Rezolvarea inegalităților liniare online cu soluții detaliate. Inegalități liniare

Diagrama din figura 5:

Și următorul exemplu: Rezolvați inegalitatea 0,6 2x – 3< 0,36 .

Urmând diagrama din figura 5, obținem
2x – 3 > log 0,6 0,36,
2х – 3 > 2,
2x > 5,
x > 2,5

Răspuns: (2,5; +∞) .

Să luăm în considerare ultima schemă pentru rezolvarea unei inegalități de formă și f(x)< b , la a>0Şi b<0 , prezentat în Figura 6:

De exemplu, să rezolvăm inegalitatea:

Observăm că indiferent de numărul pe care îl înlocuim cu x, partea stângă a inegalității este întotdeauna mai mare decât zero, iar în cazul nostru această expresie este mai mică decât -8, adică. și zero, ceea ce înseamnă că nu există soluții.

Răspuns: fara solutii.

Știind cum să rezolvi cele mai simple inegalități exponențiale, poți continua rezolvarea inegalităților exponențiale.

Exemplul 1.

Găsiți cea mai mare valoare întreagă a lui x care satisface inegalitatea

Deoarece 6 x este mai mare decât zero (la nicio x numitorul ajunge la zero), înmulțind ambele părți ale inegalității cu 6 x, obținem:

440 – 2 6 2x > 8, atunci
– 2 6 2x > 8 – 440,
– 2 6 2х > – 332,
6 2x< 216,
2x< 3,

x< 1,5. Наибольшее целое число из помежутка (–∞; 1,5) это число 1.

Raspuns: 1.

Exemplul 2.

Rezolvați inegalitatea 2 2 x – 3 2 x + 2 ≤ 0

Notăm 2 x cu y, obținem inegalitatea y 2 – 3y + 2 ≤ 0 și rezolvăm această inegalitate pătratică.

y 2 – 3y +2 = 0,
y 1 = 1 și y 2 = 2.

Ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, să desenăm un grafic:

Atunci soluția inegalității va fi inegalitatea 1< у < 2, вернемся к нашей переменной х и получим неравенство 1< 2 х < 2, решая которое и найдем ответ 0 < x < 1.

Răspuns: (0; 1) .

Exemplul 3. Rezolvați inegalitatea 5 x +1 – 3 x +2< 2·5 x – 2·3 x –1
Să colectăm expresii cu aceleași baze într-o parte a inegalității

5 x +1 – 2 5 x< 3 x +2 – 2·3 x –1

Să punem 5 x din paranteze în partea stângă a inegalității și 3 x în partea dreaptă a inegalității și obținem inegalitatea

5 x (5 – 2)< 3 х (9 – 2/3),
3,5 x< (25/3)·3 х

Împărțiți ambele părți ale inegalității la expresia 3 3 x, semnul inegalității nu se schimbă, deoarece 3 3 x este un număr pozitiv, obținem inegalitatea:

X< 2 (так как 5/3 > 1).

Răspuns: (–∞; 2) .

Dacă aveți întrebări despre rezolvarea inegalităților exponențiale sau doriți să exersați rezolvarea unor exemple similare, înscrieți-vă la lecțiile mele. Tutor Valentina Galinevskaya.

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

Rezolvarea inegalităților online

Înainte de a rezolva inegalitățile, trebuie să înțelegeți bine cum sunt rezolvate ecuațiile.

Indiferent dacă inegalitatea este strictă () sau nestrictă (≤, ≥), primul pas este rezolvarea ecuației prin înlocuirea semnului de inegalitate cu egalitate (=).

Să explicăm ce înseamnă să rezolvi o inegalitate?

După ce a studiat ecuațiile, studentul primește următoarea imagine în cap: trebuie să găsească valori ale variabilei astfel încât ambele părți ale ecuației să ia aceleași valori. Cu alte cuvinte, găsiți toate punctele în care este valabilă egalitatea. Totul este corect!

Când vorbim despre inegalități, ne referim la găsirea de intervale (segmente) pe care inegalitatea este valabilă. Dacă există două variabile în inegalitate, atunci soluția nu va mai fi intervale, ci niște zone din plan. Ghiciți singuri care va fi soluția la o inegalitate în trei variabile?

Cum se rezolvă inegalitățile?

O modalitate universală de rezolvare a inegalităților este considerată a fi metoda intervalelor (cunoscută și ca metoda intervalelor), care constă în determinarea tuturor intervalelor în limitele cărora va fi satisfăcută o anumită inegalitate.

Fără a intra în tipul de inegalitate, în acest caz nu acesta este ideea, trebuie să rezolvați ecuația corespunzătoare și să determinați rădăcinile acesteia, urmate de desemnarea acestor soluții pe axa numerelor.

Cum se scrie corect soluția unei inegalități?

Odată ce ați determinat intervalele de soluție pentru inegalitate, trebuie să scrieți corect soluția în sine. Există o nuanță importantă - limitele intervalelor sunt incluse în soluție?

Totul este simplu aici. Dacă soluția ecuației satisface ODZ și inegalitatea nu este strictă, atunci granița intervalului este inclusă în soluția inegalității. Altfel, nu.

Luând în considerare fiecare interval, soluția inegalității poate fi intervalul în sine, sau un semi-interval (când una dintre limitele sale satisface inegalitatea), sau un segment - intervalul împreună cu limitele sale.

Punct important

Să nu credeți că numai intervalele, semiintervalele și segmentele pot rezolva inegalitatea. Nu, soluția poate include și puncte individuale.

De exemplu, inegalitatea |x|≤0 are o singură soluție - acesta este punctul 0.

Și inegalitatea |x|

De ce ai nevoie de un calculator de inegalități?

Calculatorul de inegalități oferă răspunsul final corect. În cele mai multe cazuri, este furnizată o ilustrare a unei axe sau a unui plan numeric. Este vizibil dacă limitele intervalelor sunt incluse în soluție sau nu - punctele sunt afișate ca umbrite sau perforate.

Datorită calculator online inegalități, puteți verifica dacă ați găsit corect rădăcinile ecuației, le-ați marcat pe axa numerelor și ați verificat îndeplinirea condiției de inegalitate pe intervale (și limite)?

Dacă răspunsul dvs. diferă de răspunsul calculatorului, atunci trebuie neapărat să vă verificați soluția și să identificați greșeala.

Inegalitatea este o relație numerică care ilustrează dimensiunea numerelor unul față de celălalt. Inegalitățile sunt utilizate pe scară largă în căutarea cantităților în științe aplicate. Calculatorul nostru vă va ajuta să abordați un subiect atât de dificil precum rezolvarea inegalităților liniare.

Ce este inegalitatea

Raporturi inegale în viața reală corespund comparării constante a diferitelor obiecte: mai sus sau mai jos, mai departe sau mai aproape, mai grele sau mai ușoare. Intuitiv sau vizual, putem înțelege că un obiect este mai mare, mai înalt sau mai greu decât altul, dar de fapt vorbim mereu despre compararea numerelor care caracterizează cantitățile corespunzătoare. Obiectele pot fi comparate pe orice bază și în orice caz putem crea o inegalitate numerică.

Dacă mărimile necunoscute sunt egale în anumite condiții, atunci creăm o ecuație pentru a le determina numeric. Dacă nu, atunci în loc de semnul „egal” putem indica orice altă relație între aceste cantități. Două numere sau obiecte matematice pot fi mai mari decât „>”, mai mici decât „<» или равны «=» относительно друг друга. В этом случае речь идет о строгих неравенствах. Если же в неравных соотношениях присутствует знак равно и числовые элементы больше или равны (a ≥ b) или меньше или равны (a ≤ b), то такие неравенства называются нестрогими.

Semnele de inegalitate în forma lor modernă au fost inventate de matematicianul britanic Thomas Harriot, care în 1631 a publicat o carte despre rapoartele inegale. Semne mai mari decât „>” și ​​mai mici decât „<» представляли собой положенные на бок буквы V, поэтому пришлись по вкусу не только математикам, но и типографам.

Rezolvarea inegalităților

Inegalitățile, ca și ecuațiile, vin în diferite tipuri. Relațiile inegale liniare, pătratice, logaritmice sau exponențiale sunt rezolvate prin diferite metode. Oricum, indiferent de metodă, orice inegalitate trebuie mai întâi redusă la o formă standard. Pentru aceasta, se folosesc transformări identitare care sunt identice cu modificările egalităților.

Transformări identice ale inegalităților

Astfel de transformări ale expresiilor sunt foarte asemănătoare cu ecuațiile fantomă, dar au nuanțe care sunt importante de luat în considerare atunci când rezolvăm inegalitățile.

Prima transformare de identitate este identică cu o operație similară cu egalități. Același număr sau expresie cu un x necunoscut poate fi adăugat sau scăzut de ambele părți ale unei relații inegale, în timp ce semnul inegalității rămâne același. Cel mai adesea, această metodă este utilizată într-o formă simplificată ca transferul termenilor unei expresii printr-un semn de inegalitate cu schimbarea semnului numărului în cel opus. Aceasta înseamnă o schimbare a semnului termenului în sine, adică +R atunci când este transferat prin orice semn de inegalitate se va schimba în – R și invers.

A doua transformare are două puncte:

1. Ambele părți ale unui raport inegal pot fi înmulțite sau împărțite cu același lucru număr pozitiv. Semnul inegalității în sine nu se va schimba.
2. Ambele părți ale unei inegalități pot fi împărțite sau înmulțite cu același număr negativ. Semnul inegalității în sine se va schimba în opus.

A doua transformare identică a inegalităților are diferențe serioase cu modificarea ecuațiilor. În primul rând, la înmulțirea/împărțirea cu un număr negativ, semnul expresiei inegale este întotdeauna inversat. În al doilea rând, puteți împărți sau înmulți doar părți ale unui raport cu un număr, și nu cu orice expresie care conține o necunoscută. Cert este că nu putem ști cu siguranță dacă un număr este mai mare sau mai mic decât zero ascuns în spatele necunoscutului, așa că a doua transformare de identitate se aplică inegalităților exclusiv cu numere. Să ne uităm la aceste reguli cu exemple.

Exemple de dezlănțuire a inegalităților

În sarcinile de algebră, există o varietate de sarcini pe tema inegalităților. Să ni se dea expresia:

6x − 3(4x + 1) > 6.

Mai întâi, să deschidem parantezele și să mutăm toate necunoscutele la stânga și toate numerele la dreapta.

6x − 12x > 6 + 3

Trebuie să împărțim ambele părți ale expresiei la −6, așa că atunci când găsim x necunoscut, semnul inegalității se va schimba în opus.

La rezolvarea acestei inegalități, am folosit ambele transformări de identitate: am mutat toate numerele la dreapta semnului și am împărțit ambele părți ale raportului la un număr negativ.

Programul nostru este un calculator de soluții inegalități numerice, care nu conțin necunoscute. Programul conține următoarele teoreme pentru relațiile dintre trei numere:

• dacă A< B то A–C< B–C;
• dacă A > B, atunci A–C > B–C.

În loc să scădeți termenii A-C, puteți specifica orice operație aritmetică: adunare, înmulțire sau împărțire. În acest fel, calculatorul va prezenta automat inegalități pentru sume, diferențe, produse sau fracții.

Concluzie

În viața reală, inegalitățile sunt la fel de comune ca și ecuațiile. Desigur, cunoștințele despre rezolvarea inegalităților ar putea să nu fie necesare în viața de zi cu zi. Cu toate acestea, în științele aplicate, inegalitățile și sistemele lor sunt utilizate pe scară largă. De exemplu, diverse studii ale problemelor economice globale se reduc la compilarea și dezlegarea sistemelor de inegalități liniare sau pătratice, iar unele relații inegale servesc ca o modalitate fără ambiguitate de a demonstra existența anumitor obiecte. Utilizați programele noastre pentru a rezolva inegalitățile liniare sau verificați propriile calcule.

Metoda intervalului– o modalitate simplă de rezolvare a inegalităților raționale fracționale. Acesta este numele pentru inegalitățile care conțin expresii raționale (sau fracționale-rationale) care depind de o variabilă.

1. Luați în considerare, de exemplu, următoarea inegalitate

Metoda intervalului vă permite să o rezolvați în câteva minute.

În partea stângă a acestei inegalități se află o funcție rațională fracțională. Rațional pentru că nu conține rădăcini, nici sinusuri, nici logaritmi - doar expresii raționale. În dreapta este zero.

