Aplicarea factorizării polinoamelor. „aplicarea diferitelor metode de factorizare a unui polinom” Aplicarea diverselor metode de factorizare

PLAN DE LECȚIE

Tipul de lecție : lectie despre invatarea de material nou bazat pe învăţare bazată pe probleme

9 Scopul lecției

creați condiții pentru exersarea deprinderilor de factorizare a unui polinom folosind diverse metode.

10. Sarcini:

Educațional

repetați algoritmii operațiilor: plasarea factorului comun din paranteze, metoda de grupare, formule de înmulțire prescurtate.

dezvolta abilitatile:

– să aplice cunoștințele pe tema „factorizarea unui polinom în diverse moduri”;

– îndeplini sarcinile conform metodei de acțiune alese;

– alege cel mai rațional mod de a raționaliza calculele și de a transforma polinoame.

De dezvoltare

promovează dezvoltarea abilități cognitive, atenție, memorie, gândire a elevilor prin utilizarea diferitelor exerciții;

dezvolta aptitudini munca independentași munca în grup; menține interesul elevilor pentru matematică

Educarea

menține interesul elevilor pentru matematică

11. UUD format

Personal: conștientizarea scopului activității (rezultatul așteptat), conștientizarea sau alegerea metodei de activitate (Cum voi face asta? Cum voi obține rezultatul?), analiza și evaluarea rezultatului obținut; evaluarea capacităților dvs.;

de reglementare: ia în considerare regula în planificarea și controlul metodei de soluționare, planificarea, evaluarea rezultatelor muncii;

Cognitiv: alegerea cel mai mult moduri eficiente rezolvarea problemelor, structurarea cunoștințelor;transformarea informaţiei de la un tip la altul.

Comunicativ: planificarecooperarea educațională cu profesorul și colegii, respectarea regulilor de comportament de vorbire, capacitatea de exprimare șijustificați-vă punctul de vedere, luați în considerare opinii diferite și străduiți-vă să coordonați diferite poziții în cooperare.

12.Metode:

după sursele de cunoaștere: verbale, vizuale;

referitor la caracter activitate cognitivă: reproductiv, parțial de căutare.

13. Forme de lucru ale elevilor: frontal, individual, de grup.

14. Necesar echipament tehnic: calculator, proiector, tablă interactivă, fișă(fișă de autocontrol, fișe de sarcini), prezentare electronică realizată în programPuterePunct

15.Rezultatele planificate :

Personal cultivarea unui sentiment de respect de sine și reciproc; dezvoltarea cooperării în timpul lucrului în grup;

Metasubiect dezvoltarea vorbirii; dezvoltarea independenței în rândul elevilor; dezvoltarea atenției la căutarea erorilor.

Subiect dezvoltarea abilităților de a lucra cu informații, stăpânirea soluțiilor

Progresul lecției:

1. Salutarea elevilor. Profesorul verifică gradul de pregătire al clasei pentru lecție; organizarea atentiei; instrucțiuni privind modul de utilizare a fișei de evaluareAnexa 1 , clarificarea criteriilor de evaluare.

Examinare teme pentru acasăși actualizarea cunoștințelor

1. 3a + 6b= 3(a + 2b)

2. 100 – 20s + s 2 = (10 + s) 2

3. cu 2 – 81 = (s – 9)(s + 9)

4. 6x 3 – 5x 4 = x 4 (6x – 5)

5. ау – 3у – 4а + 12 = у(а – 3) – 4(а – 3)

6. 0,09x 2 – 0,25у 2 = (0,03x – 0,05y)(0,03x + 0,05y)

7. c(x – 3) –d(x – 3) = (x – 3)(s –d)

8. 14x 2 – 7x = 7x(7x – 1)

9. -1600 + a 12 = (40 + a 6 ) (40 - a 6 )

10. 9x 2 – 24xy + 16y 2 = (3x – 4y) 2

11,8s 3 – 2s 2 + 4s – 1 =

2s 2 (4s – 1) + (4s – 1) = (4s – 1)2s 2

12. b 4 + s 2 – 2 b 2 c = (b – c) 2

(sarcini pentru teme pentru acasă luate din manual, includ factorizarea în moduri diferite. Pentru a finaliza această lucrare, elevii trebuie să-și amintească materialul studiat anterior)

Răspunsurile scrise pe diapozitiv conțin erori, elevii învață să vadă metodele, iar când observă erori își amintesc metode de actiune,

Elevii în grupe, după ce își verifică temele, atribuie puncte pentru munca efectuată.

2 ReleuAnexa 2 (membrii echipei efectuează pe rând sarcina, cu o săgeată care leagă exemplul și metoda de descompunere a acestuia)

3a – 12b = 3(a – 4 b)

2a + 2b + a 2 + ab = (a + b) (2 + a)

9a 2 – 16b 2 = ( 3a – 4 b)(3a + 4b)

16a 2 - 8ab + b 2 = (4a – b) 2

7a 2 b – 14ab 2 + 7ab = 7ab(a – 2b + 1)

o 2 + ab- a – ac- bc + c = (a + b – 1)(a – c)

25a 2 + 70ab+ 49b 2 = ( 5a + 7 b) 2

5x 2 – 45у 2 = 5(x – 3y)(x + 3y)

Nu factorizează

Metoda de grupare

Folosind diapozitivul, se verifică munca efectuată și se atrage atenția asupra faptului că ultimul exemplu trebuie combinat cu două metode de descompunere (bracketing factorul comun și formula de multiplicare prescurtată)

Elevii evaluează munca depusă, introduc rezultatele în fișele de evaluare și, de asemenea, formulează tema lecției.

3. Completarea temelor (elevii sunt rugați să finalizeze sarcina. Discuând soluția în grup, băieții ajung la concluzia că sunt necesare mai multe metode pentru factorizarea acestor polinoame. Echipa care propune mai întâi extinderea corectă are dreptul să noteze soluția sa pe tablă, restul notează-o într-un caiet.. Echipa a făcut eforturi pentru a ajuta elevii cărora le este greu să facă față sarcinii)

1) 2a 2 - 2b 2

5) 5m 2 +5n 2 – 10 minute

9) 84 – 42y – 7xy + 14x

13) x 2 y+14xy 2 + 49 de ani 3

2) 3a 2 + 6ab + 3b 2

6) cx 2 –cy 2

10) -7b 2 – 14bc – 7c 2

14) 3ab 2 – 27a

3) x 3 – 4x

7) -3x 2 + 12x - 12

11) 3x 2 - 3

15) -8a 3 b+56a 2 b 2 – 98ab 3

4) 3ab + 15b – 3a – 15

8) x 4 –x 2

12) c 4 - 81

16) 0 , 09t 4 – t 6

4. Etapa finală –

Factorizarea unui polinom

Scoaterea factorului comun din paranteze

Metoda de grupare

Formula de înmulțire prescurtată

Rezumatul lecției. Elevii răspund la întrebările:Ce sarcină ne-am stabilit? Am reușit să rezolvăm problema? În ce fel? Ce rezultate ai obtinut? Cum poate fi factorizat un polinom? La ce sarcini poți aplica aceste cunoștințe? Ce ai făcut bine la lecție? Ce altceva are nevoie de muncă?

În timpul lecției, elevii s-au autoevaluat la sfârșitul lecției, li s-a cerut să adună punctele primite și să acorde o notă conform baremului propus.

Ultimul cuvânt de la profesor: Astăzi la clasă am învățat să stabilim ce metode trebuie folosite pentru factorizarea polinoamelor. Pentru a consolida munca depusă

Tema pentru acasă: §19, nr. 708, nr. 710

Sarcină suplimentară:

Rezolvați ecuația x 3 + 4x 2 = 9x + 36

• Formarea deprinderilor de utilizare a diferitelor metode de factorizare.
• Contribuiți la dezvoltarea unei culturi a vorbirii, acuratețea înregistrării și independența.
• Formarea abilităților activității de căutare parțială: recunoașterea problemei, analiza, tragerea de concluzii.

Echipament: manual, tablă, caiet, carduri de sarcini.

Tip de lecție: Lecție despre utilizarea ZUN.

Metoda de predare: bazată pe probleme, bazată parțial pe căutare.

Forma de organizare activități educaționale: grup, frontal, individual, lucru în perechi.

Durata: 1 lecție (45 min)

Planul lecției:

1. Organizarea începerii lecției. (1 min.)
2. Verificarea temelor. (2 min)
3. Actualizare. (5 min)
4. Învățarea de materiale noi. (10 min)
5. Consolidarea materialului nou. (15 min)
6. Controlul și autotestarea cunoștințelor. (8 min)
7. Rezumând. (2 min)
8. Teme pentru acasă. (2 min)

Progresul lecției

eu. Moment organizatoric

Salut baieti.

Subiectul lecției este „Folosirea diferitelor metode de factorizare”. Astăzi ne vom dezvolta abilitățile în utilizarea diferitelor metode de factorizare și vom verifica încă o dată utilitatea capacității de factorizare a unui polinom.

Vă doresc să lucrați activ în clasă. (Scrieți subiectul în caiet).

II. Verificarea temelor

Înainte de începerea lecției, elevii predau caiete cu temele finalizate pentru verificare. Sunt discutate problemele care au cauzat dificultăți.

III. Actualizarea cunoștințelor de bază.

Înainte de a începe să rezolvăm problemele, să verificăm cât de pregătiți suntem pentru asta. Să ne amintim ce știm despre subiectul lecției.

3.1. Studiu frontal:

a) Ce înseamnă factorizarea unui polinom?
b) Ce metode de bază pentru factorizarea unui polinom cunoașteți?
c) Poate fi factorizat orice polinom? De exemplu?
d) În ce sarcini este uneori utilă utilizarea factorizării?

3.2. Conectați polinoamele cu metodele lor corespunzătoare de factorizare cu linii.

3.3. Găsiți afirmația incorectă:

a)a 2 + b 2 – 2ab = (a – b) 2

b) m 2 + 2mn – n 2 = (m – n) 2

c) –2pt + p 2 + t 2 = (p – t) 2

d) 25 – 16 s 2 = (5 – 4s)(5 – 4s) (erori b, d)

3.4. Prezentați-l ca produs: a) 64x 2 – 1; b) (d - 3) 2 – 36;

3.5. Rezolvați ecuația x 2 – 16 = 0 (4; –4)

3.5. Găsiți valoarea unei expresii 34 2 – 24 2 (580)

IV. Studierea materialului

Pentru a factoriza polinoamele, am folosit formule de înmulțire abreviate, de grupare și de paranteză.

Credeți că există situații în care este posibilă factorizarea unui polinom prin aplicarea mai multor metode succesive?

Următoarea sarcină ne va ajuta să găsim răspunsul la această întrebare:

Factorizați polinomul și indicați ce metode au fost utilizate. ( Lucrați în perechi urmat de soluții la tablă)

Exemplul 1. 9x 3 – 36x au folosit 2 metode:

Exemplul 2. a 2 + 2ab + b 2 – c 2 au fost utilizate două metode:

• grupare;
• utilizarea formulelor de înmulțire prescurtate.

Exemplul 3. y 3 – 3y 2 + 6y – 18 S-au folosit 3 metode:

• grupare;
• utilizarea formulelor de înmulțire abreviate;
• plasând factorul comun din paranteze.

Exemplul 4. x 3 + 3x 2 + 2x au folosit 3 metode:

• scoaterea din paranteze a factorului comun;
• preconversie;
• gruparea.

Concluzionăm: uneori este posibilă factorizarea unui polinom prin aplicarea succesivă a mai multor metode. Pentru a rezolva cu succes astfel de exemple, astăzi să dezvoltăm un plan pentru aplicarea lor consecventă:

1. Puneți factorul comun din paranteze (dacă există unul).
2. Încercați să factorizați un polinom folosind formule de înmulțire prescurtate.
3. Încercați să aplicați metoda de grupare (dacă metodele anterioare nu au condus la obiectiv).

V. Exerciții de consolidare a temei prezentate

5.1. Combinația diferitelor metode de factorizare vă permite să efectuați cu ușurință și elegant calcule aritmetice și să rezolvați ecuații de forma ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (astfel de ecuații se numesc pătratice; le vom studia în clasa a VIII-a) .

* Rezolvați ecuația: a) x 2 – 17x + 72 = 0, b) x 2 + 10x + 21 = 0

Sugestie: Un anumit termen al unui polinom este extins în termenii necesari sau completat prin adăugarea unui termen la acesta. În acest din urmă caz, pentru ca polinomul să nu se schimbe, din acesta se scade același termen.

(Doi elevi rezolvă ecuații independent într-un caiet. Răspuns: a) 8; 9; b) - 1; - 5).

Faceți exercițiul din manualul nr. 1016 (c), 1017 (c), p. 186

(Doi elevi decid pe tablă, restul în funcție de opțiunile din caiete).

5.2. Rezolvarea ecuațiilor ( Elevii lucrează în perechi, urmat de autotest)

nr. 949, p. 177 a) x 3 – x = 0 b) 9x – x 3 = 0 c) x 3 + x 2 = 0 d) 5x 4 – 2x 2 = 0.

** (Teme individuale pentru studenți mai avansați)

Cardul 1	Cardul 2	Cardul 3
Rezolvați ecuația și indicați suma rădăcinilor x 2 + 3x + 6 + 2x = 0		Rezolvați ecuația și indicați suma rădăcinilor

x(x+3) +2(3+x) =0 suma este -5

Suma rădăcinilor ecuația dată:

Suma rădăcinilor ecuației:.

VI. Controlul și autotestarea cunoștințelor.

Tema luată în considerare este parte integrantă a Examenului Academic de Stat la Matematică. Pentru a vă controla și a vă autotesta cunoștințele pe această temă, sunteți invitat să finalizați sarcinile de testare din sarcinile de instruire ale testului de examen de stat (GIA). Pentru întrebările de test, încercuiți răspunsul.

Lucru individual folosind carduri: (Elevii finalizează sarcinile de testare GIA, + autotest)

Care dintre aceste expresii sunt identic egale cu 4x-10y 2(2х-5у) -2(5у-2х) -10у-4х -10y+4x? a)1;3; b) totul; c)1;2;4; opresiune	Care dintre aceste expresii sunt identic egale - 3(-2a+y) -3(-у+2а) 6a-3u 3(2а-у) 3u-6a? a) totul; b)2; y) 2;3; c)1;4	Care dintre aceste expresii sunt identic egale cu -6a+12p -6(a-2p) 12р-6а 6(-а+2р) -6(-р+а) ? a)1; y) totul; c) 2;4; d)1;3
3a 3 -3a 2 -5a+5. a) (a-1)(3a 2 +5); b) (a+1)(3a 2 -5); c) (a-1)(5-3a 2); e) (a-1)(3a 2 +5).	Reprezentați ca produs de polinoame 13ah-26x-5av+10v. e) (a-2)(13x-5c); b) (a+2)(3x-5c); c) (3a-6)(4x-c); d) (a-2)(5c-3x).	Reprezentați ca produs de polinoame prin-6b-5у 2 +30у. a) (6-у)(b-5у); b) (y -6)(b+5y); c) (y -6)(b-5y); d) (y -6)(5y- b).
Urmați pașii: (5a-c) 2. a) 25a 2 +10ac+s 2; b) 25a 2 +10ac-s 2; p) 25a2-10ac+s2; d) 25a 2 -5ac+s 2.	Urmați acești pași: (5x+2y) 2. a) 25x 2 +20xy+4y 2; succes

Profesor: Să verificăm răspunsurile. Citește cuvintele cu care ai venit. Acestea sunt exact cuvintele care îi însoțesc pe elevii de clasa a VII-a atunci când se pregătesc pentru Examenul de Stat în clasa a IX-a.

VII. Rezumând lecția

Profesorul efectuează o trecere în revistă frontală a principalelor etape ale lecției, evaluează munca elevilor și îi îndrumă pe elevi în temele lor.

VIII. Teme pentru acasă: paragraful 38, nr. 950 (p. 177), nr. 1016 (g), 1017 (g), p. 186.

** Aflați valoarea expresiei (x+3)2 -2 (x+3) (x-3) +(x-3)2 la x=100.

Sensul acestei expresii nu depinde de alegerea lui x.

Lecția s-a terminat. Vă mulțumim pentru lecție și amintiți-vă că cunoștințele care nu se reînnoiesc zilnic scade în fiecare zi.

Literatura folosita:

1. Manual „Algebră clasa a VII-a”. Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk și colab.
2. S.A. Teliakovsky. – M.; Iluminarea, 2009. Colectare sarcini de testare
3. pentru controlul tematic și final. Algebră 7. I.L. Guseva și alții - M.; Centrul de Intelect, 2009. Stat certificare finală (De formă nouă ): clasa a IX-a. Tematic

sarcini de instruire

. Algebră/ FIPI autor-compilator: V.L. Kuznetsova. – M.: Eksmo, 2010. Există trei moduri principale de a converti polinoamele în factori. Acest lucru înseamnă scoaterea factorului comun din paranteze, regruparea în termeni similari și utilizarea formulelor de multiplicare abreviate. Dacă toți membrii unui polinom au o anumită bază comună, atunci acesta poate fi scos cu ușurință din paranteze, lăsând resturile din diviziuni sub forma unui polinom modificat între paranteze. Dar, de cele mai multe ori, un factor nu se potrivește tuturor monomiilor, afectând doar o parte dintre ele. În același timp, o altă parte a monomiilor poate avea propria lor bază comună. În astfel de cazuri, se folosește o metodă de grupare - în esență scoțând mai mulți factori dintre paranteze și creând o expresie complexă care poate fi transformată în alte moduri. Și, în sfârșit, există o întreagă gamă de formule speciale. Toate sunt formate prin calcule abstracte folosind metoda înmulțirii simple termen cu termen. În timpul calculelor, multe elemente din expresia inițială sunt reduse, lăsând polinoame mici. Pentru a nu efectua calcule intensive de fiecare dată, puteți utiliza formule gata făcute, versiunile lor inverse sau concluzii generalizate ale acestor formule.

În practică, se întâmplă adesea ca într-un exercițiu să combinați mai multe tehnici, inclusiv cele din categoria polinoame transformatoare. Să ne uităm la un exemplu. Factorizare prin binom:

Scoatem factorul comun de 3x din paranteze:

3x3 - 3xy2 = 3x(x2 - y2)

După cum puteți vedea în videoclip, a doua paranteză conține diferența de pătrate. Aplicam formula inversa pentru inmultirea prescurtata, obtinand:

3x(x2 - y2) = 3x(x + y)(x - y)

Un alt exemplu. Să transformăm expresia astfel:

18a2 - 48a + 32

Reducem coeficienții numerici prin scoaterea celor doi dintre paranteze:

18a2 - 48a + 32 = 2(9a2 - 24a + 16)

Pentru a găsi o formulă potrivită pentru înmulțirea prescurtată pentru acest caz, este necesar să ajustați ușor expresia, potrivindu-l la condițiile formulei:

2(9a2 - 24a + 16) = 2((3a)2 - 2(3a)4 + (4)2)

Uneori nu este atât de ușor să vezi formula într-o expresie confuză. Este necesar să folosiți metode de descompunere a unei expresii în elementele sale componente sau adăugarea de perechi imaginare de construcții, cum ar fi +x-x. Atunci când corectăm o expresie, trebuie să respectăm regulile de continuitate a semnelor și de păstrare a sensului expresiei. În același timp, trebuie să încercați să aduceți polinomul în deplină conformitate cu versiunea abstractă a formulei. Folosind exemplul nostru, aplicăm formula diferenței pătrate:

2((3a)2 - 2(3a)4 + (4)2) = 2(3a - 4)

Să rezolvăm un exercițiu mai complex. Să factorizăm polinomul:

У3 - 3у2 + 6у - 8

Pentru început, să realizăm o grupare convenabilă - primul și al patrulea element într-un grup, al doilea și al treilea - în al doilea:

U3 - 3y2 + 6y - 8 = (y3 - 8) - (3y2 - 6y)

Vă rugăm să rețineți că semnele din a doua paranteză s-au schimbat la opus, deoarece am mutat minusul în afara expresiei. In primele paranteze putem scrie asa:

(y3 - (2)3) - (3y2 - 6y)

Acest lucru vă permite să aplicați formula de înmulțire abreviată pentru a găsi diferența de cuburi:

(y3 - (2)3) - (3y2 - 6y) = (y - 2)(y2 + 2y + 4) - (3y2 - 6y)

Scoatem factorul comun 3y din a doua paranteză, după care scoatem parantezele (y - 2) din întreaga expresie (binomul) și prezentăm termeni similari:

(y - 2)(y2 + 2y + 4) - (3y2 - 6y) = (y - 2)(y2 + 2y + 4) - 3y(y - 2) =
= (y - 2)(y2 + 2y + 4 - 3y) = (y - 2)(y2 - y + 4)

Într-o aproximare generală, există un anumit algoritm de acțiuni la rezolvarea unor astfel de exerciții.
1. Căutăm factori comuni pentru întreaga expresie;
2. Grupăm monomii similare și căutăm factori comuni pentru ele;
3. Încercăm să punem în paranteză expresia cea mai potrivită;
4. Aplicați formule de înmulțire prescurtate;
5. Dacă la un moment dat procesul nu decurge, se introduce o pereche imaginară de expresii de forma -x+x, sau alte construcții auto-anulabile;
6. Prezentăm termeni similari și reducem elementele inutile

Toate punctele algoritmului sunt rareori aplicabile într-o singură sarcină, dar cursul general de rezolvare a oricărui exercițiu pe această temă poate fi urmat într-o anumită ordine.

Scopul lecției:  dezvoltarea abilităților de factorizare a unui polinom în diverse moduri;  cultivați acuratețea, perseverența, munca grea și capacitatea de a lucra în perechi. Echipamente: proiector multimedia, PC, materiale didactice. Planul lecției: 1. Moment organizatoric; 2. Verificarea temelor; 3. Lucrări orale; 4. Studierea materialelor noi; 5. Sesiune de educație fizică; 6. Consolidarea materialului studiat; 7. Lucrați în perechi; 8. Tema pentru acasă; 9. Rezumând. Progresul lecției: 1. Moment organizațional. Concentrați elevii asupra lecției. Educația nu constă în cantitatea de cunoștințe, ci în înțelegerea deplină și aplicarea cu pricepere a tot ceea ce cunoașteți.

(Georg Hegel) 2. Verificarea temelor. Analiza sarcinilor în care elevii au avut dificultăți de rezolvare. 3. Lucrări orale.  factorizați: 1) 2) 3) ; 4).  Potriviți expresiile din coloanele din stânga și din dreapta: a. 1. b. 2. c. 3. d. 4. d. 5. .  Rezolvați ecuațiile: 1. 2. 3. 4. Studiați material nou. Pentru a factoriza polinoamele, am folosit formule de înmulțire abreviate, de grupare și de paranteză. Uneori este posibilă factorizarea unui polinom prin aplicarea mai multor metode succesive. Transformarea ar trebui să înceapă, dacă este posibil, prin scoaterea din paranteze a factorului comun. Pentru a rezolva cu succes astfel de exemple, astăzi vom încerca să dezvoltăm un plan pentru aplicarea lor consecventă.

150.000₽ fond de premii 11 documente onorifice Certificat de publicare în mass-media

Aceasta este una dintre cele mai elementare moduri de a simplifica o expresie. Pentru a aplica această metodă, să ne amintim legea distributivă a înmulțirii în raport cu adunarea (nu vă fie teamă de aceste cuvinte, știți cu siguranță această lege, poate că ați uitat numele ei).

Legea spune: pentru a înmulți suma a două numere cu un al treilea număr, trebuie să înmulțiți fiecare termen cu acest număr și să adăugați rezultatele rezultate, cu alte cuvinte, .

Puteți face și operația inversă, iar această operație inversă este cea care ne interesează. După cum se poate observa din eșantion, factorul comun a poate fi scos din paranteză.

O operație similară se poate face atât cu variabile, precum și, de exemplu, cât și cu numere: .

Cum afli cu ce, de exemplu, un număr este divizibil? Nu, oricine o poate face cu un calculator, dar fără el este dificil? Și pentru aceasta există semne de divizibilitate, aceste semne chiar merită cunoscute, vă vor ajuta să înțelegeți rapid dacă factorul comun poate fi scos din paranteză.

Semne de divizibilitate

Cel mai probabil, nu este atât de dificil să le amintiți, majoritatea vă erau deja familiare, iar unele vor fi o nouă descoperire utilă, mai multe detalii în tabel:

Notă: din tabel lipsește testul de divizibilitate cu 4. Dacă ultimele două cifre sunt divizibile cu 4, atunci întregul număr este divizibil cu 4.

Ei bine, cum vă place semnul? Vă sfătuiesc să vă amintiți!

Ei bine, să revenim la expresie, poate o poate scoate din paranteză și îi ajunge? Nu, matematicienii tind să simplifice, deci la maxim, îndură TOT ce este îndurat!

Și așa, totul este clar cu jocul, dar cum rămâne cu partea numerică a expresiei? Ambele numere sunt impare, așa că nu puteți împărți cu

Puteți folosi testul de divizibilitate: suma cifrelor și, care alcătuiesc numărul este egală și divizibil cu, înseamnă divizibil cu.

Știind acest lucru, puteți împărți în siguranță într-o coloană și, ca urmare a împărțirii la, obținem (semnele de divizibilitate sunt utile!). Astfel, putem scoate numărul din paranteze, la fel ca y, și ca rezultat avem:

Pentru a vă asigura că totul a fost extins corect, puteți verifica expansiunea prin înmulțire!

De asemenea, multiplicatorul general poate fi efectuat în expresii de putere. Aici, de exemplu, vedeți multiplicatorul comun?

Toți membrii acestei expresii au x - îi scoatem, toți sunt împărțiți prin - îi scoatem din nou, uitați-vă ce s-a întâmplat: .

2. Formule de înmulțire prescurtate

Formulele de înmulțire prescurtate au fost deja menționate în teorie, dacă aveți dificultăți în a vă aminti care sunt, atunci ar trebui să vă reîmprospătați memoria.

Ei bine, dacă te consideri foarte inteligent și ești prea leneș să citești un astfel de nor de informații, atunci citește mai departe, uită-te la formule și ia imediat exemplele.

Esența acestei descompunere este să observi o anumită formulă în expresia din fața ta, să o aplici și să obții astfel produsul ceva și ceva, asta e toată descompunerea. Următoarele sunt formulele:

Acum, încercați să factorizați următoarele expresii folosind formulele de mai sus:

Iată ce ar fi trebuit să se întâmple:

După cum ați observat, aceste formule sunt o modalitate foarte eficientă de factoring nu este întotdeauna potrivită, dar poate fi foarte utilă!

3. Metoda de grupare sau grupare

Iată un alt exemplu pentru tine:

Deci ce ai de gând să faci cu el? Se pare că ceva este împărțit în și în, și ceva în și în

Dar nu poți împărți totul într-un singur lucru, ei bine nu există un factor comun aici, indiferent de felul în care arăți, ce ar trebui să o lași așa, fără a-l factoriza în factori?

Aici trebuie să dai dovadă de ingeniozitate, iar numele acestei ingeniozități este grupare!

Se folosește tocmai când divizori comuni Nu toți membrii o au. Pentru grupare ai nevoie găsiți grupuri de termeni care au factori comuniși rearanjați-le astfel încât să poată fi obținut același factor de la fiecare grup.

Desigur, nu este necesar să le rearanjați, dar acest lucru oferă claritate, puteți pune părți individuale ale expresiei între paranteze, nu este interzis să le puneți cât doriți, principalul este să nu confundați; semnele.

Nu sunt toate acestea foarte clare? Să explic cu un exemplu:

Într-un polinom - punem termenul - după termen - obținem

grupăm primii doi termeni într-o paranteză separată și grupăm, de asemenea, al treilea și al patrulea termen, luând semnul minus din paranteză, obținem:

Și acum ne uităm separat la fiecare dintre cele două „pilote” în care am împărțit expresia cu paranteze.

Trucul este să îl descompuneți în grămezi din care poate fi scos cel mai mare factor sau, ca în acest exemplu, să încercați să grupați termenii astfel încât, după eliminarea factorilor din pile din paranteze, să avem în continuare aceleași expresii în interiorul parantezelor.

Din ambele paranteze scoatem factorii comuni ai termenilor, din prima paranteză, iar din a doua, obținem:

Dar asta nu este descompunere!

Pmăgar descompunerea ar trebui să rămână doar înmulțire, dar deocamdată polinomul nostru este pur și simplu împărțit în două părți...

DAR! Acest polinom are un factor comun. Acest

dincolo de paranteză și obținem produsul final

Bingo! După cum puteți vedea, există deja un produs aici și în afara parantezei nu există nicio adunare sau scădere, descompunerea este completă, deoarece Nu mai avem nimic de scos din paranteze.

Poate părea un miracol că, după ce am scos factorii din paranteze, am rămas cu expresii identice între paranteze, pe care le-am scos din nou din paranteze.

Și nu este deloc un miracol, adevărul este că exemplele din manuale și din Examenul Unificat de Stat sunt special făcute pentru ca majoritatea expresiilor în sarcini de simplificare sau factorizarea cu abordarea corectă a acestora, sunt ușor de simplificat și se prăbușesc brusc ca o umbrelă atunci când apăsați un buton, așa că căutați chiar acel buton în fiecare expresie.

M-am distras, ce facem cu simplificarea? Polinomul complicat a luat o formă mai simplă: .

De acord, nu este la fel de voluminos ca a fost?

4. Selectarea unui pătrat complet.

Uneori, pentru a aplica formule de înmulțire prescurtate (repetă subiectul), este necesară transformarea unui polinom existent, prezentând unul dintre termenii săi ca sumă sau diferență a doi termeni.

În ce caz trebuie să faceți acest lucru, veți învăța din exemplu:

Un polinom în această formă nu poate fi extins folosind formule de înmulțire abreviate, așa că trebuie transformat. Poate că la început nu îți va fi evident ce termen ar trebui împărțit în care, dar cu timpul vei învăța să vezi imediat formulele de înmulțire prescurtată, chiar dacă nu sunt în întregime prezente și vei determina rapid ce lipsește din formula completă, dar deocamdată - învață , un student, sau mai degrabă un școlar.

Pentru formula completă pentru diferența pătrată, aici aveți nevoie în schimb. Să ne imaginăm al treilea termen ca diferență, obținem: La expresia dintre paranteze puteți aplica formula pătratului diferenței (a nu se confunda cu diferența de pătrate!!!), trebuie să ne această expresie puteți folosi formula diferenței de pătrate (a nu se confunda cu diferența la pătrat!!!), imaginându-ne cum, obținem: .

O expresie factorizată nu pare întotdeauna mai simplă și mai mică decât era înainte de extindere, dar în această formă devine mai flexibilă, în sensul că nu trebuie să vă faceți griji cu privire la schimbarea semnelor și a altor prostii matematice. Ei bine, aici este pentru tine decizie independentă, următoarele expresii trebuie factorizate.

Exemple:

Raspunsuri:

5. Factorizarea unui trinom pătratic

Pentru descompunerea unui trinom pătratic în factori, a se vedea alte exemple de descompunere.

Exemple de 5 metode de factorizare a unui polinom

1. Scoaterea factorului comun din paranteze. Exemple.

Vă amintiți ce este legea distributivă? Aceasta este regula:

Exemplu:

Factorizați polinomul.

Soluţie:

Un alt exemplu:

Luați în considerare.

Soluţie:

Dacă întregul termen este scos din paranteze, în schimb rămâne o unitate între paranteze!

2. Formule de înmulțire prescurtate. Exemple.

Formulele pe care le folosim cel mai adesea sunt diferența de pătrate, diferența de cuburi și suma de cuburi. Vă amintiți aceste formule? Daca nu, repeta subiectul urgent!

Exemplu:

Factorizați expresia.

Soluţie:

În această expresie este ușor de aflat diferența de cuburi:

Exemplu:

Soluţie:

3. Metoda grupării. Exemple

Uneori puteți schimba termeni, astfel încât același factor să poată fi extras din fiecare pereche de termeni adiacenți. Acest factor comun poate fi scos din paranteză și polinomul original se va transforma într-un produs.

Exemplu:

Factorizați polinomul.

Soluţie:

Să grupăm termenii după cum urmează:
.

În primul grup scoatem factorul comun din paranteze, iar în al doilea - :
.

Acum, factorul comun poate fi scos și din paranteze:
.

4. Metoda de selectare a unui pătrat complet. Exemple.

Dacă polinomul poate fi reprezentat ca diferența pătratelor a două expresii, nu rămâne decât să aplicați formula de înmulțire prescurtată (diferența de pătrate).

Exemplu:

Factorizați polinomul.

Soluţie:Exemplu:

\begin(array)(*(35)(l))
((x)^(2))+6(x)-7=\underbrace(((x)^(2))+2\cdot 3\cdot x+9)_(pătrat\ sumă\ ((\left (x+3 \right))^(2)))-9-7=((\left(x+3 \right))^(2))-16= \\
=\stanga(x+3+4\dreapta)\stanga(x+3-4\dreapta)=\stanga(x+7\dreapta)\stanga(x-1 \dreapta) \\
\end(matrice)

Factorizați polinomul.

Soluţie:

\begin(array)(*(35)(l))
((x)^(4))-4((x)^(2))-1=\underbrace(((x)^(4))-2\cdot 2\cdot ((x)^(2) )+4)_(pătrat\ diferențe((\left(((x)^(2))-2 \right))^(2)))-4-1=((\left(((x)^) (2))-2 \dreapta))^(2))-5= \\
=\stânga(((x)^(2))-2+\sqrt(5) \dreapta)\left(((x)^(2))-2-\sqrt(5) \dreapta) \\
\end(matrice)

5. Factorizarea unui trinom pătratic. Exemplu.

Un trinom pătrat este un polinom de forma, unde - necunoscutul, - unele numere și.

Valorile variabilei care fac să dispară trinomul pătratic se numesc rădăcinile trinomului. Prin urmare, rădăcinile unui trinom sunt rădăcinile unei ecuații pătratice.

Teorema.

Exemplu:

Să factorizăm trinomul pătrat: .

Mai întâi, să rezolvăm ecuația pătratică: Acum putem scrie factorizarea acestui trinom pătratic:

Acum parerea ta...

Am descris în detaliu cum și de ce să factorizezi un polinom.

Am dat o mulțime de exemple despre cum să facem acest lucru în practică, am subliniat capcanele, am dat soluții...

Ce zici?

Ce parere aveti de acest articol? Folosești aceste tehnici? Le intelegi esenta?

Scrieți în comentarii și... pregătiți-vă pentru examen!

Până acum el este cel mai important din viața ta.