Adăugarea rotațiilor în jurul a două axe paralele. Adăugarea rotațiilor corpului în jurul a două axe Ce vom face cu materialul rezultat?

Dacă mișcările relative și de translație ale unui corp sunt de rotație în jurul axelor paralele (Fig. 133), atunci distribuția vitezelor absolute în corp la un moment dat este aceeași ca în timpul mișcării de rotație în jurul unei axe instantanee, care este paralelă cu axele de rotație ale componentelor și împarte distanța dintre ele intern (dacă direcțiile rotațiilor portabile și relative coincid) sau extern (dacă direcțiile acestor rotații sunt înapoi) în părți invers proporționale cu vitezele unghiulare relative și portabile, adică.

unde sunt vitezele unghiulare portabile, relative și, respectiv, absolute.

Dacă direcțiile vitezelor unghiulare coincid (Fig. 133, a), atunci viteza unghiulară absolută este îndreptată în aceeași direcție și în modul este egală cu suma modulelor lor:

Dacă vectorii sunt direcționați în laturi opuse(Fig. 133, b), atunci viteza unghiulară absolută este îndreptată către cea mai mare dintre ele și în modul este egală cu diferența în modulele lor, adică.

Dacă vitezele unghiulare relative și portabile formează o pereche de viteze unghiulare, adică (Fig. 133, c), atunci distribuția vitezelor absolute în corp este aceeași ca în timpul mișcării de translație, iar viteza absolută a oricărui punct al corpului la un moment dat este egal cu vectorul - momentul cuplurilor indicate:

Când se rezolvă probleme care implică adăugarea de rotații în jurul axelor paralele, adesea se operează nu cu valorile absolute ale vitezelor unghiulare, ci cu mărimile lor algebrice, care sunt proiecții ale vitezelor unghiulare pe o axă paralelă cu axele rotațiilor luate în considerare. . Alegerea direcției pozitive a axei specificate este arbitrară.

În acest caz, vitezele unghiulare dintr-o direcție sunt pozitive, iar cele din direcția opusă sunt negative, iar viteza unghiulară absolută este exprimată ca suma algebrică a componentelor vitezelor unghiulare.

Exemplul 94. În mecanismul diferențial (Fig. 134, a și b), verigile motrice sunt roata 1 și purtătorul H, care poartă axa satelitului dublu. Cunoscând vitezele unghiulare ale roților 1 și suportului H, precum și numărul de dinți ai tuturor roților, găsiți viteza unghiulară a roții 3.

Soluţie. metoda (metoda Willis). Esența metodei este de a reduce problema analizei mecanismelor planetare și diferențiale la analiza mecanismelor obișnuite de angrenaj prin trecerea de la mișcarea absolută a legăturilor mecanismului planetar luat în considerare la mișcarea lor relativă față de purtător.

Să avem un mecanism planetar ale cărui axe ale roților sunt paralele. Să notăm prin valori algebrice vitezele unghiulare absolute ale legăturilor și, respectiv, purtătorul H.

Pentru a trece la mișcare față de purtător, să comunicăm mental întregului sistem o rotație în jurul axei purtătorului cu viteză unghiulară (adică, egală cu viteza unghiulară a purtătorului, dar îndreptată exact în direcția opusă). Apoi purtătorul se va opri, iar legăturile, bazate pe teorema de adunare a rotațiilor, vor primi viteze unghiulare. Deoarece cu un suport staționar obținem un mecanism obișnuit de angrenaj, ale cărui legături se rotesc în jurul axelor staționare, atunci formula (97) pentru rapoartele de transmisie poate fi aplicată acestui mecanism, ceea ce ne conduce la așa-numita formulă Willis:

unde este raportul de transmisie dintre legături și în mișcarea acestora față de purtătorul H (așa cum este indicat de superscript). Acest raport de transmisie, așa cum sa indicat deja, poate fi exprimat prin designul și parametrii geometrici ai mecanismului (numărul de dinți sau razele cercurilor inițiale în plasă a roților).

În problema noastră, aplicăm formula Willis la legăturile 1 și 3:

(raportul de transmisie dintre roțile 5 și 2 este pozitiv, deoarece roțile au angrenaj intern);

(aici raportul de transmisie este negativ, deoarece roțile sunt 2 și au angrenaj extern).

Astfel,

Fie, de exemplu, și, în plus, roata și suportul H se rotesc în aceeași direcție cu viteze unghiulareȘi . În acest caz. Dacă roata și suportul H s-au rotit în direcții opuse, atunci viteza unghiulară a uneia dintre aceste legături ar trebui să fie considerată pozitivă, iar cealaltă negativă.

În acest caz, cu aceleași valori absolute ale vitezelor unghiulare ale legăturilor și H, am avea:

adică, roata 3 s-ar roti în aceeași direcție cu șoferul, deoarece semnele vitezelor lor unghiulare coincid.

Dacă fixăm roata, obținem un mecanism planetar simplu. Formula Willis în acest caz rămâne în vigoare, trebuie doar să introduceți această formulă, care dă:

Metoda 2 (metoda centrelor de viteză instantanee). Deoarece legăturile unui mecanism planetar sau diferențial cu axe paralele realizează mișcare plan-paralelă, atunci când se analizează un astfel de mecanism se poate aplica teoria mișcării plan-paralel și, în special, se poate folosi metoda centrelor de viteză instantanee. Este util să însoțim soluția problemei prin construirea triunghiurilor de viteză, care sunt de obicei luate în afara mecanismului (Fig. 134, c). Notăm razele roților mecanismului luat în considerare prin . Apoi avem.

Sunt trei cazuri de luat în considerare.

1) Rotațiile au aceleași direcții. Corpul participă la două rotații: portabil cu viteza unghiulară și relativ cu viteza unghiulară (Fig. 71). Un astfel de corp este discul prezentat în Fig. 72. Să intersectăm axele de rotație perpendiculare pe dreapta. Obținem punctele de intersecție și la care vectorii viteză unghiulară și pot fi transferați. Pe un segment al corpului în momentul în cauză există un punct a cărui viteză este zero. Într-adevăr, prin teorema de adunare a vitezei pentru un punct avem

Punctele corpului pentru care vitezele de transfer și relative sunt paralele și opuse pot fi localizate numai pe segmentul dintre punctele și . Viteza unui punct este zero dacă Dar , . Prin urmare,

O linie dreaptă perpendiculară pe axele de rotație poate fi trasată la orice distanță. În consecință, există o axă atașată corpului și paralelă cu axele de rotație, ale cărei viteze ale punctelor sunt egale cu zero la un moment dat. Ea este axa de rotație instantanee la momentul de timp luat în considerare.

Pentru a determina viteza unghiulară de rotație a corpului în jurul axei instantanee, calculăm viteza punctului, luând în considerare complexul său de mișcare. Primim:

Prin urmare,

Pentru viteza unui punct când corpul se rotește în jurul axei instantanee, avem

Echivalând vitezele punctuale obținute în două moduri, avem

Conform (138)

Formula (138) poate fi reprezentată ca:

Formând o proporție derivată și folosind formula (139), obținem

Astfel, la adăugarea a două rotații ale unui corp în jurul axelor paralele în aceleași direcții, rezultatul este o rotație în jurul unei axe paralele în aceeași direcție cu o viteză unghiulară egală cu suma vitezelor unghiulare ale rotațiilor componente. Axa instantanee a rotației rezultate împarte segmentul dintre axele rotațiilor componentelor în părți invers proporționale cu vitezele unghiulare ale rotațiilor, intern. Punctul cu această împărțire este situat între punctele și.

Opusul este adevărat. Rotația în jurul unei axe cu viteză unghiulară poate fi descompusă în două rotații în jurul a două axe paralele cu viteze unghiulare și .

Un corp care participă la două rotații în jurul axelor paralele efectuează o mișcare plană. Mișcarea plană a unui corp rigid poate fi reprezentată ca două rotații, portabilă și relativă, în jurul axelor paralele. Mișcarea plană a roții satelit 2 pe roata staționară 1 (Fig. 73) este un exemplu de mișcare care poate fi înlocuită cu două rotații în jurul axelor paralele în aceeași direcție, de exemplu, în sens invers acelor de ceasornic. Roata satelit efectuează o rotație de translație împreună cu manivela în jurul unei axe care trece printr-un punct cu viteză unghiulară și o rotație relativă în jurul unei axe care trece printr-un punct cu viteză unghiulară. Ambele rotații au aceleași direcții. Rotația absolută are loc în jurul unei axe care trece prin punct, care este în prezent MCS. Este situată în punctul de contact al roților dacă roata în mișcare se rostogolește fără să alunece pe cea staționară. Viteza unghiulară de rotație absolută

Rotația absolută la această viteză unghiulară are loc în aceeași direcție cu componentele mișcării.

2) Rotațiile au direcții opuse. Să luăm în considerare cazul când (Fig. 74). Obținem următoarele formule:

Pentru a deriva aceste formule, descompunem rotația cu viteză unghiulară în două rotații în aceeași direcție în jurul a două axe paralele cu viteze unghiulare și . Să luăm axa uneia dintre rotațiile cu viteză unghiulară pentru a trece prin punct și alegem . O altă rotație cu viteză unghiulară va trece prin punct (Fig. 75). Pe baza (139) și (140) avem

Valabilitatea formulelor (141) și (142) a fost dovedită. Astfel, la adăugarea a două rotații ale unui corp rigid în jurul axelor paralele în direcții opuse, rezultatul este o rotație în jurul unei axe paralele cu o viteză unghiulară egală cu diferența dintre vitezele unghiulare ale rotațiilor componentelor în sensul de rotație cu o viteză unghiulară mai mare. . Axa de rotație absolută împarte segmentul dintre axele rotațiilor componente în părți care sunt invers proporționale cu vitezele unghiulare ale acestor rotații în interior. Punctul cu această împărțire este situat pe segmentul din spatele punctului prin care axa de rotație trece cu o viteză unghiulară mai mare.

De asemenea, puteți descompune o rotație în două în jurul axelor paralele cu direcții opuse de rotație. Un exemplu de mișcare plană a unui corp rigid, care poate fi reprezentat prin două rotații în jurul axelor paralele în direcții opuse, este mișcarea unei roți satelit care se rostogolește în interiorul unei roți staționare fără alunecare (Fig. 76). În acest caz, ceea ce este portabil este rotirea roții 2 împreună cu manivela cu viteză unghiulară în jurul unei axe care trece prin punctul . Rotația relativă a roții 2 va fi în jurul unei axe care trece printr-un punct cu viteza unghiulară și rotația absolută a acestei roți în jurul unei axe care trece prin MCS, punctul , cu viteza unghiulară. În acest caz și deci viteza unghiulară de rotație absolută. Această rotație în direcție coincide cu direcția de rotație, care are o viteză unghiulară mare. Axa de rotație absolută este situată în afara segmentului din spatele axei de rotație cu o viteză unghiulară mai mare.

3) Câteva rotații. Câteva rotiri este o combinație de două rotații ale unui corp rigid, portabil și relativ, în jurul axelor paralele cu viteze unghiulare egale în direcții opuse (Fig. 77). În acest caz. Considerând mișcarea unui corp ca fiind complexă, conform teoremei de adunare a vitezelor pentru un punct pe care îl avem

Componentele mișcării sunt rotații cu viteze unghiulare și . Folosind formula lui Euler pentru ele obținem

După aceasta, pentru viteza absolută pe care o avem

deoarece . Având în vedere asta, obținem

Deoarece produs vectorial atunci poate fi numit momentul vitezei unghiulare relativ la punct

Este egal cu impulsul vectorial al unei perechi de rotații, care poate fi exprimat și ca impulsul vectorial al uneia dintre vitezele unghiulare relativ la orice punct situat pe axa de rotație a unui corp cu o altă viteză unghiulară inclusă în perechea de rotații. rotatii. Viteza mișcării de translație a unui corp care participă la o pereche de rotații depinde numai de caracteristicile perechii de rotații. Este perpendicular pe axele perechii de rotații. Valoarea sa numerică poate fi exprimată ca

unde este cea mai scurtă distanță dintre axele perechii sau umărul perechii.

O pereche de rotații este analogă cu o pereche de forțe asupra cărora acționează solid. Vitezele unghiulare de rotație ale unui corp, similare forțelor, sunt vectori de alunecare. Momentul vectorial al unui cuplu de forțe este un vector liber. Momentul vectorial al unei perechi de rotații are o proprietate similară.

