Expansiunea puterilor lui x. Rezolvarea limitelor folosind seria Taylor

În iulie 2020, NASA lansează o expediție pe Marte. Nave spațiale va livra pe Marte un suport electronic cu numele tuturor participanților la expediție înregistrați.

Înregistrarea participanților este deschisă. Ia-ți biletul către Marte folosind acest link.

Dacă această postare ți-a rezolvat problema sau pur și simplu ți-a plăcut, distribuie linkul către ea prietenilor tăi de pe rețelele sociale.

Una dintre aceste opțiuni de cod trebuie să fie copiată și lipită în codul paginii dvs. web, de preferință între etichete și/sau imediat după etichetă. Conform primei opțiuni, MathJax se încarcă mai repede și încetinește pagina mai puțin. Dar a doua opțiune monitorizează și încarcă automat cele mai recente versiuni de MathJax. Dacă introduceți primul cod, acesta va trebui actualizat periodic. Dacă introduceți al doilea cod, paginile se vor încărca mai lent, dar nu va trebui să monitorizați în mod constant actualizările MathJax.

Cel mai simplu mod de a conecta MathJax este în Blogger sau WordPress: în panoul de control al site-ului, adăugați un widget conceput pentru a insera cod JavaScript terță parte, copiați prima sau a doua versiune a codului de descărcare prezentat mai sus în el și plasați widgetul mai aproape la începutul șablonului (apropo, acest lucru nu este deloc necesar, deoarece scriptul MathJax este încărcat asincron). Asta este. Acum aflați sintaxa de marcare a MathML, LaTeX și ASCIIMathML și sunteți gata să inserați formule matematice în paginile web ale site-ului dvs.

Un alt Revelion... vreme geroasă și fulgi de zăpadă pe geamul ferestrei... Toate acestea m-au determinat să scriu din nou despre... fractali și despre ce știe Wolfram Alpha despre asta. Cu această ocazie există articol interesant, care conține exemple de structuri fractale bidimensionale. Aici ne vom uita la exemple mai complexe de fractali tridimensionali.

Un fractal poate fi reprezentat vizual (descris) ca o figură geometrică sau un corp (însemnând că ambele sunt o mulțime, în acest caz, un set de puncte), ale căror detalii au aceeași formă ca figura originală în sine. Adică, aceasta este o structură auto-similară, examinând detaliile căreia atunci când este mărită, vom vedea aceeași formă ca și fără mărire. Întrucât în ​​cazul obișnuit figură geometrică(nu un fractal), atunci când măriți, vom vedea detalii care au o formă mai simplă decât figura originală în sine. De exemplu, la o mărire suficient de mare, o parte a unei elipse arată ca un segment de linie dreaptă. Acest lucru nu se întâmplă cu fractalii: cu orice creștere a acestora, vom vedea din nou aceeași formă complexă, care se va repeta iar și iar cu fiecare creștere.

Benoit Mandelbrot, fondatorul științei fractalilor, a scris în articolul său Fractals and Art in the Name of Science: „Fractalii sunt forme geometrice, care sunt la fel de complexe în detalii ca și în forma lor generală. Adică, dacă o parte a unui fractal este mărită la dimensiunea întregului, va apărea ca întreg, fie exact, fie poate cu o ușoară deformare.”

Seria Taylor. Expansiunea în serie Taylor a unei funcții.

Rezultă că majoritatea funcțiilor matematice pot fi reprezentate cu orice precizie în vecinătatea unui anumit punct sub formă de serii de puteri care conțin puteri ale unei variabile în ordine crescătoare. De exemplu, în vecinătatea punctului x=1:

Folosind serii numite serie Taylor, funcțiile mixte care conțin, de exemplu, funcții algebrice, trigonometrice și exponențiale pot fi exprimate ca funcții pur algebrice. Folosind seria, de multe ori puteți efectua rapid diferențierea și integrarea.

Seria Taylor în vecinătatea punctului a are forma:

1) , unde f(x) este o funcție care are derivate de toate ordinele la x=a. R n - termenul rămas din seria Taylor este determinat de expresie

2)

Coeficientul k-al (la x k) al seriei este determinat de formula

3) (expansiunea are loc în jurul punctului a = 0)

la a=0

membrii seriei sunt determinati de formula

Condiții de utilizare a seriei Taylor.

1. Pentru ca funcția f(x) să fie extinsă într-o serie Taylor pe intervalul (-R;R), este necesar și suficient ca termenul rămas din formula Taylor (Maclaurin (=McLaren)) pentru aceasta funcția tinde spre zero ca k →∞ pe intervalul specificat (-R;R).

2. Este necesar să existe derivate pentru o funcție dată în punctul în vecinătatea căruia vom construi seria Taylor.

Proprietățile seriei Taylor.

Dacă f este o funcție analitică, atunci seria sa Taylor în orice punct a din domeniul definiției lui f converge către f într-o vecinătate a lui a.

Există funcții infinit diferențiabile a căror serie Taylor converge, dar în același timp diferă de funcția din orice vecinătate a lui a. De exemplu:

Seriile Taylor sunt folosite în aproximare (aproximație - metoda stiintifica, care consta in inlocuirea unor obiecte cu altele, intr-un sens sau altul apropiate de cele originale, dar mai simple) functii prin polinoame. În special, liniarizarea ((din linearis - liniar), una dintre metodele de reprezentare aproximativă a sistemelor neliniare închise, în care studiul nu sistem liniar este înlocuită de analiza unui sistem liniar, într-un sens echivalent cu cel original.) de ecuații are loc prin extinderea într-o serie Taylor și tăierea tuturor termenilor de deasupra primului ordin.

Astfel, aproape orice funcție poate fi reprezentată ca un polinom cu o precizie dată.

Pentru elevi matematica superioara trebuie să se știe că suma unei anumite serii de puteri aparținând intervalului de convergență a seriei date nouă se dovedește a fi o funcție continuă și nelimitată de ori diferențiată. Se pune întrebarea: este posibil să spunem că o funcție arbitrară dată f(x) este suma unei anumite serii de puteri? Adică, în ce condiții poate fi reprezentată funcția f(x)? serie de putere? Importanța acestei întrebări constă în faptul că este posibil să înlocuim aproximativ funcția f(x) cu suma primilor termeni ai unei serii de puteri, adică un polinom. Această înlocuire a funcției este destul de bună expresie simplă- un polinom - este convenabil și la rezolvarea anumitor probleme și anume: la rezolvarea integralelor, la calcul etc.

S-a dovedit că pentru o anumită funcție f(x), în care este posibil să se calculeze derivate până la (n+1)-lea, inclusiv ultimul, în vecinătatea lui (α - R; x 0 + R). ) un punct x = α, este adevărat că formula:

Această formulă poartă numele celebrului om de știință Brooke Taylor. Seria care se obține din cea anterioară se numește seria Maclaurin:

Regula care face posibilă efectuarea unei extinderi într-o serie Maclaurin:

Determinați derivatele primului, al doilea, al treilea... ordine.

Calculați cu ce sunt egale derivatele la x=0.

Notați seria Maclaurin pentru această funcție și apoi determinați intervalul de convergență a acesteia.

Determinați intervalul (-R;R), unde restul formulei Maclaurin

R n (x) -> 0 la n -> infinit. Dacă există una, funcția f(x) din ea trebuie să coincidă cu suma seriei Maclaurin.

Să luăm acum în considerare seria Maclaurin pentru funcții individuale.

1. Deci, primul va fi f(x) = e x. Desigur, prin caracteristicile sale, o astfel de funcție are derivate de ordine foarte diferite, iar f (k) (x) = e x , unde k este egal cu x = 0. Se obține f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2... Pe baza celor de mai sus, seria e x va arăta astfel:

2. Seria Maclaurin pentru funcția f(x) = sin x. Să clarificăm imediat că funcția pentru toate necunoscutele va avea derivate, în plus, f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), unde k este egal cu orice număr natural. Adică, făcând calcule simple, putem ajunge la concluzia că seria pentru f(x) = sin x va fi de următoarea formă:

3. Acum să încercăm să considerăm funcția f(x) = cos x. Pentru toate necunoscutele are derivate de ordin arbitrar și |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|