Derivată a unei fracții complexe. Derivată a sumei fracțiilor cu puteri și rădăcini

Dacă urmați definiția, atunci derivata unei funcții într-un punct este limita raportului de creștere a funcției Δ y la argumentul increment Δ x:

Totul pare a fi clar. Dar încercați să utilizați această formulă pentru a calcula, să zicem, derivata funcției f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x păcat x. Dacă faci totul prin definiție, atunci după câteva pagini de calcule vei adormi pur și simplu. Prin urmare, există modalități mai simple și mai eficiente.

Pentru început, observăm că din întreaga varietate de funcții putem distinge așa-numitele funcții elementare. Este relativ expresii simple, ale căror derivate au fost mult timp calculate și enumerate în tabel. Astfel de funcții sunt destul de ușor de reținut - împreună cu derivatele lor.

Derivate ale funcţiilor elementare

Funcțiile elementare sunt toate cele enumerate mai jos. Derivatele acestor funcții trebuie cunoscute pe de rost. În plus, nu este deloc dificil să le memorezi - de aceea sunt elementare.

Deci, derivate ale funcțiilor elementare:

Nume	Funcţie	Derivat
Constant	f(x) = C, C ∈ R	0 (da, zero!)
Putere cu exponent rațional	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinusul	f(x) = păcat x	cos x
Cosinus	f(x) = cos x	−păcat x(minus sinus)
Tangentă	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Cotangentă	f(x) = ctg x	− 1/sin 2 x
Logaritmul natural	f(x) = jurnal x	1/x
Logaritmul arbitrar	f(x) = jurnal o x	1/(x ln o)
Funcția exponențială	f(x) = e x	e x(nu s-a schimbat nimic)

Dacă o funcție elementară este înmulțită cu o constantă arbitrară, atunci derivata noii funcție este de asemenea ușor de calculată:

(C · f)’ = C · f ’.

În general, constantele pot fi scoase din semnul derivatei. De exemplu:

(2x 3)’ = 2 · ( x 3)’ = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Evident, funcțiile elementare pot fi adăugate între ele, multiplicate, împărțite - și multe altele. Așa vor apărea funcții noi, nu mai ales elementare, dar și diferențiate după anumite reguli. Aceste reguli sunt discutate mai jos.

Derivată a sumei și diferenței

Să fie date funcțiile f(x) Și g(x), ale căror derivate ne sunt cunoscute. De exemplu, puteți lua funcțiile elementare discutate mai sus. Apoi puteți găsi derivata sumei și diferenței acestor funcții:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Deci, derivata sumei (diferența) a două funcții este egală cu suma (diferența) derivatelor. Pot exista mai mulți termeni. De exemplu, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strict vorbind, nu există un concept de „scădere” în algebră. Există un concept de „element negativ”. Prin urmare diferența f − g poate fi rescris ca o sumă f+ (−1) g, iar apoi rămâne o singură formulă - derivata sumei.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funcţie f(x) este suma a două funcții elementare, prin urmare:

f ’(x) = (x 2 + păcat x)’ = (x 2)’ + (păcat x)’ = 2x+ cos x;

Raționăm în mod similar pentru funcție g(x). Numai că există deja trei termeni (din punct de vedere al algebrei):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Răspuns:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivat al produsului

Matematica este o știință logică, așa că mulți oameni cred că, dacă derivata unei sume este egală cu suma derivatelor, atunci derivata produsului grevă„>egal cu produsul derivatelor. Dar stricați-vă! Derivatul unui produs se calculează folosind o formulă complet diferită. Și anume:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula este simplă, dar este adesea uitată. Și nu numai școlari, ci și elevi. Rezultatul este probleme rezolvate incorect.

Sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funcţie f(x) este produsul a două funcții elementare, deci totul este simplu:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)’ cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−sin x) = x 2 (3cos x − x păcat x)

Funcţie g(x) primul factor este un pic mai complicat, dar schema generala asta nu se schimba. Evident, primul factor al funcției g(x) este un polinom și derivata sa este derivata sumei. Avem:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Răspuns:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x păcat x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Vă rugăm să rețineți că în ultimul pas derivata este factorizată. În mod formal, acest lucru nu trebuie făcut, dar majoritatea derivatelor nu sunt calculate singure, ci pentru a examina funcția. Aceasta înseamnă că în continuare derivata va fi egalată cu zero, semnele sale vor fi determinate și așa mai departe. Pentru un astfel de caz, este mai bine să aveți o expresie factorizată.

Dacă există două funcții f(x) Și g(x), și g(x) ≠ 0 pe mulțimea care ne interesează, putem defini o nouă funcție h(x) = f(x)/g(x). Pentru o astfel de funcție puteți găsi și derivata:

Nu slab, nu? De unde a venit minusul? De ce g 2? Și așa! Aceasta este una dintre cele mai complexe formule - nu vă puteți da seama fără o sticlă. Prin urmare, este mai bine să-l studiați la exemple concrete.

Sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor:

Numătorul și numitorul fiecărei fracții conțin funcții elementare, deci tot ce ne trebuie este formula pentru derivata coeficientului:

Conform tradiției, să factorizăm numărătorul - acest lucru va simplifica foarte mult răspunsul:

O funcție complexă nu este neapărat o formulă lungă de jumătate de kilometru. De exemplu, este suficient să luați funcția f(x) = păcat xși înlocuiți variabila x, să zicem, pe x 2 + ln x. Se va rezolva f(x) = păcat ( x 2 + ln x) - aceasta este o funcție complexă. Are și un derivat, dar nu va fi posibil să îl găsiți folosind regulile discutate mai sus.

Ce ar trebuii să fac? În astfel de cazuri, înlocuirea variabilei și a formulei derivate ajută functie complexa:

f ’(x) = f ’(t) · t', Dacă x este înlocuit cu t(x).

De regulă, situația cu înțelegerea acestei formule este și mai tristă decât cu derivata coeficientului. Prin urmare, este, de asemenea, mai bine să o explicați cu exemple specifice, cu descriere detaliată fiecare pas.

Sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = păcat ( x 2 + ln x)

Rețineți că dacă în funcție f(x) în loc de expresia 2 x+ 3 va fi ușor x, atunci obținem o funcție elementară f(x) = e x. Prin urmare, facem o înlocuire: fie 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Căutăm derivata unei funcții complexe folosind formula:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Și acum - atenție! Efectuăm înlocuirea inversă: t = 2x+ 3. Obținem:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Acum să ne uităm la funcția g(x). Evident că trebuie înlocuit x 2 + ln x = t. Avem:

g ’(x) = g ’(t) · t’ = (păcat t)’ · t’ = cos t · t ’

Înlocuire inversă: t = x 2 + ln x. Apoi:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)’ = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Asta este! După cum se vede din ultima expresie, întreaga problemă a fost redusă la calcularea sumei derivate.

Răspuns:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2 + ln x).

Foarte des în lecțiile mele, în loc de termenul „derivat”, folosesc cuvântul „prim”. De exemplu, cursa sumei este egală cu suma curselor. Este mai clar? Ei bine, asta e bine.

Astfel, calcularea derivatei se reduce la a scăpa de aceleași lovituri conform regulilor discutate mai sus. Ca exemplu final, să revenim la puterea derivată cu un exponent rațional:

(x n)’ = n · x n − 1

Puțini oameni știu asta în rol n poate fi un număr fracționar. De exemplu, rădăcina este x 0,5. Ce se întâmplă dacă există ceva fantezist sub rădăcină? Din nou, rezultatul va fi o funcție complexă - le place să dea astfel de construcții teste ah si examene.

Sarcină. Aflați derivata funcției:

Mai întâi, să rescriem rădăcina ca o putere cu un exponent rațional:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Acum facem un înlocuitor: let x 2 + 8x − 7 = t. Găsim derivata folosind formula:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)’ · t’ = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Să facem înlocuirea inversă: t = x 2 + 8x− 7. Avem:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

În sfârșit, înapoi la rădăcini:

Când găsiți derivata unei sume de fracții cu puteri și rădăcini, pentru a evita greșelile comune, ar trebui să acordați atenție următoarelor puncte:

• folosind formula de diferențiere a unui produs și a unui coeficient, determinați clar diferența dintre o constantă, a cărei derivată este egală cu zero și un factor constant, care este pur și simplu scos din semnul derivatei;
• nevoie de a folosi cu încredere cunoștințele din curs şcolar asupra acțiunilor cu puteri și rădăcini, de exemplu, ce se întâmplă cu exponenții când se înmulțesc puteri cu aceleași baze;
• ce se întâmplă cu semnele când derivata unui sumand are un semn opus semnului sumandului însuși.

Exemplul 1. Aflați derivata unei funcții

.

.

Aici cei doi din fața lui X este un factor constant, așa că pur și simplu a fost scos din semnul derivat.

Punând totul împreună:

.

Dacă în soluția finală se cere obținerea unei expresii cu rădăcini, atunci transformăm gradele în rădăcini și obținem derivata dorită:

.

Exemplul 2. Aflați derivata unei funcții

.

Soluţie. Găsim derivata primului termen:

.

Aici primele două din numărătorul expresiei intermediare au fost o constantă, derivata sa este egală cu zero.

Aflați derivata celui de-al doilea termen:

Găsim derivata celui de-al treilea termen:

Aici am aplicat cunoștințele de la cursul școlar despre operații cu fracții, transformarea și reducerea acestora.

Să punem totul cap la cap, acordând atenție faptului că semnele derivatelor primului și al treilea termen sunt opuse semnelor termenilor din expresia originală:

.

Exemplul 3. Aflați derivata unei funcții

.

Soluţie. Găsim derivata primului termen:

Aflați derivata celui de-al doilea termen:

Derivata celui de-al treilea termen - constanta 1/2 - este egală cu zero (se întâmplă ca elevii să încerce în mod persistent să găsească o derivată diferită de zero a constantei).

Să punem totul cap la cap, acordând atenție faptului că semnul derivatului celui de-al doilea termen este opus semnului termenului din expresia originală:

Exemplul 4. Aflați derivata unei funcții

.

Soluţie. Găsim derivata primului termen:

Aflați derivata celui de-al doilea termen:

Găsim derivata celui de-al treilea termen:

Să punem totul cap la cap, acordând atenție faptului că semnele derivatelor celui de-al doilea și al treilea termen sunt minusuri:

.

Exemplul 5. Aflați derivata unei funcții

.

Soluţie. Aflați derivata primului termen.

Rezolvarea problemelor fizice sau a exemplelor de matematică este complet imposibilă fără cunoașterea derivatei și a metodelor de calcul. Derivatul este unul dintre cele mai importante concepte analiză matematică. Am decis să dedicăm articolul de astăzi acestui subiect fundamental. Ce este o derivată, care este semnificația sa fizică și geometrică, cum se calculează derivata unei funcții? Toate aceste întrebări pot fi combinate într-una singură: cum să înțelegeți derivatul?

Sensul geometric și fizic al derivatului

Să existe o funcție f(x) , specificat într-un anumit interval (a, b) . Punctele x și x0 aparțin acestui interval. Când x se schimbă, funcția în sine se schimbă. Schimbarea argumentului - diferența de valori x-x0 . Această diferență este scrisă ca delta x și se numește increment de argument. O modificare sau o creștere a unei funcții este diferența dintre valorile unei funcții în două puncte. Definiția derivatului:

Derivata unei funcții într-un punct este limita raportului dintre incrementul funcției la un punct dat și incrementul argumentului atunci când acesta din urmă tinde spre zero.

Altfel se poate scrie asa:

Ce rost are să găsești o astfel de limită? Și iată ce este:

derivata unei funcții într-un punct este egală cu tangentei unghiului dintre axa OX și tangentei la graficul funcției într-un punct dat.

Sensul fizic al derivatului: derivata traseului în raport cu timpul este egală cu viteza mișcării rectilinie.

Într-adevăr, din vremea școlii toată lumea știe că viteza este o cale anume x=f(t) si timp t . Viteza medie pentru o anumită perioadă de timp:

Pentru a afla viteza de mișcare la un moment dat t0 trebuie să calculați limita:

Prima regulă: setați o constantă

Constanta poate fi scoasă din semnul derivatului. Mai mult, acest lucru trebuie făcut. Când rezolvați exemple la matematică, luați-o ca regulă - Dacă puteți simplifica o expresie, asigurați-vă că o simplificați .

Exemplu. Să calculăm derivata:

Regula a doua: derivata sumei functiilor

Derivata sumei a doua functii este egala cu suma derivatelor acestor functii. Același lucru este valabil și pentru derivata diferenței de funcții.

Nu vom oferi o dovadă a acestei teoreme, ci mai degrabă luăm în considerare un exemplu practic.

Aflați derivata funcției:

Regula trei: derivata produsului de funcții

Derivata produsului a doua functii diferentiabile se calculeaza prin formula:

Exemplu: găsiți derivata unei funcții:

Soluţie:

Este important să vorbim aici despre calcularea derivatelor funcțiilor complexe. Derivata unei functii complexe este egala cu produsul derivatei acestei functii fata de argumentul intermediar si derivata argumentului intermediar fata de variabila independenta.

În exemplul de mai sus întâlnim expresia:

În acest caz, argumentul intermediar este de 8x față de a cincea putere. Pentru a calcula derivata unei astfel de expresii, mai întâi calculăm derivata funcției externe în raport cu argumentul intermediar și apoi înmulțim cu derivata argumentului intermediar în sine față de variabila independentă.

Regula a patra: derivată a câtului a două funcții

Formula pentru determinarea derivatei coeficientului a două funcții:

Am încercat să vorbim despre derivate pentru manechine de la zero. Acest subiect nu este atât de simplu pe cât pare, așa că fiți atenți: există adesea capcane în exemple, așa că aveți grijă când calculați derivatele.

Cu orice întrebări pe acest subiect și pe alte subiecte, puteți contacta serviciul studenți. În scurt timp, vă vom ajuta să rezolvați cel mai dificil test și să înțelegeți sarcinile, chiar dacă nu ați mai făcut niciodată calcule derivate.

Foarte ușor de reținut.

Ei bine, să nu mergem departe, să luăm imediat în considerare funcția inversă. Care functie este inversa functie exponentiala? Logaritm:

În cazul nostru, baza este numărul:

Un astfel de logaritm (adică un logaritm cu bază) se numește „natural” și folosim o notație specială pentru el: scriem în schimb.

Cu ce ​​este egal? Desigur.

Derivata logaritmului natural este, de asemenea, foarte simplă:

Exemple:

1. Aflați derivata funcției.
2. Care este derivata functiei?

Raspunsuri: Logaritmul exponențial și natural sunt funcții unice simple dintr-o perspectivă derivată. Funcțiile exponențiale și logaritmice cu orice altă bază vor avea o derivată diferită, pe care o vom analiza mai târziu, după ce vom parcurge regulile de diferențiere.

Reguli de diferențiere

Reguli de ce? Din nou un nou termen, din nou?!...

Diferenţiere este procesul de găsire a derivatei.

Asta e tot. Ce altceva poți numi acest proces într-un singur cuvânt? Nu derivată... Matematicienii numesc diferenţialul acelaşi increment al unei funcţii la. Acest termen provine din latinescul diferentia - diferenta. Aici.

Când derivăm toate aceste reguli, vom folosi două funcții, de exemplu, și. De asemenea, vom avea nevoie de formule pentru incrementele lor:

Sunt 5 reguli în total.

Constanta este scoasă din semnul derivatului.

Dacă - un număr constant (constant), atunci.

Evident, această regulă funcționează și pentru diferența: .

Să demonstrăm. Să fie, sau mai simplu.

Exemple.

Aflați derivatele funcțiilor:

1. la un punct;
2. la un punct;
3. la un punct;
4. la punct.

Solutii:

1. (derivata este aceeași în toate punctele, deoarece aceasta funcţie liniară, îți amintești?);

Derivat al produsului

Totul este similar aici: să introducem o nouă funcție și să găsim incrementul acesteia:

Derivat:

Exemple:

1. Aflați derivatele funcțiilor și;
2. Aflați derivata funcției într-un punct.

Solutii:

Derivată a unei funcții exponențiale

Acum cunoștințele tale sunt suficiente pentru a învăța cum să găsești derivata oricărei funcții exponențiale și nu doar exponenți (ai uitat încă ce este asta?).

Deci, unde este un număr.

Știm deja derivata funcției, așa că să încercăm să ne reducem funcția la o nouă bază:

Pentru aceasta vom folosi regula simpla: . Apoi:

Ei bine, a funcționat. Acum încercați să găsiți derivata și nu uitați că această funcție este complexă.

A funcționat?

Iată, verifică-te:

Formula s-a dovedit a fi foarte asemănătoare cu derivata unui exponent: așa cum a fost, rămâne aceeași, a apărut doar un factor, care este doar un număr, dar nu o variabilă.

Exemple:
Aflați derivatele funcțiilor:

Raspunsuri:

Acesta este doar un număr care nu poate fi calculat fără un calculator, adică nu mai poate fi notat în formă simplă. Prin urmare, îl lăsăm în această formă în răspuns.

Rețineți că aici este câtul a două funcții, așa că aplicăm regula de diferențiere corespunzătoare:

În acest exemplu, produsul a două funcții:

Derivată a unei funcții logaritmice

Este similar aici: cunoașteți deja derivata logaritmului natural:

Prin urmare, pentru a găsi un logaritm arbitrar cu o bază diferită, de exemplu:

Trebuie să reducem acest logaritm la bază. Cum schimbi baza unui logaritm? Sper să vă amintiți această formulă:

Abia acum vom scrie în schimb:

Numitorul este pur și simplu o constantă (un număr constant, fără o variabilă). Derivata se obține foarte simplu:

Derivate ale funcțiilor exponențiale și logaritmice nu se găsesc aproape niciodată în examenul de stat unificat, dar nu va fi de prisos să le cunoaștem.

Derivată a unei funcții complexe.

Ce este o „funcție complexă”? Nu, acesta nu este un logaritm și nu o arctangentă. Aceste funcții pot fi greu de înțeles (deși dacă ți se pare dificil logaritmul, citește subiectul „Logaritmi” și vei fi bine), dar din punct de vedere matematic, cuvântul „complex” nu înseamnă „dificil”.

Imaginați-vă o bandă rulantă mică: două persoane stau și fac niște acțiuni cu unele obiecte. De exemplu, primul învelește un baton de ciocolată într-un ambalaj, iar al doilea îl leagă cu o panglică. Rezultatul este un obiect compozit: un baton de ciocolată înfășurat și legat cu o panglică. Pentru a mânca un baton de ciocolată, trebuie să faceți pașii inversi în ordine inversă.

Să creăm o conductă matematică similară: mai întâi vom găsi cosinusul unui număr, apoi vom pătrat numărul rezultat. Așadar, ni se dă un număr (ciocolată), îi găsesc cosinus (înveliș), iar apoi pătrați ce am primit (legați-l cu o panglică). Ce s-a întâmplat? Funcţie. Acesta este un exemplu de funcție complexă: când, pentru a-i găsi valoarea, executăm prima acțiune direct cu variabila, iar apoi o a doua acțiune cu ceea ce a rezultat din prima.

Cu alte cuvinte, o funcție complexă este o funcție al cărei argument este o altă funcție: .

Pentru exemplul nostru, .

Putem face cu ușurință aceiași pași în ordine inversă: mai întâi îl pătrați, iar apoi caut cosinusul numărului rezultat: . Este ușor de ghicit că rezultatul va fi aproape întotdeauna diferit. O caracteristică importantă a funcțiilor complexe: atunci când ordinea acțiunilor se schimbă, funcția se schimbă.

Al doilea exemplu: (același lucru). .

Acțiunea pe care o facem ultima va fi numită funcția „externă”., iar acțiunea efectuată prima - în consecință funcția „internă”.(acestea sunt nume informale, le folosesc doar pentru a explica materialul într-un limbaj simplu).

Încercați să determinați singur ce funcție este externă și care este internă:

Raspunsuri: Separarea funcțiilor interioare și exterioare este foarte asemănătoare cu schimbarea variabilelor: de exemplu, într-o funcție

1. Ce acțiune vom efectua mai întâi? Mai întâi, să calculăm sinusul și abia apoi să-l cubăm. Aceasta înseamnă că este o funcție internă, dar una externă.
   Iar funcția inițială este compoziția lor: .
2. Intern: ; extern: .
   Examinare: .
3. Intern: ; extern: .
   Examinare: .
4. Intern: ; extern: .
   Examinare: .
5. Intern: ; extern: .
   Examinare: .

Schimbăm variabilele și obținem o funcție.

Ei bine, acum ne vom extrage batonul de ciocolată și vom căuta derivatul. Procedura este întotdeauna inversată: mai întâi căutăm derivata funcției exterioare, apoi înmulțim rezultatul cu derivata funcției interioare. În raport cu exemplul original, arată astfel:

Un alt exemplu:

Deci, să formulăm în sfârșit regula oficială:

Algoritm pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:

Pare simplu, nu?

Să verificăm cu exemple:

Solutii:

1) Intern: ;

Extern: ;

2) Intern: ;

(Nu încercați să o tăiați până acum! Nu iese nimic de sub cosinus, vă amintiți?)

3) Intern: ;

Extern: ;

Este imediat clar că aceasta este o funcție complexă pe trei niveluri: la urma urmei, aceasta este deja o funcție complexă în sine și extragem și rădăcina din ea, adică efectuăm a treia acțiune (punem ciocolata într-un ambalaj iar cu o panglică în servietă). Dar nu există niciun motiv să ne fie frică: vom „despacheta” această funcție în aceeași ordine ca de obicei: de la sfârșit.

Adică, mai întâi diferențiem rădăcina, apoi cosinusul și abia apoi expresia dintre paranteze. Și apoi înmulțim totul.

În astfel de cazuri, este convenabil să numerotați acțiunile. Adică să ne imaginăm ce știm. În ce ordine vom efectua acțiuni pentru a calcula valoarea acestei expresii? Să ne uităm la un exemplu:

Cu cât acțiunea este efectuată mai târziu, cu atât funcția corespunzătoare va fi mai „externă”. Secvența acțiunilor este aceeași ca înainte:

Aici cuibărirea este în general pe 4 niveluri. Să stabilim cursul acțiunii.

1. Exprimarea radicală. .

2. Rădăcină. .

3. Sine. .

4. Pătrat. .

5. Punând totul împreună:

DERIVAT. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

Derivata unei functii- raportul dintre incrementul funcției și incrementul argumentului pentru o creștere infinitezimală a argumentului:

Derivate de bază:

Reguli de diferentiere:

Constanta este scoasă din semnul derivat:

Derivată a sumei:

Derivat al produsului:

Derivată a coeficientului:

Derivata unei functii complexe:

Algoritm pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:

1. Definim funcția „internă” și găsim derivata ei.
2. Definim funcția „externă” și găsim derivata ei.
3. Înmulțim rezultatele primului și celui de-al doilea punct.

Să demonstrăm regula de diferențiere a câtului a două funcții (fracții). Merită menționat că g(x) nu dispare sub nicio formă x de între X.

Prin definiția derivatului

Exemplu.

Efectuați diferențierea funcției.

Soluţie.

Funcția originală este raportul dintre două expresii sinxŞi 2x+1. Să aplicăm regula diferențierii fracțiilor:

Nu se poate face fără regulile pentru diferențierea unei sume și plasarea unei constante arbitrare în afara semnului derivat:

În cele din urmă, să rezumăm toate regulile într-un singur exemplu.

Exemplu.

Aflați derivata unei funcții , Unde o este un număr real pozitiv.

Soluţie.

Și acum, în ordine.

Primul mandat .

Al doilea mandat

Al treilea termen

Punând totul împreună:

4. Întrebare: Derivate ale funcţiilor elementare de bază.

Exercita. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. Folosim regulile de diferențiere și tabelul derivatelor:

Răspuns.

5.Întrebare: Exemple de derivate ale unei funcții complexe

Toate exemplele din această secțiune se bazează pe tabelul de derivate și pe teorema derivatei unei funcții complexe, a cărei formulare este următoarea:

Fie 1) funcția u=φ(x) are derivata u′x=φ′(x0) într-un punct x0, 2) funcția y=f(u) are derivata y′u= în punctul corespunzător u0 =φ(x0) f′(u). Atunci funcția complexă y=f(φ(x)) în punctul menționat va avea și o derivată egală cu produsul derivatelor funcțiilor f(u) și φ(x):

(f(φ(x)))′=f′u(φ(x0))⋅φ′(x0)

sau, într-o notație mai scurtă: y′x=y′u⋅u′x.

În exemplele din această secțiune, toate funcțiile au forma y=f(x) (adică, considerăm doar funcțiile unei variabile x). În consecință, în toate exemplele, derivata lui y′ este luată în raport cu variabila x. Pentru a sublinia faptul că derivata este luată în raport cu variabila x, y′x se scrie adesea în loc de y′.

Exemplele nr. 1, nr. 2 și nr. 3 conturează procesul detaliat pentru găsirea derivatei funcțiilor complexe. Exemplul nr. 4 este destinat pentru o înțelegere mai completă a tabelului de derivate și are sens să vă familiarizați cu acesta.

Este recomandabil după ce ați studiat materialul din exemplele nr. 1-3 să treceți mai departe decizie independentă exemplele nr. 5, nr. 6 și nr. 7. Exemplele #5, #6 și #7 conțin o soluție scurtă, astfel încât cititorul să poată verifica corectitudinea rezultatului său.

Exemplul nr. 1

Aflați derivata funcției y=ecosx.

Soluţie

Trebuie să găsim derivata unei funcții complexe y′. Deoarece y=ecosx, atunci y′=(ecosx)′. Pentru a găsi derivata (ecosx)′ folosim formula nr. 6 din tabelul derivatelor. Pentru a utiliza formula nr. 6, trebuie să țineți cont de faptul că în cazul nostru u=cosx. Soluția ulterioară constă în pur și simplu înlocuirea expresiei cosx în loc de u în formula nr. 6:

y′=(ecosx)′=ecosx⋅(cosx)′(1.1)

Acum trebuie să găsim valoarea expresiei (cosx)′. Ne întoarcem din nou la tabelul derivatelor, selectând formula nr. 10 din acesta. Înlocuind u=x în formula nr. 10, avem: (cosx)′=−sinx⋅x′. Acum să continuăm egalitatea (1.1), completând-o cu rezultatul găsit:

y′=(ecosx)′=ecosx⋅(cosx)′=ecosx⋅(−sinx⋅x′)(1.2)

Deoarece x′=1, continuăm egalitatea (1.2):

y′=(ecosx)′=ecosx⋅(cosx)′=ecosx⋅(−sinx⋅x′)=ecosx⋅(−sinx⋅1)=−sinx⋅ecosx(1.3)

Deci, din egalitatea (1.3) avem: y′=−sinx⋅ecosx. Desigur, explicațiile și egalitățile intermediare sunt de obicei sărite, notând constatarea derivatei pe o singură linie, ca în egalitate (1.3). Deci, derivata unei funcții complexe a fost găsită, tot ce rămâne este să scrieți răspunsul.

Răspuns: y′=−sinx⋅ecosx.

Exemplul nr. 2

Aflați derivata funcției y=9⋅arctg12(4⋅lnx).

Soluţie

Trebuie să calculăm derivata y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′. Pentru început, observăm că constanta (adică numărul 9) poate fi scoasă din semnul derivat:

y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′(2.1)

Acum să ne întoarcem la expresia (arctg12(4⋅lnx))′. Pentru a ușura selectarea formulei dorite din tabelul de derivate, voi prezenta expresia în cauză sub această formă: ((arctg(4⋅lnx))12)′. Acum este clar că este necesar să se folosească formula nr. 2, adică. (uα)′=α⋅uα−1⋅u′. Să înlocuim u=arctg(4⋅lnx) și α=12 în această formulă:

Suplimentând egalitatea (2.1) cu rezultatul obținut, avem:

y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′=108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅(arctg(4⋅lnx))′(2.2 )

Notă: arată\ascunde

Acum trebuie să găsim (arctg(4⋅lnx))′. Folosim formula nr. 19 din tabelul derivatelor, substituind u=4⋅lnx în ea:

(arctg(4⋅lnx))′=11+(4⋅lnx)2⋅(4⋅lnx)′

Să simplificăm puțin expresia rezultată, ținând cont de (4⋅lnx)2=42⋅(lnx)2=16⋅ln2x.

(arctg(4⋅lnx))′=11+(4⋅lnx)2⋅(4⋅lnx)′=11+16⋅ln2x⋅(4⋅lnx)′

Egalitatea (2.2) va deveni acum:

y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′==108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅(arctg(4⋅lnx))′= 108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅11+16⋅ln2x⋅(4⋅lnx)′(2,3)

Rămâne de găsit (4⋅lnx)′. Să luăm constanta (adică 4) din semnul derivatului: (4⋅lnx)′=4⋅(lnx)′. Pentru a găsi (lnx)′ folosim formula nr. 8, substituind în ea u=x: (lnx)′=1x⋅x′. Deoarece x′=1, atunci (lnx)′=1x⋅x′=1x⋅1=1x. Înlocuind rezultatul obținut în formula (2.3), obținem:

y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′==108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅(arctg(4⋅lnx))′= 108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅11+16⋅ln2x⋅(4⋅lnx)′==108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅11+16⋅ln2x⋅=4⋅1x⋅4⋅4⋅ arctg11(4⋅lnx)x⋅(1+16⋅ln2x).

Permiteți-mi să vă reamintesc că derivata unei funcții complexe se găsește cel mai adesea într-o singură linie, așa cum este scrisă în ultima egalitate. Prin urmare, atunci când se pregătesc calcule standard sau lucrări de control, nu este deloc necesar să se descrie soluția atât de detaliat.

Răspuns: y′=432⋅arctg11(4⋅lnx)x⋅(1+16⋅ln2x).

Exemplul nr. 3

Aflați y′ al funcției y=sin3(5⋅9x)−−−−−−−−−√7.

Soluţie

Mai întâi, să transformăm puțin funcția y, exprimând radicalul (rădăcină) ca putere: y=sin3(5⋅9x)−−−−−−−−−√7=(sin(5⋅9x))37. Acum să începem să găsim derivata. Deoarece y=(sin(5⋅9x))37, atunci:

y′=((sin(5⋅9x))37)′(3.1)

Folosim formula nr. 2 din tabelul derivatelor, substituind u=sin(5⋅9x) și α=37 în ea:

((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))37−1(sin(5⋅9x))′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin (5⋅9x))′

Să continuăm egalitatea (3.1) folosind rezultatul obținut:

y′=((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin(5⋅9x))′(3.2)

Acum trebuie să găsim (sin(5⋅9x))′. Pentru aceasta folosim formula nr. 9 din tabelul derivatelor, substituind u=5⋅9x în ea:

(sin(5⋅9x))′=cos(5⋅9x)⋅(5⋅9x)′

Suplimentând egalitatea (3.2) cu rezultatul obținut, avem:

y′=((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin(5⋅9x))′==37⋅(sin(5⋅9x))− 47cos(5⋅9x)⋅(5⋅9x)′(3,3)

Tot ce rămâne este să găsiți (5⋅9x)′. Pentru început, să luăm constanta (numărul 5) din semnul derivat, adică. (5⋅9x)′=5⋅(9x)′. Pentru a găsi derivata (9x)′, aplicăm formula nr. 5 din tabelul derivatelor, substituind în ea a=9 și u=x: (9x)′=9x⋅ln9⋅x′. Deoarece x′=1, atunci (9x)′=9x⋅ln9⋅x′=9x⋅ln9. Acum putem continua egalitatea (3.3):

y′=((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin(5⋅9x))′==37⋅(sin(5⋅9x))− 47cos(5⋅9x)⋅(5⋅9x)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47cos(5⋅9x)⋅5⋅9x⋅ln9==15⋅ln97⋅(sin(5⋅9x) )−47⋅cos(5⋅9x)⋅9x.

Vă puteți întoarce din nou de la puteri la radicali (adică, rădăcini), scriind (sin(5⋅9x))−47 sub forma 1(sin(5⋅9x))47=1sin4(5⋅9x)−−−−− −−−−√7. Apoi derivata va fi scrisă sub această formă:

y′=15⋅ln97⋅(sin(5⋅9x))−47⋅cos(5⋅9x)⋅9x=15⋅ln97⋅cos(5⋅9x)⋅9xsin4(5⋅9x)−−−−−− −−−√7.

Răspuns: y′=15⋅ln97⋅cos(5⋅9x)⋅9xsin4(5⋅9x)−−−−−−−−−√7.

Exemplul nr. 4

Arătați că formulele nr. 3 și nr. 4 din tabelul derivatelor sunt un caz special al formulei nr. 2 din acest tabel.

Soluţie

Formula nr. 2 din tabelul derivatelor conține derivata funcției uα. Înlocuind α=−1 în formula nr. 2, obținem:

(u−1)′=−1⋅u−1−1⋅u′=−u−2⋅u′(4.1)

Deoarece u−1=1u și u−2=1u2, egalitatea (4.1) poate fi rescrisă astfel: (1u)′=−1u2⋅u′. Aceasta este formula nr. 3 din tabelul derivatelor.

Să revenim din nou la formula nr. 2 din tabelul derivatelor. Să substituim α=12 în el:

(u12)′=12⋅u12−1⋅u′=12u−12⋅u′(4.2)

Deoarece u12=u−−√ și u−12=1u12=1u−−√, egalitatea (4.2) poate fi rescrisă după cum urmează:

(u−−√)′=12⋅1u−−√⋅u′=12u−−√⋅u′

Egalitatea rezultată (u−−√)′=12u−−√⋅u′ este formula nr. 4 din tabelul derivatelor. După cum puteți vedea, formulele nr. 3 și nr. 4 din tabelul derivatelor sunt obținute din formula nr. 2 prin înlocuirea valorii corespunzătoare a lui α.

Exemplul nr. 5

Găsiți y′ dacă y=arcsin2x.

Soluţie

În acest exemplu, vom nota găsirea derivatei unei funcții complexe fără explicațiile detaliate care au fost date în problemele anterioare.

Răspuns: y′=2xln21−22x−−−−−−√.

Exemplul nr. 6

Găsiți y′ dacă y=7⋅lnsin3x.

Soluţie

Ca și în exemplul anterior, vom indica cum să găsiți derivata unei funcții complexe fără detalii. Este indicat să scrieți singur derivatul, doar verificând soluția de mai jos.

Răspuns: y′=21⋅ctgx.

Exemplul nr. 7

Găsiți y′ dacă y=9tg4(log5(2⋅cosx)).

Soluţie

6 Întrebare. Exemple de derivate de funcții inverse.

Derivată a funcției inverse

Formula

Proprietatea puterilor este cunoscută că

Folosind derivata unei funcții de putere: