Rezolvarea problemelor C4 de la examenul de matematică (început).

Dacă toate laturile unui poligon sunt tangente la un cerc, atunci cercul se numește înscris într-un poligon, și poligonul descrisîn jurul acestui cerc. În figura 231, patrulaterul EFMN este circumscris unui cerc cu centrul O, iar patrulaterul DKMN nu este circumscris acestui cerc, deoarece latura DK nu atinge cercul.

Orez. 231

În figura 232, triunghiul ABC este circumscris unui cerc cu centrul O.

Orez. 232

Să demonstrăm teorema despre un cerc înscris într-un triunghi.

Teorema

Dovada

Se consideră un triunghi arbitrar ABC și se notează cu litera O punctul de intersecție al bisectoarelor sale. Să desenăm din punctul O perpendicularele OK, OL și respectiv OM către laturile AB, BC și CA (vezi Fig. 232). Deoarece punctul O este echidistant de laturile triunghiului ABC, atunci OK \u003d OL \u003d OM. Prin urmare, un cerc cu centrul O de raza OK trece prin punctele K, L și M. Laturile triunghiului ABC ating acest cerc în punctele K, L, M, deoarece sunt perpendiculare pe razele OK, OL și OM. Prin urmare, cercul cu centrul O de raza OK este înscris în triunghiul ABC. Teorema a fost demonstrată.

Observație 1

Rețineți că un singur cerc poate fi înscris într-un triunghi.

Într-adevăr, să presupunem că două cercuri pot fi înscrise într-un triunghi. Atunci centrul fiecărui cerc este echidistant de laturile triunghiului și, prin urmare, coincide cu punctul O al intersecției bisectoarelor triunghiului, iar raza este egală cu distanța de la punctul O la laturile triunghiului. triunghi. Prin urmare, aceste cercuri coincid.

Observația 2

Să ne întoarcem la Figura 232. Vedem că triunghiul ABC este format din trei triunghiuri: ABO, BCO și CAO. Dacă în fiecare dintre aceste triunghiuri luăm ca bază latura triunghiului ABC, atunci înălțimea va fi raza r a cercului înscris în triunghiul ABC. Prin urmare, aria S a triunghiului ABC este exprimată prin formula

Prin urmare,

Observația 3

Spre deosebire de triunghi nu orice patrulater poate fi înscris într-un cerc.

Luați în considerare, de exemplu, un dreptunghi ale cărui laturi adiacente nu sunt egale, adică un dreptunghi care nu este un pătrat. Este clar că într-un astfel de dreptunghi se poate „plasa” un cerc care atinge trei dintre laturile sale (Fig. 233, a), dar nu se poate „plasa” un cerc astfel încât să atingă toate cele patru laturi ale sale, adică nu se poate înscrie un cerc. Dacă un cerc poate fi înscris într-un patrulater, atunci laturile sale au următoarea proprietate remarcabilă:

Orez. 233

Această proprietate este ușor de stabilit folosind figura 233, b, pe care segmente egale de tangente sunt marcate cu aceleași litere. Într-adevăr, AB + CD = a + b + c + d, BC + AD-a + b + c + d, deci AB + CD = BC + AD. Se dovedește că și invers este adevărat:

Cerc circumscris

Dacă toate vârfurile unui poligon se află pe un cerc, atunci cercul se numește descris lângă poligon, iar poligonul este înscrisăîn acest cerc. În figura 234, patrulaterul ABCD este înscris într-un cerc cu centrul O, iar patrulaterul AECD nu este înscris în acest cerc, deoarece vârful E nu se află pe cerc.

Orez. 234

Triunghiul ABC din figura 235 este înscris într-un cerc cu centrul O.

Orez. 235

Să demonstrăm teorema despre un cerc circumscris unui triunghi.

Teorema

Dovada

Luați în considerare un triunghi arbitrar ABC. Să notăm cu litera O punctul de intersecție al perpendicularelor mediane pe laturile sale și să desenăm segmentele OA, OB și OS (Fig. 235). Deoarece punctul O este echidistant de vârfurile triunghiului ABC, atunci O A \u003d OB \u003d OS. Prin urmare, un cerc cu centrul O de raza OA trece prin toate cele trei vârfuri ale triunghiului și, prin urmare, este circumscris lângă triunghiul ABC. Teorema a fost demonstrată.