Dacă fixați un segment drept pe treapta de viteză 2, atunci acesta va rămâne paralel cu poziția inițială atunci când mecanismul se mișcă. Dacă acest segment orizontal este combinat cu fundul unei căni de apă, atașând ceașca de un angrenaj mobil, atunci apa nu se va vărsa din ceașcă atunci când mecanismul se mișcă într-un plan vertical.

În timpul mișcării de translație, traiectoriile tuturor punctelor corpului sunt identice. Punctul descrie un cerc cu raza . Traiectoriile tuturor celorlalte puncte ale angrenajului în mișcare vor fi, de asemenea, cercuri de aceeași rază. Un corp care participă la o pereche de rotații efectuează o mișcare plană de translație.

Puncte) Care dintre următoarele transformări reflectă procesul de oxidare?

Introducere. Cauze și efecte în jurul nostru: câmpul informațional energetic

Mișcarea de rotație a unui corp absolut rigid în jurul unei axe fixe și caracteristicile sale cinematice

Din cuprinsul paragrafelor anterioare reiese clar că cele mai simple elemente cinematice introduse mai sus - vitezele unghiulare de rotație ale corpului (sau sistemul de coordonate) și vitezele mișcărilor de translație - respectă aceleași legi ca forțele și cuplurile în statică. De fapt, perechile de rotații sau mișcările de translație sunt analoge cu perechile de forțe. Ca și în statică, un set de perechi cinematice este echivalent cu o pereche al cărei moment (sau viteza mișcării de translație rezultată) egală cu suma momentelor termenilor perechilor.

Vitezele unghiulare de rotație în jurul axelor care se intersectează într-un punct sunt înlocuite cu o viteză unghiulară în același mod în care un sistem de forțe convergente în statică este redus la o singură forță (rezultă). Analogia dintre vitezele unghiulare ale componentelor de rotație și forțele nu se limitează la aceasta. Vom stabili acum că adăugarea rotațiilor în jurul axelor paralele este complet analogă cu adăugarea forțelor paralele.

Să presupunem că corpul se rotește cu viteza unghiulară ω 2 în jurul axei O 2 z 2 relativ la sistemul de coordonate O 2 x 2 y 2 z 2, iar acesta din urmă se rotește cu viteza unghiulară ω 1 în jurul axei O 1 z 1 relativ la sistemul de coordonate O 1 x 1 y 1 z 1 , iar topoarele O 1 z 1 și O 2 z 2 sunt paralele (Fig. 14.7).

Apoi viteza absolută a oricărui punct M corp

Viteze v rŞi v e puncte M situate într-un plan perpendicular pe axele O 1 z 1 și O 2 z 2, deci, viteza absolută v puncte M se află într-un plan perpendicular pe aceste axe. De la punctul M este arbitrară, aceasta înseamnă că corpul este implicat în mișcarea plană. Să găsim în avion x 1 O 1 y 1 centru de viteză instantanee în cazul în care ω 1 și ω 2 sunt direcționate în aceeași direcție (Fig. 14.7, a).

Pentru un punct R, întins pe linie dreaptă O 1 O 2, v rŞi v e coliniare, dar îndreptată în direcții diferite. Pentru ca suma lor geometrică să fie egală cu zero, trebuie îndeplinită egalitatea

(14.11)

Punct Rîmparte un segment O 1 O 2 intern în părți invers proporționale cu modulele vitezelor unghiulare ale componentelor de rotație.

Să trecem acum la adăugarea rotațiilor cu direcții opuse. Lasă Speed v rŞi v e acesta este al meu O 1 O 2, situat în afara segmentului O 1 O 2(Fig. 14.7, b). Să găsim un punct R, în care aceste viteze sunt egale:

(14.12)

Punct Rîmparte un segment O 1 O 2 exterior în părți invers proporționale cu modulele de viteză unghiulară. Un astfel de punct poate fi întotdeauna găsit chiar dacă

În fiecare dintre cazurile luate în considerare, punctul R are o viteză egală cu zero, adică

Să găsim acum viteza unui punct arbitrar M:

Aici r"- raza vectorului unui punct M raportat la centrul vitezei instantanee R. Deschizând parantezele din partea dreaptă și folosind egalitatea (14.13), obținem

Unde

De aici rezultă, că combinația a două rotații care au loc în jurul axelor paralele, dar care nu reprezintă o pereche de rotații, se reduce la o singură rotație, a cărei axă instantanee împarte, intern sau extern, distanța dintre axele rotațiilor componentelor în părți invers proporționale cu modulele vitezelor unghiulare. Viteza unghiulară a rotației rezultate este egală cu suma geometrică a vitezelor unghiulare ale mișcărilor componentelor.

Dacă vitezele unghiulare sunt direcționate într-o singură direcție, atunci axa instantanee de rotație este situată între axe O 1 z 1Şi O2z2și modulul vitezei unghiulare rezultate În cazul rotațiilor cu direcție opusă, axa instantanee este situată în spatele axei în jurul căreia se produce rotația cu o viteză unghiulară mai mare și Viteza unghiulară rezultată este direcționată către viteza unghiulară mai mare.

Sarcini

Problema 14.3. În cutia de viteze (Fig. 14.8) era un transportator OS face n=720 rpm, iar angrenajele mobile 2 și 3 se rotesc în jurul axei lor față de motor în aceeași direcție cu o viteză unghiulară corespunzătoare lui n 23 = 240 rpm. Determinați raza r 1 roata fixă ​​1 și viteza arborelui II, Dacă OS= 240 mm, r 4 = 40 mm (r 4 este raza angrenajului 4).

Mecanismele de viteză 2 și 3 în mișcare efectuează o mișcare complexă. Ele se rotesc în jurul unei axe MNîn raport cu motorul şi împreună cu această axă în jurul axei arborelui.

Raza r 1 a roții fixe 1 se constată din condiția ca axa instantanee de rotație absolută a angrenajelor 2 și 3 să fie paralelă cu axa. MN, trece prin punctul de contact dintre roata fixă ​​1 și angrenajul mobil 2. Pe baza relației (14.11), putem scrie:

Unde ω 23 este viteza unghiulară a angrenajelor 2 și 3 atunci când acestea se rotesc în jurul axei MN și ω - viteza unghiulara a arborelui eu.

Între viteza unghiulară și numărul de rotații pe minut există o relație a formei

prin urmare,

Viteza unghiulară absolută ω a angrenajele 2 și 3 când se rotesc în jurul axei instantanee de pe bază (14.14) este egală cu

ω a = ω+ ω 23

Caracterizând viteza unghiulară prin numărul de rotații, obținem

n a = n + n 23 = 720 + 240 = 960 rpm.

Pentru a determina numărul de rotații ale angrenajului 4 și, prin urmare, arborele II, Să profităm de faptul că vitezele absolute ale punctelor din treptele 3 și 4 la punctul ÎN angajamentele lor sunt egale între ele (nu există nicio alunecare relativă):

Astfel,

Problema 14.4. Câte rotații pe minut ar trebui să facă arborele de transmisie? eu cutie de viteze (Fig. 14.9) astfel încât arborele antrenat II făcut n 4 =1800 rpm?

Prima roată cu dinți interni este staționară. Dat: r 1 = 150 mm, r 2 = 30 mm, r 4 = 50 mm.

Roțile de viteză mobile 2 și 3 ca o singură unitate efectuează o mișcare complexă. Ele se rotesc în jurul unei axe MN față de lesă și împreună cu aceasta se rotesc în jurul unei axe eu.

Prin punct trece axa instantanee de rotație absolută a acestor roți dințate ÎN- punctul de angrenare al angrenajului mobil 2 și al angrenajului fix eu. Această axă este paralelă cu axa MN. Deoarece axa instantanee de rotație absolută a angrenajelor 2 și 3 se află în afara axelor mișcărilor componentelor, rotația acestor roți dințate în jurul axei MN are loc în direcția opusă direcției de rotație a arborelui eu.

Să luăm în considerare cazul când mișcarea relativă a corpului este rotația cu viteză unghiulară în jurul axei aa”, montată pe manivelă bа (Fig. 74, a), iar cea portabilă este rotirea manivelei bа în jurul unei axe paralele. la viteza unghiulară atunci mișcarea corpului va fi plan-paralelă în raport cu planul perpendicular pe axele.

1. Rotațiile sunt direcționate într-o singură direcție. Să descriem secțiunea S a corpului cu un plan perpendicular pe axele (Fig. 74, b). Urmele axelor din secțiunea S vor fi notate cu literele A și B. Punctul A, ca situat pe axă, primește viteză doar din rotirea în jurul axei Bb", deci, . În același mod. În acest caz , vectorii și sunt paraleli între ei (ambele perpendiculare pe AB) și direcționați în direcții diferite. Atunci punctul C este centrul instantaneu al vitezelor (), și, prin urmare, axa Cc, paralelă cu axele Aa și Bb, este. axa instantanee de rotație a corpului.

a)b)Fig. 74. Adăugarea rotațiilor în jurul a două axe paralele (rotații direcționate într-o singură direcție)

Pentru a determina viteza unghiulară ω a rotației absolute a corpului în jurul axei Сс" și poziția axei însăși, adică punctul C, folosim egalitatea

Ultimul rezultat provine din proprietățile proporției. Înlocuind aceste egalități, găsim în cele din urmă:

Deci, dacă un corp participă simultan la două rotații direcționate în aceeași direcție în jurul axelor paralele, atunci mișcarea sa rezultată va fi o rotație instantanee cu viteză unghiulară absolută în jurul unei axe instantanee paralele cu datele; poziţia acestei axe este determinată de proporţii.

În timp, axa instantanee de rotație Сс" își schimbă poziția, descriind o suprafață cilindrică.

2. Rotațiile sunt direcționate în direcții diferite. Să reprezentăm din nou secțiunea S a corpului (Fig. 75) și să presupunem, pentru certitudine, că. Apoi, raţionând ca în cazul precedent, constatăm că vitezele punctelor A şi B vor fi numeric egale, ; în același timp, sunt paralele între ele și îndreptate în aceeași direcție. Apoi axa instantanee de rotație trece prin punctul C (Fig. 75) și

Ultimul rezultat vine și din proprietățile proporției. Înlocuind valorile și în aceste egalități, găsim în cele din urmă:

Deci, în acest caz, mișcarea rezultată este și o rotație instantanee cu viteză unghiulară absolută în jurul axei Cc”, a cărei poziție este determinată de proporții.

3. Câteva rotiri. Să luăm în considerare un caz special când rotațiile în jurul axelor paralele sunt direcționate în direcții diferite (Fig. 76), dar în modul. Un astfel de set de rotații se numește pereche de rotații, iar vectorii și formează o pereche de viteze unghiulare.

Orez. 75. Adunarea rotațiilor în jurul a două axe paralele (rotațiile sunt direcționate în direcții diferite) Fig. 76. Câteva rotiri

În acest caz obținem asta și, i.e. . Atunci centrul instantaneu de viteze este la infinit și toate punctele corpului la un moment dat de timp au aceleași viteze.

În consecință, mișcarea rezultată a corpului va fi mișcare de translație (sau de translație instantanee) cu o viteză egală numeric și direcționată perpendicular pe planul care trece prin vectori și; direcția vectorului se determină la fel ca în statică direcția momentului unei perechi de forțe. Cu alte cuvinte, o pereche de rotații este echivalentă cu mișcarea de translație (sau de translație instantanee) cu o viteză egală cu momentul unei perechi de viteze unghiulare ale acestor rotații.

Manual pentru studenții universităților tehnice

Avem cea mai mare bază de date de informații din RuNet, așa că puteți găsi întotdeauna interogări similare Sarcini de testare la matematică. Opțiuni gata

Efectuarea îngrijirilor medicale în pediatrie. Păstrarea sănătății copiilor

Bancar sarcini de testare de pregătire pentru examenul „Efectuarea îngrijirilor medicale în pediatrie” Secțiunea „Păstrarea sănătății copiilor”

1. Adăugarea rotațiilor în jurul axelor care se intersectează. Fie ca un corp rigid să participe simultan la două rotații: portabil cu viteza unghiulară și relativ cu viteza unghiulară. Axele de rotație se intersectează în punctul O (Fig. 49.a)

Un exemplu de corp care participă la două rotații în jurul axelor care se intersectează este un disc O, montat lejer pe osie OO"și rotindu-se în jurul lui cu viteză unghiulară. Impreuna cu axa OO" discul încă se rotește în jurul altuia

topoare O 1 O 2(Fig.49.b) cu viteza unghiulara.

