Dimensiunea cantității. Valoarea valorii

Desigur, fiecare dintre noi la nivelul nostru idee generalăînțelege perfect ce este cantitatea. Mărimea este lungimea, volumul, masa sau o altă caracteristică cantitativă a unui obiect sau fenomen. Ce înseamnă magnitudinea? Dacă auzim că grindina care a căzut avea dimensiunea unei nuci, înseamnă că volumul unei pietre de grindină era aproximativ egal cu volumul unei nuci.

Dar dacă suntem întrebați ce este o cantitate scalară, o cantitate aleatoare, o cantitate relativă, putem răspunde la această întrebare la fel de ușor?

Să încercăm să înțelegem totul în ordine.

Ce este o mărime fizică

O mărime fizică este o proprietate a unui obiect, fenomen sau proces care poate fi caracterizată cantitativ. De exemplu, apa turnată într-un decantor va fi caracterizată de un anumit volum, masă, densitate și așa mai departe.

O mărime fizică are întotdeauna o valoare numerică care indică unitățile în care a fost măsurată. De exemplu, două containere au ajuns la gară. Masa unuia dintre ele este de 1,5 tone, iar masa celuilalt este de 1.500 kg. Care este mai greu? După cum probabil ați ghicit, masa ambelor containere este de fapt aceeași. Pur și simplu, odată cu schimbarea unităților de măsură, valoarea numerică a masei s-a schimbat.

Variabila aleatoare

Variabila aleatoare este un termen din teoria matematică a probabilității. O variabilă aleatoare ia în timpul oricărui experiment sens specific. Dar această valoare nu poate fi cunoscută cu precizie dinainte. Exemple de variabile aleatoare:

• numărul de lovituri din 5 lovituri;
• numărul de puncte de pe fața superioară a zarului care va apărea după aruncarea acestuia;
• temperatura aerului pentru maine.

Mărimi scalare și vectoriale

O mărime scalară este o mărime care are doar o valoare numerică. Exemple de mărimi scalare sunt timpul, masa, temperatura etc.

Totuși, unele mărimi fizice (viteză, forță, accelerație), pe lângă caracteristicile lor numerice, au și o direcție. Astfel de mărimi se numesc mărimi vectoriale. O mărime vectorială, de exemplu, aceeași viteză, poate fi de asemenea măsurată. Dar valoarea numerică (modulul) unei mărimi vectoriale nu o va descrie complet, ci doar parțial. Pentru a caracteriza complet o mărime vectorială, este necesar să se indice direcția acțiunii sale în spațiu.

Valori nominale și reale

Conceptele de valori „nominale” și „reale” sunt folosite în economie. O valoare nominală este un indicator economic exprimat în unități monetare. De exemplu, salariul tău nominal este câte ruble ai câștigat luna trecută. Iar salariile reale sunt câte bunuri și servicii puteți cumpăra de fapt pentru salariul dvs. nominal. Dacă există o inflație mare într-o țară, atunci salariile nominale pot crește, iar salariile reale pot scădea.

Cantitati constante si variabile

O cantitate constantă este o cantitate care este sistem dat are un singur sens specific și neschimbabil. Un exemplu este greutatea corporală. Valoarea unei variabile poate varia în funcție de diferiți factori. De exemplu, viteza aceleiași mașini pe aceeași pistă poate varia în funcție de dorința șoferului.

Valori absolute și relative

Statistica operează cu valori absolute și relative. Valoarea absolută este exprimată în unități specifice de ceva. De exemplu, consumul de bunuri și servicii pe cap de locuitor este exprimat în ruble sau dolari. Valoarea relativă este un indicator al comparației valorilor absolute. De exemplu, puteți determina nivelul de consum al rușilor de astăzi față de aceeași perioadă a anului trecut. Puteți vedea cum se compară rușii cu cetățenii Indiei sau Norvegiei pe baza acestui indicator.

Valoarea medie

Valoarea medie este un indicator statistic care caracterizează valoarea tipică a oricărei caracteristici pentru grup omogen. Deși toți angajații aceleiași întreprinderi primesc salarii diferite, este posibil să se calculeze salariul mediu pentru o anumită întreprindere.

Media este uneori mai importantă decât cea specifică. Dacă ai primit 20.000 de ruble timp de 11 luni, iar în decembrie ai câștigat 80.000, asta nu înseamnă că ești aproape de a câștiga 80.000 de ruble pe lună. Salariul tău mediu pe an este de 25.000 pe lună.

Cu toate acestea, media poate induce în eroare. Dacă ai mâncat 2 cotlet, iar eu nu am mâncat unul, atunci, în medie, tu și cu mine am mâncat câte un cotlet. Dar asta nu contează pentru mine. La urma urmei, te-ai săturat, dar eu am rămas flămând.

Cantitățile sunt cel mai des folosite în fizică (o secțiune specială este dedicată acestei științe) și matematică (secțiune).

Cantitatea este unul dintre conceptele matematice de bază care au apărut în cele mai vechi timpuri și a fost supusă unui număr de generalizări în procesul de dezvoltare îndelungată.

Ideea inițială a dimensiunii este asociată cu crearea unei baze senzoriale, formarea de idei despre dimensiunea obiectelor: arată și nume lungime, lățime, înălțime.

Prin magnitudine ne referim proprietăți speciale obiecte sau fenomene reale ale lumii înconjurătoare. Dimensiunea unui obiect este caracteristica sa relativă, subliniind întinderea părților individuale și determinând locul său între cele omogene.

Se numesc cantități caracterizate doar prin valoare numerică scalar(lungime, masă, timp, volum, suprafață etc.). Pe lângă mărimile scalare, matematica ia în considerare și cantități vectoriale, care se caracterizează nu numai prin număr, ci și prin direcție (forță, accelerație, tensiune câmp electric etc.).

Cantitățile scalare pot fi omogen sau eterogen. Mărimile omogene exprimă aceeași proprietate a obiectelor dintr-o anumită mulțime. Mărimile eterogene exprimă proprietăți diferite ale obiectelor (lungime și zonă)

Proprietățile mărimilor scalare:

• § oricare două cantități de același fel sunt comparabile, fie sunt egale, fie una dintre ele este mai mică (mai mare) decât cealaltă: 4t5ts...4t 50kg 4t5ts=4t500kg 4t500kg>4t50kg, deoarece 500kg>50kg, adică 4t5ts >4t 50kg;
• § se pot adauga cantitati de acelasi fel, rezulta o cantitate de acelasi fel:
  • 2km921m+17km387m 2km921m=2921m, 17km387m=17387m 17387m+2921m=20308m; Mijloace
  • 2km921m+17km387m=20km308m
• § o cantitate poate fi inmultita cu un numar real, rezultand o cantitate de acelasi fel:
  • 12m24cm 9 12m24m=1224cm, 1224cm9=110m16cm, adică
  • 12m24cm 9=110m16cm;
• § se pot scadea cantitati de acelasi fel, rezultand o cantitate de acelasi fel:
  • 4kg283g-2kg605g 4kg283g=4283g, 2kg605g=2605g 4283g-2605g=1678g, asta înseamnă
  • 4kg283g-2kg605g=1kg678g;
• § cantitati de acelasi fel pot fi impartite, rezultand un numar real:
  • 8h25min 5 8h25min=860min+25min=480min+25min=505min, 505min 5=101min, 101min=1h41min, asta înseamnă 8h25min 5=1h41min.

Mărimea este o proprietate a unui obiect, percepută de diferiți analizatori: vizual, tactil și motor. În acest caz, de cele mai multe ori valoarea este percepută simultan de mai mulți analizoare: vizual-motor, tactil-motor etc.

Percepția mărimii depinde de:

• § distanta de la care este perceput obiectul;
• § dimensiunea obiectului cu care este comparat;
• § amplasarea acestuia in spatiu.

Proprietățile de bază ale cantității:

• § Comparabilitatea- determinarea unei valori este posibilă numai pe bază de comparație (direct sau prin compararea acesteia cu o anumită imagine).
• § relativitatea- caracteristica dimensiunii este relativa si depinde de obiectele alese pentru comparatie unul si acelasi obiect poate fi definit de noi ca mai mare sau mai mic in functie de marimea obiectului cu care este comparat; De exemplu, un iepuraș este mai mic decât un urs, dar mai mare decât un șoarece.
• § Variabilitate- variabilitatea mărimilor se caracterizează prin faptul că pot fi adunate, scăzute, înmulțite cu un număr.
• § Măsurabilitate- măsurarea face posibilă caracterizarea unei mărimi prin compararea numerelor.

Numărul natural ca măsură a mărimii

Se știe că numerele au apărut din nevoia de numărare și măsurare, dar dacă numărarea este suficientă numere naturale, atunci sunt necesare alte numere pentru a măsura mărimile. Cu toate acestea, vom lua în considerare numai numerele naturale ca rezultat al măsurării cantităților. După ce am definit semnificația unui număr natural ca măsură a mărimii, vom afla ce semnificație au operațiile aritmetice asupra unor astfel de numere. Profesorul are nevoie de aceste cunoștințe clasele primare nu numai pentru a justifica alegerea acțiunilor la rezolvarea problemelor cu cantități, ci și pentru a înțelege o altă abordare a interpretării numerelor naturale care există în învăţământul primar matematică.

Vom lua în considerare un număr natural în legătură cu măsurarea mărimilor scalare pozitive - lungimi, arii, mase, timp etc., prin urmare, înainte de a vorbi despre relația dintre mărimi și numere naturale, să ne amintim câteva fapte legate de mărime și ea. măsurarea, mai ales că conceptul de mărime, împreună cu numărul, este fundamental în curs initial matematică.

Conceptul de mărime scalară pozitivă și măsurarea acesteia

Luați în considerare două afirmații care folosesc cuvântul „lungime”:

1) Multe obiecte din jurul nostru au lungime.

2) Tabelul are o lungime.

Prima propoziție afirmă că obiectele unei anumite clase au lungime. În al doilea, vorbim despre faptul că un anumit obiect din această clasă are lungime. Pentru a rezuma, putem spune că termenul „lungime” este folosit pentru a indica proprietăți, fie o clasă de obiecte (obiectele au lungime), fie un obiect specific din această clasă (tabelul are lungime).

Dar prin ce diferă această proprietate de alte proprietăți ale obiectelor din această clasă? Deci, de exemplu, o masă nu poate avea doar o lungime, ci poate fi și făcută din lemn sau metal; mesele pot avea forme diferite. Despre lungime putem spune că diferite tabele au această proprietate diferite grade(o masă poate fi mai lungă sau mai scurtă decât alta), ceea ce nu se poate spune despre formă - o masă nu poate fi „mai dreptunghiulară” decât alta.

Astfel, proprietatea de „a avea lungime” este o proprietate specială a obiectelor care se manifestă atunci când obiectele sunt comparate prin întinderea lor (lungimea). În procesul de comparație, se determină că fie două obiecte au aceeași lungime, fie lungimea unuia este mai mică decât lungimea celuilalt.

Alte mărimi cunoscute pot fi considerate similar: aria, masa, timpul etc. Ele reprezintă proprietăți speciale ale obiectelor și fenomenelor din jurul nostru și apar atunci când comparăm obiecte și fenomene în funcție de această proprietate, iar fiecare valoare este asociată cu o anumită metodă de comparație.

Se numesc mărimi care exprimă aceeași proprietate a obiectelor cantitati de acelasi fel sau cantități omogene . De exemplu, lungimea unei mese și lungimea unei încăperi sunt cantități de același fel.

Să ne amintim principiile de bază asociate cu mărimile omogene.

