Adăugarea mișcărilor de rotație ale unui corp rigid. Adăugarea rotațiilor în jurul axelor paralele Adăugarea vitezelor unghiulare ale unui corp rigid
Sunt trei cazuri de luat în considerare.
1) Rotațiile au aceleași direcții. Corpul participă la două rotații: portabil cu viteza unghiulară și relativ cu viteza unghiulară (Fig. 71). Un astfel de corp este discul prezentat în Fig. 72. Să intersectăm axele de rotație perpendiculare pe dreapta. Obținem punctele de intersecție și la care vectorii viteză unghiulară și pot fi transferați. Pe un segment al corpului în momentul în cauză există un punct a cărui viteză este zero. Într-adevăr, prin teorema de adunare a vitezei pentru un punct avem
Punctele corpului pentru care vitezele de transfer și relative sunt paralele și opuse pot fi localizate numai pe segmentul dintre punctele și . Viteza unui punct este zero dacă Dar , . Prin urmare,
O linie dreaptă perpendiculară pe axele de rotație poate fi trasată la orice distanță. În consecință, există o axă atașată corpului și paralelă cu axele de rotație, ale cărei viteze ale punctelor sunt egale cu zero la un moment dat. Ea este axa de rotație instantanee la momentul de timp luat în considerare.
Pentru a determina viteza unghiulară de rotație a corpului în jurul axei instantanee, calculăm viteza punctului, luând în considerare complexul său de mișcare. Primim:
Prin urmare,
Pentru viteza unui punct când corpul se rotește în jurul axei instantanee, avem
Echivalând vitezele punctuale obținute în două moduri, avem
Conform (138)
Formula (138) poate fi reprezentată ca:
Formând o proporție derivată și folosind formula (139), obținem
Astfel, la adăugarea a două rotații ale corpului în jur axe paraleleîn aceleaşi direcţii, rotaţia în jurul unei axe paralele în acelaşi sens se obţine cu o viteză unghiulară egală cu suma vitezelor unghiulare ale rotaţiilor componentelor. Axa instantanee a rotației rezultate împarte segmentul dintre axele rotațiilor componentelor în părți invers proporționale cu vitezele unghiulare ale rotațiilor, intern. Punctul cu această împărțire este situat între punctele și.
Opusul este adevărat. Rotația în jurul unei axe cu viteză unghiulară poate fi descompusă în două rotații în jurul a două axe paralele cu viteze unghiulare și .
Un corp care participă la două rotații în jurul axelor paralele efectuează o mișcare plană. Mișcarea plană a unui corp rigid poate fi reprezentată ca două rotații, portabilă și relativă, în jurul axelor paralele. Mișcarea plană a roții satelit 2 pe roata staționară 1 (Fig. 73) este un exemplu de mișcare care poate fi înlocuită cu două rotații în jurul axelor paralele în aceeași direcție, de exemplu, în sens invers acelor de ceasornic. Roata satelit efectuează o rotație de translație împreună cu manivela în jurul unei axe care trece printr-un punct cu viteză unghiulară și o rotație relativă în jurul unei axe care trece printr-un punct cu viteză unghiulară. Ambele rotații au aceleași direcții. Rotația absolută are loc în jurul unei axe care trece prin punct, care este în prezent MCS. Este situată în punctul de contact al roților dacă roata în mișcare se rostogolește fără să alunece pe cea staționară. Viteza unghiulară de rotație absolută
Rotația absolută la această viteză unghiulară are loc în aceeași direcție cu componentele mișcării.
