Exemplu. Găsiți baza sistemului de vectori și vectori care nu sunt incluși în bază, extindeți-le în funcție de bază

Găsiți baza sistemului de vectori și vectori care nu sunt incluși în bază, extindeți-le în funcție de bază:

O 1 = {5, 2, -3, 1}, O 2 = {4, 1, -2, 3}, O 3 = {1, 1, -1, -2}, O 4 = {3, 4, -1, 2}, O 5 = {13, 8, -7, 4}.

Soluţie. Considerăm un sistem omogen de ecuații liniare

O 1 X 1 + O 2 X 2 + O 3 X 3 + O 4 X 4 + O 5 X 5 = 0

sau în formă extinsă.

Vom rezolva acest sistem prin metoda Gaussiană, fără a schimba rândurile și coloanele și, în plus, alegând elementul principal nu în colțul din stânga sus, ci de-a lungul întregii linii. Provocarea este să selectați partea diagonală a sistemului transformat de vectori.

~ ~

~ ~ ~ .

Sistemul de vectori permis, echivalent cu cel original, are forma

O 1 1 X 1 + O 2 1 X 2 + O 3 1 X 3 + O 4 1 X 4 + O 5 1 X 5 = 0 ,

Unde O 1 1 = , O 2 1 = , O 3 1 = , O 4 1 = , O 5 1 = . (1)

Vectori O 1 1 , O 3 1 , O 4 1 formează un sistem diagonal. Prin urmare, vectorii O 1 , O 3 , O 4 formează baza sistemului vectorial O 1 , O 2 , O 3 , O 4 , O 5 .

Să extindem acum vectorii O 2 Şi O 5 pe bază O 1 , O 3 , O 4. Pentru a face acest lucru, extindem mai întâi vectorii corespunzători O 2 1 Şi O 5 1 sistem diagonal O 1 1 , O 3 1 , O 4 1, ținând cont de faptul că coeficienții de expansiune a unui vector de-a lungul sistemului diagonal sunt coordonatele acestuia x i.

Din (1) avem:

O 2 1 = O 3 1 · (-1) + O 4 1 0 + O 1 1 ·1 => O 2 1 = O 1 1 – O 3 1 .

O 5 1 = O 3 1 0 + O 4 1 1 + O 1 1 ·2 => O 5 1 = 2O 1 1 + O 4 1 .

Vectori O 2 Şi O 5 sunt extinse în bază O 1 , O 3 , O 4 cu aceiași coeficienți ca și vectorii O 2 1 Şi O 5 1 sistem diagonal O 1 1 , O 3 1 , O 4 1 (acești coeficienți x i). Prin urmare,

O 2 = O 1 – O 3 , O 5 = 2O 1 + O 4 .

Sarcini. 1.Găsiți baza sistemului de vectori și vectori neincluși în bază, extindeți-le în funcție de bază:

1. o 1 = { 1, 2, 1 }, o 2 = { 2, 1, 3 }, o 3 = { 1, 5, 0 }, o 4 = { 2, -2, 4 }.

2. o 1 = { 1, 1, 2 }, o 2 = { 0, 1, 2 }, o 3 = { 2, 1, -4 }, o 4 = { 1, 1, 0 }.

3. o 1 = { 1, -2, 3 }, o 2 = { 0, 1, -1 }, o 3 = { 1, 3, 0 }, o 4 = { 0, -7, 3 }, o 5 = { 1, 1, 1 }.

4. o 1 = { 1, 2, -2 }, o 2 = { 0, -1, 4 }, o 3 = { 2, -3, 3 }.

2. Găsiți toate bazele sistemului vectorial:

1. o 1 = { 1, 1, 2 }, o 2 = { 3, 1, 2 }, o 3 = { 1, 2, 1 }, o 4 = { 2, 1, 2 }.

2. o 1 = { 1, 1, 1 }, o 2 = { -3, -5, 5 }, o 3 = { 3, 4, -1 }, o 4 = { 1, -1, 4 }.

Exprimarea formei numit combinație liniară de vectori A 1 , A 2 ,...,A n cu cote λ 1, λ 2 ,...,λ n.

Determinarea dependenței liniare a unui sistem de vectori

Sistem vectorial A 1 , A 2 ,...,A n numit dependent liniar, dacă există un set de numere diferit de zero λ 1, λ 2 ,...,λ n, în care combinaţia liniară de vectori λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n egal cu vectorul zero, adică sistemul de ecuații: are o soluție diferită de zero.
Set de numere λ 1, λ 2 ,...,λ n este diferit de zero dacă cel puțin unul dintre numere λ 1, λ 2 ,...,λ n diferit de zero.

Determinarea independenței liniare a unui sistem de vectori

Sistem vectorial A 1 , A 2 ,...,A n numit liniar independent, dacă combinația liniară a acestor vectori λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n egal cu vectorul zero numai pentru un set zero de numere λ 1, λ 2 ,...,λ n , adică sistemul de ecuații: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ are o soluție unică zero.

Exemplul 29.1

Verificați dacă un sistem de vectori este dependent liniar

Soluţie:

1. Compunem un sistem de ecuații:

2. O rezolvăm folosind metoda Gauss. Transformările Jordanano ale sistemului sunt date în Tabelul 29.1. La calcul, părțile din dreapta ale sistemului nu sunt notate, deoarece sunt egale cu zero și nu se modifică în timpul transformărilor Jordan.

3. Din ultimele trei rânduri ale tabelului notează un sistem rezolvat echivalent cu cel original sistem:

4. Primim solutie generala sisteme:

5. După ce ați stabilit valoarea variabilei libere x 3 =1 la discreția dvs., obținem o anumită soluție diferită de zero X=(-3,2,1).

Răspuns: Astfel, pentru o mulțime de numere nenule (-3,2,1), combinația liniară de vectori este egală cu vectorul zero -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. Prin urmare, sistem vectorial dependent liniar.

Proprietățile sistemelor vectoriale

Proprietate (1)
Dacă un sistem de vectori este dependent liniar, atunci cel puțin unul dintre vectori este extins în ceea ce privește ceilalți și, dimpotrivă, dacă cel puțin unul dintre vectorii sistemului este extins în raport cu ceilalți, atunci sistemul de vectori este dependent liniar.

Proprietate (2)
Dacă orice subsistem de vectori este dependent liniar, atunci întregul sistem este dependent liniar.

Proprietate (3)
Dacă un sistem de vectori este liniar independent, atunci oricare dintre subsistemele sale este liniar independent.

Proprietate (4)
Orice sistem de vectori care conține un vector zero este dependent liniar.

Proprietate (5)
Un sistem de vectori m-dimensionali este întotdeauna dependent liniar dacă numărul de vectori n este mai mare decât dimensiunea lor (n>m)

Baza sistemului vectorial

Baza sistemului vectorial A 1 , A 2 ,..., A n un astfel de subsistem B 1 , B 2 ,...,B r se numește(fiecare dintre vectorii B 1,B 2,...,B r este unul dintre vectorii A 1, A 2,..., A n), care îndeplinește următoarele condiții:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r sistem liniar independent de vectori;
2. orice vector A j sistemul A 1 , A 2 ,..., A n este exprimat liniar prin vectorii B 1 , B 2 ,..., B r

r— numărul de vectori incluși în bază.

Teorema 29.1 Pe baza unitară a unui sistem de vectori.

Dacă un sistem de vectori m-dimensionali conține m vectori unitari diferiți E 1 E 2 ,..., E m , atunci ei formează baza sistemului.

Algoritm pentru găsirea bazei unui sistem de vectori

Pentru a găsi baza sistemului de vectori A 1 ,A 2 ,...,A n este necesar:

• Creați un sistem omogen de ecuații corespunzător sistemului de vectori A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• Adu acest sistem

Prelegeri de algebră și geometrie. Semestrul 1.

Cursul 9. Bazele spațiului vectorial.

Rezumat: sistem de vectori, combinație liniară a unui sistem de vectori, coeficienți ai unei combinații liniare a unui sistem de vectori, baza pe o dreaptă, plan și în spațiu, dimensiunile spațiilor vectoriale pe o dreaptă, plan și în spațiu, descompunerea un vector de-a lungul unei baze, coordonatele unui vector relativ la bază, teorema egalității doi vectori, operații liniare cu vectori în forma de coordonate notație, triplu ortonormal al vectorilor, triplu dreapta și stânga al vectorilor, bază ortonormală, teorema fundamentală a algebrei vectoriale.

Capitolul 9. Baza unui spațiu vectorial și descompunerea unui vector într-o bază.

clauza 1. Bazat pe o linie dreaptă, pe un plan și în spațiu.

Definiţie. Orice set finit de vectori se numește sistem de vectori.

Definiţie. Expresia unde
se numește combinație liniară a unui sistem de vectori
, și numerele
se numesc coeficienții acestei combinații liniare.

Fie L, P și S o dreaptă, un plan și, respectiv, un spațiu de puncte și
. Apoi
– spații vectoriale ale vectorilor ca segmente direcționate pe dreapta L, pe planul P și, respectiv, în spațiul S.

orice vector diferit de zero este numit
, adică orice vector diferit de zero coliniar cu linia L:
Şi
.

Desemnarea de bază
:
– baza
.

Definiţie. Baza spațiului vectorial
este orice pereche ordonată de vectori necoliniari în spațiu
.

, Unde
,
– baza
.

Definiţie. Baza spațiului vectorial
este orice triplu ordonat al vectorilor necoplanari (adică nu se află în același plan) ai spațiului
.

– baza
.

Comentariu. Baza unui spațiu vectorial nu poate conține un vector zero: în spațiu
prin definiție, în spațiu
doi vectori vor fi coliniari dacă cel puțin unul dintre ei este zero, în spațiu
trei vectori vor fi coplanari, adică se vor afla în același plan, dacă cel puțin unul dintre cei trei vectori este zero.

clauza 2. Descompunerea unui vector pe bază.

Definiţie. Lasă - vector arbitrar,
– sistem arbitrar vectori. Dacă egalitatea este valabilă

apoi se spune că vectorul prezentată ca o combinație liniară a unui sistem dat de vectori. Dacă un sistem dat de vectori
este o bază a unui spațiu vectorial, atunci egalitatea (1) se numește descompunerea vectorului pe baza
. Coeficienți de combinație liniară
se numesc în acest caz coordonatele vectorului raportat la bază
.

Teorema. (Despre descompunerea unui vector în raport cu o bază.)

Orice vector al unui spațiu vectorial poate fi extins în baza sa și, în plus, într-un mod unic.

Dovada. 1) Fie L o dreaptă arbitrară (sau axă) și
– baza
. Să luăm un vector arbitrar
. Deoarece ambii vectori Şi coliniar pe aceeași linie L, atunci
. Să folosim teorema privind coliniaritatea a doi vectori. Deoarece
, atunci există (există) un astfel de număr
, Ce
si astfel am obtinut descompunerea vectorului pe baza
spațiu vectorial
.

Acum să demonstrăm unicitatea unei astfel de descompunere. Să presupunem contrariul. Să fie două descompuneri ale vectorului pe baza
spațiu vectorial
:

Şi
, Unde
. Apoi
și folosind legea distributivității obținem:

Deoarece
, apoi din ultima egalitate rezultă că
, etc.

2) Fie acum P un plan arbitrar și
– baza
. Lasă
un vector arbitrar al acestui plan. Să tragem toți cei trei vectori din orice punct al acestui plan. Să construim 4 linii drepte. Să facem o directă , pe care se află vectorul , Drept
, pe care se află vectorul . Până la sfârșitul vectorului trageți o dreaptă paralelă cu vectorul și o dreaptă paralelă cu vectorul . Aceste 4 linii drepte sculptează un paralelogram. Vezi mai jos fig. 3. După regula paralelogramului
, Și
,
,
– baza ,
– baza
.

Acum, conform celor dovedite deja în prima parte a acestei dovezi, există astfel de numere
, Ce

Şi
. De aici obținem:

iar posibilitatea extinderii în bază este dovedită.

Acum dovedim unicitatea expansiunii din punct de vedere al bazei. Să presupunem contrariul. Să fie două descompuneri ale vectorului pe baza
spațiu vectorial
:
Şi
. Obținem egalitate

De unde vine?
. Dacă
, Asta
, și pentru că
, Asta
iar coeficienții de expansiune sunt egali:
,
. Lasă-l acum
. Apoi
, Unde
. Prin teorema privind coliniaritatea a doi vectori rezultă că
. Am obținut o contradicție cu condițiile teoremei. Prin urmare,
Şi
, etc.

3) Lasă
– baza
si lasa
vector arbitrar. Să realizăm următoarele construcții.

Să lăsăm deoparte toți cei trei vectori de bază
și vector dintr-un punct și construiți 6 plane: planul în care se află vectorii de bază
, avion
si avionul
; mai departe până la sfârșitul vectorului Să desenăm trei plane paralele cu cele trei plane tocmai construite. Aceste 6 avioane sculptează un paralelipiped:

Folosind regula de adunare a vectorilor, obținem egalitatea:

. (1)

Prin constructie
. De aici, prin teorema privind coliniaritatea a doi vectori, rezultă că există un număr
, astfel încât
. De asemenea,
Şi
, Unde
. Acum, înlocuind aceste egalități în (1), obținem:

iar posibilitatea extinderii în bază este dovedită.

Să demonstrăm unicitatea unei astfel de descompunere. Să presupunem contrariul. Să fie două descompuneri ale vectorului pe baza
:

ȘI . Apoi

Rețineți că prin condiție vectorii
necoplanare, prin urmare, sunt necoliniare perechi.

Există două cazuri posibile:
sau
.

a) Fie
, apoi din egalitatea (3) rezultă:

. (4)

Din egalitatea (4) rezultă că vectorul se extinde în funcție de bază
, adică vector se află în planul vectorial
şi deci vectorii
coplanar, ceea ce contrazice condiția.

b) Rămâne un caz
, adică
.

Deoarece
Apoi din egalitatea (3) obținem sau
Şi
, etc.

este baza spațiului vectorilor aflați în plan și am demonstrat deja unicitatea expansiunii în baza vectorilor planului, apoi din egalitatea (5) rezultă că

Teorema a fost demonstrată.

Consecinţă.
1) Există o corespondență unu-la-unu între mulțimea de vectori dintr-un spațiu vectorial

și mulțimea numerelor reale R.
2) Există o corespondență unu-la-unu între mulțimea de vectori dintr-un spațiu vectorial

și un pătrat cartezian
3) Există o corespondență unu-la-unu între mulțimea de vectori dintr-un spațiu vectorial
și cub cartezian

Dovada. Să demonstrăm a treia afirmație. Primele două sunt dovedite într-un mod similar.

Selectați și fixați în spațiu
vreo bază
și aranjați un afișaj
conform următoarei reguli:

aceste. Pentru fiecare vector asociem o multime ordonata de coordonate ale acestuia.

Deoarece, cu o bază fixă, fiecare vector are un singur set de coordonate, corespondența specificată de regula (6) este într-adevăr o mapare.

Din demonstrarea teoremei rezultă că diferiți vectori au coordonate diferite în raport cu aceeași bază, i.e. cartografierea (6) este o injecție.

Lasă
un set arbitrar ordonat de numere reale.

Luați în considerare un vector
. Prin construcție, acest vector are coordonate
. În consecință, maparea (6) este o suprajecție.

O mapare care este atât injectivă, cât și surjectivă este bijectivă, adică. unu la unu, etc.

Ancheta a fost dovedită.

Teorema. (Despre egalitatea a doi vectori.)

Doi vectori sunt egali dacă și numai dacă coordonatele lor relativ la aceeași bază sunt egale.

Dovada decurge imediat din corolarul anterior.

clauza 3. Dimensiunea spațiului vectorial.

Definiţie. Numărul de vectori din baza unui spațiu vectorial se numește dimensiunea acestuia.

Desemnare:
– dimensiunea spațiului vectorial V.

Astfel, în conformitate cu aceasta și definițiile anterioare, avem:

1)
– spațiu vectorial al vectorilor dreptei L.

– baza
,
,
,
– descompunerea vectorială
pe baza
,
– coordonata vectoriala raportat la bază
.

2)
– spațiu vectorial al vectorilor planului R.

– baza
,
,
,
– descompunerea vectorială
pe baza
,
– coordonate vectoriale raportat la bază
.

3)
– spațiu vectorial al vectorilor în spațiul punctelor S.

– baza
,
,
– descompunerea vectorială
pe baza
,
– coordonate vectoriale raportat la bază
.

Comentariu. Dacă
, Asta
și poți alege o bază
spaţiu
Aşa
– baza
Şi
– baza
. Apoi
, Și
, .

Astfel, orice vector al dreptei L, planului P și spațiului S poate fi extins în funcție de bază
:

Desemnare. În virtutea teoremei privind egalitatea vectorilor, putem identifica orice vector cu un triplu ordonat al numerelor reale și să scriem:

Acest lucru este posibil numai dacă baza
fixat și nu există pericolul de a se încurca.

Definiţie. Scrierea unui vector sub forma unui triplu ordonat de numere reale se numește forma de coordonate de scriere a unui vector:
.

clauza 4. Operații liniare cu vectori în notație de coordonate.

Lasă
– baza spatiului
Şi
sunt doi dintre vectorii săi arbitrari. Lasă
Şi
– înregistrarea acestor vectori sub formă de coordonate. Să, mai departe,
– arbitrar număr real. Folosind această notație, este valabilă următoarea teoremă.

Teorema. (Despre operațiile liniare cu vectori sub formă de coordonate.)

2)
.

Cu alte cuvinte, pentru a adăuga doi vectori, trebuie să adăugați coordonatele lor corespunzătoare și pentru a înmulți un vector cu un număr, trebuie să înmulțiți fiecare coordonată a unui vector dat cu un număr dat.

Dovada. Deoarece, conform condițiilor teoremei, , folosind apoi axiomele spațiului vectorial, care guvernează operațiile de adunare a vectorilor și de înmulțire a unui vector cu un număr, obținem:

De aici rezultă.

A doua egalitate este dovedită în mod similar.

este baza spațiului vectorilor aflați în plan și am demonstrat deja unicitatea expansiunii în baza vectorilor planului, apoi din egalitatea (5) rezultă că

clauza 5. Vectori ortogonali. Baza ortonormala.

Definiţie. Doi vectori sunt numiți ortogonali dacă unghiul dintre ei este egal cu un unghi drept, adică.
.

Desemnare:
– vectori Şi ortogonală.

Definiţie. Troica vectorilor
se numește ortogonală dacă acești vectori sunt perechi ortogonali unul față de celălalt, adică.
,
.

Definiţie. Troica vectorilor
se numește ortonormal dacă este ortogonal și lungimile tuturor vectorilor sunt egale cu unu:
.

Comentariu. Din definiție rezultă că un triplu de vectori ortogonal și, prin urmare, ortonormal este necoplanar.

Definiţie. Triplet vector necoplanar ordonat
trasat dintr-un punct se numește dreapta (orientat la dreapta) dacă, atunci când este observat de la sfârșitul celui de-al treilea vector la planul în care se află primii doi vectori Şi , cea mai scurtă rotație a primului vector la al doilea are loc în sens invers acelor de ceasornic. În caz contrar, triplul vectorilor se numește stânga (orientat la stânga).

Aici, în Fig. 6, cei trei din dreapta sunt prezentati
. Următoarea figură 7 prezintă trei din stânga vectorilor
:

Definiţie. Bază
spațiu vectorial
se numeste ortonormal daca
triplul ortonormal al vectorilor.

Desemnare. În cele ce urmează vom folosi baza ortonormală potrivită
, vezi figura următoare.

În articolul despre vectorii n-dimensionali am ajuns la concept spațiu liniar, generat de un set de vectori n-dimensionali. Acum trebuie să luăm în considerare concepte la fel de importante, cum ar fi dimensiunea și baza unui spațiu vectorial. Ele sunt direct legate de conceptul de sistem liniar independent de vectori, deci este recomandat suplimentar să vă amintiți elementele de bază ale acestui subiect.

Să introducem câteva definiții.

Definiția 1

Dimensiunea spațiului vectorial– un număr corespunzător numărului maxim de vectori liniar independenți din acest spațiu.

Definiția 2

Baza spațiului vectorial– o mulțime de vectori liniar independenți, ordonați și egali ca număr cu dimensiunea spațiului.

Să considerăm un anumit spațiu de n -vectori. Dimensiunea sa este în mod corespunzător egală cu n. Să luăm un sistem de vectori de n unități:

e (1) = (1, 0, . . . 0) e (2) = (0, 1, . . , 0) e (n) = (0, 0, . . , 1)

Folosim acești vectori ca componente ale matricei A: va fi unitate cu dimensiunea n cu n. Rangul acestei matrice este n. Prin urmare, sistemul vectorial e (1) , e (2) , . . . , e(n) este liniar independent. În acest caz, este imposibil să adăugați un singur vector la sistem fără a-i încălca independența liniară.

Deoarece numărul de vectori din sistem este n, atunci dimensiunea spațiului vectorilor n-dimensionali este n, iar vectorii unitari sunt e (1), e (2), . . . , e (n) sunt baza spațiului specificat.

Din definiția rezultată putem concluziona: orice sistem de vectori n-dimensionali în care numărul de vectori este mai mic decât n nu este o bază de spațiu.

Dacă schimbăm primul și al doilea vector, obținem un sistem de vectori e (2) , e (1) , . . . , e (n) . Va fi, de asemenea, baza unui spațiu vectorial n-dimensional. Să creăm o matrice luând ca rânduri vectorii sistemului rezultat. Matricea poate fi obținută din matricea de identitate schimbând primele două rânduri, rangul său va fi n. Sistemul e (2) , e (1) , . . . , e(n) este liniar independent și este baza unui spațiu vectorial n-dimensional.

Prin rearanjarea altor vectori în sistemul original, obținem o altă bază.

Putem lua un sistem liniar independent de vectori non-unitari și va reprezenta, de asemenea, baza unui spațiu vectorial n-dimensional.

Definiția 3

Un spațiu vectorial cu dimensiunea n are atâtea baze câte sisteme liniar independente de vectori n-dimensionali ai numărului n.

Planul este un spațiu bidimensional - baza sa va fi oricare doi vectori necoliniari. Baza spațiului tridimensional va fi oricare trei vectori necoplanari.

Să luăm în considerare aplicarea acestei teorii folosind exemple specifice.

Exemplul 1

Date inițiale: vectori

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2)

Este necesar să se determine dacă vectorii specificați sunt baza unui spațiu vectorial tridimensional.

Soluţie

Pentru a rezolva problema, investigăm sistem dat vectori într-o relație liniară. Să creăm o matrice, în care rândurile sunt coordonatele vectorilor. Să determinăm rangul matricei.

A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 · (- 1) - 1 · 1 · 3 - (- 2) · 2 · (- 2) - 3 · 2 · (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R a n k (A) = 3

În consecință, vectorii specificați de condiția problemei sunt independenți liniar, iar numărul lor este egal cu dimensiunea spațiului vectorial - ei stau la baza spațiului vectorial.

Răspuns: vectorii indicați stau la baza spațiului vectorial.

Exemplul 2

Date inițiale: vectori

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2) d = (0 , 1 , 2)

Este necesar să se determine dacă sistemul specificat de vectori poate fi baza spațiului tridimensional.

Soluţie

Sistemul de vectori specificat în formularea problemei este dependent liniar, deoarece numărul maxim de vectori liniar independenți este 3. Astfel, sistemul de vectori indicat nu poate servi ca bază pentru un spațiu vectorial tridimensional. Dar este de remarcat faptul că subsistemul sistemului original a = (3, - 2, 1), b = (2, 1, 2), c = (3, - 1, - 2) este o bază.

Răspuns: sistemul de vectori indicat nu este o bază.

Exemplul 3

Date inițiale: vectori

a = (1, 2, 3, 3) b = (2, 5, 6, 8) c = (1, 3, 2, 4) d = (2, 5, 4, 7)

Pot fi ele baza spațiului cu patru dimensiuni?

Soluţie

Să creăm o matrice folosind coordonatele vectorilor dați ca șiruri

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

Folosind metoda Gauss, determinăm rangul matricei:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k (A) = 4

În consecință, sistemul de vectori dați este liniar independent și numărul lor este egal cu dimensiunea spațiului vectorial - ei sunt baza unui spațiu vectorial cu patru dimensiuni.

Răspuns: vectorii dați sunt baza spațiului cu patru dimensiuni.

Exemplul 4

Date inițiale: vectori

a (1) = (1 , 2 , - 1 , - 2) a (2) = (0 , 2 , 1 , - 3) a (3) = (1 , 0 , 0 , 5)

Formează ele baza unui spațiu de dimensiunea 4?

Soluţie

Sistemul original de vectori este liniar independent, dar numărul de vectori din el nu este suficient pentru a deveni baza unui spațiu cu patru dimensiuni.

Răspuns: nu, ei nu.

Descompunerea unui vector într-o bază

Să presupunem că vectorii arbitrari e (1) , e (2) , . . . , e (n) sunt baza unui spațiu vectorial n-dimensional. Să le adăugăm un anumit vector n-dimensional x →: sistemul de vectori rezultat va deveni liniar dependent. Proprietățile dependenței liniare afirmă că cel puțin unul dintre vectorii unui astfel de sistem poate fi exprimat liniar prin ceilalți. Reformulând această afirmație, putem spune că cel puțin unul dintre vectorii unui sistem dependent liniar poate fi extins în vectorii rămași.

Astfel, am ajuns la formularea celei mai importante teoreme:

Definiția 4

Orice vector al unui spațiu vectorial n-dimensional poate fi descompus în mod unic într-o bază.

Dovada 1

Să demonstrăm această teoremă:

să definim baza spațiului vectorial n-dimensional - e (1) , e (2) , . . . , e (n) . Să facem sistemul dependent liniar prin adăugarea unui vector n-dimensional x → la el. Acest vector poate fi exprimat liniar în termenii vectorilor originali e:

x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) , unde x 1 , x 2 , . . . , x n - unele numere.

Acum demonstrăm că o astfel de descompunere este unică. Să presupunem că nu este cazul și că există o altă descompunere similară:

x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n) , unde x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - unele numere.

Să scădem din laturile din stânga și din dreapta acestei egalități, respectiv, din stânga și din dreapta egalității x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) . Primim:

0 = (x ~ 1 - x 1) · e (1) + (x ~ 2 - x 2) · e (2) + . . . (x ~ n - x n) e (2)

Sistem de vectori de bază e (1) , e (2) , . . . , e(n) este liniar independent; prin definiția independenței liniare a unui sistem de vectori, egalitatea de mai sus este posibilă numai atunci când toți coeficienții sunt (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , . . . , (x ~ n - x n) va fi egal cu zero. Din care va fi corect: x 1 = x ~ 1, x 2 = x ~ 2, . . . , x n = x ~ n . Și aceasta dovedește singura opțiune pentru descompunerea unui vector într-o bază.

În acest caz, coeficienții x 1, x 2, . . . , x n se numesc coordonatele vectorului x → în baza e (1) , e (2) , . . . , e (n) .

Teoria dovedită face clară expresia „ dat un vector n-dimensional x = (x 1 , x 2 , . . . , x n)”: se consideră un vector x → spațiu vectorial n-dimensional, iar coordonatele sale sunt specificate într-un anumită bază. De asemenea, este clar că același vector într-o altă bază a spațiului n-dimensional va avea coordonate diferite.

Luați în considerare următorul exemplu: să presupunem că într-o anumită bază a spațiului vectorial n-dimensional este dat un sistem de n vectori liniar independenți

și, de asemenea, este dat vectorul x = (x 1 , x 2 ,..., x n).

Vectorii e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) în acest caz sunt, de asemenea, baza acestui spațiu vectorial.

Să presupunem că este necesar să se determine coordonatele vectorului x → în baza e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) , notat cu x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n.

Vector x → va fi reprezentat astfel:

x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) + . . . + x ~ n e (n)

Să scriem această expresie sub formă de coordonate:

(x 1 , x 2 , . . . , x n) = x ~ 1 (e (1) 1 , e (1) 2 , . . , e (1) n) + x ~ 2 (e (2) 1 , e (2) 2 , . . . + + x ~ n · (e (n) 1 , e (n) 2 , . . . , e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + . + x ~ n e 2 (n) , .

Egalitatea rezultată este echivalentă cu un sistem de n expresii algebrice liniare cu n variabile liniare necunoscute x ~ 1, x ~ 2, . . . , x ~ n:

x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 + . . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 + . . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + x ~ n e n n

Matricea acestui sistem va avea următoarea formă:

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

Fie aceasta o matrice A, iar coloanele sale sunt vectori ai unui sistem liniar independent de vectori e 1 (1), e 2 (2), . . . , e n (n) . Rangul matricei este n, iar determinantul său este diferit de zero. Aceasta indică faptul că sistemul de ecuații are o soluție unică, determinată de orice metodă convenabilă: de exemplu, metoda Cramer sau metoda matricei. Astfel putem determina coordonatele x ~ 1, x ~ 2, . . . , x ~ n vector x → în baza e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) .

Să aplicăm teoria luată în considerare la un exemplu specific.

Exemplul 6

Date inițiale: vectorii sunt specificați pe baza spațiului tridimensional

e (1) = (1 , - 1 , 1) e (2) = (3 , 2 , - 5) e (3) = (2 , 1 , - 3) x = (6 , 2 , - 7)

Este necesar să se confirme faptul că sistemul de vectori e (1), e (2), e (3) servește și ca bază a unui spațiu dat și, de asemenea, să se determine coordonatele vectorului x într-o bază dată.

Soluţie

Sistemul de vectori e (1), e (2), e (3) va sta la baza spațiului tridimensional dacă este liniar independent. Să aflăm această posibilitate determinând rangul matricei A, ale cărei rânduri sunt vectorii dați e (1), e (2), e (3).

Folosim metoda Gauss:

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

R a n k (A) = 3 . Astfel, sistemul de vectori e (1), e (2), e (3) este liniar independent și este o bază.

Fie vectorul x → să aibă coordonatele x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3 în bază. Relația dintre aceste coordonate este determinată de ecuația:

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)

Să aplicăm valorile în funcție de condițiile problemei:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

Să rezolvăm sistemul de ecuații folosind metoda lui Cramer:

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

Astfel, vectorul x → în baza e (1), e (2), e (3) are coordonatele x ~ 1 = 1, x ~ 2 = 1, x ~ 3 = 1.

Răspuns: x = (1, 1, 1)

Relația dintre baze

Să presupunem că într-o anumită bază a spațiului vectorial n-dimensional sunt date două sisteme de vectori liniar independente:

c (1) = (c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) c (2) = (c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . . , c n (n))

e (1) = (e 1 (1) , e 2 (1) , . . . , e n (1)) e (2) = (e 1 (2) , e 2 (2) , . . . , e n (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . . , e n (n))

Aceste sisteme sunt, de asemenea, bazele unui spațiu dat.

Fie c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1) - coordonatele vectorului c (1) în baza e (1) , e (2) , . . . , e (3) , atunci relația de coordonate va fi dată de un sistem de ecuații liniare:

c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) + . . . + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) + . . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)

Sistemul poate fi reprezentat ca o matrice după cum urmează:

(c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Să facem aceeași intrare pentru vectorul c (2) prin analogie:

(c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , . . , c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

(c 1 (n) , c 2 (n) , . . . , c n (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . . , c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Să combinăm egalitățile matriceale într-o singură expresie:

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n ) e 2 (n) ⋯ e n (n)

Acesta va determina legătura dintre vectorii a două baze diferite.

Folosind același principiu, se pot exprima toți vectorii de bază e(1), e(2), . . . , e (3) prin baza c (1) , c (2) , . . . , c (n):

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n ) c 2 (n) ⋯ c n (n)

Să dăm următoarele definiții:

Definiția 5

Matricea c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) este matricea de tranziție de la baza e (1) , e (2) , . . . , e (3)

la baza c (1) , c (2) , . . . , c (n) .

Definiția 6

Matrice e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) este matricea de tranziție de la baza c (1) , c (2) , . . . , c(n)

la baza e (1) , e (2) , . . . , e (3) .

Din aceste egalităţi este evident că

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ~ 2 ( 1 ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n ) · c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

aceste. matricele de tranziție sunt reciproce.

Să ne uităm la teorie folosind un exemplu specific.

Exemplul 7

Date inițiale: este necesar să se găsească matricea de tranziție de la bază

c (1) = (1 , 2 , 1) c (2) = (2 , 3 , 3) ​​​​c (3) = (3 , 7 , 1)

e (1) = (3 , 1 , 4) e (2) = (5 , 2 , 1) e (3) = (1 , 1 , - 6)

De asemenea, trebuie să indicați relația dintre coordonatele unui vector arbitrar x → în bazele date.

Soluţie

1. Fie T matricea de tranziție, atunci egalitatea va fi adevărată:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1

Înmulțiți ambele părți ale egalității cu

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

si obtinem:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. Definiți matricea de tranziție:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. Să definim relația dintre coordonatele vectorului x → :

Să presupunem că în baza c (1) , c (2) , . . . , c (n) vector x → are coordonatele x 1 , x 2 , x 3 , atunci:

x = (x 1 , x 2 , x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 ,

iar în baza e (1) , e (2) , . . . , e (3) are coordonatele x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3, atunci:

x = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Deoarece Dacă părțile din stânga acestor egalități sunt egale, putem echivala și părțile din dreapta:

(x 1 , x 2 , x 3) · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Înmulțiți ambele părți din dreapta cu

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

si obtinem:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Pe cealaltă parte

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Ultimele egalități arată relația dintre coordonatele vectorului x → în ambele baze.

Răspuns: matricea de tranziție

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Coordonatele vectorului x → în bazele date sunt legate prin relația:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

O combinație liniară de vectori este un vector
, unde λ 1, ..., λ m sunt coeficienți arbitrari.

Sistem vectorial
se numește dependent liniar dacă există o combinație liniară a acesteia egală cu , care are cel puțin un coeficient diferit de zero.

Sistem vectorial
se numește liniar independent dacă în oricare dintre combinațiile sale liniare egal cu , toți coeficienții sunt zero.

Baza sistemului vectorial
este numit subsistemul său nevid liniar independent, prin care poate fi exprimat orice vector al sistemului.

Exemplul 2. Găsiți baza unui sistem de vectori = (1, 2, 2, 4),= (2, 3, 5, 1),= (3, 4, 8, -2),= (2, 5, 0, 3) și exprimă vectorii rămași prin bază.

Rezolvare: Construim o matrice în care coordonatele acestor vectori sunt aranjate în coloane. Îl aducem într-o formă treptat.

~
~
~
.

Baza acestui sistem este formată din vectori ,,, care corespund elementelor conducătoare ale liniilor, evidențiate în cercuri. Pentru a exprima un vector Rezolvați ecuația x 1 +x 2 + x 4 =. Se reduce la un sistem de ecuații liniare, a cărui matrice este obținută din permutarea inițială a coloanei corespunzătoare

, în locul coloanei de termeni liberi.

Prin urmare, pentru a rezolva sistemul, folosim matricea rezultată în formă treptă, făcând rearanjamentele necesare în ea.

= -+2.

Găsim în mod constant:

Observația 2. Pentru a exprima orice vector, este suficient să folosiți doar vectorii de bază ai sistemului care îl precedă. În acest caz, nu este nevoie să reformatați matricea, este suficient să puneți o linie verticală la locul potrivit.

Exercițiul 2. Aflați baza sistemului de vectori și exprimați vectorii rămași prin baza:

O) = (1, 3, 2, 0),= (3, 4, 2, 1),= (1, -2, -2, 1),= (3, 5, 1, 2);

b) = (2, 1, 2, 3),= (1, 2, 2, 3),= (3, -1, 2, 2),= (4, -2, 2, 2);

V) = (1, 2, 3),= (2, 4, 3),= (3, 6, 6),= (4, -2, 1);= (2, -6, -2).

1. 3. Sistem fundamental de soluții

Un sistem de ecuații liniare se numește omogen dacă toți termenii săi liberi sunt egali cu zero.

Sistem fundamental de soluții sistem omogen ecuațiile liniare se numesc baza mulțimii soluțiilor sale.

Să ni se dea un sistem neomogen de ecuații liniare. Un sistem omogen asociat unuia dat este un sistem obținut dintr-unul dat prin înlocuirea tuturor termenilor liberi cu zerouri.

Dacă sistemul neomogen este consistent și nedefinit, atunci soluția sa arbitrară are forma f n +  1 f o1 + ... +  k f o k, unde f n este o soluție particulară a sistemului neomogen și f o1, ... , f o k este soluţiile de sistem fundamentale ale sistemului omogen asociat.

Exemplul 3. Găsiți o anumită soluție pentru sistemul neomogen din Exemplul 1 și sistemul fundamental de soluții pentru sistemul omogen asociat.

Rezolvare Sa scriem solutia obtinuta in exemplul 1 in forma vectoriala si descompunem vectorul rezultat intr-o suma peste parametrii liberi prezenti in el si valori numerice fixe:

= (x 1 , x 2 , x 3 , x 4) = (–2a + 7b – 2, a, –2b + 1, b) = (–2a, a, 0, 0) + (7b, 0, – 2b, b) + +(– 2, 0, 1, 0) = a(-2, 1, 0, 0) + b(7, 0, -2, 1) + (– 2, 0, 1, 0) ).

Se obține f n = (– 2, 0, 1, 0), f o1 = (-2, 1, 0, 0), f o2 = (7, 0, -2, 1).

Comentariu. Problema găsirii unui sistem fundamental de soluții la un sistem omogen este rezolvată în mod similar.

Exercițiul 3.1 Aflați sistemul fundamental de soluții al unui sistem omogen:

O)

b)

c) 2x 1 – x 2 +3x 3 = 0.

Exercițiul 3.2. Găsiți o anumită soluție pentru sistemul neomogen și un sistem fundamental de soluții pentru sistemul omogen asociat:

O)

b)