Pentagon obișnuit folosind busole.

Deschide meniul

Nivel de dificultate: Ușor

1 pas

Mai întâi, alegeți unde să plasați centrul cercului. Acolo trebuie să puneți un punct de plecare, să se numească O. Folosind o busolă, desenați un cerc în jurul acestuia cu un diametru sau o rază dată.

Pasul 2

Apoi desenăm două axe prin punctul O, centrul cercului, una orizontală, cealaltă la 90 de grade față de acesta - verticală. Să numim punctele de intersecție orizontale de la stânga la dreapta A și B, vertical, de sus în jos - M și N. Raza, care se află pe orice axă, de exemplu, pe orizontală din partea dreaptă, este împărțită în jumătate. Acest lucru se poate face astfel: setați o busolă cu raza unui cerc cunoscut de noi cu vârful său în punctul de intersecție al axei orizontale și cercul - B, marcați intersecțiile cu cercul, numiți punctele rezultate din de sus în jos - C și P, conectați-le cu un segment care va intersecta axa OB, Numim punctul de intersecție K.

Pasul 3

Conectăm punctele K și M și obținem un segment KM, setăm o busolă în punctul M, setăm distanța până la punctul K pe el și trasăm semne pe raza OA, numim acest punct E, apoi tragem busola la intersecția cu partea superioară. partea stângă a cercului OM. Numim acest punct de intersecție F. Distanța egală cu segmentul ME este latura necesară a pentagonului echilateral. În acest caz, punctul M va fi un vârf al pentagonului construit în cerc, iar punctul F va fi celălalt.

Pasul 4

• Apoi, din punctele obținute de-a lungul întregului cerc, desenăm cu o busolă distanțe egale cu segmentul ME, în total ar trebui să fie 5 puncte. Legăm toate punctele cu segmente - obținem un pentagon înscris în cerc.

Când desenați, aveți grijă la măsurarea distanțelor, nu permiteți erori, astfel încât pentagonul să fie de fapt echilateral

Construcția unui hexagon regulat înscris într-un cerc. Construcția unui hexagon se bazează pe faptul că latura lui este egală cu raza cercului circumscris. Prin urmare, pentru a-l construi, este suficient să împărțiți cercul în șase părţi egale

Un hexagon obișnuit poate fi construit folosind o margine dreaptă și un pătrat de 30X60°. Pentru a realiza această construcție, luăm diametrul orizontal al cercului ca bisectoare a unghiurilor 1 și 4, construim laturile 1 - 6, 4 - 3, 4 - 5 și 7 - 2, după care desenăm laturile 5 - 6 și 3 - 2.

Vârfurile unui astfel de triunghi pot fi construite folosind un compas și un pătrat cu unghiuri de 30 și 60° sau doar un compas. Să luăm în considerare două moduri de a construi un triunghi echilateral înscris într-un cerc.

Prima cale(Fig. 61,a) se bazează pe faptul că toate cele trei unghiuri ale triunghiului 7, 2, 3 conțin 60°, iar linia verticală trasată prin punctul 7 este atât înălțimea, cât și bisectoarea unghiului 1. Deoarece unghiul 0 - 1 - 2 este egal cu 30°, apoi pentru a găsi latura 1 - 2 este suficient să construiți un unghi de 30° din punctul 1 și latura 0 - 1. Pentru a face acest lucru, instalați bara transversală și pătratul așa cum se arată în figură, trageți linia 1 - 2, care va fi una dintre laturile triunghiului dorit. Pentru a construi partea 2 - 3, setați bara transversală în poziția indicată de liniile întrerupte și trageți o linie dreaptă prin punctul 2, care va determina al treilea vârf al triunghiului.

A doua cale se bazează pe faptul că dacă construiești un hexagon obișnuit înscris într-un cerc și apoi legați vârfurile acestuia printr-unul, veți obține un triunghi echilateral.

Pentru a construi un triunghi, marcați punctul de vârf 1 pe diametru și trasați o linie diametrală 1 - 4. Apoi, din punctul 4 cu raza egală cu D/2, descriem un arc până când se intersectează cu cercul în punctele 3 și 2. Punctele rezultate vor fi celelalte două vârfuri ale triunghiului dorit.

Această construcție se poate face folosind un pătrat și o busolă.

Prima cale se bazează pe faptul că diagonalele pătratului se intersectează în centrul cercului circumscris și sunt înclinate față de axele acestuia la un unghi de 45°. Pe baza acestui lucru, instalăm bara transversală și pătratul cu unghiuri de 45° așa cum se arată în Fig. 62, a și marcați punctele 1 și 3. În continuare, prin aceste puncte trasăm laturile orizontale ale pătratului 4 - 1 și 3 -2 folosind o bară transversală. Apoi, folosind o margine dreaptă de-a lungul laturii pătratului, desenăm laturile verticale ale pătratului 1 - 2 și 4 - 3.

A doua cale se bazează pe faptul că vârfurile unui pătrat bisectează arcele unui cerc închis între capetele diametrului. Marcam punctele A, B si C la capetele a doua diametre reciproc perpendiculare si din ele cu o raza y descriem arce pana se intersecteaza.

În continuare, prin punctele de intersecție ale arcelor trasăm linii drepte auxiliare, marcate în figură cu linii continue. Punctele de intersecție a acestora cu cercul vor determina vârfurile 1 și 3; 4 și 2. Legăm între ele vârfurile pătratului dorit obținut astfel în serie.

Construcția unui pentagon regulat înscris într-un cerc.

Pentru a potrivi un pentagon obișnuit într-un cerc, facem următoarele construcții. Marcam punctul 1 pe cerc și îl luăm ca unul dintre vârfurile pentagonului. Împărțim segmentul AO în jumătate. Pentru a face acest lucru, descriem un arc din punctul A cu raza AO până când se intersectează cu cercul în punctele M și B. Legând aceste puncte cu o dreaptă, obținem punctul K, pe care îl conectăm apoi la punctul 1. Cu cu o rază egală cu segmentul A7, descriem un arc din punctul K până când se intersectează cu linia diametrală AO ​​în punctul H. Prin conectarea punctului 1 cu punctul H, obținem latura pentagonului. Apoi, folosind o soluție de busolă egală cu segmentul 1H, care descrie un arc de la vârful 1 până la intersecția cu cercul, găsim vârfurile 2 și 5. După ce am făcut crestături din vârfurile 2 și 5 cu aceeași soluție de busolă, obținem restul. vârfurile 3 și 4. Legăm secvențial punctele găsite între ele.

Construirea unui pentagon regulat de-a lungul unei laturi date.

Pentru a construi un pentagon regulat de-a lungul unei laturi date (Fig. 64), împărțim segmentul AB în șase părți egale. Din punctele A și B cu raza AB descriem arce, a căror intersecție va da punctul K. Prin acest punct și diviziunea 3 pe dreapta AB trasăm o linie verticală. În continuare, din punctul K de pe această dreaptă, întindem un segment egal cu 4/6 AB. Obținem punctul 1 - vârful pentagonului. Apoi, cu o rază egală cu AB, din punctul 1 descriem un arc până când acesta se intersectează cu arcele desenate anterior din punctele A și B. Punctele de intersecție ale arcelor determină vârfurile pentagonului 2 și 5. Legăm vârfurile găsite în serie între ele.

Construcția unui heptagon regulat înscris într-un cerc.

Să fie dat un cerc cu diametrul D; trebuie să potriviți în el un heptagon obișnuit (Fig. 65). Împărțiți diametrul vertical al cercului în șapte părți egale. Din punctul 7 cu raza egală cu diametrul cercului D, descriem un arc până când acesta se intersectează cu continuarea diametrului orizontal în punctul F. Numim punctul F polul poligonului. Luând punctul VII ca unul dintre vârfurile heptagonului, tragem raze de la polul F prin diviziuni pare ale diametrului vertical, a căror intersecție cu cercul va determina vârfurile VI, V și IV ale heptagonului. Pentru a obține vârfuri / - // - /// din punctele IV, V și VI, trageți linii orizontale până se intersectează cu cercul. Conectăm secvențial vârfurile găsite între ele. Un heptagon poate fi construit prin trasarea razelor de la polul F și prin diviziuni impare ale diametrului vertical.

Metoda de mai sus este potrivită pentru construcție poligoane regulate cu orice număr de laturi.

Împărțirea unui cerc în orice număr de părți egale se poate face și folosind datele din tabel. 2, care furnizează coeficienți care fac posibilă determinarea dimensiunilor laturilor poligoanelor regulate înscrise.

Lungimile laturilor poligoanelor regulate înscrise.

Prima coloană a acestui tabel arată numărul de laturi ale unui poligon obișnuit înscris, iar a doua coloană arată coeficienții. Lungimea laturii unui poligon dat se obține prin înmulțirea razei unui cerc dat cu un coeficient corespunzător numărului de laturi ale acestui poligon.

8 iunie 2011

Prima cale- pe această parte S folosind un raportor.

Desenați o linie dreaptă și puneți AB = S pe ea; Luăm această linie ca o rază și folosim această rază pentru a descrie arce din punctele A și B: apoi, folosind un raportor, construim unghiuri de 108° in aceste puncte, ale caror laturi se vor intersecta cu arcele din punctele C si D; Din aceste puncte cu raza AB = 5 descriem arce care se intersectează în E și leagă punctele L, C, E, D, B cu drepte.

Pentagonul rezultat- Căutat.

A doua cale. Să desenăm un cerc cu raza r. Din punctul A, folosind o busolă, trageți un arc cu raza AM până când intersectează cercul în punctele B și C. Conectăm B și C cu o linie care intersectează axa orizontală în punctul E.

Apoi din punctul E desenăm un arc care va intersecta linia orizontală în punctul O. În cele din urmă, din punctul F descriem un arc care va intersecta cercul în punctele H și K. După ce am trasat distanța FO = FH = FK de-a lungul cercului de cinci ori și conectând punctele de diviziune cu linii, obținem un pentagon obișnuit.

A treia cale.Înscrieți un pentagon regulat în acest cerc. Desenăm două diametre reciproc perpendiculare AB și MC. Împărțiți raza AO la punctul E la jumătate. Din punctul E, ca din centru, desenăm un arc de cerc cu raza EM și marchem cu el diametrul AB în punctul F. Segmentul MF este egal cu latura pentagonului regulat dorit. Folosind o soluție de busolă egală cu MF, facem serifi N 1, P 1, Q 1, K 1 și le unim cu linii drepte.

În figură, un hexagon este construit de-a lungul acestei părți.

Dreaptă AB = 5, ca rază, din punctele A și B descriem arce care se intersectează în C; din acest punct, cu aceeași rază, descriem un cerc pe care latura A B se va depune de 6 ori.

Hexagon ADEFGB- Căutat. 

„Proiectarea camerelor în timpul renovării”
N.P. Krasnov

Prima metodă de construcție. Desenăm axele orizontale (AB) și verticale (CD) și din punctul de intersecție a acestora M trasăm semiaxa pe scara corespunzătoare. Trasăm semiaxa mică de la punctul M pe axa majoră la punctul E. Elipsa, prima metodă de construcție Împărțim BE în 2 părți și trasăm una din punctul M pe axa majoră (la F sau H)...

Baza vopsirii sunt suprafețele complet vopsite ale pereților, tavanelor și altor structuri; vopsirea se face folosind lipici și vopsele de ulei de înaltă calitate, realizate pentru tundere sau caneluri. Când începe să dezvolte o schiță de finisare, maestrul trebuie să-și imagineze în mod clar întreaga compoziție într-un mediu domestic și să înțeleagă clar intenția creativă. Numai dacă această condiție de bază este îndeplinită se poate corect...

Măsurarea lucrărilor efectuate, cu excepția cazurilor special menționate, se efectuează pe baza suprafeței suprafeței efectiv tratate, luând în considerare relieful acesteia și minus zonele netratate. Pentru a determina suprafețele reale tratate în timpul lucrărilor de vopsire, ar trebui să utilizați factorii de conversie indicați în tabele. A. Dispozitive de ferestre din lemn (măsurarea se face prin zona deschiderilor de-a lungul conturului exterior al ramelor) Denumirea dispozitivelor Coeficient la ...

Un pentagon regulat este o figură geometrică care este formată prin intersecția a cinci linii drepte, creând cinci unghiuri egale. Această figură se numește Pentagon. Munca artiștilor este strâns legată de pentagon - desenele lor se bazează pe corect forme geometrice. Pentru a face acest lucru, trebuie să știți cum să construiți rapid un Pentagon.

Ce este interesant la această cifră? Clădirea are forma unui Pentagon Departamentul de Apărare al Statelor Unite. Acest lucru poate fi văzut în fotografiile făcute de la o altitudine de zbor. Nu există cristale sau pietre în natură a căror formă seamănă cu un pentagon. Numai în această figură numărul de fețe coincide cu numărul de diagonale.

Parametrii unui pentagon obișnuit

Un pentagon dreptunghiular, ca orice figură din geometrie, are propriii parametri. Cunoscând formulele necesare, puteți calcula acești parametri, ceea ce va facilita procesul de construire a pentagonului. Metode și formule de calcul:

• suma tuturor unghiurilor din poligoane este de 360 ​​de grade. Într-un pentagon regulat, toate unghiurile sunt egale, respectiv, unghiul central se găsește astfel: 360/5 = 72 de grade;
• unghiul intern se află astfel: 180*(n -2)/ n = 180*(5−2)/5 = 108 grade. Suma tuturor unghiurilor interioare: 108*5 = 540 grade.

Latura pentagonului se găsește folosind parametrii care sunt deja dați în enunțul problemei:

• dacă un cerc este circumscris în jurul unui pentagon și raza lui este cunoscută, latura se găsește folosind următoarea formulă: a = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin (72/2) = 1,1756*R .
• Dacă se cunoaște raza cercului înscris în pentagon, atunci formula de calcul a laturii poligonului este: 2*r*tg (α/2) = 2*r*tg (α/2) = 1,453*r .
• Având în vedere dimensiunea cunoscută a diagonalei pentagonului, latura acestuia se calculează astfel: a = D/1,618.

Zona Pentagonului este aceeași, ca și partea sa, depinde de parametrii deja găsiți:

• prin folosire raza cunoscuta Aria cercului înscris se găsește astfel: S = (n*a*r)/2 = 2,5*a*r.
• un cerc circumscris în jurul unui pentagon vă permite să găsiți aria folosind următoarea formulă: S = (n*R2*sin α)/2 = 2,3776*R2.
• in functie de latura pentagonului: S = (5*a2*tg 54°)/4 = 1,7205* a2.

Construirea Pentagonului

Puteți construi un pentagon obișnuit folosind o riglă și o busolă, pe baza unui cerc înscris în el sau pe una dintre laturi.

Cum să desenezi un pentagon pe baza unui cerc înscris? Pentru a face acest lucru, trebuie să vă aprovizionați cu busole și o riglă și să faceți următorii pași:

1. Mai întâi trebuie să desenați un cerc cu centrul O, apoi selectați un punct pe el, A - vârful pentagonului. Un segment este desenat din centru spre sus.
2. Apoi se construiește un segment perpendicular pe dreapta OA, care trece și prin O - centrul cercului. Intersecția sa cu cercul este desemnată de punctul B. Segmentul O.B este împărțit la jumătate de punctul C.
3. Punctul C va deveni centrul unui nou cerc care trece prin A. Punctul D este intersecția sa cu dreapta OB în limitele primei figuri.
4. După aceasta, se trasează un al treilea cerc prin D, al cărui centru este punctul A. Se intersectează cu prima cifră în două puncte, acestea trebuie desemnate cu literele E și F.
5. Următorul cerc își are centrul în punctul E și trece prin A, iar intersecția sa cu originalul este într-un nou punct G.
6. Ultimul cerc din această figură este trasat prin punctul A cu centrul F. La intersecția lui cu cercul inițial se plasează punctul H.
7. Pe primul cerc, după toți pașii făcuți, au apărut cinci puncte care trebuie legate prin segmente. Astfel, s-a obținut un pentagon regulat AE G H F.

Cum se construiește un pentagon obișnuit într-un alt mod? Folosind o riglă și o busolă, poți construi un pentagon puțin mai repede. Pentru a face acest lucru aveți nevoie de:

1. Mai întâi, trebuie să folosiți o busolă pentru a desena un cerc al cărui centru este punctul O.
2. Este trasată raza OA - un segment care este trasat pe cerc. Este împărțit în jumătate de punctul B.
3. Un segment OS este desenat perpendicular pe raza OA, punctele B și C sunt conectate printr-o linie dreaptă.
4. Următorul pas este să reprezentați lungimea segmentului BC folosind o busolă pe linia centrală. Punctul D apare perpendicular pe segmentul OA. Punctele B și D sunt conectate pentru a forma un nou segment.
5. Pentru a obține dimensiunea laturii pentagonului, este necesar să conectați punctele C și D.
6. D este transferat în cerc cu ajutorul unui compas și este desemnat de punctul E. Prin conectarea E și C, puteți obține prima latură a unui pentagon obișnuit. Urmând aceste instrucțiuni, puteți învăța cum să construiți rapid un pentagon cu laturi egale, continuând construcția laturilor rămase similare cu prima.

Într-un pentagon cu laturile egale, diagonalele sunt egale și formează o stea cu cinci colțuri, care se numește pentagramă. Raportul de aur este raportul dintre diagonală și latura pentagonului.

Pentagonul nu este potrivit pentru umplerea completă a avionului. Utilizarea oricărui material în această formă lasă goluri sau creează suprapuneri. Deși cristalele naturale de această formă nu există în natură, atunci când gheața se formează pe suprafața produselor netede de cupru, apar molecule sub formă de pentagon, care sunt legate în lanțuri.

Cel mai simplu mod de a obține un pentagon obișnuit dintr-o fâșie de hârtie este să-l legați într-un nod și să îl apăsați puțin. Această metodă este utilă pentru părinții copiilor preșcolari care doresc să-și învețe copiii să recunoască formele geometrice.

Video

Vezi cum poți desena rapid un pentagon.

5.3. Pentagonul de Aur; construcția lui Euclid.

Un exemplu minunat al „raportului de aur” este un pentagon regulat - convex și în formă de stea (Fig. 5).

Pentru a construi o pentagramă, trebuie să construiți un pentagon obișnuit.

Fie O centrul cercului, A punctul de pe cerc și E punctul de mijloc al segmentului OA. Perpendiculara pe raza OA, restabilită în punctul O, intersectează cercul în punctul D. Cu ajutorul unui compas, trasează segmentul CE = ED pe diametru. Lungimea laturii unui pentagon regulat înscris într-un cerc este egală cu DC. Trasăm segmentele DC pe cerc și obținem cinci puncte pentru a desena un pentagon obișnuit. Conectăm colțurile pentagonului unul prin altul cu diagonale și obținem o pentagramă. Toate diagonalele pentagonului se împart reciproc în segmente conectate prin raportul de aur.

Fiecare capăt al stelei pentagonale reprezintă un triunghi de aur. Laturile sale formează un unghi de 36° la vârf, iar baza, depusă la lateral, o împarte proporțional cu raportul de aur.

Există și un cuboid auriu - acesta cuboid cu muchii având lungimile 1,618, 1 și 0,618.

Acum luați în considerare demonstrația oferită de Euclid în Elemente.

Să vedem acum cum folosește Euclid raportul de aur pentru a construi un unghi de 72 de grade - în acest unghi este vizibilă latura unui pentagon obișnuit

din centrul cercului circumscris. Să începem cu

segmentul ABE, împărțit la medie și

Deci să fie AC=AE. Să notăm cu a unghiuri egale EBC și SEV. Deoarece AC=AE, unghiul ACE este de asemenea egal cu a. Teorema că suma unghiurilor unui triunghi este egală cu 180 de grade ne permite să găsim unghiul ALL: este egal cu 180-2a, iar unghiul EAC este 3a - 180. Dar atunci unghiul ABC este egal cu 180. -o. Însumând unghiurile triunghiului ABC obținem,

180=(3a -180) + (3a-180) + (180 - a)

Unde 5a=360 înseamnă a=72.

Deci, fiecare dintre unghiurile de bază ale triunghiului GREUTATE este de două ori unghiul vârfului, care este de 36 de grade. Prin urmare, pentru a construi un pentagon regulat, trebuie doar să desenați orice cerc cu un centru în punctul E, intersectând EC în punctul X și latura EB în punctul Y: segmentul XY servește ca una dintre laturile unui pentagon regulat înscris în cerc; Înconjurând întregul cerc, puteți găsi toate celelalte părți.

Să demonstrăm acum că AC = AE. Să presupunem că vârful C este legat printr-un segment de linie dreaptă la mijlocul N al segmentului BE. Rețineți că, deoarece CB = CE, atunci unghiul CNE este drept. Conform teoremei lui Pitagora:

CN 2 = a 2 – (a/2j) 2 = a 2 (1-4j 2)

Prin urmare avem (AC/a) 2 = (1+1/2j) 2 + (1-1/4j 2) = 2+1/j = 1 + j =j 2

Deci, AC = ja = jAB = AE, care este ceea ce trebuia demonstrat

5.4 Spirala lui Arhimede.

Tăiind în mod constant pătrate din dreptunghiuri aurii la infinit, conectând de fiecare dată puncte opuse cu un sfert de cerc, obținem o curbă destul de elegantă. Primul care a atras atenția asupra lui a fost savantul grec antic Arhimede, al cărui nume îl poartă. El a studiat-o și a derivat ecuația acestei spirale.

În prezent, spirala lui Arhimede este utilizată pe scară largă în tehnologie.

6.Numerele Fibonacci.

Numele matematicianului italian Leonardo din Pisa, care este mai bine cunoscut sub porecla lui Fibonacci (Fibonacci - abreviat filius Bonacci, adică fiul lui Bonacci), este indirect legat de raportul de aur.

În 1202 a scris cartea „Liber abacci”, adică „Cartea lui Abacus”. „Liber abacci” este o lucrare voluminoasă care conține aproape toată informația aritmetică și algebrică din acea vreme și a jucat un rol semnificativ în dezvoltarea matematicii în Europa de Vestîn următoarele câteva secole. În special, din această carte europenii s-au familiarizat cu cifrele hinduse („arabe”).

Materialul raportat în carte este explicat printr-un număr mare de probleme care alcătuiesc o parte semnificativă a acestui tratat.

Să luăm în considerare o astfel de problemă:

„Câte perechi de iepuri se nasc dintr-o pereche într-un an?

Cineva a așezat o pereche de iepuri într-un anumit loc, îngrădiți pe toate părțile de un zid, pentru a afla câte perechi de iepuri se vor naște în cursul acestui an, dacă natura iepurilor este de așa natură încât într-o lună o pereche de iepuri iepurii vor reproduce altul, iar iepurii nasc din a doua lună după naștere”.

Luni	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Perechi de iepuri	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377

Să trecem acum de la iepuri la numere și să luăm în considerare următoarea secvență de numere:

u 1 , u 2 ... u n

în care fiecare termen este egal cu suma celor doi anteriori, i.e. pentru orice n>2

u n =u n -1 +u n -2 .

Această secvență asimptotic (apropiindu-se din ce în ce mai încet) tinde spre o relație constantă. Cu toate acestea, acest raport este irațional, adică este un număr cu o succesiune infinită, imprevizibilă de cifre zecimale în partea fracțională. Este imposibil să o exprim cu precizie.

Dacă orice termen al șirului Fibonacci este împărțit la predecesorul său (de exemplu, 13:8), rezultatul va fi o valoare care fluctuează în jurul valorii iraționale de 1,61803398875... și uneori o depășește, alteori nu o atinge.

Comportamentul asimptotic al secvenței și oscilațiile amortizate ale raportului său în jurul numărului irațional Ф pot deveni mai de înțeles dacă arătăm rapoartele primilor câțiva termeni ai secvenței. Acest exemplu arată relațiile dintre al doilea termen și primul, al treilea cu al doilea, al patrulea cu al treilea și așa mai departe:

1:1 = 1,0000, care este mai mic decât phi cu 0,6180

2:1 = 2,0000, care este cu 0,3820 mai mult decât phi

3:2 = 1,5000, care este mai mic decât phi cu 0,1180

5:3 = 1,6667, care este cu 0,0486 mai mult decât phi

8:5 = 1,6000, care este mai mic decât phi cu 0,0180

Pe măsură ce treceți prin secvența de însumare a lui Fibonacci, fiecare termen nou îl va împărți pe următorul cu o aproximare din ce în ce mai mare față de F de neatins.

Omul caută subconștient proporția Divină: este necesară pentru a-și satisface nevoia de confort.

Când împărțiți orice membru al șirului Fibonacci la următorul, rezultatul este pur și simplu inversul lui 1,618 (1: 1,618 = 0,618). Dar acesta este și un fenomen foarte neobișnuit, chiar remarcabil. Deoarece raportul inițial este o fracție infinită, acest raport ar trebui, de asemenea, să nu aibă sfârșit.

Când împărțim fiecare număr la următorul după el, obținem numărul 0,382

Selectând rapoartele în acest fel, obținem setul principal de rapoarte Fibonacci: 4,235, 2,618, 1,618, 0,618, 0,382, 0,236 Toate acestea joacă un rol deosebit în natură și în special în analiza tehnică.

Trebuie remarcat aici că Fibonacci a amintit umanității doar de secvența sa, deoarece era cunoscută încă din timpuri străvechi numită Raportul de Aur.

Raportul de aur, după cum am văzut, apare în legătură cu un pentagon obișnuit, prin urmare numerele Fibonacci joacă un rol în tot ceea ce are de-a face cu pentagoane obișnuite - convexe și în formă de stea.

Seria Fibonacci ar fi putut rămâne doar un incident matematic, dacă nu pentru faptul că toți cercetătorii diviziunii de aur din lumea plantelor și animale, ca să nu mai vorbim de artă, au ajuns invariabil la această serie ca o expresie aritmetică a legii aurului. diviziune. Oamenii de știință au continuat să dezvolte în mod activ teoria numerelor Fibonacci și a raportului de aur. Yu Matiyasevich rezolvă a 10-a problemă a lui Hilbert (despre rezolvarea ecuațiilor diofante) folosind numerele Fibonacci. Apar metode elegante pentru rezolvarea unui număr de probleme cibernetice (teoria căutării, jocuri, programare) folosind numerele Fibonacci și raportul de aur. În SUA se creează chiar și Asociația Mathematical Fibonacci, care publică un jurnal special din 1963.

Una dintre realizările în acest domeniu este descoperirea numerelor Fibonacci generalizate și a rapoartelor de aur generalizate. Seria Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8) și seria „binară” de numere descoperite de el 1, 2, 4, 8, 16... (adică o serie de numere până la n , unde există număr natural, mai puțin decât n poate fi reprezentat prin suma unor numere din această serie) la prima vedere sunt complet diferite. Dar algoritmii pentru construcția lor sunt foarte asemănători între ei: în primul caz, fiecare număr este suma numărului anterior cu el însuși 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2..., în al doilea - aceasta este suma celor două numere anterioare 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... Este posibil să găsim un general formulă matematică din care obținem „ serie binară și seria Fibonacci?

Într-adevăr, să definim un parametru numeric S, care poate lua orice valoare: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Luați în considerare serie de numere, S + 1 ai căror primii termeni sunt uni, iar fiecare dintre cei următori este egal cu suma a doi termeni ai celui precedent și distanțați de cel anterior cu S trepte. Dacă al n-lea termen Notăm această serie cu S (n), obținem formula generala S (n) = S (n – 1) + S (n – S – 1).

Este evident că la S = 0 din această formulă vom obține o serie „binară”, la S = 1 – o serie Fibonacci, la S = 2, 3, 4 – serie nouă de numere, care se numesc numere S-Fibonacci .

ÎN vedere generală Proporția S de aur este rădăcina pozitivă a ecuației secțiunii S de aur x S+1 – x S – 1 = 0.

Este ușor de arătat că la S = 0 segmentul este împărțit la jumătate, iar la S = 1 se obține raportul de aur clasic familiar.

Rapoartele numerelor S din Fibonacci învecinate coincid cu acuratețea matematică absolută în limita cu proporțiile S de aur! Adică, secțiunile S de aur sunt invarianți numerici ai numerelor S Fibonacci.

7.Proporția de aur în art.

7.1. Raportul de aur în pictură.

Trecând la exemplele „raportului de aur” în pictură, nu se poate să nu se concentreze asupra operei lui Leonardo da Vinci. Personalitatea lui este unul dintre misterele istoriei. Leonardo da Vinci însuși a spus: „Nimeni care nu este matematician să nu îndrăznească să-mi citească lucrările.”

Fără îndoială că Leonardo da Vinci a fost un mare artist, acest lucru fiind deja recunoscut de contemporanii săi, dar personalitatea și activitățile sale vor rămâne învăluite în mister, întrucât a lăsat urmașilor săi nu o prezentare coerentă a ideilor sale, ci doar numeroase scrise de mână. schițe, note care spun „despre toată lumea din lume”.

Portretul Monnei Lisei (La Gioconda) a atras de mulți ani atenția cercetătorilor, care au descoperit că compoziția imaginii se bazează pe triunghiuri de aur, care sunt părți ale unui pentagon obișnuit în formă de stea.

De asemenea, proporția proporției de aur apare în pictura lui Shishkin. În această pictură faimoasă a lui I. I. Shishkin, motivele raportului de aur sunt clar vizibile. Un pin puternic luminat de soare (stă în prim plan) împarte lungimea imaginii în funcție de raportul de aur. În dreapta pinului se află un deal însorit. Împarte partea dreaptă a imaginii pe orizontală în funcție de raportul de aur.

În pictura lui Rafael „Masacrul inocenților” este vizibil un alt element al proporției de aur - spirala aurie. În schița pregătitoare a lui Rafael, linii roșii sunt trasate din centrul semantic al compoziției - punctul în care degetele războinicului s-au închis în jurul gleznei copilului - de-a lungul figurilor copilului, femeia ținându-l aproape, războinicul cu sabia ridicată, iar apoi de-a lungul figurilor aceluiași grup din partea dreaptă a schiței. Nu se știe dacă Raphael a construit spirala de aur sau a simțit-o.

T. Cook a folosit raportul de aur când a analizat pictura lui Sandro Botticelli „Nașterea lui Venus”.

7.2. Piramidele raportului de aur.

Proprietățile medicale ale piramidelor, în special proporția de aur, sunt cunoscute pe scară largă. Potrivit unora dintre cele mai comune opinii, camera în care se află o astfel de piramidă pare mai mare, iar aerul este mai transparent. Visele încep să fie amintite mai bine. De asemenea, se știe că raportul de aur a fost utilizat pe scară largă în arhitectură și sculptură. Un exemplu în acest sens a fost: Panteonul și Partenonul din Grecia, clădiri ale arhitecților Bazhenov și Malevich

8. Concluzie.

Trebuie spus că raportul de aur are o mare aplicație în viața noastră.

S-a dovedit că corpul uman este împărțit proporțional cu raportul de aur de linia centurii.

Cochilia de nautilus este răsucită ca o spirală aurie.

Datorită raportului de aur, centura de asteroizi dintre Marte și Jupiter a fost descoperită - în funcție de proporție, ar trebui să existe o altă planetă acolo.

Excitarea corzii în punctul care o împarte în raport cu diviziunea de aur nu va face ca șirul să vibreze, adică acesta este punctul de compensare.

Pe aeronave cu surse de energie electromagnetică se creează celule dreptunghiulare cu proporția raportului de aur.

La Gioconda este construită pe triunghiuri de aur; spirala de aur este prezentă în pictura lui Rafael „Masacrul inocenților”.

Proporția a fost descoperită în pictura lui Sandro Botticelli „Nașterea lui Venus”

Există multe monumente arhitecturale cunoscute construite folosind proporția de aur, inclusiv Panteonul și Partenonul din Atena, clădiri ale arhitecților Bazhenov și Malevich.

John Kepler, care a trăit acum cinci secole, a spus: „Geometria are două comori mari, prima este teorema lui Pitagora, a doua este împărțirea unui segment în raportul extrem și mediu”.

Referințe

1. D. Pidou. Geometrie și artă. – M.: Mir, 1979.

2. Revista „Știință și tehnologie”

3. Revista „Kvant”, 1973, nr 8.

4. Revista „Matematica la școală”, 1994, nr.2; nr. 3.

5. Kovalev F.V. Raportul de aur în pictură. K.: Școala Vyshcha, 1989.

6. Stakhov A. Codurile proporției de aur.

7. Vorobiev N.N. „Numerele Fibonacci” - M.: Nauka 1964

8. „Matematică – Enciclopedie pentru copii” M.: Avanta +, 1998

9. Informații de pe Internet.

Matrici Fibonacci și așa-numitele matrici „de aur”, noua aritmetică computerizată, noua teorie a codificării și noua teorie criptografie Esența noii științe este revizuirea întregii matematici din punctul de vedere al secțiunii de aur, începând cu Pitagora, care, în mod firesc, va atrage după sine rezultate matematice noi și cu siguranță foarte interesante în teorie. În termeni practici – informatizare „de aur”. Și din moment ce...

Nu va afecta acest rezultat. Baza proporției de aur este un invariant al relațiilor recursive 4 și 6. Aceasta demonstrează „stabilitatea” secțiunii de aur, unul dintre principiile organizării materiei vii. De asemenea, baza proporției de aur este o soluție a două secvențe recursive exotice (Fig. 4.) Fig. 4 secvențe recursive de Fibonacci...

Urechea este j5, iar distanța de la ureche la coroană este j6. Astfel, în această statuie vedem o progresie geometrică cu numitorul j: 1, j, j2, j3, j4, j5, j6. (Fig.9). Astfel, raportul de aur este unul dintre principiile fundamentale în arta Greciei antice. Ritmurile inimii și creierului. Inima umană bate uniform - aproximativ 60 de bătăi pe minut în repaus. Inima îmi strânge ca un piston...