2) Rotațiile au direcții opuse. Să luăm în considerare cazul când (Fig. 74). Obținem următoarele formule:
Pentru a deriva aceste formule, descompunem rotația cu viteză unghiulară în două rotații în aceeași direcție în jurul a două axe paralele cu viteze unghiulare și . Să luăm axa uneia dintre rotațiile cu viteză unghiulară pentru a trece prin punct și alegem . O altă rotație cu viteză unghiulară va trece prin punct (Fig. 75). Pe baza (139) și (140) avem
Valabilitatea formulelor (141) și (142) a fost dovedită. Astfel, la adăugarea a două rotații ale unui corp rigid în jurul axelor paralele în direcții opuse, rezultatul este o rotație în jurul unei axe paralele cu o viteză unghiulară egală cu diferența dintre vitezele unghiulare ale rotațiilor componentelor în sensul de rotație cu o viteză unghiulară mai mare. . Axa de rotație absolută împarte segmentul dintre axele rotațiilor componente în părți care sunt invers proporționale cu vitezele unghiulare ale acestor rotații în interior. Punctul cu această împărțire este situat pe segmentul din spatele punctului prin care axa de rotație trece cu o viteză unghiulară mai mare.
De asemenea, puteți descompune o rotație în două în jurul axelor paralele cu direcții opuse de rotație. Un exemplu de mișcare plană a unui corp rigid, care poate fi reprezentat prin două rotații în jurul axelor paralele în direcții opuse, este mișcarea unei roți satelit care se rostogolește în interiorul unei roți staționare fără alunecare (Fig. 76). În acest caz, ceea ce este portabil este rotirea roții 2 împreună cu manivela cu viteză unghiulară în jurul unei axe care trece prin punctul . Rotația relativă a roții 2 va fi în jurul unei axe care trece printr-un punct cu viteza unghiulară și rotația absolută a acestei roți în jurul unei axe care trece prin MCS, punctul , cu viteza unghiulară. În acest caz și deci viteza unghiulară de rotație absolută. Această rotație în direcție coincide cu direcția de rotație, care are o viteză unghiulară mare. Axa de rotație absolută este situată în afara segmentului din spatele axei de rotație cu o viteză unghiulară mai mare.
3) Câteva rotații. Câteva rotiri este o combinație de două rotații ale unui corp rigid, portabil și relativ, în jurul axelor paralele cu viteze unghiulare egale în direcții opuse (Fig. 77). În acest caz. Considerând mișcarea unui corp ca fiind complexă, conform teoremei de adunare a vitezelor pentru un punct pe care îl avem
Componentele mișcării sunt rotații cu viteze unghiulare și . Folosind formula lui Euler pentru ele obținem
După aceasta, pentru viteza absolută pe care o avem
deoarece . Având în vedere asta, obținem
Deoarece produs vectorial atunci poate fi numit momentul vitezei unghiulare relativ la punct
Este egal cu impulsul vectorial al unei perechi de rotații, care poate fi exprimat și ca impulsul vectorial al uneia dintre vitezele unghiulare relativ la orice punct situat pe axa de rotație a unui corp cu o altă viteză unghiulară inclusă în perechea de rotații. rotatii. Viteza mișcării de translație a unui corp care participă la o pereche de rotații depinde numai de caracteristicile perechii de rotații. Este perpendicular pe axele perechii de rotații. Valoarea sa numerică poate fi exprimată ca
unde este cea mai scurtă distanță dintre axele perechii sau umărul perechii.
O pereche de rotații este analogă cu o pereche de forțe care acționează asupra unui corp rigid. Vitezele unghiulare de rotație ale unui corp, similare forțelor, sunt vectori de alunecare. Momentul vectorial al unui cuplu de forțe este un vector liber. Momentul vectorial al unei perechi de rotații are o proprietate similară.
Dacă fixați un segment drept pe treapta de viteză 2, atunci acesta va rămâne paralel cu poziția inițială atunci când mecanismul se mișcă. Dacă acest segment orizontal este combinat cu fundul unei căni de apă, atașând ceașca de un angrenaj mobil, atunci apa nu se va vărsa din ceașcă atunci când mecanismul se mișcă într-un plan vertical.
În timpul mișcării de translație, traiectoriile tuturor punctelor corpului sunt identice. Punctul descrie un cerc cu raza . Traiectoriile tuturor celorlalte puncte ale angrenajului în mișcare vor fi, de asemenea, cercuri de aceeași rază. Un corp care participă la o pereche de rotații efectuează o mișcare plană de translație.