Observație 1

Rețineți că Există un singur cerc circumscris în jurul unui triunghi..

Într-adevăr, să presupunem că două cercuri pot fi circumscrise unui triunghi. Atunci centrul fiecăruia dintre ele este echidistant de vârfurile sale și, prin urmare, coincide cu punctul O de intersecție al bisectoarelor perpendiculare la laturile triunghiului, iar raza este egală cu distanța de la punctul O la vârfurile triunghiului. . Prin urmare, aceste cercuri coincid.

Observația 2

Spre deosebire de triunghi în jurul unui patrulater nu este întotdeauna posibil să descrii un cerc.

De exemplu, nu puteți circumscrie un cerc în jurul unui romb care nu este un pătrat (explicați de ce). Dacă un cerc poate fi circumscris lângă un patrulater, atunci colțurile sale au următoarea proprietate remarcabilă:

Această proprietate este ușor de stabilit dacă ne întoarcem la Figura 236 și folosim teorema unghiului înscris. Într-adevăr,

de unde rezultă

Orez. 236

Se dovedește că și contrariul este adevărat:

Sarcini

689. Într-un triunghi isoscel, baza este de 10 cm, iar latura este de 13 cm. Aflați raza cercului înscris în acest triunghi.

690. Aflați baza unui triunghi isoscel dacă centrul cercului înscris în el împarte înălțimea trasă la bază în raport de 12: 5, numărând de sus, iar latura este de 60 cm.

691. Punctul tangent al unui cerc înscris în triunghi isoscel, împarte una dintre laturi în segmente egale cu 3 cm și 4 cm, numărând de la bază. Aflați perimetrul triunghiului.

692. Un cerc este înscris în triunghiul ABC, care atinge laturile AB, BC și CA în punctele P, Q și R. Aflați AP, PB, BQ, QC, CB, RA dacă AB = 10 cm, BC = 12 cm, CA = 5 cm

693. Într-un triunghi dreptunghic este înscris un cerc de rază r. Aflați perimetrul triunghiului dacă: a) ipotenuza este de 26 cm, r = 4 cm; b) punctul de contact împarte ipotenuza în segmente egale cu 5 cm și 12 cm.

694. Aflați diametrul unui cerc înscris într-un triunghi dreptunghic dacă ipotenuza triunghiului este c și suma catetelor este m.

695. Suma a doi părți opuse patrulaterul circumscris este de 15 cm.Aflați perimetrul acestui patrulater.

696. Demonstrați că dacă un cerc poate fi înscris într-un paralelogram, atunci acest paralelogram este un romb.

697. Demonstrați că aria poligonului circumscris este jumătate din produsul perimetrului său și raza cercului înscris.

698. Suma a două laturi opuse ale patrulaterului circumscris este de 12 cm, iar raza cercului înscris în el este de 5 cm. Aflați aria patrulaterului.

699. Suma a două laturi opuse ale patrulaterului circumscris este de 10 cm, iar aria lui este de 12 cm 2 . Aflați raza cercului înscris în acest patrulater.

700. Demonstrați că un cerc poate fi înscris în orice romb.

701. Desenați trei triunghiuri: acut, drept și obtuz. Înscrieți câte un cerc în fiecare dintre ele.

702. Un triunghi ABC este înscris într-un cerc astfel încât AB este diametrul cercului. Aflați unghiurile triunghiului dacă: a) BC = 134°; b) AC = 70°.

703. Un triunghi isoscel ABC cu baza BC este înscris într-un cerc. Aflați unghiurile triunghiului dacă BC = 102°.

704. Un cerc cu centrul O este circumscris cca triunghi dreptunghic. a) Demonstrați că punctul O este mijlocul ipotenuzei. b) Aflați laturile triunghiului dacă diametrul cercului este d și unul dintre colțuri ascuțite triunghiul este egal cu α.

705. Un cerc este circumscris lângă un triunghi dreptunghic ABC cu unghi drept C. Aflați raza acestui cerc dacă: a) AC = 8 cm, BC = 6 cm; b) AC = 18 cm, ∠B = 30°.

706. Aflați latura unui triunghi echilateral dacă raza cercului circumscris acestuia este de 10 cm.

707. Unghiul opus bazei unui triunghi isoscel este de 120°, latura laterală a triunghiului este de 8 cm. Aflați diametrul cercului circumscris acestui triunghi.

708. Demonstrează că se poate descrie un cerc: a) despre orice dreptunghi; b) despre orice trapez isoscel.

709. Demonstrați că dacă un cerc poate fi circumscris lângă un paralelogram, atunci acest paralelogram este un dreptunghi.

710. Demonstrați că dacă un cerc poate fi circumscris lângă un trapez, atunci acest trapez este isoscel.

711. Desenați trei triunghiuri: obtuz, dreptunghiular și echilateral. Pentru fiecare dintre ele, construiți un cerc circumscris.

Mai rămâne din ce în ce mai puțin timp până la examen. examene de probă se desfășoară din ce în ce mai des, nervii școlarilor și profesorilor lor sunt din ce în ce mai întinși. În ajunul deschiderii sezonului de „pregătire intensivă” pentru examenele finale și de admitere, vă propun să exersați rezolvarea problemelor C4 din manualul elaborat de Institutul de Educație și Știință din Moscova pentru pregătirea școlarilor pentru Examenul Unificat de Stat la matematică . Sarcinile sunt date cu soluții, totuși, ar fi util să le rezolvați mai întâi pe cont propriu.

Opțiunea 3. Triunghi ABC este înscris într-un cerc cu raza 12. Se ştie că AB= 6 și î.Hr= 4. Găsiți AC.

Soluţie:

Din teorema sinusului pentru un triunghi ABC avem:

Din identitatea trigonometrică de bază aflăm că:

Apoi, prin legea cosinusurilor pentru un triunghi ABC avem pentru ambele cazuri:

Răspuns:√35 ± √15.

Opțiunea 5.Într-un triunghi ABCînălțimi ținute BMȘi CN, O este centrul cercului înscris. Se știe că BC= 24 , MN = 12. Aflați raza cercului circumscris triunghiului BOC.

Soluţie:

Două cazuri posibile: ∠A - acut și ∠A - contondent

Sunt posibile două cazuri:

1) Fie ∠ A- ascuțit (figura din stânga). Să demonstrăm că triunghiurile AMNȘi ABC Sunt asemănătoare. Într-adevăr, punctele B, N, MȘi C culcați pe un cerc cu un diametru î.Hr, prin urmare, ∠ NMB = ∠BCN, din triunghiuri dreptunghiulare BAMȘi BNC:
∠AMN = 90 0 — ∠NMB,∠B= 90 0 — ∠BCN, ceea ce în mod evident implică faptul că ∠ AMN= ∠B, în plus ∠ A- comune ambelor triunghiuri, prin urmare, sunt asemănătoare în două unghiuri.

Dintr-un triunghi dreptunghic AMB: cos∠ A = A.M/AB ANC: cos∠ A = UN/AC. Aceste aceleași rapoarte sunt, evident, rapoartele laturilor din triunghiuri similare AMNȘi ABC, ceea ce implică faptul că cos∠ A=NM/BC= 1/2, ceea ce înseamnă ∠ A= 60 0 Deoarece suma unghiurilor dintr-un triunghi este 180 0 , ∠ B+∠C= 1200. Centrul unui cerc înscris într-un triunghi se află, după cum se știe, în punctul de intersecție al bisectoarelor sale. Din aceasta concluzionăm că:
∠OBC+∠O CB= 1/2 (∠ B+∠C) = 60 0 , ceea ce înseamnă ∠ BOC= 1200. Prin teorema sinusului pentru un triunghi BOC avem: î.Hr/sin∠ BOC = 2R, Unde R R = 8√3.

2) Fie acum ∠ A- contondent (figura dreapta). Dintr-un triunghi dreptunghic ABM găsim că cos∠ BAM = A.M/AB, dintr-un triunghi dreptunghic POATE SA găsim că cos∠ CAN=AN/AC. ∠BAM=∠C UN , deoarece sunt verticale, deci A.M/AB = UN/AC= cos∠ BAM= cos∠ BAC , deoarece ultimele două unghiuri sunt adiacente. Deci triunghiuri ABCȘi ANM asemănător ca unghi și două laturi proporționale. Coeficientul de similitudine este cos∠ BAC = MN /BC= -1/2, iar unghiul în sine este ∠ BAC = 120 0 .

Raționamentul suplimentar este similar. Deoarece suma unghiurilor dintr-un triunghi este 180 0 , ∠ B+∠C= 600. Centrul unui cerc înscris într-un triunghi se află în punctul de intersecție al bisectoarelor sale, prin urmare:
∠OBC+∠O CB= 1/2 (∠ B+∠C) = 30 0 , ceea ce înseamnă ∠ BOC= 1500. Prin teorema sinusului pentru un triunghi BOC avem: î.Hr/sin∠ BOC = 2R, Unde R- raza dorită a cercului circumscris triunghiului. De aici: R = 24.

Răspuns: 8√3 sau 24.

Opțiunea 8. Perimetrul unui trapez isoscel este 52. Se știe că un cerc poate fi înscris în acest trapez, iar latura laterală este împărțită la punctul de contact într-un raport de 4: 9. O linie dreaptă care trece prin centrul cerc și vârful trapezului decupează un triunghi din trapez. Găsiți raportul dintre aria acestui triunghi și aria trapezului.

Soluţie:

Desen pentru rezolvarea problemei C4 cu un trapez

Prin teorema segmentului tangent KB = BP = PC = CQ = 4X, QD = DL = LA = AK = 9X, atunci perimetrul trapezului este 4 (9 X + 4X) = 52, de unde X= 1. De aici calculăm laturi AB = CD= 13 și baze î.Hr = 8, ANUNȚ= 18. Apoi AH = (ANUNȚ — î.Hr)/2 = 5. Dintr-un triunghi dreptunghic BHA folosind teorema lui Pitagora, găsim înălțimea trapezului BH= 12, sin∠ A= păcat∠ D= 12/13. Aria trapezului este atunci S = (î.Hr + ANUNȚ) · BH/2 = 156.

În funcție de linia dreaptă la care se face referire în starea problemei, sunt posibile două cazuri:

1) Lăsați linia dată să treacă prin vârful care conține baza mai mică a trapezului (în figură, linia BM). Centrul unui cerc înscris într-un unghi se află pe bisectoarea acestuia, adică ∠ ABM = ∠MBC, ∠MBC = ∠AMB(ca întinsă peste cu linii paralele î.Hr, ANUNȚ si secante BM), deci ∠ ABM = ∠AMBși triunghi ABM- isoscel, A.M = AB= 13. Apoi aria triunghiului ABM= 0,5 AB · A.M păcat∠ A= 0,5 13 13 12/13 = 78, iar raportul dorit este 78/156 = 1/2.

2) Acum lăsați linia la care se face referire în condiție să treacă prin vârful care conține baza mai mică a trapezului (în figură, linia UN). Să realizăm o construcție suplimentară: extindeți baza î.Hr si direct UNînainte de a traversa într-un punct Y. În mod similar, demonstrăm că triunghiul ABY- isoscel, AB = DE = 13, CY = DE — î.Hr= 5. Triunghiuri CNYȘi ȘI sunt similare în două unghiuri (∠ ȘI = ∠CNY ca verticală, ∠ CYA = ∠YAD ca culcat transversal cu linii paralele î.Hr, ANUNȚ si secante AY), Mijloace DN : NC = ANUNȚ : CY= 18:5 înseamnă DN = 18/23 CD = 18/23 AB= 234/23. Apoi aria triunghiului ADN= 0,5 ANUNȚ · DN păcat∠ D= 0,5 18 234/23 12/13 = 1944/23, iar raportul dorit este 162/299.

Răspuns: 1/2 sau 162/299.

Serghei Valerievici

Secțiuni: Matematică

La ultimele lecții de geometrie, practic nu mai este timp pentru a rezolva probleme pe parcursul întregului curs. Si in Examinarea de stat unificată KIMSÎn mod tradițional, sunt incluse sarcini, a căror rezolvare necesită cunoștințe de planimetrie pe tema „Cercuri înscrise și circumscrise”. Prin urmare, materialul propus va ajuta nu numai la reamintirea acestui subiect, ci și la sistematizarea cunoștințelor dobândite anterior privind rezolvarea problemelor planimetrice pe cercuri înscrise și circumscrise, precum și la pregătirea pentru rezolvarea unor probleme similare în cadrul examenului. Se presupune că elevul cel puțin la nivelul minim deține întregul curs de geometrie școlară (planimetrie).

Primul și cel mai important pas în rezolvarea unei probleme geometrice este construirea unui desen. Este imposibil să înveți cum să rezolvi probleme suficient de semnificative fără a-ți dezvolta abilități puternice în a realiza desene „bune”, fără a-ți dezvolta un obicei (chiar și un reflex) - să nu începi să rezolvi o problemă până nu a fost realizat un desen „mare și frumos”. Ca principală metodă de rezolvare a problemelor geometrice, este propusă o metodă algebrică cu compilarea unui algoritm ulterior. Punând metoda algebrică în prim-plan, este necesar să se avertizeze împotriva entuziasmului excesiv pentru algebră și numărare, nu uitați că încă vorbim despre probleme geometrice și, prin urmare, în timp ce lucrați la o problemă, ar trebui să căutați caracteristici geometrice, să învățați a privi și a vedea geometria. După ce am evidențiat doi termeni care determină capacitatea de a rezolva probleme geometrice - un desen plus o metodă, vom adăuga aici un al treilea - posesia anumitor teoreme și probleme de bază, fapte geometrice cunoscute.

I. Teoreme necesare și probleme de bază pentru un cerc înscris într-un triunghi și un patrulater și un cerc care circumscrie un triunghi și un patrulater. ( Anexa 1 )

II. Rezolvarea problemelor conform desenelor gata făcute (este convenabil să folosiți un retroproiector).

În același timp, elevii explică verbal cursul rezolvării problemelor, formulează teoreme și probleme de bază utilizate în rezolvarea problemelor după desene gata făcute.

Desenul terminat	Dat Găsi	Soluţie Răspuns
	AB=BC	Segmentele tangente sunt egale: BM = BK = 5 AB=BC=12 MC=CN=7, AC=14, AK=AN=7, PABC = 12 + 12 + 14 = 38 Răspuns: P ABC = 38
	AB=6 AO =	Segmentele tangente sunt egale: AB = BC 1) , 2) AB = BC, , deoarece VO - bisectoare 3) ABC - echilateral, PABC = 6 3 = 18 Răspuns: P ABC = 18
	AD este diametrul cercului, AB = 3, ID = 4 1. Demonstrați: NM AD 2.R=?	1. Pentru că AD este diametrul, apoi DB AN și AC DN, adică. AC și DB sunt înălțimile lui AND, atunci NK este înălțimea, deoarece se intersectează la un moment dat. Deci NMAD. 2.AD==5, R= Răspuns: R = 2,5
	R=?	AC este diametrul cercului și ipotenuza dreptunghiului ABC, R = = 1,5 Răspuns: R = 1,5
	AB=24 OK = 5	O - punctul de intersecție al perpendicularelor mediale pe laturi. BKO - dreptunghiular, VK = AK = 12, KO = 5, VO = = 13 = R Răspuns: R = 13

III. Rezolvarea problemelor.

1. Aflați perimetrul unui triunghi dreptunghic dacă raza cercului înscris este de 2 cm și ipotenuza este de 13 cm.

Fie AM = AN = x, apoi AC = x + 2, CB = 2 + 13 - x = 15 - x (x + 2) 2 + (15 - x) 2 = 169 x2 - 13x + 30 = 0 x 1 = 10, x 2 = 3; AC=6, CB=12; P=30cm Răspuns: P = 30 cm.

2. Raza cercului înscris într-un triunghi dreptunghic este de 3 cm, O este centrul cercului înscris, , . Găsiți aria unui triunghi.

AO - bisectoare, AKO - dreptunghiular, păcat \u003d păcat 30 o \u003d , AO = 6, AN=AK==3, AC=3+3, tg 60 o = , CB = S ABC = = Răspuns: S = cm2.

3. Perimetrul triunghiului este 84. Punctul de contact al cercului înscris împarte una dintre laturi în segmente 12 și 14. Aflați raza cercului înscris și aria lui ABC, dacă OB = 18, O este centrul cercului înscris.

4. Într-un triunghi isoscel distanța de la centrul cercului înscris până la vârful unui unghi inegal este de 5 cm.Latura cea mai lungă este de 10 cm.Aflați raza cercului înscris.

OB=5, , OM=OB . = , BH = 5 + r, AH = 2r, AHB - dreptunghiular, 4r 2 \u003d 100 - (5 + r) 2, r 2 + 2r - 15 \u003d 0, r 1 \u003d - 5, r 2 \u003d 3 Răspuns: r = 3 cm.

5. Baza unui triunghi isoscel înscris într-un cerc cu raza de 5 cm are 6 cm.Aflați perimetrul triunghiului.

AHO - dreptunghiular: OH = 4, BH = 4 + 5 = 9, AB=BC== P= Răspuns: P = vezi

6. Perimetrul triunghiului ABC este de 72 cm AB = BC, AB:AC = 13:10. Aflați raza cercului circumscris triunghiului.

AB + BC + AC = 72, , AC=20, AB=BC==26, BH==24 BN=NA=13, , R = Răspuns: R = vezi

7. Baza unui triunghi isoscel obtuz este de 24 cm, iar raza cercului circumscris este de 13 cm. Aflați latura laterală a triunghiului.

8. Cercul, al cărui diametru este AC al triunghiului ABC, trece prin punctul de intersecție al medianelor acestui triunghi. Aflați raportul dintre lungimea laturii AC și lungimea medianei trasate pe ea.

AO=OC=R=OM, BM=2R, BO = 3R, Răspuns: .

9. Aflați aria unui trapez isoscel circumscris unui cerc cu raza de 4, dacă se știe că latura trapezului este 10.

S ABCD = Deoarece cerc înscris, apoi AB + CD = AD + BC = 20 h = 2r = 8, , S ABCD = 10 8 = 80 Raspuns: 80.

10. Rombul ABCD este dat. Cercul circumferitor al triunghiului ABD intersectează diagonala majoră a lui AC în punctul E. Aflați CE dacă AB = , BD = 16.

IV. Sarcini pentru soluție independentă.

1. Raza unui cerc înscris într-un triunghi dreptunghic este de 2 cm, iar raza cercului circumscris este de 5 cm. Aflați catetul mai mare al triunghiului.

Răspuns: (6; 8).

2. Lângă un triunghi isoscel cu baza AC și un unghi la baza de 75o, este circumscris un cerc cu centrul O. Aflați raza lui dacă aria triunghiului BOC este 16.

Răspuns: (8).

3. Aflați raza cercului înscris în triunghiul unghiular ABC dacă înălțimea BH este egală cu 12 și se știe că , .

Răspuns: (4).

4. Unul dintre catetele unui triunghi dreptunghic este 15, iar proiecția celui de-al doilea catet pe ipotenuză este 16. Aflați diametrul cercului care circumscrie acest triunghi.

Răspuns: (25).

5. Un cerc este înscris într-un triunghi isoscel ABC. O tangentă la cerc este trasată paralelă cu baza lui AC și intersectează laturile în punctele D și E. Aflați raza cercului dacă DE = 8, AC = 18.

Răspuns: (6).

6. Un cerc este circumscris lângă triunghiul ABC. Mediana triunghiului AM ​​se extinde până la intersecția cu cercul din punctul K. Aflați latura AC dacă AM=18, MK=8, BK=10.

Răspuns: (15).

7. Un cerc înscris într-un triunghi isoscel își atinge laturile în punctele K și A. Punctul K împarte latura acestui triunghi în segmentele 15 și 10, numărând de la bază. Aflați lungimea segmentului KA.

Răspuns: (12).

8. Unghiul B al triunghiului ABC este de 60 o, raza cercului circumscris ABC este 2. Aflați raza cercului care trece prin punctele A și C și centrul cercului înscris în ABC.

Răspuns: (2).

9. Laturile triunghiului sunt 5, 6 și 7. Aflați raportul segmentelor în care bisectoarea unghiului mai mare al acestui triunghi este împărțită la centrul cercului înscris în triunghi.

Răspuns: (11:7).

10. Raza unui cerc înscris într-un triunghi dreptunghic este egală cu jumătatea diferenței catetelor sale. Găsiți raportul dintre piciorul mai mare și cel mai mic.

, . Aflați ipotenuza și raza cercului circumferitor al triunghiului.