Derivată a unei funcții. Teorie detaliată cu exemple

Foarte ușor de reținut.

Ei bine, să nu mergem departe, să luăm imediat în considerare funcția inversă. Care funcție este inversul funcției exponențiale? Logaritm:

În cazul nostru, baza este numărul:

Un astfel de logaritm (adică un logaritm cu bază) se numește „natural” și folosim o notație specială pentru el: scriem în schimb.

Cu ce ​​este egal? Desigur.

Derivata logaritmului natural este, de asemenea, foarte simplă:

Exemple:

1. Aflați derivata funcției.
2. Care este derivata functiei?

Raspunsuri: Logaritmul exponențial și natural sunt funcții unice simple dintr-o perspectivă derivată. Funcțiile exponențiale și logaritmice cu orice altă bază vor avea o derivată diferită, pe care o vom analiza mai târziu, după ce vom parcurge regulile de diferențiere.

Reguli de diferențiere

Reguli de ce? Din nou un nou termen, din nou?!...

Diferenţiere este procesul de găsire a derivatei.

Asta e tot. Ce altceva poți numi acest proces într-un singur cuvânt? Nu derivată... Matematicienii numesc diferenţialul acelaşi increment al unei funcţii la. Acest termen provine din latinescul diferentia - diferenta. Aici.

Când derivăm toate aceste reguli, vom folosi două funcții, de exemplu, și. De asemenea, vom avea nevoie de formule pentru incrementele lor:

Sunt 5 reguli în total.

Constanta este scoasă din semnul derivatului.

Dacă - un număr constant (constant), atunci.

Evident, această regulă funcționează și pentru diferența: .

Să demonstrăm. Să fie, sau mai simplu.

Exemple.

Aflați derivatele funcțiilor:

1. la un punct;
2. la un punct;
3. la un punct;
4. la punct.

Solutii:

1. (derivata este aceeași în toate punctele, deoarece aceasta funcţie liniară, îți amintești?);

Derivat al produsului

Totul este similar aici: să introducem o nouă funcție și să găsim incrementul acesteia:

Derivat:

Exemple:

1. Aflați derivatele funcțiilor și;
2. Aflați derivata funcției într-un punct.

Solutii:

Derivată a unei funcții exponențiale

Acum cunoștințele tale sunt suficiente pentru a învăța cum să găsești derivata oricărei funcții exponențiale și nu doar exponenți (ai uitat încă ce este asta?).

Deci, unde este un număr.

Știm deja derivata funcției, așa că să încercăm să aducem funcția noastră la o nouă bază:

Pentru a face acest lucru, vom folosi o regulă simplă: . Apoi:

Ei bine, a funcționat. Acum încercați să găsiți derivata și nu uitați că această funcție este complexă.

A funcționat?

Iată, verifică-te:

Formula s-a dovedit a fi foarte asemănătoare cu derivata unui exponent: așa cum a fost, rămâne aceeași, a apărut doar un factor, care este doar un număr, dar nu o variabilă.

Exemple:
Aflați derivatele funcțiilor:

Raspunsuri:

Acesta este doar un număr care nu poate fi calculat fără un calculator, adică nu poate fi scris într-o formă mai simplă. Prin urmare, îl lăsăm în această formă în răspuns.

Rețineți că aici este câtul a două funcții, așa că aplicăm regula de diferențiere corespunzătoare:

În acest exemplu, produsul a două funcții:

Derivată a unei funcții logaritmice

Este similar aici: cunoașteți deja derivata logaritmului natural:

Prin urmare, pentru a găsi un logaritm arbitrar cu o bază diferită, de exemplu:

Trebuie să reducem acest logaritm la bază. Cum schimbi baza unui logaritm? Sper să vă amintiți această formulă:

Abia acum vom scrie în schimb:

Numitorul este pur și simplu o constantă (un număr constant, fără o variabilă). Derivata se obține foarte simplu:

Derivate ale funcțiilor exponențiale și logaritmice nu se găsesc aproape niciodată în examenul de stat unificat, dar nu va fi de prisos să le cunoaștem.

Derivată a unei funcții complexe.

Ce este o „funcție complexă”? Nu, acesta nu este un logaritm și nu o arctangentă. Aceste funcții pot fi greu de înțeles (deși dacă ți se pare dificil logaritmul, citește subiectul „Logaritmi” și vei fi bine), dar din punct de vedere matematic, cuvântul „complex” nu înseamnă „dificil”.

Imaginați-vă o bandă transportoare mică: două persoane stau și fac niște acțiuni cu unele obiecte. De exemplu, primul învelește un baton de ciocolată într-un ambalaj, iar al doilea îl leagă cu o panglică. Rezultatul este un obiect compozit: un baton de ciocolată înfășurat și legat cu o panglică. Pentru a mânca un baton de ciocolată, trebuie să faceți pașii inversi în ordine inversă.

Să creăm o conductă matematică similară: mai întâi vom găsi cosinusul unui număr, apoi vom pătrat numărul rezultat. Așadar, ni se dă un număr (ciocolată), îi găsesc cosinus (înveliș), iar apoi pătrați ceea ce am primit (legați-l cu o panglică). Ce s-a întâmplat? Funcţie. Acesta este un exemplu de funcție complexă: când, pentru a-i găsi valoarea, executăm prima acțiune direct cu variabila, iar apoi o a doua acțiune cu ceea ce a rezultat din prima.

Cu alte cuvinte, o funcție complexă este o funcție al cărei argument este o altă funcție: .

Pentru exemplul nostru, .

Putem face cu ușurință aceiași pași în ordine inversă: mai întâi îl pătrați, iar apoi caut cosinusul numărului rezultat: . Este ușor de ghicit că rezultatul va fi aproape întotdeauna diferit. O caracteristică importantă a funcțiilor complexe: atunci când ordinea acțiunilor se schimbă, funcția se schimbă.

Al doilea exemplu: (același lucru). .

Acțiunea pe care o facem ultima va fi numită funcția „externă”., iar acțiunea efectuată prima - în consecință funcția „internă”.(acestea sunt nume informale, le folosesc doar pentru a explica materialul într-un limbaj simplu).

Încercați să determinați singur ce funcție este externă și care este internă:

Raspunsuri: Separarea funcțiilor interioare și exterioare este foarte asemănătoare cu schimbarea variabilelor: de exemplu, într-o funcție

1. Ce acțiune vom efectua mai întâi? Mai întâi, să calculăm sinusul și abia apoi să-l cubăm. Aceasta înseamnă că este o funcție internă, dar una externă.
   Iar funcția inițială este compoziția lor: .
2. Intern: ; extern: .
   Examinare: .
3. Intern: ; extern: .
   Examinare: .
4. Intern: ; extern: .
   Examinare: .
5. Intern: ; extern: .
   Examinare: .

Schimbăm variabilele și obținem o funcție.

Ei bine, acum ne vom extrage batonul de ciocolată și vom căuta derivatul. Procedura este întotdeauna inversată: mai întâi căutăm derivata funcției exterioare, apoi înmulțim rezultatul cu derivata funcției interioare. În raport cu exemplul original, arată astfel:

Un alt exemplu:

Deci, să formulăm în sfârșit regula oficială:

Algoritm pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:

Pare simplu, nu?

Să verificăm cu exemple:

Solutii:

1) Intern: ;

Extern: ;

2) Intern: ;

(doar nu încercați să o tăiați până acum! Nu iese nimic de sub cosinus, vă amintiți?)

3) Intern: ;

Extern: ;

Este imediat clar că aceasta este o funcție complexă pe trei niveluri: la urma urmei, aceasta este deja o funcție complexă în sine și extragem și rădăcina din ea, adică efectuăm a treia acțiune (punem ciocolata într-un ambalaj iar cu o panglică în servietă). Dar nu există niciun motiv să ne fie frică: vom „despacheta” această funcție în aceeași ordine ca de obicei: de la sfârșit.

Adică, mai întâi diferențiem rădăcina, apoi cosinusul și abia apoi expresia dintre paranteze. Și apoi înmulțim totul.

În astfel de cazuri, este convenabil să numerotați acțiunile. Adică să ne imaginăm ce știm. În ce ordine vom efectua acțiuni pentru a calcula valoarea acestei expresii? Să ne uităm la un exemplu:

Cu cât acțiunea este efectuată mai târziu, cu atât funcția corespunzătoare va fi mai „externă”. Secvența acțiunilor este aceeași ca înainte:

Aici cuibărirea este în general pe 4 niveluri. Să stabilim cursul acțiunii.

1. Exprimarea radicală. .

2. Rădăcină. .

3. Sine. .

4. Pătrat. .

5. Punând totul împreună:

DERIVAT. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

Derivată a unei funcții- raportul dintre incrementul funcției și incrementul argumentului pentru o creștere infinitezimală a argumentului:

Derivate de bază:

Reguli de diferentiere:

Constanta este scoasă din semnul derivat:

Derivată a sumei:

Derivatul produsului:

Derivată a coeficientului:

Derivata unei functii complexe:

Algoritm pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:

1. Definim funcția „internă” și găsim derivata ei.
2. Definim funcția „externă” și găsim derivata ei.
3. Înmulțim rezultatele primului și celui de-al doilea punct.

Când obținem prima formulă a tabelului, vom porni de la definiția funcției derivate într-un punct. Să luăm unde x– orice număr real, adică x– orice număr din domeniul de definire al funcției. Să notăm limita raportului dintre incrementul funcției și incrementul argumentului la:

De remarcat că sub semnul limită se obține expresia, care nu este incertitudinea zero împărțită la zero, întrucât numărătorul nu conține o valoare infinitezimală, ci exact zero. Cu alte cuvinte, incrementul unei funcții constante este întotdeauna zero.

Astfel, derivată a unei funcții constanteeste egal cu zero în întregul domeniu de definiție.

Derivată a unei funcții de putere.

Formula derivată functie de putere arata ca , unde exponentul p– orice număr real.

Să demonstrăm mai întâi formula exponentului natural, adică pentru p = 1, 2, 3, …

Vom folosi definiția derivatei. Să notăm limita raportului dintre incrementul unei funcții de putere și incrementul argumentului:

Pentru a simplifica expresia în numărător, ne întoarcem la formula binomială Newton:

Prin urmare,

Aceasta dovedește formula pentru derivata unei funcții de putere pentru un exponent natural.

Derivată a unei funcții exponențiale.

Prezentăm derivarea formulei derivate pe baza definiției:

Am ajuns la incertitudine. Pentru a o extinde, introducem o nouă variabilă, iar la . Apoi . În ultima tranziție, am folosit formula pentru trecerea la o nouă bază logaritmică.

Să înlocuim în limita inițială:

Dacă ne amintim a doua limită remarcabilă, ajungem la formula pentru derivata funcției exponențiale:

Derivată a unei funcții logaritmice.

Să demonstrăm formula pentru derivata unei funcții logaritmice pentru toate x din domeniul definiției și toate valorile valide ale bazei o logaritm Prin definiția derivatei avem:

După cum ați observat, în timpul demonstrației transformările au fost efectuate folosind proprietățile logaritmului. Egalitatea este adevărat datorită celei de-a doua limite remarcabile.

Derivate ale funcţiilor trigonometrice.

Pentru a deriva formule pentru derivate ale funcțiilor trigonometrice, va trebui să reamintim câteva formule de trigonometrie, precum și prima limită remarcabilă.

Prin definiția derivatei pentru funcția sinus avem .

Să folosim formula diferenței sinusurilor:

Rămâne să ne întoarcem la prima limită remarcabilă:

Astfel, derivata funcției sin x Există cos x.

Formula pentru derivata cosinusului este dovedită exact în același mod.

Prin urmare, derivata funcției cos x Există –sin x.

Vom obține formule pentru tabelul de derivate pentru tangentă și cotangentă folosind reguli dovedite de diferențiere (derivată a unei fracții).

Derivate ale funcțiilor hiperbolice.

Regulile de diferențiere și formula pentru derivata funcției exponențiale din tabelul derivatelor ne permit să derivăm formule pentru derivatele sinusului hiperbolic, cosinusului, tangentei și cotangentei.

Derivată a funcției inverse.

Pentru a evita confuzia în timpul prezentării, să notăm în indice argumentul funcției prin care se realizează diferențierea, adică este derivata funcției f(x) De x.

Acum să formulăm regula pentru aflarea derivatei unei functii inverse.

Lasă funcțiile y = f(x)Şi x = g(y) reciproc invers, definite pe intervale și respectiv. Dacă într-un punct există o derivată finită nenulă a funcției f(x), atunci în punct există o derivată finită a funcției inverse g(y), și . Într-o altă postare .

Această regulă poate fi reformulată pentru orice x din intervalul , atunci obținem .

Să verificăm validitatea acestor formule.

Să găsim funcția inversă pentru logaritmul natural (Aici y este o funcție și x- argument). După ce am rezolvat această ecuație pt x, primim (aici x este o funcție și y– argumentul ei). adica și funcții reciproc inverse.

Din tabelul derivatelor vedem că Şi .

Să ne asigurăm că formulele pentru găsirea derivatelor funcției inverse ne conduc la aceleași rezultate:

După cum puteți vedea, am obținut aceleași rezultate ca și în tabelul cu derivate.

Acum avem cunoștințele pentru a demonstra formule pentru derivatele funcțiilor trigonometrice inverse.

Să începem cu derivata arcsinusului.

. Apoi, folosind formula pentru derivata funcției inverse, obținem

Tot ce rămâne este să efectuăm transformările.

Deoarece intervalul arcsinus este intervalul , Asta (vezi secțiunea privind funcțiile elementare de bază, proprietățile și graficele acestora). Prin urmare, nu luăm în considerare.

Prin urmare, . Domeniul de definire al derivatei arcsinus este intervalul (-1; 1) .

Pentru arc cosinus, totul se face exact în același mod:

Să găsim derivata arctangentei.

Pentru funcția inversă este .

Să exprimăm arctangenta în termeni de arccosinus pentru a simplifica expresia rezultată.

Lasă arctgx = z, Atunci

Prin urmare,

Derivata cotangentei arcului se găsește într-un mod similar:

Derivarea formulei pentru derivata unei funcții putere (x la puterea lui a). Sunt considerate derivate din rădăcinile lui x. Formula pentru derivata unei funcții de putere de ordin superior. Exemple de calculare a derivatelor.

Conţinut

Vezi și: Funcția de putere și rădăcini, formule și grafic
Grafice ale funcției de putere

Formule de bază

Derivata lui x la puterea lui a este egală cu a ori x puterea unui minus unu:
(1) .

Derivata rădăcinii a n-a a lui x la a-a putere este:
(2) .

Derivarea formulei pentru derivata unei funcții de putere

Cazul x > 0

Să considerăm o funcție de putere a variabilei x cu exponent a:
(3) .
Aici a este arbitrar număr real. Să luăm în considerare mai întâi cazul.

Pentru a găsi derivata funcției (3), folosim proprietățile unei funcții de putere și o transformăm în următoarea formă:
.

Acum găsim derivata folosind:
;
.
Aici .

Formula (1) a fost dovedită.

Derivarea formulei pentru derivata unei rădăcini de gradul n a lui x la gradul de m

Acum luați în considerare o funcție care este rădăcina următoarei forme:
(4) .

Pentru a găsi derivata, transformăm rădăcina într-o funcție de putere:
.
Comparând cu formula (3) vedem că
.
Apoi
.

Folosind formula (1) găsim derivata:
(1) ;
;
(2) .

În practică, nu este nevoie să memorați formula (2). Este mult mai convenabil să transformați mai întâi rădăcinile în funcții de putere și apoi să găsiți derivatele lor folosind formula (1) (vezi exemplele de la sfârșitul paginii).

Cazul x = 0

Dacă , atunci funcția de putere este definită pentru valoarea variabilei x = 0 . 0 Să găsim derivata funcției (3) la x =
.

. 0 :
.
Pentru a face acest lucru, folosim definiția unei derivate:

Să înlocuim x =
.
În acest caz, prin derivată înțelegem limita din dreapta pentru care .
Deci am gasit:
Deci am gasit:
Din aceasta rezultă clar că pentru , .
(1) .
La , . 0 .

Acest rezultat se obține și din formula (1):< 0

Prin urmare, formula (1) este valabilă și pentru x =
(3) .
Cazul x Luați în considerare din nou funcția (3): Pentru anumite valori ale constantei a, este definită și pentru valori negative ale variabilei x.
,
Și anume, să fie

număr rațional 3 . Apoi poate fi reprezentat ca o fracție ireductibilă: 1 unde m și n sunt numere întregi care nu au un divizor comun.
.
Dacă n este impar, atunci funcția de putere este definită și pentru valorile negative ale variabilei x.

Să găsim derivata funcției de putere (3) pentru și pentru valorile raționale ale constantei a pentru care este definită. Pentru a face acest lucru, să reprezentăm x în următoarea formă:
.
Apoi,
.
Găsim derivata plasând constanta în afara semnului derivatei și aplicând regula de diferențiere a unei funcții complexe:

.
Aici . Dar
.
De atunci
.
Apoi
.
Adică, formula (1) este valabilă și pentru:
(1) .

Derivate de ordin superior

Acum să găsim derivate de ordin superior ale funcției de putere
(3) .
Am găsit deja derivata de ordinul întâi:
.

Luând constanta a în afara semnului derivatei, găsim derivata de ordinul doi:
.
În mod similar, găsim derivate de ordinul al treilea și al patrulea:
;

.

Din aceasta este clar că derivată de ordin al n-lea arbitrar are următoarea formă:
.

Rețineți că dacă a este un număr natural, atunci derivata a n-a este constantă:
.
Atunci toate derivatele ulterioare sunt egale cu zero:
,
la .

Exemple de calculare a derivatelor

Exemplu

Aflați derivata funcției:
.

Să convertim rădăcinile în puteri:
;
.
Atunci funcția originală ia forma:
.

Găsirea derivatelor puterilor:
;
.
Derivata constantei este zero:
.

Cu acest videoclip încep o serie lungă de lecții despre derivate. Această lecție constă din mai multe părți.

În primul rând, vă voi spune ce sunt derivatele și cum să le calculez, dar nu într-un limbaj academic sofisticat, ci felul în care le înțeleg eu însumi și cum le explic studenților mei. În al doilea rând, vom avea în vedere cea mai simplă regulă de rezolvare a problemelor în care vom căuta derivate ale sumelor, derivate ale diferențelor și derivate ale unei funcții de putere.

Vom analiza exemple combinate mai complexe, din care veți afla, în special, că probleme similare care implică rădăcini și chiar fracții pot fi rezolvate folosind formula pentru derivata unei funcții de putere. În plus, desigur, vor exista multe probleme și exemple de soluții cu niveluri foarte diferite de complexitate.

În general, inițial urma să înregistrez un videoclip scurt de 5 minute, dar puteți vedea cum a ieșit. Deci destule versuri - să trecem la treabă.

Ce este un derivat?

Deci, să începem de departe. Cu mulți ani în urmă, când copacii erau mai verzi și viața era mai distractivă, matematicienii s-au gândit la asta: luați în considerare funcție simplă, dat de graficul său, să-l numim $y=f\left(x \right)$. Desigur, graficul nu există singur, așa că trebuie să desenați axele $x$ precum și axa $y$. Acum să alegem orice punct din acest grafic, absolut orice. Să numim abscisa $((x)_(1))$, ordonata, după cum ați putea ghici, va fi $f\left(((x)_(1)) \right)$.

Să ne uităm la un alt punct din același grafic. Nu contează care dintre ele, principalul lucru este că diferă de cel original. Are, din nou, o abscisă, să o numim $((x)_(2))$ și, de asemenea, o ordonată - $f\left(((x)_(2)) \right)$.

Deci, avem două puncte: au abscise diferite și, prin urmare, sensuri diferite funcții, deși acesta din urmă este opțional. Dar ceea ce este cu adevărat important este că știm din cursul de planimetrie: prin două puncte se poate trasa o linie dreaptă și, în plus, doar una. Deci haideți să o ducem la îndeplinire.

Acum să tragem o linie dreaptă prin primul dintre ele, paralel cu axa abscisă. Primim triunghi dreptunghic. Să-i spunem $ABC$, unghi drept $C$. Acest triunghi are unul foarte proprietate interesantă: adevărul este că unghiul $\alpha $ este, de fapt, egal cu unghiul, sub care dreapta $AB$ se intersectează cu continuarea axei absciselor. Judecă singur:

1. linia dreaptă $AC$ este paralelă cu axa $Ox$ prin construcție,
2. linia $AB$ intersectează $AC$ sub $\alpha $,
3. prin urmare, $AB$ intersectează $Ox$ sub același $\alpha $.

Ce putem spune despre $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$? Nimic specific, cu excepția faptului că în triunghiul $ABC$ raportul dintre catetul $BC$ și catetul $AC$ este egal cu tangenta acestui unghi. Deci hai sa o scriem:

Desigur, $AC$ în acest caz este ușor de calculat:

La fel pentru $BC$:

Cu alte cuvinte, putem scrie următoarele:

\[\operatorname(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )=\frac(f\left(((x)_(2)) \right)-f\left( ((x)_(1)) \dreapta))(((x)_(2))-((x)_(1)))\]

Acum că am scos toate astea din drum, să ne întoarcem la diagrama noastră și să ne uităm la noul punct $B$. Să ștergem vechile valori și să luăm $B$ undeva mai aproape de $((x)_(1))$. Să notăm din nou abscisa cu $((x)_(2))$ și ordonata cu $f\left(((x)_(2)) \right)$.

Să ne uităm din nou la micul nostru triunghi $ABC$ și $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$ în interiorul acestuia. Este destul de evident că acesta va fi un unghi complet diferit, tangenta va fi și ea diferită deoarece lungimile segmentelor $AC$ și $BC$ s-au schimbat semnificativ, dar formula pentru tangentei unghiului nu s-a schimbat deloc - aceasta este încă relația dintre o schimbare a funcției și o schimbare a argumentului .

În cele din urmă, continuăm să ne apropiem $B$ de punctul original $A$, ca urmare triunghiul va deveni și mai mic, iar linia dreaptă care conține segmentul $AB$ va arăta din ce în ce mai mult ca o tangentă la graficul lui funcția.

Ca rezultat, dacă continuăm să aducem punctele mai aproape, adică să reducem distanța la zero, atunci linia dreaptă $AB$ se va transforma într-adevăr într-o tangentă la grafic într-un punct dat și $\text( )\ !\!\alpha\!\ !\text( )$ se va transforma dintr-un element triunghi regulat în unghiul dintre tangenta la grafic și direcția pozitivă a axei $Ox$.

Și aici trecem ușor la definiția lui $f$, și anume, derivata unei funcții în punctul $((x)_(1))$ este tangentea unghiului $\alpha $ dintre tangenta la grafic în punctul $((x)_( 1))$ și direcția pozitivă a axei $Ox$:

\[(f)"\left(((x)_(1)) \right)=\operatorname(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )\]

Revenind la graficul nostru, trebuie remarcat că orice punct din grafic poate fi ales ca $((x)_(1))$. De exemplu, cu același succes am putea elimina cursa în punctul prezentat în figură.

Să numim unghiul dintre tangentă și direcția pozitivă a axei $\beta$. În consecință, $f$ în $((x)_(2))$ va fi egal cu tangentei acestui unghi $\beta $.

\[(f)"\left(((x)_(2)) \right)=tg\text( )\!\!\beta\!\!\text( )\]

Fiecare punct din grafic va avea propria sa tangentă și, prin urmare, propria sa valoare a funcției. În fiecare dintre aceste cazuri, pe lângă punctul în care căutăm derivata unei difere sau a unei sume, sau derivata unei funcții de putere, este necesar să luăm un alt punct situat la o oarecare distanță de acesta și apoi să direcționăm acest punct la cel original și, desigur, aflați cum în acest proces o astfel de mișcare va schimba tangenta unghiului de înclinare.

Derivată a unei funcții de putere

Din păcate, o astfel de definiție nu ne convine deloc. Toate aceste formule, imagini, unghiuri nu ne dau nici cea mai mică idee despre cum să calculăm derivata reală în probleme reale. Prin urmare, să ne abatem puțin de la definiția formală și să luăm în considerare formule și tehnici mai eficiente cu care puteți rezolva deja probleme reale.

Să începem cu cele mai simple construcții, și anume, funcții de forma $y=((x)^(n))$, adică. funcții de putere. În acest caz, putem scrie următoarele: $(y)"=n\cdot ((x)^(n-1))$. Cu alte cuvinte, gradul care a fost în exponent este afișat în multiplicatorul frontal, iar exponentul în sine este redus cu unitate.

\[\begin(align)& y=((x)^(2)) \\& (y)"=2\cdot ((x)^(2-1))=2x \\\end(align) \]

Iată o altă opțiune:

\[\begin(align)& y=((x)^(1)) \\& (y)"=((\left(x \right))^(\prime ))=1\cdot ((x )^(0))=1\cdot 1=1 \\& ((\left(x \right))^(\prime ))=1 \\\end(align)\]

Folosind acestea reguli simple, să încercăm să eliminăm cursul din următoarele exemple:

Deci obținem:

\[((\left(((x)^(6)) \right))^(\prime ))=6\cdot ((x)^(5))=6((x)^(5)) \]

Acum să rezolvăm a doua expresie:

\[\begin(align)& f\left(x \right)=((x)^(100)) \\& ((\left(((x)^(100)) \right))^(\ prim ))=100\cdot ((x)^(99))=100((x)^(99)) \\\end(align)\]

Desigur, acestea au fost foarte sarcini simple. Cu toate acestea, problemele reale sunt mai complexe și nu se limitează doar la grade de funcționare.

Deci, regula nr. 1 - dacă o funcție este prezentată sub forma celorlalte două, atunci derivata acestei sume este egală cu suma derivatelor:

\[((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"\]

În mod similar, derivata diferenței a două funcții este egală cu diferența derivatelor:

\[((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"\]

\[((\left(((x)^(2))+x \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ prim ))+((\left(x \right))^(\prime ))=2x+1\]

În plus, mai este unul regula importanta: dacă un $f$ este precedat de o constantă $c$, cu care această funcție este înmulțită, atunci $f$ din întreaga construcție se calculează după cum urmează:

\[((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"\]

\[((\left(3((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((\left(((x)^(3)) \right))^(\ prim ))=3\cdot 3((x)^(2))=9((x)^(2))\]

În sfârșit, încă o regulă foarte importantă: în probleme există adesea un termen separat care nu conține deloc $x$. De exemplu, putem observa acest lucru în expresiile noastre de astăzi. Derivata unei constante, adică a unui număr care nu depinde în niciun fel de $x$, este întotdeauna egală cu zero și nu contează deloc cu ce este egală constanta $c$:

\[((\left(c \right))^(\prime ))=0\]

Exemplu de solutie:

\[((\left(1001 \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(1000) \right))^(\prime ))=0\]

Puncte cheie din nou:

1. Derivata sumei a doua functii este intotdeauna egala cu suma derivatelor: $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$;
2. Din motive similare, derivata diferenței a două funcții este egală cu diferența a două derivate: $((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$;
3. Dacă o funcție are un factor constant, atunci această constantă poate fi luată ca semn derivat: $((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"$;
4. Dacă întreaga funcție este o constantă, atunci derivata ei este întotdeauna zero: $((\left(c \right))^(\prime ))=0$.

Să vedem cum funcționează totul cu exemple reale. Aşa:

Scriem:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(5))-3((x)^(2))+7 \right))^(\prime ))=((\left (((x)^(5)) \right))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))+(7) „= \\& =5((x)^(4))-3((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))+0=5((x) ^(4))-6x \\\end(align)\]

În acest exemplu vedem atât derivata sumei, cât și derivata diferenței. În total, derivata este egală cu $5((x)^(4))-6x$.

Să trecem la a doua funcție:

Să notăm soluția:

\[\begin(align)& ((\left(3((x)^(2))-2x+2 \right))^(\prime ))=((\left(3((x)^() 2)) \right))^(\prime ))-((\left(2x \right))^(\prime ))+(2)"= \\& =3((\left(((x)) ^(2)) \right))^(\prime ))-2(x)"+0=3\cdot 2x-2\cdot 1=6x-2 \\\end(align)\]

Aici am găsit răspunsul.

Să trecem la a treia funcție - este mai gravă:

\[\begin(align)& ((\left(2((x)^(3))-3((x)^(2))+\frac(1)(2)x-5 \right)) ^(\prime ))=((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \right ))^(\prime ))+((\left(\frac(1)(2)x \right))^(\prime ))-(5)"= \\& =2((\left(( (x)^(3)) \right))^(\prime ))-3((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))+\frac(1) (2)\cdot (x)"=2\cdot 3((x)^(2))-3\cdot 2x+\frac(1)(2)\cdot 1=6((x)^(2)) -6x+\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Am găsit răspunsul.

Să trecem la ultima expresie- cel mai dificil și cel mai lung:

Deci, luăm în considerare:

\[\begin(align)& ((\left(6((x)^(7))-14((x)^(3))+4x+5 \right))^(\prime ))=( (\left(6((x)^(7)) \right))^(\prime ))-((\left(14((x)^(3)) \right))^(\prime )) +((\left(4x \right))^(\prime ))+(5)"= \\& =6\cdot 7\cdot ((x)^(6))-14\cdot 3((x )^(2))+4\cdot 1+0=42((x)^(6))-42((x)^(2))+4 \\\end(align)\]

Dar soluția nu se termină aici, pentru că ni se cere nu doar să eliminăm un stroke, ci să-i calculăm valoarea într-un anumit punct, așa că înlocuim −1 în loc de $x$ în expresia:

\[(y)"\left(-1 \right)=42\cdot 1-42\cdot 1+4=4\]

Să mergem mai departe și să trecem la exemple și mai complexe și mai interesante. Cert este că formula pentru rezolvarea derivatei puterii $((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1) )$ are un domeniu de aplicare chiar mai larg decât se crede de obicei. Cu ajutorul lui, puteți rezolva exemple cu fracții, rădăcini etc. Asta vom face acum.

Pentru început, să scriem din nou formula care ne va ajuta să găsim derivata unei funcții de putere:

Și acum atenție: până acum am considerat doar $n$ numere naturale, însă, nimic nu ne împiedică să luăm în considerare fracțiile și chiar numerele negative. De exemplu, putem scrie următoarele:

\[\begin(align)& \sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\ prim ))=((\left(((x)^(\frac(1)(2))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2)\cdot ((x) ^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(x))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\\end(align)\]

Nimic complicat, așa că să vedem cum ne va ajuta această formulă atunci când rezolvăm probleme mai complexe. Deci, un exemplu:

Să notăm soluția:

\[\begin(align)& \left(\sqrt(x)+\sqrt(x)+\sqrt(x) \right)=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime )) \\& ((\ stânga(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^( \prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot ((x )^(-\frac(2)(3)))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)^(2)))) \\& (( \left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(4))) \right))^(\prime )) =\frac(1)(4)((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1)(4)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x) ^(3)))) \\\end(align)\]

Să ne întoarcem la exemplul nostru și să scriem:

\[(y)"=\frac(1)(2\sqrt(x))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^(2))))+\frac(1)(4 \sqrt(((x)^(3))))\]

Aceasta este o decizie atât de dificilă.

Să trecem la al doilea exemplu - există doar doi termeni, dar fiecare dintre ei conține atât un grad clasic, cât și rădăcini.

Acum vom învăța cum să găsim derivata unei funcții de putere, care, în plus, conține rădăcina:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\sqrt(((x)^(2)))+((x)^(7))\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(3))\cdot \sqrt(((x)^(2))) \right))^(\prime )) =((\left(((x)^(3))\cdot ((x)^(\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))= \\& =(( \left(((x)^(3+\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(11)(3) ))) \right))^(\prime ))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(\frac(8)(3)))=\frac(11)(3)\ cdot ((x)^(2\frac(2)(3)))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2) ))) \\& ((\left(((x)^(7))\cdot \sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7) ))\cdot ((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7\frac(1)(3) ))) \right))^(\prime ))=7\frac(1)(3)\cdot ((x)^(6\frac(1)(3)))=\frac(22)(3 )\cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x) \\\end(align)\]

Ambii termeni au fost calculati, nu mai ramane decat sa scrieti raspunsul final:

\[(y)"=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2)))+\frac(22)(3) \cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x)\]

Am găsit răspunsul.

Derivată a unei fracții printr-o funcție de putere

Dar posibilitățile formulei de rezolvare a derivatei unei funcții de putere nu se termină aici. Faptul este că, cu ajutorul său, puteți calcula nu numai exemple cu rădăcini, ci și cu fracții. Aceasta este tocmai o oportunitate rară care simplifică foarte mult soluția unor astfel de exemple, dar este adesea ignorată nu numai de elevi, ci și de profesori.

Deci, acum vom încerca să combinăm două formule deodată. Pe de o parte, derivata clasică a unei funcții de putere

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Pe de altă parte, știm că o expresie de forma $\frac(1)(((x)^(n)))$ poate fi reprezentată ca $((x)^(-n))$. Prin urmare,

\[\left(\frac(1)(((x)^(n))) \right)"=((\left(((x)^(-n)) \right))^(\prime ) )=-n\cdot ((x)^(-n-1))=-\frac(n)(((x)^(n+1)))\]

\[((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=\left(((x)^(-1)) \right)=-1\cdot ((x) )^(-2))=-\frac(1)(((x)^(2)))\]

Astfel, derivatele fracțiilor simple, unde numărătorul este o constantă și numitorul este un grad, se calculează și ele folosind formula clasică. Să vedem cum funcționează acest lucru în practică.

Deci prima functie:

\[((\left(\frac(1)(((x)^(2))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(-2)) \ dreapta))^(\prime ))=-2\cdot ((x)^(-3))=-\frac(2)(((x)^(3)))\]

Primul exemplu este rezolvat, să trecem la al doilea:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4)))-\frac(2)(3((x)^(3)))+\ frac(5)(2)((x)^(2))+2((x)^(3))-3((x)^(4)) \right))^(\prime ))= \ \& =((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^(\prime ))-((\left(\frac(2)(3(() x)^(3))) \right))^(\prime ))+((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left( 3((x)^(4)) \right))^(\prime )) \\& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^ (\prime ))=\frac(7)(4)((\left(\frac(1)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=\frac(7 )(4)\cdot ((\left(((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=\frac(7)(4)\cdot \left(-4 \right) \cdot ((x)^(-5))=\frac(-7)(((x)^(5))) \\& ((\left(\frac(2)(3((x))) (3))) \right))^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \right) )^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(((x)^(-3)) \right))^(\prime ))=\frac(2)( 3)\cdot \left(-3 \right)\cdot ((x)^(-4))=\frac(-2)(((x)^(4))) \\& ((\left( \frac(5)(2)((x)^(2)) \right))^(\prime ))=\frac(5)(2)\cdot 2x=5x \\& ((\left(2) ((x)^(3)) \right))^(\prime ))=2\cdot 3((x)^(2))=6((x)^(2)) \\& ((\ stânga(3((x)^(4)) \right))^(\prime ))=3\cdot 4((x)^(3))=12((x)^(3)) \\\ sfârşitul (alinierea)\]...

Acum colectăm toți acești termeni într-o singură formulă:

\[(y)"=-\frac(7)(((x)^(5)))+\frac(2)(((x)^(4)))+5x+6((x)^ (2))-12((x)^(3))\]

Am primit un răspuns.

Cu toate acestea, înainte de a trece mai departe, aș dori să vă atrag atenția asupra formei de scriere a expresiilor originale în sine: în prima expresie am scris $f\left(x \right)=...$, în a doua: $y =...$ Mulți studenți se pierd când văd diferite forme de înregistrare. Care este diferența dintre $f\left(x \right)$ și $y$? Nimic cu adevărat. Sunt doar intrări diferite cu același sens. Doar că atunci când spunem $f\left(x \right)$, vorbim, în primul rând, despre o funcție, iar când vorbim despre $y$, cel mai adesea ne referim la graficul unei funcții. În caz contrar, acesta este același lucru, adică derivata în ambele cazuri este considerată aceeași.

Probleme complexe cu derivate

În concluzie, aș dori să iau în considerare câteva probleme complexe combinate care folosesc tot ceea ce am luat în considerare astăzi. Ele conțin rădăcini, fracții și sume. Cu toate acestea, aceste exemple vor fi complexe numai în cadrul lecției video de astăzi, pentru că într-adevăr funcții complexe derivatele vă vor aștepta înainte.

Deci, partea finală a lecției video de astăzi, constând din două sarcini combinate. Să începem cu primul dintre ele:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))-\frac(1)(((x)^(3)))+\sqrt(x) \right))^ (\prime ))=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left(\frac(1)(((x)^(3)) )) \right))^(\prime ))+\left(\sqrt(x) \right) \\& ((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ) )=3((x)^(2)) \\& ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \right))^(\prime ))=((\ stânga(((x)^(-3)) \right))^(\prime ))=-3\cdot ((x)^(-4))=-\frac(3)(((x)^ (4))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(((x)^(\frac(2)(3))))=\frac(1) (3\sqrt(((x)^(2)))) \\\end(align)\]

Derivata functiei este:

\[(y)"=3((x)^(2))-\frac(3)(((x)^(4)))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^ (2))))\]

Primul exemplu este rezolvat. Să luăm în considerare a doua problemă:

În al doilea exemplu procedăm în mod similar:

\[((\left(-\frac(2)(((x)^(4)))+\sqrt(x)+\frac(4)(x\sqrt(((x)^(3)) )) \right))^(\prime ))=((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))+((\left (\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^ (\prime ))\]

Să numărăm fiecare termen separat:

\[\begin(align)& ((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=-2\cdot ((\left( ((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=-2\cdot \left(-4 \right)\cdot ((x)^(-5))=\frac(8 )(((x)^(5))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac( 1)(4))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(4)\cdot ((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1 )(4\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3)))) \\& ((\ stânga(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(x\cdot) ((x)^(\frac(3)(4)))) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(((x)^(1\frac(3)) )(4)))) \right))^(\prime ))=4\cdot ((\left(((x)^(-1\frac(3)(4))) \right))^( \prime ))= \\& =4\cdot \left(-1\frac(3)(4) \right)\cdot ((x)^(-2\frac(3)(4)))=4 \cdot \left(-\frac(7)(4) \right)\cdot \frac(1)(((x)^(2\frac(3)(4))))=\frac(-7) (((x)^(2))\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=-\frac(7)(((x)^(2))\cdot \sqrt (((x)^(3)))) \\\end(align)\]

Toți termenii au fost calculati. Acum revenim la formula originală și adunăm toți cei trei termeni împreună. Observăm că răspunsul final va fi astfel:

\[(y)"=\frac(8)(((x)^(5)))+\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3))))-\frac(7 )(((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(3))))\]

Și asta-i tot. Aceasta a fost prima noastră lecție. În lecțiile următoare ne vom uita la construcții mai complexe și, de asemenea, vom afla de ce sunt necesare derivate în primul rând.

Demonstrarea și derivarea formulelor pentru derivata exponențialului (e la puterea x) și a funcției exponențiale (a la puterea x). Exemple de calculare a derivatelor lui e^2x, e^3x și e^nx. Formule pentru derivate de ordin superior.

Conţinut

Vezi și: Funcție exponențială - proprietăți, formule, grafic
Exponent, e la puterea x - proprietăți, formule, grafic

Formule de bază

Derivata unui exponent este egală cu exponentul însuși (derivata lui e la puterea x este egală cu e la puterea x):
(1) (e x )′ = e x.

Derivata unei functii exponentiale cu baza a este egala cu functia insasi inmultita cu logaritmul natural al lui a:
(2) .

O exponențială este o funcție exponențială a cărei bază de putere este egală cu numărul e, care este următoarea limită:
.
Aici poate fi fie un număr natural, fie un număr real. În continuare, derivăm formula (1) pentru derivata exponențialului.

Derivarea formulei derivate exponenţiale

Luați în considerare exponențialul, e la puterea x:
y = e x .
Această funcție este definită pentru toată lumea.
(3) .

Să găsim derivata ei în raport cu variabila x.
Prin definiție, derivata este următoarea limită: Să transformăm această expresie pentru a o reduce la proprietăți și reguli matematice cunoscute. Pentru a face acest lucru avem nevoie de următoarele fapte:
(4) ;
O) Proprietatea exponentului:
(5) ;
B) Continuitatea logaritmului și proprietatea limitelor pentru o funcție continuă:
(6) .
Iată o funcție care are o limită și această limită este pozitivă.
G) Semnificația celei de-a doua limite remarcabile:
(7) .

Să aplicăm aceste fapte la limita noastră (3). Folosim proprietatea (4):
;
.

Să facem o înlocuire.
Apoi ; .
.
Datorită continuităţii exponenţialului,
.

Prin urmare, când , .
.

Ca rezultat obținem:
Să facem o înlocuire.
.

Apoi . La , . Și avem:
.
Să aplicăm proprietatea logaritmului (5): . Apoi
.

Să aplicăm proprietatea (6). Deoarece există o limită pozitivă și logaritmul este continuu, atunci:

Aici l-am folosit și pe al doilea

limită remarcabilă
(8)
(7). Apoi

Astfel, am obţinut formula (1) pentru derivata exponenţialului.
;
.
Derivarea formulei pentru derivata unei funcții exponențiale
.

Acum derivăm formula (2) pentru derivata funcției exponențiale cu o bază de gradul a.

Noi credem că și .
(14) .
(1) .

Apoi funcția exponențială
;
.

Definit pentru toată lumea.
.

Să transformăm formula (8). Pentru a face acest lucru, vom folosi proprietățile funcției exponențiale și ale logaritmului.

Deci, am transformat formula (8) în următoarea formă:
.
Derivate de ordin superior ale lui e la puterea x
(15) .

Acum să găsim derivate de ordin superior. Să ne uităm mai întâi la exponent:
;
.

Vedem că derivata funcției (14) este egală cu funcția (14) însăși. Diferențiând (1), obținem derivate de ordinul doi și trei:
.

Aceasta arată că derivata de ordinul n-lea este, de asemenea, egală cu funcția originală: