Rezolvarea inegalităților online cu rădăcini. Rezolvarea inegalităților

De exemplu, inegalitatea este expresia \(x>5\).

Tipuri de inegalități:

Dacă \(a\) și \(b\) sunt numere sau , atunci inegalitatea este numită numeric. De fapt, este doar compararea a două numere. Astfel de inegalități sunt împărțite în credinciosŞi necredincios.

De exemplu:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) este o inegalitate numerică incorectă, deoarece \(17+3=20\) și \(20\) este mai mic decât \(115\) (și nu mai mare sau egal cu) .

Dacă \(a\) și \(b\) sunt expresii care conțin o variabilă, atunci avem inegalitatea cu variabila. Astfel de inegalități sunt împărțite în tipuri în funcție de conținut:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Variabil doar la prima putere
\(3x^2-x+5>0\)				Există o variabilă în a doua putere (pătrat), dar nu există puteri superioare (a treia, a patra etc.)
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... și așa mai departe.

Care este soluția la o inegalitate?

Dacă înlocuiți un număr în loc de o variabilă într-o inegalitate, acesta se va transforma într-un număr numeric.

Dacă o valoare dată pentru x transformă inegalitatea inițială într-una numerică adevărată, atunci se numește soluție la inegalitate. Dacă nu, atunci această valoare nu este o soluție. Și așa că rezolva inegalitatea– trebuie să-i găsești toate soluțiile (sau să arăți că nu există).

De exemplu, dacă substituim numărul \(7\) în inegalitatea liniară \(x+6>10\), obținem inegalitatea numerică corectă: \(13>10\). Și dacă înlocuim \(2\), va exista o inegalitate numerică incorectă \(8>10\). Adică, \(7\) este o soluție la inegalitatea inițială, dar \(2\) nu este.

Totuși, inegalitatea \(x+6>10\) are alte soluții. Într-adevăr, vom obține inegalitățile numerice corecte când înlocuim \(5\), și \(12\), și \(138\)... Și cum putem găsi toate soluțiile posibile? Pentru aceasta folosesc. Pentru cazul nostru avem:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Adică, orice număr mai mare de patru ni se va potrivi. Acum trebuie să scrieți răspunsul. Soluțiile la inegalități sunt de obicei scrise numeric, marcându-le suplimentar pe axa numerelor cu umbrire. Pentru cazul nostru avem:

Răspuns: \(x\in(4;+\infty)\)

Când se schimbă semnul unei inegalități?

Există o mare capcană în inegalități în care elevii „adoră” să cadă:

Când înmulțiți (sau împărțiți) o inegalitate cu un număr negativ, aceasta este inversată („mai mult” cu „mai puțin”, „mai mult sau egal” cu „mai puțin decât sau egal” și așa mai departe)

De ce se întâmplă asta? Pentru a înțelege acest lucru, să ne uităm la transformări inegalitatea numerică\(3>1\). Este corect, trei este într-adevăr mai mare decât unul. Mai întâi să încercăm să o înmulțim cu oricare număr pozitiv, de exemplu, două:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

După cum putem vedea, după înmulțire inegalitatea rămâne adevărată. Și indiferent cu ce număr pozitiv înmulțim, vom obține întotdeauna inegalitatea corectă. Acum să încercăm să înmulțim cu un număr negativ, de exemplu, minus trei:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Rezultatul este o inegalitate incorectă, deoarece minus nouă este mai puțin decât minus trei! Adică, pentru ca inegalitatea să devină adevărată (și, prin urmare, transformarea înmulțirii cu negativ a fost „legală”), trebuie să inversați semnul de comparație, astfel: \(−9<− 3\).
Cu diviziunea va funcționa la fel, puteți verifica singur.

Regula scrisă mai sus se aplică tuturor tipurilor de inegalități, nu doar celor numerice.

Exemplu: Rezolvați inegalitatea \(2(x+1)-1<7+8x\)
Soluţie:

\(2x+2-1<7+8x\)	Să ne deplasăm \(8x\) la stânga și \(2\) și \(-1\) la dreapta, fără a uita să schimbăm semnele
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	Să împărțim ambele părți ale inegalității la \(-6\), fără a uita să schimbăm de la „mai puțin” la „mai mult”.
	Să marchem un interval numeric pe axă. Inegalitatea, prin urmare, „înțepăm” valoarea \(-1\) în sine și nu o luăm ca răspuns
	Să scriem răspunsul ca un interval

Răspuns: \(x\in(-1;\infty)\)

Inegalități și dizabilități

Inegalitățile, la fel ca și ecuațiile, pot avea restricții asupra , adică asupra valorilor lui x. În consecință, acele valori care sunt inacceptabile conform DZ ar trebui excluse din gama de soluții.

Exemplu: Rezolvați inegalitatea \(\sqrt(x+1)<3\)

Soluţie: Este clar că, pentru ca partea stângă să fie mai mică decât \(3\), expresia radicală trebuie să fie mai mică decât \(9\) (la urma urmei, din \(9\) doar \(3\)). Primim:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)

Toate? Orice valoare a lui x mai mică decât \(8\) ne va potrivi? Nu! Pentru că dacă luăm, de exemplu, valoarea \(-5\) care pare să se potrivească cerinței, aceasta nu va fi o soluție la inegalitatea inițială, deoarece ne va conduce la calcularea rădăcinii unui număr negativ.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Prin urmare, trebuie să luăm în considerare și restricțiile privind valoarea lui X - nu poate fi astfel încât să existe un număr negativ sub rădăcină. Astfel, avem a doua cerință pentru x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

Și pentru ca x să fie soluția finală, trebuie să îndeplinească ambele cerințe simultan: trebuie să fie mai mic decât \(8\) (pentru a fi o soluție) și mai mare decât \(-1\) (pentru a fi admisibil în principiu). Trasând-o pe linia numerică, avem răspunsul final:

Răspuns: \(\stanga[-1;8\dreapta)\)

Inegalitate este o expresie cu, ≤ sau ≥. De exemplu, 3x - 5 Rezolvarea unei inegalități înseamnă găsirea tuturor valorilor variabilelor pentru care inegalitatea este adevărată. Fiecare dintre aceste numere este o soluție a inegalității, iar mulțimea tuturor acestor soluții este a acestuia multe solutii. Se numesc inegalitățile care au același set de soluții inegalități echivalente.

Inegalități liniare

Principiile de rezolvare a inegalităților sunt similare cu principiile de rezolvare a ecuațiilor.

Principii de rezolvare a inegalităților
Pentru orice numere reale a, b și c:
Principiul adunării inegalităților: Dacă a Principiul înmulțirii pentru inegalități: Dacă a 0 este adevărat, atunci ac Dacă a bc este și adevărat.
Afirmații similare se aplică și pentru a ≤ b.

Când ambele părți ale unei inegalități sunt înmulțite cu un număr negativ, semnul inegalității trebuie inversat.
Se numesc inegalitățile de primul nivel, ca în exemplul 1 (mai jos). inegalități liniare.

Exemplul 1 Rezolvați fiecare dintre următoarele inegalități. Apoi desenați un set de soluții.
a) 3x - 5 b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Soluţie
Orice număr mai mic de 11/5 este o soluție.
Mulțimea soluțiilor este (x|x
Pentru a verifica, putem desena un grafic cu y 1 = 3x - 5 și y 2 = 6 - 2x. Atunci este clar că pentru x
Mulțimea soluției este (x|x ≤ 1), sau (-∞, 1). Graficul setului de soluții este prezentat mai jos.

Inegalități duble

Când două inegalități sunt legate printr-un cuvânt Şi, sau, apoi se formează dubla inegalitate. Dubla inegalitate ca
-3 Şi 2x + 5 ≤ 7
numit conectat, pentru că folosește Şi. Intrarea -3 Inegalitățile duble pot fi rezolvate folosind principiile adunării și înmulțirii inegalităților.

Exemplul 2 Rezolvați -3 Soluţie Avem

Mulțimea soluțiilor (x|x ≤ -1 sau x > 3). De asemenea, putem scrie soluția folosind notația interval și simbolul pentru asociatii sau incluzând ambele mulțimi: (-∞ -1] (3, ∞). Graficul mulțimii soluții este prezentat mai jos.

Pentru a verifica, să reprezentăm grafic y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 și y 3 = 1. Rețineți că pentru (x|x ≤ -1 sau x > 3), y 1 ≤ y 2 sau y 1 > y 3 .

Inegalități cu valoare absolută (modul)

Inegalitățile conțin uneori module. Următoarele proprietăți sunt folosite pentru a le rezolva.
Pentru a > 0 și expresia algebrică x:
|x| |x| > a este echivalent cu x sau x > a.
Afirmații similare pentru |x| ≤ a și |x| ≥ a.

De exemplu,
|x| |y| ≥ 1 este echivalent cu y ≤ -1 sau y ≥ 1;
și |2x + 3| ≤ 4 este echivalent cu -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

Exemplul 4 Rezolvați fiecare dintre următoarele inegalități. Reprezentați grafic setul de soluții.
a) |3x + 2| b) |5 - 2x| ≥ 1

Soluţie
a) |3x + 2|

Mulțimea soluției este (x|-7/3
b) |5 - 2x| ≥ 1
Mulțimea soluției este (x|x ≤ 2 sau x ≥ 3), sau (-∞, 2] )