Conform teoremei de adunare a vitezelor pentru un punct M avem

Deoarece mișcările de translație și relative sunt rotații în jurul axei, atunci

Unde h 1Şi h 2 - cele mai scurte distanțe de la un punct M la axele de rotație corespunzătoare.Aricele triunghiurilor dintr-un paralelogram sunt egale, deci .

Prin adăugarea a două rotații în jurul axelor care se intersectează, dintre care una este portabilă și cealaltă relativă, rezultatul este o rotație a corpului în jurul axei instantanee.

Pentru a determina viteza unghiulară absolută de rotație în jurul axei instantanee, selectați un punct de pe corp Nși calculați viteza sa o dată ca viteză a mișcării complexe, iar cealaltă ca rotație în jurul axei instantanee. Conform formulei lui Euler pentru mișcările de rotație în mișcare complexă, avem

Pentru rotație absolută în jurul axei instantanee

Echivalând vitezele, obținem

adică viteza unghiulară de rotație absolută este egală cu suma vectorială a vitezelor unghiulare ale rotațiilor componentelor.

2. Adăugarea rotațiilor în jurul axelor paralele. Sunt trei cazuri de luat în considerare.

1) Rotațiile au aceleași direcții. Corpul participă la două rotații: portabil cu viteza unghiulară și relativ cu viteza unghiulară (Fig. 50). Pe segment AB corp la momentul luat în considerare există un punct C, a cărui viteză este zero. Într-adevăr, prin teorema de adiție a vitezei pentru punctul C avem

Viteza punctului C este zero dacă . Dar, . Prin urmare,

Pentru a determina viteza unghiulară de rotație a corpului în jurul axei instantanee, calculăm viteza punctului ÎN, considerând mişcarea ei dificilă. Primim

Prin urmare,

Pentru viteza punctului ÎN când corpul se rotește în jurul axei instantanee, avem

Echivalarea vitezelor punctuale ÎN, obţinut în două moduri, avem

Conform (*),

Formula (*) poate fi reprezentată după cum urmează:

Formând o proporție derivată și folosind formula (**), obținem

Astfel, la adăugarea a două rotații ale unui corp în jurul axelor paralele în aceleași direcții, se obține o rotație în jurul unei axe paralele în aceeași direcție Cu viteza unghiulara egala cu suma vitezelor unghiulare ale rotatiilor componentelor. Axa instantanee a rotației rezultate împarte segmentul

între axele rotațiilor componentelor în părți invers proporționale cu vitezele unghiulare ale acestor rotații, într-o manieră internă.

2) Rotațiile au direcții opuse. Să luăm în considerare cazul când . Obținem următoarele formule:

Astfel, la adăugarea a două rotații ale unui corp rigid în jurul axelor paralele în direcții opuse, se obține o rotație în jurul unei axe paralele Cu viteza unghiulara egala cu diferenta de viteze unghiulare ale componentelor de rotatie in sensul de rotatie Cu viteză unghiulară mai mare. Axa de rotație absolută împarte segmentul dintre axele rotațiilor componente în părți care sunt invers proporționale cu vitezele unghiulare ale acestor rotații în interior.

3. Câteva rotiri. O pereche de rotații este o combinație de două rotații ale unui corp rigid, portabil și relativ, în jurul axelor paralele cu viteze unghiulare egale în direcții opuse (Fig. 52). ).

În acest caz, considerând mișcarea unui corp ca fiind complexă, conform teoremei de adunare a vitezelor pentru un punct M avem

Înlocuind (~) în formulă cu , obținem în consecință

Combinând rezultatele, avem

Astfel, dacă un corp rigid participă la o pereche de rotații, atunci vitezele tuturor punctelor corpului, conform(~~), sunt identice, adică corpul efectuează o mișcare de translație instantanee.