Rezolvarea sistemelor iraționale complexe de ecuații. Metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor iraționale

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Colectat de noi Informații personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, procedura judiciară, procedurile judiciare și/sau în baza cererilor sau solicitărilor publice din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către terțul succesor aplicabil.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Evoluții metodologice pentru cursul opțional

„Metode pentru rezolvarea ecuațiilor iraționale””

INTRODUCERE

Cursul opțional propus „Metode de rezolvare a ecuațiilor iraționale” este destinat elevilor de clasa a XI-a școală gimnazialăși este specific disciplinei, care vizează extinderea cunoștințelor teoretice și practice ale studenților. Cursul opțional este construit pe cunoștințele și abilitățile pe care elevii le dobândesc atunci când studiază matematica în liceu.

Specificul acestui curs este că este destinat în primul rând studenților care doresc să-și extindă, să aprofundeze, să sistematizeze, să-și generalizeze cunoștințele matematice și să învețe metode și tehnici comune de rezolvare a ecuațiilor iraționale. Programul include întrebări care depășesc parțial programele actuale de matematică și metode non-standard care vă permit să rezolvați mai eficient diverse probleme.

Majoritatea sarcinilor USE cer absolvenților să stăpânească diferite metode de rezolvare a diferitelor tipuri de ecuații și sistemele acestora. Materialul legat de ecuații și sisteme de ecuații constituie o parte semnificativă a cursului de matematică școlar. Relevanța alegerii unei teme pentru un curs opțional este determinată de semnificația subiectului „Ecuații iraționale” în curs şcolar matematică și, în același timp, lipsă de timp pentru a lua în considerare metode și abordări nestandardizate pentru rezolvarea ecuațiilor iraționale care se găsesc în sarcinile grupei „C” a Examenului de stat unificat.

Alături de sarcina de bază de predare a matematicii - asigurarea stăpânirii puternice și conștiente de către studenți a sistemului de cunoștințe și abilități matematice - acest curs opțional prevede formarea unui interes durabil pentru materie, dezvoltarea abilități matematice, crescând nivelul de cultură matematică a elevilor, creează baza pentru finalizare cu succes Examen de stat unificat și educație continuă la universități.

Scopul cursului:

Creșterea nivelului de înțelegere și pregătire practică în rezolvarea ecuațiilor iraționale;

Studiu tehnici și metode de rezolvare a ecuațiilor iraționale;

Dezvoltați capacitatea de a analiza, de a evidenția principalul, de a forma elemente de căutare creativă pe baza tehnicilor de generalizare;

Extindeți cunoștințele studenților cu privire la acest subiect, îmbunătățiți abilitățile și abilitățile de soluționare diverse sarcini pentru promovarea cu succes a examenului de stat unificat.

Obiectivele cursului:

Extinderea cunoștințelor despre metode și tehnici de rezolvare a ecuațiilor algebrice;

Generalizarea și sistematizarea cunoștințelor la studii în clasele 10-11 și pregătirea pentru Examenul Unificat de Stat;

Dezvoltarea capacității de a dobândi și aplica în mod independent cunoștințe;

Introducerea elevilor să lucreze cu literatura matematică;

Dezvoltare gândire logică elevii, cultura lor algoritmică și intuiția matematică;

Îmbunătățirea culturii matematice a elevului.

Programul de curs opțional implică studierea diferitelor metode și abordări pentru rezolvarea ecuațiilor iraționale și dezvoltarea abilităților practice privind problemele luate în considerare. Cursul durează 17 ore.

Programul este complicat, depășește cursul obișnuit de studiu, promovează dezvoltarea gândirii abstracte și extinde aria de cunoaștere a studentului. Totodata, mentine continuitatea cu programele existente, fiind continuarea logica a acestora.

Plan educațional și tematic

№p/p

Subiectul cursurilor

Numărul de ore

Rezolvarea ecuațiilor ținând cont de intervalul de valori acceptabile

Rezolvarea ecuațiilor iraționale prin ridicarea la puteri naturale

Rezolvarea ecuațiilor prin introducerea de variabile auxiliare (metoda înlocuirii)

Rezolvarea unei ecuații cu un radical de gradul trei.

Transformări identice la rezolvarea ecuațiilor iraționale

Sarcini neconvenționale. Probleme din grupa „C” a examenului de stat unificat

Forme de control: teste acasă, muncă independentă, eseuri și lucrări de cercetare.

Ca urmare a studierii acestui curs opțional, studenții ar trebui să fie capabili să rezolve diverse ecuații iraționale folosind metode și tehnici standard și nestandard;

stăpânește algoritmul de rezolvare a ecuațiilor iraționale standard;

să fie capabil să folosească proprietățile ecuațiilor pentru a rezolva probleme nestandard;

să poată efectua transformări de identitate la rezolvarea ecuațiilor;

au o înțelegere clară a subiectelor unui singur examen de stat, despre principalele metode de rezolvare a acestora;

dobândiți experiență în alegerea metodelor de rezolvare a problemelor non-standard.

PARTEA PRINCIPALA.

Se numesc ecuații în care mărimea necunoscută este sub semnul radicalului iraţional.

Cele mai simple ecuații iraționale includ ecuații de forma:

Ideea principală a soluției ecuația irațională constă în reducerea ei la una rațională ecuație algebrică, care fie este echivalentă cu ecuația irațională inițială, fie este consecința acesteia. Când rezolvăm ecuații iraționale, vorbim întotdeauna despre găsirea rădăcinilor reale.

Să ne uităm la câteva modalități de a rezolva ecuații iraționale.

1. Rezolvarea ecuațiilor iraționale ținând cont de intervalul de valori admisibile (APV).

Gama de valori admisibile ale unei ecuații iraționale constă din acele valori ale necunoscutelor pentru care toate expresiile sub semnul unui radical de grad par nu sunt negative.

Uneori, cunoașterea ODZ vă permite să demonstrați că ecuația nu are soluții și, uneori, vă permite să găsiți soluții la ecuație prin înlocuirea directă a numerelor din ODZ.

Exemplul 1 . Rezolvați ecuația.

Soluţie . După ce am găsit ODZ a acestei ecuații, ajungem la concluzia că ODZ a ecuației inițiale este o mulțime cu un singur element. Înlocuindx=2V ecuația dată, ajungem la concluzia căx=2este rădăcina ecuației inițiale.

Răspuns : 2 .

Exemplul 2.

Ecuația nu are soluții, deoarece Pentru fiecare valoare validă a unei variabile, suma a două numere nenegative nu poate fi negativă.

Exemplul 3.
+ 3 =
.

ODZ:

Ecuația ODZ este o mulțime goală.

Răspuns: ecuația nu are rădăcini.

Exemplul 4. 3
−4
−
=−(2+
).

ODZ:

ODZ:
. Prin verificare suntem convinși că x=1 este rădăcina ecuației.

Raspuns: 1.

Demonstrați că ecuația nu are

rădăcini

1.
= 0.

2.
=1.

3. 5
.

4.
+
=2.

5.
=
.

Rezolvați ecuația.

1. .

2. = 0.

3.
= 92.

4. = 0.

5.
+
+(x+3)(2005−x)=0.

2. B ridicând ambele părți ale ecuației la puterea naturală , adică trecerea de la ecuație

(1)

la ecuație

. (2)

Următoarele afirmații sunt adevărate:

1) pentru orice ecuație (2) este o consecință a ecuației (1);

2) dacă ( n – Nu număr par), apoi ecuațiile (1) și (2 ) sunt echivalente;

3) dacă ( n este un număr par), atunci ecuația (2) este echivalentă cu ecuația

, (3)

iar ecuația (3) este echivalentă cu setul de ecuații

. (4)

În special, ecuația

(5)

este echivalentă cu setul de ecuații (4).

Exemplul 1. Rezolvați ecuația

.

Ecuația este echivalentă cu sistemul

de unde rezultă că x=1, iar rădăcina nu satisface a doua inegalitate. În același timp, o soluție competentă nu necesită verificare.

Răspuns:x=1.

Exemplul 2. Rezolvați ecuația.

Rezolvarea primei ecuații a acestui sistem, care este echivalentă cu ecuația , obținem rădăcinile și . Cu toate acestea, la aceste valori x inegalitatea nu este valabilă și, prin urmare, această ecuație nu are rădăcini.

Răspuns: fără rădăcini.

Exemplul 3. Rezolvați ecuația

Izolând primul radical, obținem ecuația

echivalent cu cel original.

Punând la pătrat ambele părți ale acestei ecuații, deoarece ambele sunt pozitive, obținem ecuația

,

care este o consecință a ecuației inițiale. Punând la pătrat ambele părți ale acestei ecuații cu condiția ca , ajungem la ecuație

.

Această ecuație are rădăcini , . Prima rădăcină satisface condiția inițială, dar a doua nu.

Răspuns: x=2.

Dacă ecuația conține doi sau mai mulți radicali, atunci aceștia sunt mai întâi izolați și apoi pătrați.

Exemplul 1.

Izolând primul radical, obținem o ecuație echivalentă cu cea dată. Să pătram ambele părți ale ecuației:

După efectuarea transformărilor necesare, pătratăm ecuația rezultată

După verificare, observăm că

nu este în intervalul de valori acceptabile.

Raspuns: 8.

Raspuns: 2

Răspuns: 3; 1.4.

3. Multe ecuații iraționale sunt rezolvate prin introducerea de variabile auxiliare.

Un mijloc convenabil de rezolvare a ecuațiilor iraționale este uneori metoda de introducere a unei noi variabile sau "metoda de inlocuire" Metoda este de obicei aplicată atunci când în Ec. o anumită expresie apare în mod repetat, în funcție de o cantitate necunoscută. Atunci are sens să desemnăm această expresie drept ceva scrisoare nouăși încercați să rezolvați mai întâi ecuația în raport cu necunoscuta introdusă, apoi găsiți necunoscuta inițială.

Alegerea cu succes a unei noi variabile face ca structura ecuației să fie mai transparentă. Noua variabilă este uneori evidentă, alteori oarecum voalată, dar „simțită”, iar uneori „se manifestă” doar în procesul de transformare.

Exemplul 1.

Lasă
t>0, atunci

t =
,

t2 +5t-14=0,

t1 =-7, t2 =2. t=-7 nu satisface conditia t>0, atunci

,

x 2 -2x-5=0,

x 1 =1-
, x 2 =1+
.

Raspuns: 1-
; 1+
.

Exemplul 2. Rezolvați o ecuație irațională

Înlocuire:

Înlocuire inversă: /

Răspuns:

Exemplul 3. Rezolvați ecuația .

Să facem înlocuiri: , . Ecuația originală va fi rescrisă sub forma , din care aflăm că O = 4bȘi . Apoi, ridicând ambele părți ale ecuației la pătrat, obținem: De aici X= 15. Mai rămâne de verificat:

- corect!

Răspuns: 15.

Exemplul 4. Rezolvați ecuația

Punând , obținem o ecuație irațională semnificativ mai simplă. Să pătram ambele părți ale ecuației: .

; ;

; ; , .

Verificarea valorilor găsite și înlocuirea lor în ecuație arată că este rădăcina ecuației și este o rădăcină străină.

Revenind la variabila inițială x, obținem ecuația, adică ecuație pătratică, rezolvând care găsim două rădăcini: ,. Ambele rădăcini satisfac ecuația originală.

Răspuns: , .

Înlocuirea este utilă mai ales dacă se obține o nouă calitate ca rezultat, de exemplu, o ecuație irațională se transformă într-una rațională.

Exemplul 6. Rezolvați ecuația.

Să rescriem ecuația astfel: .

Se poate observa că dacă introducem o nouă variabilă , atunci ecuația ia forma , unde este rădăcina străină și .

Din ecuație obținem , .

Răspuns: , .

Exemplul 7. Rezolvați ecuația .

Să introducem o nouă variabilă, .

Ca rezultat, ecuația irațională originală ia forma unui pătrat

,

de unde, ținând cont de limitare, obținem . Rezolvând ecuația, obținem rădăcina. Răspuns: 2,5.

Sarcini pentru soluție independentă.

1.
+
=
.

2.
+
=.

3.
.

5.
.

4.Metoda introducerii a două variabile auxiliare.

Ecuații de formă (Aici o , b , c , d – unele numere m , n – numere naturale) și o serie de alte ecuații pot fi adesea rezolvate prin introducerea a două necunoscute auxiliare:și , unde și tranziția ulterioară la sistem echivalent de ecuații raționale.

Exemplul 1. Rezolvați ecuația.

Ridicarea ambelor părți ale acestei ecuații la a patra putere nu promite nimic bun. Dacă punem , atunci ecuația inițială se rescrie astfel: . Deoarece am introdus două noi necunoscute, trebuie să găsim o altă ecuație care să le facă yŞi z. Pentru a face acest lucru, ridicăm egalitățile la a patra putere și observăm că . Deci, trebuie să rezolvăm sistemul de ecuații

Prin pătrat obținem:

După înlocuire avem: sau . Atunci sistemul are două soluții: , ; , , iar sistemul nu are soluții.

Rămâne de rezolvat sistemul a două ecuații cu o necunoscută

iar sistemul Primul dintre ele dă, al doilea dă.

Răspuns: , .

Exemplul 2.

Lasă

Răspuns:

5. Ecuații cu un radical de gradul trei.
Când se rezolvă ecuații care conțin radicali de gradul 3, poate fi util să se folosească adunarea după identități:

Exemplul 1. .
Să ridicăm ambele părți ale acestei ecuații la a 3-a putere și să folosim identitatea de mai sus:

Rețineți că expresia dintre paranteze este egală cu 1, care rezultă din ecuația originală. Ținând cont de acest lucru și aducând termeni similari, obținem:
Să deschidem parantezele, să adăugăm termeni similari și să rezolvăm ecuația pătratică. Rădăcinile saleŞi. Dacă presupunem (prin definiție) că rădăcinile impare pot fi extrase și din numere negative, atunci ambele numere obținute sunt soluții ale ecuației inițiale.
Răspuns:.

6. Înmulțirea ambelor părți ale ecuației cu expresia conjugată a uneia dintre ele.

Uneori, o ecuație irațională poate fi rezolvată destul de repede dacă ambele părți sunt înmulțite cu o funcție bine aleasă. Desigur, atunci când ambele părți ale ecuației sunt înmulțite cu o anumită funcție, pot apărea soluții străine, ele se pot dovedi a fi zerouri ale acestei funcții. Prin urmare, metoda propusă necesită cercetarea obligatorie a valorilor rezultate.

Exemplul 1. Rezolvați ecuația

Soluţie: Să selectăm o funcție

Să înmulțim ambele părți ale ecuației cu funcția selectată:

Să aducem termeni similari și să obținem o ecuație echivalentă

Să adăugăm ecuația inițială și ultima, obținem

Răspuns: .

7. Transformări identice la rezolvarea ecuațiilor iraționale

La rezolvarea ecuațiilor iraționale, este adesea necesar să se aplice transformări identice asociate cu utilizarea formulelor binecunoscute. Din păcate, aceste acțiuni sunt uneori la fel de nesigure ca și ridicarea la o putere uniformă – soluțiile pot fi câștigate sau pierdute.

Să ne uităm la mai multe situații în care apar aceste probleme și să învățăm cum să le recunoaștem și să le prevenim.

eu. Exemplul 1. Rezolvați ecuația.

Soluţie. Formula care se aplică aici este .

Trebuie doar să vă gândiți la siguranța utilizării acestuia. Este ușor de observat că laturile sale stânga și dreapta au domenii diferite de definiție și că această egalitate este adevărată numai în condițiile . Prin urmare, ecuația inițială este echivalentă cu sistemul

Rezolvând ecuația acestui sistem, obținem rădăcinile și . A doua rădăcină nu satisface setul de inegalități ale sistemului și, prin urmare, este o rădăcină străină a ecuației originale.

Răspuns: -1 .

II.Următoarea transformare periculoasă la rezolvarea ecuaţiilor iraţionale este determinată de formula.

Dacă utilizați această formulă de la stânga la dreapta, ODZ se extinde și puteți achiziționa soluții de la terți. Într-adevăr, în partea stângă ambele funcții trebuie să fie nenegative; iar în dreapta, produsul lor trebuie să fie nenegativ.

Să ne uităm la un exemplu în care o problemă este implementată folosind formula.

Exemplul 2. Rezolvați ecuația.

Soluţie. Să încercăm să rezolvăm această ecuație prin factorizare

Rețineți că prin această acțiune soluția s-a dovedit a fi pierdută, deoarece se potrivește cu ecuația inițială și nu se mai potrivește cu cea rezultată: nu are sens pentru . Prin urmare, este mai bine să rezolvați această ecuație prin pătrat obișnuit

Rezolvând ecuația acestui sistem, obținem rădăcinile și . Ambele rădăcini satisfac inegalitatea sistemului.

Răspuns: , .

III Există o acțiune și mai periculoasă - reducerea printr-un factor comun.

Exemplul 3. Rezolvați ecuația .

Raționament incorect: reduceți ambele părți ale ecuației cu , obținem .

Nu este nimic mai periculos și mai greșit decât această acțiune. În primul rând, s-a pierdut o soluție adecvată pentru ecuația inițială; în al doilea rând, au fost achiziționate două soluții terțe. Se dovedește că noua ecuație nu are nimic în comun cu cea originală! Să dăm soluția corectă.

Soluţie. Să mutăm toți termenii în partea stângă a ecuației și să o factorăm în factori

.

Această ecuație este echivalentă cu sistemul

care are o soluție unică.

Răspuns: 3 .

CONCLUZIE.

Ca parte a cursului opțional, sunt prezentate tehnici non-standard de rezolvare a problemelor complexe care dezvoltă cu succes gândirea logică și capacitatea de a găsi, printre multe soluții, una care să fie confortabilă și rațională pentru student. Acest curs necesită multă muncă independentă din partea studenților, ajută la pregătirea studenților pentru educația continuă și îmbunătățește nivelul de cultură matematică.

Lucrarea a discutat principalele metode de rezolvare a ecuațiilor iraționale, câteva abordări de rezolvare a ecuațiilor grade superioare, a cărui utilizare este de așteptat la rezolvarea sarcinilor de examen de stat unificat, precum și la intrarea în universități și continuarea educatie matematica. De asemenea, a fost dezvăluit conținutul conceptelor și enunțurilor de bază legate de teoria rezolvării ecuațiilor iraționale. După ce am determinat cea mai comună metodă de rezolvare a ecuațiilor, am identificat utilizarea acesteia în situații standard și non-standard. În plus, am luat în considerare greșeli tipice atunci când efectuează transformări identice și modalități de a le depăși.

La finalizarea cursului, studenții vor avea posibilitatea de a stăpâni diverse metode și tehnici de rezolvare a ecuațiilor, în timp ce învață să sistematizeze și să generalizeze informațiile teoretice, să caute în mod independent soluții la anumite probleme și, în legătură cu aceasta, să compună o serie de sarcini și exerciții. pe aceste subiecte. Alegerea unui material provocator îi va ajuta pe școlari să se exprime în activitățile de cercetare.

Partea pozitivă a cursului este posibilitatea aplicării ulterioare de către studenți a materialului studiat atunci când promovarea examenului de stat unificat, admiterea la universitati.

Partea negativă este că nu fiecare student este capabil să stăpânească toate tehnicile acestui curs, chiar dacă au dorința de a face acest lucru, din cauza dificultății majorității problemelor rezolvate.

LITERATURĂ:

Sharygin I.F. „Matematică pentru cei care intră în universități.” - Ed. a 3-a, - M.: Bustard, 2000.

Ecuații și inegalități. Manual de referință./ Vavilov V.V., Melnikov I.I., Olehnik S.N., Pasichenko P.I. –M.: Examen, 1998.

Cherkasov O.Yu., Yakushev A.G. „Matematică: un curs intensiv de pregătire pentru examen”. – Ed. a 8-a, rev. si suplimentare – M.:Iris, 2003. – (Profesor de acasă)

Balayan E.N. Exerciții complexe și variații sarcini de instruire pentru examenul unificat de stat la matematică. Rostov-pe-Don: Editura Phoenix, 2004.

Skanavi M.I. „Colecție de probleme de matematică pentru cei care intră în universități.” - M., „Școala superioară”, 1998.

Igusman O.S. „Matematica la examenul oral”. - M., Iris, 1999.

Materiale de examen pentru pregătirea Examenului Unificat de Stat – 2008 – 2012.

V.V Kochagin, M.N Kochagina „Examenul de stat unificat - 2010. Matematică. Tutor" Moscova "Iluminism" 2010

V.A.Gusev, A.G.Mordkovich „Matematică. Materiale de referință" Moscova "Iluminism" 1988

Rezumatul lecției

„Metode pentru rezolvarea ecuațiilor iraționale”

Profil fizica si matematica clasa a XI-a.

districtul municipal Zelenodolsk al Republicii Tatarstan"

Valieva S.Z.

Tema lecției: Metode de rezolvare a ecuațiilor iraționale

Obiectivul lecției: 1.Explorați diverse moduri rezolvarea ecuațiilor iraționale.

1. 
   Dezvoltați capacitatea de generalizare, selectare corectă a metodelor de rezolvare a ecuațiilor iraționale.
2. 
   Dezvoltați independența, îmbunătățiți alfabetizarea vorbirii

Tip de lecție: seminar.
Planul lecției:

1. 
   Moment organizatoric
2. 
   Învățarea de materiale noi
3. 
   Consolidare
4. 
   Teme pentru acasă
5. 
   Rezumatul lecției

Progresul lecției
eu. Moment organizatoric: mesajul subiectului lecției, scopul lecției.

În lecția anterioară, ne-am uitat la rezolvarea ecuațiilor iraționale care conțin rădăcini pătrate prin pătrarea acestora. În acest caz, obținem o ecuație corolară, care uneori duce la apariția rădăcinilor străine. Și apoi o parte obligatorie a rezolvării ecuației este verificarea rădăcinilor. Ne-am uitat și la rezolvarea ecuațiilor folosind definiția rădăcină pătrată. În acest caz, verificarea poate să nu fie efectuată. Cu toate acestea, atunci când rezolvați ecuații, nu ar trebui să începeți întotdeauna imediat să aplici „orb” algoritmi pentru rezolvarea ecuației. În sarcinile Examenului de stat unificat există destul de multe ecuații, la rezolvarea cărora este necesar să alegeți o metodă de rezolvare care vă permite să rezolvați mai ușor și mai rapid ecuațiile. Prin urmare, este necesar să cunoaștem și alte metode de rezolvare a ecuațiilor iraționale, cu care ne vom familiariza astăzi. Anterior, clasa a fost împărțită în 8 grupuri creative și acestea au fost date exemple concrete dezvăluie esența unei anumite metode. Le dăm cuvântul.

II. Învățarea de materiale noi.

Din fiecare grupă, 1 elev explică copiilor cum să rezolve ecuații iraționale. Întreaga clasă ascultă și ia notițe despre povestea lor.

1 cale. Introducerea unei noi variabile.

Rezolvați ecuația: (2x + 3) 2 - 3

4x 2 + 12x + 9 - 3

4x 2 - 8x - 51 - 3

, t ≥0

x 2 – 2x – 6 = t 2;

4t 2 – 3t – 27 = 0

x 2 – 2x – 15 =0

x 2 – 2x – 6 =9;

Răspuns: -3; 5.

Metoda 2. cercetare DL.

Rezolvați ecuația

ODZ:


x = 2. Prin verificare suntem convinși că x = 2 este rădăcina ecuației.

3 căi. Înmulțirea ambelor părți ale ecuației cu factorul conjugat.

+
(înmulțiți ambele părți cu -
)

x + 3 – x – 8 = 5(-)

2=4, deci x=1. Prin verificare suntem convinși că x = 1 este rădăcina acestei ecuații.

4 moduri. Reducerea unei ecuații la un sistem prin introducerea unei variabile.

Rezolvați ecuația

Fie = u,
=v.

Obținem sistemul:

Să rezolvăm prin metoda substituției. Obținem u = 2, v = 2. Aceasta înseamnă

obținem x = 1.

Răspuns: x = 1.

5 moduri. Selectarea unui pătrat complet.

Rezolvați ecuația

Să extindem modulele. Deoarece -1≤сos0.5x≤1, apoi -4≤сos0.5x-3≤-2, ceea ce înseamnă . De asemenea,

Apoi obținem ecuația

x = 4πn, nZ.

Răspuns: 4πn, nZ.

6 moduri. Metoda de evaluare

Rezolvați ecuația

ODZ: x 3 - 2x 2 - 4x + 8 ≥ 0, prin definiție partea dreaptă este -x 3 + 2x 2 + 4x - 8 ≥ 0

primim
aceste. x 3 - 2x 2 - 4x + 8 = 0. Rezolvând ecuația prin factorizare, obținem x = 2, x = -2

Metoda 7: Utilizarea proprietăților de monotonitate a funcțiilor.

Rezolvați ecuația. Funcțiile cresc strict. Suma funcțiilor crescătoare este în creștere și această ecuație are cel mult o rădăcină. Prin selecție găsim x = 1.

8 moduri. Folosind vectori.

Rezolvați ecuația. ODZ: -1≤х≤3.

Fie vectorul
. Produs punctual vectori - există o parte stângă. Să găsim produsul lungimii lor. Aceasta este partea dreaptă. Primit
, adică vectorii a și b sunt coliniari. De aici
. Să pătram ambele părți. Rezolvând ecuația, obținem x = 1 și x =
.

1. 
   Consolidare.(fiecărui elev i se oferă fișe de lucru)

Lucru oral frontal

Găsiți o idee pentru rezolvarea ecuațiilor (1-10)

1.
(ODZ - )

2.
x = 2

3. x 2 – 3x +
(înlocuire)

4. (selectarea unui pătrat complet)

5.
(Reducerea unei ecuații la un sistem prin introducerea unei variabile.)

6.
(înmulțirea prin expresia conjugată)

7.
deoarece
. Atunci această ecuație nu are rădăcini.

8. Pentru că Fiecare termen este nenegativ, îi echivalăm cu zero și rezolvăm sistemul.

9. 3

10. Aflați rădăcina ecuației (sau produsul rădăcinilor, dacă sunt mai multe) ecuației.

Lucrări independente scrise urmate de testare

rezolva ecuațiile numerotate 11,13,17,19

Rezolvarea ecuațiilor:

12. (x + 6) 2 -

14.

Metoda de evaluare

Utilizarea proprietăților de monotonitate a funcțiilor.

Folosind vectori.

1. 
   Care dintre aceste metode sunt folosite pentru a rezolva alte tipuri de ecuații?
2. 
   Care dintre aceste metode ți-a plăcut cel mai mult și de ce?

1. 
   Temă pentru acasă: Rezolvați ecuațiile rămase.

Referinte:

1. 
   Algebra și începuturile analiză matematică: manual pentru clasa a XI-a educatie generala instituții / S.M.Nikolsky, M.K.Potapov, N.N.Reshetnikov, A.V.Shevkin. M: Prsveshchenie, 2009

1. 
   Materiale didactice despre algebră și începuturi de analiză pentru clasa a 11-a / B.M. Ivlev, S.M. Sahakyan, S.I. Schwartzburd. – M.: Educație, 2003.
2. 
   Mordkovich A. G. Algebra și începuturile analizei. Clasele 10 – 11: Cartea de probleme pentru învățământul general. instituţiilor. – M.: Mnemosyne, 2000.
3. 
   Ershova A. P., Goloborodko V. V. Independent și teste despre algebră și analiză de bază pentru clasele 10-11. – M.: Ilexa, 2004
4. 
   Examenul de stat unificat KIM 2002 – 2010

6. Simulator algebric. A.G.Merzlyak, V.B.Polonsky, M.S. Yakir. Un manual pentru școlari și solicitanți. Moscova: „Ilexa” 2001.
7. Ecuații și inegalități. Metode de rezolvare nestandardizate. educațional – manual metodologic. 10 – 11 clase. S.N. Oleinik, M.K. Potapov, P.I. Pasichenko. Moscova. "Dropie". 2001

Metode de rezolvare a ecuațiilor iraționale.

Pregătirea preliminară pentru lecție: Elevii ar trebui să fie capabili să rezolve ecuații iraționale într-o varietate de moduri.

Cu trei săptămâni înainte de această lecție, elevii primesc tema numărul 1: rezolvați diverse ecuații iraționale. (Elevii găsesc în mod independent 6 ecuații iraționale diferite și le rezolvă în perechi.)

Cu o săptămână înainte de această lecție, elevii primesc tema nr. 2, pe care o completează individual.

1. Rezolvați ecuațiaîn diverse moduri.

2. Evaluați avantajele și dezavantajele fiecărei metode.

3. Înregistrați constatările sub forma unui tabel.

№ p/p	Mod	Avantaje	Defecte

Obiectivele lecției:

Educațional:generalizarea cunoștințelor elevilor pe această temă, demonstrarea diferitelor metode de rezolvare a ecuațiilor iraționale, capacitatea elevilor de a aborda rezolvarea ecuațiilor din perspectiva cercetării.

Educațional:promovarea independenței, a capacității de a-i asculta pe ceilalți și de a comunica în grupuri, creșterea interesului pentru subiect.

Dezvoltare:dezvoltarea gândirii logice, cultură algoritmică, abilități de autoeducare, autoorganizare, lucru în perechi atunci când faceți temele, abilități de a analiza, compara, generaliza și trage concluzii.

Echipament: calculator, proiector, ecran, tabel „Reguli pentru rezolvarea ecuațiilor iraționale”, poster cu citat din M.V. Lomonosov „Matematica ar trebui predată numai atunci pentru că pune mintea în ordine”, cărți.

Reguli pentru rezolvarea ecuațiilor iraționale.

Tip de lecție: lecție-seminar (se lucrează în grupe de 5-6 persoane, fiecare grupă trebuie să aibă elevi puternici).

Progresul lecției

eu . Moment organizatoric

(Comunicarea temei și a obiectivelor lecției)

II . Prezentare munca de cercetare„Metode pentru rezolvarea ecuațiilor iraționale”

(Lucrarea este prezentată de studentul care a făcut-o.)

III . Analiza metodelor de rezolvare a temelor

(Un elev din fiecare grupă își notează pe tablă metodele de soluționare propuse. Fiecare grupă analizează una dintre metodele de rezolvare, evaluează avantajele și dezavantajele și trag concluzii. Elevii din grupuri adaugă dacă este necesar. Analiza și concluziile grupului sunt evaluate. Răspunsurile trebuie să fie clare și complete.)

Prima metodă: ridicarea ambelor părți ale ecuației la aceeași putere și apoi verificarea.

Soluţie.

Să pătram din nou ambele părți ale ecuației:

De aici

Examinare:

1. Dacăx=42 atunci, ceea ce înseamnă numărul42 nu este rădăcina ecuației.

2. Dacăx=2, atunci, ceea ce înseamnă numărul2 este rădăcina ecuației.

Răspuns:2.

№ p/p	Mod	Avantaje	Defecte
	Ridicarea ambelor părți ale unei ecuații la aceeași putere	1. Văd. 2. Disponibil.	1. Înregistrare verbală. 2. Verificare dificilă.

Concluzie. La rezolvarea ecuațiilor iraționale prin ridicarea ambelor părți ale ecuației la aceeași putere, este necesar să se țină o înregistrare verbală, care să facă soluția de înțeles și accesibilă. Cu toate acestea, verificarea obligatorie este uneori complexă și necesită timp. Această metodă poate fi folosită pentru a rezolva ecuații iraționale simple care conțin 1-2 radicali.

A doua metodă: transformări echivalente.

Soluţie:Să pătram ambele părți ale ecuației:

Răspuns:2.

№ p/p	Mod	Avantaje	Defecte
	Transformări echivalente	1. Lipsa descrierii verbale. 2. Nicio verificare. 3. Notație logică clară. 4. Succesiunea tranzițiilor echivalente.	1. Înregistrare greoaie. 2. Puteți face o greșeală când combinați semnele unui sistem și ale unui set.

Concluzie. Când rezolvați ecuații iraționale folosind metoda tranzițiilor echivalente, trebuie să știți clar când să puneți semnul sistemului și când să puneți semnul agregatului. Greutatea înregistrării și diferitele combinații de simboluri de sistem și combinații conduc adesea la erori. Cu toate acestea, succesiunea tranzițiilor echivalente, o notație logică clară, fără descriere verbală, care nu necesită verificare, sunt avantajele incontestabile ale acestei metode.

A treia metodă: funcțional-grafic.

Soluţie.

Să ne uităm la funcțiiŞi.

1. Funcțiepotolit; este în creștere, pentru că exponentul este un număr pozitiv (nu întreg).

D(f).

Să creăm un tabel de valorixŞif( x).

	1,5		3,5
f(x)

2. Funcțiapotolit; este în scădere.

Să găsim domeniul de definire al funcțieiD( g).

Să creăm un tabel de valorixŞig( x).

g(x)

Să construim aceste grafice de funcții într-un singur sistem de coordonate.

Graficele funcțiilor se intersectează în punctul de abscisăDeoarece funcţief( x) crește, iar funcțiag( x) scade, atunci va exista o singură soluție a ecuației.

Răspuns: 2.

№p/p	Mod	Avantaje	Defecte
	Funcțional-grafic	1. Vizibilitate. 2. Nu este nevoie să faceți transformări algebrice complexe și să monitorizați ODZ. 3. Vă permite să găsiți numărul de soluții.	1. înregistrare verbală. 2. Nu este întotdeauna posibil să găsiți un răspuns exact, iar dacă răspunsul este exact, atunci este necesară verificarea.

Concluzie. Metoda funcțional-grafică este vizuală și vă permite să găsiți numărul de soluții, dar este mai bine să o utilizați atunci când puteți construi cu ușurință grafice ale funcțiilor luate în considerare și puteți obține un răspuns precis. Dacă răspunsul este aproximativ, atunci este mai bine să folosiți o altă metodă.

A patra metodă: introducerea unei noi variabile.

Soluţie.Să introducem noi variabile, denotândObținem prima ecuație a sistemului

Să creăm a doua ecuație a sistemului.

Pentru o variabilă:

Pentru o variabilă

De aceea

Obținem un sistem de două ecuații raționale, în raport cuŞi

Revenind la variabilă, primim

Introducerea unei noi variabile

Simplificare - obținerea unui sistem de ecuații care nu conține radicali

1. Necesitatea de a urmări DID-ul noilor variabile

2. Necesitatea revenirii la variabila originală

Concluzie. Această metodă este utilizată cel mai bine pentru ecuații iraționale care conțin radicali de diferite grade sau polinoame identice sub semnul rădăcinii și în spatele semnului rădăcinii sau expresii reciproce sub semnul rădăcinii.

- Deci, băieți, pentru fiecare ecuație irațională trebuie să alegeți cel mai convenabil mod de a o rezolva: de înțeles. Accesibil, proiectat logic și competent. Ridicați mâna care dintre voi ar prefera:

1) metoda de ridicare a ambelor părți ale ecuației la aceeași putere cu verificare;

2) metoda transformărilor echivalente;

3) metoda functional-grafica;

4) metoda de introducere a unei noi variabile.

IV . Partea practică

(Se lucrează în grupuri. Fiecare grupă de elevi primește un cartonaș cu o ecuație și o rezolvă în caiete. În acest moment, un reprezentant al grupei rezolvă un exemplu pe tablă. Elevii fiecărei grupe rezolvă același exemplu ca un membru al grupul lor și monitorizează sarcinile de execuție corectă pe tablă Dacă persoana care răspunde la tablă face greșeli, atunci cel care le observă ridică mâna și ajută la corectarea lor în timpul lecției, pe lângă exemplul rezolvat de grupul său, trebuie să noteze celelalte propuse grupelor într-un caiet și să le rezolve acasă.)

Grupa 1.

Grupa 2.

Grupa 3.

V . Munca independentă

(În grupuri, există mai întâi o discuție, iar apoi elevii încep să finalizeze sarcina. Soluția corectă, pregătită de profesor, este afișată pe ecran.)

VI . Rezumând lecția

Acum știi că rezolvarea ecuațiilor iraționale necesită cunoștințe teoretice bune, capacitatea de a le aplica în practică, atenție, muncă asiduă și inteligență.

Teme pentru acasă

Rezolvați ecuațiile date grupelor în timpul lecției.