doi, unul unu)
Zece - 1010
2 (un opt, zero patru, unul doi, zero unu)
...
și așa mai departe...
...
Ori de câte ori posibilitățile cifrelor implicate de a afișa următorul număr sunt epuizate, introducem unități de numărare mai mari, de ex. să folosim următoarea categorie.
Luați în considerare numărul 1011 2 scris în sistem de numere binar. Putem spune despre el că conține: unul opt, zero patru, unul doi și unul unu. Și îi puteți obține valoarea prin numerele incluse în el, după cum urmează.
1011 2 = 1 *8+0 *4+1 *2+1 *1, aici și dedesubt semnul * (asterisc) înseamnă înmulțire.
Dar seria numerelor 8, 4, 2, 1 nu este altceva decât puteri întregi ale numărului doi (baza sistemului numeric) și, prin urmare, poate fi scrisă:
1011 2 = 1 *2 3 +0 *2 2 +2 *2 1 +2 *2 0
În mod similar, pentru o fracție binară (număr fracțional), de exemplu: 0.101 2 (cinci optimi), putem spune despre el că conține: o secundă, zero sferturi și o optime. Și valoarea sa poate fi calculată după cum urmează:
0.101 2 = 1 *(1/2) + 0 *(1/4) + 1 *(1/8)
Și iată o serie de numere 1/2; 1/4 și 1/8 nu sunt altceva decât puteri întregi a două și mai putem scrie:
0.101 2 = 1 *2 -1 + 0 *2 -2 + 1 *2 -3
Pentru număr mixt 110.101 putem scrie într-un mod similar:
110.101 = 1 *2 2 +1 *2 1 +0 *2 0 +1 *2 -1 +0 *2 -2 +1 *2 -3
Să numerotăm cifrele părții întregi a numărului binar, de la dreapta la stânga, ca 0,1,2...n (numerotarea începe de la zero!). Și cifrele părții fracționale, de la stânga la dreapta, sunt ca -1, -2, -3... -m. Apoi valoarea unui număr binar poate fi calculată folosind formula:
N = d n 2 n +d n-1 2 n-1 +…+d 1 2 1 +d 0 2 0 +d -1 2 -1 +d -2 2 -2 +…+d -(m-1) 2-(m-1) +d-m2-m
Unde: n- numărul de cifre din partea întreagă a numărului minus unu;
m- numărul de cifre din partea fracționară a numărului
d i- cifră în picioare i- al-lea rang
Această formulă se numește formula de expansiune număr binar, adică numerele scrise în sistemul de numere binar. Dar dacă în această formulă numărul doi este înlocuit cu ceva abstract q, apoi obținem formula de expansiune pentru numărul scris în qth sistem de numere:
N = d n q n +d n-1 q n-1 +…+d 1 q 1 +d 0 q 0 +d -1 q -1 +d -2 q -2 +…+d -(m-1) q - (m-1) +d -m q -m
Folosind această formulă, puteți calcula întotdeauna valoarea nu numai a unui număr binar, ci și a unui număr scris în orice alt număr. sistem pozițional conta. Vă recomandăm să citiți următoarele articole despre alte sisteme numerice.