1. Oricare două cantități de același fel sunt comparabile: fie sunt egale, fie una este mai mică decât cealaltă. Cu alte cuvinte, pentru mărimi de același fel au loc relațiile „egal”, „mai mic decât” și „mai mare”, iar pentru orice mărime A și B una și numai una dintre relații este adevărată: A<В, А = В, А>ÎN.

De exemplu, spunem că lungimea ipotenuzei triunghi dreptunghic mai mare decât lungimea oricărui picior al acestui triunghi, masa mărului este mai mică decât masa pepenelui verde, iar lungimea laturi opuse dreptunghiuri sunt egale.

2. Relația „mai mică decât” pentru mărimi omogene este tranzitivă: dacă A< В и В < С, то А < С.

Deci, dacă aria triunghiului F 1 este mai mică decât aria triunghiului F 2, iar aria triunghiului F 2 este mai mică decât aria triunghiului F 3, atunci aria lui triunghiul F 1 este mai mic decât aria triunghiului F 3.

3. Se pot adăuga cantități de același fel ca urmare a adăugării, se obține o cantitate de același fel; Cu alte cuvinte, pentru oricare două mărimi A și B, cantitatea C = A + B este determinată în mod unic, care se numește suma cantităților A și B.

Adunarea mărimilor este comutativă și asociativă.

De exemplu, dacă A este masa unui pepene și B este masa unui pepene, atunci C = A + B este masa pepenelui și a pepenilor. Este evident că A+B = B+A și (A+B) + C = A+(B+C).

Diferența dintre mărimile A și B se numește o astfel de mărime

C = A - B, ceea ce înseamnă A = B + C.

Diferența dintre A și B există dacă și numai dacă A>B.

De exemplu, dacă A este lungimea segmentului a, B este lungimea segmentului b, atunci C = A-B este lungimea segmentului c (Fig. 1).

5. O cantitate poate fi înmulțită cu un număr real pozitiv, rezultând o cantitate de același fel. Mai precis, pentru orice valoare a lui A și orice pozitiv număr real x există o singură cantitate B =

X. A, care se numește produsul dintre cantitatea A și numărul x.

De exemplu, dacă A este timpul alocat unei lecții, atunci înmulțind A cu numărul x = 3, obținem valoarea B = 3 A - timpul în care vor trece 3 lecții.

6. Cantitățile de același fel pot fi împărțite, rezultând un număr. Împărțirea se determină prin înmulțirea valorii cu numărul.

Coeficientul dintre A și B este un număr real pozitiv x = A: B astfel încât A = x·B.

Deci, dacă A este lungimea segmentului a, B este lungimea segmentului b (Fig. 2) și segmentul A este format din 4 segmente egale cu b, atunci A:B = 4, deoarece A = 4·B.

Cantitățile, ca proprietăți ale obiectelor, au încă o caracteristică - pot fi evaluate cantitativ. Pentru a face acest lucru, valoarea trebuie măsurată. Pentru a efectua o măsurătoare, o valoare este selectată dintr-un anumit tip de mărime, care se numește unitate de măsură. O vom nota cu litera E.

Dacă este dată cantitatea A și este selectată unitatea de măsură E (de același fel), atunci a măsura o mărime A înseamnă a găsi un număr real pozitiv x astfel încât A = x E.

Se numește numărul x valoarea numerică a mărimii A cu o unitate de valoare E. Arată de câte ori valoarea A este mai mare (sau mai mică) decât valoarea E luată ca unitate de măsură.

Dacă A = x E, atunci numărul x se mai numește și măsură a valorii lui A cu un E și se scrie x = m E (A).

De exemplu, dacă A este lungimea segmentului a, E este lungimea segmentului b (Fig. 2), atunci A = a·E. Numărul 4 este valoarea numerică a lungimii A pe unitatea de lungime E sau, cu alte cuvinte, numărul 4 este măsura lungimii A pe unitatea de lungime E.

În activitățile practice, atunci când măsoară cantități, oamenii folosesc unități standard de cantități: de exemplu, lungimea se măsoară în metri, centimetri etc. Rezultatul măsurătorii se înregistrează astfel: 2,7 kg; 13 cm; 16 p. Pe baza conceptului de măsurare prezentat mai sus, aceste intrări pot fi considerate ca produsul dintre un număr și o unitate de mărime. De exemplu, 2,7 kg = 2,7 kg; 13 cm = 13 cm; 16 s = 16 s.

Folosind această reprezentare, este posibil să se justifice procesul de trecere de la o unitate de valoare la alta. De exemplu, doriți să exprimați h în minute. Deoarece h = · h și ora = 60 min, atunci h = · 60 · min = ( · 60) min = 25 min.

Se numește o mărime care este determinată de o valoare numerică mărime scalară .

Dacă, cu unitatea de măsură selectată, o mărime scalară ia doar valori numerice pozitive, atunci se numește mărime scalară pozitivă.

Mărimile scalare pozitive sunt lungimea, suprafața, volumul, masa, timpul, costul și cantitatea de bunuri etc.

Măsurarea cantităților vă permite să treceți de la compararea cantităților la compararea numerelor, de la acțiuni asupra cantităților la acțiunile corespunzătoare asupra numerelor și invers.

1. Dacă mărimile A și B sunt măsurate folosind o unitate a mărimii E, atunci relația dintre mărimile A și B va fi aceeași cu relația dintre valorile lor numerice și invers:

A+B<=>m(A)+ m(B);

O<В <=>m(A)

A>B<=>m (A) > m (B).

De exemplu, dacă masele a două corpuri sunt astfel încât A = 5 kg, B = 3 kg, atunci putem spune că A > B, deoarece 5 > 3.

2. Dacă mărimile A și B sunt măsurate folosind unitatea de măsură E, atunci pentru a găsi valoarea numerică a sumei A + B, este suficient să adăugați valorile numerice ale mărimilor A și B:

A + B = C<=>m (A + B) = m (A) + m (B). De exemplu, dacă A = 5 kg, B = 3 kg, atunci A + B = 5 kg + 3 kg = = (5 + 3) kg = 8 kg.

3. Dacă mărimile A și B sunt astfel încât B = x A, unde x este un număr real pozitiv, iar mărimea A se măsoară folosind o unitate a mărimii E, atunci pentru a găsi valoarea numerică a mărimii B cu o unitate din E, este suficient să înmulțim numărul x cu numărul m (A):

B = x A<=>m (B)=x m(A).

De exemplu, dacă masa lui B este de 3 ori masa lui A și A = 2 kg, atunci B = 3A = 3 (2 kg) = (3 2) kg = 6 kg.

În matematică, când se scrie produsul unei mărimi A cu un număr x, se obișnuiește să se scrie numărul înaintea mărimii, adică. Ha. Dar ai voie sa scrii asa: Ah. Atunci valoarea numerică a mărimii A se înmulțește cu x dacă se găsește valoarea mărimii A x.

Conceptele luate în considerare - un obiect (subiect, fenomen, proces), valoarea acestuia, valoarea numerică a unei valori, o unitate de valoare - trebuie să poată fi izolate în texte și sarcini. De exemplu, conținutul matematic al propoziției „Am cumpărat 3 kilograme de mere” poate fi descris astfel: propoziția consideră un obiect precum merele, iar proprietatea acestuia este masa; pentru măsurarea masei s-a folosit unitatea de măsură - kilogram; În urma măsurării, am obținut numărul 3 - valoarea numerică a masei merelor cu o unitate de masă - un kilogram.

Același obiect poate avea mai multe proprietăți, care sunt cantități. De exemplu, pentru o persoană aceasta este înălțimea, greutatea, vârsta etc. Proces mișcare uniformă caracterizată prin trei mărimi: distanţa, viteza şi timpul, între care există o relaţie exprimată prin formula s = v·t.

Dacă cantitățile exprimă proprietăți diferite ale unui obiect, atunci ele sunt numite cantități de diferite feluri , sau cantități eterogene . Deci, de exemplu, lungimea și masa sunt cantități diferite.

Din cursul de matematică cunoaștem operațiile care se pot efectua asupra numerelor. Puteți adăuga, scădea și compara orice numere din matematică. Astfel de acțiuni asupra mărimilor fizice pot fi efectuate numai dacă sunt omogene, adică reprezintă aceeași mărime fizică.

De exemplu:

4 m + 3 m = 7 m;
9 kg - 5 kg = 4 kg;
30 s > 10 s.

În toate cele trei cazuri, am efectuat acțiuni pe mărimi fizice omogene. Am adăugat lungime la lungime, am scăzut masa din masă și am comparat intervalul de timp cu intervalul de timp. Ar fi ridicol și absurd să adunăm 4 m și 5 kg sau să scazi 30 s din 9 kg!

Dar puteți înmulți și împărți nu numai cantități fizice omogene, ci și diferite. De exemplu:

1. 10 kg ÷ 2 kg = 5. Aici nu sunt împărțite doar valorile numerice (10 ÷ 2 = 5), ci și unitățile de mărime fizică (kg ÷ kg = 1). Rezultatul arată de câte ori o mărime fizică (masa) este mai mare decât alta.
2. 2 m. 4 m = 8 m 2. Se înmulțesc valorile numerice (2. 4 = 8) și unitățile de mărime fizică (m. m = m 2). Ca urmare a înmulțirii a două mărimi fizice - lungimi l 1 = 2 m și l 2 = 4 m - s-a obținut o nouă mărime fizică - aria S = 8 m 2.
3. 10 m ÷ 2 s = 5 m/s. Ca urmare a împărțirii a două mărimi fizice diferite - lungimea l = 10 m la un interval de timp t = 2 s, s-a obținut o nouă mărime fizică de 5 m/s. Valoarea sa numerică este 5, iar unitatea noii mărimi fizice este m/s. Această mărime fizică v = 5 m/s este viteza.
4. 10 m ÷ 2 s = 20 m ÷ 4 s. Semnul egal se aplică nu numai valorilor numerice, ci și unităților. Este imposibil să pui un semn egal dacă compari 10 m ÷ 2 s și 20 m ÷ 4 min. Aici m/s ≠ m/min.

Gândește și răspunde

1. De ce trebuie să se țină cont la adunarea și scăderea cantităților fizice? Care va fi rezultatul adunării și scăderii lor?
2. Ce mărimi fizice pot fi comparate între ele? Dați exemple.
3. Este posibil să împărțim și să înmulțim diferite cantități fizice? Care va fi rezultatul?
4. Determinați valoarea cărei mărime fizică va rezulta:
   1. 40 s - 10 s;
   2. 40 s ÷ 10 s;
   3. 3 m. 4 m.
   4. 120 km ÷ 2 ore.

Interesant de știut!

Unități mari de timp - un an și o zi - ne-au fost date chiar de natura. Dar ora, minutul și secunda au apărut datorită omului.

Împărțirea zilei acceptată în prezent datează din cele mai vechi timpuri. În Babilon, nu a fost folosit o zecimală, ci un sistem de numere sexagesimal. Șaizeci este divizibil cu 12 fără rest, de aici împărțirea zilei de către babilonieni în 12 părţi egale. ÎN Egiptul antic A fost introdusă împărțirea zilei în 24 de ore. Mai târziu au apărut minute și secunde. Faptul că există 60 de minute într-o oră și 60 de secunde într-un minut este, de asemenea, o moștenire a sistemului sexagesimal babilonian.

Definirea unităților de timp este foarte importantă. Unitatea de bază a timpului - a doua - a fost introdusă mai întâi ca 1/86400 dintr-o zi, iar apoi, datorită variabilității zilei, ca o anumită fracțiune de an. În prezent, standardul celui de-al doilea este asociat cu frecvența de radiație a atomilor de cesiu.