Proiecția unui vector pe orice axă. Proiectii ale vectorilor pe axe de coordonate

Definiție 1. Pe un plan, o proiecție paralelă a punctului A pe axa l este un punct - punctul de intersecție al axei l cu o dreaptă trasă prin punctul A paralel cu vectorul care specifică direcția de proiectare.

Definiție 2. Proiecția paralelă a unui vector pe axa l (față de vector) este coordonata vectorului relativ la bază axa l, unde punctele și sunt proiecții paralele ale punctelor A și B pe axa l, respectiv (Fig. 1).

Conform definiţiei pe care o avem

Definiţia 3. dacă și pe baza axei l Carteziană, adică proiecția vectorului pe axa l numite ortogonale (Fig. 2).

În spațiu, definiția 2 a proiecției vectoriale pe axă rămâne în vigoare, doar direcția de proiecție este specificată de doi vectori necoliniari (Fig. 3).

Din definiția proiecției unui vector pe o axă rezultă că fiecare coordonată a unui vector este o proiecție a acestui vector pe axa definită de vectorul de bază corespunzător. În acest caz, direcția de proiectare este specificată de alți doi vectori de bază dacă proiectul este realizat (considerat) în spațiu, sau de un alt vector de bază dacă proiectul este considerat pe un plan (Fig. 4).

Teorema 1. Proiecția ortogonală a unui vector pe axa l este egală cu produsul dintre modulul vectorului și cosinusul unghiului dintre direcția pozitivă a axei l și, i.e.

Pe cealaltă parte

Din găsim

Înlocuind AC în egalitatea (2), obținem

Din moment ce numerele xși același semn în ambele cazuri luate în considerare ((Fig. 5, a) ; (Fig. 5, b), apoi din egalitate (4) rezultă

Comentariu. În cele ce urmează, vom lua în considerare doar proiecția ortogonală a vectorului pe axă și, prin urmare, cuvântul „ort” (ortogonal) va fi omis din notație.

Să prezentăm o serie de formule care sunt folosite mai târziu în rezolvarea problemelor.

a) Proiecția vectorului pe axă.

Dacă, atunci proiecția ortogonală pe vector conform formulei (5) are forma

c) Distanța de la un punct la un plan.

Fie b un plan dat cu un vector normal, M un punct dat,

d este distanța de la punctul M la planul b (fig. 6).

Dacă N este un punct arbitrar al planului b și și sunt proiecții ale punctelor M și N pe axă, atunci

• G) Distanța dintre liniile care se intersectează.

Fie a și b drepte care se încrucișează, un vector perpendicular pe ele, A și B să fie puncte arbitrare ale dreptelor a și, respectiv, b (Fig. 7), și și să fie proiecții ale punctelor A și B pe, atunci

e) Distanța de la un punct la o dreaptă.

Lasă l- o linie dreaptă dată cu un vector de direcție, M - un punct dat,

N - proiecția sa pe linie l, apoi - distanța necesară (Fig. 8).

Dacă A este un punct arbitrar pe o dreaptă l, apoi în triunghi dreptunghic Se pot găsi MNA, ipotenuza MA și catete. Mijloace,

f) Unghiul dintre o dreaptă și un plan.

Fie vectorul de direcție al acestei linii l, - vector normal al unui plan dat b, - proiecția unei drepte l la planul b (Fig. 9).

După cum se știe, unghiul μ dintre o linie dreaptă l iar proiecția sa pe planul b se numește unghiul dintre linie și plan. Avem

Să dăm exemple de rezolvare a problemelor metrice folosind metoda coordonatelor vectoriale.

O. Proiecția punctului A pe axa PQ (Fig. 4) este baza a perpendicularei coborâte dintr-un punct dat pe o axă dată. Axa pe care proiectăm se numește axa de proiecție.

b. Să fie date două axe și un vector A B, prezentate în Fig. 5.

Un vector al cărui început este proiecția începutului și al cărui sfârșit este proiecția sfârșitului acestui vector se numește proiecția vectorului A B pe axa PQ.

Uneori indicatorul PQ nu este scris în partea de jos, acest lucru se face în cazurile în care, în afară de PQ, nu există un alt sistem de operare pe care ar putea fi proiectat.

Cu. Teorema I. Mărimile vectorilor care se află pe o axă sunt legate ca mărimile proiecțiilor lor pe orice axă.

Fie date axele și vectorii indicați în Fig. 6 Din asemănarea triunghiurilor este clar că lungimile vectorilor sunt legate ca lungimile proiecțiilor lor, adică.

Deoarece vectorii din desen sunt direcționați în direcții diferite, mărimile lor au semne diferite, prin urmare,

Evident, mărimile proiecțiilor au și semne diferite:

înlocuind (2) în (3) în (1), obținem

Inversând semnele, obținem

Dacă vectorii sunt direcționați în mod egal, atunci proiecțiile lor vor fi și ele de aceeași direcție; nu vor exista semne minus în formulele (2) și (3). Înlocuind (2) și (3) în egalitatea (1), obținem imediat egalitatea (4). Deci, teorema a fost demonstrată pentru toate cazurile.

d. Teorema II. Mărimea proiecției unui vector pe orice axă este egală cu mărimea vectorului înmulțită cu cosinusul unghiului dintre axa proiecțiilor și axa vectorului Să fie date axele ca un vector, așa cum este indicat în Fig . 7. Să construim un vector cu aceeași direcție cu axa sa și reprezentat, de exemplu, din punctul de intersecție al axelor. Fie lungimea lui egală cu unu. Apoi amploarea sa

Axa este direcția. Aceasta înseamnă că proiecția pe o axă sau pe o linie direcționată este considerată la fel. Proiecția poate fi algebrică sau geometrică. În termeni geometrici, proiecția unui vector pe o axă este înțeleasă ca un vector, iar în termeni algebrici, este un număr. Adică, sunt utilizate conceptele de proiecție a unui vector pe o axă și proiecție numerică a unui vector pe o axă.

Dacă avem o axă L și un vector diferit de zero A B →, atunci putem construi un vector A 1 B 1 ⇀, notând proiecțiile punctelor sale A 1 și B 1.

A 1 B → 1 va fi proiecția vectorului A B → pe L.

Definiția 1

Proiecția vectorului pe axă este un vector al cărui început și sfârșit sunt proiecții ale începutului și sfârșitului unui vector dat. n p L A B → → se obișnuiește să se noteze proiecția A B → pe L. Pentru a construi o proiecție pe L, se aruncă perpendiculare pe L.

Exemplul 1

Un exemplu de proiecție vectorială pe o axă.

Pe planul de coordonate O x y este specificat un punct M 1 (x 1, y 1). Este necesar să se construiască proiecții pe O x și O y pentru a imagina vectorul rază al punctului M 1. Obținem coordonatele vectorilor (x 1, 0) și (0, y 1).

Dacă vorbim de proiecția lui a → pe un b nenul → sau de proiecția lui a → pe direcția b → , atunci ne referim la proiecția lui a → pe axa cu care direcția b → coincide. Proiecția lui a → pe linia definită de b → se notează n p b → a → → . Se știe că atunci când unghiul dintre a → și b → , n p b → a → → și b → poate fi considerat codirecțional. În cazul în care unghiul este obtuz, n p b → a → → și b → sunt în direcții opuse. Într-o situație de perpendicularitate a → și b →, iar a → este zero, proiecția lui a → în direcția b → este un vector zero.

Caracteristica numerică a proiecției unui vector pe o axă este proiecția numerică a unui vector pe o axă dată.

Definiția 2

Proiecția numerică a vectorului pe axă este un număr care este egal cu produsul dintre lungimea unui vector dat și cosinusul unghiului dintre vectorul dat și vectorul care determină direcția axei.

Proiecția numerică a lui A B → pe L se notează n p L A B → , iar a → pe b → - n p b → a → .

Pe baza formulei, obținem n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , de unde a → este lungimea vectorului a → , a ⇀ , b → ^ este unghiul dintre vectorii a → și b → .

Obţinem formula de calcul a proiecţiei numerice: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Este aplicabil pentru lungimile cunoscute a → și b → și unghiul dintre ele. Formula este aplicabilă atunci când coordonate cunoscute a → și b →, dar există o formă simplificată.

Exemplul 2

Aflați proiecția numerică a lui a → pe o dreaptă în direcția b → cu lungimea a → egală cu 8 și un unghi între ele de 60 de grade. Prin condiție avem a ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60 °. Aceasta înseamnă că substituim valorile numerice în formula n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

Răspuns: 4.

Cu cos cunoscut (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → , avem a → , b → ca produs scalar al lui a → și b → . Urmând din formula n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ , putem găsi proiecția numerică a → direcționată de-a lungul vectorului b → și obținem n p b → a → = a → , b → b → . Formula este echivalentă cu definiția dată la începutul paragrafului.

Definiția 3

Proiecția numerică a vectorului a → pe o axă care coincide în direcția cu b → este raportul dintre produsul scalar al vectorilor a → și b → la lungimea b → . Formula n p b → a → = a → , b → b → este aplicabilă pentru a găsi proiecția numerică a lui a → pe o dreaptă care coincide în direcția cu b → , cu coordonatele cunoscute a → și b →.

Exemplul 3

Dat b → = (- 3 , 4) . Găsiți proiecția numerică a → = (1, 7) pe L.

Soluţie

Pe planul de coordonate n p b → a → = a → , b → b → are forma n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 , cu a → = (a x , a y ) și b → = b x , b y . Pentru a găsi proiecția numerică a vectorului a → pe axa L, aveți nevoie de: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · ( - 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.

Răspuns: 5.

Exemplul 4

Aflați proiecția lui a → pe L, care coincide cu direcția b →, unde există a → = - 2, 3, 1 și b → = (3, - 2, 6). Este specificat spațiul tridimensional.

Soluţie

Având în vedere a → = a x , a y , a z și b → = b x , b y , b z , calculăm produsul scalar: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . Găsim lungimea b → folosind formula b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 . Rezultă că formula de determinare a proiecției numerice a → va fi: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Înlocuiți valorile numerice: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Răspuns: - 6 7.

Să ne uităm la legătura dintre a → pe L și lungimea proiecției a → pe L. Să desenăm o axă L, adăugând a → și b → dintr-un punct de pe L, după care desenăm o dreaptă perpendiculară de la capătul a → până la L și desenăm o proiecție pe L. Există 5 variante ale imaginii:

Primul cazul cu a → = n p b → a → → înseamnă a → = n p b → a → → , deci n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

Doilea cazul presupune folosirea lui n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → , ceea ce înseamnă n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

Treilea cazul explică faptul că atunci când n p b → a → → = 0 → obținem n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0 , atunci n p b → a → → = 0 și n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

Patrulea cazul arată n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , urmează n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^) = - n p b → a → → .

Cincilea cazul arată a → = n p b → a → → , ceea ce înseamnă a → = n p b → a → → , deci avem n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180° = - a → = - n p b → a → .

Definiția 4

Proiecția numerică a vectorului a → pe axa L, care este direcționată în același mod ca b →, are următoarea valoare:

• lungimea proiecției vectorului a → pe L, cu condiția ca unghiul dintre a → și b → să fie mai mic de 90 de grade sau egal cu 0: n p b → a → = n p b → a → → cu condiția 0 ≤ (a → , b →) ^< 90 ° ;
• zero cu condiția ca a → și b → să fie perpendiculare: n p b → a → = 0, când (a → , b → ^) = 90 °;
• lungimea de proiecție a → pe L, înmulțită cu -1, când există un unghi obtuz sau rotit al vectorilor a → și b →: n p b → a → = - n p b → a → → cu condiția de 90 °< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Exemplul 5

Având în vedere lungimea proiecției a → pe L, egală cu 2. Aflați proiecția numerică a → cu condiția ca unghiul să fie de 5 π 6 radiani.

Soluţie

Din condiție este clar că unghi dat este obtuz: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Raspuns: - 2.

Exemplul 6

Dat un plan O x y z cu lungimea vectorului a → egală cu 6 3, b → (- 2, 1, 2) cu un unghi de 30 de grade. Aflați coordonatele proiecției a → pe axa L.

Soluţie

Mai întâi, calculăm proiecția numerică a vectorului a →: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

Prin condiție, unghiul este ascuțit, apoi proiecția numerică a → = lungimea proiecției vectorului a →: n p L a → = n p L a → → = 9. Acest caz arată că vectorii n p L a → → și b → sunt co-direcționați, ceea ce înseamnă că există un număr t pentru care egalitatea este adevărată: n p L a → → = t · b → . De aici vedem că n p L a → → = t · b → , ceea ce înseamnă că putem găsi valoarea parametrului t: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Atunci n p L a → → = 3 · b → cu coordonatele proiecției vectorului a → pe axa L egale cu b → = (- 2 , 1 , 2) , unde este necesar să se înmulțească valorile cu 3. Avem n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) . Răspuns: (- 6, 3, 6).

Este necesar să se repete informațiile învățate anterior despre condiția de coliniaritate a vectorilor.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Proiecție vector pe o axă este un vector care se obține prin înmulțirea proiecției scalare a unui vector pe această axă și a vectorului unitar al acestei axe. De exemplu, dacă un x – proiecție scalară vector O la axa X, apoi un x i- proiecția sa vectorială pe această axă.

Să notăm proiecție vectorială la fel ca vectorul în sine, dar cu indicele axei pe care este proiectat vectorul. Deci, proiecția vectorială a vectorului O pe axa X notăm O x( grăsime o literă care denotă un vector și un indice al numelui axei) sau (o literă fără caractere aldine care denotă un vector, dar cu o săgeată în partea de sus (!) și un indice al numelui axei).

Proiecție scalară se numește vector pe axă număr, a cărui valoare absolută este egală cu lungimea segmentului de axă (pe scara selectată) cuprinsă între proiecțiile punctului de început și punctul final al vectorului. De obicei, în locul expresiei proiecție scalară pur și simplu spun - proiecție. Proiecția se notează cu aceeași literă cu vectorul proiectat (în scriere normală, fără caractere aldine), cu un indice mai mic (de regulă) al numelui axei pe care este proiectat acest vector. De exemplu, dacă un vector este proiectat pe axa X O, atunci proiecția sa se notează cu x. Când proiectați același vector pe o altă axă, dacă axa este Y, proiecția sa va fi notă cu y.

Pentru a calcula proiecția vector pe o axă (de exemplu, axa X), este necesar să se scadă coordonatele punctului de pornire din coordonatele punctului său final, adică
a x = x k − x n.
Proiecția unui vector pe o axă este un număr.În plus, proiecția poate fi pozitivă dacă valoarea x k este mai mare decât valoarea x n,

negativ dacă valoarea x k este mai mică decât valoarea x n

și egal cu zero dacă x k este egal cu x n.

Proiecția unui vector pe o axă poate fi găsită și cunoscând modulul vectorului și unghiul pe care îl formează cu această axă.

Din figură este clar că a x = a Cos α

adică proiecția vectorului pe axă este egală cu produsul dintre modulul vectorului și cosinusul unghiului dintre direcția axei și direcția vectorială. Dacă unghiul este ascuțit, atunci
Cos α > 0 și a x > 0 și, dacă este obtuz, atunci cosinusul unghiului obtuz este negativ, iar proiecția vectorului pe axă va fi, de asemenea, negativă.

Unghiurile măsurate de pe axa în sens invers acelor de ceasornic sunt considerate pozitive, iar unghiurile măsurate de-a lungul axei sunt negative. Totuși, deoarece cosinusul este o funcție pară, adică Cos α = Cos (− α), atunci când se calculează proiecțiile, unghiurile pot fi numărate atât în ​​sensul acelor de ceasornic, cât și în sens invers acelor de ceasornic.

Pentru a găsi proiecția unui vector pe o axă, modulul acestui vector trebuie înmulțit cu cosinusul unghiului dintre direcția axei și direcția vectorului.

Coordonatele vectoriale sunt coeficienții singurei combinații liniare posibile de vectori de bază din sistemul de coordonate selectat, egali cu acest vector.

unde sunt coordonatele vectorului.

Produs punctual vectori

Produsul scalar al vectorilor[- în dimensional finit spațiu vectorial este definită ca suma produselor componentelor identice înmulțite vectori.

De exemplu, S.p.v. o = (o 1 , ..., un n) Și b = (b 1 , ..., b n):

(o , b ) = o 1 b 1 + o 2 b 2 + ... + a n b n

O descriere vectorială a mișcării este utilă, deoarece într-un desen puteți descrie întotdeauna mulți vectori diferiți și puteți obține o „imagine” vizuală a mișcării în fața ochilor dumneavoastră. Cu toate acestea, folosirea unei rigle și a unui raportor de fiecare dată pentru a efectua operații cu vectori este foarte laborioasă. Prin urmare, aceste acțiuni sunt reduse la acțiuni cu numere pozitive și negative - proiecții de vectori.

Proiecția vectorului pe axă numită mărime scalară egală cu produsul dintre modulul vectorului proiectat și cosinusul unghiului dintre direcțiile vectorului și axa de coordonate selectată.

Desenul din stânga arată un vector de deplasare, al cărui modul este de 50 km, și direcția lui formează unghi obtuz 150° cu direcția axei X Utilizând definiția, găsim proiecția deplasării pe axa X:

sx = s cos(α) = 50 km cos(150°) = –43 km

Deoarece unghiul dintre axe este de 90°, este ușor de calculat că direcția de mișcare se formează cu direcția axei Y unghi ascuțit 60°. Folosind definiția, găsim proiecția deplasării pe axa Y:

sy = s cos(β) = 50 km cos(60°) = +25 km

După cum puteți vedea, dacă direcția vectorului formează un unghi ascuțit cu direcția axei, proiecția este pozitivă; dacă direcția vectorului formează un unghi obtuz cu direcția axei, proiecția este negativă.

Desenul din dreapta arată un vector de viteză, al cărui modul este de 5 m/s, iar direcția formează un unghi de 30° cu direcția axei X Să găsim proiecțiile:

υx = υ · cos(α) = 5 m/s · cos( 30°) = +4,3 m/s
υy = υ · cos(β) = 5 m/s · cos( 120°) = –2,5 m/s

Este mult mai ușor să găsiți proiecții ale vectorilor pe axe dacă vectorii proiectați sunt paraleli sau perpendiculari pe axele selectate. Vă rugăm să rețineți că în cazul paralelismului sunt posibile două opțiuni: vectorul este co-direcțional față de axă și vectorul este opus axei, iar pentru cazul perpendicularității există o singură opțiune.

Proiecția unui vector perpendicular pe axă este întotdeauna zero (vezi sy și ay în desenul din stânga și sx și υx în desenul din dreapta). Într-adevăr, pentru un vector perpendicular pe axă, unghiul dintre acesta și axă este de 90°, deci cosinusul este zero, ceea ce înseamnă că proiecția este zero.

Proiecția unui vector codirecțional cu axa este pozitivă și egală cu valoarea sa absolută, de exemplu, sx = +s (vezi desenul din stânga). Într-adevăr, pentru un vector codirecțional cu axă, unghiul dintre acesta și axă este zero, iar cosinusul său este „+1”, adică proiecția este egală cu lungimea vectorului: sx = x – xo = + s .

Proiecția vectorului opus axei este negativă și egală cu valoarea sa absolută, luată cu semnul minus, de exemplu, sy = –s (vezi desenul din dreapta). Într-adevăr, pentru un vector opus axei, unghiul dintre acesta și axă este de 180°, iar cosinusul său este „–1”, adică proiecția este egală cu lungimea vectorului luat cu semn negativ: sy = y – yo = –s .

Partea dreaptă a ambelor desene arată alte cazuri în care vectorii sunt paraleli cu una dintre axele de coordonate și perpendiculari pe cealaltă. Vă invităm să vă asigurați că și în aceste cazuri sunt respectate regulile formulate în paragrafele precedente.