Adunarea puterilor cu același exponent. Reguli pentru înmulțirea puterilor cu baze diferite
Vă reamintim că în această lecție a intelege proprietăți de grad cu indicatori naturali si zero. Grade cu indicatori raționali iar proprietățile lor vor fi discutate în lecțiile pentru clasa a 8-a.
Un exponent cu un exponent natural are câteva proprietăți importante care vă permit să simplificați calculele în exemple de exponent.
Proprietatea #1
Produsul puterilor
Tine minte!
La înmulțirea puterilor cu aceeași bază, baza rămâne neschimbată și se adaugă exponenții.
a m a n \u003d a m + n, unde "a" - orice număr și "m", "n" - orice număr natural.
Această proprietate a puterilor afectează și produsul a trei sau mai multe puteri.
- Simplificați expresia.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15 - Prezentă ca diplomă.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17 - Prezentă ca diplomă.
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
Important!
Vă rugăm să rețineți că în proprietatea indicată era vorba doar de înmulțirea puterilor cu aceleași temeiuri . Nu se aplică la adăugarea lor.
Nu puteți înlocui suma (3 3 + 3 2) cu 3 5 . Acest lucru este de înțeles dacă
calculați (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 și 3 5 = 243
Proprietatea #2
Diplome private
Tine minte!
La împărțirea puterilor cu aceeași bază, baza rămâne neschimbată, iar exponentul divizorului este scăzut din exponentul dividendului.
= 11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 443 8: t = 3 4
T = 3 8 − 4
Răspuns: t = 3 4 = 81Folosind proprietățile nr. 1 și nr. 2, puteți simplifica cu ușurință expresiile și efectuați calcule.
- Exemplu. Simplificați expresia.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5 - Exemplu. Găsiți valoarea unei expresii folosind proprietățile gradului.
= = =
=2 9 + 2 2 5
= 2 11 − 5 = 2 6 = 642 11 2 5 Important!
Vă rugăm să rețineți că proprietatea 2 s-a ocupat doar de împărțirea puterilor pe aceleași baze.
Nu puteți înlocui diferența (4 3 −4 2) cu 4 1 . Acest lucru este de înțeles dacă luăm în considerare (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 și 4 1 = 4
Atenție!
Proprietatea #3
ExponentiatieTine minte!
Când ridicați o putere la o putere, baza puterii rămâne neschimbată, iar exponenții sunt înmulțiți.
(a n) m \u003d a n m, unde „a” este orice număr și „m”, „n” sunt orice numere naturale.
Proprietăți 4
Gradul de produsTine minte!
Când ridicați un produs la o putere, fiecare dintre factori este ridicat la o putere. Rezultatele sunt apoi multiplicate.
(a b) n \u003d a n b n, unde „a”, „b” sunt orice numere raționale; "n" - oricare numar natural.
- Exemplul 1
(6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 s 1 2 = 36 a 4 b 6 s 2 - Exemplul 2
(−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6
Important!
Vă rugăm să rețineți că proprietatea nr. 4, ca și alte proprietăți ale gradelor, se aplică și în ordine inversă.
(a n b n)= (a b) nAdică, pentru a înmulți grade cu aceiași exponenți, puteți înmulți bazele și lăsați exponentul neschimbat.
- Exemplu. Calculati.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000 - Exemplu. Calculati.
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1
În exemple mai complexe, pot exista cazuri când înmulțirea și împărțirea trebuie efectuate pe puteri cu baze diferite și exponenți diferiți. În acest caz, vă sfătuim să faceți următoarele.
De exemplu, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
Exemplu de exponențiere a unei fracții zecimale.
4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4Proprietăți 5
Puterea coeficientului (fracțiilor)Tine minte!
Pentru a crește un coeficient la o putere, puteți crește dividendul și divizorul separat la această putere și puteți împărți primul rezultat la al doilea.
(a: b) n \u003d a n: b n, unde "a", "b" sunt orice numere raționale, b ≠ 0, n este orice număr natural.
- Exemplu. Exprimați expresia ca puteri parțiale.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Vă reamintim că un coeficient poate fi reprezentat ca o fracție. Prin urmare, ne vom opri asupra subiectului ridicării unei fracții la o putere mai detaliat pe pagina următoare.
- Exemplul 1
Dacă nu acordăm atenție gradului al optulea, ce vedem aici? Să aruncăm o privire asupra programului de clasa a VII-a. Deci, îți amintești? Aceasta este formula de înmulțire prescurtată și anume diferența de pătrate! Primim:
Ne uităm cu atenție la numitor. Seamănă foarte mult cu unul dintre factorii numărători, dar ce este în neregulă? Ordine greșită a termenilor. Dacă ar fi schimbate, regula s-ar putea aplica.
Dar cum să faci asta? Se dovedește că este foarte ușor: aici ne ajută gradul par al numitorului.
Termenii și-au schimbat locurile magic. Acest „fenomen” se aplică oricărei expresii într-un grad egal: putem schimba liber semnele dintre paranteze.
Dar este important de reținut: toate semnele se schimbă în același timp!
Să revenim la exemplu:
Și din nou formula:
întreg denumim numerele naturale, contrariile lor (adică luate cu semnul „”) și numărul.
număr întreg pozitiv, și nu este diferit de natural, atunci totul arată exact ca în secțiunea anterioară.
Acum să ne uităm la cazuri noi. Să începem cu un indicator egal cu.
Orice număr la puterea zero este egal cu unu:
Ca întotdeauna, ne întrebăm: de ce este așa?
Luați în considerare puțină putere cu o bază. Luați, de exemplu, și înmulțiți cu:
Deci, am înmulțit numărul cu și am obținut la fel ca și -. Cu ce număr trebuie înmulțit ca să nu se schimbe nimic? Așa e, pe. Mijloace.
Putem face același lucru cu un număr arbitrar:
Să repetăm regula:
Orice număr la puterea zero este egal cu unu.
Dar există excepții de la multe reguli. Și aici este și acolo - acesta este un număr (ca bază).
Pe de o parte, trebuie să fie egal cu orice grad - indiferent cât de mult ai înmulți zero de la sine, tot obții zero, acest lucru este clar. Dar, pe de altă parte, ca orice număr până la gradul zero, trebuie să fie egal. Deci, care este adevărul despre asta? Matematicienii au decis să nu se implice și au refuzat să ridice zero la puterea zero. Adică, acum nu putem doar să împărțim la zero, ci și să o ridicăm la puterea zero.
Să mergem mai departe. Pe lângă numerele naturale și numerele, numerele întregi includ numere negative. Pentru a înțelege ce este un grad negativ, să facem la fel ca data trecută: înmulțiți un număr normal cu același în grad negativ:
De aici este deja ușor de exprimat dorit:
Acum extindem regula rezultată într-un grad arbitrar:
Deci, haideți să formulăm regula:
Un număr la o putere negativă este inversul aceluiași număr la o putere pozitivă. Dar in acelasi timp baza nu poate fi nulă:(pentru că este imposibil de împărțit).
Să rezumăm:
I. Expresia nu este definită în caz. Daca atunci.
II. Orice număr la puterea zero este egal cu unu: .
III. Un număr care nu este egal cu zero la o putere negativă este inversul aceluiași număr cu o putere pozitivă: .
Sarcini pentru soluție independentă:
Ei bine, ca de obicei, exemple pentru o soluție independentă:
Analiza sarcinilor pentru soluție independentă:
Știu, știu, cifrele sunt înfricoșătoare, dar la examen trebuie să fii pregătit pentru orice! Rezolvă aceste exemple sau analizează-le soluția dacă nu ai reușit să o rezolvi și vei învăța cum să le faci față cu ușurință la examen!
Să continuăm să extindem gama de numere „potrivite” ca exponent.
Acum luați în considerare numere rationale. Ce numere se numesc raționale?
Răspuns: tot ceea ce poate fi reprezentat ca o fracție, unde și sunt numere întregi, în plus.
Pentru a înțelege ce este "grad fractionar" Să luăm în considerare o fracție:
Să ridicăm ambele părți ale ecuației la o putere:
Acum amintiți-vă regula "grad la grad":
Ce număr trebuie ridicat la o putere pentru a obține?
Această formulare este definiția rădăcinii gradului al treilea.
Permiteți-mi să vă reamintesc: rădăcina puterii-a a unui număr () este un număr care, atunci când este ridicat la o putere, este egal.
Adică rădăcina gradului al-lea este operația inversă de exponențiere: .
Se pare că. Evident, acest caz special poate fi extins: .
Acum adăugați numărătorul: ce este? Răspunsul este ușor de obținut cu regula putere-la-putere:
Dar baza poate fi orice număr? La urma urmei, rădăcina nu poate fi extrasă din toate numerele.
Nici unul!
Amintiți-vă regula: orice număr ridicat la o putere pară este un număr pozitiv. Adică, este imposibil să extragi rădăcini de grad egal din numerele negative!
Și asta înseamnă că astfel de numere nu pot fi ridicate la o putere fracțională cu un numitor par, adică expresia nu are sens.
Dar exprimare?
Dar aici apare o problemă.
Numărul poate fi reprezentat ca alte fracții reduse, de exemplu, sau.
Și se dovedește că există, dar nu există, iar acestea sunt doar două înregistrări diferite ale aceluiași număr.
Sau un alt exemplu: o dată, atunci îl poți nota. Dar de îndată ce scriem indicatorul într-un mod diferit, avem din nou probleme: (adică am obținut un rezultat complet diferit!).
Pentru a evita astfel de paradoxuri, luați în considerare numai exponent de bază pozitiv cu exponent fracționar.
Astfel, dacă:
- - numar natural;
- este un număr întreg;
Exemple:
Puterile cu exponent rațional sunt foarte utile pentru transformarea expresiilor cu rădăcini, de exemplu:
5 exemple de practică
Analiza a 5 exemple pentru antrenament
1. Nu uitați de proprietățile obișnuite ale gradelor:
2. . Aici reamintim că am uitat să învățăm tabelul de grade:
la urma urmei – asta sau. Soluția se găsește automat: .
Ei bine, acum - cel mai dificil. Acum vom analiza grad cu un exponent irațional.
Toate regulile și proprietățile gradelor de aici sunt exact aceleași ca și pentru grade cu exponent rațional, cu excepția
Într-adevăr, prin definiție, numerele iraționale sunt numere care nu pot fi reprezentate ca o fracție, unde și sunt numere întregi (adică numerele iraționale sunt toate numere reale, cu excepția celor raționale).
Când studiem grade cu un indicator natural, întreg și rațional, de fiecare dată am alcătuit o anumită „imagine”, „analogie” sau descriere în termeni mai familiari.
De exemplu, un exponent natural este un număr înmulțit cu el însuși de mai multe ori;
...putere zero- acesta este, așa cum ar fi, un număr înmulțit cu el însuși o dată, adică nu a început încă să fie înmulțit, ceea ce înseamnă că numărul în sine nici măcar nu a apărut încă - prin urmare, rezultatul este doar un anumit „număr gol” , și anume numărul;
...exponent întreg negativ- este ca și cum a avut loc un anumit „proces invers”, adică numărul nu a fost înmulțit cu el însuși, ci împărțit.
Apropo, în știință, se folosește adesea o diplomă cu un indicator complex, adică un indicator nu este chiar numar real.
Dar la școală, nu ne gândim la astfel de dificultăți; vei avea ocazia să înțelegi aceste noi concepte la institut.
UNDE SUNTEM SIGURANȚI VOI MERGI! (dacă înveți cum să rezolvi astfel de exemple :))
De exemplu:
Decideți singuri:
Analiza solutiilor:
1. Să începem cu regula deja obișnuită pentru ridicarea unui grad la un grad:
Acum uită-te la scor. Îți amintește de ceva? Reamintim formula pentru înmulțirea prescurtată a diferenței de pătrate:
În acest caz,
Se pare că:
Răspuns: .
2. Dăm fracții în exponenți ai lui k de acelasi fel: fie ambele zecimale, fie ambele normale. Primim, de exemplu:
Raspuns: 16
3. Nimic special, aplicăm proprietățile obișnuite ale gradelor:
NIVEL AVANSAT
Definiţia degree
Gradul este o expresie de forma: , unde:
- — baza gradului;
- - exponent.
Gradul cu exponent natural (n = 1, 2, 3,...)
Ridicarea unui număr la puterea naturală n înseamnă înmulțirea numărului cu el însuși de ori:
Putere cu exponent întreg (0, ±1, ±2,...)
Dacă exponentul este număr întreg pozitiv număr:
erecție la putere zero:
Expresia este nedefinită, deoarece, pe de o parte, în orice grad este aceasta, iar pe de altă parte, orice număr până la gradul al treilea este aceasta.
Dacă exponentul este întreg negativ număr:
(pentru că este imposibil de împărțit).
Încă o dată despre nuluri: expresia nu este definită în caz. Daca atunci.
Exemple:
Gradul cu exponent rațional
- - numar natural;
- este un număr întreg;
Exemple:
Proprietăți de grad
Pentru a ușura rezolvarea problemelor, să încercăm să înțelegem: de unde provin aceste proprietăți? Să le dovedim.
Să vedem: ce este și?
Prioritate A:
Deci, în partea dreaptă a acestei expresii, se obține următorul produs:
Dar, prin definiție, aceasta este o putere a unui număr cu un exponent, adică:
Q.E.D.
Exemplu : Simplificați expresia.
Soluţie : .
Exemplu : Simplificați expresia.
Soluţie : Este important de reținut că în regula noastră Neapărat trebuie să fie pe aceeași bază. Prin urmare, combinăm gradele cu baza, dar rămânem un factor separat:
O altă notă importantă: această regulă - numai pentru produsele puterilor!
Sub nicio formă nu trebuie să scriu asta.
La fel ca și în cazul proprietății anterioare, să ne întoarcem la definiția gradului:
Să o rearanjam astfel:
Se pare că expresia este înmulțită cu ea însăși o dată, adică, conform definiției, aceasta este puterea --a a numărului:
De fapt, acest lucru poate fi numit „bracketing the indicator”. Dar niciodată nu poți face asta în total:!
Să ne amintim formulele de înmulțire prescurtată: de câte ori am vrut să scriem? Dar asta nu este adevărat, într-adevăr.
Putere cu o bază negativă.
Până în acest moment, am discutat doar ce ar trebui să fie index grad. Dar care ar trebui să fie baza? În grade de la natural indicator baza poate fi orice număr .
Într-adevăr, putem înmulți orice număr unul cu celălalt, indiferent dacă sunt pozitive, negative sau chiar. Să ne gândim ce semne (" " sau "") vor avea grade de numere pozitive și negative?
De exemplu, numărul va fi pozitiv sau negativ? A? ?
Cu primul, totul este clar: indiferent câte numere pozitive am înmulți între ele, rezultatul va fi pozitiv.
Dar cele negative sunt puțin mai interesante. La urma urmei, ne amintim o regulă simplă din clasa a VI-a: „un minus ori un minus dă un plus”. Adică sau. Dar dacă înmulțim cu (), obținem -.
Și așa mai departe la infinit: cu fiecare înmulțire ulterioară, semnul se va schimba. Puteți formula aceste reguli simple:
- chiar grad, - număr pozitiv.
- Număr negativ crescut la ciudat grad, - număr negativ.
- număr pozitiv la orice putere este un număr pozitiv.
- Zero la orice putere este egal cu zero.
Determinați singur ce semn vor avea următoarele expresii:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
Ai reușit? Iată răspunsurile:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
În primele patru exemple, sper că totul este clar? Pur și simplu ne uităm la bază și la exponent și aplicăm regula corespunzătoare.
În exemplul 5), totul nu este atât de înfricoșător pe cât pare: nu contează cu ce este egală baza - gradul este egal, ceea ce înseamnă că rezultatul va fi întotdeauna pozitiv. Ei bine, cu excepția cazului în care baza este zero. Baza nu este aceeași, nu-i așa? Evident că nu, din moment ce (pentru că).
Exemplul 6) nu mai este atât de simplu. Aici trebuie să aflați care este mai puțin: sau? Dacă vă amintiți asta, devine clar că, ceea ce înseamnă că baza este mai mică decât zero. Adică aplicăm regula 2: rezultatul va fi negativ.
Și din nou folosim definiția gradului:
Totul este ca de obicei - notăm definiția gradelor și le împărțim unele în altele, le împărțim în perechi și obținem:
Înainte de a analiza ultima regulă, să rezolvăm câteva exemple.
Calculați valorile expresiilor:
Soluții :
Dacă nu acordăm atenție gradului al optulea, ce vedem aici? Să aruncăm o privire asupra programului de clasa a VII-a. Deci, îți amintești? Aceasta este formula de înmulțire prescurtată și anume diferența de pătrate!
Primim:
Ne uităm cu atenție la numitor. Seamănă foarte mult cu unul dintre factorii numărători, dar ce este în neregulă? Ordine greșită a termenilor. Dacă ar fi inversate, s-ar putea aplica regula 3. Dar cum să faci asta? Se dovedește că este foarte ușor: aici ne ajută gradul par al numitorului.
Dacă o înmulți cu, nu se schimbă nimic, nu? Dar acum arată așa:
Termenii și-au schimbat locurile magic. Acest „fenomen” se aplică oricărei expresii într-un grad egal: putem schimba liber semnele dintre paranteze. Dar este important de reținut: toate semnele se schimba in acelasi timp! Nu poate fi înlocuit cu schimbarea unui singur minus inacceptabil pentru noi!
Să revenim la exemplu:
Și din nou formula:
Deci acum ultima regulă:
Cum o să dovedim? Desigur, ca de obicei: să extindem conceptul de grad și să simplificăm:
Ei bine, acum să deschidem parantezele. Câte litere vor fi? ori prin multiplicatori - cum arată? Aceasta nu este altceva decât definiția unei operațiuni multiplicare: total s-au dovedit a fi multiplicatori. Adică, este, prin definiție, o putere a unui număr cu un exponent:
Exemplu:
Gradul cu exponent irațional
Pe lângă informații despre grade pentru nivelul mediu, vom analiza gradul cu un indicator irațional. Toate regulile și proprietățile gradelor de aici sunt exact aceleași ca pentru un grad cu exponent rațional, cu excepția - la urma urmei, prin definiție, numerele iraționale sunt numere care nu pot fi reprezentate ca o fracție, unde și sunt numere întregi (adică , numerele iraționale sunt toate numere reale, cu excepția celor raționale).
Când studiem grade cu un indicator natural, întreg și rațional, de fiecare dată am alcătuit o anumită „imagine”, „analogie” sau descriere în termeni mai familiari. De exemplu, un exponent natural este un număr înmulțit cu el însuși de mai multe ori; un număr până la gradul zero este, așa cum ar fi, un număr înmulțit cu el însuși o dată, adică nu a început încă să fie înmulțit, ceea ce înseamnă că numărul în sine nici măcar nu a apărut încă - prin urmare, rezultatul este doar un anumită „pregătire a unui număr”, și anume un număr; un grad cu un indicator negativ întreg - este ca și cum a avut loc un anumit „proces invers”, adică numărul nu a fost înmulțit cu el însuși, ci împărțit.
Este extrem de dificil să-ți imaginezi un grad cu un exponent irațional (la fel cum este dificil să-ți imaginezi un spațiu cu 4 dimensiuni). Mai degrabă, este un obiect pur matematic pe care matematicienii l-au creat pentru a extinde conceptul de grad la întregul spațiu al numerelor.
Apropo, știința folosește adesea un grad cu un exponent complex, adică un exponent nu este nici măcar un număr real. Dar la școală, nu ne gândim la astfel de dificultăți; vei avea ocazia să înțelegi aceste noi concepte la institut.
Deci, ce facem dacă vedem un exponent irațional? Facem tot posibilul să scăpăm de ea! :)
De exemplu:
Decideți singuri:
| 1) | 2) | 3) |
Raspunsuri:
- Amintiți-vă formula diferenței pătratelor. Răspuns: .
- Aducem fracțiile în aceeași formă: fie ambele zecimale, fie ambele obișnuite. Obținem, de exemplu: .
- Nimic special, aplicăm proprietățile obișnuite ale gradelor:
REZUMAT SECȚIUNEA ȘI FORMULA DE BAZĂ
grad se numește expresie de forma: , unde:
Gradul cu exponent întreg
grad, al cărui exponent este un număr natural (adică întreg și pozitiv).
Gradul cu exponent rațional
grad, al cărui indicator sunt numere negative și fracționale.
Gradul cu exponent irațional
gradul al cărui exponent este infinit zecimal sau rădăcină.
Proprietăți de grad
Caracteristicile diplomelor.
- Număr negativ crescut la chiar grad, - număr pozitiv.
- Număr negativ crescut la ciudat grad, - număr negativ.
- Un număr pozitiv pentru orice putere este un număr pozitiv.
- Zero este egal cu orice putere.
- Orice număr până la puterea zero este egal.
ACUM AI UN CUVÂNT...
Cum îți place articolul? Spune-mi în comentariile de mai jos dacă ți-a plăcut sau nu.
Povestește-ne despre experiența ta cu proprietățile puterii.
Poate ai intrebari. Sau sugestii.
Scrieți în comentarii.
Și mult succes la examene!
Articole despre științele naturii și matematică
Proprietățile puterilor cu aceeași bază
Există trei proprietăți ale puterilor cu aceleași baze și exponenți naturali. Acest
Atenție! Reguli privind adunare si scadere puteri cu aceeași bază nu exista.
Scriem aceste proprietăți-reguli sub formă de formule:
Acum să aruncăm o privire la ele exemple concreteși încearcă să demonstrezi asta.
5 2 × 5 3 = 5 5 - aici am aplicat regula; și acum imaginați-vă cum am rezolva acest exemplu dacă nu am cunoaște regulile:
5 2 × 5 3 \u003d 5 × 5 × 5 × 5 × 5 \u003d 5 5 - cinci pătrat este de cinci ori cinci, iar cubul este produsul a trei cinci. Rezultatul este un produs de cinci cinci, dar acesta este altceva decât puterea cinci la a cincea: 5 5 .
3 9 ÷ 3 5 = 3 9–5 = 3 4 . Să scriem împărțirea ca fracție:
Poate fi scurtat: 
Ca rezultat, obținem: 
Astfel, am demonstrat că la împărțirea a două puteri cu aceleași baze, indicatorii acestora trebuie scăzuți.
Cu toate acestea, la împărțire, este imposibil ca divizorul să fie egal cu zero (din moment ce nu puteți împărți la zero). În plus, deoarece considerăm grade doar cu indicatori naturali, nu putem obține un număr mai mic de 1 ca urmare a scăderii indicatorilor.De aceea, se impun restricții asupra formulei a m ÷ a n = a m–n: a ≠ 0 și m > n .
Să trecem la a treia proprietate:
(2 2) 4 = 2 2×4 = 2 8
Să scriem în formă extinsă:
(2 2) 4 = (2 × 2) 4 = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 8
Puteți ajunge la această concluzie și la raționament logic. Trebuie să înmulțiți două pătrate de patru ori. Dar sunt doi doi în fiecare pătrat, deci vor fi opt doi în total.
scienceland.info
proprietăți de grad
Vă reamintim că în această lecție înțelegem proprietăți de grad cu indicatori naturali si zero. Gradele cu indicatori raționali și proprietățile acestora vor fi discutate în lecțiile pentru clasa a 8-a.
Un exponent cu un exponent natural are câteva proprietăți importante care vă permit să simplificați calculele în exemple de exponent.
Proprietatea #1
Produsul puterilor
La înmulțirea puterilor cu aceeași bază, baza rămâne neschimbată și se adaugă exponenții.
a m a n \u003d a m + n, unde „a” este orice număr și „m”, „n” sunt orice numere naturale.
Această proprietate a puterilor afectează și produsul a trei sau mai multe puteri.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
Vă rugăm să rețineți că în proprietatea indicată era vorba doar de înmulțirea puterilor cu aceleași baze.. Nu se aplică la adăugarea lor.
Nu puteți înlocui suma (3 3 + 3 2) cu 3 5 . Acest lucru este de înțeles dacă
calculați (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 și 3 5 = 243
Proprietatea #2
Diplome private
La împărțirea puterilor cu aceeași bază, baza rămâne neschimbată, iar exponentul divizorului este scăzut din exponentul dividendului.
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Exemplu. Rezolvați ecuația. Folosim proprietatea gradelor parțiale.
3 8: t = 3 4
Răspuns: t = 3 4 = 81
Folosind proprietățile nr. 1 și nr. 2, puteți simplifica cu ușurință expresiile și efectuați calcule.
- Exemplu. Simplificați expresia.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
Exemplu. Găsiți valoarea unei expresii folosind proprietățile gradului.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Vă rugăm să rețineți că proprietatea 2 s-a ocupat doar de împărțirea puterilor pe aceleași baze.
Nu puteți înlocui diferența (4 3 −4 2) cu 4 1 . Acest lucru este de înțeles dacă calculezi (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 și 4 1 = 4
Proprietatea #3
Exponentiatie
Când ridicați o putere la o putere, baza puterii rămâne neschimbată, iar exponenții sunt înmulțiți.
(a n) m \u003d a n m, unde „a” este orice număr și „m”, „n” sunt orice numere naturale.
Vă rugăm să rețineți că proprietatea nr. 4, ca și alte proprietăți ale gradelor, se aplică și în ordine inversă.
(a n b n)= (a b) n
Adică, pentru a înmulți grade cu aceiași exponenți, puteți înmulți bazele și lăsați exponentul neschimbat.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1
În exemple mai complexe, pot exista cazuri când înmulțirea și împărțirea trebuie efectuate pe puteri cu baze diferite și exponenți diferiți. În acest caz, vă sfătuim să faceți următoarele.
De exemplu, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
Exemplu de exponențiere a unei fracții zecimale.
4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4
Proprietăți 5
Puterea coeficientului (fracțiilor)
Pentru a crește un coeficient la o putere, puteți crește dividendul și divizorul separat la această putere și puteți împărți primul rezultat la al doilea.
(a: b) n \u003d a n: b n, unde "a", "b" sunt orice numere raționale, b ≠ 0, n este orice număr natural.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Vă reamintim că un coeficient poate fi reprezentat ca o fracție. Prin urmare, ne vom opri asupra subiectului ridicării unei fracții la o putere mai detaliat pe pagina următoare.
Înmulțirea și împărțirea numerelor cu puteri
Dacă trebuie să construiți câteva număr specificîntr-o anumită măsură, puteți folosi tabelul de grade ale numerelor naturale de la 2 la 25 în algebră. Acum vom arunca o privire mai atentă la proprietățile puterilor.
Numerele exponenţiale deschid posibilități mari, ne permit să transformăm înmulțirea în adunare, iar adunarea este mult mai ușoară decât înmulțirea. 
De exemplu, trebuie să înmulțim 16 cu 64. Produsul înmulțirii acestor două numere este 1024. Dar 16 este 4x4, iar 64 este 4x4x4. Deci de 16 ori 64=4x4x4x4x4 care este tot 1024.
Numărul 16 poate fi reprezentat și ca 2x2x2x2, iar 64 ca 2x2x2x2x2x2, iar dacă înmulțim, obținem din nou 1024.
Și acum folosim regula ridicării unui număr la o putere. 16=4 2 , sau 2 4 , 64=4 3 sau 2 6 , în timp ce 1024=6 4 =4 5 , sau 2 10 .
Prin urmare, problema noastră poate fi scrisă în alt mod: 4 2 x4 3 =4 5 sau 2 4 x2 6 =2 10 și de fiecare dată obținem 1024.
Putem rezolva o serie de exemple similare și putem vedea că înmulțirea numerelor cu puteri se reduce la adăugarea exponenților, sau un exponent, desigur, cu condiția ca bazele factorilor să fie egale.
Astfel, putem spune imediat, fără a înmulți, că 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20.
Această regulă este valabilă și atunci când se împarte numerele cu puteri, dar în acest caz, e din exponentul dividendului se scade exponentul divizorului. Astfel, 2 5:2 3 =2 2 , care în numere obișnuite este egal cu 32:8=4, adică 2 2 . Să rezumăm:
a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, unde m și n sunt numere întregi.
La prima vedere, ar putea părea că înmulțirea și împărțirea numerelor cu puteri nu foarte convenabil, deoarece mai întâi trebuie să reprezentați numărul în formă exponențială. Nu este dificil să reprezinte numerele 8 și 16 în această formă, adică 2 3 și 2 4, dar cum să faci asta cu numerele 7 și 17? Sau ce să faci în acele cazuri când numărul poate fi reprezentat în formă exponențială, dar bazele expresiilor exponențiale ale numerelor sunt foarte diferite. De exemplu, 8×9 este 2 3 x 3 2 , caz în care nu putem să însumăm exponenții. Nici 2 5 nici 3 5 nu este răspunsul, nici răspunsul dintre cei doi.
Atunci merită să te deranjezi cu această metodă? Cu siguranță merită. Oferă avantaje uriașe, în special pentru calcule complexe și consumatoare de timp.
Până acum, am presupus că exponentul este numărul de factori identici. În acest caz, valoarea minimă a exponentului este 2. Dacă efectuăm însă operația de împărțire a numerelor, sau de scădere a exponenților, putem obține și un număr mai mic decât 2, ceea ce înseamnă că vechea definiție nu ne mai poate conveni. Citiți mai multe în articolul următor.
Adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea puterilor
Adunarea și scăderea puterilor
Evident, numerele cu puteri pot fi adăugate ca și alte cantități , prin adăugarea lor pe rând cu semnele lor.
Deci, suma a 3 și b 2 este a 3 + b 2 .
Suma a 3 - b n și h 5 - d 4 este a 3 - b n + h 5 - d 4.
Cote aceleași puteri ale acelorași variabile poate fi adunat sau scazut.
Deci, suma lui 2a 2 și 3a 2 este 5a 2 .
De asemenea, este evident că dacă luăm două pătrate a, sau trei pătrate a sau cinci pătrate a.
Dar grade variabile variateȘi diverse grade variabile identice, trebuie adăugate prin adăugarea lor la semnele lor.
Deci, suma a 2 și a 3 este suma a 2 + a 3 .
Este evident că pătratul lui a și cubul lui a nu este nici de două ori pătratul lui a, ci de două ori cubul lui a.
Suma a 3 b n și 3a 5 b 6 este a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Scădere puterile se desfășoară în același mod ca și adunarea, cu excepția faptului că semnele subtrahendului trebuie schimbate în consecință.
Sau:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Înmulțirea puterii
Numerele cu puteri pot fi înmulțite ca și alte mărimi scriindu-le una după alta, cu sau fără semnul înmulțirii între ele.
Deci, rezultatul înmulțirii a 3 cu b 2 este a 3 b 2 sau aaabb.
Sau:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Rezultatul din ultimul exemplu poate fi ordonat prin adăugarea acelorași variabile.
Expresia va lua forma: a 5 b 5 y 3 .
Comparând mai multe numere (variabile) cu puteri, putem vedea că dacă oricare două dintre ele sunt înmulțite, atunci rezultatul este un număr (variabilă) cu o putere egală cu sumă grade de termeni.
Deci, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Aici 5 este puterea rezultatului înmulțirii, egală cu 2 + 3, suma puterilor termenilor.
Deci, a n .a m = a m+n .
Pentru a n, a este luat ca factor de atâtea ori cât este puterea lui n;
Și a m , este luat ca factor de câte ori este egal cu gradul m;
De aceea, puterile cu aceleași baze pot fi înmulțite prin adăugarea exponenților.
Deci, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Și x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Sau:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Înmulțiți (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Răspuns: x 4 - y 4.
Înmulțiți (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Această regulă este valabilă și pentru numerele ai căror exponenți sunt − negativ.
1. Deci, a -2 .a -3 = a -5 . Aceasta poate fi scrisă ca (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Dacă a + b sunt înmulțiți cu a - b, rezultatul va fi a 2 - b 2: adică
Rezultatul înmulțirii sumei sau diferenței a două numere este egal cu suma sau diferența pătratelor lor.
Dacă suma și diferența a două numere ridicate la pătrat, rezultatul va fi egal cu suma sau diferența acestor numere în Al patrulea grad.
Deci, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .
Împărțirea puterilor
Numerele cu puteri pot fi împărțite ca și alte numere prin scăderea din divizor sau prin plasarea lor sub forma unei fracții.
Deci a 3 b 2 împărțit la b 2 este a 3 .
Scrierea unui 5 împărțit la 3 arată ca $\frac $. Dar acesta este egal cu un 2. Într-o serie de numere
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
orice număr poate fi împărțit la altul, iar exponentul va fi egal cu diferență indicatori ai numerelor divizibile.
La împărțirea puterilor cu aceeași bază, se scad exponenții acestora..
Deci, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Adică $\frac = y$.
Și a n+1:a = a n+1-1 = a n . Adică $\frac = a^n$.
Sau:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
Regula este valabilă și pentru numerele cu negativ valori de grad.
Rezultatul împărțirii a -5 la a -3 este a -2 .
De asemenea, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 sau $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
Este necesar să stăpânești foarte bine înmulțirea și împărțirea puterilor, deoarece astfel de operații sunt foarte utilizate în algebră.
Exemple de rezolvare a exemplelor cu fracții care conțin numere cu puteri
1. Reduceți exponenții în $\frac $ Răspuns: $\frac $.
2. Reduceți exponenții în $\frac$. Răspuns: $\frac $ sau 2x.
3. Reduceți exponenții a 2 / a 3 și a -3 / a -4 și aduceți la un numitor comun.
a 2 .a -4 este un -2 primul numărător.
a 3 .a -3 este a 0 = 1, al doilea numărător.
a 3 .a -4 este a -1 , numărătorul comun.
După simplificare: a -2 /a -1 și 1/a -1 .
4. Reduceți exponenții 2a 4 /5a 3 și 2 /a 4 și aduceți la un numitor comun.
Răspuns: 2a 3 / 5a 7 și 5a 5 / 5a 7 sau 2a 3 / 5a 2 și 5/5a 2.
5. Înmulțiți (a 3 + b)/b 4 cu (a - b)/3.
6. Înmulțiți (a 5 + 1)/x 2 cu (b 2 - 1)/(x + a).
7. Înmulțiți b 4 /a -2 cu h -3 /x și a n /y -3 .
8. Împărțiți un 4 /y 3 la un 3 /y 2 . Raspuns: a/a.
Gradul și proprietățile sale. Nivel mediu.
Doriți să vă testați puterea și să aflați rezultatul cât de pregătit sunteți pentru examenul de stat unificat sau OGE?
grad se numește expresie de forma: , unde:
Gradul cu exponent întreg
grad, al cărui exponent este un număr natural (adică întreg și pozitiv).
Gradul cu exponent rațional
grad, al cărui indicator sunt numere negative și fracționale.
Gradul cu exponent irațional
un grad al cărui exponent este o fracție zecimală infinită sau rădăcină.
Proprietăți de grad
Caracteristicile diplomelor.
Care este gradul unui număr?
Exponentiația este aceeași operație matematică ca și adunarea, scăderea, înmulțirea sau împărțirea.
Acum voi explica totul în limbajul uman într-un mod foarte exemple simple. Atenție. Exemplele sunt elementare, dar explică lucruri importante.
Să începem cu adăugarea.
Nu este nimic de explicat aici. Știți deja totul: suntem opt. Fiecare are două sticle de cola. Câtă cola? Așa este - 16 sticle.
Acum înmulțirea.
Același exemplu cu cola poate fi scris într-un mod diferit: . Matematicienii sunt oameni vicleni și leneși. Mai întâi observă unele modele, apoi vin cu o modalitate de a le „număra” mai repede. În cazul nostru, au observat că fiecare dintre cele opt persoane avea același număr de sticle de cola și au venit cu o tehnică numită înmulțire. De acord, este considerat mai ușor și mai rapid decât.
Deci, pentru a număra mai repede, mai ușor și fără erori, trebuie doar să vă amintiți masa înmulțirii. Desigur, poți face totul mai încet, mai greu și cu greșeli! Dar…
Iată tabla înmulțirii. Repeta.
Și încă unul, mai frumos:
Și cu ce alte trucuri complicate de numărare au venit matematicienii leneși? Dreapta - ridicarea unui număr la o putere.
Ridicarea unui număr la o putere.
Dacă trebuie să înmulțiți un număr cu el însuși de cinci ori, atunci matematicienii spun că trebuie să ridicați acest număr la puterea a cincea. De exemplu, . Matematicienii își amintesc că puterea doi la a cincea este. Și rezolvă astfel de probleme în mintea lor - mai rapid, mai ușor și fără erori.
Pentru a face acest lucru, aveți nevoie doar amintiți-vă ce este evidențiat cu culoare în tabelul puterilor numerelor. Crede-mă, îți va face viața mult mai ușoară.
Apropo, de ce se numește gradul doi pătrat numere, iar al treilea cub? Ce înseamnă? O intrebare foarte buna. Acum veți avea atât pătrate, cât și cuburi.
Exemplul #1 din viața reală.
Să începem cu un pătrat sau cu a doua putere a unui număr.
Imaginați-vă o piscină pătrată care măsoară metri pe metri. Piscina este în curtea ta. E cald și îmi doresc foarte mult să înot. Dar... o piscină fără fund! Este necesar să acoperiți fundul piscinei cu gresie. De câte plăci ai nevoie? Pentru a determina acest lucru, trebuie să cunoașteți zona fundului piscinei.
Puteți număra pur și simplu împingând cu degetul că fundul piscinei este format din cuburi metru cu metru. Dacă plăcile tale sunt metru cu metru, vei avea nevoie de bucăți. E ușor... Dar unde ai văzut o astfel de țiglă? Placa va fi mai degrabă cm cu cm. Și atunci vei fi chinuit de „numărați cu degetul”. Atunci trebuie să te înmulți. Așadar, pe o parte a fundului piscinei, vom pune gresie (bucăți) și pe cealaltă, de asemenea, gresie. Înmulțind cu, obțineți dale ().
Ați observat că am înmulțit același număr pentru a determina aria fundului piscinei? Ce înseamnă? Deoarece același număr este înmulțit, putem folosi tehnica exponențiării. (Desigur, atunci când ai doar două numere, mai trebuie să le înmulți sau să le ridici la o putere. Dar dacă ai multe dintre ele, atunci ridicarea la o putere este mult mai ușoară și există și mai puține erori în calcule Pentru examen, acest lucru este foarte important).
Deci, treizeci la gradul doi va fi (). Sau poți spune că treizeci de pătrați vor fi. Cu alte cuvinte, a doua putere a unui număr poate fi întotdeauna reprezentată ca un pătrat. Și invers, dacă vezi un pătrat, acesta este ÎNTOTDEAUNA a doua putere a unui număr. Un pătrat este o imagine a celei de-a doua puteri a unui număr.
Exemplul #2 din viața reală.
Iată o sarcină pentru tine, numără câte pătrate sunt pe tabla de șah folosind pătratul numărului. Pe o parte a celulelor și pe cealaltă. Pentru a număra numărul lor, trebuie să înmulțiți opt cu opt, sau ... dacă observați că o tablă de șah este un pătrat cu o latură, atunci puteți pătra opt. Obțineți celule. () Asa de?
Exemplul #3 din viața reală.
Acum, cubul sau a treia putere a unui număr. Aceeași piscină. Dar acum trebuie să aflați câtă apă va trebui turnată în această piscină. Trebuie să calculați volumul. (Volumele și lichidele, apropo, sunt măsurate în metri cubi. Neașteptat, nu?) Desenați un bazin: un fund de un metru în dimensiune și un metru adâncime și încercați să calculați câte cuburi care măsoară un metru pe un metru vor intra în dvs. bazin.
Doar arată cu degetul și numără! Unu, doi, trei, patru... douăzeci și doi, douăzeci și trei... Cât a ieșit? Nu te-ai pierdut? E greu să numeri cu degetul? Astfel încât! Luați un exemplu de la matematicieni. Sunt leneși, așa că au observat că, pentru a calcula volumul piscinei, trebuie să-i înmulțiți lungimea, lățimea și înălțimea între ele. În cazul nostru, volumul piscinei va fi egal cu cuburi... Mai ușor, nu?
Acum imaginați-vă cât de leneși și vicleni sunt matematicienii dacă fac asta prea ușor. A redus totul la o singură acțiune. Au observat că lungimea, lățimea și înălțimea sunt egale și că același număr se înmulțește cu el însuși... Și ce înseamnă asta? Aceasta înseamnă că poți folosi gradul. Deci, ceea ce ați numărat cândva cu un deget, ei fac într-o singură acțiune: trei într-un cub sunt egali. Este scris astfel:
Rămâne doar memorează tabelul de grade. Dacă, desigur, nu ești la fel de leneș și viclean ca matematicienii. Dacă îți place să muncești din greu și să faci greșeli, poți continua să numeri cu degetul.
Ei bine, pentru a te convinge în sfârșit că diplomele au fost inventate de mocasini și oameni vicleni pentru a-și rezolva probleme de viata, și nu pentru a vă crea probleme, iată încă câteva exemple din viață.
Exemplul din viața reală #4.
Ai un milion de ruble. La începutul fiecărui an, câștigi încă un milion pentru fiecare milion. Adică, fiecare din milionul tău la începutul fiecărui an se dublează. Câți bani vei avea peste ani? Dacă acum stai și „numărați cu degetul”, atunci ești o persoană foarte muncitoare și .. proastă. Dar cel mai probabil vei da un răspuns în câteva secunde, pentru că ești inteligent! Așadar, în primul an - de două ori de două... în al doilea an - ce s-a întâmplat, cu încă doi, în al treilea an... Stop! Ai observat că numărul se înmulțește cu el însuși o dată. Deci doi la a cincea putere este un milion! Acum imaginați-vă că aveți un concurs și cel care calculează mai repede va primi aceste milioane... Merită să vă amintiți gradele numerelor, ce părere aveți?
Exemplu din viata nr.5.
Ai un milion. La începutul fiecărui an, câștigi încă două pentru fiecare milion. E grozav nu? Fiecare milion este triplat. Câți bani vei avea într-un an? Hai să numărăm. Primul an - înmulțiți cu, apoi rezultatul cu altul... E deja plictisitor, pentru că ați înțeles deja totul: trei se înmulțesc de la sine ori. Deci, a patra putere este un milion. Trebuie doar să vă amintiți că trei până la a patra putere este sau.
Acum știi că ridicând un număr la o putere, îți vei face viața mult mai ușoară. Să aruncăm o privire în continuare la ceea ce poți face cu diplome și ce trebuie să știi despre ele.
Termeni și concepte.
Deci, mai întâi, să definim conceptele. Ce crezi, ce este exponent? Este foarte simplu - acesta este numărul care se află „în partea de sus” a puterii numărului. Nu științific, dar clar și ușor de reținut...
Ei bine, în același timp, ce o astfel de bază de grad? Și mai simplu este numărul care se află în partea de jos, la bază.
Iată o poză ca să fii sigur.
Ei bine și în vedere generala pentru a generaliza și a reține mai bine... Un grad cu o bază „” și un exponent „” se citește „la grad” și se scrie după cum urmează:
„Gradul unui număr cu un indicator natural”
Probabil ați ghicit deja: pentru că exponentul este un număr natural. Da, dar ce este numar natural? Elementar! Numerele naturale sunt cele care sunt folosite la numărare la enumerarea articolelor: unu, doi, trei ... Când numărăm articole, nu spunem: „minus cinci”, „minus șase”, „minus șapte”. Nici noi nu spunem „o treime” sau „zero virgulă cinci zecimi”. Acestea nu sunt numere naturale. Care crezi că sunt aceste numere?
Se referă numere precum „minus cinci”, „minus șase”, „minus șapte”. numere întregi.În general, numerele întregi includ toate numerele naturale, numerele opuse numerelor naturale (adică luate cu semnul minus) și un număr. Zero este ușor de înțeles - atunci când nu există nimic. Și ce înseamnă numerele negative („minus”)? Dar au fost inventate în primul rând pentru a desemna datorii: dacă aveți un sold pe telefon în ruble, aceasta înseamnă că datorați ruble operatorului.
Toate fracțiile sunt numere raționale. Cum au apărut, crezi? Foarte simplu. În urmă cu câteva mii de ani, strămoșii noștri au descoperit că nu aveau suficiente numere naturale pentru a măsura lungimea, greutatea, suprafața etc. Și au venit cu numere rationale… Interesant, nu-i așa?
Există și numere iraționale. Care sunt aceste numere? Pe scurt, o fracție zecimală infinită. De exemplu, dacă împărțiți circumferința unui cerc la diametrul său, atunci obțineți un număr irațional.
Grad cu un indicator natural
Să definim conceptul de grad, al cărui exponent este un număr natural (adică un număr întreg și pozitiv).
- Orice număr la prima putere este egal cu el însuși:
- A pătra un număr înseamnă a-l înmulți cu el însuși:
- A cubi un număr înseamnă a-l înmulți cu el însuși de trei ori:
Definiție. A ridica un număr la o putere naturală înseamnă a înmulți numărul cu el însuși de ori:
Dacă trebuie să ridicați un anumit număr la o putere, puteți utiliza . Acum vom arunca o privire mai atentă la proprietățile puterilor.
Numerele exponenţiale deschid posibilități mari, ne permit să transformăm înmulțirea în adunare, iar adunarea este mult mai ușoară decât înmulțirea.
De exemplu, trebuie să înmulțim 16 cu 64. Produsul înmulțirii acestor două numere este 1024. Dar 16 este 4x4, iar 64 este 4x4x4. Deci de 16 ori 64=4x4x4x4x4 care este tot 1024.
Numărul 16 poate fi reprezentat și ca 2x2x2x2, iar 64 ca 2x2x2x2x2x2, iar dacă înmulțim, obținem din nou 1024.
Acum să folosim regula. 16=4 2 , sau 2 4 , 64=4 3 sau 2 6 , în timp ce 1024=6 4 =4 5 , sau 2 10 .
Prin urmare, problema noastră poate fi scrisă în alt mod: 4 2 x4 3 =4 5 sau 2 4 x2 6 =2 10 și de fiecare dată obținem 1024.
Putem rezolva o serie de exemple similare și putem vedea că înmulțirea numerelor cu puteri se reduce la adăugarea exponenților, sau un exponent, desigur, cu condiția ca bazele factorilor să fie egale.
Astfel, putem spune imediat, fără a înmulți, că 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20.
Această regulă este valabilă și atunci când se împarte numerele cu puteri, dar în acest caz, e din exponentul dividendului se scade exponentul divizorului. Astfel, 2 5:2 3 =2 2 , care în numere obișnuite este egal cu 32:8=4, adică 2 2 . Să rezumăm:
a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, unde m și n sunt numere întregi.
La prima vedere, ar putea părea că înmulțirea și împărțirea numerelor cu puteri nu foarte convenabil, deoarece mai întâi trebuie să reprezentați numărul în formă exponențială. Nu este dificil să reprezinte numerele 8 și 16 în această formă, adică 2 3 și 2 4, dar cum să faci asta cu numerele 7 și 17? Sau ce să faci în acele cazuri când numărul poate fi reprezentat în formă exponențială, dar bazele expresiilor exponențiale ale numerelor sunt foarte diferite. De exemplu, 8×9 este 2 3 x 3 2 , caz în care nu putem să însumăm exponenții. Nici 2 5 nici 3 5 nu este răspunsul, nici răspunsul dintre cei doi.
Atunci merită să te deranjezi cu această metodă? Cu siguranță merită. Oferă avantaje uriașe, în special pentru calcule complexe și consumatoare de timp.
Evident, numerele cu puteri pot fi adăugate ca și alte cantități , prin adăugarea lor pe rând cu semnele lor.
Deci, suma a 3 și b 2 este a 3 + b 2 .
Suma a 3 - b n și h 5 - d 4 este a 3 - b n + h 5 - d 4 .
Cote aceleași puteri ale acelorași variabile poate fi adunat sau scazut.
Deci, suma lui 2a 2 și 3a 2 este egală cu 5a 2 .
De asemenea, este evident că dacă luăm două pătrate a, sau trei pătrate a sau cinci pătrate a.
Dar grade variabile variateȘi diverse grade variabile identice, trebuie adăugate prin adăugarea lor la semnele lor.
Deci, suma a 2 și a 3 este suma a 2 + a 3 .
Este evident că pătratul lui a și cubul lui a nu este nici de două ori pătratul lui a, ci de două ori cubul lui a.
Suma a 3 b n și 3a 5 b 6 este a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Scădere puterile se desfășoară în același mod ca și adunarea, cu excepția faptului că semnele subtrahendului trebuie schimbate în consecință.
Sau:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Înmulțirea puterii
Numerele cu puteri pot fi înmulțite ca și alte mărimi scriindu-le una după alta, cu sau fără semnul înmulțirii între ele.
Deci, rezultatul înmulțirii a 3 cu b 2 este a 3 b 2 sau aaabb.
Sau:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Rezultatul din ultimul exemplu poate fi ordonat prin adăugarea acelorași variabile.
Expresia va lua forma: a 5 b 5 y 3 .
Comparând mai multe numere (variabile) cu puteri, putem vedea că dacă oricare două dintre ele sunt înmulțite, atunci rezultatul este un număr (variabilă) cu o putere egală cu sumă grade de termeni.
Deci, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Aici 5 este puterea rezultatului înmulțirii, egală cu 2 + 3, suma puterilor termenilor.
Deci, a n .a m = a m+n .
Pentru a n, a este luat ca factor de atâtea ori cât este puterea lui n;
Și a m , este luat ca factor de câte ori este egal cu gradul m;
De aceea, puterile cu aceleași baze pot fi înmulțite prin adăugarea exponenților.
Deci, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Și x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Sau:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Înmulțiți (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Răspuns: x 4 - y 4.
Înmulțiți (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Această regulă este valabilă și pentru numerele ai căror exponenți sunt - negativ.
1. Deci, a -2 .a -3 = a -5 . Aceasta poate fi scrisă ca (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Dacă a + b sunt înmulțiți cu a - b, rezultatul va fi a 2 - b 2: adică
Rezultatul înmulțirii sumei sau diferenței a două numere este egal cu suma sau diferența pătratelor lor.
Dacă suma și diferența a două numere ridicate la pătrat, rezultatul va fi egal cu suma sau diferența acestor numere în Al patrulea grad.
Deci, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .
Împărțirea puterilor
Numerele cu puteri pot fi împărțite ca și alte numere prin scăderea din divizor sau prin plasarea lor sub forma unei fracții.
Deci a 3 b 2 împărțit la b 2 este a 3 .
Sau:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$
Scrierea unui 5 împărțit la 3 arată ca $\frac(a^5)(a^3)$. Dar acesta este egal cu un 2. Într-o serie de numere
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
orice număr poate fi împărțit la altul, iar exponentul va fi egal cu diferență indicatori ai numerelor divizibile.
La împărțirea puterilor cu aceeași bază, se scad exponenții acestora..
Deci, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Adică $\frac(yyy)(yy) = y$.
Și a n+1:a = a n+1-1 = a n . Adică $\frac(aa^n)(a) = a^n$.
Sau:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
Regula este valabilă și pentru numerele cu negativ valori de grad.
Rezultatul împărțirii a -5 la a -3 este a -2 .
De asemenea, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 sau $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$
Este necesar să stăpânești foarte bine înmulțirea și împărțirea puterilor, deoarece astfel de operații sunt foarte utilizate în algebră.
Exemple de rezolvare a exemplelor cu fracții care conțin numere cu puteri
1. Reduceți exponenții în $\frac(5a^4)(3a^2)$ Răspuns: $\frac(5a^2)(3)$.
2. Reduceți exponenții în $\frac(6x^6)(3x^5)$. Răspuns: $\frac(2x)(1)$ sau 2x.
3. Reduceți exponenții a 2 / a 3 și a -3 / a -4 și aduceți la un numitor comun.
a 2 .a -4 este un -2 primul numărător.
a 3 .a -3 este a 0 = 1, al doilea numărător.
a 3 .a -4 este a -1 , numărătorul comun.
După simplificare: a -2 /a -1 și 1/a -1 .
4. Reduceți exponenții 2a 4 /5a 3 și 2 /a 4 și aduceți la un numitor comun.
Răspuns: 2a 3 / 5a 7 și 5a 5 / 5a 7 sau 2a 3 / 5a 2 și 5/5a 2.
5. Înmulțiți (a 3 + b)/b 4 cu (a - b)/3.
6. Înmulțiți (a 5 + 1)/x 2 cu (b 2 - 1)/(x + a).
7. Înmulțiți b 4 /a -2 cu h -3 /x și a n /y -3 .
8. Împărțiți un 4 /y 3 la un 3 /y 2 . Raspuns: a/a.
9. Împărțiți (h 3 - 1)/d 4 la (d n + 1)/h.