Metoda intervalului se bazează pe următoarea proprietate a unei funcții raționale fracționale.

O funcție rațională fracțională poate schimba semnul numai în acele puncte în care este egală cu zero sau nu există.

Să ne amintim cum este factorizat un trinom pătratic, adică o expresie de forma .

Unde și sunt rădăcinile ecuație pătratică.

Desenăm o axă și plasăm punctele în care numărătorul și numitorul merg la zero.

Zerourile numitorului și sunt puncte perforate, deoarece în aceste puncte funcția din partea stângă a inegalității nu este definită (nu puteți împărți la zero). Zerourile numărătorului și - sunt umbrite, deoarece inegalitatea nu este strictă. Când și inegalitatea noastră este satisfăcută, deoarece ambele laturi sunt egale cu zero.

Aceste puncte despart axa în intervale.

Să determinăm semnul funcției raționale fracționale din partea stângă a inegalității noastre pe fiecare dintre aceste intervale. Ne amintim că o funcție rațională fracțională poate schimba semnul numai în acele puncte în care este egală cu zero sau nu există.

Aceasta înseamnă că la fiecare dintre intervalele dintre punctele în care numărătorul sau numitorul ajunge la zero, semnul expresiei din partea stângă a inegalității va fi constant - fie „plus”, fie „minus”.
Și, prin urmare, pentru a determina semnul funcției pe fiecare astfel de interval, luăm orice punct aparținând acestui interval. Cel care ne este convenabil.

. Luați, de exemplu, și verificați semnul expresiei din partea stângă a inegalității. Fiecare dintre „paranteze” este negativ. Partea stângă are un semn.

Următorul interval: . Să verificăm semnul de la . Constatăm că partea stângă și-a schimbat semnul în .

Să o luăm. Când expresia este pozitivă - prin urmare, este pozitivă pe întreg intervalul de la până la.

Când partea stângă a inegalității este negativă."> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Și, în sfârșit, class="tex" alt="x>7

Am aflat la ce intervale expresia este pozitivă. Rămâne doar să scrieți răspunsul:

Raspuns: . Vă rugăm să rețineți: semnele alternează între intervale. Acest lucru s-a întâmplat pentru că.

la trecerea prin fiecare punct, exact unul dintre factorii liniari și-a schimbat semnul, în timp ce restul l-a păstrat neschimbat

Vedem că metoda intervalului este foarte simplă. Pentru a rezolva inegalitatea fracționară-rațională folosind metoda intervalului, o reducem la forma: Sau"> !} class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle P\left(x\right))(\displaystyle Q\left(x\right)) > 0

, sau , sau .

(în partea stângă este o funcție rațională fracțională, în partea dreaptă este zero).
Apoi marchem pe linia numerica punctele in care numaratorul sau numitorul merge la zero.
Aceste puncte împart întreaga linie numerică în intervale, pe fiecare dintre care funcția fracțional-rațională își păstrează semnul.
Rămâne doar să-i aflăm semnul la fiecare interval.

Facem acest lucru verificând semnul expresiei în orice punct aparținând unui interval dat. După aceea, scriem răspunsul. Asta este.

2. Dar se pune întrebarea: semnele alternează întotdeauna? Nu, nu întotdeauna! Trebuie să fii atent și să nu așezi semne mecanic și fără gânduri.

Să luăm în considerare o altă inegalitate."> !}

Class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \ stânga(x-3 \dreapta))>0

Când numărătorul este pozitiv, ambii factori din numitor sunt negativi. Acest lucru poate fi verificat cu ușurință luând orice număr dintr-un interval dat, de exemplu, . Partea stângă are semnul:

Când numărătorul este pozitiv; Primul factor din numitor este pozitiv, al doilea factor este negativ. Partea stângă are semnul:

Situația este aceeași! Numătorul este pozitiv, primul factor din numitor este pozitiv, al doilea este negativ. Partea stângă are semnul:

În cele din urmă, cu class="tex" alt="x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Am aflat la ce intervale expresia este pozitivă. Rămâne doar să scrieți răspunsul:

De ce a fost întreruptă alternanța semnelor? Pentru că atunci când trece printr-un punct, multiplicatorul este „responsabil” pentru acesta nu a schimbat semnul. În consecință, toată partea stângă a inegalității noastre nu și-a schimbat semnul.

Concluzie: dacă multiplicatorul liniar este o putere pară (de exemplu, pătrat), atunci când trece printr-un punct semnul expresiei din partea stângă nu se schimbă. În cazul unui grad impar, semnul, desigur, se schimbă.

3. Să luăm în considerare un caz mai complex. Diferă de precedentul prin faptul că inegalitatea nu este strictă:

Partea stângă este aceeași ca în problema anterioară. Imaginea semnelor va fi aceeași:

Poate răspunsul va fi același? Nu! Se adaugă o soluție. Acest lucru se întâmplă deoarece ambele părți din stânga și din dreapta inegalității sunt egale cu zero - prin urmare, acest punct este o soluție.

Am aflat la ce intervale expresia este pozitivă. Rămâne doar să scrieți răspunsul:

Această situație apare adesea în problemele de la examenul unificat de stat la matematică. Aici candidații cad într-o capcană și pierd puncte. Atenție!

4. Ce trebuie să faceți dacă numărătorul sau numitorul nu poate fi factorizat în factori liniari? Luați în considerare această inegalitate:

Un trinom pătrat nu poate fi factorizat: discriminantul este negativ, nu există rădăcini. Dar asta e bine! Aceasta înseamnă că semnul expresiei pentru toți este același și, în mod specific, pozitiv. Puteți citi mai multe despre acest lucru în articolul despre proprietățile funcțiilor pătratice.

Și acum putem împărți ambele părți ale inegalității noastre la o valoare care este pozitivă pentru toți. Să ajungem la o inegalitate echivalentă:

Ceea ce se rezolvă ușor folosind metoda intervalului.

Vă rugăm să rețineți că am împărțit ambele părți ale inegalității la o valoare despre care știam cu siguranță că este pozitivă. Desigur, în general, nu ar trebui să înmulțiți sau să împărțiți o inegalitate cu o variabilă al cărei semn este necunoscut.

5 . Să luăm în considerare o altă inegalitate, aparent destul de simplă:

Vreau doar să o înmulțesc cu . Dar suntem deja inteligenți și nu vom face asta. La urma urmei, poate fi atât pozitiv, cât și negativ. Și știm că dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite cu o valoare negativă, semnul inegalității se schimbă.

O vom face diferit - vom colecta totul într-o singură parte și o vom aduce la un numitor comun. Partea dreaptă va rămâne zero:

Class="tex" alt="\genfrac())()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

Și după aceea - aplicați metoda intervalului.

În articol vom lua în considerare rezolvarea inegalităților. Vă vom spune clar despre cum se construiește o soluție la inegalități, cu exemple clare!

Înainte de a ne uita la rezolvarea inegalităților folosind exemple, să înțelegem conceptele de bază.

Informații generale despre inegalități

Inegalitate este o expresie în care funcțiile sunt legate prin semne de relație >, . Inegalitățile pot fi atât numerice, cât și literale.
Inegalitățile cu două semne ale raportului se numesc dublu, cu trei - triplu etc. De exemplu:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Inegalitățile care conțin semnul > sau sau - nu sunt stricte.
Rezolvarea inegalității este orice valoare a variabilei pentru care această inegalitate va fi adevărată.
"Rezolvați inegalitatea" înseamnă că trebuie să găsim setul tuturor soluțiilor sale. Există diferite metode de rezolvare a inegalităților. Pentru soluții pentru inegalități Ei folosesc linia numerică, care este infinită. De exemplu, soluție la inegalitate x > 3 este intervalul de la 3 la +, iar numărul 3 nu este inclus în acest interval, prin urmare punctul de pe linie este notat cu un cerc gol, deoarece inegalitatea este strictă.
+
Răspunsul va fi: x (3; +).
Valoarea x=3 nu este inclusă în setul de soluții, deci paranteza este rotundă. Semnul infinitului este întotdeauna evidențiat cu o paranteză. Semnul înseamnă „apartenere”.
Să ne uităm la cum să rezolvăm inegalitățile folosind un alt exemplu cu semn:
x 2
-+
Valoarea x=2 este inclusă în setul de soluții, deci paranteza este pătrată, iar punctul de pe linie este indicat printr-un cerc umplut.
Raspunsul va fi: x)