Limita funcției și continuitatea prezentării funcției. Prezentare pentru o lecție de algebră pe tema: Prezentare pentru o lecție practică de matematică pe tema: Calcularea limitelor unei funcții

Obiectivele lecției:

• Educațional:
  • introduceți conceptul de limită a unui număr, limita unei funcții;
  • dați concepte despre tipurile de incertitudine;
  • învață să calculezi limitele unei funcții;
  • sistematizați cunoștințele dobândite, activați autocontrolul, controlul reciproc.
• Educațional:
  • să fie capabil să aplice cunoștințele dobândite pentru a calcula limite.
  • dezvoltarea gândirii matematice.
• Educațional: să cultive interesul pentru matematică și disciplinele muncii mentale.

Tip de lecție: prima lecție

Forme de lucru ale elevilor: frontal, individual

Echipament necesar: tablă interactivă, proiector multimedia, fișe cu exerciții orale și pregătitoare.

Planul de lecție

1. Moment organizatoric(3 min.)
2. Introducere în teoria limitei unei funcţii. Exerciții pregătitoare. (12 min.)
3. Calculul limitelor funcției (10 min.)
4. Exerciții independente (15 min.)
5. Rezumatul lecției (2 min.)
6. Teme pentru acasă(3 min.)

PROGRESUL LECȚIEI

1. Moment organizatoric

Salutarea profesorului, marcarea celor absenți, verificarea pregătirii pentru lecție. Informați subiectul și scopul lecției. Ulterior, toate sarcinile sunt afișate pe tabla interactivă.

2. Introducere în teoria limitei unei funcţii. Exerciții pregătitoare.

Limita functiei (valoarea limită a funcției) într-un punct dat, limitând domeniul de definire al funcției, este valoarea la care tinde funcția în cauză pe măsură ce argumentul său tinde către un punct dat.
Limita este scrisă după cum urmează.

Să calculăm limita:
Inlocuim 3 cu x.
Rețineți că limita unui număr este egală cu numărul însuși.

Exemple: calculează limite

Dacă la un moment dat în domeniul de definire al unei funcții există o limită și această limită este egală cu valoarea funcției într-un punct dat, atunci funcția se numește continuă (la un punct dat).

Să calculăm valoarea funcției în punctul x 0 = 3 și valoarea limitei acesteia în acest punct.

Valoarea limitei și valoarea funcției în acest punct coincid, prin urmare, funcția este continuă în punctul x 0 = 3.

Dar la calcularea limitelor apar adesea expresii al căror sens nu este definit. Astfel de expresii sunt numite incertitudini.

Principalele tipuri de incertitudini:

Descoperirea incertitudinilor

Pentru a dezvălui incertitudinile, utilizați următoarele:

• simplificați expresia unei funcții: factorizați-o, transformați funcția folosind formule de înmulțire abreviate, formule trigonometrice, înmulțit cu conjugat, care permite reducerea ulterioară etc., etc.;
• dacă există o limită la dezvăluirea incertitudinilor, atunci se spune că funcția converge la valoarea specificată, dacă o astfel de limită nu există, atunci se spune că funcția diverge.

Exemplu: Să calculăm limita.
Să factorizăm numărătorul

3. Calculul limitelor funcției

Exemplul 1. Calculați limita funcției:

În cazul înlocuirii directe, rezultatul este incertitudinea:

4. Exerciții independente

Calculați limite:

5. Rezumând lecția

Aceasta este prima lecție

Subiect:

Dezvoltare și educație pentru nici o singură persoană nu poate fi dat sau comunicat. Oricine dorește să li se alăture trebuie realiza asta prin propria ta activitate, propria ta putere, propria ta tensiune. Din exterior nu poate decat sa obtina emotie. A. Diesterweg

Stabilirea scopului și obiectivelor lecției:

studiu definiția infinitului;

• Determinarea limitei unei funcții la infinit;
• Determinarea limitei unei funcții la plus infinit;
• Determinarea limitei unei funcții la minus infinit;
• Proprietăți ale funcțiilor continue;

învăţa calculați limite simple ale funcțiilor la infinit.

B. Bolzano

Bernard Bolzano (1781-1848), matematician și filozof ceh. S-a opus psihologismului în logică; El a atribuit existența obiectivă ideală adevărurilor logicii. Influențat

E . Husserl. A introdus o serie de concepte importante analiză matematică , a fost predecesorul G. Cantoraîn studiul nesfârșitului seturi .

Augustin Louis Cauchy(francez Augustin Louis Cauchy; 21 august 1789, Paris - 23 mai 1857, Co, Franța) - mare matematician și mecanic francez, membru al Academiei de Științe din Paris, Societății Regale din Londra

y=1 /x m

Existenţă

lim f(x) = b

x → ∞

echivalent cu a avea

asimptotă orizontală

graficul funcției y = f(x)

lim f(x) = b x →+∞

lim f(x) = b și lim f(x) = b x →+∞ x→-∞ lim f(x) = b x→∞

Ce vom studia:

Ce este Infinitul?

Limita unei funcții la infinit

Limita unei funcții la minus infinit .

Proprietăți .

Exemple.

Limita unei funcții la infinit.

Infinit - folosit pentru a caracteriza obiecte și fenomene nelimitate, nemărginite, inepuizabile, în cazul nostru caracteristica numerelor.

Infinitul este un număr nelimitat arbitrar de mare (mic).

Dacă luăm în considerare planul de coordonate, atunci axa absciselor (ordonatelor) merge la infinit dacă se continuă la nesfârșit la stânga sau la dreapta (jos sau sus).

Limita unei funcții la infinit.

Limita unei funcții la plus infinit.

Acum să trecem la limita funcției la infinit:

Să avem o funcție y=f(x), domeniul de definiție al funcției noastre conține raza și să fie dreapta y=b asimptota orizontală a graficului funcției y=f(x), să scriem toate acestea în limbaj matematic:

limita funcției y=f(x) când x tinde spre minus infinit este egală cu b

Limita unei funcții la infinit.

Limita unei funcții la infinit.

Relațiile noastre se pot executa și simultan:

Atunci se obișnuiește să o scrieți astfel:

sau

limita funcției y=f(x) pe măsură ce x tinde spre infinit este b

Limita unei funcții la infinit.

Exemplu.

Exemplu. Construiți un grafic al funcției y=f(x), astfel încât:

• Domeniul definiției este mulțimea numerelor reale.
• f(x) este o funcție continuă

Soluţie:

Trebuie să construim o funcție continuă pe (-∞; +∞). Să arătăm câteva exemple ale funcției noastre.

Limita unei funcții la infinit.

Proprietăți de bază.

Pentru a calcula limita la infinit, se folosesc mai multe afirmații:

1) Pentru oricine număr natural m este valabilă următoarea relație:

2) Dacă

Că:

a) Limita sumei este egală cu suma limitelor:

b) Limita produsului este egală cu produsul limitelor:

c) Limita câtului este egală cu câtul limitelor:

d) Factorul constant poate fi luat dincolo de semnul limită:

Limita unei funcții la infinit.

Exemplul 1.

Găsi

Exemplul 2.

.

Exemplul 3.

Aflați limita funcției y=f(x), deoarece x tinde spre infinit .

Limita unei funcții la infinit.

Exemplul 1.

Răspuns:

Exemplul 2.

Răspuns:

Exemplul 3.

Răspuns:

Limita unei funcții la infinit.

.

• Desenați un grafic al funcției continue y=f(x). Astfel încât limita ca x tinde spre plus infinit este 7, iar ca x tinde spre minus infinit 3.
• Desenați un grafic al funcției continue y=f(x). Astfel încât limita ca x tinde spre plus infinit este 5 și funcția crește.
• Găsiți limite:

• Găsiți limite:

Limita unei funcții la infinit.

Sarcini pentru decizie independentă .

Raspunsuri:

• Ce înseamnă existența unei limite a unei funcții?

la infinit?

• Ce asimptotă are graficul funcției y=1/x? 4 ?
• Ce reguli cunoașteți pentru calcularea limitelor?

funcții la infinit?

• Care sunt formulele pentru calcularea limitelor?

te-ai intalnit la infinit?

• Cum să găsiți lim (5-3x3) / (6x3 +2)?

• Ce nou ai învățat la lecție?
• Ce obiectiv ne-am stabilit la începutul lecției?
• Scopul nostru a fost atins?
• Ce ne-a ajutat să facem față dificultății?
• Ce cunoștințe ne-au fost utile când

fac teme în clasă?

• Cum îți poți evalua munca?

Etape

Întrebări teoretice

Numărul de puncte

Lucru din față

Max-oh

Lucru la bord

puncte

Lucrarea în sine

Puncte de recompensă

6 puncte

De la 20 de puncte și peste, scorul este „5”

Scor de la 15 la 19 puncte – „4”

Scor de la 10 la 14 puncte – „3”

Teme pentru acasă

§31, paragraful 1, p. 150-151 - manual;

№ 669 (c), 670 (c), 671 (c), 672 (c),

673(c), 674(c), 676(c), 700 (d) – cartea cu probleme.

Lecția de azi s-a terminat,

Nu ai putea fi mai prietenos.

Dar toată lumea ar trebui să știe:

Cunoaștere, perseverență, muncă

Ele vor duce la progres în viață.

În acest proiect, alături de materialul teoretic, a fost luat în considerare și materialul practic. ÎN aplicare practică Am analizat tot felul de moduri de a calcula limitele. Studiind secțiunea a doua matematica superioara trezește deja un mare interes, de anul trecut am luat în considerare tema „Matrice. Aplicarea proprietăților matricei la rezolvarea sistemelor de ecuații”, ceea ce a fost simplu, fie și doar pentru motivul că rezultatul obținut era controlabil. Nu există un astfel de control aici. Studierea Secțiunilor de Matematică Superioară dă rezultate pozitive. Orele din acest curs au adus rezultate: - o mare cantitate de teoretice și material practic; - a dezvoltat capacitatea de a alege o metodă de calcul a limitei; - a fost dezvoltată utilizarea competentă a fiecărei metode de calcul; - a fost consolidată capacitatea de a proiecta un algoritm de sarcină. Vom continua să studiem secțiuni de matematică superioară. Scopul studierii lui este acela că vom fi bine pregătiți să restudăm cursul de matematică superioară.

Reguli pentru calcularea limitelor Dacă lim f(x) = b și lim g(x) =c, atunci x 1) Limita sumei este egală cu suma limitelor: lim (f(x)+ g(x) ) = lim f(x)+ lim g(x) = b+ c x x x 2) Limita produsului este egală cu produsul limitelor: lim f(x) g(x) = lim f(x) * lim g (x) = b c x x x 3) Limita coeficientului este egală cu câtul limitelor: lim f(x):g(x) = lim f(x) : lim g(x)= b:c x x x 4) The factorul constant poate fi luat în afara semnului limită: lim k f(x) = k lim f(x) = k b x x

Plan de notă Grafice ale funcțiilor y=1/x și y=1/x 2. Grafice ale funcțiilor y=1/x m, pentru m par și impar. Conceptul de asimptotă orizontală. Concepte ale limitei unei funcții pe +, -,. Sensul geometric al limitei unei funcții la +, -,. Reguli pentru calcularea limitelor unei funcții. Formule pentru calcularea limitei unei funcții. Tehnici de calcul a limitelor unei funcții.

Rezumatul lecției Ce înseamnă că o funcție are o limită la infinit? Ce asimptotă are funcția y=1/ x 4? Ce reguli cunoașteți pentru calcularea limitelor unei funcții la infinit? Cu ce ​​formule de calcul a limitelor la infinit v-ați familiarizat? Cum să găsiți lim (5-3x 3) / (6x 3 +2)? x

Literatură folosită: - A.G. Mordkovich. Algebra și începutul claselor de calcul. Mnemosyne.M A.G.Mordkovici., P.V.Semenov. Manual metodic pentru profesor. Algebra și începuturile clasei de calcul. Nivel de bază. M. Mnemosyne. 2010

Prezentare „Limita funcției” - ajutor vizual, care ajută la studierea materialelor pe această temă în algebră. Manualul conține o descriere detaliată și ușor de înțeles a materialului teoretic care dezvăluie conceptul de limită a unei funcții, reprezentarea sa grafică, regulile de calcul a limitei unei funcții și legătura dintre proprietățile unei funcții și limita acesteia. Toate fundamente teoretice, expuse în prezentare, sunt susținute în timpul demonstrației de o descriere a soluției sarcinilor corespunzătoare.

Prezentarea materialului sub forma unei prezentări face posibilă prezentarea conceptelor studiate într-un mod mai convenabil pentru înțelegere. Folosiți instrumente eficiente pentru a memora materialul.

Prezentarea începe cu o reamintire a tipului de dependență funcțională y=f(n), nϵN. Semnificația limitei unei funcții este dezvăluită la construirea unui grafic al acestei funcții. Se observă că egalitatea limf(n)=bat n→∞ înseamnă că linia dreaptă у=b trasată pe plan de coordonate, reprezintă asimptota orizontală către care graficul funcției tinde ca n→∞. Al doilea diapozitiv prezintă un grafic al funcției y=f(x) pe planul de coordonate, al cărui domeniu se află pe intervalul D(f)=. Dacă există o asimptotă orizontală y=b în domeniul definiției, funcția tinde spre valoare limit lim f(x)=b pentru x→-∞. Abordarea funcției de asimptotă este demonstrată în figura corespunzătoare prezentată pe diapozitiv.

Slide 4 descrie cazul graficului unei funcții care se apropie de o asimptotă orizontală când argumentul său tinde atât la +∞, cât și la -∞. Aceasta înseamnă îndeplinirea simultană a condițiilor limf(x)=b pentru x→-∞ și limf(x)=b pentru x→+∞. În caz contrar, putem scrie limf(x)=b pentru x→∞. Figura prezintă un exemplu de astfel de funcție și comportamentul graficului acesteia pe planul de coordonate.

Următoarele demonstrează regulile pentru calcularea limitei unei funcții. Proprietatea 1 notează că pentru funcția k/x m cu m natural egalitatea lim(k/x m)=0 pentru x→∞ va fi adevărată. Al doilea paragraf prevede că pentru limitele a două funcții limf(x)=b și limg(x)=c, proprietăți similare ale limitelor de secvență vor fi valabile. Adică limita sumei este determinată de suma limitelor lim(f(x) + g(x))= b+с, limita produsului este egală cu produsul limitelor limf(x) g(x)= bс, limita câtului este egală cu câtul limitelor limf(x)/g (x) = b/c pentru g(x)≠0 și c≠0, precum și factorul constant poate fi scos din semnul limită limkf(x) = kb.

Puteți consolida cunoștințele acumulate prin descrierea soluției la Exemplul 1, în care trebuie să determinați lim(√3 x 5 -17)/(x 5 +9). Pentru a obține o soluție, numărătorul și numitorul fracției sunt împărțite la cea mai mare putere a variabilei, adică x 5. După calcul obținem lim(√3-17/ x 5)/(1+9/x 5).

După ce am evaluat limitele și utilizând proprietatea unei limite de coeficient, determinăm că lim(√3 x 5 -17)/(x 5 +9)=√3/1=√3. O notă importantă pentru acest exemplu este că calcularea limitelor unei funcții este similară cu calcularea limitelor secvențelor, dar în acest caz este necesar să se țină cont de faptul că x nu poate lua valoarea - 5 √9, ceea ce transformă numitorul în zero.

Următorul diapozitiv ia în considerare cazul când x→a. Figura arată clar că pentru o anumită funcție f(x) pe măsură ce variabila se apropie de punctul a, valoarea funcției se apropie de ordonata punctului corespunzător din grafic, adică limf(x)=b ca x→a.

Slide-urile 9, 10, 11 conțin definiții care dezvăluie conceptele de continuitate a unei funcții, funcție continuă într-un punct, pe un interval. În acest caz, o funcție este considerată continuă dacă limf(x)= f(a) ca x→a. La punctul a, o funcție va fi continuă dacă relația limf(x) = f(a) este adevărată ca x→a, iar continuă pe intervalul X va fi o funcție care este continuă în orice punct al intervalului X.

Sunt date exemple de estimare a continuității funcțiilor. Se observă că funcțiile y=C, y=kx+m, y=ax 2 +bx+c, y=|x|, y=x n pentru n natural sunt continue pe întreaga dreaptă numerică, funcția y=√ x este continuă pe semiaxa pozitivă, iar funcția y=x n este continuă pe semiaxa pozitivă și semiaxa negativă cu o discontinuitate în punctul 0, continuă va fi funcții trigonometrice y=sinx, y=cosx pe întreaga linie și y=tgx, y=ctgx pe întregul domeniu de definiție. Tot o funcție formată din expresii trigonometrice raționale sau iraționale, este continuă pentru toate punctele în care funcția este definită.

În exemplul 2, trebuie să calculați limita limită (x 3 +3x 2 -11x-8) pentru x→-1. La începutul deciziei se reţine că această funcție, format din expresii raționale, definită pe toată axa numerică și în punctul x=-1. Prin urmare, funcția este continuă în punctul x = -1 și la apropierea lui, limita primește valoarea funcției, adică lim (x 3 +3x 2 -11x-8) = 5 la x→-1.

Exemplul 3 demonstrează calculul limită limită (cosπx/√x+6) pentru x→1. Se observă că funcția este definită pe toată axa numerică, deci este continuă în punctul x=1, deci lim (cosπx/√x+6)=-1/7 la x→1.

În exemplul 4, trebuie să calculați lim((x 2 -25)/(x-5)) pentru x→5. Acest exemplu este special prin faptul că pentru x=5 numitorul funcției merge la zero, ceea ce este inacceptabil. Puteți determina limita transformând expresia. După reducere obținem f(x)=x+5. Doar în căutarea soluțiilor ar trebui să se țină cont de faptul că x≠5. În acest caz, lim((x 2 -25)/(x-5))= lim(x+5)=10 pentru x→5.

Slide 17 descrie o notă care demonstrează cum se obține limita importantă lim(sint/t)=1 ca t →0 folosind cercul numeric.

Slide 18 prezintă definiția incrementului de argument și a incrementului de funcție. Incrementul argumentului este reprezentat de diferența dintre variabilele x 1 - x 0 pentru funcția definită la punctele x 0 și x 1. În acest caz, modificarea valorii funcției f(x 1) - f(x 0) se numește increment al funcției. Sunt introduse notații pentru incrementul argumentului Δx și incrementul funcției Δf(x).

În exemplul 5, incrementul funcției y=x 2 este determinată atunci când punctul x 0 =2 se deplasează la x=2,1 și x=1,98. Rezolvarea exemplului se rezumă la găsirea valorilor la punctele de început și de sfârșit și diferența dintre acestea. Deci, în primul caz Δу=4,41-4=0,41, iar în al doilea caz Δу=3,9204-4=-0,0796.

Pe slide 21 se observă că pentru x→a notația este valabilă (x-a)→0, ceea ce înseamnă Δx→0. De asemenea, întrucât tinde f(x) → f(a), folosită în definiția continuității, este valabilă notația f(x)-f(a) →0, adică Δу→0. Folosind această intrare, o nouă definiție a continuității este dată în punctul x=a, dacă funcția f(x) îndeplinește următoarea condiție: dacă Δх→0, atunci Δу→0.

Pentru a consolida materialul, este descrisă soluția la exemplele 6 și 7, în care trebuie să găsiți incrementul unei funcții și limita raportului dintre incrementul funcției și incrementul argumentului. În exemplul 6, acest lucru trebuie făcut pentru funcția y=kx+m. Este afișată creșterea funcției atunci când un punct se deplasează de la x la (x+ Δx), demonstrând modificările pe grafic. În acest caz, se dovedește Δу= kΔх și lim(Δу/ Δх)=k pentru Δх→0. Comportamentul funcției y = x 3 este analizat într-un mod similar. Creșterea acestei funcții atunci când un punct se deplasează de la x la (x+ Δx) este egală cu Δу=(3x 2 +3x Δx+(Δx) 2) Δx, iar limita funcției este lim(Δу/ Δx)=3x 2 .

Prezentarea „Limita unei funcții” poate fi folosită pentru a preda o lecție tradițională. Este recomandat să folosiți prezentarea ca instrument învăţământ la distanţă. Dacă este necesar auto-studiu subiecte manualul elevului este recomandat pentru lucru independent.