Dacă mișcările relative și de translație ale unui corp sunt de rotație în jurul axelor paralele (Fig. 133), atunci distribuția vitezelor absolute în corp la un moment dat este aceeași ca în timpul mișcării de rotație în jurul unei axe instantanee, care este paralelă cu axele de rotație ale componentelor și împarte distanța dintre ele intern (dacă direcțiile rotațiilor portabile și relative coincid) sau extern (dacă direcțiile acestor rotații sunt înapoi) în părți invers proporționale cu vitezele unghiulare relative și portabile, adică.
unde sunt vitezele unghiulare portabile, relative și, respectiv, absolute.
Dacă direcțiile vitezelor unghiulare coincid (Fig. 133, a), atunci viteza unghiulară absolută este îndreptată în aceeași direcție și în modul este egală cu suma modulelor lor:
Dacă vectorii sunt direcționați în laturi opuse(Fig. 133, b), atunci viteza unghiulară absolută este îndreptată către cea mai mare dintre ele și în modul este egală cu diferența în modulele lor, adică.
Dacă vitezele unghiulare relative și portabile formează o pereche de viteze unghiulare, adică (Fig. 133, c), atunci distribuția vitezelor absolute în corp este aceeași ca în timpul mișcării de translație, iar viteza absolută a oricărui punct al corpului la un moment dat este egal cu vectorul - momentul cuplurilor indicate:
Când se rezolvă probleme care implică adăugarea de rotații în jurul axelor paralele, adesea se operează nu cu valorile absolute ale vitezelor unghiulare, ci cu mărimile lor algebrice, care sunt proiecții ale vitezelor unghiulare pe o axă paralelă cu axele rotațiilor luate în considerare. . Alegerea direcției pozitive a axei specificate este arbitrară.
În acest caz, vitezele unghiulare dintr-o direcție sunt pozitive, iar cele din direcția opusă sunt negative, iar viteza unghiulară absolută este exprimată ca suma algebrică a componentelor vitezelor unghiulare.
Exemplul 94. În mecanismul diferențial (Fig. 134, a și b), verigile motrice sunt roata 1 și purtătorul H, care poartă axa satelitului dublu. Cunoscând vitezele unghiulare ale roților 1 și suportului H, precum și numărul de dinți ai tuturor roților, găsiți viteza unghiulară a roții 3.
Soluţie. metoda (metoda Willis). Esența metodei este de a reduce problema analizei mecanismelor planetare și diferențiale la analiza mecanismelor obișnuite de angrenaj prin trecerea de la mișcarea absolută a legăturilor mecanismului planetar luat în considerare la mișcarea lor relativă față de purtător.
Să avem un mecanism planetar ale cărui axe ale roților sunt paralele. Să notăm prin valori algebrice vitezele unghiulare absolute ale legăturilor și, respectiv, purtătorul H.
Pentru a trece la mișcare față de purtător, să comunicăm mental întregului sistem o rotație în jurul axei purtătorului cu viteză unghiulară (adică, egală cu viteza unghiulară a purtătorului, dar îndreptată exact în direcția opusă). Apoi purtătorul se va opri, iar legăturile, bazate pe teorema de adunare a rotațiilor, vor primi viteze unghiulare. Deoarece cu un suport staționar obținem un mecanism obișnuit de angrenaj, ale cărui legături se rotesc în jurul axelor staționare, atunci formula (97) pentru rapoartele de transmisie poate fi aplicată acestui mecanism, ceea ce ne conduce la așa-numita formulă Willis:
unde este raportul de transmisie dintre legături și în mișcarea acestora față de purtătorul H (așa cum este indicat de superscript). Acest raport de transmisie, așa cum sa indicat deja, poate fi exprimat prin designul și parametrii geometrici ai mecanismului (numărul de dinți sau razele cercurilor inițiale în plasă a roților).
În problema noastră, aplicăm formula Willis la legăturile 1 și 3:
(raportul de transmisie dintre roțile 5 și 2 este pozitiv, deoarece roțile au angrenaj intern);
(aici raportul de transmisie este negativ, deoarece roțile sunt 2 și au angrenaj extern).
Astfel,
Fie, de exemplu, și, în plus, roata și suportul H se rotesc într-o direcție cu viteze unghiulare și . În acest caz. Dacă roata și suportul H s-au rotit în direcții opuse, atunci viteza unghiulară a uneia dintre aceste legături ar trebui să fie considerată pozitivă, iar cealaltă negativă.
În acest caz, cu aceleași valori absolute ale vitezelor unghiulare ale legăturilor și H, am avea:
adică, roata 3 s-ar roti în aceeași direcție cu șoferul, deoarece semnele vitezelor lor unghiulare coincid.
Dacă fixăm roata, obținem un mecanism planetar simplu. Formula Willis în acest caz rămâne în vigoare, trebuie doar să introduceți această formulă, care dă:
Metoda 2 (metoda centrelor de viteză instantanee). Deoarece legăturile unui mecanism planetar sau diferențial cu axe paralele realizează mișcare plan-paralelă, atunci când se analizează un astfel de mecanism se poate aplica teoria mișcării plan-paralel și, în special, se poate folosi metoda centrelor de viteză instantanee. Este util să însoțim soluția problemei prin construirea triunghiurilor de viteză, care sunt de obicei luate în afara mecanismului (Fig. 134, c). Notăm razele roților mecanismului luat în considerare prin . Apoi avem.
În fig. 54 prezintă un corp care efectuează o mișcare complexă - rotație în jurul unei axe, care ea însăși se rotește în jurul altei axe fixe. Desigur, prima rotație ar trebui să fie numită mișcarea relativă a corpului, a doua - portabilă, iar axele corespunzătoare ar trebui desemnate și .
Fig.54
Mișcarea absolută va fi rotația în jurul punctului de intersecție al axelor DESPRE. (Dacă corpul este mai mare, atunci punctul său coincide cu DESPRE, va rămâne nemișcat tot timpul). Vitezele unghiulare ale rotației portabile și ale rotației relative sunt reprezentate de vectori și reprezentate dintr-un punct fix DESPRE, punctele de intersecție ale axelor, de-a lungul axelor corespunzătoare.
Să găsim viteza absolută a unui punct M corp, a cărui poziţie este determinată de vectorul rază (Fig. 54).
După cum știți, este format din două viteze, relativă și portabilă: . Dar mișcarea relativă a unui punct (folosind regula de oprire), care este rotația cu viteză unghiulară în jurul axei, este determinată de vectorul rază. De aceea, .
|
Mișcarea portabilă a unui punct la un moment dat în timp, folosind din nou regula de oprire, este de asemenea rotație, dar în jurul unei axe cu viteză unghiulară și va fi determinată de același vector rază. Prin urmare, viteza de transfer este .
Viteza absolută, viteza la rotirea în jurul unui punct fix DESPRE, în mișcare sferică, este determinată în mod similar cu , unde este viteza unghiulară absolută direcționată de-a lungul axei instantanee de rotație R.
Folosind formula pentru adăugarea vitezelor obținem: sau .
Adică, viteza unghiulară instantanee, viteza unghiulară a mișcării absolute, este suma vectorială a vitezelor unghiulare ale mișcării portabile și relative. Și axa instantanee de rotație P, îndreptată de-a lungul vectorului, coincide cu diagonala paralelogramului construit pe vectorii și (Fig. 54).
Cazuri speciale:
1. Axele de rotație și sunt paralele, direcțiile de rotație sunt aceleași (Fig. 55).
Fig.55
Deoarece vectorii sunt paraleli și direcționați în aceeași direcție, viteza unghiulară absolută este egală ca mărime cu suma modulelor lor, iar vectorul său este direcționat în aceeași direcție. Axa de rotație instantanee Rîmparte distanța dintre axe în părți invers proporționale cu și:
. (Asemănător cu rezultatul forțe paralele).
În acest caz particular, corpul O efectuează mișcare plan-paralelă. Centrul instantaneu al vitezelor este pe axă R.
2.Axele de rotație sunt paralele, sensurile de rotație sunt opuse (Fig. 56).
Fig.56
În acest caz (la ). Axa instantanee de rotație și centrul instantaneu de viteze sunt situate în spatele vectorului vitezei unghiulare mai mari la distanțe astfel încât (din nou prin analogie cu definiția rezultantei forțelor paralele).
3.Axele de rotație sunt paralele, sensurile de rotație sunt opuse și vitezele unghiulare sunt egale.
Viteza unghiulară a mișcării absolute și, prin urmare, corpul realizează mișcarea de translație. Acest caz se numește câteva rotiri, prin analogie cu o pereche de forțe.
Exemplul 16. Raza discului R se rotește în jurul unei axe orizontale cu viteză unghiulară, iar această axă, împreună cu cadrul, se rotește în jurul unei verticale axă fixă cu viteza unghiulara (Fig. 57).
Fig.57
Axa orizontală este axa de rotație relativă; axă verticală – axă de rotație portabilă. În consecință, vectorii lor viteză unghiulară sunt direcționați de-a lungul axelor și.
Viteza unghiulară absolută și mărimea acesteia, deoarece,
Viteza punctului O, de exemplu, poate fi găsit sau ca suma vitezelor portabile și relative: , unde
sau ca în cazul mișcării absolute, cu rotația în jurul unei axe instantanee R, .
Vectorul viteză va fi situat într-un plan perpendicular pe vector și pe axă R.
Exemplul 17. Purtător OA cu două roți 2 și 3 montate pe el, se rotește în jurul unei axe DESPRE cu viteza unghiulara. În acest caz, roata 2 se va rostogoli peste roata staționară 1 și va face ca roata 3 să se rotească. Să găsim viteza unghiulară a acestei roți. Razele roții (Fig. 58).
Fig.58
Roata 3 este implicată în două mișcări. Rotiți cu suportul în jurul unei axe DESPREși relativ la axă. Axă DESPRE va fi o axă portabilă, axa va fi relativă. Viteza unghiulară portabilă a roții 3 este viteza unghiulară a suportului îndreptată în sensul acelor de ceasornic, ca .
Pentru a determina viteza unghiulară a mișcării relative, observatorul trebuie să fie pe purtător. El va vedea suportul staționar, roata 1 rotindu-se în sens invers acelor de ceasornic cu viteză (Fig. 59) și roata 3 rotindu-se cu o viteză unghiulară relativă, în sens invers acelor de ceasornic. De atunci. Axele de rotație sunt paralele, sensurile de rotație sunt opuse. Prin urmare, este direcționat în același mod ca în sens invers acelor de ceasornic. În special, dacă , atunci .Roata 3 se va deplasa înainte.
Fig.59
Studiul mișcării altor structuri similare (cutii de viteze planetare și diferențiale, angrenaje) se realizează într-un mod similar.
Viteza unghiulară portabilă este viteza unghiulară a suportului (cadre, cruci etc.), iar pentru a determina viteza relativă a oricărei roți, trebuie să opriți purtătorul și să forțați roata staționară să se rotească cu viteza unghiulară. a transportatorului, dar în sens invers.
Accelerațiile unghiulare ale unui corp în mișcare absolută pot fi căutate ca derivată, unde . Să arătăm (Fig. 60) vectorii unitar și (sau vectorii axelor și ), și scriem vectorii viteză unghiulară după cum urmează: , . și , ca viteza la capătul vectorului. Modulul de accelerație unghiulară suplimentară, unde este unghiul dintre axe.
Desigur, dacă axele de rotație sunt paralele, aceasta accelerație unghiulară va fi egal cu zero, deoarece .
1. Adăugarea rotațiilor în jurul axelor care se intersectează. Fie ca un corp rigid să participe simultan la două rotații: portabil cu viteza unghiulară și relativ cu viteza unghiulară. Axele de rotație se intersectează în punctul O (Fig. 49.a)
Un exemplu de corp care participă la două rotații în jurul axelor care se intersectează este un disc O, montat lejer pe osie OO"și rotindu-se în jurul lui cu viteză unghiulară. Impreuna cu axa OO" discul încă se rotește în jurul altuia
topoare O 1 O 2(Fig.49.b) cu viteza unghiulara.
Conform teoremei de adunare a vitezelor pentru un punct M avem
Deoarece mișcările de translație și relative sunt rotații în jurul axei, atunci
Unde h 1Şi h 2 - cele mai scurte distanțe de la un punct M la axele de rotație corespunzătoare.Aricele triunghiurilor dintr-un paralelogram sunt egale, deci .
Prin adăugarea a două rotații în jurul axelor care se intersectează, dintre care una este portabilă și cealaltă relativă, rezultatul este o rotație a corpului în jurul axei instantanee.
Pentru a determina viteza unghiulară absolută de rotație în jurul axei instantanee, selectați un punct de pe corp Nși calculați viteza sa o dată ca viteză a mișcării complexe, iar cealaltă ca rotație în jurul axei instantanee. Conform formulei lui Euler pentru mișcările de rotație în mișcare complexă, avem
Pentru rotație absolută în jurul axei instantanee
Echivalând vitezele, obținem
adică viteza unghiulară de rotație absolută este egală cu suma vectorială a vitezelor unghiulare ale rotațiilor componentelor.
2. Adăugarea rotațiilor în jurul axelor paralele. Sunt trei cazuri de luat în considerare.
1) Rotațiile au aceleași direcții. Corpul participă la două rotații: portabil cu viteza unghiulară și relativ cu viteza unghiulară (Fig. 50). Pe segment AB corp la momentul luat în considerare există un punct C, a cărui viteză este zero. Într-adevăr, prin teorema de adiție a vitezei pentru punctul C avem
Viteza punctului C este zero dacă . Dar, . Prin urmare,
Pentru a determina viteza unghiulară de rotație a corpului în jurul axei instantanee, calculăm viteza punctului ÎN, considerând mişcarea ei dificilă. Primim
Prin urmare,
Pentru viteza punctului ÎN când corpul se rotește în jurul axei instantanee, avem
Echivalarea vitezelor punctuale ÎN, obţinut în două moduri, avem
Conform (*),
Formula (*) poate fi reprezentată după cum urmează:
Formând o proporție derivată și folosind formula (**), obținem
Astfel, la adăugarea a două rotații ale unui corp în jurul axelor paralele în aceleași direcții, se obține o rotație în jurul unei axe paralele în aceeași direcție Cu viteza unghiulara egala cu suma vitezelor unghiulare ale rotatiilor componentelor. Axa instantanee a rotației rezultate împarte segmentul
între axele rotațiilor componentelor în părți invers proporționale cu vitezele unghiulare ale acestor rotații, într-o manieră internă.
2) Rotațiile au direcții opuse. Să luăm în considerare cazul când . Obținem următoarele formule:
Astfel, la adăugarea a două rotații ale unui corp rigid în jurul axelor paralele în direcții opuse, se obține o rotație în jurul unei axe paralele Cu viteza unghiulara egala cu diferenta de viteze unghiulare ale componentelor de rotatie in sensul de rotatie Cu viteză unghiulară mai mare. Axa de rotație absolută împarte segmentul dintre axele rotațiilor componente în părți care sunt invers proporționale cu vitezele unghiulare ale acestor rotații în interior.
3. Câteva rotiri. O pereche de rotații este o combinație de două rotații ale unui corp rigid, portabil și relativ, în jurul axelor paralele cu viteze unghiulare egale în direcții opuse (Fig. 52). ).
În acest caz, considerând mișcarea unui corp ca fiind complexă, conform teoremei de adunare a vitezelor pentru un punct M avem
Înlocuind (~) în formulă cu , obținem în consecință
Combinând rezultatele, avem
Astfel, dacă un corp rigid participă la o pereche de rotații, atunci vitezele tuturor punctelor corpului, conform(~~), sunt identice, adică corpul efectuează o mișcare de translație instantanee.
Să luăm în considerare cazul când mișcarea relativă a corpului este rotația cu viteză unghiulară în jurul unei axe fixate pe manivelă (Fig. 198, a), iar mișcarea portabilă este rotația manivelei în jurul unei axe paralele cu viteza unghiulară miscarea corpului va fi plan-paralela fata de planul perpendicular pe axele. Aici sunt posibile trei cazuri speciale.
1. Rotațiile sunt direcționate într-o singură direcție. Să descriem secțiunea S a corpului cu un plan perpendicular pe axele (Fig. 198, b). Notăm urmele axelor din secțiunea 5 cu literele A și B. Este ușor de observat că punctul A, așa cum se află pe axă, primește viteză doar din rotirea în jurul axei Bb, așadar, în același mod
În acest caz, vectorii sunt paraleli între ei (ambele perpendiculare pe AB) și direcționați în direcții diferite. Atunci punctul C (vezi § 56, Fig. 153, b) este centrul instantaneu al vitezelor și, prin urmare, axa paralelă cu axele și Bb este axa instantanee de rotație a corpului.
Pentru a determina viteza unghiulară c a rotației absolute a corpului în jurul axei și poziția axei în sine, adică punctul C, folosim egalitatea [vezi. § 56, formula (57)]
Ultimul rezultat provine din proprietățile proporției. Înlocuind aceste egalități, găsim în cele din urmă:
Deci, dacă un corp participă simultan la două rotații direcționate în aceeași direcție în jurul axelor paralele, atunci mișcarea sa rezultată va fi o rotație instantanee cu viteză unghiulară absolută în jurul unei axe instantanee paralele cu datele; poziţia acestei axe este determinată de proporţii (98).
În timp, axa instantanee de rotație își schimbă poziția, descriind o suprafață cilindrică.
2. Rotațiile sunt direcționate în direcții diferite. Să reprezentăm din nou secțiunea S a corpului (Fig. 199) și să presupunem, pentru certitudine, că sсoz. Apoi, raționând ca în cazul precedent, constatăm că vitezele punctelor A și B vor fi numeric egale: în același timp, ele vor fi paralele între ele și îndreptate în aceeași direcție.
Apoi axa instantanee de rotație trece prin punctul C (Fig. 199) și
Ultimul rezultat vine și din proprietățile proporției. Înlocuind valorile în aceste egalități, găsim în cele din urmă:
Deci, în acest caz, mișcarea rezultată este și o rotație instantanee cu viteză unghiulară absolută în jurul unei axe a cărei poziție este determinată de proporțiile (100).
3. Câteva rotiri. Să luăm în considerare un caz special când rotațiile în jurul axelor paralele sunt direcționate în direcții diferite (Fig. 200), dar modulo .
Un astfel de set de rotații se numește pereche de rotații, iar vectorii formează o pereche de viteze unghiulare. În acest caz, obținem, Atunci (vezi § 56, Fig. 153, a) centrul instantaneu de viteze este la infinit și toate punctele corpului la un moment dat de timp au aceleași viteze.
În consecință, mișcarea rezultată a corpului va fi mișcare de translație (sau de translație instantanee) cu o viteză egală numeric și direcționată perpendicular pe planul care trece prin vectori direcția vectorului v este determinată în același mod ca și în statică; a fost determinată direcția momentului unei perechi de forțe (vezi § 9). Cu alte cuvinte, o pereche de rotații este echivalentă cu mișcarea de translație (sau translație instantanee) cu o viteză v egală cu momentul unei perechi de viteze unghiulare ale acestor rotații.
