Diverse metode de rezolvare a ecuațiilor. Rezolvați o ecuație pătratică online Verificarea soluției ecuației

La cursul de matematică de clasa a VII-a ne întâlnim pentru prima dată ecuații cu două variabile, dar ele sunt studiate numai în contextul sistemelor de ecuații cu două necunoscute. De aceea cade din vedere o serie intreaga probleme în care se introduc anumite condiţii asupra coeficienţilor ecuaţiei care le limitează. În plus, metodele de rezolvare a problemelor precum „Rezolvarea unei ecuații în numere naturale sau întregi” sunt, de asemenea, ignorate, deși în Materiale pentru examenul de stat unificat Iar la examenele de admitere se intalnesc tot mai des probleme de acest gen.

Care ecuație va fi numită ecuație cu două variabile?

Deci, de exemplu, ecuațiile 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 sau xy = 12 sunt ecuații în două variabile.

Luați în considerare ecuația 2x – y = 1. Devine adevărată când x = 2 și y = 3, deci această pereche de valori variabile este o soluție a ecuației în cauză.

Astfel, soluția oricărei ecuații cu două variabile este un set de perechi ordonate (x; y), valori ale variabilelor care transformă această ecuație într-o adevărată egalitate numerică.

O ecuație cu două necunoscute poate:

O) au o singura solutie. De exemplu, ecuația x 2 + 5y 2 = 0 are o soluție unică (0; 0);

b) au mai multe solutii. De exemplu, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 are 4 soluții: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) nu au solutii. De exemplu, ecuația x 2 + y 2 + 1 = 0 nu are soluții;

G) au infinit de solutii. De exemplu, x + y = 3. Soluțiile acestei ecuații vor fi numere a căror sumă este egală cu 3. Mulțimea soluțiilor ecuația dată poate fi scris sub forma (k; 3 – k), unde k este oricare număr real.

Principalele metode de rezolvare a ecuațiilor cu două variabile sunt metode bazate pe factorizarea expresiilor, izolarea unui pătrat complet, folosind proprietățile unei ecuații pătratice, expresii limitate și metode de estimare. Ecuația este de obicei convertită într-o formă din care se poate obține un sistem pentru găsirea necunoscutelor.

Factorizarea

Exemplul 1.

Rezolvați ecuația: xy – 2 = 2x – y.

Soluţie.

Grupăm termenii în scopul factorizării:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Din fiecare paranteză scoatem un factor comun:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Avem:

y = 2, x – orice număr real sau x = -1, y – orice număr real.

Astfel, răspunsul este toate perechile de forma (x; 2), x € R și (-1; y), y € R.

Egalitatea numerelor nenegative la zero

Exemplul 2.

Rezolvați ecuația: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Soluţie.

Grupare:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Acum fiecare paranteză poate fi pliat folosind formula diferenței pătrate.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

Suma a două expresii nenegative este zero numai dacă 3x – 2 = 0 și 2y – 3 = 0.

Aceasta înseamnă x = 2/3 și y = 3/2.

Răspuns: (2/3; 3/2).

Metoda de estimare

Exemplul 3.

Rezolvați ecuația: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Soluţie.

În fiecare paranteză selectăm un pătrat complet:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Să estimăm sensul expresiilor din paranteze.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 și (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, atunci partea stângă a ecuației este întotdeauna cel puțin 2. Egalitatea este posibilă dacă:

(x + 1) 2 + 1 = 1 și (y – 2) 2 + 2 = 2, ceea ce înseamnă x = -1, y = 2.

Răspuns: (-1; 2).

Să facem cunoștință cu o altă metodă de rezolvare a ecuațiilor cu două variabile de gradul doi. Această metodă constă în tratarea ecuației ca pătrat în raport cu o variabilă.

Exemplul 4.

Rezolvați ecuația: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Soluţie.

Să rezolvăm ecuația ca o ecuație pătratică pentru x. Să găsim discriminantul:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Ecuația va avea o soluție numai când D = 0, adică dacă y = 4. Înlocuim valoarea lui y în ecuația originală și aflăm că x = 3.

