Proiecția de profil a punctului a. Proiecții ale unui punct pe trei planuri de proiecție

Pentru a construi imagini ale unui număr de părți, trebuie să puteți găsi proiecțiile punctelor individuale. De exemplu, este dificil să se deseneze o vedere de sus a piesei prezentate în Fig. 139, fără a construi proiecții orizontale ale punctelor A, B, C, D, E, F etc.

Problema găsirii proiecțiilor punctelor pe rând, date pe suprafața unui obiect, se rezolvă după cum urmează. În primul rând, se găsesc proiecțiile suprafeței pe care se află punctul. Apoi, prin trasarea unei linii de legătură la proiecție, unde suprafața este reprezentată printr-o linie, se găsește a doua proiecție a punctului. A treia proiecție se află la intersecția liniilor de comunicație.

Să ne uităm la un exemplu.

Sunt date trei proiecții ale piesei (Fig. 140, a). Este dată o proiecție orizontală a a punctului A aflat pe suprafața vizibilă. Trebuie să găsim proiecțiile rămase ale acestui punct.

În primul rând, trebuie să desenați o linie dreaptă auxiliară. Dacă sunt date două vederi, atunci locația liniei auxiliare în desen este aleasă în mod arbitrar, în dreapta vederii de sus, astfel încât vederea din stânga să fie la distanța necesară față de vederea principală (Fig. 141).

Dacă au fost deja construite trei vederi (Fig. 142, a), atunci locația liniei auxiliare nu poate fi aleasă în mod arbitrar; trebuie să găsiți punctul prin care va trece. Pentru a face acest lucru, este suficient să continuați proiecțiile orizontale și de profil ale axei de simetrie până când acestea se intersectează și prin punctul rezultat k (Fig. 142, b) trageți un segment de dreaptă la un unghi de 45°, care va fi linia dreaptă auxiliară.

Dacă nu există axe de simetrie, atunci proiecțiile orizontale și de profil ale oricărei fețe, proiectate sub formă de segmente drepte, se continuă până se intersectează în punctul k 1 (Fig. 142, b).

După ce au tras o linie auxiliară, încep să construiască proiecții ale punctului (vezi Fig. 140, b).

Proeminențele frontale a" și profil a" ale punctului A trebuie să fie situate pe proiecțiile corespunzătoare ale suprafeței căreia îi aparține punctul A. Aceste proiecții se găsesc. În fig. 140, b sunt evidențiate color. Desenați linii de comunicare așa cum este indicat de săgeți. La intersecțiile liniilor de comunicație cu proiecțiile de suprafață sunt situate proiecțiile dorite a" și a".

Construcția proiecțiilor punctelor B, C, D este prezentată în Fig. 140, în linii de comunicație cu săgeți. Proiectiile de puncte date sunt colorate. Liniile de conectare sunt trasate la proiecția pe care suprafața este reprezentată ca o linie, și nu ca o figură. Prin urmare, găsiți mai întâi proiecția frontală din punctul C. Proiecția profilului din punctul C este determinată de intersecția liniilor de comunicație.

Dacă suprafața nu este reprezentată printr-o linie pe nicio proiecție, atunci trebuie utilizat un plan auxiliar pentru a construi proiecții de puncte. De exemplu, având în vedere o proiecție frontală d a punctului A situat pe suprafața unui con (Fig. 143, a). Un plan auxiliar este trasat prin punctul paralel cu baza, care va intersecta conul într-un cerc; proiecția sa frontală este un segment drept, iar proiecția sa orizontală este un cerc cu diametrul egal cu lungimea acestui segment (Fig. 143, b). Prin trasarea unei linii de legătură cu acest cerc din punctul a, se obține o proiecție orizontală a punctului A.

Proiecția de profil a" a punctului A se găsește în mod obișnuit la intersecția liniilor de comunicație.

Folosind aceeași tehnică, puteți găsi proiecțiile unui punct situat, de exemplu, pe suprafața unei piramide sau a unei mingi. Când o piramidă este intersectată de un plan paralel cu baza și care trece printr-un punct dat, se formează o figură asemănătoare bazei. Pe proiecțiile acestei figuri se află proiecțiile unui punct dat.

Răspunde la întrebările

1. În ce unghi este trasată linia dreaptă auxiliară?

2. Unde desenați linia dreaptă auxiliară dacă sunt oferite vederi frontale și de sus, dar trebuie să construiți o vedere în stânga?

3. Cum se determină locația unei linii auxiliare dacă există trei tipuri?

4. Care este metoda de construire a proiecțiilor unui punct pe baza unui punct dat, dacă una dintre suprafețele unui obiect este reprezentată printr-o dreaptă?

5. Pentru ce corpuri geometrice și în ce cazuri se găsesc proiecțiile unui punct date pe suprafața lor folosind un plan auxiliar?

Misiuni pentru § 20

Exercițiul 68

Scrie la registrul de lucru, ce proiecții ale punctelor indicate prin cifre pe vederi corespund punctelor indicate pe imaginea vizuală prin litere în exemplul indicat ție de profesor (Fig. 144, a-d).

Exercițiul 69

În fig. 145, literele a-b indicat printr-o singură proiecție a unora dintre vârfuri. În exemplul oferit de profesor, găsiți proiecțiile rămase ale acestor vârfuri și etichetați-le cu litere. Într-unul dintre exemple, construiți proiecțiile lipsă ale punctelor specificate pe marginile obiectului (Fig. 145, d și e). Evidențiați în culoare proiecțiile marginilor pe care se află punctele Finalizați sarcina pe hârtie transparentă, așezând-o pe pagina de manual Nu este nevoie să redesenați Fig. 145.

Exercițiul 70

Găsiți proiecțiile lipsă ale punctelor definite de o proiecție pe suprafețele vizibile ale obiectului (Fig. 146). Etichetați-le cu litere. Evidențiați proiecțiile date ale punctelor în culoare. O imagine vizuală vă va ajuta să rezolvați problema. Sarcina poate fi finalizată fie într-un registru de lucru, fie pe hârtie transparentă, suprapunând-o pe o pagină de manual. În acest din urmă caz, redesenați figura. 146 nu este necesar.

Exercițiul 71

În exemplul oferit de profesorul dumneavoastră, redesenați cele trei vederi (Fig. 147). Construiți proiecțiile lipsă ale punctelor specificate pe suprafețele vizibile ale obiectului. Evidențiați proiecțiile date ale punctelor în culoare. Etichetați toate proiecțiile punctelor cu litere. Pentru a construi proiecții de puncte, utilizați o dreaptă auxiliară. Completați un desen tehnic și marcați punctele specificate pe el.

Obiective:

• Studierea regulilor de construire a proiecțiilor punctelor pe suprafața unui obiect și citirea desenelor.
• Dezvoltați gândirea spațială și abilitățile analitice formă geometrică subiect.
• Să cultive diligența, capacitatea de a coopera atunci când se lucrează în grupuri și interesul pentru subiect.

PROGRESUL LECȚIEI

ETAPA I. MOTIVAREA ACTIVITĂȚILOR DE ÎNVĂȚARE.

ETAPA II. FORMAREA DE CUNOAȘTERE, ABILITĂȚI ȘI ABILITĂȚI.

PAUZĂ DE SALVARE A SĂNĂTĂŢII. REFLECȚIE (DISPOARE)

ETAPA III. MUNCĂ INDIVIDUALĂ.

ETAPA I. MOTIVAREA ACTIVITĂȚILOR DE ÎNVĂȚARE

1) Profesor: Verificați-vă locul de munca, totul este la locul lui? Sunt toți gata să plece?

RESPIRAȚI AdinC, ȚINEȚI RESPIRAȚIA CÂND EXPIIRAȚI, EXPIRĂ.

Determinați-vă starea de spirit la începutul lecției conform diagramei (această diagramă este pe biroul tuturor)

VA URES SUCCES.

2)Profesor: Lucrări practice pe tema „ Proiecții de vârfuri, muchii, fețe” au arătat că există tipi care greșesc la proiectare. Sunt confuzi care dintre cele două puncte care coincid în desen este un vârf vizibil și care este unul invizibil; când muchia este paralelă cu planul și când este perpendiculară. La fel este și cu marginile.

Pentru a preveni repetarea greșelilor, finalizați sarcinile necesare folosind cardul de consiliere și corectați erorile din munca practică (de mână). Și pe măsură ce lucrați, amintiți-vă:

„TOCARE POATE FĂCĂ O GREȘEL, NUMAI UN NEBUN RĂMÂNE CU EROAREA LUI.”

Iar cei care au stăpânit bine subiectul vor lucra în grupuri cu sarcini creative (vezi. Anexa 1 ).

ETAPA II. FORMAREA DE CUNOAȘTERE, ABILITĂȚI ȘI ABILITĂȚI

1)Profesor:În producție există multe piese care sunt atașate între ele într-un anumit fel.
De exemplu:
Capacul desktopului este atașat la stâlpii verticali. Fiți atenți la masa la care vă aflați, cum și cu ce sunt atașate unul de celălalt capacul și rafturile?

Răspuns: Bolt.

Profesor: Ce este necesar pentru un șurub?

Răspuns: Gaură.

Profesor:într-adevăr. Și pentru a face o gaură, trebuie să cunoașteți locația acesteia pe produs. Când face o masă, un tâmplar nu poate contacta clientul de fiecare dată. Deci, ce ai nevoie pentru a oferi un dulgher?

Răspuns: Un desen.

Profesor: Desen!? Cum numim desen?

Răspuns: Un desen este o imagine a unui obiect folosind proiecții dreptunghiulare într-o relație de proiecție. Folosind desenul, vă puteți imagina forma geometrică și designul produsului.

Profesor: Am finalizat proiecțiile dreptunghiulare, ce urmează? Vom putea determina locația găurilor dintr-o proiecție? Ce altceva trebuie să știm? Ce să înveți?

Răspuns: Construiți puncte. Găsiți proiecțiile acestor puncte în toate vederile.

Profesor: Bine făcut! Acesta este scopul lecției și subiectului nostru: Construirea proiecțiilor punctelor pe suprafața unui obiect. Scrieți subiectul lecției în caiet.
Tu și cu mine știm că orice punct sau segment de pe imaginea unui obiect este o proiecție a unui vârf, muchie, față, de exemplu. fiecare vedere este o imagine nu dintr-o parte (vedere cap, vedere de sus, vedere din stânga), ci întregul obiect.
Pentru a găsi corect proiecțiile punctelor individuale situate pe fețe, trebuie mai întâi să găsiți proiecțiile acestei fețe și apoi, folosind linii de legătură, să găsiți proiecțiile punctelor.

(Ne uităm la desenul de pe tablă, lucrăm într-un caiet, unde se fac acasă 3 proiecții ale aceleiași piese).

– Deschis caietul cu desenul finalizat (Explicarea construcției punctelor pe suprafața unui obiect cu întrebări de ghidare pe tablă, iar elevii o fixează în caiete.)

Profesor: Luați în considerare ideea ÎN. Cu ce ​​plan este paralelă fața acestui punct?

Răspuns: Marginea este paralelă cu planul frontal.

Profesor: Definim proiecția unui punct b' pe proiecția frontală. Glisați în jos din punct b' linia de comunicare verticală cu proiecția orizontală. Unde va fi situată proiecția orizontală a punctului? ÎN?

Răspuns: La intersecția cu proiecția orizontală a feței care a fost proiectată în margine. Și este situat în partea de jos a proiecției (vizualizării).

Profesor: Proiecția de profil a unui punct b'' , unde va fi amplasat? Cum o vom găsi?

Răspuns: La intersecția unei linii orizontale de comunicație de la b' cu o margine verticală în dreapta. Această margine este proiecția feței cu punctul ÎN.

CEI CARE DORESC SĂ CONSTRUIEȘTE URMĂTOAREA PROIECȚIE A PUNCTULUI SUNT CHEMATĂ ÎN CONSTRUCȚIE.

Profesor: Proiecții punctuale O sunt amplasate și folosind linii de comunicație. Cu ce ​​plan este fata cu punctul paralel? O?

Răspuns: Muchia este paralelă cu planul profilului. Definim un punct pe proiecția profilului O'' .

Profesor:În ce proiecție a fost proiectată fața în margine?

Răspuns: Pe față și pe orizontală. Să desenăm o linie de legătură orizontală până când se intersectează cu marginea verticală din stânga pe proiecția frontală, obținem un punct O' .

Profesor: Cum să găsiți proiecția unui punct O pe o proiecție orizontală? La urma urmei, linii de comunicare din proiecția punctelor O' Şi O'' nu intersectați proiecția feței (marginea) pe proiecția orizontală din stânga. Ce ne poate ajuta?

Răspuns: Puteți utiliza o linie dreaptă constantă (determină locația vederii din stânga) de la O'' trageți o linie de comunicare verticală până când aceasta se intersectează cu o linie dreaptă constantă. O linie de legătură orizontală este trasată din punctul de intersecție până când se intersectează cu marginea verticală din stânga. (Aceasta este fața cu punctul A) și denotă proiecția cu un punct O .

2) Profesor: Toată lumea are pe masă un card de sarcini cu hârtie de calc atașată. Examinați desenul, acum încercați pe cont propriu, fără a redesena proiecțiile, pentru a găsi proiecțiile date ale punctelor din desen.

– Găsiți imaginea în manual, pagina 76. 93. Testează-te. Cei care au făcut-o corect – nota „5” – „4” două – „3”;

(Notele sunt date chiar de elevi pe foaia de autocontrol).

– Colectați carduri pentru verificare.

3)Lucrați în grupuri: Timp limitat: 4 min. + 2 min. verificări. (Sunt combinate două birouri cu studenți, iar un lider este selectat în cadrul grupului).

Fiecare grup are sarcini pe 3 nivele. Elevii aleg sarcinile după nivel (după cum doresc). Rezolvați probleme care implică construirea de puncte. Discutați formația sub supravegherea liderului. Apoi răspunsul corect este afișat pe tablă folosind un retroproiector. Toată lumea verifică dacă proiectarea punctelor este făcută corect. Cu ajutorul liderului de grup, se acordă note pe teme și pe fișe de autocontrol (vezi. Anexa 2 Şi Anexa 3 ).

PAUZĂ DE SALVARE A SĂNĂTĂŢII. REFLECŢIE

„Poza faraonului”– stai pe marginea unui scaun, indrepta spatele, indoaie bratele la coate, incruciseaza picioarele si aseaza-le pe degetele de la picioare. Inspirați, încordați toți mușchii corpului în timp ce vă țineți respirația, expirați. Fă-o de 2-3 ori. Închideți bine ochii, până ajung la stele și deschideți-le. Marcați-vă starea de spirit.

ETAPA III. PARTEA PRACTICĂ. (Tesiuni individuale)

Există carduri de sarcini disponibile pentru a alege la diferite niveluri. Elevii își aleg singur opțiunea în funcție de abilitățile lor. Găsiți proiecțiile punctelor de pe suprafața obiectului. Lucrările sunt depuse și notate pentru următoarea lecție. (Cm. Anexa 4 , Anexa 5 , Anexa 6 ).

ETAPA IV. FINAL

1) Temă pentru acasă. (Instrucțiune). Efectuat pe niveluri:

B – înțelegere, la „3”. Exercițiul 1 Fig. 94a p. 77 – conform temei din manual: completați proiecțiile de puncte lipsă pe aceste proiecții.

B – cerere, la „4”. Exercițiul 1 Fig. 94 a, b. completați proiecțiile lipsă și marcați vârfurile pe imaginea vizuală din 94a și 94b.

A – analiză, „5”. (Dificultate crescută.) Ex. 4 Fig.97 – construiți proiecțiile lipsă ale punctelor și etichetați-le cu litere. Nu există nicio imagine vizuală.

2)Analiza reflexivă.

1. Determinați starea de spirit la sfârșitul lecției, marcați-o cu orice semn pe foaia de autocontrol.
2. Ce nou ai învățat în clasă astăzi?
3. Ce formă de muncă este cea mai eficientă pentru tine: de grup, individual și ți-ai dori să fie repetată în lecția următoare?
4. Colectați foi de autocontrol.

3)„Profesorul greșit”

Profesor: Ați învățat să construiți proiecții de vârfuri, muchii, fețe și puncte pe suprafața unui obiect, urmând toate regulile de construcție. Dar ți-au dat un desen care conține erori. Acum încearcă-te ca profesor. Găsiți singur erorile, dacă găsiți toate cele 8-6 erori, atunci scorul este „5”; 5–4 erori – „4”, 3 erori – „3”.

Raspunsuri:

Acest articol este răspunsul la două întrebări: „Ce este” și „Cum să găsești coordonatele proiecției punctului pe plan"? Prima dată informatiile necesare despre proiecție și tipurile acesteia. Următoarea este o definiție a proiecției unui punct pe un plan și o ilustrație grafică. După aceasta, s-a obținut o metodă de găsire a coordonatelor proiecției unui punct pe un plan. În concluzie, soluții la exemple în care se calculează coordonatele proiecției unui punct dat pe un plan dat.

Navigare în pagină.

Proiecție, tipuri de proiecție – informații necesare.

Când studiați figurile spațiale, este convenabil să folosiți imaginile lor în desen. Desenul unei figuri spațiale este un așa-numit proiecție această figură într-un avion. Procesul de construire a unei imagini a unei figuri spațiale pe un plan are loc după anumite reguli. Deci procesul de construire a unei imagini a unei figuri spațiale pe un plan, împreună cu un set de reguli prin care se realizează acest proces, se numește proiecție figuri pe un plan dat. Se numește planul în care este construită imaginea planul de proiecție.

În funcție de regulile prin care se realizează proiecția, există centralŞi proiecție paralelă. Nu vom intra în detalii, deoarece acest lucru depășește scopul acestui articol.

În geometrie, se folosește în principal un caz special de proiecție paralelă - proiecție perpendiculară, care se mai numește ortogonală. În numele acestui tip de proiecție, adjectivul „perpendicular” este adesea omis. Adică, când în geometrie se vorbește despre proiecția unei figuri pe un plan, de obicei înseamnă că această proiecție a fost obținută folosind proiecția perpendiculară (cu excepția cazului în care, desigur, se precizează altfel).

Trebuie remarcat faptul că proiecția unei figuri pe un plan este un set de proiecții ale tuturor punctelor acestei figuri pe planul de proiecție. Cu alte cuvinte, pentru a obține proiecția unei anumite figuri, trebuie să puteți găsi proiecțiile punctelor acestei figuri pe plan. Următorul paragraf al articolului arată exact cum să găsiți proiecția unui punct pe un plan.

Proiecția unui punct pe un plan - definiție și ilustrare.

Să subliniem încă o dată că vom vorbi despre proiecția perpendiculară a unui punct pe un plan.

Să realizăm construcții care ne vor ajuta să definim proiecția unui punct pe un plan.

Să ni se dea un punct M 1 și un plan în spațiul tridimensional. Să trasăm o dreaptă a prin punctul M1, perpendiculară pe plan. Dacă punctul M1 nu se află în plan, atunci notăm punctul de intersecție al dreptei a și planul ca H1. Astfel, punctul H 1 prin construcție este baza perpendicularei căzute din punctul M 1 în plan.

Definiţie.

Proiecția punctului M 1 pe plan- acesta este punctul M 1 însuși, dacă, sau punctul H 1, dacă.

Această definiție Următoarea definiție este echivalentă cu proiecția unui punct pe un plan.

Definiţie.

Proiectia unui punct pe un plan- acesta este fie punctul însuși, dacă se află într-un plan dat, fie baza unei perpendiculare coborâte din acest punct într-un plan dat.

În desenul de mai jos, punctul H1 este proiecția punctului M1 pe plan; punctul M2 se află în plan, prin urmare M2 este proiecția punctului M2 însuși pe plan.

Găsirea coordonatelor proiecției unui punct pe un plan - soluții la exemple.

Să fie introdus Oxyz în spațiul tridimensional și să fie dat un punct si avionul. Să ne punem sarcina: să determinăm coordonatele proiecției punctului M 1 pe plan.

Soluția problemei rezultă logic din definirea proiecției unui punct pe un plan.

Să notăm proiecția punctului M 1 pe plan ca H 1 . Prin definiția proiecției unui punct pe un plan, H 1 este punctul de intersecție a unui plan dat și o dreaptă a care trece prin punctul M 1 perpendicular pe plan. Astfel, coordonatele dorite ale proiecției punctului M 1 pe plan sunt coordonatele punctului de intersecție a dreptei a și planului.

Prin urmare, pentru a găsi coordonatele de proiecție ale unui punct in avion ai nevoie de:

Să ne uităm la soluțiile exemplelor.

Exemplu.

Găsiți coordonatele proiecției punctului spre avion .

Soluţie.

În enunțul problemei ni se oferă o ecuație plană generală de forma , deci nu este nevoie să-l compuneți.

Să scriem ecuațiile canonice ale dreptei a, care trece prin punctul M 1 perpendicular pe planul dat. Pentru a face acest lucru, obținem coordonatele vectorului de direcție al dreptei a. Deoarece linia dreaptă a este perpendiculară pe un plan dat, vectorul direcție al dreptei a este vectorul normal al planului . adica - vector de direcție al dreptei a. Acum putem scrie ecuațiile canonice ale unei drepte în spațiu care trece prin punct și are un vector de direcție :
.

Pentru a obține coordonatele necesare proiecției punctului pe plan, rămâne să se determine coordonatele punctului de intersecție al dreptei si avioane . Pentru aceasta din ecuații canonice linie dreaptă trecem la ecuațiile a două plane care se intersectează, compunem un sistem de ecuații și găsiți-i soluția. Folosim:

Astfel, proiecția punctului spre avion are coordonate.

Răspuns:

Exemplu.

În sistemul de coordonate dreptunghiular Oxyz în spațiu tridimensional, puncte și . Determinați coordonatele proiecției punctului M 1 pe planul ABC.

Soluţie.

Să scriem mai întâi ecuația unui plan care trece prin trei puncte date:

Dar să ne uităm la o abordare alternativă.

Obținem ecuațiile parametrice ale dreptei a, care trece prin punct și perpendicular pe planul ABC. Vectorul normal al unui plan are coordonate, deci vectorul este vectorul de direcție al dreptei a. Acum putem scrie ecuațiile parametrice ale unei linii în spațiu, deoarece știm coordonatele punctului dreptei ( ) și coordonatele vectorului său de direcție ( ):

Rămâne de determinat coordonatele punctului de intersecție al dreptei și avioane. Pentru a face acest lucru, înlocuiți în ecuația planului:
.

Acum conform ecuațiilor parametrice Să calculăm valorile variabilelor x, y și z la:
.

Astfel, proiecția punctului M 1 pe planul ABC are coordonate.

Răspuns:

În concluzie, să discutăm despre găsirea coordonatelor proiecției unui anumit punct pe planuri coordonate și planuri paralele cu planurile coordonate.

Proiecțiile unui punct pe planurile de coordonate Oxy, Oxz și Oyz sunt puncte cu coordonate si in consecinta. Și proiecțiile punctului în avion şi , care sunt paralele cu planurile de coordonate Oxy, Oxz și respectiv Oyz, sunt puncte cu coordonate Şi .

Să arătăm cum au fost obținute aceste rezultate.

De exemplu, să găsim proiecția punctului în avion (alte cazuri sunt similare cu acesta).

Acest plan este paralel plan de coordonate Oyz și este vectorul său normal. Vectorul este vectorul direcție al unei linii perpendiculare pe planul Oyz. Atunci ecuațiile parametrice ale unei drepte care trece prin punctul M 1 perpendicular pe un plan dat au forma .

Să găsim coordonatele punctului de intersecție al dreptei și al planului. Pentru a face acest lucru, înlocuim mai întâi egalitățile în ecuația: , și proiecția punctului

Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Matematică superioară. Volumul unu: Elemente algebră liniarăși geometria analitică.

Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometrie analitică.

Linie dreaptă auxiliară a unui desen complex

În desenul prezentat în Fig. 4.7, O, axele de proiecție sunt desenate, iar imaginile sunt conectate între ele prin linii de comunicare. Proiecțiile orizontale și de profil sunt conectate prin linii de comunicație folosind arce centrate în punct DESPRE intersecții ale axelor. Cu toate acestea, în practică, este utilizată o altă implementare a desenului complex.

În desenele fără axe, imaginile sunt de asemenea plasate în conexiune de proiecție. Cu toate acestea, a treia proiecție poate fi plasată mai aproape sau mai departe. De exemplu, o proiecție de profil poate fi plasată la dreapta (Fig. 4.7, b, II) sau spre stânga (Fig. 4.7, b, eu). Acest lucru este important pentru economisirea spațiului și ușurința dimensionării.

Orez. 4.7.

Dacă într-un desen realizat folosind un sistem fără axe este necesară trasarea unor linii de comunicare între vederea de sus și vederea din stânga, atunci se folosește o linie dreaptă auxiliară a desenului complex. Pentru a face acest lucru, aproximativ la nivelul vederii de sus și ușor în dreapta acesteia, trageți o linie dreaptă la un unghi de 45° față de cadrul de desen (Fig. 4.8, O). Se numește linia auxiliară a desenului complex. Procedura de construire a unui desen folosind această linie dreaptă este prezentată în Fig. 4.8, b, c.

Dacă au fost deja construite trei vederi (Fig. 4.8, d), atunci poziția liniei auxiliare nu poate fi aleasă în mod arbitrar. Mai întâi trebuie să găsiți punctul prin care va trece. Pentru a face acest lucru, este suficient să continuați până la intersecția reciprocă a axei de simetrie a proiecțiilor orizontale și de profil și prin punctul rezultat k trageți un segment drept la un unghi de 45° (Fig. 4.8, d). Dacă nu există axe de simetrie, continuați până când se intersectează în punctul respectiv k 1 proiecții orizontale și de profil ale oricărei fețe proiectate ca o linie dreaptă (Fig. 4.8, d).

Orez. 4.8.

Necesitatea de a trasa linii de comunicare și, prin urmare, o linie dreaptă auxiliară, apare la construirea proiecțiilor lipsă și la realizarea desenelor pe care este necesar să se determine proiecțiile punctelor pentru a clarifica proiecțiile elementelor individuale ale unei piese.

Exemple de utilizare a liniei auxiliare sunt date în paragraful următor.

Proiecții ale unui punct situat pe suprafața unui obiect

Pentru a construi corect proiecții ale elementelor individuale ale unei piese atunci când faceți desene, trebuie să puteți găsi proiecții ale punctelor individuale în toate imaginile desenului. De exemplu, este dificil să desenați o proiecție orizontală a părții prezentate în Fig. 4.9, fără a utiliza proiecțiile punctelor individuale ( A, B, C, D, E etc.). Abilitatea de a găsi toate proiecțiile punctelor, muchiilor și fețelor este, de asemenea, necesară pentru a recrea în imaginația cuiva forma unui obiect din imaginile sale plate din desen, precum și pentru a verifica corectitudinea desenului finalizat.

Orez. 4.9.

Să luăm în considerare modalități de a găsi a doua și a treia proiecție a unui punct specificat pe suprafața unui obiect.

Dacă unui desen al unui obiect i se oferă o proiecție a unui punct, atunci mai întâi trebuie să găsim proiecțiile suprafeței pe care este situat acest punct. Apoi alegeți una dintre cele două metode descrise mai jos pentru a rezolva problema.

Prima cale

Această metodă este utilizată atunci când o suprafață dată este reprezentată ca o linie pe cel puțin una dintre proiecții.

În fig. 4.10, Oînfățișează un cilindru, pe a cărui proiecție frontală este dată proiecția O" puncte O, situată pe partea vizibilă a suprafeței sale (proiecțiile date sunt marcate cu cercuri duble colorate). Pentru a găsi proiecția orizontală a unui punct O, ele raționează astfel: un punct se află pe suprafața unui cilindru, a cărui proiecție orizontală este un cerc. Aceasta înseamnă că proiecția unui punct situat pe această suprafață se va afla și pe cerc. Desenați o linie de legătură și marcați punctul dorit la intersecția acestuia cu cercul O. A treia proiecție O"

Orez. 4.10.

Dacă punctul ÎN, situată pe baza superioară a cilindrului, definită prin proiecția orizontală a acestuia b, apoi trasează linii de comunicare până când se intersectează cu segmente drepte care înfățișează proiecțiile frontale și de profil ale bazei superioare a cilindrului.

În fig. 4.10, b arată un detaliu - o oprire. Pentru a construi proiecții ale unui punct O, dat de proiecţia sa orizontală O, găsiți alte două proiecții ale feței superioare (pe care se află punctul O) și, trasând linii de legătură până când se intersectează cu segmente drepte care reprezintă această față, determinați proiecțiile - punctele necesare O"Şi O". Punct ÎN se află pe fața verticală laterală stângă, ceea ce înseamnă că proiecțiile sale se vor așeza pe proiecțiile acestei fețe. Prin urmare, dintr-un punct dat b" trageți linii de comunicare (așa cum este indicat de săgeți) până când acestea se întâlnesc cu segmentele drepte care reprezintă această față. Proiecție frontală Cu" puncte CU, culcat pe o față situată oblic (în spațiu) se găsește pe linia care înfățișează această față, iar profilul Cu"– la intersecția liniei de comunicație, întrucât proiecția de profil a acestei fețe nu este o linie, ci o figură. Construirea proiecțiilor punctuale D indicat prin săgeți.

A doua cale

Această metodă este utilizată atunci când prima metodă nu poate fi utilizată. Atunci ar trebui să faci asta:

• trece prin proiecție dată proiecția punctuală a unei linii auxiliare situată pe o suprafață dată;
• găsiți a doua proiecție a acestei linii;
• transferați proiecția dată a punctului la proiecția găsită a dreptei (acest lucru va determina a doua proiecție a punctului);
• găsiți o a treia proiecție (dacă este necesar) la intersecția liniilor de comunicație.

În fig. 4.10, este dată proiecția frontală O" puncte O, culcat pe partea vizibilă a suprafeței conului. Pentru a găsi proiecția orizontală printr-un punct O" efectuați o proiecție frontală a unei drepte auxiliare care trece prin punct O iar vârful conului. Înțelege ideea V– proiectarea punctului de întâlnire a dreptei trasate cu baza conului. Având proiecții frontale ale punctelor situate pe o linie dreaptă, se pot găsi proiecțiile orizontale ale acestora. Proiecție orizontală s se cunoaște vârful conului. Punct b se află pe cercul bazei. Un segment de linie dreaptă este trasat prin aceste puncte și un punct este transferat la acesta (așa cum este arătat de săgeată) O", obținerea punctului O. A treia proiecție O" puncte O este situat la intersecția liniei de comunicație.

Aceeași problemă poate fi rezolvată diferit (Fig. 4.10, G).

Ca o dreaptă auxiliară care trece printr-un punct O, luați nu o linie dreaptă, ca în primul caz, ci un cerc. Acest cerc se formează dacă într-un punct O intersectează conul cu un plan paralel cu baza, așa cum se arată în imaginea vizuală. Proiecția frontală a acestui cerc va fi reprezentată printr-un segment de linie dreaptă, deoarece planul cercului este perpendicular pe planul frontal al proiecțiilor. Proiecția orizontală a unui cerc are un diametru egal cu lungimea acestui segment. După ce a descris un cerc cu diametrul indicat, trageți din punct O" linie de comunicare până când se intersectează cu cercul auxiliar, de la proiecția orizontală O puncte O se află pe linia auxiliară, adică pe cercul construit. A treia proiecție ac" puncte O găsite la intersecția liniilor de comunicație.

Folosind aceeași tehnică, puteți găsi proiecțiile unui punct situat pe o suprafață, de exemplu, o piramidă. Diferența va fi că atunci când se intersectează cu un plan orizontal, nu se formează un cerc, ci o figură asemănătoare bazei.

Să luăm în considerare proiecțiile punctelor pe două plane, pentru care luăm două plane perpendiculare (Fig. 4), pe care le vom numi frontal orizontal și plane. Linia de intersecție a acestor plane se numește axa de proiecție. Proiectăm un punct A pe planurile considerate folosind o proiecție plană. Pentru a face acest lucru, este necesar să coborâți perpendicularele Aa și A dintr-un punct dat pe planurile considerate.

Proiecția pe plan orizontal se numește proiecție orizontală puncte O, și proiecția O? pe plan frontal se numeste proiecție frontală.

Punctele care urmează să fie proiectate sunt de obicei notate în geometrie descriptivă folosind majuscule A, B, C. Literele mici sunt folosite pentru a indica proiecțiile orizontale ale punctelor a, b, c... Proiecțiile frontale sunt indicate cu litere mici, cu o contur în partea de sus a?, b?, c?…

Punctele sunt desemnate și cu cifre romane I, II,... iar pentru proiecțiile lor - cu cifre arabe 1, 2... și 1?, 2?...

Prin rotirea planului orizontal cu 90°, puteți obține un desen în care ambele plane sunt în același plan (Fig. 5). Această imagine se numește diagrama unui punct.

Prin linii perpendiculare AhhŞi huh? Să desenăm un plan (Fig. 4). Planul rezultat este perpendicular pe planurile frontale și orizontale deoarece conține perpendiculare pe aceste planuri. Prin urmare, acest plan este perpendicular pe linia de intersecție a planurilor. Linia dreaptă rezultată intersectează planul orizontal într-o linie dreaptă ahh x, iar planul frontal – în linie dreaptă a?a X. Drept aahs și a?a x sunt perpendiculare pe axa de intersecție a planelor. Adică Aahaha? este un dreptunghi.

La combinarea planurilor de proiecție orizontală și frontală OŞi O? va fi situat pe aceeași perpendiculară pe axa de intersecție a planurilor, deoarece atunci când planul orizontal se rotește, perpendicularitatea segmentelor ahh x și a?a x nu va fi spart.

Obținem asta pe diagrama de proiecție OŞi O? un punct O se află întotdeauna pe aceeași perpendiculară pe axa de intersecție a planelor.

Două proiecții a și O? a unui anumit punct A poate determina fără ambiguitate poziția sa în spațiu (fig. 4). Acest lucru este confirmat de faptul că la construirea unei perpendiculare din proiecția a pe planul orizontal, aceasta va trece prin punctul A. În același mod, o perpendiculară din proiecție O? spre planul frontal va trece prin punct O, adică punctul O este simultan pe două linii drepte specifice. Punctul A este punctul lor de intersecție, adică este definit.

Luați în considerare un dreptunghi Aaa X O?(Fig. 5), pentru care următoarele afirmații sunt adevărate:

1) Distanța punctului O din planul frontal este egală cu distanța proiecției sale orizontale a față de axa de intersecție a planurilor, adică.

huh? = ahh X;

2) distanta punctuala O din planul orizontal al proiecțiilor este egală cu distanța proiecției sale frontale O? din axa de intersectie a planelor, i.e.

Ahh = a?a X.

Cu alte cuvinte, chiar și fără punctul în sine de pe diagramă, folosind doar cele două proiecții ale sale, puteți afla la ce distanță este situat un punct dat de fiecare dintre planurile de proiecție.

Intersecția a două planuri de proiecție împarte spațiul în patru părți, care sunt numite în sferturi(Fig. 6).

Axa de intersecție a planurilor împarte planul orizontal în două sferturi - față și spate, iar planul frontal - în sferturile superioare și inferioare. Partea superioară a planului frontal și partea anterioară a planului orizontal sunt considerate drept limite ale primului sfert.

La primirea diagramei, planul orizontal se rotește și este aliniat cu planul frontal (Fig. 7). În acest caz, partea din față a planului orizontal va coincide cu partea inferioară a planului frontal, iar partea din spate a planului orizontal va coincide cu partea superioară a planului frontal.

Figurile 8-11 prezintă punctele A, B, C, D, situate în diferite sferturi de spațiu. Punctul A este situat în primul trimestru, punctul B este în al doilea, punctul C este în al treilea și punctul D este în al patrulea.

Când punctele sunt situate în primul sau al patrulea trimestru al acestora proiecții orizontale sunt în partea din față a planului orizontal, iar pe diagramă se vor afla sub axa de intersecție a planurilor. Când un punct este situat în al doilea sau al treilea sfert, proiecția sa orizontală se va afla pe spatele planului orizontal, iar pe diagramă va fi situat deasupra axei de intersecție a planurilor.

Proiecții frontale punctele care sunt situate în primul sau al doilea sferturi vor fi situate în partea superioară a planului frontal, iar pe diagramă vor fi situate deasupra axei de intersecție a planurilor. Când un punct este situat în al treilea sau al patrulea sfert, proiecția sa frontală este sub axa de intersecție a planurilor.

Cel mai adesea, în construcțiile reale, figura este plasată în primul sfert de spațiu.

În unele cazuri speciale, punctul ( E) se poate așeza pe un plan orizontal (Fig. 12). În acest caz, proiecția sa orizontală e și punctul însuși vor coincide. Proiecția frontală a unui astfel de punct va fi situată pe axa de intersecție a planurilor.

În cazul în care punctul LA se află pe planul frontal (Fig. 13), proiecția sa orizontală k se află pe axa de intersecție a planurilor și frontală k? arată locația reală a acestui punct.

Pentru astfel de puncte, un semn că se află pe unul dintre planurile de proiecție este că una dintre proiecțiile sale se află pe axa de intersecție a planurilor.

Dacă un punct se află pe axa de intersecție a planurilor de proiecție, el și ambele proiecții coincid.

Când un punct nu se află pe planurile de proiecție, se numește punct pozitia generala . În cele ce urmează, dacă nu există semne speciale, punctul în cauză este un punct în poziție generală.

2. Lipsa axei de proiecție

Pentru a explica modul de obținere a proiecțiilor unui punct pe un model perpendicular pe planul de proiecție (Fig. 4), este necesar să luați o bucată de hârtie groasă în formă de dreptunghi alungit. Trebuie să fie îndoit între proiecții. Linia de pliere va reprezenta axa de intersecție a planurilor. Dacă după aceasta bucata de hârtie îndoită este din nou îndreptată, vom obține o diagramă similară cu cea prezentată în figură.

Prin combinarea a două planuri de proiecție cu planul de desen, este posibil să nu se afișeze linia de pliere, adică să nu se deseneze pe diagramă axa de intersecție a planurilor.

Când trasați pe o diagramă, ar trebui să plasați întotdeauna proiecții OŞi O? punctul A pe o linie verticală (Fig. 14), care este perpendiculară pe axa de intersecție a planelor. Prin urmare, chiar dacă poziția axei de intersecție a planurilor rămâne incertă, dar direcția acesteia este determinată, axa de intersecție a planurilor poate fi localizată doar pe diagramă perpendiculară pe dreapta huh?.

Dacă nu există o axă de proiecție pe diagrama unui punct, ca în prima Figura 14 a, vă puteți imagina poziția acestui punct în spațiu. Pentru a face acest lucru, trageți oriunde perpendicular pe linia dreaptă huh? axa de proiecție, ca în figura a doua (Fig. 14) și îndoiți desenul de-a lungul acestei axe. Dacă restabilim perpendicularele în puncte OŞi O?înainte ca acestea să se intersecteze, puteți obține un punct O. La schimbarea poziției axei de proiecție se obțin diferite poziții ale punctului față de planurile de proiecție, dar incertitudinea în poziția axei de proiecție nu afectează poziție relativă mai multe puncte sau figuri din spațiu.

3. Proiecții ale unui punct pe trei planuri de proiecție

Să luăm în considerare planul de profil al proiecțiilor. Proiecțiile pe două plane perpendiculare determină de obicei poziția unei figuri și fac posibilă aflarea dimensiunii și formei sale reale. Dar sunt momente când două proiecții nu sunt suficiente. Apoi se folosește construcția celei de-a treia proiecții.

Al treilea plan de proiecție este desenat astfel încât să fie perpendicular pe ambele planuri de proiecție simultan (Fig. 15). Cel de-al treilea plan este de obicei numit profil.

În astfel de construcții se numește linia dreaptă comună a planurilor orizontale și frontale axă X , linia dreaptă comună a planurilor orizontale și de profil – axă la , iar linia dreaptă comună a planurilor frontale și de profil este axă z . Punct DESPRE, care aparține tuturor celor trei planuri, se numește punctul de origine.

Figura 15a arată punctul Oși trei dintre proiecțiile sale. Proiecție pe planul profilului ( O??) sunt numite proiecția profilului si denota O??.

Pentru a obține o diagramă a punctului A, care constă din trei proiecții a, a, a, este necesar să se taie triedrul format din toate planurile de-a lungul axei y (Fig. 15b) și să se combine toate aceste planuri cu planul proiecției frontale. Planul orizontal trebuie rotit în jurul axei X, iar planul profilului este în jurul axei zîn direcția indicată de săgeata din figura 15.

Figura 16 arată poziția proiecțiilor huh, huh?Şi O?? puncte O, obtinut prin combinarea tuturor celor trei planuri cu planul de desen.

Ca rezultat al tăierii, axa y apare în două locuri diferite pe diagramă. Pe un plan orizontal (Fig. 16) ia o pozitie verticala (perpendiculara pe axa X), iar pe planul profilului – orizontal (perpendicular pe ax z).

Există trei proiecții în Figura 16 huh, huh?Şi O?? punctele A au o poziție strict definită pe diagramă și sunt supuse unor condiții clare:

OŞi O? ar trebui să fie întotdeauna situat pe aceeași linie verticală, perpendiculară pe axă X;

O?Şi O?? ar trebui să fie întotdeauna situat pe aceeași linie dreaptă orizontală, perpendiculară pe axă z;

3) când se realizează printr-o proiecție orizontală și o linie dreaptă orizontală și printr-o proiecție de profil O??– o linie dreaptă verticală, liniile drepte construite se vor intersecta în mod necesar pe bisectoarea unghiului dintre axele de proiecție, deoarece figura Oa la O 0 O n – pătrat.

Când construiți trei proiecții ale unui punct, trebuie să verificați dacă toate cele trei condiții sunt îndeplinite pentru fiecare punct.

4. Coordonatele punctului

Poziția unui punct în spațiu poate fi determinată folosind trei numere numite ei coordonate. Fiecare coordonată corespunde distanței unui punct față de un plan de proiecție.

Distanța punctului determinată O la planul profilului este coordonata X, în timp ce X = nu? Nu(Fig. 15), distanța până la planul frontal este coordonata y și y = nu? Nu, iar distanța până la planul orizontal este coordonata z, în timp ce z = aA.

În Figura 15, punctul A ocupă lățimea paralelipiped dreptunghiular, iar măsurătorile acestui paralelipiped corespund coordonatele acestui punct, adică fiecare dintre coordonate este prezentată în Figura 15 de patru ori, adică:

x = a?A = Oa x = a y a = a z a?;

y = а?А = Оа y = а x а = а z а?;

z = aA = Oa z = a x a? = a y a?.

În diagramă (Fig. 16), coordonatele x și z apar de trei ori:

x = a z a?= Oa x = a y a,

z = a x a? = Oa z = a y a?.

Toate segmentele care corespund coordonatei X(sau z), sunt paralele între ele. Coordona la reprezentat de două ori printr-o axă situată vertical:

y = Oa y = a x a

și de două ori – situate orizontal:

y = Oa y = a z a?.

Această diferență apare datorită faptului că axa y este prezentă pe diagramă în două poziții diferite.

Trebuie avut în vedere că poziția fiecărei proiecții este determinată pe diagramă de doar două coordonate, și anume:

1) orizontală – coordonate XŞi la,

2) frontală – coordonate xŞi z,

3) profil – coordonate laŞi z.

Utilizarea coordonatelor x, yŞi z, puteți construi proiecții ale unui punct pe o diagramă.

Dacă punctul A este dat de coordonate, înregistrarea lor este definită după cum urmează: A ( X; y; z).

La construirea proiecţiilor punctuale O trebuie verificate urmatoarele conditii:

1) proiecții orizontale și frontale OŞi O? X X;

2) proiecții frontale și de profil O?Şi O? trebuie situat la aceeași perpendiculară pe axă z, deoarece au o coordonată comună z;

3) proiecție orizontală și, de asemenea, îndepărtată din axă X, cum ar fi proiecția profilului O departe de axă z, deoarece proiecţiile ah? si eh? au o coordonată comună la.

Dacă un punct se află în oricare dintre planurile de proiecție, atunci una dintre coordonatele sale este egală cu zero.

Când un punct se află pe axa de proiecție, două dintre coordonatele sale sunt egale cu zero.

Dacă un punct se află la origine, toate cele trei coordonatele sale sunt zero.