Răspuns: (3; 4).

Adesea în ecuații cu două necunoscute indică restricții asupra variabilelor.

Exemplul 5.

Rezolvați ecuația în numere întregi: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Soluţie.

Să rescriem ecuația sub forma x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Latura dreaptă a ecuației rezultate atunci când este împărțită la 5 dă un rest de 2. Prin urmare, x 2 nu este divizibil cu 5. Dar pătratul lui a numărul nedivizibil cu 5 dă un rest de 1 sau 4. Astfel, egalitatea este imposibilă și nu există soluții.

Răspuns: fără rădăcini.

Exemplul 6.

Rezolvați ecuația: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Soluţie.

Să evidențiem pătratele complete din fiecare paranteză:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Partea stângă a ecuației este întotdeauna mai mare sau egală cu 3. Egalitatea este posibilă cu condiția |x| – 2 = 0 și y + 3 = 0. Astfel, x = ± 2, y = -3.

Răspuns: (2; -3) și (-2; -3).

Exemplul 7.

Pentru fiecare pereche de numere întregi negative (x;y) care satisface ecuația
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, calculați suma (x + y). Vă rugăm să indicați cea mai mică sumă în răspunsul dvs.

Soluţie.

Să selectăm pătrate complete:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Deoarece x și y sunt numere întregi, pătratele lor sunt de asemenea numere întregi. Obținem suma pătratelor a două numere întregi egale cu 37 dacă adunăm 1 + 36. Prin urmare:

(x – y) 2 = 36 și (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 și (y + 2) 2 = 36.

Rezolvând aceste sisteme și ținând cont de faptul că x și y sunt negative, găsim soluții: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Răspuns: -17.

Nu disperați dacă aveți dificultăți în rezolvarea ecuațiilor cu două necunoscute. Cu puțină practică, poți gestiona orice ecuație.

Mai ai întrebări? Nu știi cum să rezolvi ecuații în două variabile?
Pentru a obține ajutor de la un tutor, înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

Vă oferim un gratuit convenabil calculator online pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice. Puteți obține și înțelege rapid cum sunt rezolvate folosind exemple clare.
A produce rezolva ecuația pătratică online, mai întâi reduceți ecuația la aspectul general:
ax 2 + bx + c = 0
Completați câmpurile formularului corespunzător:

Cum se rezolvă o ecuație pătratică

Cum se rezolvă ecuație pătratică:	Tipuri de rădăcini:
1. Reduceți ecuația pătratică la forma ei generală: Vedere generală Аx 2 +Bx+C=0 Exemplu: 3x - 2x 2 +1=-1 Reduceți la -2x 2 +3x+2=0 2. Găsiți discriminantul D. D=B2-4*A*C. Pentru exemplul nostru, D= 9-(4*(-2)*2)=9+16=25. 3. Găsirea rădăcinilor ecuației. x1=(-B+D 1/2)/2A. Pentru cazul nostru x1=(-3+5)/(-4)=-0,5 x2=(-B-D 1/2)/2A. Pentru exemplul nostru x2=(-3-5)/(-4)=2 Dacă B - număr par, atunci este mai convenabil să calculați discriminantul și rădăcinile folosind formulele: D=К 2 -ac x1=(-K+D 1/2)/A x2=(-K-D 1/2)/A, Unde K=B/2	1. Adevărate rădăcini. În plus. x1 nu este egal cu x2 Situația apare când D>0 și A nu este egal cu 0. 2. Rădăcinile reale sunt aceleași. x1 este egal cu x2 Situația apare când D=0. Cu toate acestea, nici A, nici B, nici C nu ar trebui să fie egal cu 0. 3. Două rădăcini complexe. x1=d+ei, x2=d-ei, unde i=-(1) 1/2 Situația apare când D 4. Ecuația are o singură soluție. A=0, B și C nu sunt egale cu zero. Ecuația devine liniară. 5. Ecuația are nenumărate soluții. A=0, B=0, C=0. 6. Ecuația nu are soluții. A=0, B=0, C nu este egal cu 0.

Pentru a consolida algoritmul, iată mai multe exemple ilustrative soluții la ecuații pătratice.

Exemplul 1. Rezolvarea unei ecuații pătratice obișnuite cu diferite rădăcini reale.
x 2 + 3x -10 = 0
În această ecuație
A=1, B=3, C=-10
D=B 2 -4*A*C = 9-4*1*(-10) = 9+40 = 49
Vom nota rădăcina pătrată ca fiind numărul 1/2!
x1=(-B+D 1/2)/2A = (-3+7)/2 = 2
x2=(-B-D 1/2)/2A = (-3-7)/2 = -5

Pentru a verifica, înlocuim:
(x-2)*(x+5) = x2 -2x +5x – 10 = x2 + 3x -10

Exemplul 2. Rezolvarea unei ecuații pătratice cu rădăcini reale potrivite.
x 2 – 8x + 16 = 0
A=1, B = -8, C=16
D = k 2 – AC = 16 – 16 = 0
X = -k/A = 4

Să înlocuim
(x-4)*(x-4) = (x-4)2 = X 2 – 8x + 16

Exemplul 3. Rezolvarea unei ecuații pătratice cu rădăcini complexe.
13x 2 – 4x + 1 = 0
A=1, B = -4, C=9
D = b 2 – 4AC = 16 – 4*13*1 = 16 - 52 = -36
Discriminantul este negativ – rădăcinile sunt complexe.

X1=(-B+D 1/2)/2A = (4+6i)/(2*13) = 2/13+3i/13
x2=(-B-D 1/2)/2A = (4-6i)/(2*13) = 2/13-3i/13
, unde I este rădăcina pătrată a lui -1

Iată de fapt toate cazurile posibile de rezolvare a ecuațiilor pătratice.
Sperăm că noastre calculator online iti va fi foarte util.
Dacă materialul a fost util, poți

Ecuațiile cuadratice sunt studiate în clasa a VIII-a, așa că nu este nimic complicat aici. Capacitatea de a le rezolva este absolut necesară.

O ecuație pătratică este o ecuație de forma ax 2 + bx + c = 0, unde coeficienții a, b și c sunt numere arbitrare și a ≠ 0.

Înainte de a studia metode specifice de soluție, rețineți că toate ecuațiile pătratice pot fi împărțite în trei clase:

1. Nu au rădăcini;
2. Au exact o rădăcină;
3. Au două rădăcini diferite.

Aceasta este o diferență importantă între ecuațiile pătratice și cele liniare, unde rădăcina există întotdeauna și este unică. Cum se determină câte rădăcini are o ecuație? Există un lucru minunat pentru asta - discriminant.

Discriminant

Să fie dată ecuația pătratică ax 2 + bx + c = 0 Atunci discriminantul este pur și simplu numărul D = b 2 − 4ac.

Trebuie să știi această formulă pe de rost. De unde vine nu este important acum. Un alt lucru este important: prin semnul discriminantului poți determina câte rădăcini are o ecuație pătratică. Anume:

1. Daca D< 0, корней нет;
2. Dacă D = 0, există exact o rădăcină;
3. Dacă D > 0, vor exista două rădăcini.

Vă rugăm să rețineți: discriminantul indică numărul de rădăcini și deloc semnele acestora, așa cum cred din anumite motive mulți oameni. Aruncă o privire la exemple și vei înțelege totul singur:

Sarcină. Câte rădăcini au ecuațiile pătratice:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Să scriem coeficienții pentru prima ecuație și să găsim discriminantul:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Deci discriminantul este pozitiv, deci ecuația are două rădăcini diferite. Analizăm a doua ecuație într-un mod similar:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Discriminantul este negativ, nu există rădăcini. Ultima ecuație rămasă este:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Discriminantul este zero - rădăcina va fi una.

Vă rugăm să rețineți că au fost notați coeficienți pentru fiecare ecuație. Da, este lung, da, este plictisitor, dar nu vei amesteca șansele și nu vei face greșeli stupide. Alege pentru tine: viteza sau calitate.

Apropo, dacă înțelegi, după un timp nu va mai fi nevoie să notezi toți coeficienții. Vei efectua astfel de operații în capul tău. Majoritatea oamenilor încep să facă asta undeva după 50-70 de ecuații rezolvate - în general, nu atât de mult.

Rădăcinile unei ecuații pătratice

Acum să trecem la soluția în sine. Dacă discriminantul D > 0, rădăcinile pot fi găsite folosind formulele:

Formula de bază pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Când D = 0, puteți folosi oricare dintre aceste formule - veți obține același număr, care va fi răspunsul. În sfârșit, dacă D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Prima ecuație:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ ecuația are două rădăcini. Să le găsim:

A doua ecuație:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ ecuația are din nou două rădăcini. Să le găsim

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

În sfârșit, a treia ecuație:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ ecuația are o rădăcină. Se poate folosi orice formulă. De exemplu, primul:

După cum puteți vedea din exemple, totul este foarte simplu. Dacă știi formulele și poți număra, nu vor fi probleme. Cel mai adesea, erorile apar la înlocuirea coeficienților negativi în formulă. Iată, din nou, tehnica descrisă mai sus vă va ajuta: uitați-vă la formula literal, notați fiecare pas - și foarte curând veți scăpa de greșeli.

Ecuații patratice incomplete

Se întâmplă ca o ecuație pătratică să fie ușor diferită de ceea ce este dat în definiție. De exemplu:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Este ușor de observat că acestor ecuații lipsește unul dintre termeni. Astfel de ecuații pătratice sunt chiar mai ușor de rezolvat decât cele standard: nici măcar nu necesită calcularea discriminantului. Deci, să introducem un nou concept:

Ecuația ax 2 + bx + c = 0 se numește ecuație pătratică incompletă dacă b = 0 sau c = 0, adică. coeficientul variabilei x sau al elementului liber este egal cu zero.

Desigur, un caz foarte dificil este posibil când ambii acești coeficienți sunt egali cu zero: b = c = 0. În acest caz, ecuația ia forma ax 2 = 0. Evident, o astfel de ecuație are o singură rădăcină: x = 0.

Să luăm în considerare cazurile rămase. Fie b = 0, atunci obținem o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 + c = 0. Să o transformăm puțin:

Deoarece rădăcina pătrată aritmetică există doar dintr-un număr nenegativ, ultima egalitate are sens doar pentru (−c /a) ≥ 0. Concluzie:

1. Dacă într-o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 + c = 0 este satisfăcută inegalitatea (−c /a) ≥ 0, vor exista două rădăcini. Formula este dată mai sus;
2. Dacă (−c /a)< 0, корней нет.

După cum puteți vedea, nu a fost necesar un discriminant - nu există deloc calcule complexe în ecuațiile pătratice incomplete. De fapt, nici nu este necesar să ne amintim inegalitatea (−c /a) ≥ 0. Este suficient să exprimăm valoarea x 2 și să vedem ce este de cealaltă parte a semnului egal. Dacă acolo număr pozitiv- vor fi două rădăcini. Dacă este negativ, nu vor exista deloc rădăcini.

Acum să ne uităm la ecuații de forma ax 2 + bx = 0, în care elementul liber este egal cu zero. Totul este simplu aici: vor exista întotdeauna două rădăcini. Este suficient să factorizezi polinomul:

Scoaterea factorului comun din paranteze

Produsul este zero atunci când cel puțin unul dintre factori este zero. De aici vin rădăcinile. În concluzie, să ne uităm la câteva dintre aceste ecuații:

Sarcină. Rezolvarea ecuațiilor pătratice:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Nu există rădăcini, pentru că un pătrat nu poate fi egal cu un număr negativ.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

( (3 * x – 1) = 0;

-(3 * x – 1) = 0;

De aici vedem că există o ecuație 3 * x – 1 = 0.

Am primit o ecuație liniară sub forma 3 * x – 1 = 0

Pentru a rezolva ecuația, determinăm ce proprietăți are ecuația:

• Ecuația este liniară și este scrisă ca a * x + b = 0, unde a și b sunt orice numere;
• Când a = b = 0, ecuația are set infinit decizii;
• Dacă a = 0, b ≠ 0, ecuația nu are soluție;
• Dacă a ≠ 0, b = 0, ecuația are o soluție: x = 0;
• Dacă a și b sunt alte numere decât 0, atunci rădăcina se găsește folosind următoarea formulă x = - b/a.

De aici obținem că a = 3, b = - 1, ceea ce înseamnă că ecuația are o rădăcină.

Verificarea soluției ecuației

Să substituim valoarea găsită x = 1/3 în expresia originală |3 * x - 1| = 0, atunci obținem:

|3 * 1/3 - 1| = 0;

Pentru a găsi valoarea unei expresii, mai întâi calculăm înmulțirea sau împărțirea pe rând, apoi adunăm sau scădem. Adică obținem:

Aceasta înseamnă că x = 1/3 este rădăcina ecuației |3 * x - 1| = 0.

|3 * x - 1| = 0;

Modulul se deschide cu semnul plus și minus. Obtinem 2 ecuatii:

1) 3 * x - 1 = 0;

Transferăm valorile cunoscute într-o parte, iar valorile necunoscute pe cealaltă parte. La transferul valorilor, semnele acestora se schimbă în semnul opus. Adică obținem:
3 * x = 0 + 1;
3 * x = 1;
x = 1/3;

2) - (3 * x - 1) = 0;

Deschiderea parantezelor. Deoarece există un semn minus în fața parantezelor, atunci când este extins, semnele valorilor se schimbă în semnul opus. Adică obținem:
- 3 * x + 1 = 0;
- 3 * x = - 1;
x = - 1/(- 3);
x = 1/3;
Răspuns: x = 1/3.

Să considerăm ecuația x^2=a, unde a poate fi un număr arbitrar. Există trei cazuri de rezolvare a acestei ecuații, în funcție de valoarea pe care o ia numărul a (a0).

Să luăm în considerare fiecare caz separat.

Exemple de cazuri diferite ale ecuației x^2=a

x^2=a, pentru a<0

Deoarece pătratul oricărui număr real nu poate fi un număr negativ, ecuația x^2=a, pentru a

x^2=a, cu a=0

În acest caz, ecuația are o rădăcină. Această rădăcină este numărul 0. Deoarece ecuația poate fi rescrisă ca x*x=0, se mai spune uneori că această ecuație are două rădăcini care sunt egale între ele și egale cu 0.

x^2=a, pentru a>0

În acest caz, ecuația x^2=a, pentru a, se rezolvă după cum urmează. Mai întâi mutam a în partea stângă.

Din definiție rădăcină pătrată rezultă că a poate fi scris sub următoarea formă: a=(√a)^2. Apoi ecuația poate fi rescrisă după cum urmează:

x^2 - (√a)^2 = 0.

În partea stângă vedem formula pentru diferența de pătrate, să o extindem.

(x+√a)*(x-√a)=0;

Produsul a două paranteze este egal cu zero dacă cel puțin una dintre ele este egală cu zero. Prin urmare,

Prin urmare, x1=√a x2=-√a.

Această soluție poate fi verificată prin reprezentarea unui grafic.

De exemplu, să facem asta pentru ecuația x^2 = 4.

Pentru a face acest lucru, trebuie să construiți două grafice y=x^2 și y=4. Și uită-te la coordonatele x ale punctelor lor de intersecție. Rădăcinile ar trebui să fie 2 și -2. Totul este clar vizibil în figură.

Ai nevoie de ajutor cu studiile tale?

Subiect anterior: